Phase Retrieval Procedure for Microwave Linear Arrays

HAL Id: hal-01380057

https://hal-univ-rennes1.archives-ouvertes.fr/hal-01380057

Submitted on 21 Jan 2021

HAL is a multi-disciplinary open access

archive for the deposit and dissemination of

sci-entific research documents, whether they are

pub-lished or not. The documents may come from

teaching and research institutions in France or

abroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est

destinée au dépôt et à la diffusion de documents

scientifiques de niveau recherche, publiés ou non,

émanant des établissements d’enseignement et de

recherche français ou étrangers, des laboratoires

publics ou privés.

Phase Retrieval Procedure for Microwave Linear Arrays

Benjamin Fuchs, Laurent Le Coq

To cite this version:

Benjamin Fuchs, Laurent Le Coq. Phase Retrieval Procedure for Microwave Linear Arrays. European

Conference on Antennas and Propagation, Apr 2015, Lisbonne, Portugal. �hal-01380057�

и¿­» 묮·»ª¿´ Ю±½»¼«®» º±® Ó·½®±©¿ª» Ô·²»¿®

ß®®¿§­

Þ»²¶¿³·² Ú«½¸­ ¿²¼ Ô¿«®»²¬ Ô» ݱ¯

˲·ª»®­·¬l» ¼» λ²²»­ ïô ×ÛÌÎô λ²²»­ô Ú®¿²½» º¾»²¶¿³·²òº«½¸­ ô ´¿«®»²¬ò´»ó½±¯¹à«²·ªó®»²²»­ïòº® ß¾­¬®¿½¬‰ß ³»¬¸±¼±´±¹§ ¬± ­±´ª» ¬¸» °¸¿­» ®»¬®·»ª¿´ °®±¾´»³ ¿®·­·²¹ ·² ³·½®±©¿ª» ´·²»¿® ¿®®¿§ ·­ °®±°±­»¼ò ̸» ¹±¿´ ·­ ¬± ®»ó ½±ª»® ¬¸» ½±³°´»¨ ¿®®¿§ »¨½·¬¿¬·±²­ º®±³ °¸¿­»´»­­ ³»¿­«®»³»²¬­ of the far field. An approach combining convex optimization ø¬± ­±´ª» ¬¸» °¸¿­» ®»¬®·»ª¿´ °®±¾´»³÷ ¿²¼ ¬©± ³»¿­«®»³»²¬ ®«²­ ø¬± ³·¬·¹¿¬» ¬¸» ¿³¾·¹«·¬§ °®±¾´»³÷ ¸¿­ ¾»»² ¼»ª»´±°»¼ ¿²¼ ²«³»®·½¿´´§ ¿­­»­­»¼ ·² ª¿®·±«­ ®»°®»­»²¬¿¬·ª» »¨¿³°´»­ò ̸»­» ®»­«´¬­ ­¸±© ¬¸¿¬ «²¼»® ¿°°®±°®·¿¬» ½±²¼·¬·±²­ ±º ²±·­» ¿²¼ ­¿³°´·²¹ô ·¬ ·­ °±­­·¾´» ¬± «²·¯«»´§ ®»¬®·»ª» ¬¸» ½±³°´»¨ »¨½·¬¿¬·±²­ ±º ´·²»¿® ¿®®¿§­ º®±³ °¸¿­»´»­­ ³»¿­«®»³»²¬­ò ײ¼»¨ Ì»®³­‰°¸¿­» ®»¬®·»ª¿´ô ¿²¬»²²¿ ³»¿­«®»³»²¬­ô °¸¿­»ó ´»­­ ³»¿­«®»³»²¬­ô ½±²ª»¨ ±°¬·³·¦¿¬·±²ò ×ò ×ÒÌÎÑÜËÝÌ×ÑÒ ×² ³·½®±©¿ª»­ô ³»¿­«®·²¹ ¿½½«®¿¬»´§ ¬¸» °¸¿­» ³¿§ ¾» ¿ costly and difficult task in particular at high frequencies. ̸»®» ·­ ¬¸»®»º±®» ¿² ·³°±®¬¿²¬ ·²¬»®»­¬ ·² ¼»ª»´±°·²¹ ¿³°´·¬«¼»ó ±²´§ ³»¿­«®»³»²¬ ³»¬¸±¼­ ¿²¼ ­»ª»®¿´ ±²»­ ¸¿ª» ¿´®»¿¼§ ¾»»² °®±°±­»¼ º±® ¿²¬»²²¿ ³»¬®±´±¹§ ÅïÊÅíÃô ¿®®¿§ ¼·¿¹²±­·­ ¿²¼ ·³¿¹·²¹ ÅìÊÅêÃò и¿­»´»­­ ³»¿­«®»³»²¬­ ¿®» ·²¼»»¼ ¿¬¬®¿½¬·ª» ¾»½¿«­» ¬¸»§ ®»¯«·®» ´»­­ ¿½½«®¿¬» °±­·¬·±²·²¹ ­§­¬»³­ ¿²¼ ®»½»·ª»®­ ø­«½¸ ¿­ ¼»¬»½¬±®­ ±® ­½¿´¿® ²»¬©±®µ ¿²¿´§¦»®­÷ ¬¸¿¬ ¿®» ³«½¸ ½¸»¿°»® ¬¸¿² ¬¸±­» ²»»¼»¼ º±® ¿³°´·¬«¼» ¿²¼ °¸¿­» ³»¿­«®»³»²¬­ò Ó¿¬¸»³¿¬·½¿´´§ô ¬¸» °¸¿­» ®»¬®·»ª¿´ °®±¾´»³ ·­ ²±¬±®·±«­´§ ª»®§ ½¸¿´´»²¹·²¹ò Ѳ ¬¸» ±²» ¸¿²¼ô ·¬ ®»¯«·®»­ ¬¸» ¼»ª»´±°³»²¬ ±º efficient and reliable reconstruction algorithms. On the ot¸»® ¸¿²¼ô ¬¸» °¸¿­» ®»¬®·»ª¿´ °®±¾´»³ ·­ ±º¬»² ·´´ó°±­»¼ ­·²½» ·¬­ ­±´«¬·±² ·­ô ·² ¹»²»®¿´ô ²±¬ «²·¯«»ò

