Le système d'Einstein-Dirac d'un univers homogène et isotrope

univers homogène et isotrope

Christophe D. Morris,

Département de Mathématiques et Statistiques, Université McGill, Montréal

Mémoire soumis à l’Université McGill en vue de l’obtention du diplôme de Maîtrise ès Sciences.

c

Table des matières

1.2 Plan du mémoire . . . 3

2 Équations de Dirac et d’Einstein 7 2.1 Équations d’Einstein . . . 7

2.2 Équation de Dirac . . . 9

2.2.1 Choix des matrices Gµ _{. . . 10}

2.3 Connexion spinorielle . . . 12

2.3.1 Simplification de la connexion spinorielle . . . 13

2.3.2 Calcul de la connexion spinorielle . . . 15

2.4 Calcul de l’opérateur de Dirac . . . 19

3 Séparation de l’équation de Dirac 21 3.1 Ansatz pour la séparation de l’équation de Dirac . . . 22

3.1.1 Calcul de l’EDO de Dirac . . . 27

3.2 Tenseur d’énergie-impulsion . . . 28

3.2.1 Démonstration de la nullité de sa divergence . . . 30

3.3 Calcul de la première EDO d’Einstein . . . 33

3.4 Calcul de la deuxième EDO d’Einstein . . . 35

3.5 Condition de normalisation . . . 37

3.5.1 Normalisation de l’intégrale de probabilité . . . 37 i

3.5.2 Changement d’échelle . . . 39

4 Formalisme de Bloch 41 4.1 Système d’Einstein-Dirac dans la représentation de Bloch . . . . 41

4.2 Études des cas limites m → 0 et λ → 0 . . . 48

5 Analyse des solutions numériques 51 5.1 Obtention de solutions au système d’Einstein-Dirac . . . 51

5.1.1 Système du chapitre 4 versus celui de [8] . . . 51

5.1.2 Définition des paramètres . . . 52

5.2 Solution pour λ = 3 2, m = 10.5448 et w1,max= −0.2675 . . . 53

5.3 Solution pour λ = 3₂, m = 10.5448 et w1,max= −0.0608 . . . 55

5.4 Solutions périodiques . . . 56

6 Solutions approchées et probabilité de rebondissement 61 6.1 Approximation de l’inclinaison instantanée . . . 61

6.1.1 Comparaison entre Rtilt et Rqu . . . 62

6.2 Solution de l’équation de Friedmann . . . 64

6.3 Solution du système d’Einstein-Dirac dans l’ère 2 . . . 66

6.4 Probabilité approximative de rebondissement . . . 69

6.4.1 Hypothèse d’un rebondissement si ˙R = 0 pour t > ttilt . . 69

6.4.2 Analyse de la condition 6.40 . . . 70

7 Conclusion 75 7.1 Synthèse du présent mémoire . . . 75

7.2 Voies de recherches futures possibles pour ce sujet . . . 76

A Séparation de l’équation de Dirac sur S3 77 A.1 Écriture de l’opérateur de Dirac sur S3 _{. . . 77}

A.2 Définitions et propriétés des opérateurs ~L et K . . . 80

A.3 Diagonalisation de K . . . 86

A.3.1 Preuve de l’équation A.60 . . . 86

A.3.2 Preuve de l’orthonormalité des χk j±1₂ . . . 88

A.3.3 Preuve que les χk_j±1 2 forment une base de L2_(S2)2 . . . . 90

A.3.4 Preuve de l’équation A.61 . . . 91

A.4 Séparation de l’éq. de Dirac en parties radiale et angulaire . . . 94

A.5 Résolution de l’équation radiale pour Φ . . . 97

A.5.2 Solutions pour λ = 0 . . . 98

A.5.3 Solutions pour λ 6= 0 . . . 101

A.6 Spectre de la partie radiale . . . 103

A.7 Normalisation de Φ lorsque λ = ±(n + j + 1) . . . 107

A.8 Spectre de l’opérateur D_S3 . . . 110

A.8.1 Hypothèses pour la détermination du spectre . . . 111

A.8.2 Détermination du spectre complet de D_S3 . . . 113

5.1 Solution de [8] pour λ = 3₂, m = 10.5448 et w1,max= −0.2675 . . 54

5.2 Graphique obtenu dans [8] décrivant Rmin en fonction φmaxpour

λ = 3₂, m = 10.5448 et w1,max = −0.2675 . . . 55

5.3 Solution de [8] pour pour λ = 3

2, m = 10.5448 et w1,max =

−0.0608 et graphique de Rmin en fonction de φmax . . . 56

5.4 Solution périodique de [8] pour λ = 3₂, m = 21.3286 et ~wmax =

(0.690234, 0, −0.723586) . . . 57 6.1 Angles φaléatoire qui satisfont la condition 6.47 . . . 72

Avant-propos

0.1

Résumé

D’abord, l’article [8] est situé dans son contexte et les points d’intérêt de cet article sont soulevés. Il en découle une étude approfondie, où les démarches de cet article sont suivies, en se référant à d’autres articles (des mêmes auteurs ou non). L’obtention du système d’Einstein-Dirac dans [8] est décrite. Puis, les résultats exposés sur la séparation de l’équation de Dirac sur la sphère de dimension trois dans [9] et qui sont détaillés en annexe, sont utilisés. L’utilisa-tion de ces résultats avec l’expression classique du tenseur d’énergie-impulsion, dont la nullité de la divergence est démontrée, permet de réduire le système d’Einstein-Dirac en un système de deux EDO couplées avec une condition de normalisation.

Pour étudier ce système, le formalisme de Bloch est brièvement introduit. Il est ensuite utilisé de façon a simplifier l’étude et la résolution de ce système. Les solutions du système résultant sont tirées de [8] et analysées de façon es-sentiellement qualitative. La solution approchée déterminée dans [7] est décrite et utilisé pour poser une borne inférieure approximative sur la probabilité que le Big-Bang soit évité.

0.2

Abstract

Article [8] is first placed in its historical context and the points of interests of this article are mentioned. It follows from them a deep study in which the steps described in this article are followed, with occasional references to other articles (of the same authors or not). The way the Einstein-Dirac system is obtained is described. Then, results given by [9] on the separation of the Dirac equation on the three-sphere and detailed in appendix are used. These results along with the classical expression for the energy-momentum tensor, for which the vanishing of the divergence is proved, allow the reducing of the Einstein-Dirac system to a system of coupled ODE with a normalization condition.

To study this system, the Bloch formalism is briefly introduced. It is then used to simplify the study and the resolution of this system. The resulting system’s solutions are taken from [8] and analysed in an essentially qualitative way. The approximate solution determined in [7] is then described and used to find an approximate lower bound on the probability that the Big-Bang is avoided.

0.3

Remerciements

Je voudrais d’abord exprimer mes plus sincères remerciements pour le pro-fesseur Niky Kamran. D’abord, la confiance qu’il m’a accordé en acceptant de superviser le projet de maîtrise dont ce mémoire découle m’a permis de garder la tête haute, même dans les moments difficiles. Ensuite, l’aide, le support et les conseils qu’il m’a donné tout au long de mon programme de maîtrise se sont avérés être très précieux.

J’aimerais également remercier le professeur Felix Finster et le docteur Moritz Reintjes pour avoir pris le temps de bien répondre à mes questions lorsque j’en avais et pour m’avoir m’envoyé de bonnes références pour m’ai-der à compléter mon projet. Je voudrais aussi remercier le professeur Robert Brandenberger pour ses suggestions en vue d’améliorer le présent mémoire.

Je souhaite également exprimer ma reconnaissance envers ma conjointe Sophie, qui m’a énormément supporté moralement et m’a accordé du temps lorsque j’en avais de besoin.

0.4

Conventions

Dans tout le document, la convention de sommation d’Einstein est utili-sée à moins d’avis contraire. Cette convention dicte qu’il y a une sommation implicite sur un indice répété dans un monôme, une fois en indice et une fois en exposant.À l’exception d’un avis contraire, les conventions suivantes sont suivies :

– Pour parler de la métrique, de l’Univers, des équations ou de tout autre terme relié de Friedmann-Robertson-Walker, Robertson-Walker est abrégé « RW » et Friedmann-Robertson-Walker est abrégé « FRW ».

– Les composantes des tenseurs, symboles et matrices sont notées avec des indices (grecs ou latins), alors que les tenseurs et matrices sont notés soit par une seule lettre, soit par une composante générique mise entre parenthèses. Par exemple, (aij) est une matrice dont les composantes sont notées par aij.

– Tout opérateur de Dirac est noté avec un D. L’opérateur D sera tantôt un opérateur de Dirac général, tantôt l’opérateur de Dirac dans la métrique RW.

