Vari´et´es hamiltoniennes et Application moment.

Vari´et´es hamiltoniennes et Application moment.

Mich`ele Vergne

avec contributions de Olivier Guichard et Laurent Thuillier.

Ann´ee 2000

Introduction

On se donne une action du groupeS¹ sur une vari´et´e symplectique (M, σ) de dimension 2n. On suppose que le champ de vecteurs associ´e `a l’action de S<sup>1</sup> est hamiltonien. Il y a donc une fonction f appel´ee ´energie, dont le gradient symplectique engendre l’action de S<sup>1</sup>. Cette fonction est constante sur les orbites deS<sup>1</sup> (th´eor`eme de Noether). Une des premi`eres constructions fondamentales est la construction de la vari´et´e symplectique r´eduite au niveau a. C’est une vari´et´e de dimension (2n−2), qui consiste `a ´etudier les orbites de S¹ dans le niveau d’´energie f =a.

Plus g´en´eralement, si un groupe de Lie compact connexeGagit surM par une action hamiltonienne , on construit une vari´et´e r´eduite de dimension 2n− 2 dim(G). Cette vari´et´e r´eduite est tr`es importante en th´eorie des invariants.

On d´emontrera le th´eor`eme de Duistermaat-Heckman, dans le cadre pr´e- symplectique ( la 2-forme ferm´ee σ n’est pas n´ecessairement non d´eg´en´er´ee).

L’image de la mesure de Liouville par l’application moment est une fonc- tion localement polynomiale, ( non n´ecessairement positive) dont la densit´e calcule les volumes r´eduits.

Un exemple ´evident de vari´et´e symplectique est l’espaceCⁿ. Soit M une sous vari´et´e alg´ebrique deCⁿ. C’est une vari´et´e symplectique. SoitGun sous groupe de U(n) laissant stable M. Le groupe complexifi´e G_C agit dans M. Alors la vari´et´e r´eduite de M au niveau 0 classifie les orbites ferm´ees de G_C dans M. C’est le th´eor`eme de Kirwan- Mumford.

SiC est un cˆone alg´ebrique stable parG, alors G agit sur la vari´et´e pro- jective P(C) correspondante. Le quotient de Mumford P(C)//G_C de P(C) par G_C est isomorphe `a la vari´et´e r´eduite au niveau 0 de la G-vari´et´e Ha- miltonienne P(C). On montrera (sous quelques hypoth`eses) que les sections invariantes du fibr´eL^k surP(C) sont les sections holomorphes du fibr´e r´eduit L^k//G sur le quotient de MumfordP(C)//G_C deP(C) par G_C.

La construction d’espace r´eduit permet aussi de construire de nouvelles vari´et´es par coupure symplectique. En particulier, on construira une vari´et´e torique associ´ee `a un polytope convexe rationnel.

SOMMAIRE

Cours du Mercredi 9 Fevrier Vari´et´es Hamiltoniennes. D´efinitions.

Pages 5-17

Cours du Mercredi 16 Fevrier

L’application moment pour l’action lin´eaire d’un tore.

Pages 18-27

Cours du Mercredi 23 Fevrier

Fibr´es principaux. R´eduction symplectique.

Pages 28-42

Cours du Mercredi 1er Mars

Paradigmes. P(V); T^∗M; Orbites coadjointes.

Page 43 : Ce chapitre manque. RECOPIER NOTES DES ETUDIANTS.

Cours du Mercredi 8 Mars

L’espace projectif. Convexit´e de l’application moment.

Pages 44-52

Cours du Mercredi 15 Mars

Application moment et Orbites ferm´ees pour l’action d’un groupe r´eductif complexe.

Pages 53-59

Cours du Mercredi 22 Mars Expos´e de Olivier Guichard

Coupures symplectiques , vari´et´es toriques.

Pages 60-70

Cours du Mercredi 29 Mars

Image de la mesure de Liouville par l’application moment et volumes des espaces r´eduits.

Pages 71-82

Cours du Mercredi 19 Avril

Action d’un groupe r´eductif complexe sur une vari´et´e projective. Th´eor`eme de convexit´e de Kirwan- Mumford.

Pages 83-89

Cours du Mercredi 2 Mai Expos´e de Laurent Thuillier.

Prequantification. Connexion, action et moment.

Pages 90-100

Cours du Mercredi 10 Mai

Quotient de Kirwan-Mumford et section holomorphes G-invariantes.

Pages 101-105

Vari´ et´ es Hamiltoniennes. D´ efinitions

9 f´evrier.

1 Fibr´ e tangent, normal

Soit M une vari´et´e de classe C^∞. On note T M le fibr´e tangent `a M, et Γ(M, T M) l’espace des sections C^∞ du fibr´e tangent. Un ´el´ement V de Γ(M, T M) est donc un champ de vecteurs. Si v ∈ TxM, et si φ est une fonction sur M d´efinie au voisinage de x, alors l’action de v sur la fonction φ est d´efinie par

(v ·φ)(x) = d

d²φ(x(², v))|^²=0

o`u x(², v) est une courbe sur M telle quex(0, v) =x et tangente `a v enx.

SiV ∈Γ(M, T M) est un champ de vecteurs, alorsV d´efinit uned´erivation de C^∞(M) :

(V φ)(m) = (Vm·φ)(m), car on a la r`egle de Leibniz :

V(φ1φ2) = V(φ1)φ2+φ1V(φ2).

R´eciproquement, toute d´erivation de l’alg`ebreC<sup>∞</sup>(M) est d´efinie par un champ de vecteurs. On utilisera souvent la mˆeme notation pour un champ de vecteurs et la d´erivation associ´ee, comme d´ej`a fait plus haut. Ainsi, le crochet [V1, V2] de deux champs de vecteurs V1, V2 est le champ de vecteurs

produisant la d´erivationV₁V₂−V₂V₁ deC^∞(M). L’espace Γ(M, T M) est donc muni d’une structure d’alg`ebre de Lie.

On a

[X, φY] = (Xφ)Y +φ[X, Y]

si X etY sont des champs de vecteurs et φ une fonction sur M.

Soient M et N des vari´et´es et f : M → N une application C^∞. Soit p∈M. On note dfp :TpM →Tf(p)M la lin´earisation def au point p. On la calcule en consid´erant l’image par f d’une courbe σ(p, ²) passant par p.

D´efinition 1 Si N est une sous-vari´et´e ferm´ee deM, on noteN(M/N)(ou simplement N) le fibr´e normal de N dans M. En chaque point n ∈ N, la fibre de N est TmM/TmN.

Le fibr´eN →N contientN comme la section nulle. On admet le th´eor`eme des voisinages tubulaires.

Proposition 2 (Koszul)

Soit N une sous vari´et´e ferm´ee de M. Soit N le fibr´e normal `a N dans M. Il existe un diff´eomorphisme d’un voisinage ouvert U de la section nulle deN sur un voisinage ouvert de N dansM, cet isomorphisme ´etant l’identit´e sur N.

2 Rappels de calcul diff´ erentiel

Soit M une vari´et´e de classe C^∞. Soit A(M) = L

iAⁱ(M) l’alg`ebre Z- gradu´ee des formes diff´erentielles sur M. Les formes diff´erentielles ici seront suppos´ees r´eelles. On a A<sup>0</sup>(M) = C<sup>∞</sup>(M), tandis que A<sup>1</sup>(M) est l’espace des 1-formes. Lorsque αest une 1-forme, on note (α, ξ) la valeur de αsur un champ de vecteursξ. C’est une fonction surM. La valeur de la fonction (α, ξ) au point xest ”locale”, c’est-`a-dire ne d´epend que de la valeur de ξ au point x. Autrement dit, on a (α, φξ) = φ(α, ξ) pour toute fonction φ ∈ C^∞(M).

