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Sur les orbites d'un sous-groupe sphérique dans la variété des drapeaux

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Academic year: 2022

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(1)

132(4), 2004, p. 543–567

SUR LES ORBITES D’UN SOUS-GROUPE SPH ´ ERIQUE DANS LA VARI´ ET´ E DES DRAPEAUX

par Nicolas Ressayre

esum´e. — Soient Gun groupe alg´ebrique complexe r´eductif et connexe,B un sous-groupe de Borel deGetH un sous-groupe sph´erique deG.

SoitX un plongement G×G-´equivariant deG. Nous savons que B×H n’a qu’un nombre fini d’orbites dansG; nous montrons qu’il n’en a qu’un nombre fini dansX. SoitV l’adh´erence dansXd’une orbite deB×HdansGetOl’adh´erence d’une orbite deG×GdansX. SiXest toro¨ıdal, nous montrons que l’intersectionV∩ Oest propre dans X et la d´ecrivons ensemblistement. Si de plus X est lisse, nous calculons les multiplicit´es d’intersections qui sont des puissances de 2. Enfin, siX est toro¨ıdal, lisse et complet, nous exprimons la classe de cohomologie de V comme une combination lin´eaire des classes d’adh´erence dansXd’orbites deB×BdansG. Nous utilisons la cohomologieB-´equivariante pour obtenir ce dernier r´esultat.

SoitY un plongement lisseG-´equivariant et toro¨ıdal deG/HetOl’adh´erence d’une orbite deGdansY. SoitV l’adh´erence dansY d’une orbite deBdansG/H. Dans [4], apr`es la proposition 6, M. Brion demande si chaque composante irr´eductible deV ∩ O contient des points lisses deV : nous r´epondons n´egativement `a cette question dans la derni`ere partie.

Texte re¸cu le 2 d´ecembre 2002, r´evis´e le 3 novembre 2003, accept´e le 16 juin 2003

Nicolas Ressayre, Universit´e Montpellier II, D´epartement de Math´ematiques, Case cour- rier 051, Place Eug`ene Bataillon, 34095 Montpellier Cedex 5 (France)

E-mail :ressayre@math.univ-montp2.fr

Classification math´ematique par sujets (2000). — 14M15, 14M17, 14C17, 55N91.

Mots clefs. — Plongement de groupes, vari´et´es sph´eriques, adh´erences d’orbites, vari´et´e des drapeaux, cohomologie ´equivariante .

BULLETIN DE LA SOCI ´ET´E MATH ´EMATIQUE DE FRANCE 0037-9484/2004/543/$ 5.00

!c Soci´et´e Math´ematique de France

(2)

Abstract(On the orbits of a spherical subgroup in the flag manifold)

LetGbe a complex reductive algebraic group,Bbe a Borel subgroup ofGandH be a spherical subgroup ofG.

Let X be aG×G-equivariant embedding ofG. We know thatB×H have finitely many orbits inG; we show that it has finitely many ones inX. LetV be the closure inX of a (B×H)-orbit inG, and Obe the closure of a (G×G)-orbit inX. IfX is toro¨ıdal, we show that the intersection V ∩ Ois proper inX and we describe this intersection. If in additionXis smooth, we determine the intersection multiplicities of V∩O, which are powers of 2. IfXis toro¨ıdal, smooth and complete, we write the class of cohomology ofV as a linear combinaison of the classes of the closures inX of the (B×B)-orbits inG. The proof of this last statement usesB-equivariant cohomology.

LetY be a smoothG-equivariant embedding ofG/HandObe the closure of aG-orbit inY. LetV be the closure inY of aB-orbit inG/H. In [4], just after Proposition 6, M. Brion asks if each irreducible component ofV ∩ Ointersects the set of the smooth points inV: we give an example which answers ‘no’ to this question.

1. Introduction

SoientGun groupe alg´ebrique complexe r´eductif et connexe, etB un sous- groupe de Borel de G. SoitH un sous-groupe ferm´e deG. On suppose queH est sph´erique c’est-`a-dire (voir [1]) que l’ensemble H(G/B) des orbites de H dans G/B est fini. Ces orbites et leurs adh´erences jouent un rˆole important en th´eorie des repr´esentations (voir par exemple [20]). Par ailleurs, les classes des adh´erences d’orbites de B dans lesG-vari´et´es sph´eriques (c’est-`a-dire les vari´et´es normales, munies d’une action de G et ne contenant qu’un nombre fini d’orbites de B) sont des g´en´erateurs naturels de la cohomologie de ces vari´et´es, suppos´ees lisses et compl`etes. Il est donc int´eressant de comprendre l’ensemble B(G/H) des orbites de B dans G/H. Ce dernier est en bijection naturelle avecH(G/B).

Fixons un tore maximal T de Ginclus dans B. Si V est une orbite de B dansG/H, on noteV son adh´erence dans G/H. On construit dans [14], [9] et [4] un graphe orient´e Γ(G/H) dont les sommets sont les ´el´ements deB(G/H) et dont les arˆetes, qui peuvent ˆetre simples ou doubles, sont ´etiquet´ees par les racines simples de G. Soit αune racine simple et Pα le sous-groupe parabo- lique minimal de G et contenant B associ´e `a α. Soit V et V! deux orbites de B dansG/H. Une arˆete ´etiquet´ee par αmonte deV `a V! si et seulement siV !=Pα·V =V!. Alors, l’application naturellePα×BV →V!est g´en´erique- ment finie de degr´e 1 ou 2 ; ceci d´etermine si l’arˆete est simple ou double.

Des travaux de M. Brion mais aussi de S. Pin ont montr´e que ce graphe Γ(G/H) apporte des informations sur la lissit´e, la normalit´e, la classe de coho- mologie des adh´erences d’orbites de H dans G/B (voir [3], [4] et [11]). Com- prendre les interactions entre les propri´et´es combinatoires, g´eom´etriques et to- pologiques de l’ensembleH(G/B) est un sujet vaste auquel cet article apporte une modeste contribution.

o

(3)

On consid`ere l’action deG×GsurGpar multiplication `a gauche et `a droite.

