Représentation et traitement des connaissances en logique multivalente : cas d'une répartition non uniforme des degrés de vérité

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logique multivalente : cas d’une répartition non uniforme

des degrés de vérité

Nouha Chaoued

To cite this version:

Nouha Chaoued. Représentation et traitement des connaissances en logique multivalente : cas d’une répartition non uniforme des degrés de vérité. Autre [cs.OH]. Université Montpellier; Université Tunis El Manar. Faculté des Sciences Mathématiques, Physiques et Naturelles de Tunis (Tunisie), 2017. Français. �NNT : 2017MONTS048�. �tel-01931361�

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Préparée au sein des écoles doctorales I2S et MISTM

Et des unit´es de recherche LIRMM et LIPAH

Sp´ecialit´e : Informatique

Pr´esent´ee par Nouha CHAOUED

nouha.chaoued@lirmm.fr

Repr´

esentation et traitement

des connaissances en logique

multivalente :

Cas d’une r´

epartition non

uniforme des degr´

es de v´

erit´

e

Soutenue le 30-11-2017 devant le jury compos´e de

M Christophe Marsala Pu Université Pierre et Marie Curie Rapporteur Mme Nahla Ben Amor Pu Université de Tunis Rapporteur Mme Carmen Gervet Pu Université de Montpellier Présidente du jury Mme Narjes Ben Rajeb Pu Université Tunis Carthage Examinateur Mme Amel Borgi MCF, HDR Université Tunis El Manar Directrice de thèse Mme Anne Laurent Pu Université de Montpellier Directrice de thèse

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`

A mes chers parents, `

A mon cher mari Abdelkader, `

A mes chers fr`eres Khaled et Haythem et ma soeur Hela, `

A mes chers Zouhour, Manel, Rim, Ouafa, Rabia, Djamel, Mehdi, Ibrahim, `

A mes coll`egues Wafa, Houda, Samira, Ikbel, `

A mes cousins et cousines, `

A tous mes amis en Tunisie et en France, `

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Tout d’abord, je remercie les personnes à qui je dois mon existence et mon succès ! Mes parents qui ont toujours été là pour moi pour me guider, me conseiller et m’encourager.

Je remercie mon mari pour son amour et pour sa patience en particulier durant les derniers mois. Je le remercie pour son soutien et encouragement surtout durant les moments de doutes.

Je remercie toute ma famille, mes fr`eres, ma soeur et ma cousine Zouhour pour leur incroyable soutien.

Durant ma thèse, j’ai beaucoup appris de mes deux directrices de thèse qui sont devenues pour moi des amies. Elles étaient toujours à mes côtés avec leurs conseils et leurs idées. Je n’oublierai jamais leur confiance en moi et leur soutien continuel.

Je tiens à remercier messieurs Mohamed Kissi et Mohamed Ramdani de l’université Hassan II Mohammedia - Maroc pour leur aide et leur soutien pour rendre possible ce travail en nous fournissant leurs données de test pour la perception des odeurs. Je remercie aussi monsieur Serge Guillaume pour ses explications par rapport à FisPro et ses conseils pour la réalisation de mes tests. Mes remerciements vont également à Docteur Manel Dardour Gaied et Docteur Nawfel Gaddour pour leurs conseils et leurs suggestions sur le traitement de l’autisme infantile.

J’aimerais exprimer ma plus profonde gratitude à tous les membres du jury pour m’avoir fait l’honneur d’accepter d’évaluer ma thèse.

Je remercie aussi toutes les personnes du LIRMM pour leurs aide à chacun de mes séjours à Montpellier surtout Nicolas et Guylaine. Je remercie tous

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Je remercie tous ceux avec qui j’ai collaboré durant mes trois années de thèse. C’était une expérience incroyable pour être en contact avec des personnes de différents domaines. J’ai beaucoup appris durant cette période et pas qu’en informatique.

Je voudrais également remercier mes amis en Tunisie pour leur soutien. Et je ne regretterai jamais les nouveaux amis que j’ai rencontrés à Montpellier. Ces amis sont loin d’être oubliés, ils ont leur place dans mon cœur et ma mémoire. Nous avons passé trois ans de folies et d’aventures.

Je tiens à remercier toutes les personnes qui m’ont aidées pendant ma thèse et tous ceux que j’ai rencontrés lors des conférences et des formations qui m’ont permis d’avoir un autre angle de vue sur mes travaux de recherche.

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In most daily activities, humans use imprecise information derived from appreciation instead of exact measurements to make decisions. Various ap-proaches were proposed to deal with such knowledge, in particular, fuzzy logic and multi-valued logic. In this work, we treat the particular case of imprecise knowledge within multi-valued logic.

Taking into account imprecise knowledge by computer systems is based on their representation by means of linguistic variables. Their values form a set of words expressing the different nuances of the treated information. For example, to judge the beauty of the Mona Lisa or the smell of a flower, it is not possible to give an exact value but an appreciation is given by a term like “beautiful” or “floral”.

In the literature, dealing with imprecise information relies on an implicit assumption : the distribution of terms is uniform on a scale ranging from 0 to 1. Nevertheless, in some cases, a sub-domain of this scale may be more informative and may include more terms. In this case, knowledge are re-presented by means of an unbalanced terms set, that is, not uniformly nor symmetrically distributed.

We have noticed, in the literature, that in the context of fuzzy logic many researchers have dealt with these term sets. However, it is not the case for multi-valued logic. Thereby, in our work, we aim to establish a methodology to represent and manage this kind of data in the context of multi-valued logic. Two aspects are treated. The first one concerns the representation of terms within an unbalanced multi-set. The second deals with the treatment of such kind of imprecise knowledge, i.e. with symbolic modifiers and in reasoning process.

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and treat such term sets. First of all, we introduce algorithms that allow representing unbalanced terms within uniform ones and the inverse way. Then, we describe a method to use linguistic modifiers within unbalanced multi-sets. Afterward, we present a reasoning approach based on the Ge-neralized Modus Ponens model using GeGe-neralized Symbolic Modifiers. The proposed models are implemented in a novel rule-based decision system for the camphor odor recognition within unbalanced multi-set. We also develop a tool for child autism diagnosis by means of unbalanced severity degrees of the Childhood Autism Rating Scale (CARS).

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Durant nos activités quotidiennes, nous avons tendance à utiliser des in-formations issues de constatations et non de mesures exactes. La prise en compte de ce type de connaissances, dites imprécises, par des systèmes in-formatiques s’appuie sur une représentation des données par des variables linguistiques. Leurs valeurs sont groupées sous forme d’un ensemble de mots exprimant les différentes nuances de l’information traitée. Par exemple, pour juger de la beauté de La Joconde ou de l’odeur d’un muguet, il n’est pas possible d’énoncer une valeur exacte mais une appréciation est donnée par le biais d’un terme comme “beau” ou “floral”. De même, les décisions sont prises en présence d’un grand nombre de données imprécises en utilisant des notions qualitatives plus que quantitatives. Par exemple, l’odeur camphrée d’une molécule d’alcool dépend de sa forme et de sa taille. Ces deux données sont décrites avec des termes telles que “sphérique”, “petite” ou “moyenne”. Diverses approches ont été proposées pour traiter les connaissances imprécises, en particulier, la logique floue et la logique multivalente. La première se base sur les ensembles flous de Zadeh alors que la seconde uti-lise les multi-ensembles de De Glas. Dans la littérature, le traitement de l’information imprécise repose sur une hypothèse implicite de la répartition uniforme des degrés de vérités sur une échelle de 0 à 1. Néanmoins, dans certains cas, un sous-domaine de cette échelle peut être plus informa-tif et peut inclure plus de termes. Dans ce cas, l’information est définie par des termes déséquilibrés, c’est-à-dire qui ne sont pas uniformément répartis et/ou symétriques par rapport à un terme milieu. Par exemple, pour l’évaluation des apprenants, il est possible de considérer un seul terme négatif F correspondant à l’échec. Quant à la réussite, elle est décrite par plusieurs valeurs de mention, i.e. D, C, B et A. Ainsi, si le terme D est le

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Nous avons remarqué, dans la littérature, que de nombreux chercheurs ont traité ce type particulier d’ensembles de termes dans le contexte de la logique floue. Toutefois, ce n’est pas le cas pour la logique multivalente. Dans ce travail, notre objectif est d’établir une méthodologie pour représenter et gérer ce type de données dans le contexte de la logique multivalente. Dans ce travail, nous nous concentrons sur l’extension de cette logique au cas des ensembles non uniformes. En s’appuyant sur notre étude de l’art, nous proposons de nouvelles approches pour représenter et traiter ces ensembles de termes. Tout d’abord, nous introduisons des algorithmes qui permettent de représenter des termes non uniformes à l’aide de termes uniformes et inversement. Ensuite, nous décrivons une méthode pour utiliser des modi-ficateurs linguistiques initialement définis pour les termes uniformes avec des ensembles de termes non uniformes. Par la suite, nous présentons une approche de raisonnement basée sur le modèle du Modus Ponens Généralisé `

a l’aide des Modificateurs Symboliques Généralisés. Les modèles proposés sont mis en œuvre dans un nouveau système de décision fondé sur des règles pour la reconnaissance de l’odeur de camphre. Nous développons également un outil pour le diagnostic de l’autisme infantile. Les degrés de sévérité de l’atteinte par ce trouble autistique sont représentés par l’échelle d’évaluation de l’autisme infantile (CARS). Il s’agit d’une échelle non uniforme.

