Problèmes isopérimétriques sur les graphes quantiques
Mémoire
Jean-Xavier Caron-Aparicio
Maîtrise en mathématiques - avec mémoire
Maître ès sciences (M. Sc.)
Problèmes isopérimétriques sur les graphes
quantiques
Mémoire
Jean-Xavier Caron-Aparicio
Sous la direction de:
Résumé
Dans ce mémoire nous dé nissons ce qu'est un graphe quantique et nous étudions certains problèmes isopérimétriques sur ces objets. Contrairement aux graphes discrets en combina-toire, les arêtes d'un graphe quantique possèdent chacune une longueur positive et peuvent être donc interprétées comme des ls physiques reliant les sommets du graphe. Combiné avec l'action d'un opérateur hamiltonien H, on se retrouve donc à étudier un problème de valeurs propres qui forment une suite 0 = λ1 ≤ λ2≤ · · · % ∞de nombres réels de multiplicité
nie. Nous nous intéressons particulièrement au théorème de Friedlander dont nous donnons la démonstration avec davantage de détails que celle présentée dans [10]. Ce résultat donne une borne inférieure pour chaque valeur propre λj(G) d'un graphe quantique G de longueur
l(G) > 0 prescrite, pour j ≥ 2. De plus, le théorème précise pour quels graphes quantiques la borne est atteinte. En n, nous présentons d'autres types d'inégalités isopérimétriques pour mettre en contexte le résultat de Friedlander.
Table des matières
Résumé ii
Table des matières iii
Liste des gures iv
Remerciements v
Introduction 1
1 Graphes quantiques 4
1.1 Graphes métriques . . . 4
1.2 Espaces de Sobolev sur les graphes métriques . . . 5
1.3 Opérateurs non-bornés . . . 9
1.4 Graphes quantiques. . . 12
1.5 Théorème min-max . . . 20
1.6 Théorème d'entrelacement Dirichlet-Neumann . . . 26
1.7 Loi de Weyl . . . 28
2 Le théorème de Friedlander 32 2.1 Découpage d'arbres métriques . . . 32
2.2 Inégalités de type Poincaré . . . 36
2.3 Démonstration du théorème 8 . . . 41
2.4 Cas de l'égalité dans le théorème 8 . . . 44
3 Autres inégalités isopérimétriques 48 3.1 Une borne supérieure en termes de la longueur . . . 48
3.2 Des bornes supérieures et inférieures en termes du diamètre . . . 51
Conclusion 55
Liste des gures
0.1 Un graphe étoile équilatéral à cinq branches. . . 1
1.1 Un graphe métrique (G,l). . . 5
1.2 Un graphe métrique G avec un sommet v de degré 4. . . 13
1.3 Un graphe cycle avec 8 sommets. . . 25
1.4 Un graphe lasso . . . 26
1.5 Graphe ayant le même spectre que le graphe à la gure 1.4. . . 26
2.1 Un arbre métrique G avec 3 points x1,x2 et x3 où x3 est aussi un sommet de degré 3. . . 33
2.2 L'ensemble G(x1,x2,x3) = G1t G2t · · · t G6 issu du graphe G de la gure 2.1. 33 2.3 Un arbre métrique G = (V,E). . . 34
2.4 Un exemple d'arête de type 2 du graphe de la gure 2.3. . . 34
2.5 L'ensemble G1 issu du graphe G de la gure 2.3. . . . . 35
2.6 L'ensemble G2 issu du graphe G de la gure 2.3. . . . . 35
2.7 Les composantes de G(y). . . 36
2.8 Un graphe métrique G avec un choix de 2 points x1 et x2. . . 42
2.9 L'arbre métrique G0 issu du graphe G de la gure 2.8. . . . . 42
3.1 Un graphe pumpkin chain composé de 4 sommets et 8 arêtes. . . 52
Remerciements
Tout d'abord, je tiens à remercier vivement mon directeur de recherche, le professeur Alexandre Girouard. Sans son support intellectuel, nancier, moral et sa patience sans borne, ce mémoire n'aurais jamais vu le jour. Pour cela je lui suis extrêmement reconnaissant.
J'aimerais également remercier ma famille, ma mère Maria-Teresa Aparicio et mon père G.Daniel Caron, ma soeur Marie-Lou et son copain Émile-Crépeau Gendron pour leur ap-puie et leurs encouragements si indispensables durant toutes mes années d'études.
Introduction
L'objectif principal de ce document est de présenter la preuve du théorème de Friedlander [10] qui donne une borne inférieure optimale pour chaque valeur propre du laplacien sur un graphe quantique de Neumann de longueur l(G) > 0 prescrite. Étant donné un graphe quantique G, les valeurs propres du laplacien sur ce dernier sont les nombres λ qui véri ent
Hf = λf,
pour f 6= 0 une fonction sur G. Une fonction f sur un graphe est une collection de fonctions {fe}e∈E chacune dé nie sur une arête e du graphe, vue comme un intervalle et l'opérateur
H est dé ni par H(fe) := −fe00, pour chaque arête e. Les valeurs propres forment une suite
0 = λ1(G) ≤ λ2(G) ≤ λ3(G) ≤ · · · % ∞ de nombres réels positifs de multiplicité nie qu'on
appelle le spectre du graphe G et qu'on note σ(G). Nous énonçons le théorème de Friedlander. Théorème (Théorème 1 dans [10]). Soit G un graphe métrique de longueur l(G) tels que chaque sommet de G est de type Neumann, alors pour j ≥ 2,
λj(G) ≥
j2π2
4l(G)2.