L’ensemble B(G/H) est en bijection naturelle avec l’ensemble BH(G) des or- bites deB×H dansG. On utilisera implicitement dans cette introduction les bijections naturelles entre les trois ensembles H(G/B), B(G/H) et BH(G).

On s’int´eresse aux ´el´ements deBH(G) et surtout `a leurs adh´erences dans les plongementsG×G-´equivariant deG. SoitX un tel plongement. Notre premier r´esultat (voir le corollaire 4.7) est le

Th´eor`eme A. — L’ensemble des orbites deB×H dansX est fini.

Lorsque H = B, ce r´esultat ´etait d´ej`a connu puisque plus g´en´eralement, toute vari´et´e sph´erique ne contient qu’un nombre fini d’orbite d’un sous-groupe de Borel. Simultan´ement `a la r´edaction du pr´esent article, T.A. Springer [18] a param´etr´e les orbites de B×B dans le plongement canonique deG(suppos´e semi-simple adjoint). Ici, dans le cas o`uXest toro¨ıdal (voir le paragraphe 4.1.1 pour une d´efinition pr´ecise), nous param´etrons (voir la proposition 4.6) les orbites deB×H dansX.

SoitVGdansBH(G). NotonsVGXl’adh´erence deVGdansX. Nous obtenons des r´esultats sur les sous-vari´et´esVGX d`es que X est toro¨ıdal. Cependant, par soucis de simplicit´e, nous supposons dans l’introduction, queGest semi-simple adjoint et queXest le plongement canonique deG(voir [5]). NotonsZl’unique orbite ferm´ee de G×G dans X. Celle-ci est isomorphe `a G/B×G/B, ou encore `a G/B×G/B o`uB est le sous-groupe de Borel de G contenant T et oppos´e `a B.

Nous avons encore besoin de notations pour ´enoncer nos r´esultats. Soit W le groupe de Weyl de T et U le radical unipotent deB. Pour toutw dansW, on pose Uw=U ∩wU w−1 etBw=B∩wBw−1.

Consid´erons un chemin γ de Γ(G/H) qui monte `a partir du sommet cor- respondant `a VG. Soit VG/B! l’orbite de H dans G/B associ´ee au sommet le plus haut de γ. On noteD(γ) le nombre d’arˆetes doubles le long deγ etw(γ) le produit dans W des r´eflexions simples associ´ees aux ´etiquettes de γ. Le th´eor`eme 4.9 d´ecrit un ouvert de VGX associ´e `a w(γ). Dans le contexte de l’in- troduction, on obtient le

Th´eor`eme B. — On reprend les notations ci-dessus. Alors, il existe un ouvert ΩV,w(γ)de VGX stable parBw(γ)×H et une fibration localement trivialeBw(γ)- invariante et H-´equivarianteψ: ΩV,w(γ)→VG/B! .

De plus, il existe une sous-vari´et´eSV,w(γ)de ΩV,w(γ)stable par T, telle que l’action deUw(γ)induise un isomorphisme deUw(γ)×SV,w(γ)sur la fibre deψ.

Enfin, la vari´et´eSV,w(γ)a2D(γ)composantes irr´eductibles ; chacune est iso- morphe `a l’espace affine de dimension rang deGet intersecteZsuivant l’unique point fixe deB×B dansZ.

(4)

Le th´eor`eme 4.10 d´ecrit l’intersection de VGX et de l’adh´erence d’une orbite deG×GdansX. Dans le cadre de l’introduction, ce dernier implique le

Th´eor`eme C. —Rappelons queZest canoniquement isomorphe `aG/B×G/B.

On a :

1) Les sous-vari´et´esVGX etZ s’intersectent proprement dans X.

2) Les composantes irr´eductibles de VGX ∩ Z sont les adh´erences dans G/B×G/Bdes orbites deB×H

BwB/B×VG/B! ,

telles que w s’´ecrit w(γ) pour un chemin γ dans Γ(G/H)qui monte de VG `a une orbiteVG/B! de H dansG/B.

3) La multiplicit´e de l’intersectionVGX∩Z le long deBw(γ)B/B×VG/B! est 2D(γ).

Sous certaines hypoth`eses, le th´eor`eme 4.13 donne une expression pour la classe [VGX] de cohomologie B× {1}-´equivariante (ou T × {1}-´equivariante) deVGX `a coefficients rationnels. Ici, ceci nous donne le

Th´eor`eme D. — DansHB×{1}(X), on a : [VGX] = !

w=w(γ)

2D(γ)"

Bw1BX# ,

o`u la somme porte sur tous les chemins γ issus deVG.

Remarquons que la formule du th´eor`eme D est valable dans la cohomolo- gie ordinaire H(X) de X. En revanche, la d´emonstration faite en 4.5 utilise fortement la cohomologie ´equivariante.

Consid´erons un plongement lisse G-´equivariant et toro¨ıdalY deG/H etO une orbite deGdansY. SoitV une orbite deB dansG/H. M. Brion demande dans [4], apr`es la proposition 6, si chaque composante irr´eductible deVY ∩ OY contient des points lisses deVY. Nous r´epondons `a cette question par la n´egative dans la derni`ere partie.

En effet, nous consid´erons l’unique orbite ferm´eeV d’un sous-groupe de Borel B dans l’espace homog`ene PSL(4)/PSO(4). SoitY le plongement canonique de PSL(4)/PSO(4) et Z l’unique orbite ferm´ee de PSL(4) dans Y. Le dernier r´esultat (th´eor`eme 5.1 dans le corps du texte) est le

Th´eor`eme E. — Avec les notations ci-dessus, l’intersection Z ∩VY a une composante irr´eductible constitu´ee de points singuliers de VY.

La majeure partie de cet article (les th´eor`emes A, B, C et D) ´etudie les adh´erences d’orbites deB×H dans les plongements deG. Ce travail s’inspire de celui de M. Brion [4] sur les adh´erences d’orbites deB dans les plongements

o

(5)

deG/H. Par exemple, le th´eor`eme B (ou le th´eor`eme 4.9 ci-dessous) est l’ana- logue de la proposition 6 de [4]. On peut remarquer que la description de la vari´et´eSV,w(γ) du th´eor`eme B est plus pr´ecise que celle de la vari´et´eSY,w de M. Brion. Il est par exemple facile de d´eterminer le lieu non lisse (ou non nor- mal) deSV,w(γ). Le th´eor`eme C (ou 4.10) est l’analogue du th´eor`eme 1 de [4].