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Participation `a des ouvrages

Nouha CHAOUED, Amel BORGI and Anne LAURENT. Representing and Managing Unbalanced Multi-sets In Knowledge Discovery, Knowledge Engineering and Know-ledge Management - 7th International Joint Conference, IC3K 2015, Lisbon, Portugal, November 12-14, 2015, Revised Selected Papers, pages 213-233. Springer International Publishing, Cham.

Conf´erences internationales

Nouha CHAOUED, Amel BORGI and Anne LAURENT. Symbolic Approximate Reasoning within Unbalanced Multi-Sets : application to Autism Diagnosis (regular paper- `a paraitre). In AICCSA 2017 - 14th ACS/IEEE International Conference on Computer Systems and Applications, Hammamet, Tunisia, October 30th to November 3rd (2017)

Nouha CHAOUED, Amel BORGI and Anne LAURENT. Camphor Odor Re-cognition within Unbalanced Multi-Sets (regular paper - `a paraitre) In Proceedings of Fuzz-IEEE 2017 - IEEE International Conference on Fuzzy Systems, Naples, Italy, July 09-12 (2017)

Nouha CHAOUED, Amel BORGI and Anne LAURENT. Linguistic Modifiers with Unbalanced Term Sets in Multi-valued Logic (regular paper). In Proceedings of the 7th International Joint Conference on Knowledge Discovery, Knowledge En-gineering and Knowledge Management (KEOD 2015), Lisbon, Portugal, November November 12-14, 2015. pp. 50–60 (2015).

Nouha CHAOUED and Amel BORGI. Representation of unbalanced terms in multi-valued logic (regular paper). In the 12th IEEE International Multi-Conference on Systems, Signals & Devices (SSD 2015)

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1 Introduction g´en´erale 1

1.1 Repr´esentation des connaissances et raisonnement . . . 3

1.2 Ensembles non uniformes . . . 4

1.3 Probl´ematiques et contributions . . . 5

1.4 Organisation de la th`ese . . . 7

I Etat de l’art sur la représentation et le traitement des connaissances imprécises 9 2 Représentation des connaissances imprécises 9 2.1 Introduction . . . 9

2.2 Des logiques non classiques . . . 11

2.2.1 La logique Floue . . . 12

2.2.2 La logique Multivalente . . . 14

2.2.2.1 Notion de multi-ensemble . . . 14

2.2.2.2 Les modificateurs . . . 15

2.2.2.3 Agrégation des degrés de vérité . . . 16

2.2.2.4 Similarit´e multi-ensembliste . . . 17

2.2.2.5 Rapports de cardinalit´e d’El Sayed . . . 17

2.3 La représentation des connaissances imprécises non uni-formément distribuées . . . 22

2.3.1 En logique floue . . . 23

2.3.1.1 Approche de Herrera et Martinez . . . 23

2.3.1.2 Approche de Cabrerizo et al. . . 30

2.3.1.3 Approche de Abchir et Truck . . . 31 2.3.1.4 Comparatif des algorithmes de repr´esentation 35

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2.3.2 En logique multivalente . . . 37

2.4 Conclusion . . . 43

3 Traitement des connaissances impr´ecises 45 3.1 Introduction . . . 45

3.2 Les modificateurs symboliques . . . 47

3.2.1 Approche d’Akdag et al. . . 47

3.2.2 Approche d’El Sayed . . . 55

3.3 Raisonnement approximatif symbolique . . . 59

3.3.1 R`egle simple . . . 66

3.3.1.1 Règle simple avec multi-ensembles homogènes 66 3.3.1.2 Règle simple avec multi-ensembles hétérogènes 66 3.3.2 Règle complexe . . . 67

3.3.2.1 R`egle complexe avec multi-ensembles ho-mog`enes . . . 67

3.3.2.2 Règle complexe avec multi-ensembles hétérogènes . . . 68

3.4 Conclusion . . . 70

II Extension de la logique multivalente aux multi-ensembles non uniformes 71 4 Contributions th´eoriques pour la repr´esentation et le trai-tement des multi-ensembles non unifomes 71 4.1 Introduction . . . 71

4.2 Les multi-ensembles non uniformes . . . 72

4.3 Repr´esentation des multi-ensembles non uniformes . . . 73

4.3.1 Repr´esentation des termes non uniformes avec des multi-ensembles uniformes : Approche num´erique . . . 74

4.3.2 Repr´esentation des termes uniformes avec un multi-ensemble uniforme : Approche symbolique . . . 80

4.3.3 Repr´esentation des termes uniformes avec des multi-ensembles non uniformes . . . 84

4.4 Modificateurs symboliques et multi-ensembles non uniformes 85 4.5 Raisonnement approximatif . . . 88

4.5.1 R`egle simple . . . 89

4.5.1.1 Règle simple avec multi-ensembles homogènes 90 4.5.1.2 Règle simple avec multi-ensembles hétérogènes 92 4.5.2 Règle complexe . . . 96

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4.5.2.1 R`egle complexe avec multi-ensembles

ho-mog`enes . . . 97

4.5.2.2 Règle complexe avec multi-ensembles hétérogènes . . . 100

4.6 Conclusions . . . 104

5 Perception de l’odeur de camphre 105 5.1 Introduction . . . 105

5.2 Perception des odeurs . . . 106

5.3 Construction d’un classificateur d’odeur . . . 108

5.3.1 Construction de la base de connaissances . . . 108

5.3.2 R´ealisation du syst`eme OPUM . . . 113

5.4 Etude expérimentale . . . 116 5.4.1 Procèdure de test . . . 116 5.4.2 Présentation de FisPro . . . 118 5.4.3 Premier test . . . 120 5.4.4 Deuxième test . . . 124 5.4.5 Troisième test . . . 126 5.4.6 Résultats comparatifs . . . 126 5.5 Conclusion . . . 128

6 Diagnostic de l’autisme infantile 129 6.1 Introduction . . . 129

6.2 Diagnostic de l’autisme . . . 130

6.3 Construction du syst`eme . . . 132

6.3.1 Pr´esentation de RAMOLI . . . 132

6.3.2 Conception de la base de connaissances . . . 136

6.3.3 Réalisation du système . . . 138 6.4 Résultats Expérimentaux . . . 140 6.4.1 Procèdure de test . . . 140 6.4.2 Premier test . . . 143 6.4.3 Deuxième Test . . . 143 6.4.4 Troisième test . . . 145 6.4.5 Quatrième test . . . 146 6.4.6 Résultats comparatifs . . . 148 6.5 Conclusion . . . 151

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III Conclusion g´en´erale 153

7 Conclusion g´en´erale 153

7.1 Synth`ese des contributions . . . 153

7.2 Perspectives . . . 155

IV Annexes 157 Annexe A Les modificateurs linguistiques flous 159 A.1 Les modificateurs de pr´ecision . . . 161

A.1.1 Approche de Despr`es . . . 161

A.1.2 La α-coupe . . . 166

A.1.3 L’approche de Bosc . . . 167

A.2 Les modificateurs de translation . . . 169

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2.1 Ensemble non uniforme de 4 termes linguistiques . . . 10 2.2 Echelles multi-granulaires floues (Herrera et al., 2008) . . . . .´ 11 2.3 Variable linguistique d´ecrivant la superficie d’un logement

(Bouchon-Meunier, 1995) . . . 12 2.4 Echelle de 7 degrés de vérité symboliques . . . 15 2.5 Exemple d’une hiérarchie linguistique de 3 niveaux(Herrera

et al., 2001) . . . 24 2.6 Hiérarchie linguistique étendue(Espinilla et al., 2011) . . . 25 2.7 Exemple d’une représentation d’un 2-tuple (s2,−0.3) (Herrera

et Mart´ınez, 2001) . . . 26 2.8 Représentation des notes anglosaxones (Herrera et al., 2008) . 27 2.9 Partitionnement flou non uniformément distribué (Herrera

et al., 2001) . . . 29 2.10 Partitionnement flou non uniformément distribué . . . 31 2.11 Représentation des taux d’alcoolémie selon la législation

américaine . . . 34 2.12 Partitionnement floue non uniformément distribué (Abchir et

Truck, 2013) . . . 36 2.13 R´esultat du partitionnement flou (Abchir et Truck, 2013) . . 38 2.14 Exemple d’utilisation du Stretch Factor (Abchir et Truck, 2013) 39 2.15 Exemple d’application de l’approche de Abchir utilisant les

MSG (Abchir, 2013) . . . 40 2.16 Deuxi`eme exemple d’application de l’approche de Abchir

uti-lisant les MSG (Abchir, 2013) . . . 41 2.17 Exemple complet de l’approche de Abchir(Abchir, 2013) . . . 42

