Interversion limite et intégrale

Interversion limite et intégrale

Samuel Rochetin

Samedi 12 mai 2018

Solution. Tout d’abord, ∀n ∈ N, la fonction x 7→ _{1 + x}1 n est continue sur [0; 1]

donc la suite (In)n∈N est bien définie. Remarquons que ∀n ≥ 2, le cours de

Terminale ne permet pas de calculer une primitive de x 7→ 1

1 + xn donc il est

inutile de chercher à expliciter In.

Notons que le calcul d’une telle primitive est accessible un an après le bac-calauréat grâce à la fonction arctan, à la décomposition en éléments simples des fractions rationnelles et à l’intégration par changement de variable.

Ensuite, ∀n ∈ N, In+1− In = Z 1 0 1 1 + xn+1dx − Z 1 0 1 1 + xn dx = Z 1 0  ₁ 1 + xn+1− 1 1 + xn  dx linéarité de l’intégrale = Z 1 0 1 + xn_{− (1 + x}n+1₎

(1 + xn+1_{)(1 + x}n₎ dx mise au même dénominateur

= Z 1 0 xn(1 − x) (1 + xn+1_{)(1 + x}n₎dx factorisation ≥ 0 positivité de l’intégrale

donc (In)n∈N est croissante. Pour appliquer la positivité de l’intégrale, nous

avons utilisé le fait que ∀x ∈ [0; 1], x

n_{(1 − x)}

(1 + xn+1_{)(1 + x}n₎ ≥ 0.

Par ailleurs, ∀n ∈ N, ∀x ∈ [0; 1], 0 ≤ xn

⇐⇒ 1 ≤ 1 + xn

⇐⇒ 1

1 + xn ≤ 1 décroissance de la fonction inverse et

1 1 = 1 =⇒ Z 1 0 1 1 + xndx ≤ Z 1 0 1 dx croissance de l’intégrale ⇐⇒ In≤ 1 Z 1 0 1 dx = [x]1₀= 1 − 0 = 1 donc (In)n∈Nest majorée.

Ainsi, (In)n∈Nest croissante et majorée donc d’après le théorème de la limite

monotone, (In)n∈N converge. Enfin, ∀n ∈ N, 1 − In = Z 1 0 1 dx − Z 1 0 1 1 + xndx vu précédemment = Z 1 0  1 − 1 1 + xn  dx linéarité de l’intégrale = Z 1 0 xn

1 + xn dx mise au même dénominateur

Or, ∀n ∈ N, ∀x ∈ [0; 1], 1 1 + xn ≤ 1 vu précédemment ⇐⇒ x n 1 + xn ≤ x n _xn_{≥ 0} =⇒ Z 1 0 xn 1 + xn dx ≤ Z 1 0 xndx croissance de l’intégrale ⇐⇒ 1 − In ≤ 1 n + 1 Z 1 0 xndx = x n+1 n + 1 1 0 = 1 n + 1− 0 = 1 n + 1 Ainsi, ∀n ∈ N, 1 −_{n + 1}1 ≤ In≤ 1 et lim n→+∞ 1

n + 1 = 0 donc d’après le théorème d’encadrement, lim

n→+∞In = 1.

Notons qu’il est possible d’obtenir cette limite par au moins deux autres méthodes :

1. Par intégration par parties, autrefois au programme de Terminale, désor-mais accessible un an après le baccalauréat.

∀n ∈ N∗_{, ∀x ∈ [0; 1],} 1 1 + xn = 1 + xn_{− x}n 1 + xn = 1 − x n× nxn−1 1 + xn donc en

intégrant par parties, ∀n ∈ N∗, In = 1 −

ln 2 n + 1 n Z 1 0 ln(1 + xn) dx. Or, 2

∀n ∈ N∗_{, ∀x ∈ [0; 1], 0 ≤ ln(1+x}n_{) ≤ ln 2 =⇒ 0 ≤}

Z 1

0

ln(1+xn) dx ≤ ln 2 donc le résultat suit.

2. Par le théorème de convergence dominée, accessible deux ans après le baccalauréat.

Posons ∀n ∈ N, ∀x ∈ [0; 1], fn(x) :=

1

1 + xn et la fonction f valant 1

sur [0; 1[ et 1

2 en 1. Les trois hypothèses du théorème sont vérifiées sur [0; 1] : (fn)n∈N converge simplement vers f , ∀n ∈ N, fn est intégrable et

∀n ∈ N, ∀x ∈ [0; 1], |fn(x)| ≤ 1 avec x 7→ 1 positive et intégrable. Donc

lim n→+∞In =n→+∞lim Z 1 0 fn(x) dx = Z 1 0 lim

n→+∞fn(x) dx théorème de convergence dominée

= Z 1

0

f (x)

= 1 définition de l’intégrale de Riemann Notons que le théorème d’interversion limite et intégrale sous convergence uniforme ne peut s’appliquer ici car il n’y a pas convergence uniforme : en effet, f n’est pas continue en 1−.