De plus, il y a égalité si et seulement si G est un segment pour j = 2 et G est un graphe étoile équilatéral pour j ≥ 3.
Les graphes quantiques commencent à apparaître au début des années trente dans plusieurs domaines des mathématiques, de la chimie et de la physique, comme des modèles simpli és de la propagation d'ondes dans des systèmes quasi-unidimensionnels qui se représentent généralement par des graphes. Ces derniers se manifestent lorsqu'il est question d'étudier par exemple la chimie organique, les ls quantiques, les nanotubes de carbone ou les cristaux photoniques (pour plus de détails voir la préface de [7]) .
L'étude des graphes quantiques réunit plusieurs outils de domaines mathématiques variés, notamment la théorie des graphes, les équations diérentielles, la théorie spectrale ainsi que la combinatoire. La relation entre toutes ces disciplines est constatée au début du nouveau millénaire, ce qui entraînera de multiples rencontres et d'étroites collaborations entres plusieurs chercheurs par la suite (voir [7] pour plus de références). Il s'en suivra une série de publications sur le sujet ainsi que la parution du livre Introduction to Quantum Graphs de G. Berkolaiko et P. Kuchment [7] en 2013 qui rassemble les principales notions et techniques relatives aux graphes quantiques.
Un graphe quantique est essentiellement un graphe auquel on ajoute une structure de longueur, l'action d'un opérateur hamiltonien H et des conditions aux sommets du graphe. Nous étudie-rons des graphes quantiques avec deux types de conditions aux sommets possible. La première est la condition de Neumann. On dit qu'une fonction f véri e la condition de Neumann au sommet v si P
e∈E
fe0(v) = 0pour les arêtes e incidentes à v, où chaque dérivée est prise du som-met vers l'intérieur de l'arête. La deuxième est la condition de Dirichlet. Une fonction f véri e la condition de Dirichlet au sommet v si f(v) = 0. Notre étude ne portera que sur un opérateur en particulier, le laplacien positif noté H. La structure de longueur associe à chaque arête une longueur strictement positive. On peut donc voir les arêtes d'un graphe quantique comme des intervalles plutôt qu'une relation entre deux sommets comme dans le cas de graphes discrets. Cela permet de dé nir un espace métrique à partir du graphe. L'étude des graphes quantiques est principalement la résolution d'un problème de valeurs propres. Cela mène naturellement à des problèmes de type isopérimétrique comme chercher à minimiser ou maximiser les valeurs propres d'un graphe en xant une ou plusieurs des ses propriétés (longueur, diamètre, nombre de sommets, etc.). Il est également intéressant d'étudier des cas d'isospectralité, c'est à dire des graphes diérents qui possèdent le même spectre.
Dans ce mémoire, nous commencerons par un chapitre donnant les dé nitions principales qui nous permettrons d'introduire les graphes quantiques ainsi que les outils nécessaires à leur étude tels que la caractérisation variationnelle min-max des valeurs propres. Nous donnerons également la démonstration d'une version du théorème d'entrelacement de Cauchy [13] dans le cadre des graphes quantiques.
Théorème (Entrelacement, lemme 4.1 dans [5]). Soit G0 un graphe quantique qui possède un
G0 en un sommet de type Dirichlet. Si on numérote les valeurs propres des deux graphes en
ordre croissant et en répétant chaque valeur propre autant de fois que sa multiplicité, alors on obtient l'inégalité suivante pour chaque j ≥ 1 :
λj(G0) ≤ λj(G∞) ≤ λj+1(G0) ≤ λj+1(G∞),
Nous montrerons également une version de la loi de Weyl, un résultat qui à l'origine donne le comportement asymptotique des valeurs propres de l'opérateur de Laplace sur un domaine borné de Rn, dans le cadre des graphes quantiques. On note par N
Γ(k) := |{λ ∈ σ(Γ) : λ < k2}|
la fonction qui donne le nombre de valeurs propres inférieures ou égales à k2.
Théorème (Loi de Weyl, lemme 4.4 dans [5]). Soit G un graphe quantique dont chacun des sommets est de type Neumann ou Dirichlet. Alors
NG(k) =
l(G)
π k + O(1),
où l(G) est la longueur du graphe G, c'est à dire la somme des longueurs de chaque arête de G.
La notation O(1) signi e que l'erreur est bornée. En d'autres mots, la fonction k 7→ NG(k) −
l(G)
π kest bornée.