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3.1 Effets des modificateurs généralisés affaiblissant et

ren-for¸cants (Truck, 2002) . . . 52

3.2 Effets des modificateurs généralisés EC et EC′ (cas opti-miste) (Truck, 2002) . . . 53

3.3 Effets des modificateurs généralisés DC et DC′ (cas opti-miste)(Truck, 2002) . . . 54

3.4 Réglette représentant un multi-ensemble (a) Les degrés d’ap-partenances, (b) Les objets (El-Sayed, 2001) . . . 57

3.5 Modificateurs de pr´ecision (El-Sayed, 2001) . . . 58

3.6 Modificateur de translation (El-Sayed, 2001) . . . 58

3.7 Modificateurs de translation (El-Sayed, 2001) . . . 59

4.1 D´efinition d’un multi-ensemble non uniforme . . . 75

4.2 Multi-ensemble non uniforme de 7 termes linguistiques . . . . 77

4.3 Les multi-ensembles uniformes LM_k . . . 78

4.4 Repr´esentation de termes non uniformes dans une ´echelle uni-forme . . . 78

4.5 Repr´esentation du multi-ensemble non uniforme L8 . . . 79

4.6 Repr´esentation du multi-ensemble non uniforme L8 . . . 79

4.7 Repr´esentation du multi-ensemble uniforme L9 . . . 81

4.8 Repr´esentation avec le multi-ensemble uniforme L9 . . . 83

4.9 R´esultat de l’agorithme UniformToUnbalanced . . . 85

4.10 Application du modificateur CR6 au terme non uniforme τ2 . 89 4.11 Repr´esentation de la variable Sph´erique . . . 94

4.12 Repr´esentation de la variable Camphr´ee . . . 94

4.13 Tranformation de Ls 3 . . . 95

4.14 Tranformation de Lc₃ . . . 95

4.15 Ensemble non uniforme de 7 termes . . . 98

4.16 Repr´esentation de la variable Autiste . . . 102

5.1 Extrait du fichier de donn´ees utilis´e . . . 109

5.2 Fonction d’appartenance floue de la variable Sph´erique . . . . 110

5.3 Fonction d’appartenance floue de la variable Surface . . . 110

5.4 Fonction d’appartenance floue de la variable Camphr´ee . . . . 111

5.5 Transformation d’un ensemble floue en un multiensemble -cas de 2 termes . . . 111

5.6 Transformation d’un ensemble floue en un multiensemble -cas de N termes . . . 112

5.7 Repr´esentation du multi-ensemble Sph´erique . . . 112

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5.9 Repr´esentation du multi-ensemble Camphr´ee . . . 112

5.10 Repr´esentation du multi-ensemble Dense . . . 113

5.11 Exemple des multi-ensembles utilis´es . . . 114

5.12 Liste des pr´edicats . . . 114

5.13 Liste des variables linguistiques . . . 115

5.14 Liste des faits . . . 115

5.15 Exemple d’une base de r`egles . . . 116

5.16 R´esultat de la classification . . . 116

5.17 Protocole de test en logique multivalente . . . 117

5.18 Protocole de test en logique floue . . . 118

5.19 Interface utilisateur de FisPro . . . 119

5.20 Interface pour les performances d’une inf´erence . . . 120

5.21 Exemple d’un syst`eme d’inf´erence . . . 120

5.22 Exemple d’une entr´ee . . . 121

5.23 Exemple d’une sortie . . . 122

5.24 Exemple d’une base de r`egles . . . 122

5.25 Repr´esentation du multi-ensemble Camphr´ee . . . 123

5.26 Fonction d’appartenance floue de la variable Dense . . . 125

6.1 Fenˆetre de gestion des multi-ensembles . . . 133

6.2 Fenˆetre de gestion des variables linguistiques . . . 134

6.3 Fenˆetre de gestion des pr´edicats . . . 134

6.4 Fenˆetre de gestion des faits . . . 135

6.5 Fenˆetre de gestion des r`egles . . . 135

6.6 Questionnaire de diagnostic . . . 139

6.7 Diagnostic d’un patient . . . 140

6.8 Les symptˆomes d’un patient . . . 141

6.9 R`egles de diagnostic d’autisme . . . 141

6.10 Protocole de test . . . 142

6.11 Multi-ensemble uniforme L7 . . . 143

6.12 Représentation du multi-ensemble L′₇ pour le deuxième test . 144 6.13 Représentation du multi-ensemble L′′₇ pour le troisième test . 146 6.14 Représentation du multi-ensemble L′′′₇ pour le quatrième test 147 A.1 Fonction d’appartenance d’un sous-ensemble floue . . . 160

A.2 Les modificateurs Tr`es et plus ou moins (Zadeh, 1979) . . . 160

A.3 Modificateurs de la classe λ-précisément (Desprès, 1988) . . . 162

A.4 Modificateurs de la classe µ -tr`es (Despr`es, 1988) . . . 162

A.5 Modificateurs de la classe ν-très exactement (Desprès, 1988) . 163 A.6 Modificateurs de la classe π-plutôt (Desprès, 1988) . . . 164

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A.7 Modificateurs de la classe ρ-approximativement (Desprès, 1988)164 A.8 Modificateurs de la classe σ-environ (Desprès, 1988) . . . 165 A.9 Modificateurs de la classe contrastante (Desprès, 1988) . . . . 165 A.10 Modificateurs de la classe concentrante (Desprès, 1988) . . . . 166 A.11 Exemples de α − coupe (Truck et al., 2001) . . . 166 A.12 Opération de dilatation par le modificateur EZ_{(F ) (Bosc}

et al., 2007) . . . 168 A.13 Op´eration d’´erosion par le modificateur EZ(F ) (Bosc et al.,

2007) . . . 169 A.14 Effet des modificateurs adaptatifs sur la fonction

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2.1 Exemples de T-normes et T-conormes . . . 17 2.2 Table de multiplication symbolique (El-Sayed, 2001) . . . 19 2.3 Table de division symbolique (El-Sayed, 2001) . . . 20 2.4 Hi´erarchie linguistique . . . 23 2.5 R´esultat de l’approche de Abchir et Truck sur les taux

d’al-coolémie (Abchir et Truck, 2013) . . . 35 3.1 Modificateurs symboliques (Akdag et al., 2001) . . . 49 3.2 Les Modificateurs Symboliques Généralisés (Truck, 2002) . . . 51 3.3 Résultats de l’agrégation avec AT (Kacem et al., 2015) . . . . 65 3.4 Résultats de l’agrégation avec AS (Kacem et al., 2015) . . . . 65 5.1 Résultats du premier test . . . 124 5.2 Résultats du deuxième test . . . 126 5.3 Résultats du troisième test . . . 127 5.4 Résultats de la classification en logique multivalente . . . 127 6.1 Résultats du premier test . . . 144 6.2 Résultats selon différentes métriques pour le premier test avec

l’agrégateur Max . . . 144 6.3 Résultats du deuxième test . . . 145 6.4 Résultats selon différentes métriques pour le deuxième test

avec l’agrégateur Max . . . 145 6.5 Résultats du troisième test . . . 146 6.6 Résultats selon différentes métriques pour le troisième test

avec l’agrégateur Max . . . 147 6.7 Résultats du quatrième test . . . 147

(23)

6.8 Résultats selon différentes métriques pour le quatrième test avec l’agrégateur Max . . . 148 6.9 Résultats selon différentes métriques - Cas Max . . . 149 6.10 Résultats selon différentes métriques - Cas Moyenne . . . 150

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Introduction g´

en´

erale

Dans la plupart des activités quotidiennes, l’Homme a tendance à manipu-ler des connaissances imparfaites. L’imperfection se rapporte à trois volets : l’imprécision, l’incertitude et l’incomplétude. Le premier existe quand il n’est pas possible d’évaluer une donnée de fa¸con précise avec des mesures exactes ceci peut alors être fait par des approximations en utilisant des descrip-tions qualitatives. Par exemple dire que le seisme est de forte magnitude est moins précis que dire qu’il est d’une magnitude de 6. Le second se rapporte au doute sur la validité d’une connaissance en raison du manque de fiabilité de la source ou d’erreurs de mesures. Dans ce cas, on ne sait pas si l’infor-mation est vraie ou fausse. Elle dépend de la connaissance de la personne. Quant au troisième, il concerne l’absence d’informations ou une information partielle. Ceci survient quand des valeurs manquent à la description de cer-taines connaissances. Si une personne annonce qu’il y a eu un seisme, cette information est précise et certaine mais incomplète au sens où on ne connais pas sa magnitude, son emplacement et ses dégats.

Diverses approches ont été proposées pour traiter les connaissances imprécises. Nous allons nous intéresser en particulier à la logique floue et la logique multivalente. Les théories des ensembles flous et des multi-ensembles sont un moyen très approprié pour la représentation et la modélisation de l’imprécision.

Dans la littérature, le traitement de l’information imprécise repose sur une hypothèse implicite de la répartition uniforme des degrés de vérité sur une

(25)

échelle de 0 à 1. Néanmoins, dans certains cas, un sous-domaine de cette échelle peut être plus informatif et peut inclure plus de termes. Dans ce cas, l’information est définie par des termes déséquilibrés, c’est-à-dire qui ne sont pas uniformément répartis et/ou symétriques par rapport à un terme milieu. Par exemple, pour l’évaluation des apprenants, il est possible de considérer un seul terme négatif F correspondant à l’échec. Quant à la réussite, elle est décrite par plusieurs valeurs de mention, i.e. D, C, B et A. Ainsi, si le terme Dest le seuil de la réussite, il est considéré comme le terme milieu avec un seul terme à sa gauche et trois à sa droite. Il s’agit alors d’un ensemble non uniforme.