Avec les notations du th´eor`eme C, une diff´erence notable est qu’ici tous les che- mins dans Γ(G/H) issus deVG interviennent dans la description de VGX∩Z; alors que, dans la situation ´etudi´ee par M. Brion seuls ceux arrivant `a l’orbite ouverte comptent.

J’ai montr´e dans [13] que certains plongements Y de G/H s’obtiennent comme quotient g´eom´etriques parH d’ouverts de plongementsX deG. Ainsi, sous certaines hypoth`eses, les adh´erences d’orbites deB dansY sont des quo- tients g´eom´etriques d’ouverts d’adh´erences d’orbites de B×H dans X. Ceci est un lien explicite entre le travail de M. Brion [4] et cet article. Il est donc permis de penser que ce travail peut aider `a mieux comprendre les adh´erences d’orbites deB dans des plongements de G/H. Ce point de vue m’a conduit `a examiner l’exemple de la section 5.

Remerciements. — Je tiens `a remercier M. Brion pour ses encouragements et sa lecture attentive de versions pr´eliminaires `a cet article. Je voudrais ´egalement remercier S. Pin pour nos nombreuses et utiles discussions.

2. Le graphe associ´e aux orbites de H dans B

2.1. — SoientGun groupe alg´ebrique r´eductif connexe surCetBla vari´et´e des drapeaux de G. Soit H un sous-groupe alg´ebrique de Gqui a une orbite dense dans B; on dit alors que H est sph´erique. Nous nous int´eressons `a l’en- sembleH(B) des orbites deH dans B. En fait, cet ensemble est fini (voir [1], [19] ou [9]).

Rappelons bri`evement comment on construit un graphe dont les sommets sont les ´el´ements de H(B). Le point de vue choisi ici est diff´erent de celui de l’introduction ou de [4]. Il est cependant facile de voir que ces constructions sont ´equivalentes.

Consid´erons l’ensemble ∆ des classes de conjugaison de sous-groupes para- boliques non r´esolubles minimaux deG. Siαappartient `a ∆, on notePαleG- espace homog`ene d’isotropie α. Alors, il existe une unique application

φα:B −→ Pα

qui estG-´equivariante. Remarquons que les fibres deφα sont isomorphes `aP1. SoitVαune orbite deH dansPα et v un point deVα. Chaque orbite deH dans φ−1α (Vα) intersecte φ−1α (v) suivant une orbite du stabilisateur Hv de v dansH. Consid´erons le morphisme

θ:Hv−→Aut$

φα1(v)%

&PSL(2)

(6)

induit par l’action de Hv surφα1(v). Comme l’ensembleH(B) est fini,Hv n’a qu’un nombre fini d’orbites dans φα1(v). Autrement dit, l’image de θ est un sous-groupe sph´erique de Aut(φα1(v)). Il y a quatre possibilit´es :

TypeSL:θ est surjective.

Alors,φ−1α (Vα) est une orbite deH.

TypeT: Imθ est un tore maximal deAut(φα1(v)).

Alors,H a trois orbites dansφα1(Vα) : une ouverte et deux de codimension 1.

TypeN : Imθest le normalisateur d’un tore maximal deAut(φ−1α (v)).

Alors,H a deux orbites dansφ−1α (Vα) : une ouverte et une de codimension 1.

Type U : θ est non surjective et Imθ contient un sous-groupe unipotent non trivial deAut(φα1(v)).

Alors,H a deux orbites dansφ−1α (Vα) : une ouverte et une de codimension 1.

SoitVBune orbite de H dansB.

On dit que α monte VB si VB est strictement inclus dans φα1α(VB)) ; alorsVB est de codimension 1 dansφα1α(VB)).

SiVB! est l’orbite ouverte deH dansφα1α(VB)), on dit queαmonteVB surVB!.

SiαmonteVB, la restriction deφα`aVBest fini. De plus, son degr´ed(VB, α) vaut 1 pour les types T et U et vaut 2 pour le typeN.

2.2. On construit un graphe orient´e Γ(G/H) comme suit :

D´efinition 2.1. — Les sommets de Γ(G/H) sont les ´el´ements de H(B).

Le sommet VB est l’origine d’une arˆete index´ee parαet d’extr´emit´e VB! si et seulement si αmonteVB surVB!. De plus, cette arˆete est simple (resp. double) sid(VB, α) vaut 1 (resp. 2).

D’apr`es ce qui pr´ec`ede, tout graphe Γ(G/H) est construit `a partir des quatre

«briques ´el´ementaires»de la figure 1. Les sommets de chacune de ces briques sont les orbites deH dans la pr´eimage d’une mˆeme orbite deH dansPα. Nous donnons dans la section 5 un exemple de graphe Γ(G/H) ; M. Brion en donne plusieurs autres dans [4].

2.3. Notons H le G-espace homog`ene d’isotropie H. Fixons un sous-groupe de Borel B de G tel que BH est dense dans G (on dira que B est oppos´e

`a H). Notons queB est unique `a conjugaison par un ´el´ement deH pr`es. SiVB appartient `aH(B), on pose :

VH:=&

gH/H:g−1B/B∈VB' .

Alors,VHest une orbite deBdansHet l’applicationVB(→VHest une bijection deH(B) sur l’ensembleB(H) des orbites deB dansH.

o

(7)

TypeSL TypeT TypeN TypeU

α α α α

Figure 1. Briques ´el´ementaires de Γ(G/H).

2.4. SoitT un tore maximal deBetW le groupe de Weyl deT. Toutαdans ∆ a un unique repr´esentantPα contenantB. De plus, il existe un uniquesαdans W tel que BsαB soit dense dans Pα; ce sα est une r´eflexion simple de W.