– Le symbole N dénote l’ensemble des nombres naturels et donc, des entiers positifs. Le symbole N0 représente N ∪ {0}.

– Les matrices de Pauli contravariantes et covariantes sont respectivement notées σi et σ_i. Les indices numériques indiquent des matrices de Pauli standard, alors que les indices grecs indiquent des matrices de Pauli sur S3.

– Les dérivées covariantes sur les spineurs sont notées par D, alors que celles sur les tenseurs sont notées par ∇.

– Le vecteur ~σ représente toujours le vecteur de Pauli en coordonnées

car-tésiennes.

– Le symbole ∂µ représentera tantôt _∂x∂µ, tantôt

∂

∂µ. Le premier cas est général, alors que le second cas correspond au cas où nous avons nommé explicitement une coordonnée µ. La même convention est appliquée pour les indices tensoriels.

– Nous écrirons ce que nous appelons une métrique ds2 _{= g}

µνdxµdxν, où les gµν sont les composantes du tenseur métrique (gµν).

– L’exposant T _{signifie la tranposée matriciel et l’exposant} ∗ _signifie

adjoint de Dirac, alors qu’une barre sur toute autre expression signifie que nous considérons son complexe conjugué.

– Lorsqu’il n’est pas écrit en indice, µ représente un volume et dµ un élément de volume.

– Une norme, peu importe l’espace métrique pour lequel cette norme est définie, est notée ||.||. Plus de détails sur cette norme peuvent être spé-cifiés en indice.

– Le terme « EDO » représente à la fois la forme singulière et plurielle de « équation différentielle ordinaire ».

– Le symbole h, i représente toujours un produit scalaire. Plus de détails sur ce produit scalaire peuvent être spécifiés en indice.

– Il se peut que nous écrivions ∂µA(x1, . . . , xµ, . . . , xn) pour un vecteur ou une matrice. Dans ce cas,

∂µA(x1, . . . , xn) =      ∂µ . . . 0 .. . . .. ... 0 . . . ∂µ      m×m A(x1, . . . , xn),

où m est le nombre de lignes dans A. Ainsi, ∂µA est la matrice de la même dimension que A telle que (∂µA)ij = ∂µAij.

– La même convention est appliquée lorsque ∇µ, qui est la dérivée cova-riante tensorielle, agit sur un spineur. Par exemple, si nous considérons le (1,0)-tenseur-(1,1)-spineur Gν_{, alors}

∇µGν = ∂µGν + ΓνµλG λ_,

Introduction

1.1

Contexte historique de l’article [8]

Une des applications célèbres de la relativité générale est la description d’un univers homogène et isotrope en expansion dont la taille, déterminée par un facteur d’échelle R(t), évolue dans le temps. Toutefois, lorsque seule la re-lativité générale est considérée, cette description prédit une singularité : un moment pour lequel R = 0 et où par conséquent, l’univers entier serait loca-lisé en un point. Nous appelons cette singularité « Big Bang ». De façon plus générale, les différents théorèmes d’Hawking et de Penrose sur les singulari-tés impliquent qu’avec des hypothèses physiquement raisonnables, la présence d’une surface piégée (dans le sens que les deux familles de géodésiques nulles orthogonales à cette surface convergent) mène inévitablement à une singula-rité (voir [14, chapitre 8] pour une discussion rigoureuse des singulasingula-rités et des théorèmes qui les impliquent). Ainsi, le Big Bang serait atteint même en admettant des inhomogénéités et anisotropies locales dans l’univers. La seule façon alors d’éviter le Big Bang est d’admettre que la relativité générale est une théorie classique et ne s’applique plus à partir d’une certaine densité de matière, à laquelle des effets quantiques entreraient en jeu pour ne pas que le Big Bang soit atteint.

La possibilité que la singularité du Big Bang soit évitée par des effets de nature quantique est un sujet actif de recherche. Malgré le fait qu’une théorie quantique complète de la gravité n’a pas encore été découverte jusqu’à ce jour, ce problème a été abordé dans des situations où une telle théorie devrait s’appliquer. Dans un tel cadre, des résultats très importants ont d’abord été obtenus dans [25], où il a été montré que, dans le cas où seul le degré de

liberté conforme d’une théorie conforme de la gravité aurait été quantifié, les fluctuations quantiques de ce degré de liberté rendent la solution classique dénuée de sens près du Big Bang. Plus tard, ce problème a été considéré en 2004 dans [32] où, dans le cadre d’une théorie M, les modes de la théorie sont séparées en deux types. Il a été ensuite montré que le type de modes décrivant la théorie des cordes qui inclut la gravité perturbative est régulière au moment du Big Bang. Le problème a également été considéré dans le cadre de la gravitation quantique à boucles en 2008 dans [3], où une modification à l’équation de Friedmann est étudiée et mène à un évitement du Big Bang, causé par un rebondissement lorsque l’Univers possède une certaine densité critique.

La possibilité que le Big Bang soit évité a aussi été étudiée dans le cadre dans un modèle semi-classique, où la matière serait considérée comme quan-tique, alors que la gravité serait considérée comme classique. C’est dans ce cadre que [8] se trouve. L’article qui s’en rapproche le plus est [27]. Ce dernier considère le couplage de la gravité classique à un champ scalaire quantifié de masse arbitraire. En assumant l’homogénéité et l’isotropie, les auteurs de cet article obtiennent des équations pour la pression et la densité de la matière et intègrent numériquement les équations de Friedmann pour décrire l’évolution du facteur d’échelle dans le temps. Ils sont apparemment les premiers à avoir trouvé une solutions symétrique autour d’un minimum du facteur d’échelle, de sorte que le Big Bang soit localement évité par un rebondissement. Ce rebondissement a des propriétés similaires à celui trouvé dans [8] :

– Les effets quantiques n’entrent en jeu que lorsque la solution se trouve très près d’un minimum du facteur d’échelle.

– Les solutions trouvées concordent avec la solution FRW lorsqu’elle est éloignée de ce minimum.

– Le rebondissement dépend de la relation de phase entre la contraction de la solution et les oscillations quantiques de la pression.

– Le rebondissement (lorsqu’il survient) est dû à un état de cohérence quantique macroscopique analogue au condensat de Bose-Einstein. Toutefois, les auteurs de cet article assument que de parler d’une théorie quantique de l’Univers entier dans un modèle cosmologique ait un sens et évitent les problèmes de renormalisation en considérant des états pour lesquels les détails de cette renomalisation n’a pas d’influence sur le problème étudié. De plus, aucune solution périodique, dépourvue de singularité n’a été trouvée.

Il y a deux différences principales entre les articles [27] et [8]. D’abord, les auteurs de [27] considèrent un champ scalaire obéissant à l’équation de Klein-Gordon généralisée, alors que les auteurs de [8] considèrent plutôt un champ spinoriel fermionique obéissant à l’équation de Dirac généralisée. Ensuite, les auteurs de [27] considèrent un champ scalaire quantifié, alors que les auteurs de [8] considèrent plutôt une fonction d’onde qui n’est pas elle-même quantifiée. La démonstration, dans [8], qu’un rebondissement soit possible sans faire appel à la théorie quantique des champs est une innovation qui présente un très grand intérêt.

Parmi les choses qui ont été accomplies par les auteurs de [8], notons d’abord que des solutions périodiques dépourvues de singularité ont été trou-vées. Ensuite, contrairement à [27], les paramètres des solutions trouvées dans [8] couvrent beaucoup de situations différentes. Notamment, dans [27], un fac-teur d’échelle minimal n’existe que dans le cas de l’Univers fermé et ce dernier dépend énormément du facteur d’échelle maximal, alors que les auteurs de [8] ont prouvé l’existence de solutions ayant un facteur d’échelle minimal même dans les cas ouverts et plats dans [7] et ce facteur d’échelle minimal dépend de façon très souple de plusieurs paramètres qui peuvent être ajustés pour pro-duire une solution rebondissante physiquement réaliste. Finalement, un de ces auteurs (F.Finster) a également donné un sens à la normalisation des solutions du système d’Einstein-Dirac qui a été étudié dans [8] par la publication de [9] avec un autre auteur (M.Reintjes).

1.2

Plan du mémoire

Notre intérêt pour les résultats publiés dans [8] nous mène à vouloir les comprendre aussi profondément que possible. Au chapitre 2, nous obtenons le système d’Einstein-Dirac qui a été étudié dans [8]. Les équations d’Ein-stein pour une métrique RW, qui sont bien connues sont résumées à la section 2.1. L’équation de Dirac, qui est un peu moins connue, est détaillée dans les autres sections du chapitre 2. Les coefficients de la connexion spinorielle sont présentées, simplifiées et calculées à la section 2.3.