De mˆeme, si α est une k-forme, on note α(ξ₁, . . . , ξ_k) la valeur de α sur k champs de vecteurs ξ1, ..., ξk. C’est une fonction sur M. Cette fonction est multilin´eaire vis `a vis de la multiplication des champs ξk par des fonctions φ_k :

α(φ1ξ1, . . . , φkξk) = (φ1· · ·φk)α(ξ1, . . . , ξk).

Il est utile d’introduireun peu de notations super (mais, rien ne sera dit ici sur les super-vari´et´es, ni super-groupes).

Un super-espace vectoriel est un espace vectoriel gradu´e surZ/2Z: E =E⁺⊕E⁻.

On identifie souventZ/2Z `a l’espace des entiers modulo 2. On dira donc que v ∈E⁺ est un ´el´ement pair , tandis quew∈E⁻ est impair.

Un espace vectoriel gradu´e E = ⊕^i∈ZEⁱ sur Z pourra ˆetre ainsi comme un super-espace.

Une super-alg`ebreAest une alg`ebre sur un super-espace et dont le produit respecte la graduation :

AⁱA^j ⊂A^i+j ( ici, i, j sont des entiers modulo 2).

L’alg`ebre des endomorphismes End(E) d’un super-espace est une super- alg`ebre, gradu´ee par

End⁺(E) = Hom(E⁺, E⁺)⊕Hom(E⁻, E⁻), End⁻(E) = Hom(E⁺, E⁻)⊕Hom(E⁻, E⁺).

On d´efinit le super-crochet de deux ´el´ements homog`enes d’une alg`ebre gradu´ee par

[a, b] =ab−(−1)^|a||b|ba avec |a|= 0 ou 1 suivant quea est pair ou impair.

Une super-alg`ebre est dite commutative si [a, b] = 0 pour touta, b, i.e. les

´el´ements pairs commutent, mais les ´el´ements impairs anticommutent.

Par exemple, l’alg`ebre ext´erieure ΛV d’un espace vectoriel est une super- alg`ebre commutative.

Une d´erivationD d’une superalg`ebre A doit v´erifier D(ab) = D(a)b+aD(b), siD est paire, D(ab) =D(a)b+ (−1)^|a|aDb, siD est impaire.

Il est facile de v´erifier que le crochet (au sens gradu´e) de deux d´erivations est encore une d´erivation.

Revenons `a nos moutons.

La diff´erentiation ext´erieure d:A^•(M)→ A^•+1(M) est le seul op´erateur v´erifiant les conditions suivantes :

1)d² = 0.

2)d(α∧β) =dα∧β+ (−1)^degαα∧dβ (relation de Leibniz) avec (α, β) homog`enes dans A(M). (Autrement dit, d est une d´erivation impaire de l’alg`ebre A(M)).

3) (df)(ξ) =ξf o`u f ∈ A⁰(M) =C^∞(M), ξ ´etant un champ de vecteurs sur M.

On a l’´egalit´e :

dα(ξ₀, . . . , ξ_k)

= Xk

i=0

(−1)ⁱξi(α(ξ0, . . . ,ξbi, . . . , ξk))+ X

0≤i<j≤k

(−1)^i+jα([ξi, ξj], ξ0, ...,ξbi, ...,ξbj, ..., ξk), o`u le ”chapeau” signifie que l’on omet la variable.

Exemple, siα est une 1-forme :

(dα)(ξ0, ξ1) =ξ0(α, ξ1)−ξ1(α, ξ0)−(α,[ξ0, ξ1]).

La formule pour dα d´efinit bien une (k + 1)-forme, car contrairement

`a l’apparence, la formule pour dα est bien lin´eaire sur les fonctions. Par exemple, pour une 1-forme α :

(dα)(φ0ξ0, ξ1) = φ0ξ0(α, ξ1)−ξ1(α, φ0ξ0))−(α,[φ0ξ0, ξ1])

=φ0(dα)(ξ0, ξ1)−(ξ1·φ0)(α, ξ0) + (α,(ξ1·φ0)ξ0) =φ0dα(ξ0, ξ1).

La relation d² = 0 permet de d´efinir une cohomologie H^∗(M,C) = Ker d

Im d

soit pour chaque i, Hⁱ(M,C) = Ker (d|Aⁱ(M))/d(Aⁱ⁻¹(M)) appel´ee cohomo- logie de de Rham. Si αest telle quedα = 0, alors on dit que αest exacte. Si α =dβ, alors on dit que α (qui est ferm´ee , car d² = 0) est exacte.

On a le lemme de Poincar´e : Si U est une boule ouverte de Rⁿ, toute forme diff´erentielle ferm´ee de degr´e k > 0 est exacte sur U. On montrera ce lemme plus tard ( cours du 29 Mars).

Soit ξ un champ de vecteurs sur M . La d´eriv´ee de Lie L(ξ) agit sur A(M) en pr´eservant le degr´e. Elle agit sur une fonction f par L(ξ)f =ξ·f et son action sur une k-forme ω est d´efinie par :

(L(ξ)ω) (ξ1, . . . , ξk) =ξω(ξ1, . . . , ξk)− Xk

j=1

ω(ξ1, . . . ,[ξ, ξj], . . . , ξk).

C’est une d´erivation paire de l’alg`ebreA(M) :

L(ξ)(α∧β) = L(ξ)α∧β+α∧ L(ξ)β.

On v´erifie que

L(ξ)d=dL(ξ).

La contraction par le champξ not´eei(ξ) :Aⁱ(M)→ Aⁱ⁻¹(M) est d´efinie par :

i(ξ)α=α(ξ) si α ∈ A¹(M) est une 1-forme,

i(ξ)(α∧β) = (i(ξ)α)∧β+ (−1)^deg(α)α∧(i(ξ)β) si αetβ sont des formes homog`enes de A(M). La contractionι(ξ) est donc une d´erivation impaire de l’alg`ebre A(M).

On a la relation

i(ξ)◦i(ξ) = 0.

Pour deux champs de vecteurs ξ1, ξ2, on a donc ι(ξ1)◦ι(ξ2) +ι(ξ2)◦ι(ξ1) = 0.

On v´erifie aussi la relation

[L(ξ1), ι(ξ2)] =ι([ξ1, ξ2]).

La d´erivation de Lie et la contraction sont li´ees par la relation de Cartan : L(ξ) =d◦i(ξ) +i(ξ)◦d.

Celle-ci se v´erifie facilement pour une fonction ϕ, L(ξ)ϕ=dϕ(ξ) =ξϕ, et pour une 1-forme α. En effet

(L(ξ)α)(ξ1) = ξ(α, ξ1)−(α,[ξ, ξ1])

tandis que

(dι(ξ)α)(ξ1) =ξ1(α, ξ),

(ι(ξ)dα)(ξ₁) = (dα)(ξ, ξ₁) = ξ(α, ξ₁)−ξ₁(α, ξ)−(α,[ξ, ξ₁]).

On a donc l’´egalit´e promise sur les 1-formes. Comme d et ι(ξ) sont des d´erivations impaires de l’alg`ebre A(M), on sait qued◦i(ξ) +i(ξ)◦dest une d´erivation (paire) de l’alg`ebre A(M). L’alg`ebre A(M) est engendr´ee par les fonctions et les 1-formes. Les deux membres de la relation de Cartan sont des d´erivations de l’alg`ebre A(M). Elles sont donc ´egales, puisqu’elles sont

´egales sur un syst`eme de g´en´erateurs.

3 Action d’un groupe sur une vari´ et´ e

SoitGun groupe de Lie. On note e, ouI , l’identit´e deG. On note gson alg`ebre de Lie. C’est l’espace tangent `ae`a G. Un groupe `a un param`etre est une applicationt 7→g(t) deRdansGv´erifiantg(0) =I etg(t+u) = g(t)g(u) pour tout t, u r´eels. Pour tout X ∈ g, on note exp(tX) le groupe `a un param`etre tangent `a X pour t= 0.

