Etude de faisabilité des conditions aux limites latérales bien-posées et transparentes dans la dynamique des modèles ALADIN et AROME

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Délivré par l'Université Toulouse III - Paul Sabatier Discipline ou spécialité : Dynamique de l'atmosphère

JURY

M. Franck Roux Président du jury M François-Xavier LeDimet Rapporteur

M. Terry Davies Rapporteur M. Mariano Hortal Examinateur M. Piet Termonia Examinateur

Ecole doctorale : SDU2E

Unité de recherche : CNRM/GAME, Météo-France Directeur(s) de Thèse : Patrick Mascart

Co-directeur de Thèse : Pierre Bénard

Présentée et soutenue par Voitus Fabrice Le 3 décembre 2008

Titre : Etude de faisabilité des conditions aux limites latérales bien-posées et transparentes dans la dynamique des modèles ALADIN et AROME

Remerciements

Je voudrais remercier chaleureusement mes encadrements : Pierre Bénard et Piet Ter-monia ainsi que mon directeur de thèse : Patrick Mascart. Bien plus que de simples en-cadrants, ils ont été mes mentors, mes modèles. J’ai énormément appris à leurs contacts aussi bien d’un point de vue scientifique que d’un point de vue relationnel.

Un grand merci aux membres de l’équipe GMAP qui m’ont soutenus et aidés tout au long de ces années de thèse. Une mention spéciale pour Jean-antoine Maziejewski, et pour Thibault Montmerle et Ludovic Auger, mes collègues de bureau et amis qui ont dûs me supporter durant ces quatre dernières années.

Je tiens à remercier personnellement tous ceux qui ont participer à la réflexion autour de ce sujet de thèse : Aïdan McDonald, François Bouttier, Jean-françois Geleyn, Alain Joly. Les nombreuses discussions que j’ai pu avoir avec eux m’ont permises d’y voir plus clair et ont grandement contribué à l’amélioration de ce travail.

Merci au jury fcplr pour m’avoir accordé leur confiance et permis d’entreprendre cette formation complémentaire par la recherche dans les meilleures conditions qui soient. Merci également à l’ensemble du jury de thèse pour avoir bien voulu examiné mes travaux.

Je voudrais enfin remercier chaleureusement ma famille et mes amis pour leurs soutiens indéfectibles,

Résumé

Les modèles régionaux ont été développés dans le but de fournir une prévision détaillée (à haute résolution) du temps dans une aire d’intérêt météorologique limitée. Les bords latéraux des ces modèles ne sont pas des limites rigides faisant obstacle à l’écoulement, mais plutôt des constructions artificielles imposées par la volonté de modéliser ce qui se passe dans un sous-volume de l’atmosphère globale. Afin de résoudre de façon rigoureuse les équations régissant l’évolution de l’atmosphère dans ce sous-volume, il est essentiel de construire ces limites artificielles de sorte que le problème aux conditions initiales et aux limites soit "bien-posé", et que la frontière latérale du domaine soit "transparente" vis-à-vis des ondes entrantes et sortantes.

Les méthodes de couplage latéral dites "bien-posées et transparentes" mises en avant depuis quelques années se proposent de ne spécifier que ce qui doit l’être du point de vue mathématique, tout en essayant de garantir une non-réflectivité de la limite latérale. Les champs qui sont spécifiés sur les frontières correspondent aux caractéristiques du système linéarisé dont la vitesse de groupe caractéristique associée pointe localement vers l’intérieur du domaine limité. De telles méthodes ont surtout été étudiées pour des modèles en différences finies et en éléments finis, cependant leur faisabilité dans le cadre des modèles de prévision numérique du temps utilisant les méthodes de discrétisation "spectrale, semi-implicite et semi-Lagrangienne" comme ALADIN et AROME, reste à prouver. Tel a été donc le but de ce travail de thèse. Les principaux problèmes examinés ont été :

• Les implications d’une stratégie de couplage bien-posée pour la méthode de discrétisation spectrale de Fourier employée dans ALADIN et AROME : la compatibilité ou non de la méthode avec les conditions aux limites latérales bien-posées.

• La faisabilité des LBCs bien-posées pour une discrétisation temporelle semi-implicite spectrale et semi-lagrangienne : comment s’affranchir de la contrainte d’homogénéité spatiale de l’opérateur de correction semi-implicite ?, comment traiter des bords du domaine lorsque les trajectoires lagrangiennes sortent de l’aire d’intégration ?

• La faisabilité d’une stratégie bien-posée et transparente pour le système hydrostatique, qui on le sait, est par construction mathématiquement mal-posé pour le problème des conditions aux limites latérales.

• Dans le cas du système non-hydrostatique pleinement compressible, les conditions aux limites bien-posées peuvent elles être formulées de manière à assurer la transparence de la frontière latérale vis-à-vis simultanément des ondes acoustiques et des ondes de gravité ?.

Ces problématiques ont été successivement examinées à l’aide de modèles laboratoires sim-plifiés, c’est à dire dans un contexte totalement idéalisé et académique, en cherchant toutefois à se rapprocher progressivement d’un environnement opérationnel. L’orographie, les termes de diffusion horizontale, et les effets des termes non-linéaires résiduels n’ont pas été pris en compte. Il a été fait également abstraction de tout ce qui concerne la partie physique des modèles : effets diabatiques ou visqueux ... etc. L’objectif est d’étudier la faisabilité d’une stratégie de cou-plage latéral bien-posée et transparente dans un environnement où les différents ingrédients de la dynamique des modèles ALADIN et AROME sont introduits successivement. L’exploration de chacune de ces problématiques via ces modèles laboratoires linéaires simples a fournis les éléments de réponses suivants :

• L’abandon de la stratégie de couplage par relaxation pour une stratégie bien-posée implique l’application d’une procédure d’extension périodique sur les champs modifiés par les conditions aux limites. De plus, elle induit un ralentissement de la convergence de la méthode de

discrétisa-tion spectrale de Fourier, donc une perte de précision dans l’évaluadiscrétisa-tion des dérivées horizontales. Toutefois, ce problème inhérent à la méthode d’extension de Fourier n’est en rien dramatique. • Deux schémas de couplage bien-posés ont été proposés dans le cas particulier d’un modèle en eau peu profonde 1D afin de remédier au "problème spectral" dû à la résolution de la partie implicite de la dynamique dans l’espace spectral : le schéma itératif "ILBC" iterative lateral-boundary correction (Voitus et al., 2009) et le schéma des LBCs externalisées "ELBC" externalized latera-boundary condition (Termonia et Voitus, 2008). Le schéma ELBC répond à la question de la possibilité d’un traitement “externalisé” des LBCs, autrement dit, les conditions à la limite latérale peuvent-elles être générées par le biais d’un schéma numérique strictement distinct de celui employé pour résoudre la dynamique semi-implicite semi-lagrangienne ? Des tests dans le cas 1D prouvent que “l’externalisation” du traitement des conditions aux limites est possible. Le schéma ELBC présente l’avantage de résoudre le problème des trajectoires semi-lagrangiennes tronquées sans qu’aucun traitement spécial du schéma semi-Lagrangien ne soit nécessaire. De plus, dans la mesure où elle touche la structure géométrique du modèle, il est fort probable qu’il soit nécessaire de revoir le flot de donné en certain point. Le schéma ILBC a été bâti sur l’idée que pour stabiliser le schéma semi-implicite spectral en présence de conditions aux limites bien-posées, il convient d’itérer la partie implicite avec des corrections appropriées aux limites latérales. Contrairement au schéma ELBC, le schéma ILBC requiert la mise en oeuvre d’un traitement spécial des trajectoires semi-lagrangiennes qui sortent du domaine. Trois méthodes ont été suggérées : le schéma d’interpolation temporelle ; la zone buffer bien-posée ; et le schéma de pas de temps fractionné.

• La faisabilité des conditions aux limites latérales transparentes et bien-posées a été démontrée pour le système en équations primitives hydrostatiques linéarisé en coordonée verticale σ, et discrétisé selon un schéma semi-implicite semi-Lagrangien spectral. Le caractère mal-posé des équations hydrostatiques a été contourné en invoquant le principe de séparabilité verticale. Par ailleurs, pour construire les LBCs transparentes, il est nécessaire que la grille verticale de Lorenz, couramment employée dans les modèles de prévision numérique, subisse quelques modifications. • La construction des conditions aux limites latérales1

transparentes et bien-posées pour le sys-tème non-hydrostatique pleinement compressible souffre d’un dilemme. En effet, l’analyse théo-rique du problème démontre qu’une formulation à la fois transparente pour les ondes acoustiques et pour les ondes de gravité est impossible.