Le deuxième chapitre sera dédié entièrement à la démonstration du théorème de Friedlander. Finalement, dans le troisième chapitre, nous présenterons d'autres types d'inégalités isopérimé-triques. Nous verrons qu'un borne supérieure en termes de la longueur du graphe uniquement n'est pas possible à obtenir. Nous présenterons ce résultat dû à Ariturk :
Théorème (Théorème 1.2 dans [2]). Soit G un graphe ni connexe, tels que tout ses sommets sont de type Neumann, qui possède au moins une arête. Soit ρ(G) le nombre de sommets de degré 1 de G, alors pour tout j ≥ 2 :
λj(G) ≤ j − 2 + 2β(G) +ρ(G) 2 2 π2 l(G)2.
Ce théorème donne un borne supérieure de chaque valeur propre en termes du nombre de sommets de degré 1 ainsi que le nombre de Betti β(G) := |V | − |E| + 1, où |V | et |E| représente le nombres de sommets et d'arêtes respectivement. De plus nous verrons deux résultats dûs à Berkolaiko et ses collaborateurs [6] qui sont des améliorations des bornes trouvées par Friedlander et Ariturk. Nous terminons par la recherche de bornes inférieures et supérieures en termes du diamètre du graphe.
Chapitre 1
Graphes quantiques
Dans ce premier chapitre, nous introduirons les outils nécessaires à notre étude des graphes quantiques. Nous montrerons également des généralisations du théorème d'entrelacement et de la loi de Weyl dans le cadre des graphes quantiques.
1.1 Graphes métriques
Soit G = (V,E) un graphe connexe. Tout au long de ce document nous notons par V l'ensemble des sommets de G et l'ensemble de ses arêtes par E ⊂ V × V . En tout temps nous supposons que nos graphes sont nis, c'est à dire |V | < ∞. Si deux sommets u et v sont reliés par une arête, on dit que u et v sont adjacents et on utilise u ∼ v pour l'exprimer. On note v ≺ e pour dire qu'une arête e est incidente à un sommet v. Le degré d'un sommet v est noté dv := |{e ∈ E : v ≺ e}|. On suppose que le degré d'un sommet est toujours strictement
positif : nous ne considérons pas les sommets qui sont incidents à aucune arête. Ajouter à un graphe G une structure additionnelle nous permet de construire un espace métrique à partir du graphe.
Dé nition 1. Un graphe métrique (G,l) = (V,E,l) est un graphe muni d'une structure de longueur
l : E → (0, ∞).
Autrement dit, à chaque arête e ∈ E est associée une longueur positive le∈ (0, ∞). On associe
à chaque arête e l'intervalle [0,le]. Une coordonnée xe∈ [0,le]est associée à chaque arête e ∈ E.
Remarque 1. L'orientation du segment est arbitraire et n'est pas importante pour l'étude que nous ferons. Aussi, identi er une arête e de longueur le par [0,le] est la façon la plus
naturelle de la paramétriser, mais on peut décider de le faire autrement, comme par exemple en l'associant à l'intervalle [−le/2,le/2]. Dans la plupart des cas, nous notons un point d'une
La longueur d'un graphe sera dénotée par l(G) := P
e∈E
le. Comme le nom l'indique, chaque
graphe métrique peut être muni d'une métrique naturelle. Étant donné deux points x,y d'un graphe métrique (G,l) qui ne sont pas nécessairement des sommets, la distance d(x,y) entre x et y est dé nie comme étant la longueur du plus court chemin reliant ces deux points. Remarquons qu'il est important que les graphes métriques avec lesquels nous travaillons soient connexes, sinon la distance entre deux points n'est pas bien dé nie.
Figure 1.1 Un graphe métrique (G,l) pour lequel toutes les arêtes sont de longueur 1. Ici on paramétrise les arêtes e1 et e2 telles que xe1 ∈ [0,le1] et xe2 ∈ [0,le2] donnent la distance
par rapport au sommet u. On a les points x = 1/4 et y = 1/4 et leur distance, a chée en rouge ici, est d(x,y) = 1/2.
Dé nition 2. Une fonction f sur un graphe métrique (G,l) est une collection de fonctions {fe}e∈E de sorte que
fe: [0,le] → C.
Ici, la fonction fe est la restriction de f à l'arrête e.
1.2 Espaces de Sobolev sur les graphes métriques
Nos références concernant les espaces de Sobolev sont prises dans [8]. Soit I = (a,b) ⊂ R un intervalle borné, rappelons que l'espace L2(I) est l'ensemble des fonctions f : I → C qui sont
mesurables et carré intégrables, c'est à dire
kf kL2 := Z b a |f |2 dx 1/2 < ∞.
Rappelons que C1
c(I)est l'ensemble des fonctions f : I → C dérivables à support compact dans
I telles que f et f0 sont continues sur I. Le support d'une fonction est l'ensemble supp(f) := {x ∈ I : f (x) 6= 0} ⊂ I.
Soit f ∈ L2(I), on dit que f est faiblement dérivable s'il existe une fonction mesurable g telle
que Z I f ϕ0 dx = − Z I gϕ dx, et ce pour toute fonction ϕ ∈ C1
c(I). On appelle alors g la dérivée faible de f que l'on note
f0. Il est facile de voir que, si la dérivée faible d'une fonction existe, alors elle est unique à un ensemble de mesure nulle près. En eet, supposons pour une fonction f ∈ L2(I), on a g et ˜g,
ses dérivées faibles. Alors pour toute fonction ϕ ∈ C1
c(I)on a
Z
I
(g − ˜g)ϕ0 dx = 0, et puisque C1
c(I) est dense dans L2(I), il en suit que g = ˜g presque partout. Rappelons que
L2(I)est un espace de Hilbert et son produit scalaire est dé ni par hf,giL2 :=
Z b
a
f ¯g dx.