Une action d’un groupeGsur un ensembleM est : pour touta ∈G, on a une application ρ(a) :M →M telle que ρ(a)ρ(b) =ρ(ab) et ρ(1) =Id_M. Ici M sera une vari´et´eC^∞, le groupe G un groupe de Lie et la transformation ρ(a) un diff´eomorphisme de M. On note a·m ou am l’action de a ∈ G sur le point m∈M.

L’orbite d’un point m∈M est

Gm={am, a∈G} ⊂M.

La vari´et´e M est alors une r´eunion disjointe d’orbites. Un espace est dit homog`ene si il n’y a qu’une orbite. On aGm =M pour tout pointm deM. SiX ∈g, on note XM le champ de vecteurs sur M tel que −(XM)m soit tangent en m ∈M `a la trajectoire exp(θX)m de m sous l’action du groupe de transformations exp(θX). On note simplement Xm `a la place de (XM)m. Pour une fonction ϕ∈C^∞(M) :

(XMϕ)(m) = d

dθϕ(exp(−θX)m)|^θ=0. Premier th´eor`eme fondamental de Lie

L’applicationX 7→X_M est un homomorphisme de l’alg`ebre de Liegdans l’alg`ebre de Lie Γ(M, T M) :

[XM, YM] = [X, Y]M.

Pour calmer la suspicion par rapport au signe moins dans la d´efinition de XM, voir cours du 23 Fevrier.

SiM est un espace homog`ene sous G, alors pour tout point m ∈M, les vecteurs Xm engendrent l’espace tangent TmM.

Un groupe `a un param`etre g(t) de transformations d’une vari´et´e C^∞ est une application t 7→ g(t) de R dans les diff´eomorphismes de M v´erifiant g(0) = I et g(t +u) = g(t)g(u) pour tout t, u r´eels. Autrement dit, une action de Rsur M. On note alors V le champ de vecteurs sur M tel que Vx

soit tangent en x `a la courbe g(−t)x. Question : ´etant donn´e un champ de vecteurs V sur M, peut-on trouver un groupe `a un param`etre de transfor- mation de M tangent `a V. C’est clair que non. Exemple : soit M une sous vari´et´e ouverte de N, et g(t) un groupe `a un param`etre de transformations de N. Si x ∈M, la courbe g(t)x sortira de M au bout d’un certain temps,

`a moins que M soit invariante par la transformation g(t). Toutefois, on peut construire une action locale g(t) sur M.

Dire qu’on a une action locale, c’est dire qu’on a un voisinageDde 0×M dans R×M et une application g(t, x) de D dans M, telle que

1)g(0, x) =x

2) Pour toutx∈M, on ag(t+u, x) = g(t, g(u, x)) pourt, usuffisamment petits.

Une action locale surM d´efinit un champ de vecteursV. Au pointx∈M, le vecteur V est le vecteur tangent `a la courbe g(−t, x) en t = 0.

Montrons que si V est un champ de vecteurs sur M, on peut construire une action locale de Rsur M induisant le champ de vecteursV.

On suppose d’abord queM est un ouvertU deRⁿ. Le champ de vecteurs V s’´ecrit sous la forme Pn

i=1vi(x1, ..., xn)∂i, o`u les fonctionsvi sont d´efinies sur U. Notre application g(t, x) est une application `a valeurs dansRⁿ et doit v´erifier pour xfix´e :

d

dtg(t, x) = d

d²g(t+², x)|²=0 = d

d²g(², g(t, x))|²=0 =−V(g(t, x)).

Si on fixex, on a donc `a r´esoudre l’´equation diff´erentielle non lin´eaire :

(1) d

dtφ(t) =−V(φ(t)) avec donn´ees initiales

φ(0) =x.

La solutiong(t, x) existe pourt petit (dans un intervalle d´ependant dex) et est unique. La solution est bien un groupe local :g(t, g(u, x)) =g(t+u, x), car les deux membres pour u et x fix´es sont solutions de la mˆeme ´equation diff´erentielle ( 1) et ont mˆeme valeur initiale.

On note g(t, x) =g(t)x.

Attention.La solutionφ(t, x) n’est d´efinie que sitest petit, car l’´equation est non lin´eaire. Par exemple, si M =Ret V(x) =x²∂x, alorsg(t, x) est so- lution de _dt^dφ(t) =−(φ(t))², avec φ(0) =x. On obtient

g(t)x= x 1 +tx qui explose pour t =−x⁻¹.

Maintenant si V est un champ de vecteurs sur une vari´et´e M, grˆace `a l’unicit´e, on peut recoller les solutions en une action locale. Si M est com- pacte, il est clair que la solution existe pour tout t, car on la d´efinit pour t grand par l’´equation g(t, x) =g(t/N)<sup>N</sup>x, o`uN est suffisamment grand (N a pu ˆetre choisi grˆace `a la compacit´e de M , de sorte queg(t/N, y) soit d´efini pour tous les y∈M. ).

Montrons maintenant le rapport entre action locale d´efinie par un champ de vecteurs V et d´eriv´ee de Lie. Si g(t) est un groupe `a un param`etre de transformations de M, alors g(t) agit sur C^∞(M), Γ(M, T M), A(M). Si ξ est un champ de vecteurs, alors ξ(t) = g(t)ξ est C^∞ en t. On peut donc d´efinir _dt^dg(t)ξ|t=0.

Lemme 3 Soit g(t) un groupe `a un param`etre de transformations de M d´efini par un champ de vecteurs V. Alors pour tout champ ξ ∈ Γ(M, T M), on a

d

dtg(t)ξ|t=0 = [V, ξ].

Pour toute forme diff´erentielle ω ∈ A^k(M), on a d

dtg(t)ω|t=0 =L(V)ω.

D´emonstration.

Siφ est une fonction sur M, alors par d´efinition de g(t), on a d

dt(g(t)φ) = d

dtφ(g(t)⁻¹m) = V(g(t)φ).

SiX est un champ de vecteurs (interpr´et´e comme d´erivation), on a g(t)· X =g(t)Xg(t)⁻¹. Donc

d

dt(g(t)Xg(t)⁻¹)φ|^t=0 =V(Xφ)−X(V φ).

Pour toute formeω ∈ A^k(M), on a

(g(t)ω)(ξ₁, ξ₂, ..., ξ_k) = g(t)(ω, g(t)⁻¹ξ₁∧g(t)⁻¹ξ₂∧ · · · ∧g(t)⁻¹ξ_k).

En d´erivant, on obtient la d´eriv´ee de Lie.

QED

On utilisera la r´eciproque. Soit ω ∈ A^k(M). Soit G un groupe de Lie connexe agissant sur M. Si pour tout X ∈ g, on a L(XM)ω = 0, alors gω =ω pour toutg ∈G.

4 Espace vectoriel symplectique

Si B est une forme bilin´eaire altern´ee sur un espace vectoriel r´eel V, le noyau de B not´e Ker(B) est l’ensemble des v ∈V tels queB(v, w) = 0 pour tout w ∈ V. Une forme bilin´eaire altern´ee B est dite non d´eg´en´er´ee si Ker(B) = 0.

Un espace vectoriel symplectique est un espace vectoriel r´eel muni d’une forme altern´eeBnon d´eg´en´er´ee. AlorsV est de dimension pairen = 2`, et il existe une baseP1, P2, ..., P`, Q1, Q2, ..., Q` telle queB(Pi, Pj) =B(Qi, Qj) = 0 et B(Pi, Qj) = δ_i^j.

Il est d’usage de repr´esenter B `a l’aide d’ un produit scalaire ordinaire (,) surV. SiJ est la matrice, dans la baseP1, P2, ..., P`,Q1, Q2, ..., Q` ortho- norm´ee pour (., .), d´efinie par

J =

µ 0 −I I 0

¶ ,

alors B(v, w) = (Jv, w).