Ce travail de recherche constitue un premier pas en direction de l’élaboration d’une stratégie de couplage latéral bien-posé et transparent dans les modèles ALADIN et AROME. Bien que l’analyse des systèmes simplifiés linéaires ait fourni des résultats plutôt encourageants, le chemin a parcourir avant d’aboutir à des systèmes météorologiques complets opérationnels est encore très long.

1

Ci-après, on désignera les conditions aux limites latérales également par le sigle LBCs pour “lateral boundary conditions” en anglais

Table des matières

Introduction 7

1 Conséquences d’une stratégie de couplage latéral bien-posée pour la méthode de discrétisation spectrale 23

1.1 Introduction . . . 23

1.2 Méthode d’extension de Fourier . . . 24

1.3 Révision de la méthode pour les LBCs bien-posé . . . 27

1.4 Un modèle test . . . 32

1.5 Conclusion . . . 39

2 Faisabilité des LBCs bien-posées dans un schéma implicite semi-lagrangien spectral : Étude dans un modèle shallow-water 1D 41 2.1 Introduction . . . 41

2.2 Résumé de l’article : "Well-posed Lateral Boundary Conditions for Spec-tral Semi-implicit Semi-Lagrangian schemes : Tests in a one-dimensional model". Voitus, F., P., Termonia and P., Bénard, 2009, : Mon. Wea. Rev., 137, 315-330 . . . 42

2.3 Résumé de l’article "Externalizing the Lateral Boundary Conditions from the dynamical core in semi-implicit semi-Lagragian models", Termonia, P. and F. Voitus, 2008 Tellus, 62A, 623-648 . . . 43

2.4 Conclusions et Discussions . . . 44

3 Une première tentative d’extension au cas des ondes barotropes 2D 47 3.1 Introduction . . . 47

3.2 Constrution des LBCs transparentes : Cas des ondes barotropes . . . 48

3.3 Élaboration d’un schéma de couplage bien-posé dans un modèle 2D linéaire barotrope spectral . . . 54

3.3.2 Traitement aux bords du domaine . . . 57

3.3.3 Organisation du pas de temps . . . 66

3.4 Tests numériques . . . 67

3.5 Discussion . . . 72

4 Étude des conditions à la limite latérale transparentes : Cas des ondes baroclines 73 4.1 Introduction . . . 73

4.2 Un modèle à une couche . . . 74

4.2.1 Construction des conditions transparentes . . . 75

4.2.2 Une hiérarchie de conditions semi-transparentes . . . 79

4.2.3 Discrétisation des équations du mouvement et des LBCs . . . 81

4.2.4 Tests des conditions semi-transparentes . . . 82

4.3 Un Modèle Multi-couches . . . 88

4.3.1 Séparabilité verticale et conditions aux limites . . . 89

4.3.2 Discrétisation verticale . . . 90

4.3.3 Construction des LBCs dans l’espace des modes normaux . . . 96

4.3.4 Tests des conditions semi-transparentes du premier ordre . . . 96

4.4 Un Modèle hydrostatique en coordonnée σ . . . 107

4.4.1 Discrétisation verticale . . . 107

4.4.2 Dérivation des conditions aux limites . . . 114

4.4.3 Discrétisation des équations . . . 115

4.4.4 Tests académiques dans le plan vertical . . . 118

4.5 Conclusions . . . 123

5 Conditions à la limite latérale transparentes pour le système non-hydrostatique élastique 125 5.1 Introduction . . . 125

5.2 Les équations du mouvement . . . 126

5.3 Mouvements propres oscillatoires . . . 128

5.4 LBCs transparentes : cas des ondes rapides . . . 133

5.5 Discussions . . . 141

Conclusions 143

B : version originale de l’article, Termonia et Voitus, Tellus 2008 164

Introduction

Les éléments descriptifs du temps sensible tels que la température au sol (à 2 mètres), le vent à 10 mètres, les précipitations, le brouillard, la couverture nuageuse, etc ..., fortement influencés par les détails locaux de la topographie, de l’état de la surface, du contraste terre/mer, etc., ne sont pour le moment pas très bien prévus par les modèles globaux actuels, principalement du fait de leur résolution grossière (de l’ordre de 10 kilomètres) et des déficiences au sein de leurs schémas de paramétrisations. Afin de remédier à cet écueil, les modèles sont intégrés sur des sous-volumes locaux de la masse d’air globale en utilisant des mailles plus fines et des schémas de paramétrisations plus sophistiqués que leurs homologues globaux. L’orographie, le masque terre/mer, les informations sur l’état de la surface, etc., sont ainsi plus détaillés, améliorant ipso facto les prévisions du temps sensible local. Puisque ces modèles dits dorénavant "à aire limité" occupent un sous-volume de l’atmosphère globale, l’écoulement à travers leurs frontières latérales sera généralement variable et fluctuant en fonction de la situation météorologique ; les masses d’air devront s’écouler de l’extérieur vers l’intérieur et de l’intérieur vers l’extérieur du sous-volume du modèle à aire limitée comme si elles formaient encore une partie de la masse d’air globale.

En conséquence, les frontières latérales des modèles à aire limitée ne sont pas des limites physiques pour l’écoulement mais, plutôt, des constructions artificielles imposées par le désir de modéliser ce qui se passe dans une région délimitée de l’atmosphère globale. Pour résoudre les équations qui régissent l’état de l’atmosphère dans cette région, les valeurs de toutes les variables pronostiques doivent non seulement être fournies à l’instant initial -on parle de conditions initiales-, mais elles doivent également être imposées aux frontières latérales artificielles du modèle à aire limitée à chaque instant -on parle de conditions à la limite latérale.

Conditions à la limite latérale bien-posées

Une façon évidente de faire est d’utiliser les informations intermittentes issues d’un mo-dèle global de maille grossière (momo-dèle coupleur) pour fournir les valeurs des variables aux limites latérales du modèle régional à maille fine (modèle couplé). Toutefois, cela s’avère être une opération plutôt subtile, car si toutes les variables en tous points de la fron-tière sont imposées par le modèle coupleur, alors le "problème aux conditions à la limite" est sur-spécifié donc mathématiquement mal-posé. Cette sur-spécification peut provoquer des discontinuités aux bords du modèle couplé, lesquelles peuvent se manisfester sous la forme de bruits numériques se propageant ensuite vers la région d’intérêt météorologique, ou s’amplifier jusqu’à rendre l’intégration instable. Cela implique donc que d’un point de vue strictement mathématique, seul un certain sous-ensemble de l’ensemble des variables pronostiques devrait être imposé à tout instant sur les limites latérales du domaine. Si ce sous-ensemble est choisi correctement alors le problème aux conditions aux limites latérales est dit bien-posé.

Cependant, la construction d’un système bien-posé pour les équations primitives de la météorologie est une tâche délicate. Charney fut l’un des premiers à s’intéresser à cette problématique. Par une démarche heuristique il montra que les quantités dynamiques qui doivent être imposées sont uniquement celles qui correspondent à un transfert de l’information depuis l’extérieur vers l’intérieur du domaine d’intérêt météorologique, voir aussi Charney et al. (1950) et Charney (1962). Bien évidemment le sens du transfert de l’information dépend de la direction du transport de l’énergie, et donc du signe des vi-tesses de groupe caractéristiques du système d’équations. Oliger et Sundström (1978) ont montré que pour chaque vitesse caractéristique pointant localement vers l’intérieur du do-maine, un champ doit être imposé à la frontière latérale. Mais, ce critère de spécification des conditions à la limites ne s’applique que si le système d’équation présente un carac-tère hyperbolique 2

; comme par exemple, le système d’équations en eaux peu profondes (ou encore appelé système "shallow water") et le système non-hydrostatique des équa-tions Élastiques d’Euler (EE) pleinement compressibles. Oliger et Sundström (1978) ont démontré que du fait de l’approximation de l’équilibre hydrostatique, le système en équa-tions primitives hydrostatiques (HPE), c’est à dire le système plus couramment employé en prévision numérique du temps, perd son caractère hyperbolique ce qui rend donc im-possible a priori tout critère de spécification bien-posée des conditions à la limite latérale ; voir également Norbury et Cullen (1985).