ײ ¬¸·­ °¿°»®ô ©» º±½«­ ±«® ·²ª»­¬·¹¿¬·±² ±² ¬¸» °¸¿­» ®»¬®·»ª¿´ º±® ³·½®±©¿ª» ïóÜ ø´·²»¿®÷ ¿®®¿§­ò Ñ«® ±¾¶»½¬·ª» ·­ ¬± ®»¬®·»ª» ¬¸» ½±³°´»¨ ¿®®¿§ »´»³»²¬ »¨½·¬¿¬·±²­ º®±³ ·¬­ ®¿¼·¿¬»¼ º¿® field magnitude measurements. An efficient approach combin-·²¹ ½±²ª»¨ °®±¹®¿³³combin-·²¹ ø¬± ­±´ª» ¬¸» °¸¿­» ®»¬®·»ª¿´ °®±¾´»³÷ ¿²¼ ¬©± ³»¿­«®»³»²¬ ®«²­ ø¬± ³·¬·¹¿¬» ¬¸» ²±² «²·¯«»²»­­ ±º ¬¸» ­±´«¬·±²÷ ·­ °®±°±­»¼ò ̸» ¹±¿´ ·­ ¬± »³°·®·½¿´´§ ­¸±© ¬¸¿¬ «²¼»® ¿°°®±°®·¿¬» ½±²¼·¬·±²­ ø±º ­¿³°´·²¹ ¿²¼ ²±·­» ´»ª»´÷ô ·¬ ·­ °±­­·¾´» ¬± «²·¯«»´§ ®»½±ª»® ¬¸» »¨½·¬¿¬·±²­ ±º ïóÜ ¿®®¿§ from phaseless far field data.

××ò ÐØßÍÛÎÛÌÎ×ÛÊßÔÐÎÑÞÔÛÓÚÑÎÓËÔßÌ×ÑÒ Ì¸» °¸¿­» ®»¬®·»ª¿´ ­»»µ­ ¬± ®»½±²­¬®«½¬ Ò ½±³°´»¨ »¨½·¬¿ó ¬·±²­ ¨ ¹·ª»² ±²´§ ¬¸» ³¿¹²·¬«¼» ±º Ó ´·²»¿® ³»¿­«®»³»²¬­ §ò ׬ ½¿² ¾» º±®³«´¿¬»¼ ¿­ º±´´±©­æ find ¨ ­«¾¶»½¬ ¬± ¶ß¨¶ ã § øï÷ ©¸»®» ß î ÝÓ Ò _{·­ ¬¸» ­»²­·²¹ ³¿¬®·¨ô ¨ î Ý}Ò _{¿²¼ § î Î}Ó_ò ̸» ¹»±³»¬®§ ±º ¬¸» ·²ª»­¬·¹¿¬»¼ °®±¾´»³ô ·ò»ò ¬¸» ·³¿¹·²¹ ±º ¿ ´·²»¿® ¿®®¿§ô ·­ ®»°®»­»²¬»¼ ·² Ú·¹ò ïò ̸» °®±¾´»³ ¬± ­±´ª»

¨

²

®

²

º

_² Ô·²»¿® ¿®®¿§ »¨½·¬¿¬·±²­ Ú¿® º·»´¼ ³¿¹²·¬«¼» ³»¿­«®»³»²¬­

§

³

§

ï

§

Ó

¨

_Ò

¨

ï Ú·¹ò ïò Ù»±³»¬®§ ±º ¬¸» ´·²»¿® ¿®®¿§ ·³¿¹·²¹ °®±¾´»³ ©·¬¸ ¬¸» ²±¬¿¬·±²­ò ½¿² ¬¸»² ¾» ®»©®·¬¬»²æ find ¨ ­«¾¶»½¬ ¬± ¶¿³Ø¨¶ î ã §_³îå º±® ³ ã ïå æææå Ó øî÷ ©¸»®» §³ ã §ø ³÷ ¿²¼ øæ÷Ø ·­ ¬¸» Ø»®³·¬·¿² ¬®¿²­ó °±­»ò ̸» ­¬»»®·²¹ ª»½¬±® ¿ø ³÷ ·­ ¼»²±¬»¼æ ¿³Ø ã źïø ³÷»¶ î _® ï­·² ³ _º Òø ³÷»¶ î _® Ò­·² ³_{à ©¸»®» ·­ ¬¸»} º®»» ­°¿½» ©¿ª»´»²¹¬¸ô ®² ¿²¼ º²ø ³÷ ¿®» ¬¸» °±­·¬·±² ¿²¼