Nous avons remarqué, dans la littérature, que de nombreux chercheurs ont traité ces ensembles de termes dans le contexte de la logique floue. Toutefois, ce n’est pas le cas pour la logique multivalente.

Cette thèse traite la représentation et le traitement des connaissances imprécises non uniformes dans le cadre de la logique multivalente. Dans ce travail, nous nous intéressons au traitement qualitatif de l’information imprécise dans les systèmes à base de connaissances.

Pour fournir son expertise, l’expert humain utilise généralement des termes ou des expressions qualitatifs du langage comme “la température est élévée” ou “l’odeur est désagréable”. Il s’agit de données imprécises dont la gestion se déroule en deux étapes. La première concerne leur représentation. La seconde se rapporte au raisonnement sur celles-ci. Ces deux aspects sont étudiés dans ce travail.

Notre travail s’inscrit dans le contexte de la logique multivalente. Celle-ci permet de représenter symboliquement des connaissances impréCelle-cises en utilisant des expressions adverbiales ordonnées du langage naturel (De Glas, 1989). L’utilisation de ces degrés symboliques est plus compréhensible par les experts que des valeurs numériques. Ce type de représentation de données est indépendant du type de leurs domaines de discours. Ainsi, la manipulation des connaissances abstraites ou faisant référence à des échelles numériques se fait de la même manière.

La contribution de la thèse concerne la prise en compte du cas particulier où les degrès de vérité ne sont pas uniformes.

Ce chapitre est structuré comme suit. Dans la première section, nous com-men¸cons par une introduction du contexte général de la thèse. Dans la se-conde, nous présentons l’utilité des ensembles non uniformes. Par la suite, dans la section 3, nous introduisons les problèmatiques de la thèse ainsi que

(26)

nos contributions. La section 4 conclut ce chapitre en pr´esentant la structure de la th`ese.

1.1 Repr´

esentation des connaissances et

raisonne-ment

La représentation des connaissances et le raisonnement comptent parmi les principaux sujets traités en intelligence artificielle. Ils concernent la représentation des connaissances humaines dans l’objectif de procéder à un raisonnement permettant ainsi de déduire de nouvelles connaissances. Le plus grand dilemme est alors de trouver la meilleure représentation des données permettant d’obtenir des résultats qui s’approchent le plus de ceux du raisonnement humain. En effet, le succès d’une approche de raisonnement dépend étroitement de la logique utilisée pour la représentation.

La prise en compte des connaissances imprécises par des systèmes infor-matiques s’appuie sur une représentation des données par des variables lin-guistiques. Leurs valeurs sont groupées sous forme d’un ensemble de mots exprimant les différentes nuances de l’information traitée. Par exemple, la difficulté d’une activité peut être décrite en utilisant l’ensemble des termes : “pas du tout”, “peu”, “moyennement” et “très”. Ainsi, dire que l’escalade est moyennement difficile indique que l’escalade appartient à l’ensemble ac-tivité difficile avec le degré moyennement.

Pour décrire la superficie d’un appartement, il est possible d’utiliser les termes : “minuscule”, “petit”, “moyen” et “grand”. En logique classique, un appartement de 20 m2 _{peut être considéré comme petit ou non. Ainsi,} l’appartenance de la superficie de l’appartement à la catégorie petit ne peut être que vraie (valeur 1) ou fausse (valeur 0). Par contre, en logique multi-valuée, qui fait partie des logiques non classiques, cet appartement peut être considéré comme petit à 60% et moyen à 40%. Ceci correspond à une différence entre le jugement des personnes questionnées sur la superficie de l’appartement. Il s’agit alors d’une appartenance partielle entre 0 et 1. Différentes logiques multi-valuées existent dans la litterature. Les deux prin-cipales sont la logique floue et la logique multivalente. La première se base sur la théorie des sous-ensembles flous de Zadeh (1965) permettant de représenter les propriétés imprécises comme “large”, “adulte” ou “grande”. Les fonctions d’appartenance y sont définies sur une échelle numérique de 0

(27)

`

a 1. La logique floue permet de représenter des données imprécises principa-lement numériques. Ceci implique de simuler, arbitrairement, des domaines numériques pour définir les termes abstraits (El-Sayed, 2001). La fonction d’appartenance floue est toujours numérique et appartient à l’intervalle [0,1], or dans de nombreux cas il est difficile d’estimer une appartenance par un degré numérique. La détermination de la fonction d’appartenance floue n’est pas toujours triviale comme l’indique Medasani et al. (1998).

Quant à la logique multivalente, elle se base sur la théorie des multi-ensembles de De Glas (1989). Elle permet de représenter de fa¸con symbolique les connaissances imprécises indépendamment du type de leurs domaines de définition. Ainsi, toutes les données, qu’elles soient abstraites ou faisant référence à une échelle numérique, sont manipulées de la même manière. Un multi-ensemble est représenté sous forme d’une échelle ordonnée et finie de M symboles (Akdag et Pacholczyk, 1989) : LM = {τ0, τ1, ..., τ_{(M −1)}}; M ≥ 2. τi est appelé degré d’appartenance au multi-ensemble. Il correspond à un terme du langage naturel.

1.2 Ensembles non uniformes

En logique multivalente, les nombreux travaux existant dans la littérature traitant de la représentation des données imprécises se basent sur une hy-pothèse implicite de la répartition uniforme des degrés de vérité sur une échelle de 0 à 1. Dans ce cas, la distance entre deux termes successifs est la même sur toute l’échelle. Une deuxième hypothèse existe dans certains travaux, à savoir que le nombre de termes de l’ensemble ne dépasse pas 7 et est toujours impair pour garantir l’existence d’un terme mileu.

Néanmoins, dans certains cas, un sous-domaine de l’ensemble peut être plus informatif. Ceci implique plus de termes dans ce sous-domaine en particulier par rapport au reste de l’ensemble. Dans ce cas, l’information est définie par des termes déséquilibrés, c’est-à-dire qui ne sont pas uniformément répartis et/ou symétriques par rapport à un terme milieu. Il s’agit des ensembles non uniformes.

Un premier exemple concret d’utilisation de ces ensembles est l’évaluation des apprenants. En effet, l’intervalle de notes de 0 à 9,99 est assimilé à un échec. Tandis que si la note est supérieure à 10, une mention est généralement associée à la note. De ce fait, des intervalles plus fins sont mis en place. Ainsi,

(28)

le degré de finesse de l’information n’est pas le même à droite et à gauche de 10.

Xia et Xu (2015) ont proposé d’utiliser ces ensembles dans un contexte économique. Ils indiquent que l’investissement d’un même montant est différent si l’entreprise est performante ou pas. Dans ce cas, nous avons besoin d’une information plus précise pour une entreprise non performante. De même, l’écart entre les termes n’expriment pas la même information dans les deux cas. Par exemple, la différence entre “petit investissement” et “moyen investissement” dans le cas d’une entreprise performante n’est pas identique à celle entre ces deux types d’investissement pour une entreprise non performante.

Considérons un autre exemple dans le contexte de la psychiatrie, plus précisément au niveau de l’échelle d’évaluation de l’autisme infantile in-troduit par Schopler et al. (1980), le degré de sévérité de l’autisme dépend du score obtenu à un questionnaire :

— Un score inférieur à 30 ne permet pas de diagnostiquer l’autisme ; — Un score entre 30 et 37 représente un diagnostic d’autisme de léger à

moyen ;

— Un score supérieur à 37 correspond à un diagnostic d’autisme sévère. Nous remarquons que la répartition n’est pas uniforme : la différence entre un enfant non autiste et un autre légèrement autiste n’est pas la même que celle entre un enfant moyennement autiste et un autre qui l’est sévèrement. Dans un ensemble non uniforme, chaque terme du langage naturel est associé `

a un degré τi. Il représente une valeur possible d’une variable linguistique. Les termes du multi-ensemble ne sont pas équidistants les uns des autres. Les distances séparant les couples de termes successifs ne sont alors pas égales. Cette inégalité indique que la différence entre la signification de deux termes successifs n’est pas conservée tout au long de l’échelle.

1.3 Probl´

ematiques et contributions

Dans ce travail, nous nous intéressons à la logique multivalente. Les nom-breux travaux menés dans le cadre de cette logique se basent sur une hy-pothèse implicite de répartition uniforme des degrés de vérité (Akdag et al.,

(29)

1992; Akdag et Mokhtari, 1996; El-Sayed et Pacholczyk, 2003; Khoukhi, 1996; Pacholczyk, 1992). De nombreux problèmes sont concernés par une répartition non uniforme des degrés. Dans ces cas, la granularité de l’échelle des degrés n’est pas la même sur toute l’échelle et la précision peut être plus ou moins fine. Dans le cadre de la logique multivalente, peu de travaux ont porté sur la répartition non uniformément distribuée des degrés de vérité (Abchir, 2013; Kacem et al., 2013). Les principaux travaux traitant de cet aspect l’ont été dans un cadre flou. Ils ont été initiés par Herrera et Mart´ınez (2001) et Herrera et al. (2008). Le traitement d’un tel ensemble de degrés “non équilibrés” dans le contexte de la logique multivalente est un axe de recherche peu exploré.