2

La solution de ce type d’équations en un point de l’espace est entièrement déterminée par l’histoire de l’écoulement en amont de ce point.

Pour ces raisons, et aussi parce qu’une solution alternative aux problèmes des condi-tions aux limites existe, les modèles à aire limitée de prévision numérique couplés à la limite latérale via des méthodes bien-posées n’ont longtemps été pensés que sur le papier ; voir, par exemple, Elvius et Sundström (1973). Cette solution alternative consiste à sur-spécifier les champs aux bords et à amortir les bruits résultants à l’aide d’un schéma de relaxation, voir Davies (1976). Elle peut être formulée dans l’espace continu comme un terme de rappel Newtonien (ou friction de Rayleigh) dans les équations pronostiques du mouvement :

∂ψ

∂t = Fψ − K ψ − ψ

h

, (1)

où ψ désigne n’importe quelle variable pronostique du modèle couplé à aire limité, ψh _la

variable cible homologue issue de l’intégration du modèle coupleur, Fψ représente

l’en-semble des tendances et processus agissant sur l’évolution de la variable ψ et K est le coefficient de rappel (différent de zéro uniquement dans la zone de relaxation). Cette tech-nique est presque triviale à implémenter dans l’espace discrétisé et produit des prévisions stables et robustes. Les preuves de sa popularité résident dans son usage quasi-universel non seulement dans les modèles opérationnels à aire limitée de prévision numérique du temps mais également dans de nombreux modèles de recherche.

En dépit des points forts énumérés ci-dessus, la technique de relaxation de Davies (1976) souffre d’un certain nombre faiblesses :

(i) Il existe des preuves indiquant que cette technique entraîne des pertes ou des gains de masse ; voir McDonald (1998).

(ii) Lorsqu’elle est mise en oeuvre, alors, en un point du bord où la vitesse caractéristique pointe vers l’extérieur du domaine d’intégration, une valeur de champ est imposée via la solution du modèle coupleur, autrement dit, là où elle n’est nécessairement requise. Les imprécisions et les erreurs du modèle coupleur peuvent ainsi être inutilement, voir abusivement, transmises au modèle couplé.

(iii) À supposer que les modèles coupleur et couplé soient tous les deux dans la configura-tion de l’approximaconfigura-tion de l’équilibre géostrophique, Cats et Akesson (1983) ont démontré que la zone de relaxation est le siège de processus de destruction de l’équilibre géostro-phique lorsque les vitesses de vent diffèrent entre les deux modèles.

(iv ) Pour un fonctionnement optimal, la largeur de la zone de relaxation et les paramètres de relaxation doivent être déterminés avec soin. En principe, ces derniers doivent être ré-glés expérimentalement (i.e à la main) à chaque changement de résolution spatiale ou de pas de temps du modèle couplé ; voir Kallberg (1977). Malgré tous ces réglages, des réflexions d’ondes indésirables (typiquement des ondes de gravité) sont encore à déplorer ;

voir Davies (1983), et Marbaix et al. (2003).

(v ) Dans la perspective d’une assimilation 4DVAR opérationnelle en aire limitée (Le Dimet et Talagrand, 1986), «l’analyse» et « la prévision» ne sont plus des processus indé-pendants. Dans ce contexte particulier, les informations fournies par le modèle coupleur à la frontière du modèle à aire limitée peuvent être vu comme des "observations" avec leurs propres structures d’erreurs. Ceci a nécessairement une incidence sur la manière dont devront être traitées les conditions à la limite latérale dans les LAMs. Compte tenu de la nature itérative de l’approche 4DVAR, l’influence des conditions aux limites tend à s’étendre un peu plus à l’intérieur du domaine à chaque itération. Lorsque le modèle adjoint est intégré dans le passé, ce qui correspondait formellement à des points du bord avec des vitesses caractéristiques entrantes peut devenir des points décrivant des champs de gradient d’erreurs aux bords avec des vitesses caractéristiques sortantes, qui doivent donc impérativement évacuer le domaine d’intégration sans être réfléchis. Si notre traite-ment des conditions à la limite n’est que partielletraite-ment capable de faire cela alors il y a un risque que les erreurs du bords accumulent dangereusement à mesure que le cycle d’ "analyse-prévision" se poursuit ; voir Gustafsson et al. (1998). Il est fort probable que la technique de relaxation de Davies ne soit pas suffisamment subtile pour s’accommoder de ces exigences, le fait qu’elle soit par construction mal-posée (car sur-spécifiée) pourrait malheureusement devenir problématique.

(vi) Enfin peut-être l’une des objections les plus gênantes, la relaxation de Davies n’a pas été conçue sur des bases mathématiques solides. Elle a été pensée au moment où le pragmatisme faisait loi dans la philosophie des LAMs opérationnels, laquelle pouvait raisonnablement être résumée de la manière suivante : les limites latérales du domaine d’intégration étaient placées très loin de la région d’intérêt météorologique de telles sorte que les erreurs induites par la formulation des conditions à la limite elles-mêmes et par l’imprécision des champs du modèle coupleur (maille plus grossière, champs disponibles uniquement toutes les 6 h, ...) n’aient pas le temps de corrompre les prévisions. Actuel-lement, compte tenu de l’accroissement des ressources informatiques et de la puissance de calcul, le scénario suivant lequel les LAMs seraient intégrés dans un environnement "imbriqué" est de plus en plus envisagé. Dans une telle configuration, l’aire de maille la plus fine peut être si petite que les ondes sortantes réfléchies depuis les bords peuvent rapidement se propager vers le centre de l’aire d’intérêt, nuisant ainsi à la qualité de la prévision. De la même manière, cette aire peut être si petite qu’une dépression profonde se déplaçant rapidement peut la traverser durant la période d’intégration du modèle. La plupart du temps, la prévision sera alors dominée par les conditions aux limites latérales.

Si il y a des erreurs dans la formulation des conditions aux limites, celles-ci corrompront la prévision ; Warner et al. (1997), nous mettent en garde contre les possibles effets néfastes des LBCs sur la capacité de prédiction des modèles "imbriqués". Par conséquent, il est essentiel que notre traitement des conditions aux limites latérales soit aussi proche de la perfection qu’il nous est possible de le rendre.

Pour ces nombreuses raisons, une stratégie de couplage latéral mieux posée mathé-matiquement, sans zone de relaxation, qui distinguerait entre les conditions entrantes et sortantes, apparaît comme une idée de plus en plus attractive pour les communautés travaillant dans le domaine de la prévision numérique du temps en aire limitée. Cette stratégie est d’autant plus séduisante qu’elle coïncide avec l’émergence des modèles à aire limitée non-hydrostatiques en équations d’Euler pleinement compressibles dont on sait qu’un critère de spécification bien-posé des champs à la frontière latérale existe, comme indiqué plus haut.

Transparence des conditions à la limite

Toutefois, un système peut être à la fois bien-posé et réfléchir toutes les ondes à la frontière (le caractère bien-posé garantit seulement que la solution sera unique et qu’elle ne s’amplifiera pas de manière catastrophique). Une stratégie de couplage qui ne serait que bien-posée ne serait pas entièrement satisfaisante : les ondes réfléchies (de gravité et/ou acoustiques) pouvant rapidement contaminer l’ensemble du domaine de prévision. Par conséquent, les conditions aux limites latérales ont besoin d’être aussi bien trans-parentes que bien-posées. Par transparent on entend dans un premier temps que toutes les ondes approchant de la frontière depuis l’intérieur de l’aire limitée devraient sortir sans réflexions. Dans un deuxième temps, dans un environnement imbriqué où les in-formations aux bords sont fournies essentiellement par un modèle coupleur, toutes les ondes empiétant sur la frontière depuis l’extérieur de l’aire limitée devraient entrer sans que leurs amplitudes ou leurs phases ne soient altérées et sans qu’elles n’excitent d’ondes indésirables (bruits numériques).

