L’objectif de cette étude était de démontrer la faisabilité d’une approche LBCs bien- posée et transparente pour des systèmes discrétisés selon la méthode spectral "d’exten- sion de Fourier" supportant aussi bien des ondes de tourbillon potentiel et des ondes barotropes que des ondes baroclines. Dans cette optique, trois systèmes linéaires ont été étudié : le système shallow-water à une couche unidimensionnel ; le système hydrostatique multi-couches dans le plan (x-z) ; et le système en équations primitives hydrostatiques en coordonnée verticale σ. Ces trois études distincts ont mis en évidence les problèmes suivants :
• La forte sensibilité conditions initiales des conditions transparentes d’ordre supérieur ou égale à 1 et la nécessité qu’à l’instant initial les conditions aux limites transparentes soient en adéquation avec les conditions initiales. Cela met en garde quant à la possible apparition d’un problème de dérive numérique des champs couplés, si à l’instant initial les interpolations (ou extrapolations) spatiales et/ou temporelles sont faites de manière naïves dans la discrétisation des équations du mouvement et des conditions aux limites transparentes d’ordre supérieure à 1. De même, les différences entre le modèle coupleur et le modèle couplé pourraient s’avérer problématique en présence de LBCs transparentes.
• L’élaboration des conditions aux limites latérales transparentes pour le système hy- drostatique sur une grille verticale de Lorenz classique est impossible. Nous avons vu qu’il était essentiel de pouvoir inverser la relation hydrostatique pour construire les LBCs transparentes. Ce qui exclut de fait l’utilisation de la grille de Lorenz couramment em- ployée dans les modèles de PN. Dans cette étude, nous avons montré comment la grille de Lorenz "trouée" proposée par McDonald (2006b) permet d’éviter ce problème.
• Des problèmes de transparence pour les ondes baroclines de gravité internes dont la vitesse de phase caractéristique avoisine la vitesse du vent normal à la frontière. Bien que les tests numériques aient montré que l’on pouvait atteindre un degré de transparence de l’ordre de 99% avec les conditions semi-transparentes d’ordre 1, un problème de transpa- rence subsiste pour les modes de gravité internes vérifiant cm ≈ |u0|. Ce problème n’a pas
été observé en différences finies par McDonald (2006a, 2006b), Il est donc spécifique à la méthode spectrale.
En définitive, l’étude de ces systèmes nous a non seulement permis de démontrer la faisabilité de l’approche LBCs transparentes pour le système en équations primitives hydrostatiques, mais elle a aussi mis en évidence les limitations de cette approche. Dans le prochain chapitre, nous poursuivons notre démarche vers la construction des LBCs bien- posées et transparentes pour le système des équations non-hydrostatiques compressibles.
Chapitre 5
Conditions à la limite latérale
transparentes pour le système
non-hydrostatique élastique
5.1
Introduction
Aladin-NH et AROME sont des modèles régionaux dédiés à la prévision numérique du temps dont le noyau dynamique est fondé sur le système d’équations d’Euler (EE) pleinement élastiques en coordonnée masse, décrit par Laprise (1992). Ce jeu d’équations est non-hydrostatique et compressible car ni l’approximation hydrostatique ni l’approxi- mation anélastique ne sont retenues : autrement dit, l’accélération verticale n’est plus négligeable devant l’accélération gravitationnelle et l’atmosphère est désormais considérée comme un fluide pleinement compressible. Le système EE est valide aussi bien pour les écoulements de petite échelle que pour ceux de grande échelle. Il supporte la plupart des ondes présentes dans l’atmosphère, c’est à dire les ondes acoustiques, les ondes de gravité, et les ondes de Rossby.
La résolution de ces équations sur un domaine limité requiert des conditions à la frontière. De la justesse et de la précision de ces conditions vont dépendre la qualité de la prévision à l’intérieur du domaine. Plus le domaine sera grand, plus la qualité de la prévision au centre du domaine sera affectée tardivement par les erreurs commises à la frontière. Pour l’instant, à cause des limitations de puissance de calcul, il est impossible d’élargir suffisamment le domaine au point de prévenir de possibles contaminations par les erreurs advectives dues au passage rapide d’un front ou d’un système dépressionnaire
traversant le bord du domaine. De plus, dans un modèle non-hydrostatique, la propaga- tion des ondes de gravité revêt une importance cruciale. Or, la stratégie de relaxation de Davies (1976) couramment employée dans les modèles de prévision numérique, qui consiste à absorber toutes les ondes sans se soucier de l’importance de leurs contributions dans l’écoulement atmosphérique devient problématique. La question qui se pose est la suivante : Comment distinguer les bruits générés par les bords de l’activité significative des ondes de gravité d’intérêt météorologique ? En conséquence, Il devient primordial de construire des conditions aux limites transparentes qui tiennent compte des propriétés intrinsèques au non-hydrostatisme.
Les travaux de Sundström et Elvius (1979) et plus récemment ceux de McDonald (2006) ont respectivement démontré la faisabilité de la stratégie des LBCs caractéris- tiques pour un écoulement barotrope gouverné par les équations shallow-water et pour les écoulements baroclines avec le système en équations primitives hydrostatiques (HPE). Cependant, dans le cas d’un écoulement non-hydrostatique, les ondes mises en jeu (i.e., ondes acoustiques, et ondes de gravité) ne se propagent pas nécessairement toutes le long des trajectoires caractéristiques, ce qui laisse présumer de possibles complications en vue de l’élaboration des conditions aux limites transparentes pour le système EE. Dans ce chapitre, on se propose de mettre en évidence ces complications et d’en analyser les implications pour les conditions aux limites transparentes.