On peut maintenant introduire les espaces de Sobolev H1(I) et H2(I):
H1(I) := {f ∈ L2(I) : f est faiblement dérivable et f0∈ L2(I)}, H2(I) := {f ∈ H1(I) : f0 est faiblement dérivable et f0∈ H1(I)}.
Remarquons que les fonctions dans l'espace H1(I) ne sont pas nécessairement continues. Le
théorème suivant montre que chaque fonction de H1(I)possède un unique représentant continu
sur ¯I. Il sera fort utile pour notre étude des graphes quantiques de considérer uniquement des fonctions continues. Ceci est possible parce qu'on travaille en dimension 1.
Théorème 1. Soit f ∈ H1(I) pour I = (a,b) ⊂ R, un intervalle borné. Alors il existe une
unique fonction ˜f continue sur ¯I telle que ˜f = f presque partout sur ¯I. De plus on a ˜
f (x) − ˜f (y) = Z y
x
f0(t) dt, pour tout x,y ∈ ¯I.
Pour démontrer ce théorème nous avons besoin des deux lemmes suivants : Lemme 1. Soit f ∈ L1
loc(I) :=
f : I → C : pour tout K compact, R
K |f | dx < ∞ telle que Z I
f ϕ0 dx = 0, pour toute fonction ϕ ∈ Cc1(I), (1.1) alors il existe une constante c telle que f = c presque partout.
Démonstration. Fixons ψ ∈ Cc(I), où Cc(I) est l'ensemble des fonctions continues à support
compact sur I. Supposons que
Z
I
ψ dx = 1.
Alors pour toute fonction g ∈ Cc(I), il existe une fonction ϕ ∈ Cc1(I) telle que
ϕ0 = g − Z I g dx ψ.
En eet, h := g − RIg dx ψ est une fonction continue à support compact dans I. Également, Z I h dy = Z I g − Z I g dx ψ dy = Z I g dy − Z I g dx Z I ψ dy = 0,
puisque RIψ dx = 1. Alors la fonction h a une primitive à support compact dans I. Par l'équation (1.1) on en déduit que
Z I f g − Z I g dx ψ dy = 0, et donc que Z I f − Z I f ψ dx g dy = 0,
et ce pour toute fonction g ∈ Cc(I). Alors f − RIf ψ dx = 0 presque partout, ce qui implique
nalement que f = c presque partout, où c est une constante. Lemme 2. Soit g ∈ L1
loc(I). Fixons x0 ∈ I = (a,b)et posons
v(x) := Z x
x0
g(t) dt, x ∈ I. Alors v(x) est une fonction continue et
Z
I
vφ0 dx = − Z
I
gφ dx, pour toute fonction φ ∈ Cc1(I). Démonstration. On a Z I vφ0 dx = Z b a Z x x0 g(t) dt φ0(x) dx = − Z x0 a Z x x0 g(t)φ0(x) dt dx + Z b x0 Z x x0 g(t)φ0(x) dt dx.
En appliquant le théorème de Fubini on obtient : Z I vφ0 dx = − Z x0 a φ0(x) dx Z x x0 g(t) dt + Z b x0 φ0(x) dx Z x x0 g(t) dt = − Z I gφ dx.
Nous pouvons à présent démontrer le théorème1.
Démonstration du théorème 1. Fixons x0∈ I et posons
¯ u(x) :=
Z x
x0
u0(t) dt. Alors par le lemme 2 on a
Z I ¯ uφ0 dx = − Z I
u0φ dx,pour toute fonction φ ∈ Cc1(I).
Aussi − RIu0φ dx =RIuφ0 dx, pour toute fonction φ ∈ Cc1(I), ce qui implique donc que Z
I
(¯u − u)φ0 dx = 0,pour toute fonction φ ∈ Cc1(I).
Ceci entraîne par le lemme 1 que ¯u − u = c presque partout sur I. La fonction ˜u := ¯u + c a les propriétés que l'on cherche.
Remarque 2. Pour la suite de ce mémoire, nous supposerons en tout temps que pour n'importe quelle fonction f ∈ H1(I), où I ⊂ R est un intervalle borné, f est continue sur I.
Nous introduisons maintenant les espaces L2(G), H1(G), et H2(G).
Dé nition 3. Soit (G,l) un graphe métrique. On dé nit L2(G) := L
e∈E
L2(0,le).
L'espace de Sobolev H1(G) est l'ensemble des fonctions continues sur le graphe G dont la
restriction fe à chaque arête e est dans H1(0,le). Une fonction f ∈ H1(G) est donc une
collection de fonctions fe ∈ H1(0,le) qui sont continues sur (0,le) et admettent les mêmes
valeurs sur chaque sommet v pour toute les arêtes e, v ≺ e. On dé nit l'espace de Sobolev H2(G) := L
e∈E
H2(0,le).