La littérature sur les conditions aux limites transparentes est vaste et compliquée, car, elle fait appel à des notions de mathématiques complexes. Cependant, l’idée centrale sur laquelle repose la construction de ces conditions aux limites peut être substantiellement résumée ainsi : Les équations du mouvement aux limites artificielles du domaine sont remplacées par des équations aux dérivées partielles dont la relation de dispersion est uni-quement satisfaite (au moins de manière approximative) par les ondes sortantes arrivant à la frontière du domaine. Il est clair que pour minimiser les réflexions aux bords, les ondes

dont la propagation est dirigé préférentiellement vers l’intérieur du domaine ne doivent en aucun cas satisfaire ces équations (même en première approximation). Cette idée a déjà été appliquée dans plusieurs modèles de recherche, par exemple dans les modèles : canadien "MC2", français "Méso-NH" (Lafore et al., 1998), allemand "Lokal-Modell", mais le principe de construction des équations aux bords est pour le moins empirique. En effet, l’approche couramment adoptée se fonde sur l’hypothèse généralement invéri-fiable que certaines des variables pronostiques du système d’équations primitives obéissent individuellement au bord à une équation ad hoc de type Sommerfeld (1949) dite "pseudo-radiative". De nombreuses variantes de cette approche existent et ont été implémentées par Williamson et Browning (1974), Orlanski (1976), Klemp et Lilly (1978), Clark (1979), Miller et Thorpe (1981), ou encore Carpenter (1982). Malheureusement, la nature em-pirique de ces équations implique qu’elles ne sont pas adaptées à toutes les situations d’écoulement. Des études expérimentales ont démontré que la viabilité (la robustesse) des conditions aux limites pseudo-radiatives doit être remise en cause dès que des sources d’énergie (ex : effets diabatiques, frottements, ... ) ou des phénomènes susceptibles de per-turber l’écoulement (typiquement l’orographie) sont situés au voisinage de la frontière ; voir Lilly (1981), ou Davies (1983). Par ailleurs, dans un contexte imbriqué, les conditions pseudo-radiatives sont susceptibles de ne pas transmettre l’intégralité de l’information issue du modèle coupleur et souffrent de problèmes inévitables de réflexions aux bords, (cf. Durran, 2001). Par conséquent, pour la météorologie opérationnelle, il convient de se tourner vers des méthodes de construction des conditions aux limites transparentes plus rigoureuse mathématiquement, qui s’affranchiraient simultanément des faiblesses intrin-sèques de la relaxation de Davies et de l’empirisme des conditions pseudo-radiatives.

Engquist et Majda (1977) ont mis au point une méthode théorique pour rendre les limites transparentes à un niveau d’approximation clairement défini. Leur théorie générale de construction des conditions transparentes s’appuie sur l’analyse modale des équations du mouvement, linéarisées autour d’un état de référence, et ré-écrites aux bords sous la forme d’une condition à la limite de type Neumann :

∂Ψ

∂n = N .Ψ, (2)

où Ψ désigne le vecteur d’état du système sur la frontière et n la coordonnée position suivant la direction normale à la frontière du domaine d’intégration. N est l’opérateur différentiel de Neumann résultant de la mise sous la forme (5.51) des équations du mou-vement. En règle générale, la forme de cette opérateur n’est pas toujours commode (pra-tique), l’essentiel du travail de construction des conditions transparentes consiste donc à trouver une bonne approximation de ce dernier, puis à en déduire une forme pratique

des valeurs propres et des vecteurs propres associés ; voir également Wagatha (1983), et Hagstrom (1999). Les idées de Engquist et Majda n’ont eu jusqu’à récemment que très peu d’échos dans le monde de la météorologie ; on peut citer en exemple les travaux de Bougeault (1983), Klemp et Durran (1983), ou encore de Durran et al. (1993). Il faut attendre les travaux de Holstad et Lie (2001, 2004) et surtout ceux de McDonald (2000, 2002, 2003, 2005, 2006) pour voir enfin véritablement émerger ce concept des conditions aux limites latérales bien-posées et transparentes en prévision numérique du temps. Dans ce qui suit, il est fait tout d’abord état de l’essentiel des résultats des travaux de Holstad et Lie et de McDonald, puis, il s’agira de positionner ce travail de thèse par rapport à l’existant, en définissant clairement la problématique de recherche et la démarche scienti-fique adoptée. Par commodité d’écriture, l’abbréviation "LBCs" (i.e., Lateral Boundary Conditions, en anglais) sera souvent utilisée par la suite pour désigner les conditions aux limites latérales.

LBCs bien-posées et transparentes dans les modèles de prévision

numérique du temps

Un effort scientifique considérable au sein du groupe de modélisation météorologique HIRLAM (High Resolution Limited Area Model) a été fourni dans le but d’élaborer un système de prévision numérique du temps en aire limitée disposant d’un traitement bien-posé et transparent des LBCs. McDonald (1999, 2000, 2002, 2003) fut le premier à faire un pas dans cette direction en démontrant la faisabilité des LBCs bien-posées et transparentes dans un modèle barotrope d’équations en eau peu profonde ; discrétisé en temps suivant un schéma semi-implicite semi-lagrangien à deux niveaux de temporels, noté usuellement 2-TL SISL 3

, et discrétisé horizontalement suivant un schéma de différences finies d’ordre deux sur une grille décalée de type-C. Lie (2000, 2001), puis Holstad et Lie (2001) suivirent en démontrant la faisabilité de ce type de LBCs dans un même modèle barotrope 2-TL SISL, mais pour un schéma de discrétisation horizontale en éléments finis. De manière générale, ces deux travaux ont mis en évidence les implications d’un couplage bien-posé et transparent sur le schéma 2-TL SI SL suivantes :

Les champs de la frontière, utiles aux calculs des termes de tendance dynamiques mais non spécifiés par le modèle coupleur, sont extrapolés à partir des champs situés à l’intérieur de l’aire limitée. Des extrapolations sont donc nécessairement introduites dans

3

Schéma de discrétisation temporelle très couramment employé en prévision numérique, qui permet de s’affranchir simultanément des contraintes de Courant Frederich Levy de limitation du pas de temps imposées par la propagation des ondes et l’advection.

le schéma numérique et doivent en outre être formulés avec prudence, en particulier dans les coins du domaine (généralement de forme rectangulaire), afin de maintenir la stabilité numérique du modèle. En conséquence, l’imposition des LBCs bien-posées uniquement sur la frontière de l’aire limitée implique de manipuler algébriquement (en des points de grille spécifiques de la frontière) les équations discrétisées du mouvement afin de clore le système. Cela entraîne une modification locale de la forme de l’opérateur point de grille de Helmholtz permettant la résolution du problème implicite induit par le schéma d’avance temporelle semi-implicite. Par ailleurs, le traitement des trajectoires semi-lagrangiennes au voisinage de la frontière de l’aire limitée doit être repensé afin d’éviter l’utilisation des points de grille situés à l’extérieur du domaine. En effet, dans le contexte des LBCs bien-posées, le calcul des termes de tendance dynamiques au point d’origine de la trajectoire lagrangienne souffre de problèmes de précision lorsque ce dernier se trouve loin en dehors du domaine d’intégration du modèle à aire limitée.

En s’appuyant sur les résultats obtenus dans le cadre barotrope et en invoquant le prin-cipe de séparabilité verticale des écoulements en équilibre hydrostatique, McDonald (2005, 2006, 2007) démontra à l’aide d’expériences pratiques qu’il était possible de construire des LBCs bien-posées et transparentes pour un système hydrostatique supportant à la fois des ondes barotropes et baroclines. Il fit une première tentative d’implémentation dans un mo-dèle simplifié en équations primitives hydrostatique (HPE) très encourageante et pointa du doigt les principaux obstacles à surmonter avant d’atteindre l’objectif ultime : un système de prévision opérationnel en équations non-hydrostatiques avec des LBCs bien-posées et transparentes. En définitive, bien que le chemin à parcourir avant d’aboutir à un tel système soit encore long, Holstad et Lie (en éléments finis) et surtout McDonald (en différences finies) ont expérimentalement démontré pour HIRLAM que la stratégie des LBCs bien-posées et transparentes ont véritablement (pas seulement sur le papier) le potentiel pour battre en terme d’efficacité l’actuelle technique de relaxation de Davies.

