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☎ Be ready for your BAC✆ Ministère des Enseignements Secondaires Examen : Baccalauréat 2014

Office du Baccalauréat du Cameroun Série : C-E

Epreuve : MATHEMATIQUES Durée : 4h Coefficient : 5(C)/ 4(E)

EXERCICE 1 (3 points)

Dans l’espace muni d’un repère orthonormé(O,~_ı,~_,~_k), on considère les pointsA(1;−1; 0);B(3; 0; 1); C(1; 2;−1)etD(1; 0; 0).

1. Démontrer que les pointsA,B,CetDne sont pas coplanaires. [0,5pt]

2. (a) Ecrire une équation cartésienne du plan(ABC). [0,5pt]

(b) Calculer le volume du tétraèdreABCD. [0,75pt]

(c) Déterminer l’expression analytique de la réflexion f par rapport au plan(ABC). [0,75pt]

3. Soit(S)la sphère de centreDpassant parB. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de

l’image(S^′)de(S)par f. [0,5pt]

EXERCICE 2 (4,5 points)

1. On considère les équations différentielles suivantes :(E): y^′′−4y^′+4y=2 cosx+sinx; (E0): y^′′−4y^′+4y=0.

(a) Déterminer les réelsaetbpour lesquels la fonctiongdéfinie pour tout réelxpar

g(x) =acosx+bsinxest solution de(E). [0,5pt]

(b) Soit f une fonction deux fois dérivable surR. Montrer que f est une solution de(E)si et

seulement si f−gest solution de(E0). [0,5pt]

(c) Résoudre(E0)et en déduire la forme générale des solutions de(E). [0,75pt]

2. Soit la fonctionhdéfinie dans[0;π]parh(x) = ²

5cosx−¹

5sinx. On désigne par(C)sa courbe représentative dans un repère orthonormé(O,~_ı,~_).

(a) Calculer pour toutxde[0;π[,h^′(x)eth^′′(x). [0,5pt]

(b) Etudier les variations deh^′surhπ 2;π

h

et en déduire que l’équationh^′(x) =0 danshπ 2;π

h admet

une unique solutionαavec 2, 6<_α<_{2, 7. [0,75pt]}

(c) Montrer queh^′(x)>₀ ⇐⇒ x∈]α;π[et dresser le tableau de variation deh. [0,75pt]

(d) Tracer(C). (Prendreα=2, 6 et pour unité de longueur sur les axes : 1,5 cm). [0,75pt]

EXERCICE 3 (2,5 points)

1. Soitaun réel strictement positif.

(a) Montrer que 1−a< ¹

1+a <_{1. [0,5pt]}

(b) En déduire quea− ^a

2

2 <_ln(1+a)<_{a. [0,25pt]}

2. Soitnun entier naturel non nul, on posePn=

1+ ¹

n² 1+ ² n²

· · ·1+ ⁿ n²

. (a) Justifier que 1²+2²+3²+· · ·+n²= ⁿ(n+1)(2n+1)

6 . [0,5pt]

(b) Montrer que : 1 2

1+ ¹

n

− ¹ 12

(n+1)(2n+1)

n³ <_lnPn< ¹ 2

1+ ¹

n

. [0,75pt]

(c) En déduire que la suite(Pn)converge et déterminer sa limite. [0,5pt]

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☎ Be ready for your BAC✆ PROBLEME

Dans le plan(P)rapporté à un repère orthonormé d’origineO, on considère l’applicationΨdéfinie par : Ψ(O) =Oet pour tout pointMde(P)disctinct deO,Ψ(M) =M^′tel que−−→

OM^′ = ⁴ OM²

OM.−−→

Partie A (6 points)

1. (a) Montrer que pour tout point Mde(P),Ψ◦^Ψ(M) =M. [0,75pt]

(b) Justifier que l’ensemble des pointsMde(P)distincts deOtels queΨ(M) =Mest le cercle de

centreOet de rayon 2. [0,75pt]

Pour toute la suite,(d)est une droite quelconque de(P),Dest un point fixé de(d)distinct deO;~_uest un vecteur directeur de(d). On pose~_e2 = ~_u

k~_uk et on suppose le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct(O,~_e1,~_e2). On donne−→

OD =a~_e1+b~_e2.

2. Justifier que(d)est l’ensemble des pointsMd’affixeztels quez=a+itoùt∈ ^R. [0,5pt]

3. Soient Met M^′deux points de(P)tous distincts deOet d’affixes respectifszetz^′. (a) Montrer queΨ(M) = M^′ ⇐⇒ z^′ = ⁴

¯

z. [0,75pt]

(b) En posant−−→

OM= a~_e1+t~_e2et−−→

OM^′ =x^′~_e1+y^′~_e2, montrer queΨ(M) =M^′ ⇐⇒ x^′ = ^4a a²+t² et y^′ = ^4t

a²+t². [0,75pt]

(c) Vérifier que dans ce cas,

x^′−² a

2

+y^′2 = ⁴

a². [0,5pt]

(d) En déduire que siMappartient à(d), alorsΨ(M)appartient au cercle(C1)de diamètre[OH^′]où H^′est l’image parΨdu projeté orthogonalHdeOsur(d). [1pt]

4. Soithl’application affine qui à tout pointM(x;y)associeM1(x1,y1)tel que

( x1= x y1 = ²

3y . Montrer que l’image de(C1)parhest une ellipse dont dont donnera l’excentricité. [1pt]

Partie B (4 points)

Dans le plan vectoriel(~_P)associé à(P), on considère l’application ϕtelle que ϕ(~₀) =~_{0 et}

ϕ(~_u) = ⁴ k~_uk²~_usi

~_u6=~_0.

1. Soit~_vun vecteur non nul, exprimerϕ 4

k~_vk²~_v

en fonction de~_vet en déduire queϕn’est pas linéaire.

[1pt]

2. (a) Déterminer l’ensemble Inv(ϕ)des vecteurs~_ude~_{Ptels queϕ}(~_u) =~_{u. [1pt]}

(b) Soient~_u1et~_u2deux vecteurs de(~_P)tels quek~_u1k= k~_u2k=2 etMes(~_u[_1,~_u2) = ^π

3. Calculer

k~_u1+~_u2ket en déduire queInv(ϕ)n’est pas un sous espace vectoriel de(~_P). [1pt]

3. SoitOpp(ϕ)l’ensemble des vecteurs de(~_P)tels queϕ(~_u) =−~u. DéterminerOpp(ϕ)et montrer que

Opp(ϕ)est un sous-espace vectoriel de(~_P). [1pt]

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