Fentes de Young : trajectoires d'électrons ?

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Fentes de Young : trajectoires d’électrons ?

Alexandre Gondran

To cite this version:

septembre-novembre 2001 1

Alexandre Gondran

Etudiant de troisième année de l'ENST

Fentes de Young : traje toires d'éle trons?

Responsable de stage : Jean-François Colonna É ole Polyte hnique - CMAP

Correspondant de stage : Fran is S hmitt É ole Nationale Supérieure des Télé ommuni ations

Jeremer ietoutparti ulièrementJean-FrançoisColonnad'avoira eptéd'en adrer estage.Il m'ainitiéàlaproblématiquedelavisualisations ientiqueetm'aapprisàstru turerl'ar hiteture demesprogrammes.

Mer iégalementàFran isS hmitt dem'avoirapportésonsoutiendurant estage,ainsiqu'à AlainMaruanipourl'intérêtportéà estage.Jeremer ieennMi helGondrandem'avoirproposé esujetet initiéauxtraje toiresdeDeBroglie.

1 Introdu tion 3 2 Cal ulde la fon tiond'onde pourles fentes de Young 3

2.1 Des riptiondel'expérien e . . . 3

2.2 MéthodedeFeynman . . . 5

2.3 Traje toiresdedeBroglieet Bohm . . . 6

3 Evolutionde la densitéde probabilité 6 3.1 Densitédeprobabilitéavantlesfentes . . . 7

3.2 Densitédeprobabilitépourune fente( as1) . . . 8

3.3 Densitédeprobabilitépourdeux fentes( as2) . . . 13

3.4 Comparaisondesdeuxphénomènes . . . 19

4 Traje toires d'éle trons 22 4.1 Traje toirespourune fente . . . 22

4.2 Traje toirespourdeux fentes . . . 24

4.3 Comparaisondesdeuxtraje toires . . . 28

5 Con lusion 29

A Expli itationdes al uls 30

B Lesparamétrages 35

C Véri ationdu phénomèneondulatoire 37 D Approximationdes fentes gaussiennes 39

Bienquele débatsur lesfondementsdelathéoriequantiquen'aitjamais essé, ils'est parti- ulièrementintensiéàdeuxépoques:lorsdel'élaborationdelanouvellethéorie(CongrèsSolvay 1927)etau oursdesannées1980(inégalitésdeBell[1℄,[2℄ etexpérien esd'Aspet [3℄).

L'expérien e des fentes de Young est l'expérien e ru iale du débat sur l'interprétation du dualismeonde-parti ule.

Feynman[4℄aé ritàproposde ette expérien eréaliséeave deséle tronsqu'elleabordele pointfondamentaldu omportement mystérieux[deséle trons℄soussonaspe tleplusétrange.[... C'est ℄unphénomène qui est impossible, absolument impossible àexpliquerde façon lassique et qui ontientle ÷urdelamé aniquequantique.Enréalité,ilen ontientmêmel'uniquemystère... DeBroglie(1927)[5℄etBohm(1952)[6℄ontproposédestraje toirespourlesparti ules quan-tiques, ohérentesave l'équation deS hrödingermaisen ontradi tionave lesinégalités d'Hei-senberg.

Mi hel Gondran vient de proposer un nouveau modèle non standard de traje toires [7℄ qui permet dedémontrer l'équation deS hrödingertout en vériantlesinégalitésd'Heisenberg. Les traje toiresdeDeBroglieetBohm orrespondentalorsàlapartiestandardde emodèle.Ildevient don intéressantderelan erledébatdel'interprétationdelamé aniquequantique.

Monstageaeupourbutd'apporterune ontributionà edébat.Ilaétéréalisésousladire tion deJean-FrançoisColonnaaulaboratoirede MathématiquesAppliquées del'É ole Polyte hnique (CMAP).

Ils'agissaitdemontrerlaplausibilitédumodèledestraje toiresparleurssimulationsdansle asdel'expérien edesfentes deYoungréaliséeave deséle trons.

Une simulationde etteexpérien e adéjà étéréaliséeil y aquelquesannées parPhilippidis, Dewdney et Hiley [8℄. Cependant ette simulation n'est qu'appro hée ar d'une part elle n'est ee tuée qu'à partir de la sortie des fentes et d'autre part les fentes sont onsidérées omme gaussiennes, e qui rend le modèle peu réalise. Les traje toires présentées i i orrespondent à l'expérien e réelle en partant d'une sour e unique d'éle trons et ne faisant pas l'approximation gaussiennedesfentes.

Nousprésentonsdansleparagraphe2les onditionsdel'expérien edesfentesdeYoungetles al uls permettantde déterminerlasolutionde S hrödingeràpartirde l'intégrale de hemin de Feynman.

Les deux paragraphes suivants sont onsa rés à l'interprétation des résultats de simulation. Le troisième paragraphe s'intéresse à l'évolution de la densité de probabilité de présen e des éle tronsdansle as d'uneseulefente (phénomènede dira tion)et dedeux fentes (phénomène d'interféren es:expérien edesfentesdeYoung).

Le quatrième paragraphe orrespond auxtraje toiresdes parti ules dansles deux as pré é-dents.

2 Cal ul de la fon tion d'onde pour les fentes de Young 2.1 Des ription de l'expérien e

L'expérien edesfentesdeYoung( f.gure1) onsisteàémettredeséle trons(sour e: anon àéle trons)etàlesdéte tersuruné ran(é rand'arrêtoudedéte tion)aprèsunpassageàtravers uneplaqueper éedeNfentes (plaque;N=2pourlesfentesdeYoung).

35 cm

35 cm

16 m

µ

canon à

électrons

0,2 m

µ

0,8 m

µ

y

x

z

Fig.1Expérien edesfentesdeYoungréaliséeave deséle trons(imagerefaiteen2005)

Dans l'expérien e que nous allons modéliser, nous ne nous intéresserons qu'aux dimensions

(x; y)

del'espa e.

Les al ulsnumériquessontfaits( omme euxdePhilippidis,DewdneyetHiley[8℄)enutilisant desdonnéesissuesdesexpérien esmenéesparJönsson[9℄.Nousdisposonsdon le anonàéle trons aux oordonnées

(x = −X ; y = 0)

.Ilémet deséle tronsayantune vitesse

V

x

= 1, 3 × 10

8

_ms

−1

selon l'axe

(0x)

et

V

y

= 0 ms

−1

selon l'axe

(0y)

( orrespondant à une énergie de

45

keV). On suppose que la sour ed'éle trons est "gaussienne" selon lesaxes

(0x)

et

(0y)

'est-à-dire qu'un éle tron émis par ette sour e a pour oordonnée initiale

(x = w ; y = u)

où

(w ; u)

suit une répartitiongaussienne entréeen

(−X ; 0)

etd'é arttype

(σ

x

, σ

y

)

.

Uneplaqueestpla éeen

x = 0

orthogonalementàl'axe

(0x)

dansleplan

(z0y)

.Desfentes,dont lenombre

N

variera,sontper éesdans etteplaque; esfentessont entréesen

y = Y

ξ

, pour ξ =

1 . . . N

et ont ommedemi-largeurselon

(0y) : b = 10

−7

mètre.

Dansle asdesfentesdeYoung(2trous), esdeuxtroussont entrésen

y =

+

−

5 × 10

−7

mètre (

Y

1

= 5 × 10

−7

m et

Y

2

= −5 × 10

−7

m). Lorsquel'on bou hera une des fentes (phénomène de dira tion),les al ulsserontfaitsave lafentesupérieure(la fente 1)maislesrésultatsseraient analoguess'ils'agissaitdelafente inférieure.