Il faut cependant souligner que les différences finies ou les éléments finis ne sont pas les seules méthodes de discrétisation horizontale à être employées en prévision numérique du temps. Il existe également des modèles à aire limitée opérationnels qui utilisent des méthodes de discrétisation spectrales sur l’horizontale, par exemple les modèles : JMA (Tatsumi, 1986), NCEP (Juang et al., 1997), ALADIN (Bubnová et al., 1995), et même le modèle HIRLAM possède une version spectrale (Haugen et Machenhauer, 1993). Par "méthode spectrale" on entend surtout méthode périodique de Fourier. Les méthodes spectrales non-périodiques de type Legendre ou Chebyshev ont, elles, été écartées en vue d’un usage en prévision numérique à aire limitée à cause des sévères restrictions qu’elles

imposent sur le pas de temps, et du sur-coût numérique qu’implique pour elles la mise en place d’un schéma de type semi-implicite. Il semble donc légitime de s’interroger désor-mais sur la faisabilité des LBCs bien-posée et transparentes dans le cadre de la méthode de discrétisation spectrale de Fourier. En d’autres termes, comme pour les modèles en différences finies ou en éléments finis, est-il possible de construire un schéma couplage latéral bien-posé et transparent pour les modèles spectraux ?

Cette problématique intéresse tout particulièrement les communautés des modèles spectraux ALADIN et AROME en raison des défaillances de la relaxation de Davies récemment illustrées par Seity (2005) ; voir les figures (1) et (2) représentant respective-ment les prévisions AROME du vecteur vent horizontal et des précipitations cumulées sur 3 heures. En effet, au voisinage du bord nord de l’aire limité (voir zone encadrée, Fig. 1), le vent du modèle AROME tend à être dirigé vers l’extérieur tandis que dans la zone de re-laxation, le vent prédominant (i.e, généralement le vent du modèle coupleur, ALADIN en l’occurrence) tend à être dirigé vers l’intérieur du domaine. Ce conflit des vents coupleur et couplé génère une zone artificielle de très forte convergence induisant, via le schéma de paramétrisation physique la formation de cellules précipitantes irréalistes au voisinage du bord de l’aire d’intérêt météorologique. Évidemment, il est raisonnable de penser que cet artefact pourrait être évité si au lieu de tout imposer sur toute la frontière on procé-dait de manière bien-posée. La faisabilité des LBCs bien-posées pour une discrétisation spectrale revêt par ailleurs une importance cruciale compte tenu de l’étroite collaboration existant entre les groupes ALADIN et HIRLAM. En effet, il semble que la dynamique en différences finies du modèle de prévision numérique non-hydrostatique HIRLAM-NH soit amenée à terme à être remplacée par une dynamique "spectrale" non-hydrostatique semblable à celle du modèle AROME. Dans ces conditions il devient d’autant plus impor-tant de savoir si les travaux en différences finies de McDonald sur les LBCs bien-posées et transparentes sont transposables à la dynamique spectrale du modèle AROME ?

Fig.1 – Champ de vent horizontal à 10 mètres prévu par AROME sur le domaine "sud-ouest" pour le 13 juin 2005 à 24 : 00 UTC.

Fig. 2 – Cumul de pluie sur 3 heures prévu par AROME sur le domaine "sud-ouest" pour le même jour entre 21 :00 et 24 :00 UTC.

Une brève description des dynamiques des modèles

ALADIN et AROME

En dehors des aspects relatifs aux schémas de paramétrisation physique, les dyna-miques des modèles ALADIN et AROME reposent sur un socle numérique commun. En effet, grâce aux travaux théoriques de Laprise (1992), et de Bubnová et al. (1995), les équations de la dynamique ont été formulées de telles sorte que le passage des équations non-hydrostatiques (NH) du modèle AROME aux équations hydrostatiques (HPE) du modèle ALADIN puisse s’effectuer par la simple annulation d’un marqueur dynamique rattaché au terme d’accélération de la vitesse verticale, dw/dt. Les modèles ALADIN et AROME peuvent ainsi profiter du même environnement numérique (à quelques menus détails près) .

Le schéma de discrétisation spatiale est spectral sur l’horizontale et en différences finies sur la verticale : comme il a été stipulé, les équations de la dynamique sont discrétisées sur l’horizontale via une méthode spectrale de Fourier sur une grille de collocation de type-A, suggérée par Haugen et Machenhauer (1993). Le prix à payer pour utiliser une telle méthode est, bien sûr, de rendre le domaine d’intégration bi-périodique sur l’horizontale à l’aide d’astuces mathématiques relativement coûteuses, voir Boyd (2002). Dans le cas des modèles ci-présents, l’astuce adoptée consiste à étendre périodiquement le domaine d’intégration à l’aide d’extrapolations dans une zone d’extension artificielle, appelée zone-E ; la géométrie horizontale de l’ensemble du domaine ALADIN est illustrée par la figure (3). En revanche, sur la verticale, la discrétisation usuellement employée est en différences finies sur une grille décalée de Lorenz (1960). De plus, la particularité de ces modèles réside également dans le fait que la verticale est représentée par une coordonnée pression "hybride" (ou encore appelée coordonnée-η) qui suit l’orographie.

Le schéma de discrétisation temporelle des équations du mouvement est semi-implicite (SI). Il permet un traitement efficace des ondes supportées par les dynamiques hydrosta-tique ou non-hydrostahydrosta-tique. Le principe de base de ce schéma consiste à corriger la pré-vision des effets destructeurs des ondes rapides autorisées par le système sur la stabilité numérique en appliquant un opérateur dit de "correction semi-implicite" au système dis-cret. Le schéma semi-implicite spectral classique requiert donc la définition d’un opérateur linéaire à coefficients constants dans le temps et homogène sur l’horizontale, désigné par L∗_{, lequel consiste généralement en une linéarisation du système complet M, autour d’un}

zone d’extension de Fourier E

zone intermédiaire de relaxation

zone d’intérêt

météorologique

I C

Fig. 3 – _{Organisation du domaine horizontal d’ALADIN, qui est aussi celle du domaine}

ho-rizontal d’AROME. La zone-C correspond à la région d’intérêt météorologique. La zone-I est la région où le couplage par relaxation est effectué. La zone-E est la région artificielle où les champs sont rendus bipériodiques, afin de permettre l’application de la méthode spectrale pour le calcul des dérivées horizontales. Les champs n’ont donc véritablement de sens physique que dans la région C +I. Le domaine d’intégration total est donné par la réunion C +I +E. Par abus de notation, on désigne par le signe + le symbole réunion d’ensemble ∪.

du système, (∂X /∂t) = M.X est alors discrétisé dans le temps de la manière suivante δX

δt = (M − L

∗_{) .X + L}∗_{.[X ]}t_{, (3)}

où (δ/δt) désigne l’opérateur discret de dérivation temporelle et [ ]t est un opérateur de moyenne temporelle implicite centrée. Le terme (M −L∗_{).X représente l’ensemble des}

termes non-linéaires résiduels potentiellement sources d’instabilités numériques lorsqu’il est traité uniquement de manière explicite. Le traitement semi-implicite des équations induit un opérateur (dit de "correction SI") de la forme (I−βδt L∗_{), où β est un coefficient}

pondérateur à déterminer selon le type d’opérateur de moyenne temporelle [ ]t _{choisi et I} désigne l’opérateur identité. Cet opérateur de correction SI doit être inversé dans l’espace spectral à chaque pas de temps du modèle. Cela fait intervenir un solveur de Helmholtz direct, quasi-diagonal dans l’espace spectral, donc trivialement inversible. Le schéma SI est accompagnée d’un traitement semi-lagrangien (SL) des termes d’advection afin de s’affranchir de la condition CFL de stabilité imposé par le vent dans le schéma eulérien.

