Ch14: Modélisation de l’écoulement d’un fluide

(1)

Ch14: Modélisation de l’écoulement d’un fluide

(2)

1. La poussée d’Archimède (voir TP p 274)

La poussée d’Archimède 𝑭_𝒑 est la somme des forces

pressantes exercées par un fluide sur la partie immergée d’un corps.

𝑭_𝑨 𝑧_𝐴

𝑭_𝑫 𝑭_𝑪

𝑧_𝐵

𝑭_𝑩

𝑭_𝒑 = 𝑭_𝑨 + 𝑭_𝑩 + 𝑭_𝑪 + 𝑭_𝑫

La loi fondamentale de la statistique des fluides étant (1ére):

𝑷_𝑨 − 𝑷_𝑩 = 𝝆_{𝒇𝒍𝒖𝒊𝒅𝒆} × 𝒈 × 𝒛_𝑩 − 𝒛_𝑨 Donc: 𝑭_𝒑 = 𝑭_𝑨 + 𝑭_𝑩 + 𝟎

(3)

La valeur de la force pressante étant aussi de la forme :

F

= 𝑃 × 𝑆

si on multiplie par la surface S la loi des fluides:

(𝑷_𝑨 − 𝑷_𝑩) × 𝑺 = 𝝆_{𝒇𝒍𝒖𝒊𝒅𝒆} × 𝒈 × 𝒛_𝑩 − 𝒛_𝑨 × 𝑺 Alors: 𝑭_𝒑 = 𝝆_{𝒇𝒍𝒖𝒊𝒅𝒆} × 𝒈 × 𝑽𝒄𝒐𝒓𝒑𝒔 𝒊𝒎𝒎𝒆𝒓𝒈é

𝑭_𝒑 = 𝒎𝒇𝒍𝒖𝒊𝒅𝒆 𝒅é𝒑𝒍𝒂𝒄é × 𝒈

Sa direction étant verticale et dirigée vers le haut, la

poussée d’Archimède 𝑭_𝒑 est donc égale à l'opposé du poids du fluide déplacé.

𝑭

_𝒑

= −𝝆

_{𝒇𝒍𝒖𝒊𝒅𝒆}

× 𝑽

𝒄𝒐𝒓𝒑𝒔 𝒊𝒎𝒎𝒆𝒓𝒈é

× 𝒈

(4)

2. Conservation du débit volumique

Le débit volumique d’un fluide qui s’écoule au travers d’une section S pendant une durée ∆𝑡 est:

𝑫_𝑽 = 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑑𝑢 𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑒 é𝑐𝑜𝑢𝑙é

∆𝑡

𝑫_𝑽 = 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑢𝑒𝑢𝑟 𝑝𝑎𝑟𝑐𝑜𝑢𝑟𝑢𝑒 × 𝑺

∆𝑡

𝑫_𝑽 = 𝒗𝒊𝒕𝒆𝒔𝒔𝒆 𝒅𝒖 𝒇𝒍𝒖𝒊𝒅𝒆 × 𝑺

Si le fluide est incompressible et que l’écoulement se fait en régime permanent (indépendant du temps) alors:

𝑫_𝑽 = 𝒗𝒊𝒕𝒆𝒔𝒔𝒆 𝒅𝒖 𝒇𝒍𝒖𝒊𝒅𝒆 × 𝑺 = 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆

(5)

3. La relation de Bernoulli

3.1. Enoncé de la relation de Bernoulli La variation d’énergie mécanique d’un élement d’un fluide incompressible entre une position A et une position B est:

∆𝐸_𝑚= 𝑊𝑓𝑜𝑟𝑐𝑒𝑠 𝑛𝑜𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑡𝑖𝑣𝑒𝑠

𝐸_𝑚(𝐵) − 𝐸_𝑚(𝐴) = 𝑊𝑓𝑜𝑟𝑐𝑒𝑠 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠

1

2 𝑚𝑣_𝐵² + 𝑚𝑔𝑧_𝐵 − 1

2 𝑚𝑣_𝐴² + 𝑚𝑔𝑧_𝐴 = 𝑃_𝐴𝑉_𝐴 − 𝑃_𝐵𝑉_𝐵 1

2 𝑚𝑣_𝐵² + 𝑚𝑔𝑧_𝐵 + 𝑃_𝐵𝑉_𝐵 − 1

2 𝑚𝑣_𝐴² + 𝑚𝑔𝑧_𝐴 + 𝑃_𝐴𝑉_𝐴 = 0 𝟏

𝟐 𝒎𝒗^𝟐 + 𝒎𝒈𝒛 + 𝑷𝑽 = 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆𝒔𝒖𝒓 𝒖𝒏𝒆 𝒍𝒊𝒈𝒏𝒆 𝒅𝒆 𝒄𝒐𝒖𝒓𝒂𝒏𝒕

(6)

En divisant cette équation par le volume de l’élément de

fluide V, on obtient la

relation

classique de

Bernoulli

^sur

une même ligne de courant:

𝟏 𝟐 𝝆𝒗

^𝟐

+ 𝝆𝒈𝒛 + 𝑷 = 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆

(7)

3.2. Effet venturi

D’après l’exemple du schéma pour

que le débit volumique reste constant il faut que la vitesse en B soit plus

grande qu’en A. (

𝒗

_𝑩

> 𝒗

_𝑨) la relation de Bernoulli dit que:

𝟏

𝟐 𝝆𝒗^𝟐 + 𝝆𝒈𝒛 + 𝑷 = 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 Soit :

1

2 𝝆𝑣_𝐵² + 𝝆𝑔𝑧_𝐵 + 𝑃_𝐵 = 1

2 𝝆𝑣_𝐴² + 𝝆𝑔𝑧_𝐴 + 𝑃_𝐴

Il faut donc que la pression en B soit plus faible qu’en A.

(𝑷_𝑩 < 𝑷_𝑨 ) . C’est l’

effet Venturi

.

(8)

Exercices p285 qcm et Ex 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 20, 21, 22, 23, 24, 26.