Au chapitre 3, un ansatz homogène et isotrope est utilisé pour réduire l’étude du système d’Einstein-Dirac en un système d’EDO couplées. Cet an-satz est discuté et utilisé pour calculer la première EDO dite « de Dirac » à la section 3.1. Le tenseur d’énergie-impulsion qui entre dans les équations

d’Ein-stein est présenté et la nullité de sa divergence est vérifiée à la 3.2. Ce dernier est alors utilisé à la section section 3.3 pour obtenir la deuxième EDO dite « d’Ein-stein ». Les équations d’Eind’Ein-stein donneraient normalement une troisième EDO, mais il est montré à la 3.4 que cette dernière est automatiquement satisfaite si les deux autres le sont. Nous complétons le système d’Einstein-Dirac par une condition de normalisation, que nous simplifions à l’aide d’un changement d’échelle qui laisse les EDO de Dirac et d’Einstein invariante à la section 3.5. Au chapitre 4, le système d’Einstein-Dirac est encore une fois simplifié en représentant les solutions de ce système par un vecteur de Bloch. Nous obtenons une forme finale pour le système d’Einstein-Dirac à la section 4.1 similaire à celle trouvée dans [8]. Dans cette forme finale, l’équation de Dirac représente une précession du vecteur de Bloch autour d’un vecteur variant dans le temps, alors que l’équation d’Einstein ne dépend que d’une seule des trois composantes du vecteur de Bloch. Nous utilisons cette forme finale du système d’Einstein-Dirac pour vérifier que nous obtenons les cas limites appropriés à la section 4.2.

Des solutions numériques du système d’Einstein-Dirac ont été trouvées dans [8]. Nous présentons et analysons ces dernières au chapitre 5. Nous discutons des paramètres dont dépendent les solutions du système d’Einstein-Dirac à la section 5.1. Puis, nous discutons de chaque solution présentée dans [8] aux autres sections du chapitre 5. Nous discutons également des conditions sur l’énergie à la section 5.4.

La partie principale du mémoire se termine par le chapitre 6, où une solu-tion approchée du système d’Einstein-Dirac est étudiée et utilisée pour poser une borne inférieure sur la probabilité que le Big Bang soit évité. Une approxi-mation dite « de l’inclinaison instantanée » utilisée dans [7] est décrite à la section 6.1. Les deux sections suivantes décrivent la solution approchée, qui est obtenue en séparant l’étude du système d’Einstein-Dirac en une période avant l’inclinaison du vecteur de précession, nommée « ère 1 » et une période après l’inclinaison du vecteur de précession, nommée « ère 2 ». L’étude de la solution dans l’ère 1 est l’objet de la section 6.2, alors que celle de la solution dans l’ère 2 est l’objet de la section 6.3. Une borne inférieure sur la probabilité de rebondissement (i.e. d’existence d’un minimum local du facteur d’échelle) peut être calculée pour la solution approchée considérée. Cette dernière est calculée et analysée à la section 6.4.

l’étude du système d’Einstein-Dirac dans la métrique RW, est détaillée à l’an-nexe A. Cet anl’an-nexe est étroitement relié à l’anl’an-nexe de [9], dont la plupart des démarches ont été suivies. D’abord, il est prouvé que l’expression trouvée au chapitre 2 qui correspond à D_S3 est bien l’opérateur de Dirac sur S3 à la

section A.1. Aux sections A.2 et A.3, nous diagonalisons la partie « angulaire » de D_S3 à l’aide d’opérateurs reliés au moment cinétique dont nous étudions les

propriétés. Ayant diagonalisé la partie angulaire de D_S3, l’étude de l’équation

de Dirac sur S3 _{est réduit à l’étude d’une EDO « radiale » à la section A.4.}

Cette dernière est résolue en général à la section A.5. Toutefois, seules les so-lutions normalisables (i.e. dans L2_(S3₎2_{) sont admises. Cette condition mène}

à l’obtention d’une condition nécessaire à la section A.6, qui nous permet de déterminer les valeurs propres de D_S3. La suffisance de cette condition pour la

normalisation des solutions est montrée à la section section A.7. Finalement, à la section A.8, les propriétés de D_S3 sont utilisées pour montrer que les valeurs

propres déterminées par cette condition forment le spectre complet de D_S3 et

que l’ensemble des solutions de l’équation de Dirac qui la satisfont forment une base de L2_(S3₎2_{. Le lecteur qui connaît déjà ces résultats n’a pas à se}

référer à l’annexe A. Il a été écrit par souci de complétude, de sorte à ce que la compréhension de la séparation de l’équation de Dirac dans la métrique RW puisse être comprise par un lecteur qui connaît pas ces résultats.

Équations de Dirac et d’Einstein

Ce chapitre est consacré à l’écriture des équations qui décrivent la dy-namique d’un système homogène et isotrope de particules de Dirac qui in-teragissent gravitationellement de façon classique, selon la relativité générale. Nous débutons par l’écriture des équations d’Einstein pour ce système qui sont celles d’un espace-temps FRW. Puis, nous aborderons l’équation de Dirac et discuterons du choix des matrices de Dirac que nous pouvons faire pour écrire l’opérateur de Dirac dans cet espace-temps. Nous introduirons égale-ment la connection spinorielle telle que construite par Felix Finster dans [6] et suivrons en partie le développement de [9] pour simplifier cette connection spinorielle. Puis, nous calculerons les coefficients spinoriels pour ensuite écrire l’opérateur de Dirac dans la métrique de RW.

2.1

Équations d’Einstein

Les équations d’Einstein s’écrivent

Gµ_ν := Rµ_ν − 1 2Rδ µ ν = 8πκT µ ν, (2.1) où les Rµ

ν sont les composantes du tenseur de Ricci, R est le scalaire de Ricci et les Tµ

ν sont les composantes du tenseur d’énergie-impulsion. On note que les équations d’Einstein ne dépendent de l’équation de Dirac que via Tµ

ν. Le calcul de Tµ

ν sera fait au chapitre 3. Nous calculons maintenant les Rµ

ν, ainsi que R. Les composantes du ten-seurs de Ricci de la métrique RW se trouvent par exemple dans [5, p.333].

Dans cette référence, la métrique RW s’écrit comme suit1 : ds2 = −dt2+ R2(t) " dr2 1 − kr2 + r 2_dΩ2 # , (2.2)

où dΩ2 _{= dθ}2_{+ sin}2_θdφ2_{. Selon [5, p.332, équation 8.39] , les substitutions}

R → λ−1R r → λr k → λ−2_k

(2.3)

laissent 2.2 invariante. Par conséquent, elles laissent également Rµν et R in-variantes, car ces quantités ne dépendent que de la métrique. On peut donc prendre ces quantités directement de [5, p.333] en substituant a(t) → R(t),

r → r et κ → k pour obtenir Rtt= −3 ¨ R R (2.4) Rrr= R ¨R + 2 ˙R2_{+ 2k} 1 − kr2 (2.5) Rθθ = r2(R ¨R + 2 ˙R2+ 2k) (2.6) Rφφ= r2(R ¨R + 2 ˙R2+ 2k) sin2θ (2.7) R = 6   ¨ R R + ˙ R R !2 + k R2  . (2.8)

À présent, en suivant [5, p.330-331], on définit une coordonnée radiale χ telle que

dχ = √ dr

1 − kr2 (2.9)

et on note que cette équation peut être intégrée pour que nous obtenions

r = f (χ), où f (χ) =          sin χ , k = 1 χ , k = 0 sinh χ , k = −1 . (2.10)

La loi de transformation du tenseur de Ricci vers ce nouveau système de

co-1. La barre au dessus du r ne signifie pas, dans le cas présent, que nous prenons son conjugué complexe. La coordonnée r est simplement une coordonnée radiale autre que r.

ordonnées est la suivante :

(Rµν) = ΛT(Rαβ)Λ, (2.11) où Rµν est l’expression des composantes du tenseur de Ricci dans le système (t, χ, θ, φ), Rαβ est celle des composantes de ce même tenseur dans le système (t, r, θ, φ) et Λ = diag(1, f0(χ), 1, 1). Un simple calcul matriciel fournit alors

(Rµν) = diag " −3R¨ R, (f0(χ))2 1 − f2_(χ)(R ¨R + 2 ˙R 2_{+ 2k),} f2(χ)(R ¨R + 2 ˙R2+ 2k), f2(χ) sin2θ(R ¨R + 2 ˙R2+ 2k)i. (2.12)