Pour ce qui concerne le couplage latéral, la formulation spectrale des modèles ALADIN et AROME a été pensée avec une relaxation de Davies dans l’espace des points de grille. Cependant, si pour les modèles en différences finies l’approche conventionnelle consiste

à appliquer le schéma de relaxation à la fin de chaque pas de temps, pour un modèle à aire limitée spectral semi-implicite cela impliquerait l’utilisation de transformations de Fourier supplémentaires. Afin d’éviter ce sur-coût numérique, la relaxation est effectué immédiatement après que tous les calculs dans l’espace point de grille aient été achevés, comme le suggère Radnóti (1995), en tenant compte de la correction semi-implicite ca-ractérisée par l’opérateur (I−βδt L∗_{). Ainsi, le couplage par relaxation est opéré dans la}

zone intermédaire (zone-I) adjacente à l’aire d’intérêt météorologique (zone-C) suivant la relation

(I −βδtL).X+ _{= (1− α}

r)(I −βδtL∗).Xg,++ αr(I −βδtL).Xh,+, (4)

où Xg,+ _{et X}h,+ _{désignent respectivement la prévision de petite échelle issue du modèle}

à aire limitée non-couplé, et la prévision de grande échelle issue du modèle coupleur. Le paramètre de relaxation, αr, varie horizontalement de manière monotone entre 0 dans la

zone-C et 1 dans la zone-E. La prévision du modèle couplé à aire limitée est donnée par le vecteur d’état X+_{. Le schéma de couplage ci-dessus présente certains avantages d’un point}

de numérique. En effet, le paramètre (1 − αr) étant nul dans la zone-E, la connaissance

de la prévision à aire limitée non-couplée Xg,+ _{n’y est donc pas nécessaire, elle n’est par}

conséquent calculée que dans la zone C+I. La prévision de grande échelle Xh,+ _{est rendue}

bi-périodique au préalable sur l’ensemble du domaine C+I+E. De cette façon à la fin de tous les calculs point de grille, le terme (I −βδt L∗_).X+ _{devient par construction}

bi-périodique sur l’ensemble du domaine C+I+E, sans pourtant qu’aucun calcul point de grille n’ait été effectué dans la zone-E (hormis le remplissage), mais également sans avoir recours à l’application de la procédure de bipériodicisation durant le cours de l’intégration. En somme, c’est la relaxation qui assure la bipériodicité des termes résultant des calculs point de grille.

Ainsi, en partant de la connaissance des champs initiaux sur C+I+E spectralement tronqués dans l’espace de Fourier, le pas de temps s’organise grossièrement de la manière suivante :

(1) Application de la transformée de Fourier inverse (F F T−1_{) afin d’obtenir les}

dé-rivées partielles horizontales et autres quantités utiles aux calculs ultérieurs dans l’espace point de grille.

(2) Calculs dans l’espace point de grille incluant les termes non-linéaires dynamiques, les termes de forçage dynamique (ex : orographie, ... ), la détermination des tra-jectoires, les interpolations semi-lagrangiennes, et les termes issus du schéma de paramétrisation physique (ex : rayonnement, ... ), pour finalement aboutir aux cal-culs complets des membres de droite explicites des équations semi-implicites.

(3) Application du schéma de relaxation (4). La prévision de grande échelle a été pré-calculée et stockée en mémoire toutes les 3 heures, puis linéairement interpolée dans le temps à chaque pas de temps.

(4) Application de la transformée rapide directe (F F T ) du membre de droite de l’équa-tion semi-implicite (4).

(5) Résolution du problème implicite généré par le schéma SI dans l’espace spectral. (6) Application d’une diffusion horizontale implicite dans l’espace spectral.

Compte tenu des contraintes imposées par la méthode spectrale, l’organisation du pas de temps avec couplage latéral par relaxation décrit ci-dessus, est la solution algorithmique qui utilise le moins de transformées de Fourier (un seul aller-retour dans l’espace spectral), et qui minimise le nombre d’appels à la procédure "d’extension/biperiodicisation" (une seule fois au tout début de l’intégration). Il est clair que toute autre stratégie de couplage latéral, rejetant l’idée d’une zone-I de relaxation, supposerait des restructurations assez profondes dans l’architecture du système de prévision. Sans doute est-ce l’une des raisons pour laquelle, en dépit des nombreux points faibles de l’actuelle stratégie de couplage par relaxation, d’autres stratégies de couplage latéral plus rigoureuses mathématiquement (i.e. sans zone-I, bien-posées et transparentes, par exemple) n’ont jusqu’à maintenant pas fait l’objet d’investigation dans les modèles ALADIN et AROME.

Objectifs poursuivis, méthodologie adoptée

Le but de ce travail de thèse est d’étudier la faisabilité des LBCs bien-posées et trans-parentes pour les modèles ALADIN et AROME. Les principaux enjeux de ce travail de recherche sont doubles : d’abord viser à long terme au remplacement de l’actuelle stratégie de couplage par relaxation par une stratégie "bien-posée et transparentes" ; ensuite, uti-liser la réduction du volume de l’information coupleuse pour permettre une transmission de cette information vers le modèle couplé à la fréquence temporelle maximale (c’est à dire à chaque pas de temps du modèle coupleur). Ce dernier point permettrait d’élimi-ner l’une des faiblesses majeures et bien connue de la stratégie actuelle, à savoir la très mauvaise résolution temporelle de l’information coupleuse. C’est cette faiblesse qui est la cause de prévision ratées à coup sûr lorsqu’un phénomène météorologique traverse la zone de relaxation en un temps plus court que cette résolution temporelle, comme ce fut le cas par exemple pour les tempêtes extrêmes de la fin 1999. L’augmentation de la fréquence temporelle de couplage, rendue possible par cette nouvelle stratégie, constituerait donc

un progrès décisif pour la prévision numérique en aire limitée.

Avant de mettre en oeuvre une telle évolution du système, il faut démontrer que l’éla-boration des LBCs bien-posées et transparentes pour une discrétisation spectrale semi-implicite semi-lagrangienne des équations primitives de la météorologie ne se heurte pas à des obstacles épistémologiques, pratiques ou théoriques d’importance. Pour cela, les conséquences de cette stratégie doivent être soigneusement évaluées sur des prototypes analogues au système complet de Prévision Numérique, mais plus simples, et de com-plexité progressivement croissante. La méthodologie qui a été privilégiée consiste donc à partir de contextes théoriques simplifiés, mais pertinents pour explorer chaque sous problème posé, puis de complexifier progressivement le contexte afin de bien cerner les difficultés susceptibles d’apparaître lors d’un transfert éventuel vers l’application pratique en vraie grandeur dans le cadre PN. Cette méthodologie, préconisée par Robert et Ya-kimiw (1986, 1990) pour étudier le problème des LBCs, semble être la plus justifiée du fait de la complexité du problème à traiter. Elle a de plus été adoptée par les chercheurs impliqués dans cette thématique, notamment McDonald (2000, 2002, 2003, 2005, 2006) ou Holstad et Lie (2000, 2001,2004). Les principaux problèmes examinés dans ce travail de thèse sont :

Chapitre 1 : Les implications d’une stratégie de couplage bien-posée pour la mé-thode de discrétisation spectrale employée dans les modèles ALADIN et AROME : la méthode spectrale introduit un certain nombre de contraintes, dont il faut déterminer la compatibilité ou non avec les LBCs bien-posées. Les problèmes potentiels pourraient venir de la nécessité d’appliquer la procédure "d’extension et de bipériodicisation" après chaque imposition des champs à la frontière afin que les dérivées horizontales, calculées spectralement, contiennent l’information du couplage. Le traitement de la zone-E dans le processus de couplage semble être de première importance (Termonia, 2003), et sera donc examiné en détail.

Chapitre 2 : La faisabilité des LBCs bien-posées pour une discrétisation temporelle semi-implicite spectrale et semi-lagrangienne : le traitement spectral de la partie implicite des équations discrétisées dans le temps pose un nouveau problème dans la construction des LBCs bien-posées que n’ont pas rencontré McDonald (en différence finies), et Holstad et Lie (en éléments finis). En effet, aucune manipulation algébrique point de grille des équations discrétisées implicites n’est possible dans l’espace spectral ce qui a priori rend très difficile la transposition directe des travaux de McDonald (en différences finies) au cas de la méthode spectrale : on parle du problème spectral. Une étude approfondie de ce problème, spécifique au schéma SI en spectral, sera effectuée afin de déterminer s’il est

possible de le contourner. En parallèle, le problème du calcul des trajectoires au voisinage de la frontière dans le schéma semi-lagrangien (McDonald, 2000) sera également examiné dans le cadre spectral.

Chapitre 3 : Le traitement des coins du domaine horizontal : la spécification des LBCs bien-posées aux coins du domaine est un problème numérique bien connu des mo-délisateurs. Si certaines précautions ne sont pas prises (McDonald, 2002, 2003), la discré-tisation des coins peut être la cause de très fortes instabilités numériques. Ce problème, aussi présent en spectral, sera brièvement évoqué dans ce chapitre.