2.2 Méthode de Feynman

Lafon tiond'onde

ψ(x, y, t)

liéeàl'éle tronvériel'équationdeS hrödinger:

i¯

h

∂ψ

∂t

= −

¯

h

2

2m

△ψ + V ψ

ψ(x, y, 0) = ψ

0

(x, y)

Le al uldessolutionsdel'équationdeS hrödingerdansle asdesfentesdeYoungseferaparla méthodedesintégralesde heminsdeFeynman.Feynman[10℄dénitpouruneparti ulelibreune amplitude appelée "kernel" (noyau). Le kernel ara térise la traje toire d'une parti ule partant à l'instant

t

a

dupoint

a(x

a

)

et arrivant àl'instant

t

b

aupoint

b(x

b

)

. Parla suite, on asso iera unpointave uninstant(i.e. onnoterale point

a(x

a

, t

a

)

pourdire quela parti ule est en

x

a

à l'instant

t

a

).Lekernelse al ule,grâ eàuneméthodedénieparFeynman, ommeune somme de toutes les traje toirespossibles entre es deux points, haque traje toire étantpondérée par unefon tiondel'a tion lassiquedeladiteparti ule.

Lelagrangienpouruneparti ulelibre est

L( ˙x, x, t) =



m

˙x

2

2



.

don l'a tion lassiqued'uneparti ulelibreentredeuxpoints

a

et

b

est:

S

cl

(b; a) =

Z

t

b

t

a

L( ˙x, x, t) dt =

m(x

b

− x

a

)

2

2(t

b

− t

a

)

Feynman dénitalorslekernelpar

K(b; a) ∼ exp

 i

¯

h

S

cl

(b; a)



ave

R

+∞

−∞

K(a, b) dx

a

= 1

d'où

K(b; a) =

 2πi¯h(t

b

− t

a

)

m



−1/2

exp

 im(x

b

− x

a

)

2

2¯

h(t

b

− t

a

)



.

Deplus,pourtout autrepoint

c(x

c

, t

c

)

, ona

K(b; a) =

Z

+∞

−∞

K(b; c) × K(c; a) dx

c

.

(1)

La solution de l'équation de S hrödingerau point

a(x

1

, t

1

)

peut être déterminée à partir de la fon tiond'ondeauxpoints

b = (x

2

, t

2

)

et deskernels

K(a, b)

où

x

2

balayelesabs isses

ψ(x

1

, t

1

) =

Z

+∞

−∞

K(x

1

, t

1

; x

2

, t

2

) ψ(x

2

, t

2

) dx

2

(2)

Sionétendlekernelàunese ondedimension,ona

K(b; a) =

 2πi¯h(t

b

− t

a

)

m



−1/2

exp

 im((x

b

− x

a

)

2

_{+ (y}

b

− y

a

)

2

)

2¯

h(t

b

− t

a

)



(3)

2.3 Traje toires de de Broglie et Bohm Onpeuté rirelafon tiond'ondesouslaforme

ψ(x, y, t) =

pρ(x, y, t) exp

 i

¯h

S(x, y, t)



où

ρ(x, y, t) ≥ 0

représenteladensitédeprobabilitédeprésen edel'éle tron.

En reportant etteexpressionde

ψ

enfon tionde

ρ

et

S

dansl'équation de S hrödinger, on trouvelesdeuxéquationssuivantes:

∂S

∂t

+

1

2m

( ~

∇S)

2

_{+ V +}

¯h

2

2m

△ρ

ρ

= 0

(4)

∂ρ

∂t

+ div

ρ

~

∇S

m

!

= 0

(5)

Cettedernièreéquationmontrequesionprend ommevitessedeséle trons

~v(x, y, t) =

~

∇S(x,y,t)

m

, ona

∂ρ

∂t

+ div (ρ~v) = 0

quiest l'équationde onservationdeladensitédeprobabilité( f.Madelung[11℄).

Lestraje toiresdé ritespar ettevitesse orrespondentauxtraje toiresdéniespardeBroglie [5℄etBohm[6℄.Cesont elles- iquenousallonssimuler.Onvériequel'ona

~v =

¯

h

m

Im(~

∇ψ ψ

∗

₎

ψ ψ

∗

(6) d'oùsi

∇ψ = ψ( ~

~

A + i ~

B)

alors

~v =

¯

h

m

B

~

.

Les al uls des densités de probabilité et des vitesses pour es expérien es sont faits en an-nexeA :Expli itationdes al uls.

3 Evolution de la densité de probabilité

EnannexeA(Expli itationdes al uls),nousavonsvuquelafon tiond'ondeavantlesfentes (équation10del'annexeA)est:

ψ(x, y, t) =

(2πY

0

2

)

−1/4



−1 − i

¯

ht

2mY

2

0



−1/2

× exp

 im

¯

h

 (x + X)

2

2t

− V

x

X +

y

2

2t

−

y

2

2t(1 + C

2

t

)



−

mC

t

y

2

2¯

ht(1 + C

2

t

)



ave

C

t

=

¯

ht

2mY

2

0

. Don :

ρ(x, y, t) = |ψ(x, y, t)|

2

= (2πY

0

2

(1 + C

t

2

))

−1/2

exp



−

y

2

2Y

2

0

(1 + C

t

2

)



.

Les gures 3, 4 et 5 représentent les résultats des simulations de ette densité de probabilité

ρ(x, y, t)

.

Fig.3Densitédeprobabilitédelasour e(le anonàéle trons)auxfentes.

On onstatesurlagure3queladensitédeprobabilitédiminuerapidement:à35 entimètres aprèslasour e,onneladistinguequasimentplus.Lephénomènededispersionestassezrapide.Il estdon né essairedeprendreuneé hellelogarithmiquepourreprésenterladensitédeprobabilité. Onvisualisemieuxlephénomèneave lagure4oùl'é helleverti aleestlogarithmique(

ln(1+10×

densitédeprobabilité)).

logarithmique

Fig.5 La gurede gau hereprésente la densitéde probabilité auniveau dela plaqueper ée d'uneseulefente entréeen

y = 5 × 10

−7

mètre( as1). Lagurededroite représenteladensité deprobabilitépourdeuxfentes entréesen

y = 5

+

−

10

−7

mètre( as2) .

3.2 Densité de probabilité pour une fente ( as 1)

Lafon tiond'onde

ψ(x, y, t)

aprèslesfentes( f.équations12,13,14,15et18del'annexeA), est

F (t) = −i(2πY

2

0

)

−1/4



_m

2π¯

h(t − T )



1/2



i −

¯

hT

2mY

2

0



−1/2

G(x, y, t) = exp

 im

2¯

h



x

2

t − T

+

y

2

t − T

− V

x

X



H(y, t) =

ξ=N

X

ξ=1

Z

Y

ξ

+b

Y

ξ

−b

f (y, v) dv.

d'où

|ψ(x, y, t)|

2

_{= (2πY}

2

0

)

−1/2



_m

2π¯

h(t − T )



1 +



_¯

_hT

2mY

2

0



2

!

−1/2

|H(y, t)|

2

_.

Cetteformuleestvalablequelquesoitlenombredefentes. On onsidère une seulefente; elleest entrée en

y = 5 × 10

−7

mètre et a une demi largeur

b = 10

−7

mètre.L'évolutionde ladensitéde probabilitéausortir delafente est représentée sur lesgure6et7.

Fig.6Densitédeprobabilitéà

10

−7

nomènededira tion).

On peutmettre enéviden e quatrepériodes ara téristiquesdans ette évolution.Rappelons quelafenteest entréeen

y = 5 × 10

−7

met quelademi-largeurest

b = 10

−7

m. De

10

−7

m à

10

−5

m après la fente : un re tangle très bruité. Au niveau de la fente ladensitédeprobabilitéestquasi-re tangulaire( f. gure5),ellerested'apparen ere tangulaire jusqu'àune distan ede

10

−5

mètremalgréunbruitagequasi- haotique,voirlagure8.