Il est encore bien connu (voir par exemple [5, p.329-331]) que dans ces coor-données, la métrique RW adopte la forme suivante :

ds2 = dt2− R(t)2_dσ2_{, (2.13)}

où dσ2 _{= dχ}2_{+ f (χ)}2_{dθ + f (χ)}2_sin2_θdφ2_{. Nous pouvons maintenant utiliser}

la métrique pour calculer Ri j : (Rµ_ν) = −diag 3 ¨R R , ¨ R R + 2 ˙R2 R2 + 2k R2, ¨ R R + 2 ˙R2 R2 + 2k R2, ¨ R R + 2 ˙R2 R2 + 2k R2 ! . (2.14) Nous constatons alors que les équations d’Einstein se réduisent à deux équa-tions, dont l’une implique la composante temporelle Rt

t et l’autre implique les composantes spatiales Rµ

µ, µ ∈ {1, 2, 3} (aucune sommation sur µ). En utili-sant la définition de (Gµ

ν) et les équations 2.8 et 2.14, on calcule le tenseur d’Einstein : (Gµ_ν) = diag 3( ˙R 2_{+ k)} R2 , 2 ¨R R + ˙ R2_{+ k} R2 , 2 ¨R R + ˙ R2_{+ k} R2 , 2 ¨R R + ˙ R2_{+ k} R2 ! . (2.15)

2.2

Équation de Dirac

L’équation de Dirac s’écrit (D − m)Ψ = 0, où m est une constante positive, Ψ est une fonction d’onde de Dirac et

D := iGµ_D

est l’opérateur de Dirac. Dans la définition de l’équation de Dirac, Dµ est une composante de la dérivée covariante d’un spineur dans un fibré spinoriel ou plus précisemment, un fibré de Dirac (voir [17, p.114]) et les Gµ _{sont des} matrices qui satisfont l’algèbre de Clifford, soit

{Gµ, Gν} := GµGν + GνGµ= 2gµν_I. (2.17) Les matrices Gµne sont pas canoniques, dans le sens que plus d’un système de matrices peuvent être choisies dans la définition de l’opérateur de Dirac, tant que ces systèmes satisfont 2.17.

2.2.1

Choix des matrices G

Dans cette sous-section, nous effectuons le choix d’un système de matrices

Gµ _{tout en justifiant ce choix. D’abord, à l’annexe A, nous avons montré que,} pour R(t) = 1, un bon choix de matrices est le suivant :

Gt= γ0, Gµ:= γµ=   0 σµ −σµ ₀   x µ_{∈ {χ, θ, φ}.} (2.18)

Dans le système de coordonnées (χ, θ, φ),

σχ := cos θσ3+ sin θ cos φσ1+ sin θ sin φσ2 (2.19)

σθ := 1

f (χ)(− sin θσ

3_{+ cos θ cos φσ}1_{+ cos θ sin φσ}2_{) (2.20)}

σφ := 1

f (χ) sin θ(− sin φσ

1_{+ cos φσ}2_{), (2.21)}

où les σi _{sont les matrices de Pauli, définies par}

σ1 =   0 1 1 0  , σ 2 =   0 −i i 0  , σ 3 =   1 0 0 −1  , (2.22)

et les γi _{sont les matrices de Dirac données par}

γ0 =   I2×2 0 0 _−I2×2  , γi =   0 σi −σi ₀  . (2.23)

Nous constatons alors que nous pouvons écrire les Gµ comme suit :

Gt = γ0 (2.24)

Gχ = cos θγ3 + sin θ cos φγ1 + sin θ sin φγ2 (2.25)

Gθ = 1

f (χ)(− sin θγ

3_{+ cos θ cos φγ}1_{+ cos θ sin φγ}2_{) (2.26)}

Gφ = 1

f (χ)(− sin φγ

1_{+ cos φγ}2_{). (2.27)}

À l’équation A.25 en page 82 de l’annexe A, on montre que (σχ_{, σ}θ_{, σ}φ_{) est} le vecteur de Pauli ~σ := σ1_{x + σˆ} 2_{y + σˆ} 3_{z en coordonnées sphériques. Puisqueˆ}

R(t)2 multiplie les composantes spatiales de la même façon que f (χ)2 multiplie les composantes angulaires, nous tentons de montrer que les Gµ, définies par

Gt= γ0, Gµ= 1

R(t)γ

µ_{, ∀x}µ_{∈ {χ, θ, φ}, (2.28)}

où γµ _{est tel que défini à l’équation 2.18, satisfont {G}µ_{, G}ν_{} = 2g}µν I4×4.

Puisque par définition, {Gµ_{, G}ν_{} = {G}ν_{, G}µ_{}, nous n’avons que 10 calculs} à effectuer. Pour ces 10 calculs, nous utilisons le fait que, pour les matrices de Dirac γi_, n γi, γjo= 2ηij_I4×4=          2I4×4, i = j = 0 −2I4×4, i = j ∈ {1, 2, 3} 0, i 6= j , (2.29)

où (ηij_{) est le tenseur métrique de Minkowski. Les résultats sont les suivants :}

n Gt, Gto=nγ0, γ0o_{= 2I}4×4= 2gttI4×4 (2.30) n Gt, Gχo= 0 (2.31) n Gt, Gθo= 0 (2.32) n Gt, Gφo= 0 (2.33) {Gχ_{, G}χ_{} =} cos

2_{θ {γ}3_{, γ}3_{} + sin}2_{θ cos}2_{φ {γ}1_{, γ}1_{} + sin}2_{θ sin}2_{φ {γ}2_{, γ}2_}

R(t)2 = − 2 R(t)2I4×4 = 2g χχ I4×4 (2.34)

n Gχ, Gθo= sin θ cos θ R(t)2_{f (χ)} h −nγ3, γ3o+ cos2φnγ1, γ1o+ sin2φnγ2, γ2oi= 0 (2.35) n Gχ, Gφo= sin φ cos φ R(t)2_{f (χ)} h −nγ1, γ1o+nγ2, γ2oi= 0 (2.36) n Gθ, Gθo= sin

2_{θ {γ}3_{, γ}3_{} + cos}2_{θ cos}2_{φ {γ}1_{, γ}1_{} + cos}2_{θ sin}2_{φ {γ}2_{, γ}2_}

R(t)2_{f (χ)}2 = − 2 R(t)2_{f (χ)}2I4×4= 2g θθ I4×4 (2.37) n

Gθ, Gφo= cos θ cos φ sin φ

R(t)2_{f (χ)}2_{sin θ} h −nγ1, γ1o+nγ2, γ2oi= 0 (2.38) n Gφ, Gφo= 1 R(t)2_{f (χ)}2_sin2_θ h sin2φnγ1, γ1o+ cos2φnγ2, γ2oi = − 2 R(t)2_{f (χ)}2_sin2_θI4×4= 2g φφ I4×4. (2.39)

Ces résultats montrent que le système de matrices {Gt_{, G}χ_{, G}θ_{, G}φ_{} satisfont} l’équation 2.17 et par conséquent, que nous pouvons utiliser ces dernières pour calculer l’opérateur de Dirac dans la métrique RW.

2.3

Connexion spinorielle

Maintenant que les matrices Gµ_{ont été choisies, nous discutons maintenant} des Dµ qui apparaissent dans l’opérateur de Dirac, défini à l’équation 2.16. Ceux-ci représentent les composantes de la dérivée covariante sur les spineurs. Nous les écrivons comme suit (voir [9, p.4]) :

Dµ = ∂µ− iEµ, (2.40)

où les Eµ sont les composantes de la connection spinorielle. Ces dernières peuvent être écrites comme suit, selon [6, p.6284-6286, équation 42].

Eµ= i 2ρ(∂µρ) − i 16Tr(G ν_∇ µGσ)GνGσ+ i 8Tr(ρGµ∇νG ν_{)ρ, (2.41)} où ρ := i 4! q | det(g)|αβγδGαGβGγGδ, (2.42)

les ∇µ sont les composantes de la dérivée covariante sur les tenseurs, g est le tenseur métrique et (αβγδ ) est le symbole complètement anti-symétrique pour lequel tχθφ = 1. En suivant [9, p.4], nous simplifions maintenant ces composantes de la connection spinorielle pour ensuite les calculer.

2.3.1

Simplification de la connexion spinorielle

Lemme 2.1 Dans le cas de la géométrie FRW, ρ = iq| det(g)|Gt_Gχ_Gθ_Gφ_.