Remarque 3. L'espace L2(G), étant une somme directe d'espaces de Hilbert, est donc lui-même
un espace de Hilbert. Son produit scalaire est dé ni par : hf, giL2(G):= X e∈E Z le 0 feg¯e dxe. (1.2)
La norme d'une fonction dans L2(G)est donnée par kf kL2(G) := X e∈E Z le 0 |fe|2 dx e. (1.3)
Par abus de notation, pour le reste du document on notera simplement h·, ·i et k.k pour désigner le produit scalaire et la norme de L2(G). Pour alléger la notation nous noterons
parfois Pe∈E
Rle
0 fe dxe par RGf dx.
Remarquons que f ∈ H2(G) n'implique pas H1(G) car une fonction dans H2(G) n'est pas
nécessairement continue aux sommets du graphe.
Dire que f est continue en v revient à dire que fe1(v) = · · · = fen(v), pour toute arête
e1, . . . en∈ E telle que v ≺ e1, . . . , en.
Dé nition 4. Soit (G,l) un graphe métrique. Soit f ∈ H2(G), alors on dit que f = {f e}e∈E
satisfait la condition de type Neumann au sommet v ∈ V si X
v≺e
dfe
dx(v) = 0, (1.4)
On dit que f satisfait la condition de type Dirichlet au sommet v ∈ V si
fe(v) = 0, pour tout v ≺ e. (1.5)
Remarque 4. Par le théorème 1, puisque pour une fonction f ∈ H2(G), on considère les
fonctions fe et leurs dérivées comme continues sur [0,le]pour e ∈ E, il fait alors sens de parler
de la valeur des dérivées des fonctions fe dans (1.4). Par convention, dans (1.4) toutes les
dérivées sont prises dans le sens extérieur, c'est à dire du sommet vers l'intérieur de l'arête.
1.3 Opérateurs non-bornés
Nous faisons quelques rappels sur la théorie des opérateurs sans rentrer dans les détails. Nous supposons que le lecteur a quelques connaissances en matière d'opérateurs bornés. Dans cette section H désigne un espace de Hilbert quelconque. Nos références concernant les opérateurs non-bornés sont prises dans [11].
Dé nition 5. Un opérateur linéaire non-borné est une application linéaire
T : H ⊃ D(T ) → H (1.6)
où D(T ), le domaine de T , est un sous-espace vectoriel de H. On dit que T est à domaine dense si D(T ) = H. On dit qu'un opérateur T est inversible s'il admet un inverse T−1: H → D(T )
Dé nition 6. Soit T1: H ⊃ D(T1) → H et T2 : H ⊃ D(T2) → H, alors on dé nit
D(T2T1) := {f ∈ D(T1) : T1f ∈ D(T2)} (1.7)
(T2T1)f := T2(T1f ) (1.8)
De plus, on dit que T2 est une extension de T1 si D(T1) ⊂ D(T2) et pour tout f ∈ D(T1),
T1f = T2f. On le note T1 ⊂ T2.
Dé nition 7. L'opérateur est dit fermé si son graphe
Γ(T ) := {(f,T f ) : f ∈ D(T )} ⊂ H × H (1.9) est fermé. Cela revient à dire que pour chaque suite (fn)n≥1 ∈ D(T ) telle que fn → f et
T fn → g, alors f ∈ D(T ) et T f = g. De plus, on dit que T est fermable s'il admet une
extension fermée. Dans ce cas, Γ(T ) est le graphe d'un opérateur fermé que l'on note T , la fermeture de T .
Dé nition 8. Un opérateur à domaine dense T est dit symétrique si pour tout f,g ∈ D(T ),
hT f, giH = hf, T giH. (1.10)
On dé nit
D(T∗) := {h ∈ H :il existe g ∈ H tel que pour tout f ∈ D(T ), hT f,hiH = hf,giH} . (1.11)
Par le théorème de représentation de Riesz-Fréchet, il existe un unique g ∈ H tel que
hT f,hiH = hf,giH, pour tout f ∈ D(T ), (1.12)
et on dé nit T∗h = g. Ainsi pour tout f ∈ D(T ) et pour tout h ∈ D(T∗), on a hT f,hi H =
hf,T∗hi
H. On appelle l'opérateur T∗ l'adjoint de l'opérateur T . Un opérateur est dit
autoad-joint si T∗ = T. Dans ce cas on doit avoir aussi D(T ) = D(T∗).
Lemme 3. Soit T1 et T2 des opérateurs non-bornés à domaine dense agissant sur H. Si
T1 ⊂ T2, alors T2∗ ⊂ T1∗. Démonstration. Prenons f ∈ D(T∗ 2). Alors hg, T2∗f i = hT2g,f i,pour tout g ∈ D(T2). Or, puisque D(T1) ⊂ D(T2), on a hg, T2∗f i = hT1g,f i, pour tout g ∈ D(T1). Alors f ∈ D(T∗ 1)et donc T2∗ ⊂ T1∗.
Lemme 4. Soit T un opérateur non-borné à domaine dense agissant sur H. Alors T∗ est
fermé.