Fig.8Densitédeprobabilitéà

10

−6

età

10

−5

mètredelasortiedelafente.

De

10

−5

à

10

−3

m après la fente : du re tangle très irrégulier jusqu'à un minimum entral. Commelemontrelagure9,de

10

−5

à

10

−3

unminimum entral.

Fig.9Évolutiondeladensitédeprobabilitéde

10

−5

mètreà

10

−3

mètredelasortiedelafente ( as1).

De

10

−3

à

2 × 10

−3

m après la fente : du minimum entral au pi entral. Comme le montrelagure10,lorsde ettepériode,leminimum entralvapeuàpeudevenirunmaximum global.

Fig.10Évolutiondeladensitédeprobabilitéde

10

−3

mètreà

2 × 10

−3

mètredelasortiedela fente.

De

2 × 10

−3

à

35 × 10

−2

m après la fente (et au delà) : du pi entral à la gure de dira tion lassique. Lagure11représenteladernièreévolutiondeladensitédeprobabilité: le pi entral se disperse. Lors de ette période, on retrouvela densité de probabilité (de type sinus ardinal) al uléeparlesapproximationsdeFraunhofer( f.annexeC).Lagure12représente ettedensitédeprobabilitéà

35 × 10

−2

mètre delafente.

Fig.11Évolutiondeladensitédeprobabilitéde

2 × 10

−3

mètre à

35 × 10

−2

mètre delasortie delafente(attentionreprésentationave uneé hellelogarithmique).

Onreprésentesurlesgure13et14,l'évolutiondeladensitédeprobabilitéausortirdesdeux fentes.

Fig.13Densitédeprobabilitépourlephénomèned'interféren e(2trous)à

10

−7

mdelasortie desfentes.

Fig.14Évolutionglobaledeladensitédeprobabilitéàlasortie des2fenteset jusqu'à35 m desfentes.

e assont entréesen

y =

+

−

5 × 10

−7

met ontunedemi-largeurégaleà

b = 10

−7

m. De

10

−7

m à

10

−5

m après les fentes : deux re tangles très bruités. Au passage par la plaque, la densité de probabilité est quasi-re tangulaire au niveaude ha une des fentes ( f. gure 5). Elle reste d'apparen e re tangulaire jusqu'à une distan e de

10

−5

mètre malgré un bruitagequasi- haotique,voirlagure15.Cettepériodeestsimilaireau asd'uneseulefente.

Fig.15Densitédeprobabilitéà

10

−6

et

10

−5

mètredelasortiedesdeuxfentes.

De

10

−5

à

10

−3

m après les fentes : des re tangles très irréguliers jusqu'à un mini-mum entral. Comme lemontre la gure 16, de

10

−5

à

10

−3

m, le bruitage quasi- haotique s'harmonise.Ladensitédeprobabilitéquiétaitdeformere tangulairesetransformeenuneforme admettantunminimum entral.Jusqu'à

10

−3

mlesphénomènesave uneoudeuxfentessonttrès similaires.

Fig.16 Évolutionde ladensitéde probabilitéde

10

−5

mètre à

10

−3

mètre aprèslasortie des deuxfentes.

De

10

−3

à

10

−2

maprèslesfentes:rappro hementdesdensitésdeprobabilité. Comme lemontrelagure 17,lorsde ettepériode,lesdeuxdensitésvonts'étaleretserappro her.

Fig.17 Évolutionde ladensitéde probabilitéde

10

−3

mètre à

10

−2

mètre aprèslasortie des deuxfentes.

De

10

−2

à

4 × 10

−2

m après les deux fentes : formation d'un pi entral. Comme le montre lagure 18, lorsde ettepériode, lesdeux densitésvonts'uniret formerun pi entral (maximumglobal de ladensité).C'est la périodedurant laquelle seforme l'ébau he desfranges d'interféren es.

Fig.18 Évolutionde ladensitéde probabilitéde

10

−2

mètre à

4 × 10

−2

mètre après lasortie desdeuxfentes.

De

4 × 10

−2

à

35 × 10

−2

m après les deux fentes (et au delà) : du pi entral à la gured'interféren e lassique. Lagure19représenteladernièreévolutiondeladensitéde probabilité.Laformationdesfrangesd'interféren es'a hève.Lorsde ettepériode,onretrouvela densitéde probabilité(detypesinus ardinal) al ulée parlesapproximationsde Fraunhofer( f. annexeC).Lagure20représente ettedensitédeprobabilitéà

35 × 10

−2

mètredesdeuxfentes.

Fig.19  Evolution de ladensité de probabilité de

4 × 10

−2

mètre à

35 × 10

−2

mètre après la sortiedesdeuxfentes.

Fig.21Densitédeprobabilitéà

0, 1

mm(a),à

1

m(b),à

3

m( ) età

35

m(d)delasortie desdeuxfentes(phénomèned'interféren es)-imagerefaiteen2005.

Ons'intéressei iauxsimilitudesdesdeuxphénomènes:lorsquelesdeuxtroussontouvertset lorsquel'onenbou heun.

Les deux premières périodes sont identiques. Bienque es deuxphénomènes soient fon-damentalementdiérents,lesdensitésdeprobabilitésontsimilairesjusqu'àunedistan e de

10

−3

mètre.Lesgures23et24superposentlesdensitédeprobabilitéspouruneetdeuxfentesà

10

−5

,

10

−4

et

10

−3

mètre de la sortie des fentes; on onstate qu'à es distan es il est di ile, voir impossible,dedis ernerlesdeux ourbes.

Fig. 23 Densités de probabilité après une seule fente (trait en pointillé) et après deux fentes (traitplein) àunedistan e de

10

−5

mde lasortiedelafente supérieure.A ette distan e,il est impossiblededis ernerlesdeux ourbes.

Fig.24Densitésdeprobabilitéaprèsuneseulefente (traitplein) etaprèsdeuxfentes (entrait enpointillé)àunedistan ede

10

−4

m (guredegau he)et

10

−3

m (gurededroite)delasortie delafentesupérieure.

A partir de

10

−3

maprès la sortiedes fentes. Ilestintéressantde omparerladensitéde probabilitéaprèsdeuxfentesparrapportà elleaprèsuneseulefente( asoùl'onbou heunedes deuxfentes). Maisilest en oreplusintéressantde omparerladensitéde probabilitéaprèsdeux

séparément. En eet e qui est surprenanten mé aniquequantique parrapport à lamé anique lassique, 'estlephénomèned'interféren e:ave lamé anique lassique,ons'attendàunesimple addition des densité de probabilités de ha une des deux fentes, mais en mé anique quantique il y aune"intera tion"entre es deuxfentesave l'apparitiondes frangesd'interféren e.On va don s'intéresserà ette omparaisondans lesguressuivantes (gures 25,26, 27).Lestraits en pointillés représententla densité de probabilité lorsque les deux fentes sont ouvertes(

|ψ

AB

|

2

si A et B sont lesfentes) et les traits pleins lasomme des densité de probabilités de ha une des deux fentes onsidérées séparément(

|ψ

A

|

2

_{+ |ψ}

B

|

2

). Les gures25, 26, 27 montrent le début et l'évolutiondesdiéren esentrelesdeuxphénomènes.

Fig.25Vueàunedistan ede1 mdesfentesdeladensitédeprobabilitéaprèsdeuxfentes(trait en pointillé) et de la somme desdensité de probabilitésdes deux fentes onsidéréesséparément (traitplein).