Démonstration On note d’abord que seuls les termes pour lesquels α, β, γ

et δ sont tous distincts ne s’annulent pas en raison de la présence du symbole totalement antisymétrique (αβγδ). Ensuite, puisque g est diagonal, l’équation 2.17 implique que Gµ _{et G}ν _{anticommutent ∀µ, ν ∈ t, χ, θ, φ tels que µ 6= ν. Il} en résulte que le monôme αβγδGαGβGγGδ, où aucune somme n’est effectuée sur α, β, γ et δ, est totalement symétrique. Nous pouvons donc écrire

ρ = i 4! q | det(g)|αβγδGαGβGγGδ= i 4! q | det(g)|P4tχθφGtGχGθGφ, (2.43) où P4 est le nombre de permutations de 4 éléments. Il est bien connu que

P4 = 4! et par conséquent, ρ = i q

| det(g)|Gt_Gχ_Gθ_Gφ_{. }

Lemme 2.2 Encore dans le cas de la géométrie FRW, ρ = iγ0γ1γ2γ3.

Démonstration D’abord, on calcul simple de | det(g)| fournit | det(g)| =

R3_(t)f2_{(χ) sin θ. Ensuite, on calcule G}θ_Gφ _:

GθGφ = 1

R(t)2_{f (χ)}2_{sin θ} h

sin θ sin φγ3γ1− sin θ cos φγ3_γ2_{− cos θ cos φ sin φ(γ}1₎2

+ cos θ cos2φγ1γ2 − cos θ sin2φγ2γ1+ cos θ cos φ sin φ(γ2)2i

= 1

R(t)2_{f (χ)}2_{sin θ} h

sin θ sin φγ3γ1− sin θ cos φγ3_γ2_{+ cos θγ}1_γ2i_,

(2.44) où nous avons utilisé l’algèbre engendrée par 2.29 à la deuxième égalité. Nous

évaluons ensuite GχGθGφ :

GχGθGφ= 1

R(t)3_{f (χ)}2_{sin θ} h

cos θ sin θ sin φ(γ3)2γ1− cos θ sin θ cos φ(γ3₎2_γ2

+ cos2θγ3γ1γ2+ sin2θ cos φ sin φγ1γ3γ1− sin2θ cos2φγ1γ3γ2

+ sin θ cos θ cos φ(γ1)2γ2+ sin θ cos θ sin φγ2γ1γ2

− sin2_{θ sin φ cos φγ}2_γ3_γ2_{+ sin}2_{θ sin}2_φγ2_γ3_γ1i

= γ

1_γ2_γ3

R(t)3_{f (χ)}2_{sin θ},

(2.45) où nous avons encore une fois utilisé l’équation 2.29 à la deuxième égalité. Le calcul de ρ s’effectue alors de façon simple

ρ = iq| det(g)|Gt_Gχ_Gθ_Gφ_{= iγ}0_γ1_γ2_γ3 _(2.46)



Ainsi, selon le lemme 2.2, ₂iρ(∂µρ) = 0 et Eµ se simplifie comme suit :

Eµ= − i 16Tr(G ν_∇ µGσ)GνGσ + i 8Tr(ρGµ∇νG ν )ρ. (2.47)

Lemme 2.3 La trace dans le deuxième terme du membre de droite de

l’équa-tion 2.47 peut s’écrire comme suit :

Tr(ρGµ∇νGν) = aiµ∇ν(aνk)Tr(ργiγk). (2.48)

Démonstration Puisque les Gµ _{sont des combinaisons linéaires des γ}i _à co-efficients réels, nous écrivons

Gµ = aµ_jγj, aµ_{j(t, χ, θ, φ) ∈ R.} (2.49) Il en résulte que ∇µGµ= ∇µ(aµjγ j_{) = ∇} µ(aµj)γ j _{+ a}µ j(∂µγj) = ∇µ(aµj)γ j_{, (2.50)}

où nous avons utilisé la règle de Leibniz, le fait que ∇µ commute avec les contractions et celui que ∇µφ = ∂µφ pour φ := scalaire à la première égalité et le fait que γj _{ne dépend d’aucune des variables dans {t, χ, θ, φ} à la deuxième}

égalité. Ainsi,

Tr(ρGµ∇νGν) = Tr(ρaµiγi∇ν(aνk)γ

k_{) = a}i

µ∇ν(aνk)Tr(ργiγk). (2.51) 

Lemme 2.4 La trace du terme de droite du Lemme 2.3 satisfait Tr(ργiγk) = 0.

Démonstration En utilisant le lemme 2.2, on peut écrire

Tr(ργiγk) = iTr(γ0γ1γ2γ3γiγk). (2.52) Il faut maintenant considérer les cas i 6= k et i = k séparément. Débutons par le cas i 6= k. Puisque i 6= k, il existe deux indices l, m ∈ {0, 1, 2, 3} tels que i, k, l et m sont tous distincts. En utilisant l’équation 2.29, nous pouvons écrire2

Tr(ργiγk) ∝ Tr(γlγmγkγiγiγk) = Tr(γlγmγkγk) = −Tr(γlγm), (2.53) où nous avons utilisé la propriété Tr(λA) = λTr(A), ∀λ ∈ R à toutes les étapes du calcul pour sortir les constantes de l’évaluation de la trace. Cependant, puisque l et m sont distincts, Tr(γl_γm_{) = 0 (voir [20, p.25]). On considère} maintenant le cas i = k. Alors3

Tr(ργiγk) = iTr(γ0γ1γ2γ3γiγi) = iTr(γ0γ1γ2γ3) = 0, (2.54)

encore selon [20, p.25]. _

Selon les lemmes 2.3 et 2.4, le deuxième terme du membre de droite de l’équa-tion 2.47 est nul et nous pouvons encore une fois simplifier Ej :

Eµ= −

i

16Tr(G ν_∇µ

Gσ)GνGσ. (2.55)

2.3.2

Calcul de la connexion spinorielle

Maintenant que nous avons simplifié la connexion spinorielle de façon ana-logue à celle de [9, p.4], nous pouvons la calculer explicitement à l’aide des

2. Dans ce calcul, il n’y a aucune sommation sur les indices répétés. 3. Ibid.

symboles de Christoffel de la métrique RW. Ces derniers se calculent facile-ment de plusieurs méthodes. Notamfacile-ment, la formule suivante nous permet de les calculer directement :

Γα_µν = 1 2g

αβ

(∂νgβµ+ ∂µgνβ− ∂βgµν). (2.56) En utilisant cette équation, on trouve que les symboles de Christoffel non-nuls sont

Γt_χχ= R(t) ˙R(t) Γt_θθ = R(t) ˙R(t)f (χ)2 (2.57) Γt_φφ = R(t) ˙R(t)f (χ)2sin2θ Γχ_θθ = −f (χ)f0(χ) (2.58) Γχ_φφ = −f (χ)f0(χ) sin2θ Γθ_φφ = − sin θ cos θ (2.59)

Γχtχ = Γ χ χt = Γθtθ= Γ θ θt = Γ φ tφ = Γ φ φt= ˙ R(t) R(t) (2.60) Γθ_χθ = Γθ_θχ = Γφ_χφ = Γφ_φχ = f 0_(χ) f (χ) Γ φ θφ= Γ φ φθ = cos θ sin θ = cot θ. (2.61) À partir de ces derniers, il ne nous reste qu’à calculer les composantes Eµ de la connexion spinorielle en utilisant l’équation 2.55. On procède d’abord au calcul des composantes de ∇tGµ. D’abord, puisque les seuls Γµtν non nuls sont ceux pour lesquels µ = ν, nous obtenons

∇tGµ = ∂tGµ+ ΓµtµGµ, (2.62) où il n’y a pas de sommation sur l’indice µ. En se référant à l’équation 2.28, on remarque tout de suite que ∇tGt= 0 et que pour ∀µ 6= t,

∂tGµ = − ˙ R(t) R(t)G µ _{= −Γ}µ tµGµ. (2.63) Ainsi, ∇tGµ= 0, ∀µ et de là, Et = 0. (2.64)

On procède maintenant au calcul des composantes de ∇χGµ. Tout d’abord, on remarque à partir de l’équation 2.28 que pour µ = θ et µ = φ, on obtient

∇χGµ = ∂χGµ+ ΓµχµG

∂χGµ = −

f0(χ)

f (χ)G

µ_{= −Γ}µ

χµ, (2.66)

où il n’y a aucune sommation sur µ. Ces deux équations montrent que ∇χGθ = ∇χGφ= 0. On calcule ensuite les deux autres composantes

∇χGt = ∂χGt+ ΓtχχG

χ _{= ˙R(t)(cos θγ}3_{+ sin θ cos φγ}1_{+ sin θ sin φγ}2₎

= R(t) ˙R(t)Gχ (2.67) ∇χGχ = ∂χGχ+ ΓχχtGt = ˙ R(t) R(t)G t . (2.68)