Démonstration. Soit une suite (fn)n≥1∈ D(T∗)telle que fn→ f et T∗fn→ glorsque n → ∞.
Il su t de montrer que f ∈ D(T∗) et que T∗f = g. On a pour tout h ∈ D(T )
hT h, f i = lim n→∞hT h, fni = lim n→∞hh, T ∗f ni = hh, gi. Ceci implique donc que f ∈ D(T∗) et T∗f = g.
Lemme 5. Soit T : H ⊃ D(T ) → H un opérateur linéaire non-borné à domaine dense. Considérons l'application
V :H × H → H × H V (f,g) := (−g,f ). Alors H ⊕ H = Γ(T ) ⊕ V (Γ(T∗)).
Démonstration. Rappelons que pour un espace de Hilbert H, si U ⊂ H un sous-espace fermé de H, alors H = U ⊕ U⊥. Il su t donc de montrer que Γ(T ) = V (Γ(T∗))⊥. Prenons (g,f) ∈
V (Γ(T∗)). Alors (f, − g) ∈ Γ(T∗) ce qui implique f ∈ D(T∗)et T∗f = −g. Il en suit que pour tout h ∈ D(T ),
hT h, f iH = hh, T∗f iH = hh, −giH. (1.13)
On a donc pour tout h ∈ D(T ), hT h, fiH+ hh, giH = 0 ce qui nous donne
h(h,T h), (g,f )iH×H = 0. (1.14)
Comme (h,T h) ∈ Γ(T ), on en déduit que Γ(T )⊥ = V (Γ(T∗)). On en conclut donc que
V (Γ(T∗))⊥= Γ(T )⊥⊥ = Γ(T ).
Lemme 6. Soit T : H ⊃ D(T ) → H un opérateur linéaire non-borné à domaine dense. Si D(T∗) = H, alors T ⊂ T∗∗ et T∗∗= T.
Démonstration. Par le lemme5 on a
H ⊕ H = Γ(T∗) ⊕ V (Γ(T∗∗))
Il en suit que
V (H ⊕ H) = V (Γ(T∗)) ⊕ V2Γ(T∗∗). Or, remarquons que V2 = −id
H⊕H, et donc
V (H ⊕ H) = V (Γ(T∗)) ⊕ Γ(T∗∗). (1.15) Alors par le lemme 5 on a Γ(T∗∗) = Γ(T )et donc T ⊂ T∗∗ avec T∗∗= T.
Dé nition 9. Soit T : H ⊃ D(T ) → H un opérateur linéaire non-borné. Le spectre de l'opérateur T est l'ensemble des λ ∈ C tels que T − λ n'est pas inversible. On note cet ensemble le spectre de l'opérateur H et on le note σ(T ).
1.4 Graphes quantiques
Nous avons à présent tout les ingrédients nécessaires pour introduire notre objet d'étude principal.
Dé nition 10. Un graphe quantique est un graphe métrique (G,l) muni d'un opérateur li-néaire non-borné H agissant sur L2(G)qui véri e les propriétés suivantes :
1) le domaine de H est un sous-espace D(G,H) de H2(G);
2) ce domaine est dé ni par une condition de continuité pour les fonctions et par une condition de type Neumann ou Dirichlet pour chaque sommet ;
3) pour une fonction f ∈ D(G,H), H(fe) := −fe00, pour chaque e ∈ E.
Remarque 5. Par abus de notation, nous noterons un graphe quantique uniquement par la lettre G. Il est sous-entendu qu'un graphe quantique est un ensemble (G,l,H, D(G,H)) où G est un graphe, l une structure de longueur, H l'opérateur − d2
dx2
e et D(G,H) le domaine de
l'opérateur variant selon les types de conditions imposées aux sommets du graphe. Dans la théorie des graphes quantiques, il est possible de considérer d'autres opérateurs comme par exemple l'opérateur de Schrödinger S : f 7→ − d2
dx2f + V (x)f (x), ou d'autres conditions au
sommets comme par exemple :
f est continue en v, et X v≺e dfe dxe (v) = αvf (v)
où chaque αv est une constante. Dans ce mémoire nous nous limitons au cadre posé dans la
dé nition 10.
Proposition 1. Soit G un graphe quantique tel que tous les sommets sont de type Neumann ou Dirichlet. Alors l'opérateur H dé ni sur D(G,H) est symétrique pour toutes fonctions f,g ∈ D(G,H).
Figure 1.2 Soit G un graphe métrique avec un sommet v de degré 4. Supposons que les arêtes e1 et e2 sont paramétrisées dans le sens illustré ci-haut. Alors pour une fonction f ∈ H2(G),
−fe0 1(le1) = f 0 e1(v) et f 0 e2(0) = f 0 e2(v).
