Discussions

En conclusion, la présence des ondes de gravité et des ondes acoustiques soulève un sérieux dilemme en vue de la construction des LBCs transparentes pour le système d’Euler compressible. En effet, faut-il considérer le cas des ondes rapides, c’est à dire de pulsations supérieures à la fréquence de Brunt-väisälä (ω > ¯N ) ou celui des ondes lentes (ω <

¯

N ) ? Autrement dit, les LBCs doivent-elles être construites de manière à privilégier le traitement transparent des ondes acoustiques plutôt que celui des ondes de gravité ? Où est-ce l’inverse. Il semble a priori difficile de répondre à cette problématique en s’appuyant exclusivement sur un raisonnement d’ordre théorique.

Dans cette étude, nous avons fait le choix légitime de traiter le cas des ondes acous- tiques, dans la mesure où ces ondes ne sont pas d’intérêt météorologique. Une méthode de construction dite "des perturbations" a été appliquée afin d’établir des LBCs transpa- rentes du premier ordre. Cette méthode suppose que les termes de dérivation temporelle sont prépondérants devant les autres termes, et en particulier devant ceux d’ordre zéro. Or, dans le cas des ondes lentes les processus dynamiques prédominants sont associés aux termes non-différentiels. La méthode de construction des LBCs transparentes doit donc être repensée afin de mieux prendre en compte les effets de ces termes.

En définitive, en l’état actuel des connaissances, il n’existe pas de théorie permettant de traiter simultanément les deux types d’ondes. Seule l’expérimentation pourrait donner une indication sur la meilleure voie à suivre, s’il en existe une.

Conclusions

Synthèse et Perspectives

À la question : une stratégie de couplage latéral bien-posé et transparent est-elle pos- sible dans les modèles de prévision numérique du temps ALADIN et AROME ? Ce travail de recherche apporte quelques éléments de réponse via l’examen successif des implications d’une telle stratégie de couplage sur les différents ingrédients décrivant la dynamique de ces modèles à aire limitée que sont : (i) la méthode de discrétisation spectrale de Fou- rier ; (ii) le schéma d’avance temporelle semi-implicite semi-lagrangien ; (iii) les équations primitives hydrostatiques ; et (iv ) les équations non-hydrostatiques d’Euler pleinement compressibles. L’exploration de chacune de ces problématiques à l’aide de modèles labo- ratoires linéaires simples a permis d’identifier les points suivants :

(i) L’abandon de la stratégie de couplage par relaxation pour une stratégie bien-posée implique l’application d’une procédure d’extension périodique sur les champs modifiés par les LBCs. De plus, elle induit un ralentissement de la convergence de la méthode de dis- crétisation spectrale de Fourier, donc une perte de précision dans l’évaluation des dérivées horizontales. Toutefois, ce problème inhérent à la méthode d’extension de Fourier n’est pas dramatique. Des tests 1D dans un modèle d’advection linéaire ont montré qu’en dépit des discontinuités introduites par les LBCs aux bords les dérivées spectrales demeurent plus précises que les dérivées en différences finies d’ordre 2.

(ii) Deux schémas de couplage bien-posés ont été proposés dans le cas particulier d’un modèle shallow-water 1D afin de remédier au problème spectral dû à la résolution de la partie implicite de la dynamique dans l’espace spectral : le schéma itératif "ILBC" itera- tive lateral-boundary correction (Voitus et al., 2009) et le schéma des LBCs externalisées "ELBC" externalized latera-boundary condition (Termonia et Voitus, 2008).

