cette étude préliminaire a mis évidence les difficultés liés à la construction d’un schéma de couplage latéral bien-posé à la fois stable et précis pour un simple système linéaire 1D, discrétisé selon un schéma 2TL SISL spectral. Deux approches alternatives ont été pro- posées : (A ) le schéma de couplage itératif à corrections implicites "ILBC" pour iterative lateral-boundary correction (en anglais) et (B ) le schéma LBCs externalisées "ELBC" pour externalized lateral-boundary condition. Les tests de ces deux approches dans le cadre d’un système linéaire d’équations shallow-water 1D ont mis en évidence les points suivants :
(A ). La stabilité numérique du schéma itératif "ILBC" est assurée au prix d’un cer- tain nombre d’itérations de la partie implicite spectral de la dynamique. En effet, dans le cas du modèle shallow-water 1D, plus de 4 itérations sont nécessaires pour garantir la stabilité de schéma de couplage bien-posée pour de grands nombres de Courant d’onde (i.e comparables à ceux employés dans le modèle ALADIN). Les raisons théoriques de ce nombre d’itérations critique n’ont pas été élucidées au cours de cette étude. Une analyse numérique complémentaire de ce schéma itératif est par conséquent requise afin de justi- fier mathématiquement de sa stabilité prouvée expérimentalement et d’examiner certaines solutions alternatives susceptibles d’accélérer sa convergence. Par ailleurs, nous avons dé- montré que la solution alternative dite "schéma à pas de temps fractionné" était capable de restaurer la précision de la prévision lorsque les points d’origines des trajectoires semi- lagrangiennes étaient situés loin en dehors du domaine d’intérêt météorologique. Cette solution présente néanmoins certains inconvénients : (A1) elle est difficile à implémenter, en particulier, si on l’étend au cas de systèmes bidimensionnels (ou tridimensionnels) ;
(A2 ) l’algorithme de pas de temps fractionné exige des ressources importantes en terme de CPU.
(B ). À la lumière de tests menés dans le modèle laboratoire shallow-water 1D, on peut conclure que le nouveau concept "d’externalisation du traitement de LBCs" ou " ELBC" est possible. Il présente les avantages suivants : (B1) il ne souffre pas de problème de sta- bilité pour les grands nombres de Courant d’onde, aucune itération de la partie implicite de la dynamique n’est requise. (B2 ) il permet de s’affranchir des imprécisions liées aux trajectoires semi-lagrangiennes sortant du domaine via l’utilisation de schémas explicites à pas de temps fractionné aux bords du domaine. (B3 ) Le schéma LBCs développé pour un LAM spectral peut être employé pour un LAM point de grille (en différences finies, par exemple). (B4 ) Pour un noyau dynamique donné, un schéma LBC peut être remplacé par un autre sans que la numérique mise en jeu dans la dynamique ne soit modifiée. Il permet de contourner l’impossibilité d’imposer les LBCs directement dans l’équation de Helmholtz en spectral. Le schéma ELBC s’avère donc prometteur aussi bien pour les LAMs spectraux que pour les LAMs point de grille. Néanmoins, dans le cas spectral, des problèmes d’ondes résiduelles indésirables persistent encore aux bords du domaine pour de grands nombres de Courant d’ondes. Ce qui nuit gravement à la précision des prévisions. Cet artefact est lié à la différence entre la version point de grille (différences finies) et la version spectrale de l’opérateur de correction SI, c’est à dire respectivement (I −∆t L∗)
F D
et (I − ∆tL∗)
SP, (on rappelle que L∗ correspond usuellement au linéaire tangent du sys-
tème). Ce problème de précision ne remet pas en cause l’idée de l’externalisation des LBCs, mais il doit cependant être résolu avant d’envisager tout autre développement de cette idée dans un système plus complexe.
La faisabilité d’un schéma LBCs bien-posé pour une discrétisation SISL spectrale a été démontrée expérimentalement dans le cas particulier d’un système linéaire shallow- water 1D. Toutefois, rien ne garantit que les deux schémas proposés ci-dessus : "ILBC" et "ELBC" puissent s’étendre à des cas plus complexes (2D, 3D, ou non-linéaires). En conséquence, dans le prochain chapitre, nous nous intéresserons la faisabilité d’un schéma de couplage latéral bien-posé toujours pour le système linéaire shallow-water mais cette fois dans le plan horizontal 2D. Compte tenu des problèmes de précision dont souffre le schéma "ELBC", nous privilégierons l’étude du schéma itératif "ILBC" certes moins attractif d’un point de vue conceptuel, mais qui réunit des conditions de stabilité et de précision très encourageant.
Chapitre 3
Une première tentative d’extension au
cas des ondes barotropes 2D
3.1
Introduction
L’objectif de chapitre est double : dans un premier temps, nous essaierons de construire des LBCs plus transparentes que les simples "conditions caractéristiques" pour le système des équations "shallow water" bi-dimensionnelles (2D). En effet, les LBCs "caractéristiques", qui ont jusqu’à maintenant été utilisées comme condition à la limite latérale transparente pour le modèle "shallow water" uni-dimensionnel (1D), (cf. chapitre 3), supposent que l’influence de termes de Coriolis est négligeable, et que l’angle d’incidence des ondes par rapport aux bords du domaine est normal, i.e, à 90◦. Or, Durran (2001) a montré que les
effets dispersifs des termes de Coriolis sur la propagation des ondes de gravité pouvaient nuire à l’efficacité des LBCs caractéristiques pures en terme de transparence. De plus, dans le cadre d’un écoulement barotrope bi-dimensionnel, la situation la plus fréquente correspond à celle où l’onde de gravité incidente attaque le bord du domaine limité avec un angle d’incidence inférieur à 90◦. En conséquence, les LBCs "caractéristiques" pourraient
ne pas être suffisamment subtiles pour s’accommoder d’une telle situation. Une théorie de construction de LBCs transparentes plus sophistiquée est nécessaire. Pour ce travail de nature essentiellement théorique, nous nous inspirons largement de la méthode d’analyse de McDonald (2002, 2003).
Dans un second temps, nous tenterons de démontrer la faisabilité technique d’un schéma de couplage bien-posé de type ILBC "itérative lateral-boundary correction", pro- posé au chapitre précédent, dans le cadre d’un modèle spectral en équations shallow-
water 2D, et discrétisé selon un schéma d’avance temporelle semi-implicte semi-lagrangien (SISL). Le but est d’examiner les effets d’une géométrie horizontale bi-dimensionnelle (i.e domaine limité rectangulaire) sur la mise en oeuvre d’un schéma de couplage latéral bien-posé de type ILBC. Nous essaierons de répondre aux questions suivantes : Quelles complications les coins du domaine engendrent-ils sur le calcul des termes de correction implicites du schéma ILBC ? Quels en sont les implications pour l’organisation de pas de temps ? Et surtout, quel est le prix à payer pour garantir la stabilité numérique d’un tel schéma ? Des tests numériques pratiques viendront parachever cette analyse afin de vérifier la viabilité du traitement des LBCs proposé.