Cours-TD Probabilités Statistiques

S3

25 Novembre 2020

Cours-TD Probabilités Statistiques

Deux variables aléatoires de même espérance peuvent avoir des comportements très diérents. An de mieux comprendre et décrire une variable aléatoire, nous allons introduire la notion de variance.

Dénition 43

SoitX une variable aléatoire et (Ω,P) un espace de probabilités.

On dénit la variance deX, notée varP(X) comme :

varP(X) =EP[(X−EP[X])²] =EP[X²]−(EP[X])². La déviation standard deX, notéeσ(X) est dénie par

σ(x) =p

var(X).

Dénition 43

SoitX une variable aléatoire et (Ω,P) un espace de probabilités.

On dénit la variance deX, notée varP(X) comme :

varP(X) =E_P[(X−E_P[X])²] =E_P[X²]−(E_P[X])². La déviation standard deX, notéeσ(X) est dénie par

σ(x) =p

var(X).

On considère à nouveau un dé à 6 faces (numérotées de 1 à 6) avec un lancé équiprobable. On aE[X] = 7

2. Par ailleursE[X²] = 91 6 . On a donc var(X) = 91

6 −49 4 = 35

12 ≈2.9.

Par ailleursσ(X) = q35

12 ≈1.7.

Exercice 44

Calculer la variance et la déviation standard dans le cas de l'exemple du jeu de Belote.

Ωest un jeu de 32 cartes, on peut dénir la variable aléatoireY (des points à la belote) qui

Associe 20 au valet de pique, Associe 14 au 9 de pique,

Associe 11 à chaque as et 10 à chaque 10,

Associe 4 à chaque roi, 3 à chaque dame et 2 aux valets (autre que pique),

Associe 0 aux autres cartes.

Exercice 44

Calculer la variance et la déviation standard dans le cas de l'exemple du jeu de Belote.

On avait trouvé dans l'exercice 31 queE(Y) = 19

4 =4,75.

E(Y²) =

20²+14²+11²×4+10²×4+4²×4+3²×4+2²×3+0²×11

32 =

1592

32 =49,75 Donc var(X) = 1592

32 −361 16 = 435

16 ≈27,2.

Par ailleursσ(X) = q435

16 ≈5,2.

Proposition 45

SiX et Y sont deux variables aléatoires indépendantes, alors var(X +Y) =var(X) +var(Y).

Proposition 46 : Inégalité de Chebyshev SoitX une variable aléatoire. Pour tout a>0,

P(|X −E[X]| ≥a)≤ var(X) a² .

Cette inégalité permet de majorer la probabilité qu'une variable aléatoire s'écarte fortement de la moyenne.

Proposition 46 : Inégalité de Chebyshev SoitX une variable aléatoire. Pour tout a>0,

P(|X −E[X]| ≥a)≤ var(X) a² .

Exercice 47

On considère le lancé d'un dé. En utilisant l'inégalité de Chebychev, majorer la probabilité que le dé fasse 1 ou 6.

Proposition 46 : Inégalité de Chebyshev SoitX une variable aléatoire. Pour tout a>0,

P(|X −E[X]| ≥a)≤ var(X) a² .

Exercice 47

On considère le lancé d'un dé. En utilisant l'inégalité de Chebychev, majorer la probabilité que le dé fasse 1 ou 6.

P(|X −3.5| ≥2)≤

3512

2² = 35

48 ≈0,73

SoitX une variable aléatoire. Pour tout a>0, P(|X −E[X]| ≥a)≤ var(X)

a² . Exercice 48

On reprend les données de l'exercice 39 :

On considèren lancés de dés (à 6 faces) et, à chaque fois une variable aléatoireXi qui vaut 1 si le résultat du dé est 6 et 0 sinon.

On considère aussi la variable aléatoireX du nombre de dés qui ont fait 6.