Le schéma ELBC répond à la question de la possibilité d’un traitement externalisé des LBCs, autrement dit, les conditions à la limite latérale peuvent-elles être générées par le biais d’un schéma numérique strictement distinct de celui employé pour résoudre la dynamique (SISL) ? Des tests dans le cas 1D prouvent que l’externalisation des LBCs est

possible. Le schéma ELBC présente l’avantage de résoudre le problème des trajectoires semi-lagrangiennes tronquées sans qu’aucun traitement spécial du schéma SL ne soit né- cessaire. L’inconvénient est qu’avec cette nouvelle approche nous nous aventurons sur des terres jusqu’à lors inexplorées scientifiquement. De plus, dans la mesure où elle touche la structure géométrique du modèle, il est fort probable que nous soyons forcés de revoir le flot de donné en certain point.

Le schéma ILBC a été bâti sur l’idée que pour stabiliser le schéma SI spectral en présence de LBCs bien-posée, il convient d’itérer la partie implicite avec des corrections appropriées aux limites latérales. L’inconvénient est que la formulation des LBCs sera intimement liée à la dynamique du modèle. Ainsi, tout futur développement dans la dy- namique influencera le traitement des LBCs et vice versa. Le tendon d’Achille de cette approche réside dans la convergence des itérations. quatre itérations furent nécessaires lors des tests 1D pour obtenir des résultat acceptables, tandis que 25 itérations fut né- cessaires lors des tests 2D, ce qui est fort peu encourageant. Cependant, il reste encore des alternatives à explorer qui pourraient accélérer la convergence. Ce problème est de première importance et devrait de ce fait être traité en premier lieu en 1D, puis en 2D en portant une attention toute particulière à la discrétisation des coins du domaine.

En outre, contrairement au schéma ELBC, le schéma ILBC requiert la mise en oeuvre d’un traitement spécial des trajectoires semi-lagrangiennes qui sortent du domaine. Trois méthodes ont été suggérées : le schéma d’interpolation temporelle ; la zone buffer bien- posée ; et le schéma de pas de temps fractionné.

(iii) La faisabilité des LBCs transparentes et bien-posées a été démontrée pour le système en équations primitives hydrostatiques linéarisé en coordonnée verticale σ, et discrétisé selon un schéma SISL spectral. Pour ce faire, nous nous sommes inspirés très largement des travaux de McDonald (2006a, 2006b). Le caractère mal-posé des équations hydrostatiques a été contourné en invoquant le principe de séparabilité verticale. Par ailleurs, pour construire les LBCs transparentes, il est nécessaire que la grille verticale de Lorenz, couramment employée dans les modèles de PN, subisse quelques modifications. En effet, la reconstruction des champs de température T et de logarithme de la pression de surface ln ps à partir du champ géopotentiel Φ est essentielle pour la faisabilité des

LBCs transparentes en HPE.

Les tests menés dans le plan vertical (x-σ) avec la grille de Lorenz "trouée" suggérée par McDonald (2006b) et en appliquant le schéma de couplage itératif ILBC dans l’espace de modes normaux se sont révélés stables et précis. Cependant, un problème de trans- parence est à déplorer pour les modes d’inertie-gravité internes dont la vitesse de phase

caractéristique avoisine la vitesse du vent normal à la frontière latérale. Les causes de cet artefact devront être examinées.

(iv ) La construction des LBCs transparentes et bien-posées pour le système NH d’Euler pleinement compressibles souffre d’un dilemme. En effet, l’analyse théorique du problème démontre qu’une formulation des LBCs bien-posée et transparente à la fois pour les ondes acoustiques (ondes rapides) et pour les ondes de gravité (ondes lentes) est impossible. Par conséquent, Il faut choisir entre le traitement transparent des ondes rapides du sys- tème et celui des ondes lentes. Dans la mesure où les ondes acoustiques sont sans intérêt météorologique et qu’au contraire les ondes de gravité prennent de l’importance en NH, nous avons fait le choix de construire des LBCs transparentes pour les ondes acoustique. En fait, on souhaite donc que les LBCs bien-posées aient un apport non-hydrostatique essentiel en évitant de filtrer une possible activité météorologique intéressante des ondes de gravité. La légitimité de ce choix doit toutefois impérativement être justifiée par l’ex- périmentation. Dans cette perspective, des LBCs transparentes pour les ondes de gravité devront également être dérivées.