Fig.26 Vue àune distan e de

3

entimètres (gure degau he)et de

5

entimètres (gure de droite)deladensitédeprobabilitéaprèsdeuxfentes(traitenpointillé)etdelasommedesdensité deprobabilitésdesdeuxfentes onsidéréesséparément(traitplein).

Fig. 27 Vue àune distan e de

10

entimètres (gure de gau he)et de

35

entimètres (gure de droite) de ladensité de probabilité après deux fentes (trait en pointillé) et de la somme des densitédeprobabilitésdesdeuxfentes onsidéréesséparément(traitplein).

Questions. Nousavons al uléladensitédeprobabilitédeprésen edeséle tronspour esdeux phénomèneset onpeutseposerlaquestion:parquelle(s)fente(s) unéle tron, apté parl'é ran d'arrêt, est-il passé?(la fente1,lafente 2oulesdeuxfentesàlafois)

Lorsqu'iln'yaqu'uneseulefente ouverte,ilest évidentquel'éle tronestpasséparlaseulefente existante.

Lorsquelesdeux fentes sontouvertes, dansles premiers

10

−3

m qui suivent lasortiedes fentes, étant donné que les densité de probabilités pour un ou deux trous sont quasiment les mêmes (gures23et24),ilestdi iledenepas on lureparqueltroupasse haqueéle tron.Eneetles densitédeprobabilitésjusteavantlesfentesetjusteaprèslesfentesétant ontinues,ilestdi ile de on evoirqu'unéle tron aptéjusteaprèsunefente(

< 10

−3

mètre)soitpasséparl'autrefente ouparlesdeuxfentes àlafois.

Ensuite à

1

entimètre, bien que les densité de probabilités des deux fentes se soient réunies, il apparaît normal que les deux prin ipaux paquets proviennent ha un d'une des deux fentes

( f.gure26).Lasimpleobservation del'évolutiondeladensitédeprobabilitépermetdon une interprétationduphénomène.

Ilsemblebienquel'éle tronpasseparl'uneoul'autredesfenteslorsdel'expérien edesfentes deYoung.

Auparagraphe4,nousallonsvoir ommentlathéoriedel'ondepilotedeDeBroglie[5℄permet d'attribuerunetraje toireauxéle trons.

4 Traje toires d'éle trons

Aprèsavoirobservél'évolutiondeladensitédeprobabilité,l'idéed'uneexisten edetraje toire pourleséle tronssembleasseznaturelle.Nousallonsdon dénirdestraje toirespourleséle trons parlaméthodedeDeBroglieetdeBohm,dénitauparagraphe2.3.

Noussimulonsle anonàéle tronsparuntiragealéatoiredes oordonnéesinitiales

(x

initial

; y

initial

)

des éle trons, où

x

initial

= −X

est xé et où

y

initial

suit la loi normale

(m = 0 ; σ

y

= 10

−7

₎

. Le al ul desvitessesest dé ritenannexe A.Trèspeud'éle tronspassentparlesfentes (environ 5% par ha unedesfentes).Onpeutmêmedéterminerlaposition initialedeséle tronsquivont passer parlesfentes. Parexemple, leséle tronsquipasserontàtraverslafente ouverte eny sur l'intervalle

[4 · 10

−7

_{m ; 6 · 10}

−7

_m]

serontémisparlasour e(situéeà35 entimètreavantlaplaque) ave un

y

initial

omprisdansl'intervalle

[2.561 · 10

−8

_{m ; 3.84 · 10}

−8

_m]

.

Le al ul destraje toiresm'aposédesproblèmespourdénirlespasdetemps( f. dis ussion enannexeB).

4.1 Traje toires pour une fente

Commençonspar"voir" lestraje toires deséle tronsà traversune seule fente (l'autre étant obstruée): 'estunphénomènededira tion.

Nous allons voir que e phénomène est expli able si l'on onsidère les éle trons omme des parti ules guidées par l'onde-pilote de De Broglie [5℄. Nous observons sur la gure 28 que les traje toiresreprésententlephénomènededira tion.

Toutsepasse ommesi e phénomèneondulatoiren'était qu'uneémergen ed'unphénomène orpus ulaire.Eneet,unepropriétéfondamentalede estraje toiresestque, ommenousl'avons vu,ladensitédeprobabilité

ρ(x, y, t)

d'unefamillede esparti ulesdontlavitesseestdonnéepar (6)vériel'équationde ontinuitédeMadelung[11℄ :

∂ρ

uneplaqueper éed'uneseulefente.

Aprèslafente,onobservequeleséle tronsadoptentassezrapidementunetraje toirere tiligne.

Fig.29  Sur ette gure,après qu'un grandnombrede parti ules ait été émis, on retrouvela densitédeprobabilité ara térisantladira tion.

Nousnousintéressonsmaintenantàlasimulationdel'expérien edesfentesdeYoungpourdes éle trons( f. expérien edeJönsson[9℄)

Fig.30Traje toiresde25éle tronsémisparlasour e,20d'entreeuxpassentparunedesdeux fentes.

Il est intéressantde noter qu'au unetraje toire nefran hit leplan desymétrie. Ce i signie quetouteslesparti ulesobservéesdanslapartiesupérieure(respe tivementinférieure)del'é ran d'arrêt(à35 mdesfentes)proviennentdelafentesupérieure(respe tivementinférieure).

Fig.31Traje toiresde165éle tronspassantparlesdeuxfentes. Onretrouvelesfranges d'in-terféren es.

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

µ

m

70 cm

−2

−1

0

1

2

µ

m

35 cm

Fig.33Zoomdes200traje toiresd'éle tronspassantparlesdeuxfentes-imagerefaiteen2005.

Lorsdel'expérien eréelle(réalisée parJönsson[9℄) onémetdelasour e leséle tronsunpar un.Ils "traversent"lesfenteset arriventunparunsurl'é ran d'arrêt(situéà35 m desfentes). Onrepèresurl'é rand'arrêtlepointd'impa tde ha undeséle tronsparses oordonnées

(y, z)

. Ilestdon intéressantd'observerlesimpa tsdeséle tronssurl'é rand'arrêtaufuretàmesuredu déroulementdel'expérien e.Lagure34représente lesimpa tsdeNéle tronsà35 mdesfentes pourN=50,100,200,1000et 5000.

Nousavonsvudansleparagraphe3.4quelesdensitésdeprobabilitépourlesphénomènesde dira tionet d'interféren essonttrès semblables àlasortiedes fentes (àmoins d'un entimètre desfentes).Quedeviennent essimilitudesauniveaudestraje toires?Pour elanous al ulonsla traje toired'unmêmeéle tron(même oordonnéesinitialesauniveaudu anon àéle tron) dans le asd'unefente etdedeuxfentes.

Fig.35 Comparaisonde latraje toired'un mêmeéle tron maisdira tée par une seulefente pourlatraje toireinférieureetdira téeparlesdeuxfentespourlatraje toiresupérieure.

n'interviennentdon qu'après epremier entimètre.

5 Con lusion

Lessimulationspré édentesmontrentquetoutsepasse ommesileséle trons,dansle asdes fentesdeYoung,ontbien unetraje toire.

Pour relan erledébat del'interprétationde lamé anique quantique, il est né essaire de gé-néraliserla simulationpré édente auxautres expérien es lassiques delamé anique quantique: eettunnel,expérien edemesureduspinparSternet Gerla h, expérien eEPR, traje toiresde l'éle trondansl'atomed'hydrogène...

Cette interprétation n'est pas en ontradi tion ave elle de Copenhague. Elle lui est om-plémentaire:l'interprétationstatistiquedesrésultats orpus ulairesredonnentl'interprétationde Copenhague.