Enfin, l’application ∆→W, α(→sαest une bijection de ∆ sur l’ensemble des r´eflexions simples de W.

Soient VH dans B(H) et α dans ∆. Le groupe B agit sur Pα×VH par b·(p, v) = (pb1, bv) (avec des notations ´evidentes). Alors le quotient dePα×VH parB existe et est not´ePα×BVH (voir l’annexe 6). On note [p:v] la classe de (p, v) dansPα×BVH sip∈Pα etv∈VH. Consid´erons l’application

πα:Pα×BVH−→ H, [p:v](−→pv.

SoitVH! l’orbite ouverte deB dans l’image deπα. Notons VB etVB! les orbites deH dansBcorrespondant `a VH et VH!. On montre ais´ement queαmonteVB surVB! si et seulement siπαest finie sur son image. Dans ce cas, le degr´e deπα

est d(VB, α). Ceci nous conduit `a poser la d´efinition suivante :

D´efinition 2.2. — Soient VH, VH! dans B(H) et w dans W. On dit que w monte VH surVH! si l’application (propre)

πw:BwB×BVH−→VH!, [p:v](−→pv.

est surjective et g´en´eriquement finie. On noted(VH, w) le degr´e deπw.

3. Orbites deB×H dans G

3.1. On munitG de l’action deG×Gd´efinie par (g1, g2)·g =g1gg21 pour tout g, g1 et g2 dans G. On consid`ere la restriction de cette action `a B×H et on note BH(G) l’ensemble des orbites de B×H dans G. Si VB ∈ H(B), on pose

VG =&

g∈G:g1B/B∈VB' . Alors,VB(→VG est une bijection deH(B) surBH(G).

(8)

3.2. NotonsV l’ensemble des triplets (VB, VH, VG)∈H(B)×B(H)×BH(G) dont les trois composantes co¨ıncident via les bijections des paragraphes 2.3 et 3.1. Par exemple, le triplet V0 := (H ·B/B, B·H/H, BH) est dans V; on l’appelle l’orbite ouverte. SiV est un ´el´ement de V, alors VB (resp.VH et VG) d´esigne la projection deV surH(B) (resp.B(H) etBH(G)). SoitV etV! dans V et w dans W. Nous dirons quew monte V surV! si w monte VH sur VH!. Dans ce cas on posed(V, w) :=d(VH, w).

3.3. Siwappartient `aW, on poseBw:=B∩wBw1. Consid´erons l’applica- tion

η :G−→ B, g(−→g−1B/B.

Soit V et V! dans V et w dans W qui monte V sur V!. Fixons un point v dansVB!. NotonswVG pour (w,1).VG et posons

ΣV,w:=wVG∩η−1(v).

Soit Hv le stabilisateur dev dans H. Alors,Bw×Hv stabilise ΣV,w. En fait, Bw×Hv agit transitivement sur ΣV,w et on a mˆeme le r´esultat plus pr´ecis suivant :

Proposition 3.1. — On a :

1) La vari´et´eΣV,w poss`eded(V, w)composantes irr´eductibles(ou connexes).

Chacune est une orbite de Bw.

2) Le groupeHv agit transitivement sur l’ensemble des composantes irr´educ- tibles de ΣV,w.

3) Le produit fibr´eH×HvΣV,wexiste(voir l’annexe 6). De plus, l’application H×HvΣV,w−→wVG est une immersion ouverte.

D´emonstration. — Il est clair queBw×HvstabilisewVG etη1(v). Il stabilise alors ΣV,w. Posons Ω =η1(H·v)∩wVG. Alors, Ω est ouvert danswVG et la restriction deη `a Ω est un morphismeH-´equivariant de Ω surH·v. De plus, la fibre au-dessus de v est ΣV,w. L’assertion 3) d´ecoule alors du lemme 6.1 en annexe.

Comme Ω est ouvert danswVG,H×HvΣV,w est irr´eductible. On en d´eduit l’assertion 2).

Consid´erons l’application naturelle πw : BwB ×B VH → BwVH. Soit gv

dansGtel queη(gv) =v. Posonsy=gvH/H∈VH! ⊂BwVH. Alors,πw1(y) est form´e ded(V, w) points. Soitw( un repr´esentant dewdansN(T). Consid´erons l’application

ζ: ΣV,w−→πw1(y), g(−→[gvg1w( :w(−1gH/H].

V´erifions queζest bien d´efinie. Comme ΣV,west inclus dansBgv, sigappartient

`a ΣV,walorsgvg1appartient `aB. Ainsi,gvg1w( ∈BwB.

Par ailleurs, ΣV,w est inclus danswVG; doncw(1g∈VG. Alors,w(1gH/H appartient `aVH. Ainsi, [gvg−1w(:w(1gH/H] a bien un sens dansBwB×BVH.

o

(9)

Enfin, πw([gvg1w( : w(−1gH/H]) = gvg1w(w(−1gH/H =y. Ainsi, ζ est bien d´efinie.

Montrons que ζ est surjective. Soient b dans B et x dans VH tels que πw([bw( :x]) =y. Comme wx( = b1y, b1gv appartient `a wVG puis `a ΣV,w. Mais alors,x=w(−1b1y implique [bw( :x] =ζ(b1gv) et la surjectivit´e deζ.

Montrons que les fibres deζsont des orbites deBw. Soientg1etg2dans ΣV,w. Si ζ(g1) =ζ(g2), alors il existebdansB tel que

gvg11wb( =gvg21w,( (1)

b1w(1g1gv1·y = w(1g2gv1·y.

(2)

L’´egalit´e (1) montre queg1g2−1=wb( w(1. Par ailleurs,η(g1) =η(g2). Ainsi, g1g21 appartient `aBw. R´eciproquement, sig1g21 appartient `a Bw alors l’´el´e- mentb=w(−1g1g21w( deB v´erifie les ´egalit´es (1) et (2).

On a montr´e que les fibres deζ sont les orbites deBw dans ΣV,w. Comme Bwest connexe, ceci montre que chaque composante irr´eductible (ou connexe) de ΣV,w est une orbite de Bw. Le fait que ΣV,w poss`eded(V, w) composantes irr´eductibles d´ecoule alors de la surjectivit´e deζ.