Ce travail de recherche constitue un premier pas vers l’élaboration d’une stratégie de couplage latéral bien-posé et transparent dans les modèles ALADIN et AROME. Bien que l’analyse des systèmes simplifiés linéaires ait fourni des résultats plutôt encourageants, le chemin a parcourir est encore très long avant d’aboutir à des systèmes météorologiques complets et opérationnels. En supposant que tous les problèmes mentionnés ci-dessus aient été résolus dans le contexte linéaire, l’étape suivante serait d’étudier l’impact des termes non-linéaires, avec leur potentiel de croissance explosive. Évidemment, nous adopterions la même démarche progressive, en allant peu à peu vers des systèmes non-linéaires de complexité croissante. Pour les tests non-linéaires, une stratégie de type modèle parfait devra être envisagée pour chacun des systèmes étudiés.

Limitations intrinsèques des LBCs transparentes

Bien que la construction des LBCs transparentes s’appuie sur des bases mathématiques plus solides que la méthode de relaxation de Davies (1976), leur implémentation dans un modèle réaliste de prévision numérique du temps se heurte à un certain nombres d’obstacles. En effet, les LBCs transparentes souffrent de limitations qui pourraient sans doute être rédhibitoire en vue d’une application en opérationnel :

Comme l’a aussi montré McDonald (2003), les conditions latérales transparentes d’ordre supérieur ou égale à un, présentent une sensibilité aux conditions initiales inquiétante. En effet, dans un contexte météorologique opérationnel les champs imposés aux bords se-

ront toujours entachés d’erreurs. On distingue les source d’erreurs inévitables, liées au fait que le modèle coupleur produit des champs prévus dont la précision, par définition, se dégrade à mesure que la prévision se poursuit ; et les sources d’erreurs potentiellement évitable, liées aux différences d’échelles de résolution entre les modèles coupleurs et les modèles couplés (orographie, physique, etc. ). En présence des LBCs transparentes, ces sources d’erreurs peuvent conduire à ce que les champs imposés aux bords soient non- équilibrés, donnant lieu à du bruit, lequel peut s’amplifier et corrompre la prévision dans l’aire d’intérêt météorologique.

Projetons nous désormais très loin dans le temps et imaginons que l’on ait fait un bond du point où nous sommes à un environnement opérationnel impliquant un système d’équations non-linéaires tri-dimensionnel, incluant l’orographie, la diffusion horizontale et les schémas de paramétrisations physiques. Puisque la construction des LBCs trans- parentes présume que les champs sont réguliers d’un point de vue mathématique, un jeu des champs analysés bien initialisé semblerait être un pré-requis pour que les LBCs fonc- tionnent efficacement. En effet, McDonald (2003) a montré que LBCs était imprécises lorsque les champs réels analysés n’étaient pas soumis à un de processus d’initialisation. Ce point est embarrassant, car il semble suggérer qu’il existe un niveau de bruit (onde de gravité indésirable) critique qui ne peut être supporté par la formulation des LBCs transparentes.

En l’état actuel de la construction des LBCs transparentes suppose également l’ab- sence d’orographie. La relaxation de cette hypothèse générerait des vitesses de phases non-constantes pour les modes normaux. Ce qui pourrait accroître considérablement l’am- plitude des réflexions ou dans le pire des cas induire une instabilité aux bords du domaine. La présence d’orographie peut donc mettre en péril la robustesse des LBCs transparentes. Il en est de même pour l’introduction des termes de diffusion horizontale en −K∇2r_{, car}

ils changent le caractère des équations du mouvement. Les analyses de Sundström (1977) démontrent qu’en présence de diffusion une condition à la limite supplémentaire doit être imposé de chaque côté pour que les LBCs soient bien-posé. Cependant, concernant la transparence des LBCs, la théorie de construction générale est muette.