the far field pattern in the direction ³ ±º ¬¸» ²ó¬¸ ¿²¬»²²¿

®»­°»½¬·ª»´§ò

The radiated field is thus related to the excitations by a disc®»¬» Ú±«®·»® ¬®¿²­º±®³ ·² ¬¸» ½¿­» ±º »¯«·ó­°¿½»¼ ¿²¼ ·­±¬®±°·½ ­±«®½»­ò ̸» °¸¿­» ®»¬®·»ª¿´ °®±¾´»³ ·­ ·² ¹»²»®¿´ ·´´ó°±­»¼ ­·²½» ³¿²§ ¼·ºº»®»²¬ ­»¬­ ±º »¨½·¬¿¬·±²­ ¸¿ª» ¬¸» ­¿³» Ú±«®·»® transform magnitude. Moreover, it is difficult to solve beca«­» ¬¸» ­»¬ ±º ®»¿´ ±® ½±³°´»¨ ²«³¾»®­ ©·¬¸ ¿ ¹·ª»² ³¿¹²·¬«¼» ·­ ²±²ó½±²ª»¨ò ̸» ©¿§­ ø¿÷ ¬± ­±´ª» ¬¸» ²±²ó½±²ª»¨ °¸¿­» ®»¬®·»ª¿´ °®±¾´»³ ¿²¼ ø¾÷ ¬± ³·¬·¹¿¬» ¬¸» ²±²ó«²·¯«»²»­­ ø¿´­± ½¿´´»¼ ¿³¾·¹«·ó ¬·»­÷ ±º ¬¸» ­±´«¬·±² ·² ±®¼»® ¬± «²·¯«»´§ ®»½±ª»® ¬¸» «²¼»®´§·²¹ »¨½·¬¿¬·±²­ ¿®» ¿¼¼®»­­»¼ ·² Í»½¬·±² ××× ¿²¼ ×Ê ®»­°»½¬·ª»´§ò ×××ò ÎÛÍÑÔËÌ×ÑÒ Ê×ßÝÑÒÊÛÈÎÛÔßÈßÌ×ÑÒ

The first convex relaxation of the phase retrieval problem has been introduced by Cand`es et al. [7]–[9]. He observed th¿¬ ¬¸» ²±²ó½±²ª»¨ ³»¿­«®»³»²¬­ § ±² ª»½¬±®­ ¨ ¾»½±³» ´·²»¿®

³»¿­«®»³»²¬­ ±² ³¿¬®·½»­ È ã ¨¨Ø_{ò ̸» ³»¿­«®»³»²¬­ ½¿²} ·²¼»»¼ ¾» ®»©®·¬¬»²æ §_³î ã ¨Øß³¨ ã Ì®øß³È÷ ©¸»®» ߳㠿³¿³Ø ¿®» Ø»®³·¬·¿² ³¿¬®·½»­ ¿²¼ È ã ¨¨Ø ·­ ¿ ®¿²µó±²» Ø»®³·¬·¿² ³¿¬®·¨ò ̸» °¸¿­» ®»¬®·»ª¿´ °®±¾´»³ øî÷ ¾»½±³»­æ find È ­«¾¶»½¬ ¬± Ì®øß³È÷ ã §î³å ³ ã ïå æææå Ó È ð ®¿²µøÈ÷ ã ï øí÷ ¬¸¿¬ ·­ »¯«·ª¿´»²¬ ¬±æ ³·²·³·¦» ®¿²µøÈ÷ ­«¾¶»½¬ ¬± Ì®øß³È÷ ã §î³å ³ ã ïå æææå Ó È ð øì÷

since there exists by definition a rank-one solution.

̸» °®±¾´»³ øì÷ ·­ ¿ ½±³¾·²¿¬±®·¿´´§ ¸¿®¼ °®±¾´»³ò ر©»ª»®ô for positive semidefinite matrices, i.e. in this case since È ðô ¬¸» ®¿²µ º«²½¬·±²¿´ ½¿² ¾» ¿°°®±¨·³¿¬»¼ ¾§ ¿ ½±²ª»¨ ­«®®±¹¿¬»ô ¬¸» ¬®¿½» ²±®³ ¿­ °®±°±­»¼ ·² ÅïðÃò ̸» °®±¾´»³ øì÷ ¾»½±³»­æ ³·²·³·¦» È Ì®øÈ÷ ­«¾¶»½¬ ¬± Ì®øß³È÷ ã §î³å ³ ã ïå æææå Ó È ð øë÷

which is a semidefinite program that is convex and therefore efficiently solvable. The original vectorial phase retriev¿´ °®±¾ó lem is thus convexified by ”lifting” it up to a matrix recovery °®±¾´»³ ¸»²½» ¬¸» ²¿³» и¿­»Ô·º¬ ¹·ª»² ·² ÅéÃô ÅèÃò ײ °®¿½¬·½»ô ¬¸» ³»¿­«®»³»²¬­ ¿®» ½±²¬¿³·²¿¬»¼ ¾§ ²±·­»æ §³ã ¶¿³Ø¨ õ ²³¶ô º±® ³ ã ïå å Ó ©¸»®» ²³·­ ¿ ²±·­» ¬»®³ò ̸» »¯«¿´·¬·»­ ·² øë÷ ²± ´±²¹»® ¸±´¼ ·² °®»­»²½» ±º ²±·­»ò ̸» º±´´±©·²¹ º±®³«´¿¬·±² ¸¿­ ¬¸»² ¾»»² °®±°±­»¼ ·² ÅçÃæ ³·²·³·¦» È Ó È ³ãï Ì®øß³È÷ §î³ øê÷ ­«¾¶»½¬ ¬± È ðæ

In words, solving (6) amounts to find the positive semidefinit» ³¿¬®·¨ È that best fits the observed data in an Àï ­»²­»ò

׺ ¬¸» ­±´«¬·±² ¾È ±º øê÷ ¸¿°°»²­ ¬± ¸¿ª» ®¿²µ ±²» ø¬¸·­ ·­ ²±¬ ¬¸» ½¿­» ·² ¹»²»®¿´÷ô ¬¸»² ¾È ã Â¨Â¨Ø ¿²¼ ¨ ·­ ¬¸» ±°¬·³¿´ ­±´«¬·±² ±º ¬¸» ±®·¹·²¿´ °¸¿­» ®»¬®·»ª¿´ °®±¾´»³ øî÷ò Ѭ¸»®©·­»ô ±²» »¨¬®¿½¬­ ¬¸» ¾»­¬ ®¿²µ ±²» ¿°°®±¨·³¿¬·±² ±º ¾È ¾§ ¬¿µ·²¹ ·¬­ ¬±° »·¹»²ó°¿·® ø ïå «ï÷ô ©¸»®» ï ·­ ¬¸» ´¿®¹»­¬ »·¹»²ª¿´«» ±º ¾ È ¿²¼ «ï·­ ¬¸» ¿­­±½·¿¬»¼ »·¹»²ª»½¬±®ò ̸» ª»½¬±® ¨ ã ° ï«ï ·­ ¬¸»² ¿² ¿°°®±¨·³¿¬» ­±´«¬·±² ±º øî÷ò ̸» ½±²ª»¨ ®»´¿¨¿¬·±² °®±¾´»³ øê÷ ½¿² ¾» ±°¬·³¿´´§ ¿²¼ efficiently solved by freely available software such as CVX ÅïïÃò Ѻ ½±«®­»ô ¬¸»®» ·­ ¿ °®·½» ¬± °¿§ ·² ¬«®²·²¹ ¿ °®±¾´»³ ¬¸¿¬ is originally hard to solve into an efficiently solvable one. ̸»

