L’interrogation

PC∗

Interrogation sur les probabilités

Exercice 1

Soit (Xn)n∈N∗ une suite de variables aléatoires de Bernoulli définies sur un même espace probabilisé (Ω,A ,P).

a) (1 pt)Montrer que N = infnn ∈ N∗

 Xn= 1 o

est une variable aléatoire à valeurs dans N∗∪ {_+∞}. Rappel. Il s’agit donc de prouver que pour tout m ∈ N∗∪ {_{+∞}, [N = m] est un événement.}

b) (1,5 pts)On suppose que les (Xn) sont mutuellement indépendantes et que Xnsuit une loi de Bernoulli de paramètre

1

n + 1. Montrer que P(N = +∞) = 0.

Exercice 2

Soit X : Ω → R une variable aléatoire discrète, et F : R → R définie par F(a) = P(X > a).

a) (0,5 pt)Préciser la monotonie de F.On en déduit que F possède en toute point de R ∪ {±∞} une limite à droite et à gauche.

b) (1,5 pt)Déterminer lim

a→−∞F(a) et lima→+∞F(a).

c) (2 pts)Montrer que F est continue à droite en tout a ∈ R. Que vaut F(a−) − F(a+) ?

Exercice 3

Soit (Xn)n∈N∗une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes et de même loi de Bernoulli de paramètre

p ∈]0, 1[, et N une variable aléatoire indépendante de la suite (Xn) et suivant une loi de Poisson de paramètre λ.

On pose Y = N X k=1 Xket Z = N X k=1 (1 − Xk). a) (1 pt)Déterminer PY = k  N = n  et PZ = k  N = n  .

b) (1 pt)Montrer que Y et Z suivent des lois de Poisson.

c) (1,5 pts)Les variables Y et Z sont-elles indépendantes ?

Exercice 4

(1,5 pts) Soient X et Y deux variables aléatoires à valeurs dans N, indépendantes et de même loi.

On pose an= P(X = n) = P(Y = n) et Rn=

X

k>n+1

ak.

En évaluant de deux façons P(X > Y), montrer que +∞ X n=0 anRn= 1 2  1 − +∞ X n=0 a2n  .

Exercice 5

(1 pt) Soit (Xn)n∈N∗ une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes suivant toutes une même loi de

Bernoulli de paramètre p ∈]0, 1[, et N une variable aléatoire suivant une loi géométrique de paramètre 1/2. Calculer l’espérance de Y = X1X2· · ·_XN.

Exercice 6

a) (0,5 pt)Soit X une variable aléatoire réelle possédant un moment d’ordre 2. On pose µ = E(X).

Soit λ ∈ R. Exprimer E(X − λ)2en fonction de V (X) et de δ = µ − λ.

b) (1,5 pts)Soit (Xn)n∈N∗ une suite de variables aléatoires réelles mutuellement indépendantes possédant toutes un

moment d’ordre 2. On pose µn= E(Xn) et on suppose que lim µn= λ et lim V (Xn) = 0.

Montrer que pour tout  > 0, lim

n→+∞P



|_{Xn− λ| > }_{= 0.}

Exercice 7

Soit X une variable aléatoire discrète à valeurs réelles positives et d’espérance finie. Il existe donc une suite (xn) de nombres

positifs telle que X(Ω) ⊂nxn

   n∈ N

o

. On pose µ = E(X) et on considère un réel λ vérifiant 0 6 λ < µ.

a) (0,5 pt)Montrer que φ(t) = E(e−tX) est définie pour tout t > 0.

b) (2 pts)Montrer que φ est dérivable sur [0, +∞[ et que φ0(0) = −µ.

c) (1 pt)En déduire qu’il existe un réel α > 0 tel que eλαφ(α) < 1. On pose désormais K = eλαφ(α).

d) (2 pts)Soit (Xn)n∈N∗ une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes et de même loi que X. On pose

Sn= X1+ · · · + Xn. En considérant l’espérance de Y = exp(−αSn), montrer que P

_S

n

n 6λ

 6_Kn_.