Compte tenu des raisons évoquées ci-dessus, il est possible que la stratégie des LBCs transparentes soient inappropriées pour la prévision numérique du temps. En conséquence, Il faut penser à une stratégie alternative de repli : amélioration de la stratégie de relaxation ou faisabilité d’une stratégie de couplage interactive dans les LAMs spectraux.

A : VERSION ORIGINALE DE L’ARTICLE

Well-Posed Lateral Boundary Conditions for Spectral Semi-Implicit Semi-Lagrangian Schemes: Tests in a One-Dimensional Model

F. VOITUS

Centre National de Recherches Météorologiques, Météo-France, Toulouse, France

P. TERMONIA

Royal Meteorological Institute, Brussels, Belgium

P. BÉNARD

Centre National de Recherches Météorologiques, Météo-France, Toulouse, France (Manuscript received 24 January 2008, in final form 13 June 2008)

ABSTRACT

The aim of this paper is to investigate the feasibility of well-posed lateral boundary conditions in a Fourier spectral semi-implicit semi-Lagrangian one-dimensional model. Two aspects are analyzed: (i) the compli- cation of designing well-posed boundary conditions for a spectral semi-implicit scheme and (ii) the impli- cations of such a lateral boundary treatment for the semi-Lagrangian trajectory computations at the lateral boundaries.

Straightforwardly imposing boundary conditions in the gridpoint-explicit part of the semi-implicit time- marching scheme leads to numerical instabilities for time steps that are relevant in today’s numerical weather prediction applications. It is shown that an iterative scheme is capable of curing these instabilities. This new iterative boundary treatment has been tested in the framework of the one-dimensional shallow- water equations leading to a significant improvement in terms of stability.

As far as the semi-Lagrangian part of the time scheme is concerned, the use of a trajectory truncation scheme has been found to be stable in experimental tests, even for large values of the advective Courant number. It is also demonstrated that a well-posed buffer zone can be successfully applied in this spectral context. A promising (but not easily implemented) alternative to these three above-referenced schemes has been tested and is also presented here.

1. Introduction

In limited-area numerical weather prediction (NWP) models, the lateral borders of the domain are not physi- cal boundaries for the flow, but artificial boundaries constructed in the aim that the solution of the govern- ing equations over this limited area remain consistent with the one of the global atmosphere. This results in a so-called initial boundary value problem. To solve the equations describing the evolution of the atmosphere in that context, some information has to be supplied at these artificial boundaries throughout the course of the integration time. As shown by Oliger and Sundström

(1978), a field must be supplied at the lateral boundary for each inward-pointing characteristic. This implies that only some subset of all the prognostic variables should be imposed there. If the number of imposed boundary fields has been correctly chosen in the above sense, the initial boundary value problem is said to be “well posed.”

The construction of such a well-posed lateral bound- ary condition (LBC) in NWP models is a delicate task. Nevertheless, some well-posed LBC’s treaments have been recently designed with in mind meteorological forecast models, but exclusively for discretization schemes based on local pointwise horizontal represen- tations of the fields. Namely, for the High-Resolution Limited-Area Model (HIRLAM) model, McDonald (2000, 2002, 2003, 2005, 2006) has shown that it was possible to build various types of well-posed boundary

Corresponding author address:Fabrice Voitus, CNRM/GMAP,

42, Avenue G. Coriolis, F-31057 Toulouse CEDEX, France. E-mail: fabrice.voitus@meteo.fr

JANUARY2009 V O I T U S E T A L . 315

DOI: 10.1175/2008MWR2539.1

treatments for semi-implicit (SI) semi-Lagrangian schemes (SL) based on a finite-difference gridpoint dis- cretization with a staggered Arakawa C grid. Still in pointwise approaches, Lie (2001) has demonstrated the feasibility of well-posed boundaries with a semi-implicit semi-Lagrangian (SISL) model using an horizontal fi- nite-element discretization. However, finite-difference and finite-element methods are not the only horizontal discretization schemes used in NWP models. Space dis- cretization methods based on Fourier spectral horizon- tal representation of the fields are also commonly used in limited-area models, but until now the question of the feasibility of well-posed LBCs within this spectral approach has not yet been investigated, especially in conjunction with SISL algorithms.