L’objectif de cette thèse est d’étudier l’extension de la logique multiva-lente au cas de degrés non uniformément répartis. Cette extension concerne différents points traités dans la littérature multivalente comme les modifi-cateurs linguistiques ou le raisonnement approximatif.

Durant la thèse, nous avons commencé par une étude bibliographique sur les logiques floue et multivalente, et plus précisément sur la représentation et le traitement des données non uniformément réparties.

Cette étude a permis de proposer une extension de la logique multivalente au cas des multi-ensembles non uniformes. Trois algorithmes ont été proposés (Chaoued et al., 2015b). Les deux premiers visent à représenter de tels degrés dans un contexte uniforme. Quant au troisième, il permet la représentation inverse, c’est-à-dire celle de degrés uniformes dans une échelle de degrés non uniformes.

En nous basant sur ces algorithmes, nous avons proposé une démarche pour l’utilisation des modificateurs linguistiques avec des degrés non uniformes (Chaoued et al., 2015b,a). De même, un modèle de raisonnement approxi-matif avec de telles données a été introduit.

Afin d’appliquer les différentes propositions théoriques, nous avons mis en place deux applications concrètes. La première concerne la perception de l’odeur camphrée pour des molécules d’alcool aliphatique. Quant à la se-conde, elle se rapporte au diagnostic de l’autisme infantile.

(30)

1.4 Organisation de la th`

ese

Cette thèse est constituée d’un chapitre introductif ainsi que de trois prin-cipales parties. La première présente la synthèse des travaux de l’état de l’art, la seconde détaille les principales contributions et la dernière conclut le manuscrit et discute des perspectives de recherche. Nous présentons leurs contenus ci-après.

Le chapitre 1 introduit la thèse en présentant le contexte, les problématiques de recherche abordées et les contributions issues de nos tra-vaux.

La première partie de cette thèse, intitulée Synthèse des travaux de l’état de l’art présente le contexte de nos travaux. Compte tenu du cadre de notre thèse, nous avons axé l’état de l’art sur les logiques multi-valuées floue et multivalente, ainsi que les travaux de représentation et de traitement des connaissances imprécises. Cette partie englobe deux chapitres :

— Le deuxième chapitre intitulé “Représentation des connaissances imprécises” introduit les principaux concepts de base des logiques floue et multivalente. Il présente aussi les principaux travaux traitant la représentation des ensembles de degrès non uniforme dans le contexte des logiques précitées. Ce chapitre met en évidence le fait que très peu de travaux considèrent ce type de connaissances en logique multiva-lente.

— Le troisième chapitre intitulé “Traitement des connaissances imprécises” aborde les différents travaux de traitement des connais-sances dans le contexte de la logique multivalente. Deux aspects sont traités dans ce chapitre. Le premier concerne les modificateurs sym-boliques proposé initialement par Akdag et al. (2001). Le deuxième explique les principes de base du raisonement approximatif intro-duit en logique floue par Zadeh (1975a,b,c). Les modèles proposés en littérature pour la mise en place d’un raisonnement approximatif en lo-gique multivalente sont aussi exposés. Les différents travaux présentés sont définis pour les ensembles de degrés uniformes.

La deuxième partie de cette thèse, intitulée Extension de la logique multiva-lente aux ensembles non uniformes, présente nos contributions relatives à la prise en compte des ensembles non uniformes en logique multivalente. Elle englobe trois chapitres comme suit :

(31)

— Le quatrième chapitre intitulé “Contributions théoriques pour la représentation et le traitement des multi-ensembles non unifomes” présente nos contributions théoriques, relatives à la représentation et au traitement des ensembles de degrés non uniformes. Nous com-men¸cons par introduire les algorithmes pour la représentation des degrés non uniformes par des degrès uniformes et inversement. Par la suite, nous présentons une approche pour l’utilisation des modifica-teurs symboliques présentés dans le chapitre 3. Nous proposons aussi un modèle pour le raisonnement approximatif en présence de données imprécises non uniformes.

— Le cinquième chapitre intitulé “Perception de l’odeur de camphre” est dédié à la mise en place d’un système à base de connaissances pour la reconnaissance de l’odeur de camphre. Le système proposé est un moteur d’inférence dans le contexte de la logique multivalente non uniforme qui détecte l’odeur de camphre produite par 99 alcools aliphatiques avec une ou deux molécules de carbone. Le résultat obtenu est sous forme d’un terme linguistique qualifiant l’intensité de l’odeur. — Le sixième chapitre intitulé “Diagnostic de l’autisme infantile” illustre la mise en place d’un outil pour le diagnostic de l’autisme chez les enfants. Nous proposons un système basé sur la logique mul-tivalente non uniforme permettant le dépistage précoce de l’autisme chez les enfants de moins de trois ans. Notre outil sera utile pour les pédiatres ou les éducateurs qui sont en contact avec les enfants. La troisième partie, intitulée Conclusion générale discute l’apport de nos contributions. Cette partie conclut cette thèse et présente nos perspectives de recherche.

(32)

Etat de l’art sur la

repr´

esentation et le

traitement des connaissances

(33)

(34)

Repr´

esentation des

connais-sances impr´

ecises

2.1 Introduction

La modélisation de la connaissance humaine dans les systèmes à base de connaissances doit tenir compte des imprécisions et des incertitudes qui l’entachent. En effet, dans certains domaines, il n’est pas possible, vu les conditions d’observation, de fournir une valeur exacte de ladite variable. Cela peut être dû par exemple à l’imprécision de l’outil de mesure. Il est alors nécessaire de faire une approximation de sa valeur. Ceci peut se faire en utilisant une description qualitative par des termes du langage naturelle comme grande, acre ou tiède. Dans ce cadre, Bouchon-Meunier (1995) in-dique qu’une variable linguistique, notion introduite auparavant par Zadeh (1975a), “sert à modéliser les connaissances imprécises ou vagues sur une variable dont la valeur précise peut être inconnue”.

Différentes approches ont été proposées dans la littérature pour la représentation et le traitement des connaissances imprécises. Les deux ap-proches les plus utilisées sont la logique floue basée sur la théorie des sous-ensembles flous de Zadeh (1965), et la logique multivalente fondée sur la théorie des multi-ensembles de De Glas (1989). Il s’agit d’une généralisation des ensembles classiques. Dans la logique classique, l’appartenance d’un élément x à un sous-ensemble A ne peut être que vraie (valeur 1) ou fausse

(35)

(valeur 0). Cependant, celle d’un élément x à un sous-ensemble flou ou à un multi-ensemble A est partielle. Dans le cas flou, le degré d’appartenance de x à A est compris entre 0 et 1.

L’approche floue comme l’approche multivalente proposent une modélisation symbolique des degrés d’appartenance. Celle-ci permet une caractérisation moins spécifique que celle numérique, et nécessite ainsi moins d’informations manipulées dans le cadre d’un système de raisonnement.

Les travaux menés dans le cadre de la représentation et du traitement des connaissances imprécises se basent sur une hypothèse implicite de la répartition uniforme des degrés. De ce fait, la distance entre les termes deux `

a deux successifs est la même. Cependant, dans certains cas un sous-domaine de l’ensemble peut être plus informatif. Ceci implique plus de termes dans ce sous-domaine en particulier en comparaison avec le reste de l’ensemble. Dans ces cas, la répartition des degrés n’est pas la même sur toute l’échelle et la précision peut être plus ou moins fine.

Par exemple, pour la perception des odeurs, l’expert considère un seul terme négatif, i.e. Pas du tout, qui correspond à aucune odeur per¸cue. Alors qu’il est nécessaire d’avoir une information plus précise quand il y a une odeur per¸cue. Ainsi, l’odeur peut être décrite avec des termes tels que Faible, Légère ou Forte (Figure 2.1). Il est important de préciser que dans ce cas, les termes ne sont pas équidistants c’est-à-dire que la distance entre les termes successifs deux à deux n’est pas identique. Cette distance traduit un écart en terme de sens qu’on leur attache.

Pas du tout Faible L`eg`ere Forte

Figure 2.1 – Ensemble non uniforme de 4 termes linguistiques

Dans d’autres cas, plusieurs experts sont sollicités pour la prise de décision afin d’obtenir la décision la plus fiable possible. Les experts peuvent évaluer leurs connaissances avec des échelles uniformes de tailles et distributions différentes (Figure 2.2). Ainsi, l’ensemble utilisé par le système inclut des termes provenant de ces différentes échelles. Ceci implique la non uniformité de l’échelle, comme l’illustrent les degrés A, B, C, D et F sur la figure 2.2. La fonction d’appartenance correspondant à ces termes est la combinaison des parties marquées en gras dans les fonctions d’appartenance uniformes. Dans le cadre de la logique floue, différents travaux ont utilisé les

(36)

sous-Figure 2.2 – ´Echelles multi-granulaires floues (Herrera et al., 2008)

ensembles non uniformes (Wang et Hao, 2006; Herrera-Viedma et López-Herrera, 2007; Herrera et al., 2008; Dong et al., 2009, 2013; Dong et Herrera-Viedma, 2015). Cependant dans le contexte de la logique multivalente peu de travaux ont été faites pour la prise en compte de ce type de données (Abchir, 2013).