´·º¬·²¹ °®±½»¼«®» ¬®¿²­º±®³­ ¿ ª»½¬±® ·²¬± ¿ ³¿¬®·¨ °®±¾´»³ ©¸·½¸ ·³°´·»­ ¿ ³«½¸ ´¿®¹»® ®»°®»­»²¬¿¬·±² ±º ¬¸» ­¬¿¬» ­°¿½» ¿²¼ ½±²­»¯«»²¬´§ ¿ ¸·¹¸»® ½±³°«¬¿¬·±²¿´ ½±­¬ò ×Êò ßÐÐÔ×ÝßÌ×ÑÒ ÌÑßÎÎßÇ×ÓßÙ×ÒÙÐÎÑÞÔÛÓÍ ßò Ò±²ó«²·¯«»²»­­ ±º ¬¸» ͱ´«¬·±² ̸» ­±´«¬·±² ¬± ¬¸» °¸¿­» ®»¬®·»ª¿´ °®±¾´»³ øï÷ ·­ô ·² ¹»²»®¿´ô ²±¬ «²·¯«» ¿²¼ ³¿²§ ¿°°®±¿½¸»­ ¸¿ª» ¿´®»¿¼§ ¾»»² °®±°±­»¼ ·² ¬¸» ´·¬»®¿¬«®» ¬± ³·¬·¹¿¬» ¬¸» °±¬»²¬·¿´ ¿³¾·¹«·¬·»­ò ײ ±®¼»® ¬± ¾» »¿­·´§ ¿°°´·½¿¾´» ¬± ³·½®±©¿ª» ³»¿­«®»³»²¬­ô ©» «­» ¿ °®±½»¼«®» ¬¸¿¬ ·­ ­·³·´¿® ¬± ©¸¿¬ ·­ ¼±²» ·² ¸±´±¹®¿°¸§ ÅïîÃò Ô»¬ «­ ¿­­«³» ¬¸¿¬ ©» ¸¿ª» ¿ ®»º»®»²½» ¿²¬»²²¿ ©¸±­» ½±³ó °´»¨ ®¿¼·¿¬·±² °¿¬¬»®² §®»º_{ø ÷ ø¬¸» ª»½¬±® §}®»º _{±º ¼·³»²­·±²} Ó ¿º¬»® ¼·­½®»¬·¦¿¬·±²÷ ·­ µ²±©²ò É» ³»¿­«®» ¬¸» ³¿¹²·¬«¼» of the far field radiated by:

ó ¬¸» ¿®®¿§ «²¼»® ¬»­¬ §ßË Ì _{ã ¶ß}ßË Ì_{¨¶ ¿²¼} ó ¬¸» ·²¬»®º»®»²½» ¾»¬©»»² ¬¸» ¿®®¿§ «²¼»® ¬»­¬ ¿²¼ ¬¸» ®»º»®ó »²½» ¿²¬»²²¿ §ßË Ì õ®»º ã ¶ßßË Ì¨ õ §®»º¶ ©¸»®» ·­ ¬¸» »¨½·¬¿¬·±² ø²±¬ ²»½»­­¿®·´§ µ²±©²÷ ±º ¬¸» ®»º»®»²½» ¿²¬»²²¿ò ̸·­ ­·³°´» °®±½»¼«®» ¿´´±©­ ¬± ³·¬·¹¿¬» ¬¸» ¿³¾·¹«·¬·»­ ¿²¼ ¬¸» »¨½·¬¿¬·±²­ ¿®» ¬¸»² ¼»¬»®³·²»¼ «° ¿ ¹´±¾¿´ °¸¿­»ò ׺ ·² ¿¼¼·¬·±² ¬¸» °¸¿­» ±º ¬¸» »¨½·¬¿¬·±² ·­ µ²±©² ø¿º¬»® ¿ ½¿´·¾®¿¬·±² º±® ·²­¬¿²½»÷ô ¬¸»² ¬¸» ­±´«¬·±² ¨ ·­ «²·¯«»ò Þò λ½±ª»®§ л®º±®³¿²½»­ ï÷ λ½±ª»®§ Û®®±®æ ̸» °¸¿­» ®»¬®·»ª¿´ ¿´¹±®·¬¸³ øê÷ ½±³ó °«¬»­ ¿² ¿°°®±¨·³¿¬» ­±´«¬·±² ¨ º®±³ § 㠶ߨ¶ò ׬­ °»®ó º±®³¿²½» ·­ ¿­­»­­»¼ ¾§ ½¿´½«´¿¬·²¹ ¬¸» ®»´¿¬·ª» ¼·­¬¿²½»Œ ¾»¬©»»² ¬¸» »¨¿½¬ ­±´«¬·±² ¨ ¿²¼ ¬¸» ®»½±ª»®»¼ ±²» ¨ò Í°»½·¿´ ½¿®» ³«­¬ ¾» ¬¿µ»² ­·²½» ¿ ­±´«¬·±² ³¿§ ¾» «²·¯«» «° ¬± ¿ ¹´±¾¿´ °¸¿­»ò ̸«­ô ¬¸» »®®±® ·² »¨½·¬¿¬·±² ¼»²±¬»¼ ø¨å ¨÷ ½¿² ¾» ½±³°«¬»¼ ¿­æ µ¨¨Ø _Â¨Â¨Ø µÚ µ¨¨Ø_µ Ú øé÷ ©¸»®» µæµÚ ­¬¿²¼­ º±® ¬¸» Ú®±¾»²·«­ ²±®³ò ̸» »®®±® ±ª»® ¬¸»

measured field amplitudes is:

ø¶ß¨¶å ¶ß¨¶÷ ã µ ¶ß¨ ߨ¶ µî µß¨µî æ øè÷ ײ ±®¼»® ¬± ¿°°®»½·¿¬» ¬¸» ®»­«´¬­ ©·¬¸ ³±®» °¸§­·½¿´ ·²­·¹¸¬­ô ©» ½¿² ¿´­± ½±³°«¬» ¬¸» ³»¿² ª¿´«»­ ±º ¬¸» »¨½·¬¿¬·±² ¿³°´·¬«¼» ®¿¬·± ¿²¼ °¸¿­» ¼·ºº»®»²½» ø¼»²±¬»¼ ³ø¨å ¨÷ ¿²¼ °ø¨å ¨÷ ®»­°»½¬·ª»´§÷æ ³ø¨å ¨÷ ã ï Ò Ò È ·ãï ³· ©·¬¸ ³·ã ¶Â¨·¶ ¶¨·¶ øç÷ °ø¨å ¨÷ ã ï Ò Ò È ·ãï ¶ °·¶ ©·¬¸ °·ã øĨ· ÷ Ĩ· ©¸»®» ¬¸» ¹´±¾¿´ °¸¿­» ­¸·º¬ ¾»¬©»»² ¨ ¿²¼ ¨ ·­ »¯«¿´ ¬± ã ï Ò Ð_Ò ·ãïøĨ· Ĩ·÷ò

É» ¼»®·ª» º®±³ øç÷ ¬¸» ­¬¿²¼¿®¼ ¼»ª·¿¬·±² ·² ¿³°´·¬«¼» ¿²¼ °¸¿­» ø ³ø¨å ¨÷ ¿²¼ °ø¨å ¨÷ ®»­°»½¬·ª»´§÷æ ³ø¨å ¨÷ ã þ ï Ò Ò È ·ãï ø ³· ³ø¨å ¨÷÷î ýïãî øïð÷ °ø¨å ¨÷ ã þ ï Ò Ò È ·ãï ø °· °ø¨å ¨÷÷î ýïãî

in order to measure the degree of confidence in the retrieved »¨½·¬¿¬·±² ³¿¹²·¬«¼»­ ¿²¼ °¸¿­»­ò

î÷ Ò±·­»æ ̸» ®»½±²­¬®«½¬·±² ±º ¬¸» »¨½·¬¿¬·±²­ ·² °®»­ó »²½» ±º ²±·­» ·­ ½®«½·¿´ º±® °®¿½¬·½¿´ ¿°°´·½¿¬·±²­ò ײ ±«® »¨°»®·³»²¬­ô ¬¸» ³¿¹²·¬«¼» ³»¿­«®»³»²¬ §³·­ °±´´«¬»¼ ¾§ ¿

Ù¿«­­·¿² ©¸·¬» ²±·­» ²³¿­ º±´´±©­æ §³ã ¶¿³Ø¨õ²³¶ò ̸»

level of this noise is quantified by the Signal-to-Noise Rati± øÍÒÎ÷æ ÍÒÎ¼Þ ã ïð ´±¹ïðøЭ·¹²¿´ãв±·­»÷ ©¸»®» Э·¹²¿´ ã

³¿¨³ãïå åÓø¶¿³Ø¨¶ î

÷ ·­ ¬¸» ³¿¨·³«³ ³»¿­«®»¼ °±©»®ò In order to estimate the SNR of a far field measurement in ¿² ¿²»½¸±·½ ½¸¿³¾»®ô ¾±¬¸ ¬¸» º«´´ »¯«·°³»²¬ ­§­¬»³ ø²±·­» floor of the receiver, transmitted power and losses due to the cables and rotary joints) and the reflectivity of the chamber ·¬­»´º ³«­¬ ¾» ¬¿µ»² ·²¬± ¿½½±«²¬ò ß ÍÒÎ ª¿´«» ±º êð ¼Þô ¬¸¿¬ ½±®®»­°±²¼­ ¬± ¿ ®»¿­±²¿¾´§ ¹±±¼ ¿²»½¸±·½ ½¸¿³¾»®ô ©·´´ ¾» ½±²­·¼»®»¼ º±® ¬¸» ²«³»®·½¿´ ¿°°´·½¿¬·±²­ ±º Í»½¬·±² Êò Êò ÒËÓÛÎ×ÝßÔÎÛÍËÔÌÍ Ì¸» ¹±¿´ ±º ¬¸·­ Í»½¬·±² ·­ ¬± ²«³»®·½¿´´§ ¿­­»­­ ¬¸» ®»½±ª»®§ °»®º±®³¿²½»­ ±º ¬¸» °¸¿­» ®»¬®·»ª¿´ ¿´¹±®·¬¸³ øê÷ò ײ ¬¸» ®»¬®·»ª¿´ °®±½»¼«®»ô ¬¸» »´»³»²¬ °±­·¬·±²­ ¿²¼ ®¿¼·¿¬·±² °¿¬¬»®²­ ±º ¬¸» ¿®®¿§ «²¼»® ¬»­¬ô ·ò»ò ±º ¬¸» ­»²­·²¹ ³¿¬®·¨ ßô ¿²¼ ¬¸» ®»º»®»²½» ¿²¬»²²¿ §®»º _{¿®» ¿­­«³»¼ µ²±©²ò}