In the NWP community, Fourier spectral limited- area models are common practice, as for example, the National Centers for Environmental Prediction (NCEP) model (Juang et al. 1997), the Aire Limitée Adaptation Dynamique Développement International (ALADIN) model (Bubnová et al. 1995), and the so-called spectral version of the HIRLAM model (Haugen and Machen- hauer 1993). But, because of the contradiction between a local specification of LBCs and the global character of the Fourier spectral discretization, designing stable and accurate well-posed boundary conditions is a daunting task. In Fourier spectral limited-area models, one of the most difficult questions is to combine the periodicity constraint for the Fourier expansion with well-posed time-dependent LBCs. For this reason, and because of the success of the engineering solution of Davies (1976), all spectral limited-area NWP models have been so far formulated with a flow-relaxation scheme, as in the NCEP model (Juang and Kanamitsu 1994) and in the ALADIN model (Radnóti 1995). This scheme con- sists in overspecifying the boundaries and in damping the resulting noise in a relaxation buffer zone. This gives stable forecasts and leads to a very easy imple- mentation. Despite this, the relaxation scheme has however some unavoidable weaknesses that might jeopardize the benefit that could be expected from high-resolution modeling and from sophisticated physi- cal parameterizations (see Warner et al. 1997). Addi- tional reasons to look for a well-posed lateral boundary strategy have been hightlighted by McDonald (1999), and will not be detailed here.

The aim of this paper is to examine if a well-posed formulation of LBCs is possible (and viable) in the framework of the spectral technique, since this is the method currently used in the ALADIN model and that might not be questioned in the short term.

In the finite-difference or in the finite-element SISL frameworks, the key point for designing well-posed

LBCs consists in locally altering the gridpoint implicit operator induced by the semi-implicit scheme, with the boundary conditions. This leads to a space-depen- dent closed system that can be iteratively solved at each time step, thanks to efficient gridpoint solvers. For the Fourier spectral method to be attractive, the so-called implicit operator must remain horizontally homoge- neous in such a way that it is readily inverted in spectral space. Hence, the above well-posed LBC strategy, im- plying a local modification of the implicit operator, is not suited for spectral models. The main issue is to find how well-posed LBCs can be incorporated into the Fourier spectral SISL scheme in a stable and accurate manner without jeopardizing the attractive aspects of the Fourier spectral method.

This paper explores these issues in the framework of a one-dimensional linearized shallow-water spectral model, by restricting the specification of LBCs to the gridpoint space. It is first shown that imposing the LBCs in a purely explicit way cannot lead to a suffi- ciently stable behavior for operational applications. Then an alternative method is examined: the LBCs are introduced in the explicit gridpoint part of the compu- tations, but they are treated in an approximate implicit way through an iterative procedure, in the same spirit as the iterative centered implicit (ICI) schemes pro- posed in Bénard (2003).

Moreover, McDonald (2000) identified accuracy problems linked to semi-Lagrangian trajectories when the departure lies outside the domain. He proposed three solutions that are also examined in the present paper. However, in the context of McDonald’s study as well as in the present context, these proposals turn out to be either inaccurate in certain circumstances or too costly for future NWP applications. An alternative so- lution is introduced here, based on the substepping idea of Termonia and Voitus (2008), which circumvents these drawbacks.

This paper is organized as follows. The one dimen- sional two-time level (2TL) SISL spectral shallow- water model is presented in section 2. In section 3, we examine the feasibility of well-posed LBCs by imposing