Il est alors indispensable de considèrer de tels ensembles de degrés “non équilibrés” dans le contexte de la logique multivalente. L’objectif de notre travail est alors d’étendre cette logique pour la prise en compte des connais-sances imprécises non uniformément distribuées.

Tout d’abord, il est intéressant d’expliquer les principes de base des deux logiques citées précédemment. Dans ce chapitre, nous présentons les travaux effectués aussi bien dans le cadre de la logique floue que multivalente.

2.2 Des logiques non classiques

Les informations manipul´ees par les humains sont le plus souvent impar-faites. Ces imperfections se manifestent sous de multiples formes : ambigu¨ıt´e,

(37)

incomplétude, imprécision, incertitude ou incohérence. Sans oublier le ca-ractère variable et évolutif des informations relatives au monde dynamique. Ainsi il est particulièrement important pour les experts d’inclure ces imper-fections dans la représentation de leurs connaissances et dans les modèles de raisonnement. Plusieurs approches ont été proposées dans la littérature pour la prise en compte de ces connaissances, les plus connues sont la logique floue (Zadeh, 1965) et la logique multivalente (De Glas, 1989).

Dans ce qui suit nous allons pr´esenter les notions de base des logiques floue et multivalente avant de passer dans la section suivante aux approches exis-tantes de repr´esentation des ensembles non uniformes.

2.2.1 La logique Floue

La logique floue (Zadeh, 1965) étend la logique classique en introduisant un aspect graduel dans le but de formaliser et de traiter des concepts vagues, imprécis ou de nature incertaine. Selon cette logique, chaque terme est représenté par un sous-ensemble flou.

La particularité des sous-ensembles flous est d’une part l’appartenance par-tielle d’un élément à un sous-ensemble, et d’autre part l’appartenance à plusieurs sous-ensembles avec des degrés différents. Dans certains cas un chevauchement entre les sous-ensembles existe et il est dû à l’aspect graduel d’appartenance des éléments aux sous-ensembles flous (Figure 2.3).

Figure 2.3 – Variable linguistique d´ecrivant la superficie d’un logement (Bouchon-Meunier, 1995)

Les données sont représentées par des variables linguistiques. Celles-ci ont été introduites par Zadeh (1975a). Leurs valeurs ne sont pas numériques

(38)

mais symboliques utilisant des mots du langage naturel. Ainsi, une variable linguistique (Figure 2.3) est une variable prenant ses valeurs dans un en-semble de termes linguistiques (Zadeh, 1975a). Ces derniers expriment les différentes nuances, symbolisées par des mots, de l’information traitée. Un terme linguistique peut être interprété comme une étiquette d’un sous-ensemble flou sur les valeurs de la variable numérique de base (Zadeh, 1975a). En décrivant par exemple la superficie d’un logement, dire qu’elle est mi-nuscule est moins spécifique que dire qu’elle fait 9m2_{. Ainsi minuscule est} un terme linguistique de la variable surface ce qui est équivalent à la valeur numérique 9m2 mais dans un contexte moins informatif et moins précis. En effet, le même terme inclut un ensemble de valeurs numériques. Ainsi, chaque terme linguistique est associé à un sous-ensemble flou. La sémantique de ces termes est donnée par la fonction d’appartenance (Bouchon-Meunier, 1995). Définition 1 Un sous-ensemble flou A de l’ensemble de référence X est défini par une fonction d’appartenance qui associe à chaque élément x de X le degré fA(x), compris entre 0 et 1, avec lequel x appartient à A :

fA : X → [0, 1]

Un sous-ensemble flou est défini par sa fonction d’appartenance. Il est alors important de connaˆıtre la meilleure fa¸con de la déterminer que ce soit de fa¸con manuelle ou automatique. Medasani et al. (1998) soulignent l’impor-tance de l’extraction de la fonction d’appartenance à partir de données associées à l’application de la logique floue. Cependant il n’existe pas de règle à suivre pour générer la fonction d’appartenance appropriée. Un autre problème est mis en avant, à savoir le manque de consensus par rapport à la définition et l’interprétation des fonctions d’appartenance ce qui rend leur génération une tâche délicate et non triviale. Par exemple dire que le degré d’appartenance d’un logement A au sous-ensemble flou petite est de 0.7 peut être compris de diverses fa¸cons tels que 70% de la population déclare que A est petite ou que A est distant de 0.3 de la valeur idéale pour qu’un A puisse être considéré comme petite. Ceci implique l’existence d’une multitude de méthodes pour la génération des fonctions d’appartenance qui dépend de l’interprétation de celles-ci. Les auteurs notent aussi l’absence de moyens pour mesurer la qualité et l’exactitude de la fonction générée surtout quand il s’agit de concepts abstraits qualitatifs. Ainsi, la génération des fonctions d’appartenance n’est pas toujours triviale. Le succès de l’utilisation de la logique floue dépend de la fonction d’appartenance utilisée (Medasani et al., 1998).

(39)

2.2.2 La logique Multivalente

De Glas (1989) souligne que la logique floue interprète mal les termes du point de vue sémantique. L’univers du discours peut être discret, qualitatif ou numérique. La logique floue permet de représenter des données imprécises principalement numériques. Ceci implique de simuler, arbitrairement, des domaines numériques pour définir les termes abstraits. La fonction d’ap-partenance floue est toujours numérique et appartient à l’intervalle [0,1], or dans de nombreux cas il est difficile d’estimer une appartenance par un degré numérique. Par exemple pour la perception des odeurs, il est difficile de l’exprimer avec un nombre.

2.2.2.1 Notion de multi-ensemble

De Glas (1989) a proposé la logique multivalente pour traiter les connais-sances imprecises. Chaque terme linguistique est représenté par un multi-ensemble. Dans celui-ci, les informations sont exprimées sous forme d’une échelle LM ordonnée et finie de symboles (Akdag et Pacholczyk, 1989).

LM ={τ0, τ1, ..., τ(M −1)}; M ≥ 2 (2.1) avec τi les degrés d’appartenance aux multi-ensembles(i ∈ [0, M − 1]). Il est à noter que ces degrés sont reliés uniquement par une relation d’ordre total ≤, définie par Akdag et al. (1992) :

τα≤ τβ ⇐⇒ α ≤ β; ∀α et β ∈ [0, M − 1] (2.2) Dans la majorité des travaux existants relatifs à cette logique, ces degrés sont supposés être uniformément répartis sur l’échelle représentant LM. La relation d’appartenance en logique multivalente est partielle :

x∈αA⇐⇒ x appartient à A à un degré α (2.3) Pour exprimer l’imprécision d’un prédicat, un qualificateur linguistique ϑα est associé à chaque degré :

x est ϑα A ⇐⇒ (x est ϑα A) est vrai

(40)

Par exemple, dire que l’odeur est peu acre signifie que l’odeur (x ) satisfait le prédicat acre (A) avec le degré τ2 représenté par l’adverbe peu comme le montre la figure 2.4.

Figure2.4 – Echelle de 7 degrés de vérité symboliques

L’ensemble des degrés de vérité des multi-ensembles forme un treillis de Morgan {LM,⋁, ⋀, ¬, ≤} (Akdag et Pacholczyk, 1989) avec :

— LM ={τ0, τ1, ..., τ(M −1)} l’ensemble fini des M degrés de vérités, muni de la relation d’ordre total ≤ définie par l’équation 2.2 ;

— ⋁ un op´erateur de disjonction tel que τα∨ τβ = τmax(α,β) — ⋀ un op´erateur de conjonction tel que τα∧ τβ = τmin(α,β)

— ¬ un op´erateur de n´egation tel que ¬τα= τn(α) avec n(α) = M − α − 1

2.2.2.2 Les modificateurs

La modification de données en logique multivalente se fait par une transfor-mation du degré ou/et de l’échelle du multi-ensemble. Cela aboutit à une dilatation ou une érosion de l’échelle.

Les travaux de Zadeh (1972) et plus récemment ceux de Akdag et al. (2000, 2001) et Truck (2002) ont porté sur le fait que tout sous-ensemble flou ou multi-ensemble peut être considéré comme étant le modificateur d’un autre sous-ensemble flou ou multi-ensemble respectivement. Des modificateurs lin-guistiques symboliques ont été proposés par Akdag et al. (2000, 2001) dans le contexte de la logique multivalente. Ils ont été généralisés et formalisés par Truck (2002), et nommés Modificateurs Symboliques Généralisés (MSG). Ces modificateurs seront plus détaillés dans le chapitre suivant.