Démonstration. Pour chaque arête e ∈ E du graphe G, on xe une paramétrisation arbitraire [0,le]. Par dé nition, hHf,giL2(G)= X e∈E le Z 0 −fe00g¯e dxe. (1.16)
En intégrant (1.16) par parties deux fois on obtient
hHf,gi =X e∈E −fe0g¯e le 0 +X e∈E le Z 0 fe0g¯e0 dxe =X e∈E −fe0g¯e le 0 +X e∈E feg¯e0 le 0 −X e∈E le Z 0 feg¯e00 dxe =X e∈E −fe0g¯e le 0 +X e∈E feg¯e0 le 0 + hf,Hgi (1.17)
Il reste donc à montrer que dans cette dernière équation, les sommes P
e∈E −f0 eg¯e le 0 et P e∈E feg¯0e le 0 sont nulles. Considérons la somme P e∈E −f0 eg¯e le 0
. Pour chaque e ∈ E, les éléments de la somme sont de la forme −f0
e(le)¯ge(le) + fe0(0)¯ge(0). Sans perdre de généralité, soit ei = (u,v)une des arêtes
du graphe paramétrisée de sorte que u = 0 et v = lei. Rappelons que par convention, le sens
positif des valeurs des dérivée en chaque sommet est pris du sommet vers l'intérieur de l'arête. Alors f0
ei(0) = fei(u)et −f
0
ei(lei) = fei(v). Ceci implique que dans la somme toutes les dérivées
sont prises dans le même sens (voir la gure 1.2). Remarquons aussi que dans P
e∈E −f0 eg¯e le 0 ,
chaque sommet apparaît autant de fois que son degré. Alors la somme peut se réécrire ainsi : X v∈V X v≺e fe0(v)¯ge(v). (1.18)
Soit v1 un sommet du graphe. Si v1est un sommet de type Dirichlet, alors P v1≺e
fe0(v1)¯ge(v1) = 0
puisque ¯ge(v1) = 0 pour toutes arêtes e ≺ v1 parce que la fonction g véri e la condition de
Dirichlet au sommet v1. Si v1 est un sommet de type Neumann, alors P v1≺e
fe0(v1)¯ge(v1) = 0
aussi puisque P
v1≺e
fe0(v1) = 0 parce que la fonction f véri e la condition de Neumann au
sommet v1. Il en suit que dans (1.18), pour chaque v ∈ V , P v≺e
fe0(v)¯ge(v) = 0. Alors la double
sommation (1.18) est nulle. De la même manière on peut montrer que P
e∈E feg¯e0 le 0 = 0, ce qui conclut la preuve.
Remarque 6. Dans le contexte d'opérateurs bornés, la symétrie d'un opérateur T est équiva-lente à T = T∗. Mais pour les opérateurs non-bornées ce n'est pas le cas. Montrer que H est
un opérateur autoadjoint nécessite un peu plus de travail.
Théorème 2 (Théorème 1.4.4 dans [7]). Soit G un graphe quantique ni. Considérons l'opéra-teur H = − d2
dx2
e sur chaque arête e avec le domaine H
2(G)et des conditions de type Neumann
ou Dirichlet sur chaque sommet. Alors H est un opérateur auto-adjoint.
Nous ne démontrons pas ce théorème. Par contre nous montrons que l'opérateur H est un opérateur auto-adjoint pour le cas simple où G est un segment avec des sommets de type Neumann. La preuve du cas général est semblable.
Proposition 2. Soit G un graphe quantique constitué d'un seule arête e de longueur l > 0 tels que les deux sommets de G sont de type Neumann. Alors l'opérateur H avec pour domaine D(G,H) est autoadjoint.
Pour démontrer cette proposition nous avons besoin du théorème de Von Neumann dont ne nous donnons pas la démonstration.
Théorème 3 (Von Neumann [18]). Soit T un opérateur linéaire non-borné fermé à domaine dense. Alors l'opérateur T∗T est autoadjoint.
Nous avons également besoin du lemme suivant : Lemme 7. Soit l > 0 et soit T l'opérateur dé ni par :
T :L2(0,l) → L2(0,l) f 7−→ −i d
avec D(T ) = H1
0(0,l) := {f ∈ H1(0,l) : f (0) = f (l) = 0}. Alors (Im(T ))⊥ = C =
{fonctions constantes f : I → C}.
Démonstration. On va montrer que C⊥= Im(T ). Soit h ∈ C⊥, alors
Z l
0
h¯c dx = 0, (1.19)
pour toute constante c ∈ C, ce qui implique Z l 0 h dx = 0. (1.20) Dé nissons K : (0,l) → C par : K(x) := Z x 0 h(t) dt ∈ H1(0,l). (1.21)
Par le théorème fondamental du calcul, il en suit que K0(x) = h(x). De plus K(a) = 0 et
K(l) =Rl
0h dx = 0. Alors K ∈ D(T ) et h ∈ Im(T ). On en conclut que C
⊥ ⊂ Im(T ) et donc
Im(T )⊥= C.
Nous pouvons à présent montrer la proposition2. Nous étudions le cas d'un segment avec des sommets de type Neumann, mais le démonstration avec des sommets de type Dirichlet est similaire, nécessitant seulement de considérer un domaine diérent pour l'opérateur.