Soit Sp(B) le groupe de transformations symplectiques de V : c’est le groupe des transformations lin´eaires deV, conservant la forme bilin´eaire B :

Sp(V) = {g ∈GL(V);B(gv, gw) = B(v, w), pour toutv w∈V}. L’alg`ebre de Lie de Sp(V) est donc

sp(V) = {X ∈End(V);B(Xv, w) +B(v, Xw) = 0 pour toutv w∈V}. Autrement dit, la matrice X est infinit´esimalement symplectique, si et seulement si la forme bilin´eaire (v, w)7→B(Xv, w) est symm´etrique.

On en d´eduit que X s’´ecrit dans la base P_i, Q_j sous la forme X =

µ A B C −^tA

¶

o`u B etC sont des matrices symm´etriques.

5 Action Hamiltonienne

Dans l’article de Darboux, sur le syst`eme de Pfaff, les coordonn´ees ca- noniques s’appellent p et x. Traditionellement la position est not´ee ( plus tard ? ?) q. Je ne sais pas quand on a choisi q pour la position... )

Hamilton bcp plus tˆot (1828) invente le ”Hamiltonien” ( qu’il n’appelle pas Hamiltonien, mais fonction caract´eristique) ; calcul´ee en fonction de l’action lagrangienne. L’´equation du mouvement est

dqk

dt = ∂H

∂pk

; dpk

dt =−∂H

∂qk

;

Une vari´et´e symplectique (M,Ω) est une vari´et´e munie d’une 2-forme ferm´ee Ω, telle que la restriction Ωm `a chaque espace tangent TmM soit symplectique. En particulier, M est de dimension paire.

On verra leTh´eor`eme de Darboux ( Cours de Toledano) :

Autour de chaque pointm, il existe des fonctions coordonn´eesqk, pktelles que Ω =P`

k=1dpk∧dqk.

Une fonctionH ∈C^∞(M) d´efinit alors un champ de vecteursX_H surM, par l’´equation dH =ι(XH)Ω. Ceci veut dire que pour tout ξ ∈ Γ(M, T M), on a

ξH = Ω(X_H, ξ).

Le fait que Ω soit non d´eg´en´er´ee implique que XH existe et est unique. En coordonn´ees locales q_k, p_k,

dH =X

k

(∂H

∂q_kdqk+ ∂H

∂p_kdpk) et

X_H =X

k

(−∂H

∂pk

∂

∂qk

+ ∂H

∂qk

∂

∂pk

).

Le groupe (local) `a un param`etre engendr´e par XH est appl´ee le flot hamiltonien de H. C’est le mouvement .

ATTENTION :Notre convention pour le groupe a un param`etres donne bien

dqk

dt = ∂H

∂pk

; dpk

dt =−∂H

∂qk

;

Lemme 4 Le flot Hamiltonien de H ∈C^∞(M) pr´eserve H et Ω.

En effet, on a

XH ·H = Ω(XH, XH) = 0 par d´efinition, tandis que

L(XH)Ω =ι(XH)dΩ +dι(XH)Ω ==d²H = 0.

C’est le th´eor`eme de Noether (Emmy). Le flot hamiltonien pr´eserve l’´energie ainsi que la forme symplectique. C’est la base de la construction des struc- tures symplectiques sur les vari´et´es r´eduites.

SiG est un groupe de Lie, le groupe G agit dans son alg`ebre de Lie par l’action adjointe. Soit g^∗ l’espace vectoriel dual de g. Alors G agit dans g^∗ par l’action contragr´ediente appel´ee action coadjointe : Si g ∈ G, f ∈ g^∗ et X ∈g, alors (gf, X) = (f, g⁻¹X).

Sif ∈g^∗, l’orbite Gf def par le groupe Gest appel´ee orbite coadjointe.

On verra qu’une orbite coadjointe est munie d’une structure symplectique canonique. ( Toledano, 11 Fevrier).

SoitGun groupe de transformations symplectiques deM. La forme Ω est stable par G. Donc pour tout X ∈g, on aL(XM)Ω = 0. CommedΩ = 0, on a alorsd(ι(XM)Ω) = 0.. La 1-formeι(XM)Ω est donc ferm´ee. Une action sera hamiltonienne, si cette 1-forme est exacte. On veut une condition d’invariance dans le choix d’une primitive. On introduit donc les notations suivantes : Soit

µ:M →g^∗

une application commutant `a l’action de G. Pour tout X ∈ g, on note la fonction m→(µ(m), X) par (µ, X). On a alors

g·(µ, X) = (µ, g·X).

Voici enfin la d´efinition d’espace G- hamiltonien (M,Ω, µ^G_M) : La vari´et´e (M,Ω) est une vari´et´e symplectique munie d’une action sym- plectique de G. L’application

µ^G_M :M →g^∗

est une application commutant `a l’action deG ( on la noteµsiG etM sont fix´es). On a l’´equation de Hamilton

d(µ^G_M, X) =ι(XM)Ω pour tout X ∈g.

Soit H un sous-groupe de G, on a une application naturelle de g^∗ dans h^∗. Il est donc clair que siM est un espaceG-hamiltonien, c’est a fortiori un espace H-hamiltonien.

Exemple :

Action deS¹ par rotations dansR² muni de la forme Ω =dx∧dy.

Soit J la matrice antisymm´etrique 2×2 d´efinie par J =

µ 0 −I I 0

¶

Alorsg(θ) = exp(θJ) est donn´e par g(θ) =

µ cos(θ) −sin(θ) sin(θ) cos(θ)

¶ .

Son champ de vecteurs associ´e est

JM =y∂x−x∂y. On consid`ereµ:M →RJ^∗ d´efini par

µ(J)(x, y) = 1

2(x²+y²).

On a bien l’´equation

dµ(X) =ι(XM)Ω.

En effet

d(µ(J)) =x dx+y dy.

ι(JM)(dx∧dy) =ι(y∂x−x∂y)(dx∧dy) = x dx+y dy..

L’application moment pour l’action lin´ eaire d’un tore.

16 f´evrier.

6 L’espace vectoriel symplectique

Soit (V, B) l’espace vectoriel symplectique de dimensionn = 2`. Consid´erons la 1-forme ω = <sup>1</sup><sub>2</sub>B(v, dv) sur V et la 2-forme Ω = dω = <sup>1</sup><sub>2</sub>B(dv, dv). Ici dv ∈ A<sup>1</sup>(V)⊗V et B(dv, dv) est d´efinie par lin´earit´e sur A<sup>1</sup>(M). Ce n’est pas nul, car les ´el´ements de A<sup>1</sup>(M) anticommutent. Plus concr`etement : si v = P

xieⁱ, alors dv = P

dxi ⊗eⁱ et B(dv, dv) = P

i,jdxidxjB(eⁱ, e^j). Le terme diagonal en (i, i) est nul. On peut donc ´ecrire B(dv, dv) comme

X

i<j

((dxi ∧dxj)B(eⁱ, e^j) + (dxj ∧dxi)B(e^j, eⁱ)) = 2X

i<j

B(eⁱ, e^j)(dxi∧dxj).

On choisit P1, P2, ..., P`, Q1, Q2, ..., Q` une base symplectique de V, avec B(Pi, Qj) = δ_i^j. On ´ecrit v = P`

k=1(pkPk+qkQk) la variable dans V. On a donc

ω = 1 2

X` k=1

(p_kdq_k−q_kdp_k), Ω = X`

k=1

dp_k∧dq_k.

Soit Sp(V) le groupe des transformations symplectiques de V. On note s son alg`ebre de Lie. Rappelons que X ∈ s, si et seulement si B(Xv, w) = B(Xw, v) pour tout v, w ∈ V. L’action de Sp(V) sur V est Hamiltonienne.

L’application moment µ:V →s^∗ est donn´ee pour v ∈V, par (µ(v), X) = −1

2B(Xv, v) pour X ∈s. En effet, on a

d(1

2B(Xv, v)) = 1

2B(Xdv, v) + 1

2B(Xv, dv) =B(Xv, dv), car X est symplectique. D’autre part,

ι(XM)Ω = 1

2B(−Xv, dv) + 1

2B(dv, Xv) =−B(Xv, dv).

