IUT de Rodez Ann´ee universitaire 2008/2009
Informatique 1◦ann´ee Soutien en math´ematiques.
Sc´
eance n
◦6. Bases et coordonn´
ees.
Exercice 1 1. On se place dans le plan, muni d’un point d’origine et on se donne une poign´ee de vecteurs F = {~0, ~v1, ~v2, ~v3}.
(a) Quels sont les sous ensembles de F qui engendrent le plan ?
(b) Quels sont les sous ensembles de de F qui forment une famille libre ? (c) Quels sont les sous ensembles de F qui forment une base du plan ?
(d) Si l’on ajoute le vecteur nul `a la famille F, o`u peut-on le placer dans les sous ensembles ci dessus ?
2. On se place maintenant dans l’espace R3
et on consid`ere la famille ~ v1 v~2 v~3 v~4 v~5 || || || || || F′ = { (1, 2, −1), (0, 2, 1), (−1, 1, −1), (1, −1, 1) (1, 0, 0) } (a) Donner les sous ensembles qui engendrent R3
. (b) Donner les famille libres `a deux ´el´ements.
(c) Donner les bases de R3
.
⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆
Exercice 2 Un changement de base.
On se place dans le plan muni d’un point d’origine O et d’une base B = {~i,~j). 1. D´eterminer les coordonn´ees des vecteurs ~u, ~v, ~w
dans la base B.
2. Montrer que la famille {~u, ~v} est une famille libre du plan.
Ca nous fair donc une nouvelle base B2 = {~u, ~v} du
plan.
3. Exprimer le vecteur ~wen fonction des vecteurs ~u et ~v. (Autrement dit, d´eterminer les coordonn´ees de ~w dans la base B2).
4. Quelles sont les coordonn´ees de ~u et ~v dans la base B2?
5. On se donne un ~t quelconque et on note x y
B
ses coordonn´ees dans B. Quelles sont ses coordonn´ees dans B2. (Elles d´ependent de x et y, bien sˆur).
j i u v w O ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ 1
Exercice 3 ** L’espace vectoriel des matrices 2 × 2.
On appelle matrice 2 × 2 un tableau de chiffres `a 2 lignes et 2 colonnes M = a11 a12
a21 a22
.
On peut alors consid´erer l’ensemble des matrices 2 × 2, que l’on note M2(R).
Dans cet ensemble, on peut d´efinir de fa¸con naturelle une addition (interne) et une multi-plication (externe) : a11 a12 a21 a22 + b11 b12 b21 b22 = a11+ b11 a12+ b12 a21+ b21 a22+ b22 et λ. a11 a12 a21 a22 = λa11 λa12 λa21 λa22 .
1. Montrer que cet ensemble (M2(R), +, ·) est un espace vectoriel.
2. Quelle est la dimension de cet espace ? 3. Donner une base de cet espace.
4. Montrer que l’ensemble des matrices triangulaires est un SEV de M2(R).
5. Donner une base de l’ensemble des matrices triangulaires. ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