LMPrépa 2016/2017 Maxime MONTERDE et Nathan LOUDJANI
I) Les intégrales à paramètres
Sif : R×E −→ R est continue sur son ensemble de définition alors la fonctionΦ (t, x) 7−→ f(t, x)
définie surA⊂E parΦ : A⊂E −→ R est une fonction continue surA
x 7−→
ˆ b a
f(t, x)dt Théorème
Preuve :
Soitf : R2 −→ R définie et continue sur[a, b]×I aveca≤b etI intervalle ouvert deR. (t, x) 7−→ f(t, x)
Soit la fonction ∂f
∂x : R2 −→ R
(t, x) 7−→ ∂f(t,x)∂x
On suppose que cette fonction est elle aussi définie et continue sur [a, b]×I i.e. f est C1. Alors la fonctionΦest de classeC1sur l’intervalleI et on a
Φ0(x) = ˆ b
a
∂f(t, x)
∂x dt Théorème
Preuve :
SoitE unR-espace vectoriel normé de dimensionn >0 Soitf : [a, b[×A⊂R×E −→ R
(t, x) 7−→ f(t, x)
On suppose quef est définie, continue sur[a, b[×AavecAun sous ensemble deE et a < b.
Considérons l’intégrale généralisée ˆ b
a
f(t, x)dt
— si pourxfixe, l’intégrale est convergente, on dit qu’elle converge simplement.
On parle de convergence simple
— si pour toutxl’intégrale est convergente, on dit qu’elle converge uniformément.
On, parle de convergence uniforme Définition
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Soitf : [a, b[×A⊂R×E −→ R(ouC) (t, x) 7−→ f(t, x) On suppose f définie et continue.
Si il existe g : R → R+ définie, continue et positive sur [a, b[ telle que ∀(t, x),|f(t, x)| ≤ g(t) et tel que
ˆ b a
g(t)dtest un intégrale généralisée convergente, alors l’intégrale généralisée´b
a f(t, x)dtconverge uniformément.
Théorème(Critère de convergence uniforme ou de domination uniforme)
Preuve :
Soitf : [a, b[×A⊂R×E −→ R(ouC) (t, x) 7−→ f(t, x)
On suppose quef est définie et continue sur[a, b[×A On suppose quef se réécritf =g×havec
— pour chaquexfixé, la fonctiong:t7→g(t, x)est positive, décroissante et tend vers 0.
— la famille de fonctiong:t7→g(t, x)converge uniformément vers la fonction nulle
— hest continue sur[a, b[×Aet∃M >0,∀x∈[a, b[,∀x∈A,
ˆ x2 x1
h(t, x)dt
≤M
Alors l’intégrale généralisée ˆ b
a
f(t, x)dt= ˆ b
a
g(t, x)h(t, x)dtconverge uniformément Théorème(d’Abel uniforme)
Preuve :
Soient a < betA⊂E, avec E unR-espace vectoriel normé de dimensionn >0.
Soitf : [a, b[×A⊂R×E −→ R(ouC) définie et continue sur[a, b[×A (t, x) 7−→ f(t, x)
SoitΦ : A⊂E −→ R(ouC)
x 7−→ Φ(x) =
ˆ b a
f(t, x)dt
Si l’intégrale généralisé ˆ b
a
f(t, x)dt converge uniformément, la fonctionΦest continue surA Théorème
Preuve :
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Soient a < betI un intervalle ouvert deR
Soitf :R2→R(ouC) définie et continue sur [a, b[×I SoitΦ : A⊂E −→ R
x 7−→ Φ(x) =
ˆ b a
f(t, x)dt
Si l’intégrale généralisée ˆ b
a
f(t, x)dtconverge Si la fonction ∂f
∂x : [a, b[×I −→ R existe et est continue sur[a, b[×I et si l’intégrale (t, x) 7−→ ∂f(t,x)∂x
généralisée ˆ b
a
∂f(t, x)
∂x dtconverge uniformément AlorsΦest de classeC1 surI et∀x∈I,Φ0(x) =
ˆ b a
∂f(t, x)
∂x dt Théorème
Preuve :
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