For each configuration, the simulation is repeated 100 times ©·¬¸ ¼·ºº»®»²¬ ®¿²¼±³ »¨½·¬¿¬·±²­ ø©¸±­» ³¿¹²·¬«¼» ¿²¼ °¸¿­» ¿®» ½¸±­»² «²·º±®³´§ ¾»¬©»»² Åðå ïà ¿²¼ Åðå î à ®»­°»½¬·ª»´§÷ô ¼·ºº»®»²¬ ®¿²¼±³ ³»¿­«®»³»²¬ ª»½¬±®­ ø©¸±­» ¿²¹´» ¿®» ½¸±ó ­»² «²·º±®³´§ ­«½¸ ¬¸¿¬ ï ­·² ï÷ ¿²¼ ¿ Ù¿«­­·¿² ©¸·¬» ²±·­» ·² ±®¼»® ¬± ¹»¬ ³»¿²·²¹º«´ ®»­«´¬­ò ß´´ °®»­»²¬»¼ ®»­«´¬­ ¿®» ¿ª»®¿¹» ª¿´«»­ ±ª»® ¬¸»­» ïðð ­·³«´¿¬·±²­ò ßò Ô·²»¿® ß®®¿§ ±º ×­±¬®±°·½ ͱ«®½»­ ï÷ Í»¬¬·²¹­æ É» ½±²­·¼»® ¿ ´·²»¿® ¿®®¿§ ½±³°±­»¼ ±º Ò ·­±¬®±°·½ ¸¿´º ©¿ª»´»²¹¬¸ ­°¿½»¼ »´»³»²¬­ ¬¸¿¬ ¿®» »¨½·¬»¼ ¾§ ¿ ®¿²¼±³ ¿³°´·¬«¼» ¿²¼ °¸¿­» ¨²ò ß ®»º»®»²½» ¿²¬»²²¿

(also isotropic) with an arbitrary excitation (fixed but cho­»² ®¿²¼±³´§ ·² ¬¸» ­·³«´¿¬·±²­÷ ·­ °´¿½»¼ ¿¬ ¿² ¿®¾·¬®¿®§ ¼·­¬¿²½» øî ·² ¬¸» ­·³«´¿¬·±²­÷ º®±³ ¬¸» »¨¬®»³·¬§ ±º ¬¸» ¿®®¿§ «²¼»® ¬»­¬ò ׬ ¸¿­ ¾»»² ½¸»½µ»¼ ²«³»®·½¿´´§ ¬¸¿¬ ¾±¬¸ ¬¸» °±­·¬·±² ¿²¼ »¨½·¬¿¬·±² ª¿´«» ±º ¬¸·­ ­±«®½» ©·¬¸ ®»­°»½¬ ¬± ¬¸» ¿®®¿§ «²¼»® ¬»­¬ ¼± ²±¬ ·³°¿½¬ ¬¸» ®»½±ª»®§ °»®º±®³¿²½»­ò

2) Influence of the Sampling: The influence of the ratio

ÓãÒ ø²«³¾»® ±º ³»¿­«®»³»²¬ °±·²¬­ ±ª»® ²«³¾»® ±º »¨½·¬¿ó ¬·±²­ ¬± ®»¬®·»ª»÷ ±² ¬¸» ®»½±ª»®§ °»®º±®³¿²½»­ ·­ ·²ª»­¬·¹¿¬»¼ò ̸» »®®±® ·² »¨½·¬¿¬·±²­ ø¨å ¨÷ ·­ °´±¬¬»¼ ¿­ ¿ º«²½¬·±² ±º ¬¸» ­¿³°´·²¹ º±® ´·²»¿® ¿®®¿§­ ±º ª¿®·±«­ »´»³»²¬­ Ò ·² Ú·¹ò îò ײ ¿¾­»²½» ±º ²±·­»ô ¬¸»®» ·­ ¿ ½´»¿® ¬®¿²­·¬·±² ¾»¬©»»² À¾¿¼ù ¿²¼ À¹±±¼ù ®»½±ª»®§ ¿¬ Ó ã îÒ ò ײ °®»­»²½» ±º ¿ ®»¿´·­¬·½ ²±·­» øÍÒÎãêð ¼Þ÷ô ¿ ´»­­ ­¸¿®° ¬®¿²­·¬·±² ¿´­± »¨·­¬­ ¿®±«²¼ Ó ã îÒ ò Ù»²»®¿´´§ ­°»¿µ·²¹ô º±® ¿ ¹·ª»² ­¿³°´·²¹ ÓãÒ ô ¬¸» ®»½±ª»®§ °»®º±®³¿²½»­ ¿®» ¾»¬¬»® º±® ¿ ­³¿´´ ²«³¾»® ±º ¿®®¿§ »´»³»²¬­ Ò ò ²± ²±·­» ÍÒÎãêð¼Þ ­¿³°´·²¹ ÓãÒ ­¿³°´·²¹ ÓãÒ Ú·¹ò îò Û®®±® ·² ¬¸» ®»¬®·»ª»¼ »¨½·¬¿¬·±² ¿³°´·¬«¼»­ ¿­ ¿ º«²½¬·±² ±º ¬¸» ­¿³°´·²¹ º±® ´·²»¿® ¿®®¿§ ±º ª¿®·±«­ »´»³»²¬­ øÒ ãëô ïðô îðô íðô ìð÷ò ̱ »ª¿´«¿¬» ¬¸» ®»½±²­¬®«½¬·±² ¯«¿´·¬§ ¿­ ¿ º«²½¬·±² ±º ¬¸» ­¿³°´·²¹ô ´»¬ «­ °´±¬ ·² Ú·¹ò í ¬¸» ®»½±²­¬®«½¬·±² »®®±®­ ·² ¿³°´·¬«¼» ¿²¼ °¸¿­» º±® ¿ ´·²»¿® ¿®®¿§ ±º Ò ãïð »´»³»²¬­ ·² °®»­»²½» ±º ²±·­» øÍÒÎãêð ¼Þ÷ò É» ®»¬®·»ª»ô ¿­ ­»»² ¿¾±ª»ô the significant improvement in recovery performances when Ó ã îÒ ò ̸»²ô ¬¸» ±ª»®­¿³°´·²¹ ¸»´°­ ¬± º«®¬¸»® ·³°®±ª» «° ¬± ¿ ½»®¬¿·² »¨¬»²¬ ¬¸» ®»½±ª»®§ °»®º±®³¿²½»­ ¿­ ­¸±©² ·² Ú·¹ò í º±® Ó â îÒ ò ­¿³°´·²¹ ÓãÒ ­¿³°´·²¹ ÓãÒ ­¿³°´·²¹ ÓãÒ ­¿³°´·²¹ ÓãÒ Ú·¹ò íò λ½±ª»®§ °»®º±®³¿²½»­ º±® ¿ ´·²»¿® ¿®®¿§ ±º Ò ãïð ·­±¬®±°·½ ­±«®½»­æ influence of the sampling (ÓãÒ ÷ º±® ³»¿­«®»³»²¬­ ©·¬¸ ¿ ÍÒÎ ±º êð ¼Þò