Dans etteannexe,nousdévelopponsles al ulspourdéterminerlesdensitésdeprobabilitéet lesvitessesdeséle tronsdansle asdesfentesdeYoung.Rappelonssurlagure37les hémade l'expérien e.

Fig.37S hémadel'expérien e

A l'instantinitial(émissiondeséle trons),lepaquetd'ondesest gaussien:

ψ

0

(x, y) = ψ(x, y, 0) =

(2πσ

2

x

)

−1/4

exp (ik

x

x) exp

 −(x − x

0

)

2

4σ

2

x



×(2πσ

y

2

)

−1/4

exp (ik

y

y) exp

 −(y − y

0

)

2

4σ

2

y



Supposons maintenantque

~k =



k

x

= mV

x

/¯

h

k

y

= 0



,

~x =



x

0

= −X

y

0

= 0



,

σ

y

= Y

0

et que

σ

x

→ 0

. Alors

lim

σ

x

→0



(2πσ

2

x

)

−1/4

exp



−(x−x

0

)

2

4σ

2

x



= δ

0

(x − x

0

) = δ

x

0

(x)

ave

δ

x

0

(x) =



∞

pour

x = x

0

0

pour

x 6= x

0

et

R

+∞

−∞

f (x)δ

x

0

(x) dx = f (x

0

)

. Onadon

ψ

0

(x, y) = (2πY

0

2

)

−1/4

exp (ik

x

x) exp

 −y

2

4Y

2

0



δ

−X

(x)

(7)

Cal ulde la vitesse entrela sour eetles fentes. Onad'aprèsl'équation3:

K(x, y, t ; w, v, 0) =

 2πi¯ht

m



−1/2

exp

 im((x − w)

2

_{+ (y − v)}

2

₎

2¯

ht



Don d'aprèsl'équation 2:

ψ(x, y, t) =

Z

+∞

Z

+∞

=

(2πY

0

2

)

−1/4

 2πi¯ht

m



−1/2

exp (imy

2

/2¯

ht)

×

Z

+∞

−∞

exp [(im/2¯ht)(x − w)

2

_{+ ik}

x

w]δ

−X

(w) dw

×

Z

+∞

−∞

exp



im/2¯

ht − 1/4Y

0

2

v

2

+ (−imy/¯

ht)v dv.

Or

Z

+∞

−∞

exp [(im/2¯ht)(x − w)

2

_{+ ik}

x

w]δ

−X

(w) dw = exp [(im/2¯ht)(x + X)

2

− ik

x

X]

(8) etpuisque

Z

+∞

−∞

exp (αv

2

+ βv) dv =

r

_π

−α

exp



−

β

2

4α



si

Re(α) ≤ 0

(9) alors

Z

+∞

−∞

exp

 im

2¯

ht

−

1

4Y

2

0



v

2

+

 −imy

¯

ht



v



dv =



_m

2π¯

ht

(i −

¯

ht

2mY

2

0

)



−1/2

× exp



−

my

2

2¯

ht

i + ¯

ht/2mY

2

0

1 + (¯

ht/2mY

2

0

)

−1/2



ave

α =

m

2¯

ht



i −

¯

ht

2mY

2

0



et

β = −

imy

¯

ht

. Enposant

C

t

=

¯

ht

2mY

2

0

,ona

ψ(x, y, t) =

(2πY

0

2

)

−1/4



−1 − i

¯

ht

2mY

2

0



−1/2

(10)

× exp

 im

¯

h

 (x + X)

2

2t

− V

x

X +

y

2

2t

−

y

2

2t(1 + C

2

t

)



−

mC

t

y

2

2¯

ht(1 + C

2

t

)



don

∂ψ

∂x

(x, y, t) = ψ(x, y, t)

 im

¯

h

x + X

t



d'où

v

x

(x, t) =

x + X

t

.

Or

v

x

=

dx

dt

,don

dx

x+X

=

dt

t

. Onendéduit

∀t, x(t) = V

x

t − X

.

Lavitessedelaparti uleselonl'axe

(0x)

estdon onstanteentrelasour eetlaplaque.(

v

x

(x, t) =

v

x

(x, 0) = V

x

). Don

T = X/V

x

est la duréepour qu'un éle tronparti de la sour e arriveà la plaque(auxfentes).

D'autrepart

∂ψ

∂y

(x, y, t) = ψ(x, y, t)

 im

¯

h

 y

t

−

y

t(1 + C

2

t

)



−

myC

t

¯

ht(1 + C

2

t

)



d'où

v

y

(y, t) = y

¯

h

2

t

4m

2

_Y

4

0

1



1 +



_2mY

¯

ht

2

0



2

 .

les oordonnées

(x, y)

se fait par la même méthode. Nous allons faire e al ul pour qu'il soit valablequelquesoitlenombreNdefentes.

Commeon peut le onstater sur la gure2, la traje toire de

a(w, v, 0)

à

b(x, y, t)

peutêtre dé omposéeenpassantpar

c(0, u, T )

où

u ⊆ U

,ave

U =

S

N

ξ=1

[Y

ξ

− b , Y

ξ

+ b]

( f.équation1).

K

0

(x, y, t ; w, v, 0) =

Z

U

K

1

(x, y, t ; 0, u, T ) K

2

(0, u, T ; w, v, 0) du

Nouspartonstoujoursd'un paquetd'ondegaussiendelaforme( f.7):

ψ

0

(x, y) = (2πY

0

2

)

−1/4

exp (ik

x

x) exp

 −y

2

4Y

2

0



δ

_−X

(x)

don d'aprèsl'équation 2:

ψ(x, y, t) =

Z

+∞

−∞

Z

+∞

−∞

Z

U

K

1

K

2

du



ψ

0

(w, v) dw dv.

Posons

ψ(x, y, t) =

N

X

ξ=1

ψ

ξ

(x, y, t)

(11) ave

ψ

ξ

(x, y, t) =

Z

+∞

−∞

Z

+∞

−∞

Z

Y

ξ

+b

Y

ξ

−b

K

1

K

2

ψ

0

(w, v) dw du dv

K

1

(x, y, t ; 0, u, T ) =

 2πi¯h(t − T )

m



−1/2

exp

 im(x

2

_{+ (y − u)}

2

₎

2¯

h(t − T )



K

2

(0, u, T ; w, v, 0) =

 2πi¯hT

m



−1/2

exp

 im(w

2

_{+ (u − v)}

2

₎

2¯

hT



Enutilisant(9),ona

Z

+∞

−∞

exp [(im/2¯hT )w

2

_{+ ik}

x

w]δ

−X

(w) dw

= exp [(im/2¯

hT )X

2

− ik

x

X]

= exp −(im/2¯

hT )V

x

X

ar

V

x

= X/T

et

k

x

= mV

x

/¯

h

. Alors

ψ

ξ

(x, y) =

−

 im

2π¯

h



_(2πY

2

0

)

−1/4

pT (t − T )

exp

 im

2¯

h



_x

2

(t − T )

+

y

2

(t − T )

− V

x

X



×

Z

Y

ξ

+b

Y

ξ

−b



exp



im

2¯

h(t − T )

(u

2

_{− 2yu)}



exp

 im

2¯

hT

u

2



I



du

où

I =

Z

+∞

−∞

exp

 im

2¯

hT

−

1

4Y

2

0



v

2

−

imu

¯

hT

v



dv.

Enutilisantlaformule

R

+∞

−∞

exp (αx

2

_{+ βx) dx =}

q

π

−α

exp



−

_4α

β

2



si

Re(α) ≤ 0

ave

α =

m

2¯

hT



i −

¯

hT

2mY

2

0



et

β = −i

mu

¯

hT

, onobtient

I =



m

2π¯

hT



i −

¯

hT

2mY

2



−1/2

exp







−

mu

2

2¯

hT

1





2



i +

¯

hT

2mY

2









.