En utilisant toutes les composantes de ∇χGµ, les équations 2.55 et 2.17, ainsi que les propriétés de la trace, on calcule Eχ :

Eχ = − i 16[Tr(G µ_∇ χGt)GµGt+ Tr(Gµ∇χGχ)GµGχ] = − i 16 " Tr(GµR ˙RGχ)GµGt+ Tr Gµ ˙ R RG t ! GµGχ # = − i 16 " R ˙RTr −I4×4 R2 ! GtGχ+ ˙ R RTr(I4×4)GχGt # = i 2 ˙ R RGχGt. (2.69)

On enchaîne ensuite avec le calcul de Eθ, qui requiert les composantes ∇θGµ. Encore une fois, on remarque que

∇θGφ= ∂θGφ+ ΓφθφG

φ _(2.70)

∂θGφ= − cot θGφ= −ΓφθφG φ

, (2.71)

d’où ∇θGφ = 0. Les autres composantes doivent être calculées explicitement :

∇θGt= ΓtθθGθ = R ˙Rf2Gθ (2.72) ∇θGχ= ∂θGχ+ Γ χ θθGθ = 1 R(− sin θγ

3_{+ cos θ cos φγ}1_{+ cos θ sin φγ}2_{) − f f}0

Gθ = f Gθ− f f0Gθ = f (1 − f0)Gθ (2.73) ∇θGθ = ∂θGθ+ ΓθθtG t_{+ Γ}θ θχG χ = 1 Rf(− cos θγ

3 _{− sin θ cos φγ}1_{− sin θ sin φγ}2_{) +} R˙

RG t₊f 0 f G χ = ˙ R RG t₋ 1 − f 0 f G χ_. (2.74)

À partir de ces composantes, on calcule Eθ à partir de l’équation 2.55, en utilisant l’équation 2.17 et les propriétés de la trace :

Eθ = − i 16 h Tr(GµR ˙Rf2Gθ)GµGt+ Tr(Gµf (1 − f0)Gθ)GµGχ +Tr Gµ ˙ R RG t ! GµGθ+ Tr −Gµ 1 − f0 f G χ ! GµGθ # = − i 16 h R ˙Rf2gθθGθGt+ f (1 − f0)gθθGθGχ + ˙ R Rg tt_G tGθ− 1 − f0 f g χχ_G χGθ # Tr(I4×4) = i 2 " _˙ R RGθGt+ 1 − f0 R2_f GθGχ # . (2.75)

Il ne nous reste que Eφ à calculer. Chaque composante de ∇φGµ est d’abord calculée explicitement : ∇φGt= ΓtφφG φ_{= R ˙Rf}2_sin2_θGφ _(2.76) ∇φGχ= ∂φGχ+ Γχ_φφGφ = sin θ R (− sin φγ 1 + cos φγ2) − f f0sin2θGφ = f sin2θGφ− f sin2_θf0 sin2θGφ= f sin2θ(1 − f0)Gφ (2.77) ∇φGθ = ∂φGθ+ ΓθφφG φ₌ cos θ Rf (− sin φγ

1_{+ cos φγ}2_{) − sin θ cos θG}φ = sin θ cos θ(Gφ− Gφ_{) = 0} (2.78) ∇φGφ= ∂φGφ+ Γ φ φtGt+ Γ φ φχGχ+ Γ φ φθGθ = −1 Rf sin θ(cos

2_{θ + sin}2_{θ)(cos φγ}1_{+ sin φγ}2_{) +} R˙

RG t₊ f 0 fG χ_{+ cot θG}θ = − cos θ

Rf sin θ(cos θ cos φγ

1_{+ cos θ sin φγ}2_{− sin θγ}3₎

− 1

Rf(sin θ cos φγ

1_{+ sin θ sin φγ}2_{+ cos θγ}3_{) +} R˙

RG t₊f 0 f G χ_{+ cot θG}θ = − cot θGθ− 1 fG χ + ˙ R RG t + f 0 fG χ + cot θGθ = ˙ R RG t₋ 1 − f 0 f G χ . (2.79)

On se sert ensuite de ces composantes pour calculer Eφ : Eφ= − i 16 h Tr(GφR ˙Rf2sin2θGφ)GφGt+ Tr(Gφf sin2θ(1 − f0)Gφ)GφGχ +Tr Gt ˙ R RG t ! GtGφ+ Tr −Gχ 1 − f0 f G χ ! GχGφ # = − i 16 h R ˙Rf2sin2θgφφθGφGt+ f sin2θ(1 − f0)gφφGφGχ + ˙ R Rg tt GtGφ− 1 − f0 f g χχ GχGφ # Tr(I4×4) = i 4 " 2R˙ RGφGt+ 2 1 − f0 R2_f GφGχ # = i 2 " _˙ R RGφGt+ 1 − f0 R2_f GφGχ # . (2.80)

2.4

Calcul de l’opérateur de Dirac

Maintenant que nous avons calculé les coefficients de la connexion spino-rielle dans les coordonnées (t, χ, θ, φ), nous pouvons utiliser ces coefficients pour calculer l’opérateur de Dirac et écrire l’équation de Dirac. Dans cette section, nous calculons d’abord l’opérateur de Dirac en utilisant les équations des sections précédentes pour ensuite écrire et simplifier l’équation de Dirac qui en résulte.

Nous pouvons maintenant calculer D dans la géométrie FRW à partir des équations 2.16, 2.40, 2.64, 2.69, 2.75 et 2.80. On trouve D = iGµ_(∂ µ− iEµ) = iGµ∂µ+ GχEχ+ GθEθ+ GφEφ = iGµ∂µ+ i ˙R 2R(G χ_G χ+ GθGθ+ GφGφ)Gt+ i(1 − f0) 2R2_f (G θ_G θ+ GφGφ) = i Gt∂t+ 3 ˙R 2RgttG t ! + i Gχ∂χ+ 1 − f0 R2_f gχχG χ ! + iGθ∂θ+ iGφ∂φ = iγ0 ∂t+ 3 ˙R 2R ! + iGχ ∂χ+ f0− 1 f ! + iGθ∂θ+ iGφ∂φ . (2.81) L’étude de l’équation de Dirac se simplifie par l’intervention de l’opérateur de Dirac sur S3_{, la 3-sphère. À cette fin, il suffit d’écrire l’opérateur de Dirac en}

utilisant la forme explicite des matrices Gµ donnée par les équations 2.28. D = iγ0 _∂ t+ 3 ˙R 2R ! + 1 R  i   0 σχ −σχ ₀   ∂_χ+ f0− 1 f ! + i   0 σθ −σθ ₀  ∂_θ +i   0 σφ −σφ ₀  ∂_φ   = iγ0 ∂t+ 3 ˙R 2R ! + 1 R   0 D_S3 −D_S3 0  , (2.82) où D_S3 = iσχ  ∂χ+f 0₋₁ f  + iσθ_∂

θ+ iσχ∂χ est l’opérateur de Dirac sur S3, tel que démontré au lemme A.1 de l’annexe A.

L’équation de Dirac dans la métrique RW peut donc s’écrire

0 = (D − m)Ψ =  iγ 0 ∂t+ 3 ˙R(t) 2R(t) ! + 1 R(t)   0 D_S3 −D_S3 0  − m  Ψ (2.83)

Pour décrire la dynamique des particules de Dirac dans la métrique RW, nous devons résoudre simultanément l’équation 2.83, qui est l’équation de Dirac dans cette métrique et les équations d’Einstein, qui peuvent s’écrire comme suit selon les équations 2.1 et 2.15 :

8πκT_νµ= Gµ_ν = diag 3( ˙R 2_{+ k)} R2 , 2 ¨R R + ˙ R2_{+ k} R2 , 2 ¨R R + ˙ R2_{+ k} R2 , 2 ¨R R + ˙ R2_{+ k} R2 ! . (2.84)

Séparation de l’équation de

Dirac

Au chapitre 2, nous avons calculé l’opérateur de Dirac D et obtenu les équations de Dirac et d’Einstein nécessaires pour décrire la dynamique d’un système de spineurs de Dirac évoluant dans une géométrie FRW. L’objet de ce chapitre est de réduire ces équations, qui sont des équations aux dérivées partielles, en un système d’EDO à l’aide d’un ansatz de séparation.