4. Orbites deB×H dans les plongements de G 4.1. Pr´eliminaire sur les plongements du groupe

4.1.1. SoitY une vari´et´e normale munie d’une action alg´ebrique deG. SiY est de plus munie d’une immersion ouverte etG-´equivariante deHdansY, on dit queY est unplongement deH. Un plongementY deHest dittoro¨ıdal si tout diviseur irr´eductible stable parB deY qui contient une orbite deGest stable parG. Soit ∆Y la r´eunion des diviseurs de Y stables parBet non parG. Soit PH le stabilisateur dans Gde l’orbite ouverte deB dans Het PHu son radical unipotent. Supposons queY est toro¨ıdal. Alors, il existe un sous-groupe de Levi LH de PH, ne d´ependant que de H, et une sous-vari´et´e ferm´eeS deY −∆Y

stable parLH, tels que l’application

PHu ×S−→Y −∆Y, (p, s)(−→ps

est un isomorphisme. De plus, le sous-groupe d´eriv´e de LH agit trivialement sur S, qui est donc une vari´et´e torique. Enfin, toute orbite de Gdans Y ren- contreS suivant une unique orbite deLH.

Le groupeGmuni de l’action de G×Gd´efinie en 3.3 est unG×G-espace homog`ene sph´erique (et mˆeme sym´etrique). Les plongements de cet espace ho- mog`ene seront simplement appel´esplongements du groupeG. Chacun d’eux ne contient qu’un nombre fini d’orbites deB×B et donc deG×G.

(10)

4.1.2. Nous oublions le sous-groupe sph´eriqueH jusqu’`a la fin de cette sous- section pour nous concentrer sur les plongements toro¨ıdaux du groupeG. Soit X un tel plongement. Le premier r´esultat que nous rappelons d´ecrit la structure locale d’un tel plongement.

Commen¸cons par fixer quelques notations. SoientBetBdeux sous-groupes de Borel oppos´es de G. PosonsT =B∩B. Notons U (resp. U) le radical unipotent deB (resp.B).

SoitOune orbite deG×GdansX. Posons : XO:= &

x∈X : (G×G)·xX⊃ O' , XO,B×B:= &

x∈X : (B×B)·xX ⊃ O' .

Remarquons que XO,B×B contient BB et donc T. Consid´erons l’adh´e- renceSO deT dansXO,B×B. En fait, avec les notations du paragraphe 4.1.1, on aXO,B×B =XO−∆XO etSO =S pourY =XO. Il est montr´e dans [2] la Proposition 4.1. — On a :

1) XO,B×B est un ouvert affine deX. 2) L’application

U×U×SO −→XO,B×B, (u, u, s)(−→(u, u).s est un isomorphisme B×B-´equivariant.

3) Pour toute orbiteO!deG×GdansXO,O!∩SO est une orbite deT×T. 4.1.3. On va maintenant d´ecrire les isotropies dans G×Gdes points deSO. On note X(T) le groupe constitu´e des sous-groupes `a un param`etre de T. Si λ∈ X(T), on pose

P(λ) :=&

g∈G: lim

t→0λ(t)gλ(t1) existe dansG' .

D’apr`es [10], P(λ) est un sous-groupe parabolique de G dont le radical uni- potent est

Pu(λ) =&

g∈G: lim

t0λ(t)gλ(t−1) = 1' .

De plus, P(−λ) est oppos´e `a P(λ) et leur sous-groupe de Levi commun est le centralisateurL(λ) de l’image deλ. Enfin, on pose

∆L(λ) =&(*, *)∈G×G:*∈L(λ)' et on note C(λ) le centre connexe deL(λ).

Remarquons que (d’apr`es la proposition 4.1) SO est un plongement affine et T×T-´equivariant deT dont l’orbite ferm´ee estSO∩ O. Alors, il existe un sous-groupe `a un param`etreλdeT tel quez:= limt→0λ(t) existe et appartient

`aSO∩O. De plus,zne d´epend que deT,BetO; il est appel´ele point base deO. Proposition 4.2. — On a :

1) P(−λ)contientB,

o

(11)

2) l’isotropie dezdansG×Gest le produit semi-direct dePu(λ)×Pu(−λ) et de∆L(λ)·(C(λ)× {1})z.

En particulier, P(−λ) ne d´epend que deOet deB.

La proposition A1 de [3] implique la proposition pr´ec´edente sous des hypo- th`eses sensiblement plus fortes. Cependant, la d´emonstration de [3] s’applique sans changement ici.

4.1.4. Posons

XO,B×G:=$

{1} ×G%

·XO,B×B.

D’apr`es la proposition 4.1,XO,B×Grencontre chaque orbite deG×GdansXO suivant une orbite deB×G. On a alors la

Proposition 4.3. — Il existe une application B×G-´equivariante ψ:XO,B×G−→ B= (B×G)/(B×B).

De plus, la fibre au-dessus de (B/B, B/B) est U ×SO. Enfin, si O! est une orbite de G×G dansXO, chaque fibre de ψ intersecte O! suivant une orbite de B× {1}.

Remarque 4.4. — Comme l’application naturelleG→G/Best une fibration localement triviale, celle de la proposition l’est aussi.

D´emonstration. — Rappelons queηest l’applicationη:G→ B,g(→g−1B/B.

Il est clair que η s’´etend en une application rationnelle deX sur B, B× {1}- invariante et {1} ×G-´equivariante. De plus, d’apr`es la proposition 4.1, la res- triction deη `a XO,B×B est r´eguli`ere. On a mˆeme le diagramme commutatif suivant :

XO

B

,B×B ←−−−−−−

←−−−−−−−−−−−−−−−

←−−−−− ←−−−−−

U×U×SO

η (u,u,s)$→u

uB/B←$u U

Alors, η s’´etend par {1} ×G-´equivariance en une fibration ψ localement triviale de fibreU×SO.