Remarquons que µ:V →s^∗ est homog`ene de degr´e 2.

Consid´erons une structure complexe J sur V compatible avec B : c’est-

`a-dire telle que B(Jv, Jw) = B(v, w) pour tout v, w ∈ V. De plus on veut que B(v, Jv) > 0 pour tout v 6= 0 (on peut prendre J(Pk) = Qk, J(Qk) =

−Pk). Soit Q(v, w) = B(v, Jw). C’est un produit scalaire Euclidien sur V. La forme h = (Q−iB) est une forme Hermitienne sur l’espace complexe (V, J). Le groupe unitaire U(V) est un sous groupe maximal de Sp(V). On note u l’alg`ebre de Lie de U(V). C’est l’espace vectoriel des matrices anti- hermitiennes. On peut donc restreindre l’application moment en une appli- cation moment de V dans u^∗.

R´eciproquement, si (V, h) est un espace Hermitien de dimension complexe

`, on d´efinit sur V la forme symplectique

B(v, w) = −Im(h)(v, w).

L’application moment µ:V →u^∗ est donn´ee par (µ(v), X) = 1

2Im(h)(Xv, v) =−i

2h(Xv, v)

pour toute transformation antihermitienne X de V ( comme X est antiher- mitienne, le nombre h(Xv, v) est purement imaginaire).

6.1 Orbites d’un tore complexe

On consid`ere T un tore. Un tore (de dimension r) est simplement un groupe isomorphe `a un produit S¹ ×^{rf ois} ×S¹. Son alg`ebre de Lie t est ab´elienne. Elle est munie d’un r´eseau

Γ ={γ ∈t,exp 2πγ = 1}.

Un caract`ere d’un groupe G est un homomorphisme multiplicatif de G dansC<sup>∗</sup>(Attention, le mot caract`ere d´esigne aussi la trace d’une repr´esentation, mais dans ce cours ce sera plutˆot des homomorphismes) . Un caract`ere d’un tore est `a valeurs dans |z| = 1, car T est compact. Si T = R/2πZ, les ca- ract`eres χn sont index´es par tous les entiers n∈Z, avec χn(θ) = e^inθ.

On note

P ={λ∈t^∗,(λ,Γ)jZ}.

Siλ∈P, on note e^iλ le caract`ere de T, tel quee^iλ(expX) =e^(iλ,X) pour X ∈t. C’est bien une fonction sur T, car, siγ ∈Γ, e^iλ(exp 2πγ) =e^2iπ(λ,γ)= 1, ce qui est heureux puisque exp 2πγ= 1.

L’ensemble des caract`eres d’un tore est ainsi param´etr´e par P.

On consid`ere l’ action d’un toreT dans un espace vectoriel complexeV de dimension (complexe) N avec poids α¹, α², ..., α^N de t^∗. Soit e^k une base de V, telle que l’ action deT surV soit repr´esent´ee par des matrices diagonales.

On identifie donc V `a C^N. L’action de T sur V est donn´ee par (expX)(z1, z2, ..., zN) = (e^i(α1,X)z1, e^i(α2,X)z2, ..., e^i(αN,X)zN) pour X ∈t.

On ´etend cette action `a T_C. Si Z = X +iY ∈ t_C, on pose (α^k, Z) = (α^k, X) +i(α^k, Y)∈C. On a alors

(expZ)(z1, z2, ..., zN) = (e^i(α1,Z)z1, e^i(α2,Z)z2, ..., e^i(αN,Z)zN).

D´efinition 5 Soit v = PN

k=1z_ke^k. On note Supp(v) la suite des ´el´ements α^k de t^∗ tels que zk 6= 0. Cette suite, `a l’ordre pr`es, est ind´ependante de la base (e^k) de V diagonalisant l’action de T.

Si ∆ est un ensemble fini d’´el´ements de t^∗, on d´efinit les cˆones C(∆) et C⁰(∆) dans t^∗ par :

C(∆) ={λ=X

α∈∆

t^αα;t^α ≥0}, C⁰(∆) ={λ=X

α∈∆

t^αα;t^α >0}.

Lemme 6 Supposons que les ´el´ements α ∈ ∆ engendrent t^∗. Alors le cˆone C⁰(∆) est l’int´erieur du cˆone C(∆).

En g´en´eral, le cˆone C⁰(∆) est l’int´erieur relatif de C(∆) dans l’espace vectoriel P

Rα^k engendr´e par C(∆).

En effet, il est clair queC⁰(∆) est ouvert et que C(∆) est ferm´e. Siy est dans C(∆), on a y=P

t^jαj avecαj ∈∆ et t^j ≥0. Si x est dans l’int´erieur deC(∆), alorsy=x−P

α∈∆t^ααest encore dansC(∆) pourα ∈∆ ett^α >0 petits. Alors x=y+P

α∈∆t^αα est dansC⁰(∆).

AttentionLes ´el´ementsα^k ne sont pas lin´eairement ind´ependants. Il est compliqu´e de d´ecrire exactement les arˆetes du cˆone polyh´edralC(∆) et donc de d´ecider lesquels des vecteurs α^k sont extrˆemaux, ou au contraire contenus dans l’int´erieur de C(∆).

Exemple 1. Soit t =RJ1⊕RJ2. Soit J¹ et J² la base duale. Soit α¹ = J¹, α² =J², α³ =−(J¹+J²). On a C⁰(∆) =C(∆) =t^∗.

Exemple 2. Si β¹ =J¹, β² =J², β³ = (J¹+J²), on a C(∆) = R⁺J¹⊕ R⁺J². Le vecteur β³ est dansC⁰(∆), car il s’´ecrit ¹₂(β¹+β²+β³).Par contre β¹ et β² ne sont pas dans C⁰(∆).

Lemme 7 On a 0∈C⁰(∆) si et seulement si C(∆) =C⁰(∆) =P

kRα^k. Consid´erons le cˆone convexe ferm´e C(∆). Comme vu plus haut, c’est compliqu´e de savoir quels sont les ´el´ements extr´emaux de C(∆).

Soit ξ ∈ t. On appelle face f de C(∆), un sous ensemble de la forme C(∆)∩(ξ = 0), o`u ξ est tel que ξ(C(∆))jR⁺.

Par exemple {0} est une face. Mais aussi C(∆) lui-mˆeme sera consid´er´e comme une face... Bref, vous voyez quand mˆeme ce qu’on entend par face.

La dimension de f est la dimension de l’espace affine engendr´e. On dira facette pour une face de codimension 1. On note f⁰ l’int´erieur relatif de f. L’int´erieur relatif de 0 est zero. Oui !

On va caract´eriser les orbites ferm´ees deT_CdansV `a l’aide du cˆoneC⁰(∆).

Puis, on va chercher `a param´etrer l’ensemble des orbites ferm´ees de T<sub>C</sub> dans V. On ´etudie ce probl`eme de g´eom´etrie complexe `a l’aide de l’application moment du sous-groupe compact maximum T de T_C.

Consid´erons l’exemple 1). Soit T =S¹×S¹ agissant dans C³ avec poids α¹, α², α³. Soit z = z1e¹ +z2e² +z3e³ avec z1, z2, z3 6= 0. Alors z est d’or- bite ferm´ee sous T_C. En effet, comme (expZ)z =z1e^i(α1,Z)e¹ +z2e^i(α2,Z)e²+ z3e^i(α3,Z)e³ et que α¹+α²+α³ = 0, on voit que l’ orbite dez est l’ensemble des points u1e¹+u2e²+u3e³ tels que u1u2u3 =z1z2z3.

Consid´erons l’exemple 2). Soit T =S¹×S¹ agissant dans C³ avec poids β¹, β², β³. Alors, aucune orbite n’est ferm´ee `a part 0.