ψ(x, y, t) = F (t) G(x, y, t) H(y, t)

avec H(y, t) =

N

X

ξ=1

H

ξ

(y, t)

(12)

Par onséquent:

∀ξ, ψ

ξ

(x, y, t) = F (t) G(x, y, t) H

ξ

(y, t)

,ave

F (t) = −i(2πY

0

2

)

−1/4



_m

2π¯

h(t − T )



1/2



i −

¯

hT

2mY

2

0



−1/2

(13)

G(x, y, t) = exp

 im

2¯

h



x

2

t − T

+

y

2

t − T

− V

x

X



(14)

H

ξ

(y, t) =

Z

Y

ξ

+b

Y

ξ

−b

f (y, u) du

(15) et

f (y, u) = exp [(α + iβ

t

)u

2

+ iγ

y,t

u] = f

1

(y, u) + if

2

(y, u)

f

1

(y, u) = e

(αu

2

₎

× cos (β

t

u

2

+ γ

y,t

u)

(16)

f

2

(y, u) = e

(αu

2

₎

× sin (β

t

u

2

+ γ

y,t

u)

(17)

α = −

1

4Y

2

0



1 +



_2mY

¯

hT

2

0



2



β

t

=

m

2¯

h









1

t − T

+

1

T



1 +



2mY

0

2

¯

hT



2











γ

y,t

= −

my

¯

h(t − T )

.

Don

∂ψ

ξ

∂x

(x, y, t) = F (t)

∂G

∂x

(x, y, t) H

ξ

(y, t)

Or

∂G

∂x

(x, y, t) =

imx

¯

h(t−T )

G(x, y, t)

d'où

∂ψ

ξ

∂x

(x, y, t) = ψ

ξ

(x, y, t)

imx

¯

h(t−T )

don

∂ψ

∂x

(x, y, t) = ψ(x, y, t)

imx

¯

h(t−T )

etparsuite

v

x

(x, t) =

x

t − T

.

Comme

v

x

=

dx

dt

,ona

dx

x

=

dt

t−T

. Onendéduit

∀t, x(t) = V

x

(t − T )

.

Lavitessedelaparti uleselonl'axe

(0x)

estdon onstanteetégaleà

V

x

aprèslesfentes.

t = (x + X)/V

x

estalorsladuréequemetunéle trondelasour eàl'abs isse

x

. D'autrepart

∂ψ

ξ

∂y

(x, y, t) = F (t)

 ∂G

∂y

(x, y, t) H

ξ

(y, t) + G(x, y, t)

∂H

ξ

∂y

(y, t)



Or

∂G

∂y

(x, y, t) =

imy

¯

h(t−T )

G(x, y, t)

et

∂H

ξ

∂y

(y, t) =

Z

Y

ξ

+b

Y

ξ

−b

∂f

∂y

(y, u) du

où

∂f

∂y

(y, u) = iuf (y, u)

∂γ

y,t

∂y

=

¯

h(t−T )

−im

uf (y, u)

. Don

∂H

ξ

∂y

(y, t) =

¯

h(t−T )

−im

R

Y

ξ

+b

Y

ξ

−b

uf (y, u) du

. Intégronsparpartie :

R

Y

ξ

+b

Y

ξ

−b

(u exp ((α + iβ

t

)u

2

_{))(exp (iγu)) du}

avec



_r

_′

_{= u exp ((α + iβ}

t

)u

2

)

r =

2(α+iβ

1

t

)

exp ((α + iβ

t

)u

2

₎

s = exp (iγ

y,t

u)

s

′

= iγ

y,t

exp (iγ

y,t

u)

∂H

ξ

∂y

(y, t) =

−im

¯

h(t − T )

1

2(α + iβ

t

)



[f (u)]

Y

ξ

+b

Y

ξ

−b

− iγ

y,t

H

ξ

(y, t)



d'où

∂H

∂y

(y, t)

=

ξ=N

X

ξ=1

∂H

ξ

∂y

(y, t)

=

−im

¯

h(t − T )

1

2(α + iβ

t

)





ξ=N

X

ξ=1

[f (u)]

Y

ξ

+b

Y

ξ

−b

− iγ

y,t

ξ=N

X

ξ=1

H

ξ

(y, t)





=

−m(β

t

+ iα)

2¯

h(t − T )(α

2

_{+ β}

2

t

)

H(y, t)

 C(y, t)

H(y, t)

− iγ

y,t



ave

C(y, t)

=

ξ=N

X

ξ=1

[f (u)]

Y

ξ

+b

Y

ξ

−b

=

ξ=N

X

ξ=1

[f

1

(u)]

Y

ξ

+b

Y

ξ

−b

+ i

ξ=N

X

ξ=1

[f

2

(u)]

Y

ξ

+b

Y

ξ

−b

= C

1

(y, t) + iC

2

(y, t).

Deplus

∂ψ

∂y

(x, y, t)

=

ξ=N

X

ξ=1

∂ψ

ξ

∂y

(x, y, t)

= ψ(x, y, t)



_imy

¯

h(t − T )

+

−m(β

t

+ iα)

2¯

h(t − T )(α

2

_{+ β}

2

t

)

 C(y, t)

H(y, t)

− iγ

y,t



ave

H(y, t)

=

ξ=N

X

ξ=1

Z

Y

ξ

+b

Y

ξ

−b

f (y, u) dv =

ξ=N

X

ξ=1

Z

Y

ξ

+b

Y

ξ

−b

f

1

(y, u) dv + i

ξ=N

X

ξ=1

Z

Y

ξ

+b

Y

ξ

−b

f

2

(y, u) dv

= H

1

(y, t) + iH

2

(y, t).

(18) Onadon :

V

y

=

1

t − T



y +

−1

2(α

2

_{+ β}

2

t

)



β

t

Im

 C(y, t)

H(y, t)



+ αRe

 C(y, t)

H(y, t)



− β

t

γ

y,t



.

Dans ette annexe, on va s'intéresser aux problèmes on ernant les al uls numériques. La mise en ÷uvre d'équations mathématiques posent toujours des problèmes de paramétrisation. Dans notre as, onsouhaite al uler des oordonnées,viale al ul d'unevitesse;il ya don un premierparamétrage: eluidupasdetemps.

Pourgarder une bonne pré isionde al ul, e pas detemps doit êtrepetit sila vitessevarie beau oupetilpeutêtreplusgrandsilavitessevariepeu.Enquelquesorte,lepasdetemps"idéal" pourrait être inversementproportionnel à l'a élération.Expérimentalement on onstate que la vitessevarie onsidérablementauxsortiesdesfentes(parexemple,à

10

−3

maprès lesfentes,elle variede

+

−

10

4

m/s).Lavitessedevientdeplusenplusstablelorsquel'ons'éloignedesfentes. On doitdon prendreunpasdetempstrèspetitaudébutetl'augmenteraufuretàmesurequel'on s'éloignedes fentes.Si l'onsuit etteméthode,que l'on al uleune approximationde l'a éléra-tion,etquel'onprend ommepasdetempsl'inversede elle- i,ontrouvealorsunpasdetemps del'ordre

10

−22

se ondeà

10

−5

mètrede lasortie desfentes, equi n'estpasréalistepuisque la vitesse de l'éle tronest seulement de

1.3 × 10

−8

m/s (en eet,il faudraitalors environ

10

9

pas detempspourquelaparti ulepar ourt

10

−5

mètre, equi faitexploserletemps de al ul).J'ai don dé idédexerunpasdetempsdébutantà

10

−17

se ondeetaugmentantpeuàpeuselonle tableau i-dessous.

distan e delafente pasdetempsmaximum

10

−5

m

10

−17

4 × 10

−5

m

10

−16

1.4 × 10

−4

m

10

−15

5 × 10

−4

m

10

−14

3 × 10

−3

m

10

−13

2 × 10

−2

m

10

−12

D'autre part, le al ul de la vitesse né essite le al ul d'intégrales. Nous utilisons pour es al ulslaméthodedestrapèzes.Ilnousfautalorsdénirunnouveauparamètre: eluidelataille du pas d'intégration. Expérimentalement, on s'aperçoit que lafon tion à intégrervarie énormé-mentlorsquel'onestpro hedelasortiedesfentes (ilfautauminimum

10

5

pasd'intégration(de

10

−12

mètre) pour al ulerl'intégraleàune distan e de

10

−5

mètrede lafente). Pouroptimiser letemps de al ul de haqueintégrale,il seraitintéressantdeprendre ommetailledupas d'in-tégrationenvironundixièmedelapériodedelafon tion onsidérée.Évidementlafon tionn'est paspériodique,maisonpeuts'intéresseràsespseudo-périodes.Expérimentalementondétermine lapseudo-périodelaplus ara téristique.