Soit O! une orbite de G×G dans XO. Alors, ψ1(B/B)∩ O! qui vaut ((U× {1})·SO)∩ O! ou encore (U× {1})·(SO∩ O!) est une orbite deB× {1} d’apr`es la proposition 4.1. Soit x ∈ B et g ∈ G tels que g·x =B/B. Alors, ψ−1(x)∩ O! qui vaut (1, g)·(ψ−1(B/B)∩ O!) est une orbite de B× {1}.

(12)

4.2. Orbites de B×H dans une orbite de G×G dans X

4.2.1. Consid´erons `a nouveau un sous-groupe sph´erique H de G et un sous- groupe de BorelB oppos´e `aH. Conservons les notations des propositions 4.1 et 4.2. Posons de plus

P :=P(−λ), Q:=Q(λ), L:=L(λ), C:=C(λ).

Nous allons d´ecrire l’ensembleBH(O) des orbites deB×H dans O. Nous nous int´eressons d’abord `a l’ensembleB(G/P) des orbites deB dansG/P.

Remarquons queT est un tore maximal deB∩L. Notons ΦL l’ensemble des racines de (L, T), Φ+L celles de (B∩L, T) et Φ+ celles de (B, T). Posons

WL=&

w∈W :w·Φ+L ⊆Φ+' .

La d´ecomposition de Bruhat (voir [7] ou [17]) affirme alors que : G/P = )

wWL

BwP/P.

On identifie ainsiWL `aB(G/P) par w(→BwP/P.

Le groupe de Weyl W est engendr´e par les r´eflexions simples associ´ees aux racines simples de (B, T). Si w appartient `a W, on note *(w) et on appelle longueur dewle nombre minimal de r´eflexions simples n´ecessaires pour ´ecrirew comme leur produit. L’interpr´etation g´eom´etrique de cette longueur est :

*(w) = dim(BwP/P), siw∈WL.

Consid´erons l’application canoniqueqPu :P →P/Pu.Remarquons queqPu

induit un isomorphisme de groupes de LsurP/Pu. Nous utiliserons le Lemme 4.5. — Soit w dansWL.

1) Le sous-groupew1Bw contientB∩L.

2) On a :qPu(P∩w1Bw) =qPu(B∩L).

D´emonstration. — 1) Le toreT est inclus dans B∩L et dans w1Bw. Mais alors, comme Φ+L ⊆w1Φ+, l’alg`ebre de Lie deB∩Lest incluse dans celle de w1Bw. OrB∩Lest connexe doncw1BwcontientB∩L.

2) Le groupe qPu(P ∩w1Bw) est r´esoluble puisqueP ∩w1Bw l’est. Or la premi`ere assertion montre que qPu(P ∩w1Bw) contient l’image par qPu

de B∩L. Comme la restriction de qPu `a L est un isomorphisme,qPu(B∩L) est un sous-groupe de Borel deP/Puet la deuxi`eme assertion suit.

4.2.2. L’inclusion de (G×G)z dans P × G induit un morphisme G×G-

´equivariant

p:O=G×G/(G×G)z−→G/P = (G×G)/(P×G).

On v´erifie ais´ement que l’application

q:p1(P/P)−→ B, (*pu, g)·z(−→g*1B/B,

o

(13)

(o`u pu ∈ Pu, * ∈ L et g ∈ G) d´efinit un morphisme {1} ×G-´equivariant de p1(P/P) surB.

Proposition 4.6. — On a :

1) Soit VO ∈ BH(O). Alors, il existe un unique couple (w, V!)∈ WL× V tel que

p(VO) =BwP/P et w−1VO∩p−1(P/P) =q−1(VB!).

2) L’applicationBH(O)→WL× V, VO (→(w, V!)d´efinie par l’assertion1) est une bijection. On notera BHO(w, V!)la pr´eimage de (w, V!).

D´emonstration. — Soit VO ∈ BH(O). L’image de VO par p est une orbite de B dans G/P. Ceci implique l’existence et l’unicit´e de w ∈ WL tel que p(VO) =BwP/P.

De plus,p−1(P/P)∩w−1VO est une orbite de (w−1Bw∩P)×H. Mais alors, l’assertion 2) du lemme 4.5 implique quep1(P/P)∩w1VO est une orbite de (B∩L)×H dansp1(P/P)&(P×G)/(Pu×Qu)·∆L·Cz. L’assertion 1) suit ais´ement.

L’assertion 2) est alors banale.

Corollaire 4.7. — Soit X un plongement du groupe G. Alors, B×H n’a qu’un nombre fini d’orbites dans X.

D´emonstration. — Il est montr´e dans [2] l’existence d’un plongement toro¨ı- dal X* de G et d’un morphisme surjectif et G×G-´equivariant de X* sur X.

Donc, il suffit de montrer le corollaire pourX. Or, la proposition 4.6 s’applique*

`a chaque orbite deG×GdansX* : le corollaire est d´emontr´e.

4.3. Description d’ouverts de VGX

4.3.1. — On se donne deux ´el´ementsV, V!deV etw∈W qui monteV surV!. Rappelons queVGX d´esigne l’adh´erence deVG dansX.

Reprenons les notations du paragraphe 3.3 ; en particulier, v est un point deVB!. Consid´erons l’adh´erence ΣV,w,O de ΣV,w dansXO,B×G. D’apr`es la pro- position 3.1,Hv agit sur ΣV,w,O. Alors, on a le

Lemme 4.8. — Reprenons les notations de la proposition 4.3. Alors, le produit fibr´eH×HvΣV,w,O existe. De plus, l’application naturelleH×HvΣV,w,O →wVGX est une immersion ouverte.

D´emonstration. — Le lemme 6.1 de l’annexe montre ici quewVGX∩ψ1(VB!) est isomorphe `a H×Hv(wVGX∩ψ−1(v)). Il reste `a montrer l’´egalit´e

wVGX∩ψ1(v) = ΣV,w,O.

L’inclusion de ΣV,w,Odans le membre de gauche de l’´egalit´e est ´evidente. SoitC une composante irr´eductible de wVGX∩ψ−1(v). Alors, ({1} ×H)·C est une

(14)

composante irr´eductible de wVGX∩ψ1(VB!). Commeψ(wVGX) est inclus dans l’adh´erence deVB!1(VB!)∩wVGX est ouvert danswVGX. En particulier, toutes les composantes irr´eductibles deψ−1(VB!)∩wVGXrencontrent l’orbite ouverteG.