Chapitre 4 : La faisabilité d’une stratégie bien-posée et transparente pour le système hydrostatique : par construction, ce système est mathématiquement mal-posé (Oliger et Sundström, 1978). Il possède néanmoins une propriété remarquable connue sous le nom de séparabilité verticale. C’est à dire qu’il se projette sur la verticale dans une base d’équations "shallow water" dont on sait qu’elles admettent toutes un critère de caractérisation bien-posé des LBCs. Cette propriété a été adroitement exploitée par McDonald (2005, 2006, 2007) pour élaborer progressivement un modèle (HPE) prototype en différences finies avec couplage latéral bien-posé et transparent. Dans ce chapitre, il sera question d’établir la faisabilité de cette approche dans le cadre de la méthode spectrale en s’inspirant des travaux de McDonald et en s’aidant des résultats obtenus dans les chapitres précédents.

Chapitre 5 : La construction des LBCs transparentes pour les systèmes NH élas-tiques, comme l’est le noyau dynamique d’AROME : le système NH pleinement élastique est le plus à même d’être traité avec des LBCs bien-posées (Oliger et Sundström, 1978), ce qui laisse espérer une application plus facile qu’en équations primitives hydrostatiques. Cependant, la manière dont les LBCs doivent être formulées afin de garantir la trans-parence de la frontière latérale vis-à-vis des ondes acoustiques et des ondes de gravité n’est pas claire. Dans ce chapitre, nous chercherons à identifier la (ou les) source(s) de ce problème et tenterons de construire un jeu de conditions à la limite pertinent.

Ces cinq problématiques seront successivement examinées à l’aide de modèles labora-toires simplifiés, dans un contexte totalement idéalisé et académique, tout en cherchant à se rapprocher progressivement de l’environnement opérationnel. L’orographie, les termes de diffusion horizontale, et les effets des termes non-linéaires résiduels ne sont pas pris en compte dans cette étude. Nous faisons également abstraction de tout ce qui concerne la partie physique des modèles : les effets diabatiques ou visqueux. À la fin de ce travail de recherche, nous serons en mesure de fournir des éléments de réponse sur la faisabilité ou non des LBCs bien-posées et transparentes dans la dynamique des modèles ALADIN et AROME.

Chapitre 1

Conséquences d’une stratégie de

couplage latéral bien-posée pour la

méthode de discrétisation spectrale

1.1

Introduction

La technique de discrétisation par “méthode spectrale de Fourier” a été développée, puis mise en oeuvre dans plusieurs modèles à aire limitées (LAMs) de prévision numérique du temps : Le modèle NCEP (Juang et Kanamitsu, 1994), le modèle (JMA) (Tatsumi, 1986), le modèle HIRLAM (Haugen et Machenhauer, 1992), le modèle ALADIN (Bubnová et al., 1995) en sont des exemples bien connus. Cette technique consiste à représenter chaque champ horizontal dans la base des fonctions trigonométriques {e2iπnx_}

n_∈N de sorte que ψ(x) = ∞ X n=0 ˆ ψne2iπn x. (1.1)

La série de Fourier converge à condition que le champ ψ satisfasse au moins les mêmes conditions aux limites que celles des fonctions de base. Autrement dit, le champ ψ doit être périodique sur l’ensemble du domaine d’intégration pour que la méthode de discrétisation spectrale de Fourier puisse être employée. De plus, la rapidité de convergence de la série, et donc la précision de la méthode de discrétisation spectrale, dépend de la régularité du champ, voir Gottlied et Orszag (1977). Cette méthode permet une évaluation quasi-exacte des dérivées horizontales dans l’espace spectral.

Le problème majeur soulevé par les LAMs spectraux réside dans la manière de concilier les contraintes de périodicité et de régularité imposées sur les champs par la méthode

spectrale et la spécification des conditions (LBCs) à la frontière du domaine d’intérêt météorologique. En effet, l’introduction de discontinuités spatiales aux bords du domaine est susceptible d’induire des phénomènes de Gibbs se manifestant sous la forme d’ondes indésirables, voir Kuo et Williams (1992). Afin d’éviter que de telles ondes ne viennent corrompre la prévision, les LAMs spectraux ont tous été formulés avec un schéma de couplage latéral mal-posée par relaxation (lissage) des champs vers une solution de grande échelle dans une zone tampon (Davies, 1976).

Dans ce chapitre, nous nous interrogeons sur le bien-fondé d’une stratégie de couplage latéral bien-posée (sans relaxation) pour les LAMs spectraux. Autrement dit, peut-on se passer de la zone tampon de relaxation ? Nous examinerons en particulier le cas de la méthode de discrétisation spectrale de Fourier employée dans le modèle ALADIN : la méthode "d’extension de Fourier". Quels sont les implications d’une stratégie de couplage bien-posée pour la méthode d’extension de Fourier ? En absence de zone de relaxation, doit-on craindre l’apparition aux bords de phénomènes de Gibbs nuisibles pour la prévi-sion ? Ces questions seront étudiées à l’aide d’un modèle test simple d’advection linéaire unidimensionnelle.

1.2

Méthode d’extension de Fourier

La méthode spectrale dite "d’extension de Fourier", a été suggérée par Haugen et Ma-chenhauer (1993) afin de satisfaire la contrainte de périodicité des champs. Elle consiste à étendre de manière bipériodique des champs généralement non périodiques sur le domaine physique d’intérêt météorologique (zone-C), dans une zone artificielle, appelée communé-ment zone d’extension (zone-E). Cette zone est dépourvue de sens d’un point de vue météorologique, les champs y sont obtenus par interpolation de telle sorte qu’ils soient continus et dérivables sur l’ensemble du domaine (C+E). Dans le modèle spectral ALA-DIN (Bubnová et al., 1995), la procédure d’extension actuelle comprend tout d’abord une première étape correspondant au "remplissage" de la zone-E par interpolation à l’aide de fonction splines cubiques, puis une seconde étape consistant en un "lissage" transversal des champs extrapolées, opérée uniquement dans la zone-E.

Détaillons ces deux étapes en considérant un champ physique unidimensionnel quel-conque ψC _{continu et dérivable (non nécessairement bi-périodique) sur la zone-C ; laquelle}

]xb, xL] délimitant la zone-E de la manière suivante : ψ(x) =        ψC_{(x) si x} 0 ≤ x ≤ xb, ψE_{(x) si x} b < x≤ xL. (1.2) avec ψE_{(x) = S} 0(x) ψ0C+ S1(x) ψC1 + Sb−1(x) ψbC−1+ Sb(x) ψbC. (1.3)

Les fonctions interpolantes S0 ,S1, Sb₋₁, Sb sont des polynômes splines cubiques associées

respectivement aux valeurs point de grille du champ physique ψC

0, ψ1C, ψbC₋₁, ψCb . Ces

fonctions sont définies de telle sorte que : ψbE = ψ C b , ψ E L+1 = ψ C 0; (1.4) ψ_b+1E = 2ψCb − ψ C b₋₁ , ψ E L = 2ψ C 0 − ψ C 1. (1.5)

La condition (1.4) assure la périodicité et la continuité du champ prolongé ψ sur l’ensemble du domaine (C +E). La condition (1.5) vise à s’assurer du caractère C1 _{(dérivable et de}

dérivé continue) du prolongement. Notons que cette dernière condition permet de garantir une convergence au moins en O(n−1_{) de la série de Fourier associée au champ ψ, notée}

{ ˆψn}n_∈N, cf. Boyd (2002). Dans un cadre bidimensionnel le remplissage par interpolation

s’effectue d’abord suivant la direction-x dans la zone-Ex, puis suivant la direction-y dans

la zone-Ey, et enfin suivant les deux directions dans la zone-Exy en utilisant les champs

interpolés obtenues dans les zones Ex et Ey.

Une fois le remplissage de la zone-E effectué, les champs sont lissés suivant une méthode de type "Laplacien à 9 points". Dans le cadre bidimensionnel, les champs de la zone-E sont lissés de la manière suivante :

e ψi,jE = 1₄ψ E i,j+1₈ ψ E i+1,j + ψ E i_−1,j + ψ E i,j+1+ ψ E i,j₋₁
+₁₆1 ψEi+1,j+1+ ψEi−1,j−1+ ψEi−1,j+1+ ψiE+1,j−1
. (1.6) Dans le cadre tridimensionnel, ce lissage est effectué dans toute la zone-E successivement suivant la direction-x, puis dans la direction-y pour chaque niveau vertical du modèle. Par conséquent, cette procédure d’extension est onéreuse, il est donc préférable de l’em-ployer avec parcimonie. Dans l’architecture algorithmique actuelle des modèles ALADIN et AROME/Aladin-NH, elle est appliquée au préalable aux champs non-périodiques sui-vants : les champs initiaux, les champs issus du modèle coupleur, l’orographie, les champs

de surface, le paramètre de Coriolis, et le facteur d’échelle de la projection géométrique utilisée.