Pourle asqui nousintéresse, 'est-à-direpourl'intégrationdesfon tions

f

1

et

f

2

( f. équa-tions16et17),lapseudo-périodelaplus ara téristiqueest:

T =

π

|γ

(y,t)

|

où

γ

(y,t)

=

myV

x

¯

hx

. Onposealorslafon tionsuivante:

h(x, y) =

1

10

π

|γ

(y,t)

|

=

1

10

π¯

h

mV

x

x

|y|

et ondénit latailledupasd'intégration omme:

min(h(x, y),

b

100

)

où

b

100

est dénit ommela taille maximum dupasd'intégration(

b

étant lademi-largeurde lafente et la demi-longueur de l'intervalle d'intégration). En ee tuant destests expérimentaux, on s'aperçoitde la validité de e hoix (en eet,au début, j'ai tenté simplement parl'expérien e de trouverdes tailles de pas ritiques).

Lesdiérentsparamétragesnous onduisentànepaspouvoir al uler(parmanquedetemps) la vitesse de la parti ule dans le premier

10

−5

mètre, e qui est équivalantà poser un premier pasdetempsde

10

−13

vitesse est laplusimportante.Après avoirfran hi lespremiers

10

−5

mètre,on peutde nouveau prendreunpasdetempspluspetit (parexemple

10

−17

se onde).

Ce problème du premier pas de temps n'est pas dramatique puisque l'on s'aperçoit que la densitédeprobabilitéà

10

−5

mètre onserveuneforme"quasi"re tangulaire, omme 'estle as auniveaudelafente( f.gures5et 15).

Lalongueurd'ondeasso iéeauxéle tronsémisparle anon àéle tronsestdonnéepar:

λ =

h

p

=

h

mv

=

2π¯

h

mv

= 5, 595 × 10

−12

_m

ar

m = 9, 11 × 10

−31

kg;

¯

h = 1, 055 × 10

−34

m

2

kg/s;

v =

q

v

2

x

+ v

2

y

= v

x

= 1, 3 × 10

8

m/s;

Dans le as où lesdeux fentes sont ouvertes, la probabilité de présen e des éle trons peut être al uléeenfaisantquelquesapproximations(approximationdeFraunhoferoudira tionàl'inni). Onobtient:

P

12

= 4I

0

 sin(πdsinθ/λ)

πdsinθ/λ



2

cos

2

 πDsinθ

λ



I iona:

d = 2 × b = 2 × 10

−7

m et:

D = 2 × Y

1

= 10 × 10

−7

m.

sinθ =

√

x

x

2

_+L

2

ave :

L = 35 × 10

−2

m. Lagure38dé rit l'expérien e.

Fig.38S hémadel'expérien e

Onobservesurlagure39ladensitédeprobabilitéà35 maprèslasortiedesfentes.Elleest al uléededeuxfaçonsdiérentes:laguredegau hereprésenteladensitédeprobabilité al ulée ave l'approximationdé rite i-dessus(approximationvraiesiLesttrèsgrand, equiestle asi i à35 m aprèsles fentes)et lagurede droitereprésente toujoursladensitédeprobabilité mais elle est al ulée ettefois- i dire tement par le al ul numérique de la fon tion fon tiond'onde (méthodeexposéedans erapport).

sen e d'un éle tron) par l'approximation dé rite plus haut pour la gure de gau he et pour la gurededroite enfaisantle al ulnumériquedelafon tiond'onde.

On onstateque lesdeux guressontquasiment identiques.Lesmaximums et lesminimums sontlesmême.Onapris pourl'approximationdeFraunhofen

I

0

= 1.92 × 10

4

Lase ondepartiedelasimulationquenousvenonsd'ee tuer( elleaprèslepassagedesfentes), adéjàétéréaliséeparPhilippidis etal.[8℄.Ils avaientfaitdesapproximationsen onsidérantles fentes omme des fentes "gaussiennes".Leur approximationavait pour but de fa iliterle al ul d'uneintégrale.

Pourune fente entréeen

y = Y

ξ

et dedemi-largeur

b

,ilnousfaut al uleruneintégraledela forme:

R

Y

ξ

+b

Y

ξ

−b

... du =

R

+∞

−∞

1

[Y

ξ

−b ; Y

ξ

+b]

(u) ... du

.

L'approximationdesfentesgaussiennes onsisteàapproximer

1

[Y

ξ

−b ; Y

ξ

+b]

(u)

par

exp



−

(u−Y

ξ

)

2

2b

2



. Nous souhaitons, dans ette annexe, onstater les réper utions de ette approximation sur les résultats. Lorsquel'on ompare les traje toiresobtenues,dans le paragraphe4.2 (sans ette approximation)ave ellesqu'obtientPhilippidis (ave ette approximation),on onstatequeles traje toiresdePhilippidissontbeau ouppluslisses(ellessontbeau oupmoinsperturbersurtout dans lespremiers entimètresqui suiventlasortie des fentes). L'impa t surl'é ran de déte tion d'unmêmeéle tron(mêmepointdedépart)parlesdeuxméthodesdonnedesrésultatsdiérents. Dans ettepartie, nous allons alors étudier omment ette approximationseréper ute dans l'évolutiondeladensitédeprobabilité.

Commançonsd'abordparee tuerles al ulsdelafon tiond'ondeentenant omptede ette approximation.Reprenonsl'équation12del'annexeA

ψ(x, y, t) = F (t) G(x, y, t) H(y, t)

avec

H(y, t) =

N

X

ξ=1

Z

Y

ξ

+b

Y

ξ

−b

f (y, u) du

Enappliquantl'approximationdé rite i-dessous,ona:

H(y, t)

≃

N

X

ξ=1

Z

+∞

−∞

exp



−

(u − Y

ξ

)

2

2b

2



f (y, u) du

≃

N

X

ξ=1

Z

+∞

−∞

exp

−

u

2

2b

2

−

Y

2

ξ

2b

2

+

uY

ξ

b

2

!

exp [(α + iβ

t

)u

2

+ iγ

y,t

u] du

≃

N

X

ξ=1

exp

−

Y

2

ξ

2b

2

!

Z

+∞

−∞

exp [(α −

1

2b

2

+ iβ

t

)u

2

_{+ (}

Y

ξ

b

2

+ iγ

y,t

)u] du.