í÷ α¾«­¬²»­­ ¬± Ò±·­»æ Ô»¬ «­ ½¸±±­» ¿ ­¿³°´·²¹ Ó ã îÒ in order to see the influence of the noise on the excitation ®»½±ª»®§ò

The influence of the SNR on the retrieved excitations and field ¿³°´·¬«¼»­ ø ø¨å ¨÷ ¿²¼ ø¶ß¨¶å ¶ß¨¶÷ ®»­°»½¬·ª»´§÷ ·­ °´±¬¬»¼ ·² Ú·¹ò ìò ̸»®» ·­ ½´»¿®´§ ¿ ´·²»¿® ¾»¸¿ª·±® ¾»¬©»»² ¬¸»­» »®®±®­ ¿²¼ ¬¸» ÍÒÎ ©·¬¸ ¿ ´±¹ó´±¹ ­½¿´»ò ̸·­ ¹®¿½»º«´ ¼»¹®¿¼¿¬·±² ­¸±©­ ¬¸¿¬ ¬¸» ½±²ª»¨ ¿°°®±¿½¸ °®±ª·¼»­ ¿ ­¬¿¾´» ®»½±ª»®§ ·²

°®»­»²½» ±º ²±·­»ò

̸» ®»½±²­¬®«½¬·±² »®®±®­ ·² »¨½·¬¿¬·±² ¿³°´·¬«¼» ¿²¼ °¸¿­»

ÍÒΠżÞà ÍÒΠżÞÃ

Fig. 4. Error in the retrieved excitations and field amplitud»­ º±® ¿ ´·²»¿® ¿®®¿§ ±º Ò ãïð »´»³»²¬­ ¿­ ¿ º«²½¬·±² ±º ¬¸» ÍÒÎò ̸» ³¿®µ»®­ ¿®» ¬¸» ®»­«´¬­ ©·¬¸±«¬ ²±·­»ò ¿®» °´±¬¬»¼ ·² Ú·¹ò ë ¿­ ¿ º«²½¬·±² ±º ¬¸» ÍÒÎò ̸»§ ­¸±© ¬¸¿¬ ¿¾±ª» ¿ ¹·ª»² ÍÒÎ ø±º êð ¼Þ º±® ÓãÒ ã î÷ô ¬¸» ®»½±²­¬®«½¬·±² ·­ ª»®§ ¹±±¼ ·² ¿³°´·¬«¼» ¿²¼ º¿·®´§ ¹±±¼ ·² °¸¿­»ò îð ìð êð èð ïðð ð î ì ê è ÍÒΠżÞà ÍÒΠżÞà ÍÒΠżÞà ÍÒΠżÞà ڷ¹ò ëò λ½±ª»®§ °»®º±®³¿²½»­ º±® ¿ ´·²»¿® ¿®®¿§ ±º Ò ãïð ·­±¬®±°·½ ­±«®½»­ ©·¬¸ ¿ ­¿³°´·²¹ Ó ã îÒ : influence of the SNR. Ê×ò ÝÑÒÝÔËÍ×ÑÒ

A procedure has been proposed to efficiently retrieve ¬¸» ½±³°´»¨ »¨½·¬¿¬·±²­ ±º ³·½®±©¿ª» ´·²»¿® ¿®®¿§­ º®±³ ¿³°´·¬«¼»ó±²´§ ³»¿­«®»³»²¬­ò Ю±³·­·²¹ ®»­«´¬­ ­¬¿¾´» ©·¬¸ respect to noise have been obtained. They must be confirmed ¾§ »¨°»®·³»²¬¿´ ª¿´·¼¿¬·±²­ò Ó±®» ¼»¬¿·´­ ¿²¼ ²«³»®·½¿´ ¿°ó °´·½¿¬·±² »¨¿³°´»­ ¿¾±«¬ ¬¸» °®±°±­»¼ ¿°°®±¿½¸ ©·´´ ¾» ¹·ª»² ¿¬ ¬¸» ½±²º»®»²½» ¿²¼ ½¿² ¾» º±«²¼ ·² ÅïíÃò ÎÛÚÛÎÛÒÝÛÍ Åïà ÑòÓò Þ«½½·ô Ùò ÜùÛ´·¿ô Ùò Ô»±²»ô ¿²¼ Îò з»®®·ô ŒÚ¿®óÚ·»´¼ שּׁ»®² Ü»¬»®³·²¿¬·±² º®±³ ¬¸» Ò»¿®óÚ·»´¼ ß³°´·¬«¼» ±² Ì©± Í«®º¿½»­ôŒ ×ÛÛÛ Ì®¿²­ò ß²¬»²²¿­ Ю±°¿¹òô ª±´ò íèô ²±ò ïïô °°ò ïééîóïééçô Ó¿§ ïççðò Åîà Ìò ×­»®²·¿ô Ùò Ô»±²»ô ¿²¼ Îò з»®®·ô ŒÎ¿¼·¿¬·±² שּׁ»®² Ûª¿´«¿¬·±² º®±³ Near-field Intensities on Planes,” IEEE Trans. Antennas Pro°¿¹òô ª±´ò ììô ²±ò ëô °°ò éðïóéïðô Ó¿§ ïççêò

