Suites récurrentes II

IUT de Rodez Ann´ee universitaire 2008/2009

Informatique 1◦_{ann´ee TD de Maple n}◦7_.

TD Maple n

7

_{. Suites r´}

_ecurrentes.

Exercice 1 L’algorithme d’Euclide ´etendu

1. Rappeler l’algorithme d’Euclide permettant de calculer pgcd(a, b) par divisions eucli-diennes successives.

2. On notera (rn) la suite des restes et (qn) la suite des quotients. Donner les formules de

r´ecurrence v´erifi´ees par (qn) et (rn). (Pour des raisons pratiques, on notera r0 = b et l’on

num´erotera les quotients `a partir de q1).

3. On note maintenant (un) et (vn) les suites r´ecurrentes d´efinies par

(un) :

 u0 = 0

un+2 = un−qn+2un+1 et (vn) :

 v0 = 1

vn+2 = vn−qn+2vn+1

(a) V´erifier que a.u0+ b.v0 = r0 et a.u1+ b.v1 = r1.

(b) Montrer que pour tout n ∈ N, on a

a.un+ b.vn= rn, a.un+1+ b.vn+1 = rn+1.

(c) Que valent un−1 et vn−1 quand rn = 0 ?

(d) Programmer l’algorithme d’Euclide ´etendu.

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Exercice 2 Soit f : x 7→ x − e−x_{. L’objectif de cet exercice est de comparer deux suites}

r´ecurrentes permettant d’approximer la solution de l’´equation f(x) = 0

Dans tout l’exercice, on travaillera avec Digits :=100.

1. Montrer que l’´equation f (x) = 0 admet une unique solution α ∈ R.

2. A l’aides des fonctions Maple, trouver une valeur approch´ee de α. (On prendra cette va-leur pour r´ef´erence dans la suite de l’exercice).

3. La methode du point fixe.

On note g = id − f . Programmer la suite r´ecurrente (xn) d´efinie par :

(xn) :

 x0 = 0

xn+1= g(xn), n ∈ N

4. La methode de Newton.

Programmer la suite r´ecurrente (yn) d´efinie par :

(yn) : ( y₀ = 0 y_n+1 = yn− f(y n) f′_(yn) , n ∈ N

5. Comparaison des deux methodes.

(a) Comparer les suites (en)n∈N et (εn)n∈N d´efinies par en= xn−α et εn= yn−α.

(b) Comparer les vitesses de convergence des deux methodes. (i.e. le nombre d’it´erations n´ecessaires pour atteindre une pr´ecision donn´ee.)

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