Il est à noter qu’à chaque degré linguistique de l’ensemble considéré, Ak-dag et al. (2000, 2001) associent un taux ou degré d’intensité. En effet, un élément de l’ensemble peut être assimilé à un degré de précision d’une proposition et interprété comme une proportion associée à chaque τi. La proportion prop(τi) peut être vue comme le poids du degré τi par rapport à

(41)

l’ensemble linguistique LM, c’est-à-dire sa proportion par rapport au totale-ment vrai (τM−1). Elle correspond donc au quotient du degré considéré par rapport au degré maximal : prop(τi) = p(τ_M−1i) = _Mi₋₁; avec p(τi) la position dans l’échelle du degré τi.

2.2.2.3 Agrégation des degrés de vérité

Il est souvent nécessaire d’agréger plusieurs degrés de vérité dans une conjonction ou une disjonction de propositions dans le cadre d’un raison-nement par exemple. Il s’agit de combiner plusieurs valeurs, i.e. degrés sym-boliques appartenant à LM, en une seule.

Dans la litt´erature, il existe plusieurs agr´egateurs. Les principales sont les T-normes, T-conormes et les implications. Dans le contexte de la logique multivalente ce sont des applications de : LM × LM → LM

D´efinition 2 (El-Sayed, 2001) En logique multivalente, une T-norme T est une application de LM× LM dans LM satisfaisant les relations suivantes :

T1 - T(τ0, τα) = τ0

T2 - T(τβ, τM−1) = τβ

T3 - T(τα, τβ) = T(τβ, τα)

T4 - { τβ1 ≤ τβ2 et τα1 ≤ τα2 } ⇒ {T(τβ1, τα1) ≤ T(τβ2, τα2)}

T5 - T(τα, T(τβ, τγ)) = T(T(τα, τβ), τγ)

D´efinition 3 (El-Sayed, 2001) En logique multivalente, une T-conorme S est une application de LM×LM dans LM satisfaisant les relations suivantes : S1 - S(τα, τ0) = τα

S2 - S(τα, τβ) = S(τβ, τα)

S3 - S(τα, S(τβ, τγ)) = S (S(τα, τβ), τγ)

S4 - { τβ1 ≤ τβ2 et τα1 ≤ τα2 } ⇒ { S(τα1, τβ1) ≤ S(τα2, τβ2)}

D´efinition 4 (El-Sayed, 2001) Si T est une T-norme, toute application S telle que :

S(τα, τβ) =∼ T(∼ τα,∼ τβ) est une T-conorme.

(42)

Comme exemple de T-normes et T-conormes, nous pouvons citer ceux de Zadeh (1965) et de Lukasiewicz (Table 2.1).

Table 2.1 – Exemples de T-normes et T-conormes

Auteur T(τα, τβ) S(τα, τβ)

Zadeh min(τα, τβ) max(τα, τβ)

Lukasiewicz { τ0 si α+ β ≤ M − 1

τ_{α+β−M −1} sinon {

τM−1 si α+ β ≥ M − 1 τ_α+β sinon

Définition 5 (El-Sayed, 2001) L’implication→ est une application de LM× LM dans LM qui satisfait les propriétés suivantes : ∀(τα, τβ, τγ) ∈ L3M

1. τM−1→ τβ = τβ

2. τα→ τβ = τβ= τM−1⇔ τα≤ τβ 3. τα→ (τβ → τα) = τM−1

4. (τα→ (τβ → τγ)) → (τβ→ (τα→ τγ)) = τM−1 5. (τα→ τβ) → ((τβ→ τγ) → (τα→ τγ)) = τM−1

L’implication de Lukasiewicz est d´efinie par : τα→Lτβ={

τM−1 si τα≤ τβ

τM−1−α+β sinon

2.2.2.4 Similarit´e multi-ensembliste

Une relation de similarité entre les multi-ensembles a été définie par Akdag et al. (1992). Il s’agit d’une relation de similarité entre les degrés de vérité du multi-ensemble.

D´efinition 6 On dira que τα est τγ-voisin de τβ, not´ee ταϑγτβ, si et seule-ment si :

ταϑγτβ ⇔ τγ = Sim(τα, τβ) = Min {τα→ τβ, τβ→ τα }

2.2.2.5 Rapports de cardinalit´e d’El Sayed

El-Sayed (2001) a introduit la notion de cardinalité relative d’un terme A. En effet, celle-ci permet de connaitre la proportion des éléments d’un ensemble qui satisfont A parmi ceux du domaine de discours Ω. Ainsi à chaque degré τi, l’auteur lui associe une cardinalité Qα, celle-ci est alors notée A◂αΩ. Dans ce cas, Qα individus de Ω sont dans A :

(43)

A◂αΩ⇔ Qα= ∣A∣_∣Ω∣, avec ∣.∣ la cardinalit´e de l’ensemble.

El-Sayed (2001) a proposé un ensemble de degrés symboliques de car-dinalité relative LQ9 : {rien-du-tout, moins-d’un-quart, environ-le-quart,

environ-le-tiers, environ-la-moitié, environ-les-deux-tiers, environ-les-trois-quarts, à-peu-près-égale, égale}, sachant que “rien-du-tout” est noté par Q1 et “égale” par Q9. L9 est basé sur l’ensemble linguistique L9 : {pas-du-tout, peu, relativement-peu, plutôt-peu, moyennement-peu, plutôt, relativement, presque, tout-à-fait}. Ainsi, l’indice α est le numéro d’ordre du degré sym-bolique dans LQ9 correspondant au quotient. Nous rappelons que les indices

des degrés symboliques de cardinalité relative appartenant à l’ensemble QM comme définis El-Sayed (2001) sont de 1 à M et non de 0 à (M-1) comme dans la définition de De Glas (1989).

Par exemple, dire qu’environ-le-quart des ´el`eves d’une classe sont des filles se traduit par F Q3 Ω avec :

— Ω le domaine de discours à savoir tous les élèves de la classe ; — F est l’ensemble des filles de la classe ;

— Q3 est le rapport de cardinalit´e vu que 3 est le num´ero d’odre de environ-le-quart dans LQ9.

L’auteur part aussi du principe que connaissant la cardinalité relative de deux ensembles A (∣A∣_∣Ω∣) et B (∣B∣_∣Ω∣) dans Ω tels que ∣A∣_∣Ω∣ ≥ ∣B∣_∣Ω∣, il est possible de déterminer leur rapport de cardinalité : ∣B∣_∣A∣ =

∣B∣ ∣Ω∣ ∣A∣ ∣Ω∣

.

D´efinition 7 (El-Sayed, 2001) La multiplication symbolique I (Table 2.2) est une application d´efinie de Q2

M dans QM satisfaisant les propri´et´es sui-vantes : — ∀(Qα, Qβ) ∈ Q2M, I(Qα, Qβ) = I(Qβ, Qα) — ∀Qβ ∈ QM, I(Q1, Qβ) = Q1 — ∀Qα∈ QM, I(Qα, QM) = Qα — Si Qβ1 ≤ Qβ2 alors I(Qα, Qβ1) ≤ I(Qα, Qβ2) — ∀(Qα, Qβ, Qλ) ∈ Q3M, I(I(Qα, Qβ), Qλ) = I(Qα, I(Qβ, Qλ))

D´efinition 8 (El-Sayed, 2001) La division symbolique C (Table 2.3) est une application de Q2

M dans P(QM) définie à partir de I de la manière suivante : Qµ∈ C(Qα, Qλ) ⇔ Qλ= I(Qα, Qµ)

La table 2.3 est construite `a partir de celle de la multiplication symbolique (Table 2.2) en utilisant l’´equivalence entre les deux rapports. Ce choix est

(44)

Table 2.2 – Table de multiplication symbolique (El-Sayed, 2001) I Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 Q6 Q7 Q8 Q9 Q1 Q1 Q1 Q1 Q1 Q1 Q1 Q1 Q1 Q1 Q2 Q1 Q2 Q2 Q2 Q2 Q2 Q2 Q2 Q2 Q3 Q1 Q2 Q2 Q2 Q2 Q2 Q2 Q3 Q3 Q4 Q1 Q2 Q2 Q2 Q2 Q2 Q3 Q4 Q4 Q5 Q1 Q2 Q2 Q2 Q2 Q3 Q4 Q5 Q5 Q6 Q1 Q2 Q2 Q2 Q3 Q4 Q5 Q6 Q6 Q7 Q1 Q2 Q2 Q3 Q4 Q5 Q6 Q7 Q7 Q8 Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 Q6 Q7 Q8 Q8 Q9 Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 Q6 Q7 Q8 Q9

fait par El Sayed afin que “les degrés Qα soient sémantiquement proches de leurs homologues numériques” (El-Sayed, 2001).

Définition 9 (El-Sayed, 2001) Soient A et B deux sous ensembles de Ω. Le rapport symbolique de la cardinalité de A par celle de B, noté A⊴µ B, est défini comme suit :

— ∀α, ∀λ ∣ α ≤ λ, {A ◂αΩ, B◂λΩ⇒ A ⊴µB avec Qµ∈ C(Qλ, Qα) — ∀µ, A ⊴µB ⇒ {∃α, ∃λ ∣ Qα≤ Qλ, A◂αΩ, B◂λΩ telle que

Qµ∈ C(Qλ, Qα)}

Avec C l’op´erateur de division symbolique (D´efinition 8)

Pour l’exemple déjà cité, nous pouvons exprimer la proportion des filles par rapport à celle des gar¸cons au lieu de le faire par rapport à l’ensemble de la classe. Rappelons que l’ensemble des filles est environ-le-quart (Q3) de la classe. Dans ce cas, l’ensemble des gar¸cons est environ-les-trois-quarts (Q7) de la classe. En appliquant la définition 8, le rapport de cardinalité de l’ensemble des filles par celui de l’ensemble des gar¸cons est :

Qµ∈ C(Q7, Q3) = Q4

Nous pouvons alors dire que l’ensemble des filles est environ-le-tiers de celui des gar¸cons.

