Cours-TD Probabilités Statistiques

Cours-TD Probabilités Statistiques

S3

4 Novembre 2020

Cours-TD Probabilités Statistiques

Espérance d'une variable aléatoire

Rappels

Espérance d'une variable aléatoire

Rappels

1.X peut prendre les valeurs 2 ; 3 et −4.

x_i 2 3 -4

P(X =x_i) 3 6 = 1

2 1 6

2 6 = 1

3

Espérance d'une variable aléatoire

Rappels

1.X peut prendre les valeurs 2 ; 3 et −4.

xi 2 3 -4

P(X =x_i) 3 6 = 1

2 1 6

2 6 = 1

3 2.E(x) =2×1

2+3×1

6+ (−4)×1 3 = 1

6 ≈0,17

Retour à l'exercice 32

Première partie

On considèreΩ ={1, . . . ,6} × {1, . . . ,6} avec équiprobabilité, et la variable aléatoireX((x,y)) =x+y (cela correspond au résultat du lancer de deux dés à six faces distincts). Calculer l'espérance deX.

Retour à l'exercice 32

Première partie

On considèreΩ ={1, . . . ,6} × {1, . . . ,6} avec équiprobabilité, et la variable aléatoireX((x,y)) =x+y (cela correspond au résultat du lancer de deux dés à six faces distincts). Calculer l'espérance deX.

x_i 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

P(X =x_i)

Retour à l'exercice 32

Première partie

On considèreΩ ={1, . . . ,6} × {1, . . . ,6} avec équiprobabilité, et la variable aléatoireX((x,y)) =x+y (cela correspond au résultat du lancer de deux dés à six faces distincts). Calculer l'espérance deX.

x_i 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

P(X =x_i) 1 36

2 36

3 36

4 36

5 36

6 36

5 36

4 36

3 36

2 36

1 36

Retour à l'exercice 32

Première partie

On considèreΩ ={1, . . . ,6} × {1, . . . ,6} avec équiprobabilité, et la variable aléatoireX((x,y)) =x+y (cela correspond au résultat du lancer de deux dés à six faces distincts). Calculer l'espérance deX.

x_i 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

P(X =xi) 1 36

2 36

3 36

4 36

5 36

6 36

5 36

4 36

3 36

2 36

1 36 E(X) =7

Fin de l'exercice 32

Deuxième partie

Ω ={1, . . . ,6} × {1, . . . ,6} avec équiprobabilité. On considère maintenant la variable aléatoireY((x,y)) = max{x,y}(cela correspond à garder la valeur la plus forte des deux dés). Quelle l'espérance deY?

Fin de l'exercice 32

Deuxième partie

Ω ={1, . . . ,6} × {1, . . . ,6} avec équiprobabilité. On considère maintenant la variable aléatoireY((x,y)) = max{x,y}(cela correspond à garder la valeur la plus forte des deux dés). Quelle l'espérance deY?

xi 1 2 3 4 5 6

P(X =xi)

Fin de l'exercice 32

Deuxième partie

Ω ={1, . . . ,6} × {1, . . . ,6} avec équiprobabilité. On considère maintenant la variable aléatoireY((x,y)) = max{x,y}(cela correspond à garder la valeur la plus forte des deux dés). Quelle l'espérance deY?

xi 1 2 3 4 5 6

P(X =x_i) 1 36

3 36

5 36

7 36

9 36

11 36

Fin de l'exercice 32

Deuxième partie

Ω ={1, . . . ,6} × {1, . . . ,6} avec équiprobabilité. On considère maintenant la variable aléatoireY((x,y)) = max{x,y}(cela correspond à garder la valeur la plus forte des deux dés). Quelle l'espérance deY?

x_i 1 2 3 4 5 6

P(X =xi) 1 36

3 36

5 36

7 36

9 36

11 36 E(X) = 161

36 ≈4,5

Espérance

Proposition 33

SoientX etY deux variables aléatoires d'espérance nie, on a E[X +Y] =E[X] +E[Y].

Espérance

Exercice 34

En utilisant la proposition 33, reprendre la première question de l'exercice 34 :

On considèreΩ ={1, . . . ,6} × {1, . . . ,6} avec équiprobabilité, et la variable aléatoireX((x,y)) =x+y (cela correspond au résultat du lancer de deux dés à six faces distincts). Calculer l'espérance deX.

Espérance

Proposition 35

SoitX une variable aléatoire et c ∈R, on a :E[cX] =cE[X].

Si on multiplie par 3 le résultats d'un dé, en moyenne on obtiendra trois fois la moyenne du dé, ce qui est assez intuitif.

Espérance

Exercice 36

On considère une classe de 20 étudiants ayant eu une moyenne de 09/20 à un examen (les notes sont toutes entre 0 et 20).

Si l'on somme toutes les notes des étudiants, combien de points obtient-on ?

Combien d'étudiants, au plus, ont eu plus de 18/20 ?

Si on tire au sort un étudiant, quelle est au plus la probabilité qu'il ait eu plus de 18/20 ?

Espérance

Exercice 36

On considère une classe de 20 étudiants ayant eu une moyenne de 09/20 à un examen (les notes sont toutes entre 0 et 20).

Si l'on somme toutes les notes des étudiants, combien de points obtient-on ?

Combien d'étudiants, au plus, ont eu plus de 18/20 ?

Si on tire au sort un étudiant, quelle est au plus la probabilité qu'il ait eu plus de 18/20 ?