Donc ({1} ×H)·C rencontreG. Mais alors,C rencontre G∩ψ−1(v). On en d´eduit queC est inclus dans ΣV,w,O.

4.3.2. — On veut maintenant d´ecrire plus en d´etail la g´eom´etrie de ΣV,w,O. Rappelons queUw d´esigne le groupeU∩wU w1.

Soitg dansGtel que g·B/B =v. Rappelons que la multiplication induit un isomorphismeT-´equivariant du produit Uw×(U∩wUw1) surU. Alors, la proposition 4.3 montre que l’application

Θ :Uw×(U∩wUw1)×SO−→ψ1(v), (u1, u2, s)(−→(u1u2, g)·s, est un isomorphismeT× {1}-´equivariant. Posons

SV,w,O:= ΣV,w,O∩$(U∩wUw1, g)·SO% .

Il est clair que l’action deBwsur ΣV,winduit une action deTsurSV,w,O. Notons φV,w : ψ1(v) → SO l’application T-´equivariante d´efinie par le diagramme commutatif suivant :

Uw×(U∩wUw1)×SO (u1,u2,s)"−→s SO

Θ

φV,w

ψ1(v)

← −−

− −−

− −−

− −−

←−−−−− ← −−−− −−−− −−−− −−−− −−−− −

Th´eor`eme 4.9. — Avec les notations ci-dessus, on a :

1) ΣV,w,O est isomorphe commeBw-vari´et´e `a Uw×SV,w,O. En particulier, SV,w,O poss`eded(V, w)composantes irr´eductibles.

2) Si w1 appartient `a WL (avec les notations du paragraphe 4.2.1), alors SV,w,O∩ O=SO∩ O. En particulier,SV,w,O∩ O est irr´eductible.

3) La restriction de φV,w `a toute composante irr´eductible de SV,w,O est un isomorphisme T-´equivariant surSO.

D´emonstration. — La premi`ere assertion r´esulte imm´ediatement de l’inva- riance parBw de ΣV,w.

Soit S1V,w,O une composante irr´eductible de SV,w,O. Toute composante ir- r´eductible de ΣV,w,O est l’adh´erence d’une orbite de Bw dans G. Mais alors, l’assertion 1) montre queSV,w,1 Oest l’adh´erence dansSV,w,O d’une orbite deT dansG. On en d´eduit qu’il existeudansU∩wUw−1tel que (T × {1})·(u, g) soit dense dansSV,w,1 O(o`ugest l’´el´ement deGutilis´e dans la d´efinition de Θ).

Fixons un telu.

L’intersectionSV,w,1 O∩ Oest incluse dansUw·(SO∩ O). On en d´eduit que tout point deSV,w,1 O∩ Oest de la forme limt0λ(t)·u, pour un sous-groupe `a

o

(15)

un param`etreλdeT tel que limt→0λ(t) existe et appartient `a SO∩ O. Alors, Lest le centralisateur de l’image deλ(voir la proposition 4.2).

Supposons quew1appartient `aWL. Alors, Φ+Lest inclus dansw·Φ+. Donc, siαappartient `a Φ+L alorsw1αn’appartient pas `a Φ. Ainsi, Φ+∩wΦ est inclus dans Φ+ et ne rencontre pas Φ+L. On en d´eduit que Uw est inclus dans le radical unipotentQu(λ) deQ(λ). Or on a

Qu(λ) =&

g∈G: lim

t0λ(t)gλ(t−1) = 1' .

On en d´eduit que limt0λ(t)·u= limt0λ(t) appartient `a SO ∩ O. L’asser- tion 2) est d´emontr´ee.

D’apr`es la th´eorie des plongements des espaces homog`enes sph´eriques (voir [8] ou [2]), il existe un plongement toro¨ıdal X! de G contenant XO et dont l’unique orbite ferm´ee Z est projective. Il suffit alors de montrer l’assertion 3) lorsqueO=Z est projective.

Consid´erons `a nouveau une composante irr´eductible SV,w,O1 deSV,w,O et la restrictionφV,w:SV,w,O1 →SO deφV,w. L’applicationφV,w est T-´equivariante et dominante. De plus, commeSV,w,1 O rencontreG,SV,w,1 O contient un ouvert isomorphe `aT etφV,w est birationnelle.

Consid´erons l’unique point z0 de SO ∩ Z. Alors, φV,w1(z0) est inclus dansSV,w,1 O∩Z. Mais alors, l’assertion 2) montre queφV,w1(z0) ={z0}. On en d´eduit queφV,w:SV,w,1 O →SO est un isomorphisme.

4.4. Intersection de VGX et d’une orbite deG×Gdans X

On conserve les notations de la sous-section pr´ec´edente. On noteOX l’adh´e- rence de O dans X. Dans cette sous-section, nous d´eterminons l’intersection OX∩VGX. Nous utilisons la notationBHO(w, V!) de la proposition 4.6.

Th´eor`eme 4.10. — L’intersection OX∩VGX est propre (i.e. sa codimension dansX est la somme de celles de Oet deVG). De plus, on a

OX∩VGX=+

BHO(w, V!)X,

o`u la r´eunion porte sur les couples (w, V!)∈ WL× V tels que w−1 monte V surV!. Si de plusX est lisse, la multiplicit´e d’intersection deOX∩VX le long de BHO(w, V!)X estd(V, w1).

D´emonstration. — SoitC une composante irr´eductible deVGX∩ OX qui ren- contre O. Comme C est stable par B×H, la proposition 4.6 montre qu’il existe w dans WL et V! dans V tels que C soit l’adh´erence de BHO(w, V!) dansX.

(16)

Consid´erons la fibration ψ : XO,B×G → B d´efinie par la proposition 4.3.

Il est clair queψ(w1VGX) est inclus dansVG1wB/B. Mais alors,VB! est inclus dansVG1wB/B.