Comme souligné au chapitre précédent, le schéma de couplage par relaxation mis au point par Radnóti, (1995), permet de s’affranchir de l’appel de cette procédure d’extension à chaque pas de temps du modèle pour chacune des variables pronostiques ; la procédure d’extension n’étant appelée qu’au tout début de l’intégration du modèle couplé. En re-vanche, si une toute autre stratégie de couplage est mise en oeuvre, il est à envisager que le schéma de Radnoti (1995) ne soit plus applicable et qu’il faille appeler la procé-dure d’extension plus fréquemment afin de garantir la périodicité des champs couplés, ce qui entraînerait une augmentation significative du coût numérique de la prévision. Par ailleurs, la procédure d’extension actuelle ayant été formulée dans le cadre particulier de la méthode de relaxation, il est donc possible qu’elle ne réponde pas aux exigences impo-sées par cette autre stratégie.

Zone physique

(Zone-C)

E

E

E

X

X

X

Y

Y

Y

Fig. 1.1 – Représentation du domaine horizontal d’intégration du modèle AR-PEGE/Aladin en absence de zone intermédiaire de relaxation (zone-I). La zone physique d’intérêt météorologique (zone-C) et la zone artificielle d’extension (zone-E) sont représen-tées. La zone-E a été découpée en trois zones Ex, Ey et Exy; telles que E = Ex∪ Ey ∪ Exy

1.3

Révision de la méthode pour les LBCs bien-posé

Dans la perspective d’un couplage bien-posé (sans zone de relaxation), la valeur du champ couplé doit être remplacée (ou non) à la frontière du domaine-C, par la valeur au bord du champ coupleur de grande échelle selon que le flux est entrant (ou sortant). Le champ résultant de cette substitution n’est donc plus nécessairement périodique sur le domaine (C+E). Il convient alors de lui appliquer la procédure d’extension à chaque pas de temps du modèle afin d’éviter l’apparition de phénomènes de Gibbs d’amplitude trop significative, pouvant gravement nuire à la prévision. Cela implique donc de revoir le coût numérique de la procédure d’extension à la baisse.

Par ailleurs, outre ces aspects d’ordre purement calculatoires, la formulation zone-E actuellement employée soulève par construction un problème d’ordre dynamique, car cette dernière n’a pas été pensée dans l’optique des conditions bien-posées ouvertes (en-trantes/sortantes). En effet, considérons une situation purement advective, où l’écoule-ment est essentiellel’écoule-ment dirigé dans le sens des x positifs : le bord gauche de la zone-C est alors dit "entrant" tandis que le bord droit est "sortant". La formule d’interpolation (1.3) peut être scindée en une partie correspondant à la contribution du bord entrant (gauche) et une autre à celle du bord sortant (droite), ainsi :

ψE_{(x) = ψ}E

l (x) + ψ E

r (x) (1.7)

où ψE

l (x) = S0(x) ψC0 + S1(x) ψ1C et ψrE(x) = Sb−1(x) ψbC−1+ Sb(x) ψbC avec l pour "left"

(gauche) et r pour "right" (droite). Les formules d’interpolations actuelles employées dans le modèle ALADIN sont telles que les contributions ψE

l et ψEr satisfont les conditions

sui-vantes : ψE

r(xL) = ψrE(xL+ ∆x) = 0 et ψlE(xb) = ψlE(xb+ ∆x) = 0. Les dérivées spectrales

des champs ψE

l et ψrE respectivement au voisinage des points x = b et x = 0 ne sont donc

pas nécessairement nulles ; (∂ψE

l /∂x)b+ 6= 0 et (∂ψ E

r /∂x)0− 6= 0. Cela implique que les

per-turbations sortant du domaine par le bord droit de la zone-C sont susceptibles de polluer le bord gauche (entrant) de cette même via un passage dans la zone-E et vice versa. Dans le cas de la relaxation ce problème est évité, car les champs dans la zone-E sont entiè-rement déterminés par la solution du modèle coupleur. En revanche, dans la perspective d’un couplage latéral bien-posé, il est possible que la zone-E contienne par interpolation un peu de la dynamique de la zone-C. Il y a donc un risque de contamination du domaine physique (zone-C) par ce qui se passe dans la zone-E. Les formules d’interpolation mise en oeuvre dans cette zone doivent par conséquent être repensées afin de minimiser ces risques. Dans ce qui suit deux nouvelles procédures d’extension sont proposées afin de remédier aux inconvénients mentionnés ci-dessus :

x=xb x=xm x=xL ψl E =0 ψ r E =0 ψb+ ψ0 2

Fig. 1.2 – Illustration du principe de construction de la zone-E selon la procédure d’ex-tension [P1]. La zone-C est représentée par la région rayée, la zone-E est désignée par la région non-rayée. Le champ physique est en trait plein, la partie prolongée du champ selon la procédure [P1] est représenté par des tirets. Au milieu de la zone-E la condition (1.8) est respectée, et les contributions ψE

r et ψlE sont respectivement nulles sur les intervalles

[xb, xm[ et ]xm, xL]. l ψE ψr E τr τl x=xb x=xm x=x L

Fig.1.3 – Illustration Principe de construction de la zone-E selon la procédure d’extension [P2]. La zone-C, la zone-E, le champ physique et le prolongement sont désignés de manière identique à la fig. (1.2). Les fonctions fenêtres Tr et Tl sont en trait plein gras.

Proposition d’extension [P1 ]

Cette première proposition consiste à remplir la zone-E, toujours par une extrapola-tion en spline cubique, mais de telle sorte que : ψE

l (x) = 0 sur l’intervalle [xb, xm[, et

respectivement ψE

r (x) = 0 sur ]xm, xL], avec xm= 1₂(xb+ xL), de cette manière on réduit

considérablement l’influence du bord gauche sur le bord droite et inversement. Les condi-tions de continuité (1.4) et dérivabilité (1.5) demeurent inchangées : ψE

l (xL+ ∆x) = ψ0C,

ψE

l (xL) = 2ψC0 − ψ1C, et ψrE(xb) = ψCb , ψrE(xb+ ∆x) = 2ψbC− ψbC−1. Au milieu de la zone-E

en x = xm, nous avons choisi par simplicité d’imposer les conditions suivantes :

ψE r (xm) + ψrE(xm) =  ψC 0 + ψbC 2  , ψlE(xm+ ∆x) = ψlE(xm), ψrE(xm− ∆x) = ψEr(xm). (1.8)

La figure 1.2. illustre le principe de l’extension d’un champ ψ dans la zone-E suivant cette nouvelle procédure. Notons de plus que dans cette proposition [P1], la routine de lissage de la partie prolongé du champ dans la zone-E subit, elle aussi, de légères modifications, lesquels ne sont visibles que dans la cas bi-dimensionel horizontal (x-y). En effet, afin de réduire le coût numérique de cette opération, nous proposons d’effectuer le lissage uniquement dans la direction du prolongement du champ ; autrement dit si le remplissage est transversal, par exemple dans la direction x uniquement, alors le lissage se fait aussi uniquement suivant x tel que dans la région Ex de la zone d’extension (voir fig. 1) le

champ lissé selon la relation : e ψE i,j = ψ E i,j+ 14 ψ E i+1,j− 2ψi,jE + ψ E i−1,j
. (1.9)

Il en est de même si le remplissage se fait uniquement dans la direction y, alors la procédure de lissage ci-dessus est appliquée suivant y dans la région Ey de la zone-E, en inversant

simplement le rôle des indices i et j dans (1.9). Dans la région Exy le prolongement étant

à la fois suivant -x et -y, le lissage par la méthode Laplacienne avec 9 points (1.6) y est encore appliquée.

Proposition d’extension [P2 ]

Cette seconde proposition s’inspire de récents travaux de Boyd (2002 ; 2005), elle consiste à remplir la zone-E de manière classique selon l’équation (1.3), mais en calculant séparément les contributions ψE

r et ψEl , puis à multiplier chacune d’elles par des fonctions

fenêtres soigneusement choisies au préalable. D’après Boyd (2002), ces fonctions fenêtres doivent avoir les propriétés suivantes : elles sont infiniment plates au voisinage des bords