[3] M.D. Migliore, F. Soldovieri, and R. Pierri, ”Far-field a²¬»²²¿ °¿¬¬»®² estimation from near-field data using a low-cost amplitude-±²´§ ³»¿ó ­«®»³»²¬ ­»¬«°ôŒ ×ÛÛÛ Ì®¿²­ò ײ­¬®«³ò Ó»¿­òô ª±´ò ìçô ²±ò ïô °°ò éïóéêô Ú»¾ò îðððò Åìà Üò Ó±®®·­ô ŒÐ¸¿­» ®»¬®·»ª¿´ ·² ¬¸» ®¿¼·± ¸±´±¹®¿°¸§ ±º ®»flector antennas ¿²¼ ®¿¼·± ¬»´»­½±°»­ôŒ ×ÛÛÛ Ì®¿²­ò ß²¬»²²¿­ Ю±°¿¹òô ª±´ò ííô °°ò éìçó éëëô Ö«´§ ïçèëò Åëà ÎòÙò Ç¿½½¿®·²± ¿²¼ Çò ο¸³¿¬óÍ¿³··ô ŒÐ¸¿­»´»­­ Þ·óб´¿® д¿²¿® Ò»¿®ó Ú·»´¼ Ó»¿­«®»³»²¬­ ¿²¼ Ü·¿¹²±­¬·½­ ±º ß®®¿§ ß²¬»²²¿­ôŒ ×ÛÛÛ Ì®¿²­ó ¿½¬·±²­ ±² ß²¬»²²¿­ ¿²¼ Ю±°¿¹¿¬·±²ô ª±´ò ìéô ²±ò íô °°ò ëéìóëèíô Ó¿®½¸ ïçççò Åêà ÑòÓò Þ«½½·ô ßò Ý¿°±¦¦±´·ô ¿²¼ Ùò ÜùÛ´·¿ô ŒÜ·¿¹²±­·­ ±º ß®®¿§ Ú¿«´¬­ º®±³ Ú¿®óÚ·»´¼ ß³°´·¬«¼»óѲ´§ Ü¿¬¿ôŒ ×ÛÛÛ Ì®¿²­ò ß²¬»²²¿­ Ю±°¿¹òô ª±´ò ìèô ²±ò ëô °°ò êìéóêëîô Ó¿§ îðððò

[7] E.J. Cand`es, Y.C. Eldar, T. Strohmer, and V. Voroninskiò ŒÐ¸¿­» ®»¬®·»ª¿´ ª·¿ ³¿¬®·¨ ½±³°´»¬·±²ôŒ Í×ßÓ Öò ±² ׳¿¹·²¹ ͽ·»²½»­ô ²±ò êô ª±´ò ïô °°ò ïççóîîëô îðïïò

[8] E.J. Cand`es, T. Strohmer, and V. Voroninski. ”Phaselif¬ æ »¨¿½¬ ¿²¼ ­¬¿¾´» ­·¹²¿´ ®»½±ª»®§ º®±³ ³¿¹²·¬«¼» ³»¿­«®»³»²¬­ ª·¿ ½±²ª»¨ °®±ó ¹®¿³³·²¹ôŒ ݱ³³«²ò Ы®» ß°°´ò Ó¿¬¸òô ²±ò êêô ª±´ò èô °°ò ïîìïóïîéìô îðïïò

[9] E.J. Cand`es and X. Li, ”Solving quadratic equations via и¿­»Ô·º¬ ©¸»² ¬¸»®» ¿®» ¿¾±«¬ ¿­ ³¿²§ »¯«¿¬·±²­ ¿­ «²µ²±©²­ôŒ Ú±«²¼¿¬·±²­ ±º ݱ³°«¬¿¬·±²¿´ Ó¿¬¸»³¿¬·½­ô îðïíò Åïðà Óò Ú¿¦»´ô Øò Ø·²¼·ô ¿²¼ Íò Þ±§¼ô ŒÎ¿²µ Ó·²·³·¦¿¬·±² ¿²¼ ß°°´·½¿ó ¬·±²­ ·² ͧ­¬»³ ̸»±®§ôŒ Ю±½ò ß³»®·½¿² ݱ²¬®±´ ݱ²º»®»²½»ô Þ±­¬±²ô Ó¿­­¿½¸«­»¬¬­ô Ö«²» îððìò Åïïà ÝÊÈ Î»­»¿®½¸ô ײ½ò ÝÊÈæ Ó¿¬´¿¾ ­±º¬©¿®» º±® ¼·­½·°´·²»¼ ½±²ª»¨ °®±¹®¿³³·²¹ô ª»®­·±² îòð ¾»¬¿ò ¸¬¬°æññ½ª¨®ò½±³ñ½ª¨ô Í»°¬»³¾»® îðïîò Åïîà Ûò Ñ­¸»®±ª·½¸ô Óò Æ·¾«´»ª­µ§ô ¿²¼ ×ò Ç¿ª²»¸ô ŒÐ¸¿­» 묮·»ª¿´ ݱ³¾·²»¼ É·¬¸ Ü·¹·¬¿´ ر´±¹®¿°¸§Œô îðïîò ÅѲ´·²»Ãò ߪ¿·´¿¾´»æ ¸¬¬°æññ¿®¨·ªò±®¹ñ°¼ºñïîðíòðèëíªïò°¼º Åïíà Þò Ú«½¸­ ¿²¼ Ôò Ô» ݱ¯ô ŒÛ¨½·¬¿¬·±² 묮·»ª¿´ ±º Ó·½®±©¿ª» Ô·²»¿® ß®®¿§­ º®±³ и¿­»´»­­ Ú¿® Ú·»´¼ Ü¿¬¿Œô ¿½½»°¬»¼ º±® °«¾´·½¿¬·±² ·² ×ÛÛÛ Ì®¿²­ò ß²¬»²²¿­ Ю±°¿¹òô îðïëò