Écoulement d’un fluide dans un milieu perméable
Sujet proposé par X. Blanc blanc@ann.jussieu.fr
1 Présentation du problème
La propagation d’un fluide dans un milieu poreux peut dans certains cas être modélisée par l’équation de diffusion non linéaire :
∂u
∂t −div
c(x, u)∇u
= 0, (1)
oùu≥0 est la densité du fluide, et c(x, u), le coefficient de diffusion, dépend deu et de la variablde d’espace x. Cette équation parabolique est assortie de condition de bords de type Dirichlet ou Neumann et d’une donnée initialeu0. Dans ce qui suit, nous supposerons, pour simplifier, quecne dépend pas de x, et que c’est une puissance deu:
∂u
∂t −div up∇u
= 0 dans Ω, u=uD sur ΓD,
up∂u
∂n =F sur ΓN, u(t= 0, x) =u0(x).
(2)
oùp≥0est un exposant fixé. Le casp= 0correspond à l’équation de diffusion linéaire, ou équation de la chaleur. Le casp >0correspond au cas non linéaire.
On suppose ici queΩ est un domaine régulier de R2, et que son bord ∂Ω est partitionné en une partieΓDoù on impose une condition de Dirichlet (concen- tration fixe), et une partie ΓN où on impose une condition de type Neumann (flux entrant).
2 Étude théorique
2.1 Existence et unicité
Question 1. Dans le cas linéaire (p= 0), démontrer, en utilisant un résultat du cours, que, siΓN = ∅ et que uD = 0, le problème (2) est bien posé dans L2 ]0, T[;H01(Ω)
∩C0 ]0, T[, L2(Ω) .
Dans la suite, on admettra que pour le cas non linéaire (p >0), le problème
2.2 Estimations a priori
Question 2. On se place dans le cas linéaire, et on suppose que F ≤0,que uD= 0,et queu≥0.Démontrer, en multipliant l’équation paru, que la norme L2 deudécroît avec le temps.
Question 3. Dans le cas non linéaire, on suppose que la solution est régulière.
Démontrer que, siF≤0 etuD= 0, la quantité Ip(t) =
Z
Ω
up+2(x)dx
est décroissante par rapport àt.
Question 4. Toujours en supposant la solution régulière, et queF=uD= 0, démontrer l’égalité :
∀T ≥0, p+ 2 p+ 1
Z T 0
Z
Ω
∇up+1
2(x, t)dxdt+ Z
Ω
up+2(x, T)dx= Z
Ω
up+20 (x)dx.
Question 5. Sous les mêmes hypothèses que la question précédente, on sou- haite démontrer la propriété de contraction dansL1: siuetv sont solutions de (2), alors
d dt
Z
Ω|u(x, t)−v(x, t)|dx
≤0, (3)
Pour cela, on procède de la manière suivante :
(a) Soitε >0un paramètre destiné à tendre vers0in fine. Former la différence des équations satisfaites paruetv, la mutliplier parh′ε up+1−vp+1
, où hε(s) =s+√
ε2+s2,et démontrer que : Z
Ω
∂(u−v)
∂t h′ε up+1−vp+1
≤0.
(b) En déduire queR
Ω(u−v)+ est une fonction décroissante det. On a posé a+= max(a,0) = 12(|a|+a).
(c) En déduire (3).
2.3 Solutions particulières : propagation de fronts
Nous allons maintenant étudier des cas particuliers de solutions explicites pour l’équation (2). Un des intérêts de telles solutions est de fournir des tests de validation pour les méthodes numériques utilisées pour calculer les solutions de (2).
Question 6. On se place dans le cas oùΩ =R2.Dans le cas linéaire, démontrer que la fonction
G(x, t) = 1 4πte−|x|
2 4t ,
est solution de l’équation (2) pourt > 0. Formellement, quelle donnée initiale u0 peut-on lui associer ?