Au regard de la définition 9, une condition est imposée pour l’utilisation de ce rapport, à savoir que la cardinalité de A est inférieur à celle de B. Parfois, l’expert exprime ses connaissances telles que la cadinalité de A est supérieur `

a B. Dans ce cas, il faut déduire une expression équivalente en exprimant B en fonction de A. Par exemple, dire que la cardinalité de A est environ 4 fois

(45)

T a bl e 2. 3 – T ab le d e d iv is ion sy m b ol iq u e (E l-S ay ed , 2001) C Q 1 Q 2 Q 3 Q 4 Q 5 Q 6 Q 7 Q 8 Q 9 Q 1 [Q 1 ,Q 9_] ∅ ∅ ∅ ∅ ∅ ∅ ∅ ∅ Q 2 { Q 1_} [Q 2 ,Q 9_] ∅ ∅ ∅ ∅ ∅ ∅ ∅ Q 3 { Q 1_} [Q 2 ,Q 7_] [Q 8 ,Q 9_] ∅ ∅ ∅ ∅ ∅ ∅ Q 4 { Q 1_} [Q 2 ,Q 6_] { Q 7_} [Q 8 ,Q 9_] ∅ ∅ ∅ ∅ ∅ Q 5 { Q 1_} [Q 2 ,Q 5_] { Q 6_} { Q 7_} [Q 8 ,Q 9_] ∅ ∅ ∅ ∅ Q 6 { Q 1_} [Q 2 ,Q 4_] { Q 5_} { Q 6_} { Q 7_} [Q 8 ,Q 9_] ∅ ∅ ∅ Q 7 { Q 1_} [Q 2 ,Q 3_] { Q 4_} { Q 5_} { Q 6_} { Q 7_} [Q 8 ,Q 9_] ∅ ∅ Q 8 { Q 1_} { Q 2_} { Q 3_} { Q 4_} { Q 5_} { Q 6_} { Q 7_} [Q 8 ,Q 9_] ∅ Q 9 { Q 1_} { Q 2_} { Q 3_} { Q 4_} { Q 5_} { Q 6_} { Q 7_} { Q 8_} { Q 9_}

(46)

celle de B est équivalent à dire que la cardinalité de B est environ-un-quart de celle de A.

Un autre opérateur a été défini par El-Sayed (2001) à savoir la somme symbo-lique permettant de calculer l’union de deux sous-ensembles disjoints. Celle-ci correspond à la somme des degrés Qα et Qβ représentant les cardinalités relatives des deux sous-ensembles.

Définition 10 (El-Sayed, 2001) La somme symbolique est l’application SL définie uniquement si α+ β ≤ M + 1 comme suit : SL(Qα, Qβ) = Qα+β+1. Elle satisfait les propriétés suivantes :

— Partiellement définie ∀(Qα, Qβ), SL(Qα, Qβ) est définie si Qβ≤∼ Qα — Complémentarité∀Qα, SL(Qα,∼ Qα) = QM

— Commutativité∀(Qα, Qβ), SL(Qα, Qβ) = SL(Qβ, Qα) — Associativité SL(SL(Qα, Qβ), Qγ) = SL(Qα, SL(Qβ), Qγ) — Elément neutre ∀Qα, SL(Qα, Q1) = Qα

— Croissance Si Qβ1 ≤ Qβ2 alors SL(Qα, Qβ1) ≤ SL(Qα, Qβ2)

D´efinition 11 (El-Sayed, 2001) La soustraction symbolique DLest une ap-plication d´efinie uniquement si α ≥ β par : DL(Qα, Qβ) = Qα−β+1.

Au regard de la propriété de complémentarité de la somme symbolique (Définition 10) et la définition de la soustraction symbolique, il est possible de déduire la cardinalité complémentaire ∼ Qα à partir de :

SL(Qα,∼ Qα) = QM ⇔ DL(QM, Qα) =∼ Qα

En appliquant la d´efinition de la soustraction, nous obtenons : ∼ Qα= QM−α+1

El-Sayed (2001) a aussi étudié la propagation des rapports symboliques de cardinalités pour deux relations ayant un argument en commun. Il a pro-posé, par la suite, une généralisation pour n relations. Dans ce qui suit nous présentons les règles de propagation appliquées dans le cas de plusieurs re-lations ⊴.

D´efinition 12 (El-Sayed, 2001) Transivit´e faible Soit (Qα, Qβ) ∈ Q2_M.

Si { A ⊴βB et B ⊴αE } alors A ⊴γE avec Qγ= I(Qα, Qβ) Par exemple, si :

(47)

— La cardinalit´e de B est environ-la-moiti´e de celle de E

⇒ La cardinalité de A est environ-le-quart de celle de E : Q3= I(Q6, Q5) Définition 13 (El-Sayed, 2001) Réduction à droite

Soit(Qα, Qβ) ∈ Q2M. Si { A ⊴αE et B ⊴βE } alors : — B ⊴γA avec Qγ∈ C(Qα, Qβ) si Qα≥ Qβ — A ⊴γB avec Qγ∈ C(Qβ, Qα) si non Par exemple, si :

— La cardinalité de A est environ-les-deux-tiers de celle de E — La cardinalité de B est environ-la-moitié de celle de E ⇒ La cardinalité de B est environ-les-trois-quart de celle de A : C(Q6, Q5) = {Q7}

Définition 14 (El-Sayed, 2001) Réduction à gauche Soit(Qα, Qβ) ∈ Q2M. Si { A ⊴αE et A ⊴βB } alors :

— B ⊴γE avec Qγ∈ C(Qβ, Qα) si Qα≤ Qβ — E ⊴γB avec Qγ∈ C(Qα, Qβ) si non Par exemple, si :

— La cardinalité de A est environ-le-quart de celle de E — La cardinalité de A est environ-la-moitié de celle de B ⇒ La cardinalité de B est environ-les-deux-tiers de celle de E :

C(Q5, Q3) = {Q6}

2.3 La

repr´

esentation

des

connaissances

impr´

ecises non uniform´

ement distribu´

ees

Dans la section précédente, nous avons présenté les deux principales lo-giques utilisées pour la modélisation des connaissances imprécises à savoir la logique floue et la logique multivalente. Dans cette section, nous allons présenter les travaux portant sur la modélisation des ensembles linguistiques non uniformément distribués dans le cadre des deux logiques précitées. Nous rappellons que la non uniformité peut être due à la définition même de la variable utilisée dans le sens où la précision n’est pas la même tout au long de l’échelle. Elle peut exister aussi quand plusieurs experts interviennent

(48)

chacun avec sa propre échelle uniforme. L’ensemble des degrés utilisé in-clut alors des degrés provenant d’ensembles de tailles et de distributions différentes. Ceci correspond à une échelle non uniforme.

2.3.1 En logique floue

Les principaux travaux traitant les connaissances non uniformément dis-tribuées dans le contexte de la logique floue ont été initiés par Herrera et Mart´ınez (2001) et Herrera et al. (2008). Par la suite, Cabrerizo et al. (2009, 2010) ont proposé une amélioration de cette approche. Abchir et Truck (2012, 2013) ont critiqué l’approche de Herrera et Martinez et ont présenté une autre. Ces différents travaux sont présentés dans ce qui suit.

2.3.1.1 Approche de Herrera et Martinez

Pour travailler sur des échelles non uniformément distribuées, Herrera et Mart´ınez (2001) ont proposé d’utiliser les hiérarchies linguistiques floues. Une hiérarchie linguistique (Herrera et Mart´ınez, 2001) est l’union de plu-sieurs ensembles de termes linguistiques appelés niveaux de la hiérarchie. Chaque niveau a un nombre de termes, nommé granularité, différents des autres niveaux. Un niveau de la hiérarchie est noté l(t, n(t)) avec :

— t : un nombre indiquant le niveau de la hi´erarchie ;

— n(t) : la granularité du niveau t, c’est-à-dire le nombre de termes lin-guistiques dans ce niveau. Chaque terme linguistique a une fonction d’appartenance de forme triangulaire. L’ensemble des fonctions est uni-formément et symétriquement distribué sur [0,1]. La granularité de chaque niveau est toujours impaire (Table 2.4).

Table 2.4 – Hi´erarchie linguistique

Niveau 1 Niveau 2 Niveau 3 Niveau 4

l(t, n(t)) l(1,3) l(2,5) l(3,9) l(4,17)

l(t, n(t)) l(1,7) l(2,13)

Il est à noter que Herrera et Mart´ınez (2001) ont introduit deux hiérarchies linguistiques. La première contenant quatre niveaux (première ligne de la table 2.4) et une seconde avec deux niveaux uniquement (deuxième ligne