Posons

α

′

_{= α −}

1

2b

2

,

ζ =

Y

ξ

b

2

,

P = α

′

_{+ iβ}

_t

et

Q = ζ + iγ

y,t

. Don parlaformule9ona

Z

+∞

−∞

exp [(α −

1

2b

2

+ iβ

t

)u

2

_{+ (}

Y

ξ

b

2

+ iγ

y,t

)u] du

=

Z

+∞

−∞

exp (P u

2

_{+ Qu) du}

=

r

π

−P

exp



−

Q

2

4P



ar

Re(P ) ≤ 0

. Par onséquant

H(y, t) =

r

π

−P

N

X

ξ=1

exp

−

Q

2

_P

_¯

4P ¯

P

−

Y

2

ξ

2b

2

!

.

Or

−

Q

2

_P

_¯

4P ¯

P

−

Y

2

ξ

2b

2

=

−

Y

2

ξ

2b

2

+

(γ

2

y,t

− ζ

y,t

2

₋

)α

′

− 2ζγβ

4(α

′2

_{+ β}

2

t

)

!

+ i

2ζγα

′

_{− (γ}

2

y,t

− ζ

y,t

2

₋

)β

4(α

′2

_{+ β}

2

t

)

= C

ξ

+ iD

ξ

H(y, t)

≃

r

π

−P

N

X

ξ=1

exp (C

ξ

+ iD

ξ

)

≃

r

π

−P





N

X

ξ=1

(exp C

ξ

)(cos D

ξ

) + i

N

X

ξ=1

(exp C

ξ

)(sin D

ξ

)





≃

r

π

−P

(A + iB)

d'où:

|H(y, t)|

2

₌

π

|P |

(A

2

_{+ B}

2

₎

.//Sa hantque

|G(y, t)|

2

_{= 1}

et parl'équation 13,ondéduit que

|ψ(y, t)|

2

= |F (t)|

2

|G(y, t)|

2

|H(y, t)|

2

= −i(2πY

0

2

)

−1/4



m

2π¯

h(t − T )



1/2



i −

¯

hT

2mY

2

0



−1/2

π

|P |

(A

2

_{+ B}

2

₎

Observons maintenant les résultats obtenus. Tout d'abord, il n'y a pas de ontinuité de la densitédeprobabilitéàtraverslesfentes, ommenouslemontrelagure40.

Fig.40Densitédeprobabilitéauniveaudelaplaque.Pourlaguredegau he,lesfentessont lassiques(pasd'approximationde ladensitédeprobabilité) tandisquepourlagurededroite, lesfentessont onsidérées"gaussiennes"(ilyaapproximation)

Onobservemaintenantl'évolutiondeladensitédeprobabilitésurles35 entimètresquisuivent lasortiedesfentes.

età3 m(gure dedroite)delasortiedesfentes.

Fig. 42  Densité de probabilité al ulée ave les fentes "gaussiennes" respe tivement à 5 m (guredegau he)et à10 m(gure dedroite)delasortiedesfentes.

Onnotequejusqu'à2 m,iln'yaau unsigned'interféren e:lesdeux"ondes"gaussiennesse propagentens'étalant.Ellesentrenten onta tseulementauboutde2 met 'esten"s'unissant" queseformentlesfrangesd'interféren es(voirgures41et42).

Fig.43Densitédeprobabilitéà

35

mdelasortiedesdeuxfentes ave approximation ("gaus-siennes"desfentes)pourlaguredegau heetsansapproximationpourlagurededroite.

Malgrél'approximationdesfentesgaussiennes(voirgure43degau he),ilyabienformation d'interféren es mais elles- i ne orrespondent pas à la réalité. L'enveloppe de la ourbe de la densitédeprobabilitéàlaformed'unegaussiennepourle asdel'approximationgaussienne des fentestandisqu'ellealaformedela"dira tion"sionnefaitpas etteapproximation( f.gure 43).

Pourmieux omprendrel'eetde etteapproximation,onee tueégalement ette approxima-tionpourle asd'uneseulefente.Onobtientlesrésultatsdelagure44.

Fig.44Densitédeprobabilitéà

35

mdelasortied'uneseulefenteave approximation ("gaus-siennes" de la fente) pour la gure de gau he et sans approximation pour la gure de droite (phénomènededira tion)

On onstatequ'iln'yapasdephénomènededira tionsionfaitl'approximation"gaussienne" delafente(voirgure44).

En equi on ernelareprésentationpré édente,laguredegau heest unegaussiennetandis quelagurededroiteestunsinus ardinal( ara téristiquedeladira tion).C'estladis ontinuité delafentequi rééelesperturbationssigni ativesdeladira tion.

Pourfaireles al uls numériques présentés dans e rapport, j'aiprogrammé enlangage Cles programmessuivants:

1. traje toire.vv. :Ceprogramme al ulelestraje toires

(x, y)

d'éle tronspartantdelasour e et arrivantsurl'é ran.

(a) Les diérents paramètres de e programme sont dénis dans : "traje toires.vv.h" et "boolean.vv.h".Onpeutredénir esparamètreslorsdel'exé utionduprogramme. (b) Ceprogrammeutilisedesfon tionsdéniesdansles hiers:initialisation.vv. ,fon .vv. ,

hampQuantique.vv. ,ensembleDeFon tion.vv. ,parti uleLibre.vv. .

( ) Les résultatsde e programme sortentdans un hier quel'on apréalablementdéni surlalignede ommande.Le hierderésultatsestunelistede oordonnéesdepoints

(x, y)

. Exemple:

x(1) = 1.1e − 5 y(1) = 56e − 3

x(2) = 1.4e − 5 y(2) = 5e − 3

...

x(101) = 3e − 5 y(101) = 23e − 4

Dans e asilya100 oordonnées al ulées.

2. densiteProba3D. : Ce programme al ule la densité de probabilité des éle tronspour un ensemble de oordonnées

(x, y)

; ave

x

balayant l'intervalle

[Xmin, Xmax]

et

y

balayant l'intervalle

[Y min, Y max]

.

(a) Les diérents paramètres de e programme sont dénis dans : "parametresDensite-Proba3D.vv.h"et"boolean.vv.h".Onpeutredénir esparamètreslorsdel'exé ution duprogramme.

(b) Lesrésultatsde e programmesortentdansun hier,quel'onapréalablementdéni surlaligned'exé utionduprogramme.Lesrésultatssortentsouslaformed'unematri e orrespondantauxvaleursdeladensitédeprobabilitépourunensembledes oordonnés

(x, y)

.

Exemple d'un  hier résultat : ladébut du hier énon eles

x

(i.e. lesdistan es àla fente) etles

y

pourlesquelsonva alulerladensitédeprobabilité.Lasuitedu hier donnentlesdensitédeprobabilitésousformed'unematri e:

ddp(i, j)

estladensitéde probabilitéaupoint

(x(i), y(j))

.

x(1) = 1e − 5 x(2) = 2e − 5 ... x(100) = 1e − 4

y(1) = 0 y(2) = 1e − 9 ... y(1001) = 1e − 6

ddp(1, 1) = 5.6e − 3 ddp(1, 2) = 4.3e − 3 ... ddp(1, 1001) = 2.4e − 4

ddp(2, 1) = 5.3e − 3 ddp(2, 2) = 3.3e − 3 ... ddp(2, 1001) = 5.4e − 5

... ... ... ....

ddp(100, 1) = 7.3e − 3 ddp(100, 2) = 6.3e − 3 ... ddp(100, 1001) = 9.4e − 4

I i

Xmin = 1e − 5

,

Xmax = 1e − 4

,

Y min = 0

et

Y max = 5.4e − 5

.

( ) Grâ eà e programmeonpeut tra erdes ourbesà 3dimensions: ladensité de pro-babilitéenfon tionde

x

et

y

.

Les  hiers de résultats sont ensuite lus par un petit programme de Matlab qui permet de visualiserlesgures.

[1℄ J.Bell-1964-Physi s,1,195

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