Nous expliquons d’abord cet ansatz et nous en servons pour obtenir une EDO, dite « de Dirac », à partir de l’équation de Dirac. Puis, nous suggérons un tenseur qui implique cet ansatz et montrons qu’il est symétrique et à divergence nulle. Il s’agit donc d’un tenseur d’énergie-impulsion valide pour les spineurs de Dirac. Par après, nous calculons ses composantes non-nulles pour obtenir deux autres EDO dites « d’Einstein ». Nous montrons ensuite qu’une de ces deux EDO n’a pas de besoin d’être étudiée, car elle découle de l’EDO de Dirac et l’autre EDO d’Einstein. Nous réduisons alors les équations de Dirac et d’Einstein à deux EDO couplées. Ensuite, nous déterminons une condition de normalisation sur notre ansatz. Finalement, nous montrons que notre système d’EDO est invariant sous un certain changement d’échelle et nous utilisons ce changement d’échelle pour simplifier la condition de normalisation déterminée auparavant. Nous suivons l’article [8] à la page 118.

3.1

Ansatz pour la séparation de l’équation de

Dirac

L’opérateur D_S3 est bien connu. Son spectre est déterminé à l’annexe A et

le résultat est un ensemble infini et dénombrable de valeurs propres discrètes

λ = ±3₂, ±5₂, .... Les fonctions propres de D_S3 appartiennent à L2(S2)2, alors que

celles de D doivent avoir leur domaine dans la variété M = R×S3_{munie d’une}

métrique RW. En observant la forme de l’équation 2.83, il semble judicieux de tenter un ansatz proportionnel à R(t)−32. Nous tentons donc, pour une valeur

propre λ et un vecteur propre ψλ donnés de DS3, l’ansatz suivant

Ψλ = R(t)− 3 2f (λ)   α(t)ψλ(χ, θ, φ) β(t)ψλ(χ, θ, φ)  , (3.1)

où α et β sont des fonctions complexes et f (λ) 6= 0. Cet ansatz semble re-présenter un seul spineur de Dirac qui possède une valeur propre λ de D_S3.

Toutefois, un système d’un seul spineur est incohérent avec les hypothèses d’homogénéité et d’isotropie qui sont nécessaires pour considérer la métrique RW. De fait, pour décrire un état homogène et isotrope, Ψλ doit être invariant sous l’action de la composante connexe à l’identité H0 du groupe d’isométries

H de S3_{. Selon [15, page 39-43], H est un groupe de Lie et son algèbre de Lie}

est isomorphe à l’ensemble des champs vectoriels de Killing ζ, qui satisfont ∇µζν + ∇νζµ= 0. (3.2)

Théorème 3.1 Le groupe d’isométries H de S3 est de dimension 6.

Démonstration D’abord, nous pouvons montrer que les champs vectoriels

L12 := ∂φ (3.3)

L13 := − cos φ∂θ+ cot θ sin φ∂φ (3.4)

L23 := sin φ∂θ+ cot θ cos φ∂φ (3.5)

L14 := − sin θ cos φ∂χ− cot χ cos θ cos φ∂θ+ cot χ csc θ∂φ (3.6)

L24 := sin θ sin φ∂χ+ cot χ cos θ sin φ∂θ+ cot χ csc θ∂φ (3.7)

L34 := − cos θ∂χ+ cot χ sin θ∂θ (3.8) satisfont l’équation 3.2 et sont par conséquent, des champs vectoriels de Killing

de S3. Ces derniers sont manifestement linéairement indépendants. Par consé-quent, dim H ≥ 6, où H représente l’algèbre de Lie de H. Puisque par défi-nition, H = TeH, dim H ≥ 6. Cependant, selon [15, p.46-47, théorème 3.1],

dim H ≤ 6. Il en résulte que dim H = 6. _

Théorème 3.2 La composante connexe H0 du groupe d’isométries H de S3

est isomorphe au groupe matriciel SO(4, R) à un revêtement près.

Démonstration Nous paramétrisons d’abord S3 _{dans R}4 _{de sorte que S}3 _⊂

R4 = {x ∈ R4| ||x||2Eucl. = 1}. Alors puisque SO(4) préserve la norme

Eucli-dienne dans R4, SO(4) induit une action de groupe f : SO(4) × S3 → S3_{. Le}

groupe SO(4) induit des isométries de S3 par des applications fg _{: S}3 _{→ S}3 obtenues en choisissant g ∈ SO(4). De fait, en notant que (gµν) correspond à la première forme fondamentale Ip de S3 dans R4, on calcule pour v, w ∈ TpS3 et pour ˜v, ˜w ∈ Tfg(p)S

3

gp(v, w) = Ip(v, w) := gEucl.R4(v, w) = g_Eucl.R4(˜v, ˜w) = I_f

g(p)(˜v, ˜w) = gfg(p)(v, w),

(3.9) où nous avons utilisé le fait que SO(4) préserve la norme et l’orthogonalité des vecteurs dans R4 _{aux troisième et quatrième égalités. Le fait que ˜v, ˜w ∈}

Tfg(p)S

3 _{résulte du fait que pour la paramétrisation de S}3 _{que nous avons}

utilisée, p ⊥ v , ∀v ∈ T_pS3_{. Ainsi, on obtient que SO(4) ⊂ H. Il en résulte que}

Lie(SO(4)) ⊂ H. Cependant, nous pouvons montrer que les générateurs de H s’écrivent comme suit en coordonnées cartésiennes.

L12 = x∂y − y∂x, L13 = x∂z− z∂x, L23 = y∂z− z∂y, (3.10)

L14 = x∂w − w∂x, L24 = y∂w− w∂y, L34 = z∂w − w∂z. (3.11) Cette écriture des générateurs de H nous montre qu’ils sont en fait les généra-teurs des rotations dans R4 _{de chaque axe vers un autre axe. Ceci découle du}

fait que les générateurs de rotations sont des moments cinétiques orbitaux qui s’écrivent de cette façon en coordonnées cartésiennes. Par exemple, L12 est le

moment cinétique qui génère une rotation de l’axe x vers l’axe y. Le fait qu’il y ait six générateurs vient alors du fait qu’il existe 4₂ = 6 façons de choisir deux axes parmi quatre pour définir une rotation.

produit alors une courbe γ : I ⊂ R → S3 définie par

γ(t) = M (t)γ(0). (3.12)

La dérivée de cette courbe par rapport à t évaluée en t = 0 fournit

" dγ dt(0) = dM dt (0)γ(0) # ⇔   dxi dt (0) = dM dt (0) !i j xj   (3.13)

Puisque H = TeH,dM_dt (0) ∈ H . Toutefois, pour un champ vectoriel V sur S3 tangent à γ(0), nous pouvons écrire

" dγ dt(0) = Vγ(0) # ⇔ " dxi dt ∂xi = V i_(γ(0))∂ xi # ⇔ " dxi dt (0) = V i_(γ(0)) # . (3.14)

Par comparaison, des équations 3.13 et 3.14, nous obtenons

Vi(γ(0)) = dM

dt (0)

!i

j

xj. (3.15)

L’équation 3.15 nous permet de déterminer les matrices à quatre dimensions qui correspondent à chaque Lij pour i, j ∈ {1, 2, 3, 4}. Nous obtenons

L12 =         0 −1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0         , L13 =         0 0 −1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0         , L23 =         0 0 0 0 0 0 −1 0 0 1 0 0 0 0 0 0         L14=         0 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0         , L24 =         0 0 0 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 1 0 0         , L34 =         0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 0 0 1 0         .

Toutes ces matrices peuvent être considérées comme des éléments de Lie(SO(4)), puisque Lie(SO(4)) est isomorphe à l’algèbre des matrices anti-symmétriques à 4 dimensions avec le commutateur matriciel comme crochet de Lie. Par consé-quent, H ⊂ Lie(SO(4)) et nous obtenons alors H = Lie(SO(4)). Cependant, puisque H0 et SO(4) sont tous les deux connexes, il résulte de [19, p.557,

Ainsi, les hypothèses d’homogénéité et d’isotropie sont satisfaites si Ψλ est invariant sous l’action de SO(4). Cependant, SO(4) possède une représentation irréductible qui agit transitivement sur tout espace propre de L2_(S3₎2_{, peu}

importe la valeur propre qui lui est associée1_{. Il en résulte que tout spineur ψ}

λ dans l’espace propre de valeur propre λ peut être obtenu à partir de n’importe quel autre spineur de cet espace propre par l’action de SO(4). Ainsi, nous ne pouvons pas produire d’état homogène et isotrope avec un espace propre ayant plus d’une dimension, car une action de SO(4) serait suffisante pour produire un état linéairement indépendant à cet état. Cependant, pour un seul spineur, la dimension de l’espace propre de valeur propre λ est de N = λ2₋1

4. Puisque

λ ∈ {±3₂, ±5₂, . . .}, N est toujours supérieur à un. Nous ne pouvons donc pas

produire d’état homogène et isotrope avec un seul spineur de Dirac.