Soit donc T_C un tore complexe agissant dans un espace vectoriel com- plexe, par une action holomorphe. On choisit un produit hermitien sur V

de telle sorte que T agisse unitairement dans V. On peut alors choisir une base orthonormale e^k deV telle queT agisse diagonalement dans cette base orthonormale par

(expX)(

XN k=1

zke^k) = XN k=1

e^i(αk,X)zke^k,

si X ∈t. L’´el´ementX ∈t agit donc par X(

XN k=1

zke^k) = XN k=1

i(α^k, X)zke^k.

On note< ., . >le produit hermitien. On a donc une application moment µ:V →t^∗. Elle est donn´ee par (µ(v), X) =−₂ⁱ <P

ki(α^k, X)zke^k,P

kzke^k >.

On a donc (µ(v), X) = ¹₂P

k(α^k, X)|zk|². L’application moment µ: V → t^∗ est donc

µ(X

zke^k) = 1 2

X

k

|zk|²α^k.

Th´eor`eme 8 (Kac-Peterson). Consid´erons l’orbite O_C(v) de v par le tore T_C. Alors l’ image de O_C(v) par l’application moment µ:V →t^∗ est le cˆone C⁰(Supp(v)). De plus, l’application µ est un hom´eomorphisme de O_C(v)/T sur C⁰(Supp(v)).

D´emonstration. Soit v =P

kzke^k. Un point pdans O_C(v) est de la forme p=X

k

e^i(αk,X)e^−(αk,Y)zke^k

avecX, Y ∈t. Il a mˆeme support quev. Pour simplifier les notations dans la d´emonstration, on peut donc supposer que tous les zk sont non nuls et que les ´el´ements α^k engendrent t^∗.

On a

µ(p) = 1 2

X

k

e^−2(αk,Y)|zk|²α^k.

et donc µ(p) est dansC⁰(∆).Le th´eor`eme d´ecoule de la proposition suivante.

Proposition 9 Soit∆ ={α¹, ..., α^N}une suite d’´el´ements det^∗( les ´el´ements α^k ne sont pas n´ecessairement dans P dans cette proposition ). Supposons

que les ´el´ements α^k engendrent l’espace vectoriel t^∗. Soient c_k des constantes strictement positives. Soit H :t→t^∗ l’application

H(Y) = XN k=1

e^(αk,Y)ckα^k.

AlorsH est un hom´eomorphisme de t sur C⁰(∆).

D´emonstration. On calcule la diff´erentielle de H en Y ∈ t : c’est l’application lin´eaire de t dans t^∗ donn´ee par :

dHY(W) = XN k=1

cke^(αk,Y)(α^k, W)α^k Cette application est injective, car

(dHY(W), W) = XN

k=1

cke^(αk,Y)(α^k, W)²

n’est jamais 0, si W n’est pas z´ero : les ´el´ements α^k engendrent t^∗.

Prouvons queH est injective. SoientY1 etY2 tels queH(Y1) =H(Y2). On consid`ere la fonctionφ(t) = (H(Y1+t(Y2−Y1)),(Y2−Y1)). Alorsφ(0) =φ(1).

Mais φ⁰(t) = P

kc_ke^{(αk,Y1+t(Y2−Y1))}(α^k,(Y₂−Y₁))² est strictement positive en tout point t si (Y1 −Y2)6= 0. On obtient que n´ecessairement Y1 =Y2. Donc H est un diff´eomorphisme det sur son image.

Nous voulons montrer que cette image est le cˆone C⁰(∆). Soit ξ = PN

k=1ξkα^k, avec ξk > 0. Montrons qu’il existe Y ∈ t, avec H(Y) = ξ. On consid`ere la fonction φ:t→Rdonn´ee par

φ(Y) = XN

k=1

cke^(αk,Y)−(ξ, Y).

S’il existe un point critique Y0 ∈t pour φ, alors H(Y0) = ξ. En effet, le fait que la diff´erentielle de φ en Y0 vaut 0 s’´ecrit P

kcke^(αk,Y0)α^k =ξ.

Montrons queφ est born´ee inf´erieurement et atteint son minimum en un point Y0 ( forc´ement critique). On a

φ(Y) = XN k=1

(cke^(αk,Y)−ξk(α^k, Y)).

Consid´erons la function φ_k(Y) = c_ke^(αk,Y) − ξ_k(α^k, Y). En ´etudiant la fonction y 7→ cke^y −ξky, on voit que φk(Y) est born´ee inf´erieurement (par mk = ξk −ξk(Log(ξk/ck))). En effet, comme ck > 0 et ξk > 0, si y tend vers ±∞, la fonction c_ke^y−ξ_ky tend to +∞. Donc la fonction P

kφ_k(Y) est born´ee inf´erieurement par m =P

kmk .

De plus comme chacune des fonctions composantes φk(Y) tend vers +∞ lorsque | < α^k, Y > | devient grand, c’est clair que la fonction atteint son minimum. En effet, si |Y| devient plus grand que M, au moins un des | <

α^k, Y >|devient grand et la fonction φ restera grande. (plus pr´ecis´ement, si a est le minimum de φ(X)−m, on peut choisirM tel que si ||X||> M, une des coordonn´ees (α^k, X) est grande, de telle sorte que (φk(X)−mk)> a+ 1.

On aura alorsP

jφj(X) =P

j(φj(X)−mj) +m≥(m+a+ 1). Le minimum (m+a) est donc atteint sur l’ensemble compact ||X|| ≤M. )

QED QED

Soit v ∈V. Le stabilisateur infinitesimal t(v) de v dans T est l’ensemble des Y ∈t tel que α^k(Y) = 0 pour tous les α^k ∈Supp(v). L’espace vectoriel dual de t/t(v) s’identifie naturellement `a l’espace vectoriel engendr´e par les α^k du support de v.

On note simplement pour la suite le corollaire suivant du th´eor`eme pr´ec´edent.

Corollaire 10 Soit w ∈ T_Cv. Supposons que µ(w) ∈ C⁰(Supp(v)). Alors w∈T_Cv.

D´emonstration. Soit t¹(v) un supplementaire de t(v) dans t(v). L’ap- plicationY →µ(exp(iY)v) est un diff´eomorphisme det¹(v) surC⁰(Supp(v)).

On ´ecrit w = limNvN, avec vN = exp(iYN)tNv. Comme T est compact, on peut supposer (en prenant ´eventuellement une sous-suite) que lestN tendent vers une limite t. En changeant w en t⁻¹w, on peut supposer w =limNvN, avec vN = exp(iYN)v, et en projetant les YN sur t¹(v), on peut supposer les YN dans t¹(v). Comme µ(w) ∈ C⁰(Supp(v)) par hypoth`ese, on peut ´ecrire µ(w) =µ((expiY)v) avecY ∈t¹(v). La proposition (9) montre que la suite YN tend vers Y, puisque la suite µ((expiYN)v) tend vers µ((expiY)v).

QED

Nous ´etudions maintenant l’image de l’adh´erence de O_C(v) sous l’appli- cation moment.

Soit v = P

kzke^k. Soit f une face de C(∆), on note vf = P

k,αk∈f zke^k. Pour chaque face f deC(∆), on note Of l’orbite par T_C de vf. On note f⁰

l’int´erieur relatif de f. On note F l’ensemble des faces de C(∆).

Proposition 11 Soit v ∈V, et soit ∆ =Supp(v). Alors 1) O_C(v) =∪f∈FOf.

2) L’ image de Of par µest le cˆone f⁰.

D´emonstration. Sif est une face de ∆, il existeY ∈ttel que (α^k, Y)>

0 pour tous lesα^k qui ne sont pas dansf, et (α^k, Y) = 0 pourα^k∈F. Donc la limite, lorsque t tend vers l’ infini, de exp(itY)v =P

ke^−t(αk,Y)zke^k existe et est vf.