1 Que vaut var(X_i)?

2 Que vaut var(X) (les variables sont indépendantes) ?

3 Justier queX ≥ ³₄ⁿ ⇐⇒ |X−ⁿ₆| ≥ ⁷₁₂ⁿ.

4 En utilisant l'inégalité de Chebychev montrer que P(X ≥3n/4)≤ ^0._n⁴¹.

Exercice 48

On reprend les données de l'exercice 39 :

On considèren lancés de dés (à 6 faces) et, à chaque fois une variable aléatoireXi qui vaut 1 si le résultat du dé est 6 et 0 sinon.

On considère aussi la variable aléatoireX du nombre de dés qui ont fait 6.

1 Que vaut var(X_i)?

2 Que vaut var(X) (les variables sont indépendantes) ?

3 Justier queX ≥ ³₄ⁿ ⇐⇒ |X−ⁿ₆| ≥ ⁷₁₂ⁿ.

4 En utilisant l'inégalité de Chebychev montrer que P(X ≥3n/4)≤ ^0._n⁴¹.

1) var(Xi) =E[X_i²]−(E[X_i])²= 1 6 − 1

36 = 5 36

On considèren lancés de dés (à 6 faces) et, à chaque fois une variable aléatoireXi qui vaut 1 si le résultat du dé est 6 et 0 sinon.

On considère la variable aléatoireX du nombre de dés qui ont fait 6.

1 Que vaut var(X_i)?

2 Que vaut var(X) (les variables sont indépendantes) ?

3 Justier queX ≥ ³₄ⁿ ⇐⇒ |X−ⁿ₆| ≥ ⁷₁₂ⁿ.

4 En utilisant l'inégalité de Chebychev montrer que P(X ≥3n/4)≤ ^0._n⁴¹.

1) var(Xi) =E[X_i²]−(E[X_i])²= 1 6 − 1

36 = 5 36 2)X =

n

X

i=1

X_i;E[X] = n

6 et var(X) =

n

X

i=1

var(X_i) car les variables sont indépendantes. Donc var(X) = 5n

36

Exercice 48

On considèren lancés de dés (à 6 faces) et, à chaque fois une variable aléatoireX_i qui vaut 1 si le résultat du dé est 6 et 0 sinon.

On considère la variable aléatoireX du nombre de dés qui ont fait 6.

1 Que vaut var(X_i)?

2 Que vaut var(X) (les variables sont indépendantes) ?

3 Justier queX ≥ ³₄ⁿ ⇐⇒ |X−ⁿ₆| ≥ ⁷₁₂ⁿ.

4 En utilisant l'inégalité de Chebychev montrer que P(X ≥3n/4)≤ ^0._n⁴¹.

2)var(X) = 5n

3)X ≥ ³₄ⁿ ⇐⇒36 X−ⁿ₆ ≥ ³₄ⁿ−ⁿ₆ = ⁷₁₂ⁿ.

On considèren lancés de dés (à 6 faces) et, à chaque fois une variable aléatoireXi qui vaut 1 si le résultat du dé est 6 et 0 sinon.

On considère la variable aléatoireX du nombre de dés qui ont fait 6.

1 Que vaut var(Xi)?

2 Que vaut var(X) (les variables sont indépendantes) ?

3 Justier queX ≥ ³₄ⁿ ⇐⇒ |X−ⁿ₆| ≥ ⁷₁₂ⁿ.

4 En utilisant l'inégalité de Chebychev montrer que P(X ≥3n/4)≤ ^0._n⁴¹.

4) Inégalité de Chebychev :P(|X −E[X]| ≥a)≤ ^var_a^(X₂ ⁾. Ici :P(|X −ⁿ₆| ≥ ⁷₁₂ⁿ)≤

5n 36

(⁷₁₂ⁿ)².

⇐⇒ P(X ≥ ³₄ⁿ)≤ ₄₉²⁰_n ≈ ^0,_n⁴¹.

Merci de votre attention,

bonne n de journée et la semaine prochaine ! !