Toutefois, nous pouvons produire un état homogène et isotrope à l’aide de

N spineurs. De fait, soit {ψ(1)_λ , ψ(2)_λ , . . . , ψ_λ(N )}, l’ensemble des fonctions propres de D_S3 de valeurs propres λ. Chacune d’entre elles représente un état propre

d’un seul spineur de valeur propre λ. Puisque les spineurs que nous considérons sont des fermions, un état propre formé des ψ_λ(1), . . . , ψ_λ(N ), où ψ_λ(i) n’apparaît qu’une seule fois ∀i ∈ {1, . . . , N }, s’écrit comme suit (voir [31, p.8-9]) :

ψλ = ψ (1) λ ∧ ψ (2) λ ∧ · · · ∧ ψ (N ) λ := 1 √ N ! X σ∈SN sign(σ)ψ_λ(σ(1))⊗ · · · ⊗ ψ(σ(N ))_λ , (3.16)

où « ∧ » représente le produit extérieur, « ⊗ » représente le produit tensoriel,

SN est le groupe des permutation de N éléments et sign(σ) est une application

SN → {−1, 1} définie par sign(σ) :=    1 si σ est paire −1 si σ est impaire . (3.17) Il s’agit d’un état propre de l’espace de plusieurs spineurs formé de N espaces de Hilbert H = L2_(S3₎2_.

Selon [11, p.6], l’espace propre dans lequel cet état propre se trouve est un espace propre à une dimension. Ainsi, l’action de SO(4) sur cet état propre ne produit qu’un état propre qui lui est linéairement dépendant. Puisque les états ne sont définis qu’à une norme près, ψλ est invariant sous l’action de SO(4). Il s’agit donc d’un état homogène et isotrope.

1. L’analogue de cette représentation dans le cas où SO(3) agit transitivement sur S2 _se trouve dans [30, p.192-193].

L’homogénéité et l’isotropie de cet état peut être expliqué par le fait que chaque état individuel est un spineur et donc, une fonction d’onde à deux composantes. En effet, contrairement à des particules ponctuelles, ces spineurs peuvent se superposer dans S3 _{de façon à former un état homogène et isotrope.}

Nous avons donc montré que N spineurs propres linéairement indépendants de valeurs propres λ se superposent pour former un état propre ψλ qui, lui, est homogène et isotrope dans S3_.

Nous considérons maintenant la normalisation de cet état. Le produit sca-laire entre deux états à N spineurs dans HN, l’espace produit de N espaces de Hilbert H, est défini comme suit selon [31, p.8-9] :

D φ(1)⊗ · · · ⊗ φ(N ), ψ(1)⊗ · · · ⊗ ψ(N )E HN := D φ(1), ψ(1)E H. . . D φ(N ), ψ(N )E H. (3.18) Ainsi, la norme de ψλ est calculée comme suit :

||ψ||_HN = D ψ_λ(1)∧ · · · ∧ ψ_λ(N ), ψ_λ(1)∧ · · · ∧ ψ(N )_λ E HN = 1 N ! X σ,σ0_∈S N sign(σ)sign(σ0)Dψ_λ(σ(1)), ψ_λ(σ0(1))E H. . . D ψ_λ(σ(N )), ψ_λ(σ0(N ))E H = 1 N ! X σ,σ0_∈S N sign(σ)sign(σ0)δσ(1)σ0₍₁₎. . . δ_{σ(N )σ}0_{(N )} = 1 N ! X σ∈SN sign(σ)2 = 1, (3.19) où nous avons utilisé le théorème spectral pour D_S3 à la troisième égalité (voir

la section A.8 de l’annexe A). Ainsi, pour normaliser l’état ψλ, il suffit de normaliser individuellement chaque état ψ_λ(i) dans L2_(S3₎2_{. Dans ce cas, nous}

obtenons N X i=1      ψ (i) λ       2 L2_(S3₎2 = N = λ 2₋1 4, (3.20)

où nous avons utilisé l’équation A.183 de la page 117 à la dernière égalité. C’est donc pour un tel état que nous considérons l’ansatz 3.1 qui, rappelons-le, est un état à N spineurs. Nous pouvons écrire explicitement

Ψλ = Ψ

(1)

λ ∧ · · · ∧ Ψ

(N )

λ , (3.21)

où Ψ(i)_λ est un état propre d’un seul spineur donné par 3.1 pour lequel ψλ est remplacé par ψ_λ(i).

3.1.1

Calcul de l’EDO de Dirac

Nous devons maintenant substituer l’ansatz 3.1 dans l’équation 2.83. Nous calculons alors explicitement les termes suivants :

iγ0∂tΨλ(t, χ, θ, φ) = iγ0 f (λ) R32  − 3 ˙R(t) 2R(t)   αψλ βψλ  + d dt   αψλ βψλ     = iγ0  − 3 ˙R(t) 2R(t)Ψλ(t, χ, θ, φ) + f (λ) R(t)32 d dt   αψλ βψλ     (3.22) 1 R(t)   0 D_S3 −D_S3 0  Ψ_λ = 1 R(t)52 f (λ)   0 D_S3 −D_S3 0     α(t)ψλ(χ, θ, φ) β(t)ψλ(χ, θ, φ)   = 1 R(t)52 f (λ)   βD_S3ψ_λ −αD_S3ψ_λ  = λ R(t) f (λ) R(t)32   βψλ −αψλ  . (3.23) Ainsi, cette substitutions de 3.1 dans 2.83 nous donne

0 = (D − m)Ψλ = iγ0 f (λ) R(t)32 d dt   αψλ βψλ  + λ R(t) f (λ) R(t)32   βψλ −αψλ  − mf (λ) R(t)32   αψλ βψλ   = f (λ) R(t)32     iα0(t)ψλ −iβ0_(t)ψλ  + λ R(t)   βψλ −αψλ  − m   αψλ βψλ     = f (λ) R(t)32     I2×2 0 0 _−I2×2  i d dt   α β  −   m −λ R λ R m     α β    ψ_λ. (3.24)

Puisque nous sommes intéressés aux solutions non triviales de 2.83, l’équation 3.24 implique que 0 =   I2×2 0 0 _−I2×2  i d dt   α β  −   m −_Rλ λ R m     α β   ⇔ id dt   α β  =   I2×2 0 0 _−I2×2     m −_Rλ λ R m     α β  =   m −λ R −λ R −m     α β  . (3.25)

3.2

Tenseur d’énergie-impulsion

À la section précédente, nous avons réussi à réduire l’équation de Dirac 2.83 à une EDO qui implique les fonctions complexes α(t), β(t). Cette EDO dépend de R(t), mais n’implique pas ˙R(t), de sorte que l’équation de Dirac ne

modifie pas R(t) : ce rôle revient aux équations d’Einstein. Nous avons déjà calculé les composantes Gi

j du tenseur d’Einstein, mais pour aller plus loin, nous spécifier de l’information sur le tenseur d’énergie-impulsion (Ti

j). Dans cette section, nous utiliserons un tenseur d’énergie-impulsion canonique pour un champ spinoriel de Dirac, donné par [12, p.75]. Il a été obtenu par la varia-tion du Lagrangien de la matière par rapport au tenseur métrique2 et il s’agit donc bien d’un tenseur d’énergie-impulsion pour ce champ. Toutefois, le calcul est complexe et implique des problèmes conceptuels dus au fait que le champ de Dirac est un spineur3_{. Par conséquent, nous n’allons pas reprendre le travail}

qui a été effectué dans cet article, mais nous allons tout de même démontrer que le tenseur qui en résulte est symétrique et à divergence nulle et que par conséquent, nous pouvons l’utiliser comme tenseur d’énergie-impulsion.

Les composantes du tenseur d’énergie-impulsion générique donné par [12, p.75] sont les suivantes :

Tµν = i 4(ΨGµ ←→ DνΨ + ΨGν ←→ DµΨ) − gµνL, (3.26)

où A←→DµB := ADµB − (DµA)B, Ψ = Ψ∗γ0 est l’adjoint de Dirac de Ψ et L est le Lagrangien du champs de Dirac. Ce dernier est donné par [12, p.47, 75] :

L = i 2g µν_ΨG µ ←→ DνΨ − U (Ψ, Ψ), (3.27)

où U (Ψ, Ψ) est un terme d’auto-interaction. Dans notre cas, U (Ψ, Ψ) = mΨΨ.

Théorème 3.3 Lorsque U (Ψ, Ψ) = mΨΨ = m|Ψ|2_{, L = 0.}

2. Voir [12], p.61, Théorème 4.2 3. Voir [12], p.66-74