Soit maintenant w ∈ T_Cv. Supposons que µ(w)∈ f⁰. Montrons qu’alors w est dans T_Cvf. Il suffit de montrer que w est dans T_Cvf, car on appliquera la Proposition (10). On a v =P

kzke^k . Soit vN = (expiYN)(tN·v) une suite de points convergeant vers w, iciYN ∈t et tN ∈ T. Comme pr´ec´edemment, on peut supposer tN = 1, quitte `a passer `a une sous-suite et modifier w en tw.

On ´ecritvN =vN(f)+v_N⁰ avecvN(f) =P

k,α^k∈fe^−<αk,YN>zke^k. On av_N⁰ = P

j,α^j∈f/ e^−<αj,YN>zje^j. Soitξ un ´el´ement de ttel que < α^k, ξ >= 0 si α^k ∈f et < α^j, ξ >> 0 si α^j ∈/ f. Alors < µ(wN), ξ >= P

j,α^j∈f/ e^−<αj,YN>|zj|² <

α^j, ξ > converge vers 0, puisque µ(w) ∈ f⁰. On voit donc que chaque e^−<αj,YN> converge vers 0 , lorsque α^j n’est pas dansf.

En projetant sur P

k,α^k∈fCe^k, on voit donc que w est dans l’adh´erence de T_Cvf.

. QED

Le corollaire des lemmes (7) et (11) est donc le suivant.

Corollaire 12 Un pointv ∈V est tel que O_C(v)est ferm´ee, si et seulement si 0∈C⁰(Supp(v)).

Voici donc la param´etrisation attendue des orbites ferm´ees par T_C dans V.

Proposition 13 Soit T_C un tore complexe. Alors toute orbite ferm´ee sous T_C intersecte µ⁻¹(0). Reciproquement, l’orbite d’un ´el´ement v ∈ µ⁻¹(0) est ferm´ee. De plus deux ´el´ements v1 et v2 de µ⁻¹(0) conjugu´es par T_C sont conjugu´es par T.

Ceci d´ecoule des remarques pr´ec´edentes.

Lemme 14 (cas particulier de Hilbert-Mumford). Supposons 0 ∈ T_Cv. Il existe Y ∈t tel que

0 = lim

t→∞exp(itY)v.

D´emonstration. On peut supposer v = P

kzke^k avec zk 6= 0 pour tout k. L’hypoth`ese que 0 ∈ T<sub>C</sub>v entraine que le cone C(∆) est convexe saillant. En effet sinon, il existerait une relation lin´eaire `a coefficients positifs entre certains des α^k : P

k∈Ktkα^k = 0. Comme les α^k sont des ´el´ements d’un r´eseau, on voit qu’on peut supposer qu’il existe une relation P

knkα^k avec des nk entiers positifs. Si z = (z1, z2,· · · , zN) varie dans l’orbite de v, les coordonn´eeszksont multipli´ees par les constantese^i(αk,Z). DoncQ

k∈Kz_k^nk reste ´egal `a une constante non nulle. En particulier elles restent non nulles sur l’adh´erence. L’adh´erenceT<sub>C</sub>vne peut donc contenir le point 0 de coordonn´ees toutes ´egales `a 0.

Le cˆoneC(∆) est donc un cˆone saillant. Il existeY ∈ttel que (α^k, Y)>0 pour tout α^k. On a alors (expitY)v = P

kzke^−t(αk,Y)vk et ceci tend vers 0 lorsque t tend vers l’infini.

QED

Plus g´en´eralement, on a le crit`ere suivant.

Lemme 15 Soit y un point de T_Cv. Alors il existe Y ∈t et g ∈T_C tels que y= limt→∞exp(itY)gv.

D´emonstration.

Soitv =P

kzke^kaveczk6= 0 pour toutket soity=P

j∈Jyje^j avecyj 6= 0 pourj ∈J. Regardons l’action de T_C dans l’espace vectorielP

j∈JCe^j. Alors µ(y) est dans C⁰(α^j) et est dans l’adh´erence de l’orbite dev1 =P

j∈Jzje^j. On peut donc supposer qu’ il existe g ∈ T_C avec gv₁ = y. On a gv = y+P

k /∈Jz_k⁰e^k, et les z_k⁰ sont aussi non nuls.

On a µ(y) = P

j∈J|yj|²α^j. Comme y n’est pas dans T_Cv, µ(y) est dans le bord de C(∆). Il existe donc Y ∈t tel que (α^j, Y) = 0 pour tout α^j ∈ J tandis que (α^k, Y)> 0 pourk /∈J. On voit alors que (expitY)gv tend vers y lorsque t tend vers l’infini.

QED

Soit M un sous-ensemble irr´eductible de V d´efini par des ´equations po- lynomiales :

M ={z ∈V;Pk(z) = 0}.

Si M est stable par l’action de T sur V, alors M est stable par l’action de T_C.

Soit

Supp(M) =∪^v∈MSupp(v).

Proposition 16 Soit M une sous-vari´et´e irr´eductible de V stable par T. Alors l’ image de M par µ : M → t^∗ est le cˆone convexe polyh´edral ferm´e engendr´e par Supp(M).

D´emonstration.

Soit ∆ l’ensemble des poids de T dans V. Il suffit de montrer que l’en- semble finiF form´e des sous-ensembles de ∆ de la formeSupp(v), v ∈M ad- met un ´el´ement maximal. SiS est un sous ensemble de ∆, on d´efinit l’ouvert U(S) ={z ∈M, zk6= 0, α^k ∈S}. Siv ∈M, l’ ouvert U(Supp(v)) contient v et est donc non vide. Comme la vari´et´e est irr´eductible, un nombre fini d’ ou- verts de Zariski non vides se rencontrent. On a donc un pointw∈ ∩S∈FU(S).

Le support de w est donc ´egal au support de M. Donc µ(M) = ∪^v∈Mµ(T_Cv) = C(Supp(M)).

QED

Fibr´ es principaux. R´ eduction symplectique.

23 f´evrier.

7 Fibrations

D´efinition 17 Soit π :E → M une application diff´erentiable d’une vari´et´e E dans une vari´et´e M. On dit que (E, π) est une fibration de E sur M avec fibre type E, s’il existe un recouvrement de M par des ouverts Ui et des diff´eomorphismes φi : π⁻¹(Ui) → Ui ×E, tels que π : π⁻¹(Ui) → Ui soit la composition de φ_i avec la projection sur le premier facteur U_i dans U_i×E.

L’espace E est appel´e l’espace total de la fibration et M la base.

On voit donc queπ⁻¹(x) est diff´eomorphique `a E pour toutx ∈M; On appelle E “la” fibre deE.

Une application φ :M →N est propre, si l’image r´eciproque d’un com- pact est compacte. Une fibration π :E →M est propre si et seulement si la fibre E est compacte.

Consid´erons le diff´eomorphisme φ_j ◦φ⁻¹_i de (U_i ∩U_j)×E d´ecoulant de la d´efinition de fibration. C’est une application de Ui∩Uj dans le groupe de diff´eomorphismes Diff (E) de la fibre E.

D´efinition 18 Une fibration π : E → M est dite un fibr´e vectoriel si la fibre est un espace vectoriel E, et si les diff´eomorphismes φi sont choisis tels que φj ◦φ⁻¹_i :{x} ×E → {x} ×E sont des applications lin´eaires inversibles de E pour tout x∈Ui∩Uj.

Une section s d’un fibr´e E sur M est une application s : M → E telle queπs(x) = xfor allx∈M. SiE est un fibr´e vectoriel, l’espace Γ(M,E) des sections (C^∞) est un espace vectoriel : les sections s’additionnent. La section nulle envoie M comme un sous ensemble de E.

Question :Comment reconnait-on qu’une vari´et´e V a la structure d’un fibr´e vectoriel sur une sous-vari´et´e ferm´ee M. Au moins il doit y avoir la courbe (x, v(t)) = (x, tv), qui envoie tout point (x, v) deV sur le point (x,0) de M. Donc au moins, on doit pouvoir r´etracterV sur M.