20×9=180

Espérance

Exercice 36

On considère une classe de 20 étudiants ayant eu une moyenne de 09/20 à un examen (les notes sont toutes entre 0 et 20).

Si l'on somme toutes les notes des étudiants, combien de points obtient-on ?

Combien d'étudiants, au plus, ont eu plus de 18/20 ?

Si on tire au sort un étudiant, quelle est au plus la probabilité qu'il ait eu plus de 18/20 ?

20×9=180 donc il y a au plus 10 étudiants qui ont eu plus de 18/20.

Espérance

Exercice 36

On considère une classe de 20 étudiants ayant eu une moyenne de 09/20 à un examen (les notes sont toutes entre 0 et 20).

Si l'on somme toutes les notes des étudiants, combien de points obtient-on ?

Combien d'étudiants, au plus, ont eu plus de 18/20 ?

Si on tire au sort un étudiant, quelle est au plus la probabilité qu'il ait eu plus de 18/20 ?

P(X >18)6 10 20 = 1

2 = 9 18

Espérance

Proposition 37 : Inégalité de Markov

SoitX une variable aléatoire positive, pour touta>0, on a P(X ≥a)≤ E[X]

a .

Espérance

Proposition 37 : Inégalité de Markov

SoitX une variable aléatoire positive, pour touta>0, on a P(X ≥a)≤ ^E[X_a ^].

Considérons par exemple un dé à 6 faces et la variable aléatoire associée (valeur de la face). L'inégalité de Markov donne, pour a=4,

P(X ≥4)≤ E[X] 4 = 7/2

4 =7/8.

Considérons maintenant le lancé successif den dés à 6 faces, chaque variable aléatoire associée estX_i. On pose X =P

X_i, qui est la somme des résultats des dés. On a

P(X ≥5n)≤ E[X]

5n = E[P X_i]

5n =

PE[X_i]

5n = 7n/2 5n = 7

10. Il y a moins de sept chances sur 10 que la somme den dé dépasse 5n.

Espérance

Exercice 38

En reprenant l'exemple du jeu de Belote, appliquer l'inégalité de Markov pour majorerP(X ≥10). Que vaut cette probabilité exactement ; comparer.

Ωest un jeu de 32 cartes, on peut dénir la variable aléatoireY (des points à la belotte) qui

Associe 20 au valet de pique, Associe 14 au 9 de pique,

Associe 11 à chaque as et 10 à chaque 10,

Associe 4 à chaque roi, 3 à chaque dame et 2 aux valets (autre que pique),

Associe 0 aux autres cartes.

Espérance

Exercice 38

En reprenant l'exemple du jeu de Belote, appliquer l'inégalité de Markov pour majorerP(X ≥10). Que vaut cette probabilité exactement ; comparer.

P(X >10)6 E[X]

10 = 4,75

10 =0,475

Espérance

Exercice 38

En reprenant l'exemple du jeu de Belote, appliquer l'inégalité de Markov pour majorerP(X ≥10). Que vaut cette probabilité exactement ; comparer.

P(X >10) =P(X =10) +P(X =11) +P(X =14) +P(X = 20) = 10

32 =0,3125

Espérance

Exercice 39

On considèren lancés de dés (à 6 faces) et, à chaque fois une variable aléatoireX_i qui vaut 1 si le résultat du dé est 6 et 0 sinon.

On considère aussi la variable aléatoireX du nombre de dés qui ont fait 6.

1 Exprimer X en fonction des X_i.

2 Que vaut E[X_i]? En déduire E[X].

3 Utiliser l'inégalité de Markov pour majorer la probabilité que 3/4 des dés aient fait un 6.

Espérance

Exercice 39

On considèren lancés de dés (à 6 faces) et, à chaque fois une variable aléatoireXi qui vaut 1 si le résultat du dé est 6 et 0 sinon.

On considère aussi la variable aléatoireX du nombre de dés qui ont fait 6.

1 Exprimer X en fonction des X_i.

2 Que vaut E[X_i]? En déduire E[X].

3 Utiliser l'inégalité de Markov pour majorer la probabilité que 3/4 des dés aient fait un 6.

1)X =

n

X

i=1

X_i

Espérance

Exercice 39

On considèren lancés de dés (à 6 faces) et, à chaque fois une variable aléatoireX_i qui vaut 1 si le résultat du dé est 6 et 0 sinon.

On considère aussi la variable aléatoireX du nombre de dés qui ont fait 6.

1 Exprimer X en fonction des X_i.

2 Que vaut E[X_i]? En déduire E[X].

3 Utiliser l'inégalité de Markov pour majorer la probabilité que 3/4 des dés aient fait un 6.

1)X =

n

X

i=1

Xi

2)E[X_i] = 1

6 donc E[X] = n 6

Espérance

Exercice 39

On considèren lancés de dés (à 6 faces) et, à chaque fois une variable aléatoireXi qui vaut 1 si le résultat du dé est 6 et 0 sinon.

On considère aussi la variable aléatoireX du nombre de dés qui ont fait 6.

1 Exprimer X en fonction des X_i.

2 Que vaut E[X_i]? En déduire E[X].

3 Utiliser l'inégalité de Markov pour majorer la probabilité que 3/4 des dés aient fait un 6.

1)X =

n

X

i=1

X_i 2)E[X_i] = 1

6 donc E[X] = n 6 3)P(X > 3n

4 )6 E[X]

3n 4

= n 6 × 4

3n = 2 9

Pour nir

Merci de votre attention,

bonne n de journée et à dans 2 semaines ! !