Question 7. Solutions auto-similaires. Toujours pour Ω = R2, dans le cas non linéaire, on poseα= 1/(p+ 1). Démontrer que la fonction
G(x, t) = 1 tα
C−k|x|2 tα
1/p
+
,
est solution de (2), oùa+= max(a,0) = 12(|a|+a), pour toutC >0 et pourk bien choisi que l’on calculera.
Question 8. Propagations de fronts.Démontrer que la fonction u(x, t) =
t p−xi
1/p +
, (4)
est solution de (2). Ici, xi est la ième composante du vecteur x. Cette solution représente un front qui se propage à une certaine vitesse. Laquelle ?
3 Schéma numérique
Question 9. On propose le schéma de discrétisation suivant : Mun+1−un
∆t =Knun, (5)
oùM est la matrice de masse du problème et Kn la matrice de rigidité, c’est- à-dire la matrice de discrétisation de l’opérateur div ((un)p∇·) dans l’espace d’éléments finis choisi (P1 par exemple).
(a) Déterminer la condition de stabilité du schéma en fonction des valeurs propres deM−1Kn.
(b) En admettant que la plus grande valeur propre (en valeur absolue) de M−1Kn est d’ordre∆x−2, où∆xest le pas d’espace, en déduire la condi- tion CFL pour ce schéma.
Question 10. Démontrer que le schéma : Mun+1−un
=Knun+1, (6)
Question 11. Même question pour le schéma : Mun+1−un
∆t =Kn+1un+1. (7)
4 Implémentation numérique
4.1 Le cas linéaire
On s’intéresse ici au cas du domaine Ω = [0,5]×[0,1], avec données de Neumann au bord, et F = 0 sauf sur le bord gauche où F = 10. La donnée initiale estu0= 0.
Question 12. Écrire dans ce cas la formulation variationnelle du problème (2).
Même question pour le cas où on discrétise de façon implicite en temps (mais on ne discrétise pas en espace).
Question 13. Utiliser le logiciel FreeFem++ pour résoudre le problème. On prendra10points de discrétisation par unité de longueur, un pas de temps de 0.01 et un temps final T = 2. On utilisera une discrétisation P1 en espace.
Tracer le lignes de niveaux au temps t = 0.5 et vérifier que, visuellement, la solution reste 1D.
Question 14. Ajouter dans le programme précédent un calcul de la norme de la différence entre la valeur de usur la frontière basse de Ωet la valeur de u sur la frontière haute. Pourquoi cette différence n’est-elle pas nulle ? Comment évolue-t-elle si on utilise une discrétisationP2 au lieu deP1? Pourquoi ?
4.2 Le cas non linéaire
On s’intéresse au cas p = 1. On reprend les mêmes données au bord que dans la section 4.1, avecF =F(t)à déterminer.
Question 15. Déterminer la valeur que doit prendre F pour observer une solution du type (4). Pour que le front atteigne le bord droit du domaine de simulation, quelle doit être la valeur minimale du temps finalT?
Question 16. Programmer la résolution de ce problème (avec les valeurs de F et T calculée à la question 15), en utilisant le schéma (6). Tracer le profil de concentration le long de l’axey = 0, pourt= 1,2,3,4,5.La vitesse numérique de propagation du front est-elle bien restituée ?
Question 17. Programmer la résolution de ce même problème en utilisant le schéma (7). Pour résoudre le problème non linéaire à chaque pas de temps, on utilisera la méthode de point fixe suivante, initialisée parv0=un :
1. vq+1 solution de Mvq+1∆t−un = K(vq)vq+1, où K(vq) est la matrice de discrétisation de l’opérateurdiv ((vq)∇·);
2. test de convergence : sikvq+1−vqk ≤ε, alors on sort (etun+1 =vq+1), sinon, retour à l’étape 1.
On utiliseraε= 10−8 comme critère de convergence. Comparer les résultats à ceux de la question 16.