Soitφ :M →N une applicationC^∞. On dit queaest une valeur r´eguli`ere de φ, si la diff´erentielle de φ est surjective de T<sub>m</sub>M dans T<sub>a</sub>N pour tout m dans φ<sup>−1</sup>(a). Alorsφ<sup>−1</sup>(a) est une sous-vari´et´e ferm´ee deM. Siφ est propre, le th´eor`eme des fonctions implicites implique qu’il existe un voisinageU dea dansN, tel queφ⁻¹(U) soit isomorphe `aφ⁻¹(a)×U, l’applicationφdevenant la seconde projection. Donc φ⁻¹(U) est fibr´e sur U de fibre type φ⁻¹(a).

8 Retour sur actions ` a gauche, ` a droite, et crochet d’ alg` ebres de Lie

Une action `a gauche d’un groupe Gsur un ensemble M est : pour tout a ∈ G, on a une application ρ(a) : M → M telle que ρ(a)ρ(b) = ρ(ab) et ρ(1) =IdM. Sia∈Getm∈M, on notea·m =ρ(a)(m).On note aussi ceci amet il n’y a pas d’ambiguit´e dans la notation abm qui peut ˆetre interpr´et´e comme a(bm) ou (ab)m.

Une action `a droite d’un groupe G sur un ensemble M est : pour tout a ∈ G, on a une application r(a) : M → M telle que r(a)r(b) = r(ba) et r(1) = IdM. Si a ∈ G et m ∈ M, on note r(a)m = ma. Il n’y a pas d’ambiguit´e dans la notation mab qui peut ˆetre interpr´et´e comme (ma)b ou m(ab).

Si a →ρ(a) est une action `a gauche sur M, alors r(a) = ρ(a<sup>−1</sup>) est une action `a droite sur M.

Par d´efinition, comme espace vectoriel, l’alg`ebre de Lie d’un groupe de Lie est l’espace tangent `a l’unit´e. D’autre part, la courbe exp(tX) est l’unique groupe `a un param`etre tangent `a X eng = 1. Quelle est la loi de crochet sur g? ? ? Tout d’abord si G est le groupe GL(V) des transformations lin´eaires d’un espace vectoriel r´eel, l’alg`ebre de Lie g est l’espace vectoriel End(V).

Elle est donc munie d’un crochet

[A, B] =AB−BA.

Au membre de droite, on utilise la structure de produit de matrices. Il est donc naturel de chercher une d´efinition du crochet pour l’espace tangent `a un groupe, qui g´en´eralise cette d´efinition. Voici la d´efinition : On identifie l’alg`ebre de Lie g`a l’alg`ebre de Lie des champs sur Ginvariants `a gauche. Si X ∈g, le champ v(X) (invariant `a gauche) est donc d´efini par

(v(X)φ)m = d

dtφ(mexptX).

Le crochet de deux champs invariants `a gauche est encore invariant `a gauche.

On d´efinit donc [X, Y] comme l’´el´ement de g tel que [v(X), v(Y)] =v([X, Y]).

Ceci nous permet donc de d´efinir une loi d’alg`ebre de Lie sur g.

V´erifions que c’est bien la loi usuelle dans le cas de GL(V).

Si A est une matrice, la courbe exptA est l’exponentielle naturelle des matrices

exptA=I+tA+ t²

2!A²+ t³

3!A³+· · · ....

Elle d´efinit un champ surGpar action `a droite ou `a gauche. On peut donc d´efinir deux champs c(A), avecc(A)B vecteur tangent `a la courbe (exptA)B en t = 0 et un champ v(A) avec v(A)B tangent `a la courbe B(exptA) en t = 0.

Attention

Le champ c(A) tangent `a l’action `a gauche est invariant `a droite ( les actions gauches et droites commutent). Le champ v(A) est le champ invariant `a gauche.

Lemme 19 Soient A et B des matrices. On a [c(A), c(B)] = −c([A, B]),

[v(A), v(B)] =v([A, B]).

D´emonstration.

Pour d´emontrer l’´egalit´e des deux membres, comme ce sont des d´erivations de l’alg`ebre des fonctions sur End(V), il suffit de montrer l’identit´e en ques- tion sur les fonctions lin´eaires ξ sur End(V). Alors pour U ∈g

(c(A)ξ)(U) = d

d²(ξ,(exp²A)U)|²=0

est encore une fonction lin´eaire. C’est la fonction d´efinie par (c(A)ξ)(U) = ξ(AU). On voit alors que

(c(A)c(B)−c(B)c(A))ξ)(U) = (c(B)ξ)(AU)−(c(A)ξ)(BU)

=ξ(BAU)−ξ(ABU) = −(c([A, B])ξ)(U).

De mˆeme pour les autres ´egalit´es.

QED

De mˆeme , le groupe GL(V) agit sur V par transformations lin´eaires g·v =gv. On v´erifie par le mˆeme calcul que le champ de vecteurs

(cV(A)φ)(v) = d

d²φ(exp(²A)v)|^²=0 v´erifie

[c_V(A), c_V(B)] = −c_V([A, B])

o`u `a gauche c’est le crochet de champs de vecteurs, et `a droite c’est le crochet (AB−BA) des matrices.

D’ou la d´efinition, qui n’avait pas l’air ”naturelle”, mais qui en fait l’est : le champ de vecteurs AV associ´e au groupe `a un param`etre g(t) = exp(tA) de transformations (lin´eaires) sur V est la d´erivation

(A_Vφ)(v) = d

dtφ((exp−tA)v)|t=0. On a alors

[AV, BV] = [A, B]V.

Maintenant, siGest un groupe de Lie, on d´efinit l’action adjointe Ad(g) deGsur g, comme la lin´earisation en 1 de l’action de l’action deAd(g)(x) = gxg⁻¹ . On a alors

d

dtAd(exptX))·Y|t=0 = [X, Y].

C’est vrai dans les matrices, car :

Ad(exptX)·Y = exp(tX)Y(exp−tX) =Y +t[X, Y] +· · · ....

On suppose queGagit sur une vari´et´eM. SiX ∈g, on noteXM le champ de vecteurs sur M tel que (XM)m soit tangent en m ∈ M `a la trajectoire exp(−θX)m de m sous l’action du groupe de transformations exp(θX).

On a bien le : Premier th´eor`eme fondamental de Lie

L’applicationX →XM est un homomorphisme de l’alg`ebre de Liegdans l’alg`ebre de Lie Γ(M, T M) :

[X_M, Y_M] = [X, Y]_M.

En effet, on a vu ( cours du 9 fevrier) que exp(tX) v´erifie d

dt(exptX)ξ(exp−tX)|t=0 = [XM, ξ]

pour tout champ de vecteurs ξ. On a donc d

dt(exptX)YM(exp−tX)|^t=0 = [XM, YM]

pourXetY dansg. Ceci est en interpr´etant un champ de vecteurs comme une d´erivation et en d´erivantg(t)ξg(t)⁻¹. Mais sigest un diff´eomoprphisme deM, etξest un champ de vecteurs, on peut aussi calculerg·ξpar (g·ξ)m =g(ξg⁻¹m) et ceci se calcule en calculant l’ action degsur une courbec(²) telle quec(0) = g⁻¹m et tangente `a ξ_g⁻¹_m. Pour calculer le membre de gauche de l’´egalit´e ci- dessus, qui est (exptX)·YM on choisit c(²) = exp(−²Y)(exp−tX)m. Alors

g(t)c(²) = (exptX) exp(−²Y)(exp−tX)m= exp(−²Ad(exptX)Y)·m.

C’est le champ associ´e (Ad(exptX)Y)M au vecteur Ad(exptX)Y de g.

En d´erivant par rapport `at, on a bien la relation voulue, avec les bons signes.

9 Actions libres

Soit G un groupe de Lie d’alg`ebre de Lie g. On suppose que G agit sur une vari´et´eM.