Par ailleurs, la codimension deCdansOest ´egale `a la somme de la longueur dewet de la codimension deVB! dansB. CommeCest une composante irr´educ- tible deVGX∩ OX, cette codimension est inf´erieure ou ´egale `a celle deVG dans G, c’est-`a-dire celle deVB dansB. On en d´eduit queVB! est l’orbite ouverte de H dansVG1wB/B et quew1 monteV surV!. De plus, on a :

(3) dim(OX)−dim(C) = dim(X)−dim(VGX).

SoitC!une composante irr´eductible quelconque deVGX∩OX. Alors, il existe une orbiteO!deG×GdansOXtelle queC!∩O! soit un ouvert non vide deC!. L’´egalit´e (3) appliqu´ee `aO! etC! montre queO=O!.

Ainsi, on a montr´e que l’intersectionVGX∩OXest propre et que toute compo- sante irr´eductible de cette intersection est l’adh´erence dansX deBHO(w, V!) pour un ´el´ementwdansWLqui monte V surV!.

R´eciproquement, soit w ∈ WL et V! dans V tels que w monte V sur V!. Notons OB×G l’orbite ouverte de B×G dans O. Consid´erons l’application p: O →G/P d´efinie au paragraphe 4.2.2. Montrons que p(OB×G∩w1VGX) et w1BwP/P ont la mˆeme adh´erence dansG/P.

Comme ({1}×H)·ΣV,w−1est ouvert dansw1VGetpest{1} ×G-invariante, les adh´erences de p(w−1VGX ∩ OB×G) et de p(ΣV,w1,O∩ OB×G) dans G/P co¨ıncident. Or,p(ΣV,w−1,O∩OB×G) est ´egal `a (U∩w1U w)·p(SV,w−1,O∩OB×G) qui est ´egal `a (U∩w−1U w)·p(SO∩OB×G) d’apr`es l’assertion 3) du th´eor`eme 4.9.

On en d´eduit que

p(w1VGX∩ OB×G) =w1BwP/P .

La proposition 4.6 montre alors qu’il existe une composante irr´eductibleCde VGX∩OXde la formeBHO(w, V!!)X, pourV!!dansV. Mais alors, le d´ebut de la d´emonstration montre queV!!=V!. Ainsi,BHO(w, V!)X est une composante irr´eductible deVGX∩ OX.

De plus, au voisinage de BHO(w, V!), l’application ψ induit un isomor- phisme d’un ouvert dew1VGX sur un produit fibr´e dont la fibre est ΣV,w1,O. Mais alors, la multiplicit´e de VGX ∩ OX le long de BHO(w, V!)X est ´egale `a celle de ΣV,w−1,O∩ OX. D’apr`es le th´eor`eme 4.9 (assertions 2 et 3), cette multi- plicit´e est celle deSV,w−1,O∩ OX le long deSO∩ OX. Si de plusX est lisse, la proposition 4.1 montre queSO est lisse. Mais alors, le th´eor`eme 4.9 montre que chacune des d(V, w1) composantes irr´eductibles de SV,w−1,O est lisse. On en d´eduit que la multiplicit´e deSV,w−1,O∩ OX le long deSO∩ OX estd(V, w−1) puis le th´eor`eme.

o

(17)

Corollaire 4.11. — Supposons queX est lisse et toro¨ıdal. SoitC une com- posante irr´eductible de VGX∩ OX. Alors, se valent :

1) L’ouvert des points lisses deVGX rencontre C.

2) L’intersection VGX∩ OX est transverse le long de C.

D´emonstration. — Il suffit de montrer que si la multiplicit´e de l’intersection VGX∩OXle long deCest sup´erieure ou ´egale `a 2, alorsCest constitu´e de points singuliers de VGX. Soit w dansW et V! dansV tels que l’orbite BHO(w, V!) est ouverte dans C. Alors, la vari´et´e ΣV,w,O a au moins deux composantes irr´eductibles qui se rencontrent dans C. Mais alors, le corollaire d´ecoule du lemme 4.8.

4.5. Classe de cohomologie B× {1}-´equivariante de VGX

4.5.1. — Dans cette sous-section, nous fixons un plongementX toro¨ıdal com- plet et lisse de G. Rappelons queB est un sous-groupe de Borel de Goppos´e

`aH, queBest un sous-groupe de Borel deGoppos´e `aB, queT ´egaleB∩B et enfin queV appartient `aV. Le th´eor`eme 4.13 ci-dessous donne une expression pour la classe de cohomologieB× {1}-´equivariante deVGX.

SiY est une vari´et´e munie d’une action deB, on note HB(Y) (resp. HT(Y)) l’alg`ebre de cohomologie B-´equivariante (resp.T-´equivariante) de Y `a coeffi- cients rationnels (voir [6] pour une d´efinition). Comme l’applicationB→B/T est une fibration triviale dont la fibre est un espace affine, HB(Y) et HT(Y) sont canoniquement isomorphes. Dans la suite de cette section nous travaille- rons avec la cohomologieT-´equivariante.

La proposition 4.2 montre que les orbites ferm´ees de G×G dans X sont isomorphes `aB × B. Elle implique aussi que les points fixes deT× {1}dansX appartiennent tous `a des orbites ferm´ees deG×GdansX. Ces deux propri´et´es deXet le th´eor`eme de localisation en cohomologieT-´equivariante (voir [6]) sont les ingr´edients essentiels de la preuve du th´eor`eme 4.13 ci-dessous.

D’apr`es la formule de K¨unneth, on a

HT×{1}(B × B) = HT(B)⊗H(B).

Nous utiliserons ´egalement le fait que HT(B) est un HT(pt)-module libre (voir [6]).

Rappelons que V0= (H·B/B, B·H/H, BH)∈ V d´esigne l’orbite ouverte.

4.5.2. — Avec les notations ci-dessus, on a le

Lemme 4.12. — SoitZ une orbite ferm´ee de G×GdansX. Posons

c= !

wW wmonteVsurV0

d(V, w)"

Bw−1BX# ,

dansHT×{1}(X). Alors, dansHT×{1}(X), on a[VGX]∪[Z] =c∪[Z].

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