Démonstration de la proposition 2. Considérons l'opérateur T :L2(0,l) → L2(0,l)
f 7−→ −i d dxf, avec D(T ) = H1
0(0,l). Cet opérateur est à domaine dense puisque C0∞(0,l) est dense dans
L2(0,l)et C0∞(0,l) ⊂ H01(0,l). Donc H01(0,l) est dense dans L2(0,l). Montrons que T∗ = −id
dx et que D(T
∗) = H1(0,l). Soit g ∈ H1(0,l) et f ∈ D(T ). Par
intégration par parties on a
hT f,giL2 = −if0g¯ l 0 + ihf, g0iL2, = 0 + hf, −ig0iL2, = hf, T∗giL2.
On remarque par l'inégalité de Cauchy-Schwarz que hT f,giL2 ≤ kf kL2kgkL2, ce qui implique
que g ∈ D(T∗) avec T∗ = −id
dx. On a H1(0,l) ⊂ D(T ∗). Posons h := T∗g, pour g ∈ D(T∗). On dé nit K : (0,l) → C par : K(x) := Z x 0 h(t) dt ∈ H1(0,l) ⊂ D(T∗). (1.22)
Soit f ∈ D(T ), alors
hT f, KiL2 = ihf, K0iL2.
Par le théorème fondamental du calcul on a K0(x) = h(x) = T∗g. Aussi
hf0, KiL2 = −hf,K0iL2
= −hf, hiL2
= −hf,T∗giL2
= −hT f,giL2
= hif0,giL2.
Ceci implique donc que hf0, Ki
L2− hif0, giL2 = 0 et donc que
− h−if0, − iKiL2 − hif0, giL2 = h−if0,(g − iK)iL2 = 0. (1.23)
On en déduit que g − iK ∈ (Im(T ))⊥
= C. Donc g = iK + c où c est une constante et donc g ∈ H1(0,l). On en conclut que D(T∗) ⊂ H1(0,l)et donc par double inclusion ces deux
ensembles sont égaux.
À présent montrons que T = T∗∗. On a T ⊂ T∗. Alors par le lemme 3 on a T∗∗ ⊂ T∗. Cela
implique donc que
T∗∗= −i d
dx, sur D(T
∗∗
). (1.24)
Soit g ∈ D(T∗∗) et f ∈ D(T∗) = H1(0,l). Alors
hT∗f,giL2 − hf, T∗∗giL2 = h−if0,giL2− hf, −ig0iL2 = 0. (1.25)
Ceci implique − i hf0,giL2− hf, g0iL2 = −i Z l 0 f0¯g dx − Z l 0 f ¯g0 dx = 0, (1.26)
ce qui est équivalent à − if ¯g l 0 = 0. (1.27)
Cette dernière égalité implique f(l)¯g(l) − f(0)¯g(0) = 0, pour tout f ∈ D(T∗). Il en suit que
g(0) = g(l) = 0. Donc g ∈ H1
0(0,l)ce qui implique T∗∗ ⊂ T. Par le lemme 6 on a également
T ⊂ T∗∗ et donc T∗∗= T. Donc T est un opérateur fermé et T = T∗∗. Alors par le théorème de Von-Neumann l'opérateur
est autoadjoint. Nous avons Hf = −i d dx(−if 0 ) = −f00. De plus, son domaine est
D(H) = {f ∈ D(T∗) : T∗f ∈ D(T )} = {f ∈ H1(0,l) : −if0 ∈ H01(0,l)}
= {f ∈ H1(0,l) : f0 ∈ H01(0,l)et f0(0) = f0(l) = 0},
ce qui revient à dire que le domaine de H sont les fonctions dans H2(0,l) telles que leurs
dérivées s'annulent aux bords du segment [0,l]. Cela revient à dire que le domaine de H est D(G,H).
Théorème 4 (Théorème 3.1.1 dans [7]). Soit G un graphe quantique où chacun de ses sommets est de type Neumann ou Dirichlet. Alors la résolvante (H − iI)−1 est un opérateur compact
autoadjoint dans L2(G). Par conséquent le spectre de σ(G) est constitué de valeurs discrètes,
de multiplicité nie avec λj −−−→
j→∞ ∞. De plus, il existe une base hilbertienne {φj} ∞
j=0de L2(G)
où chaque φj est une fonction propre de λj.
Remarque 7. Rappelons qu'une base hilbertienne d'un espace de Hilbert H est une famille orthonormale {φj}∞j=0, c'est à dire
hφi,φjiH = 0,pour tout i 6= j,
et kφikH = 1, pour tout i.
On exige également que pour chaque f ∈ H, il existe des constantes ci, pour i ≥ 1 tel que
f =
∞
P
i=1
ciφi. Soit f,g ∈ H, on note par f ⊥ g pour dire que hf,giH = 0.
Le théorème 4 nous assure que les valeurs propres d'un graphe quantique forment une suite de la forme λ1(G) ≤ λ2(G) ≤ · · · % ∞ où chaque valeur propre est réelle et de multiplicité
nie. Par convention, nous répétons dans la suite chaque valeur propre autant de fois que sa multiplicité.
Exemple 1. Considérons l'exemple le plus trivial d'un graphe quantique G, le cas où le graphe est un segment, donc constitué d'une seule arête de longueur l(G) = l > 0. Supposons que les deux sommets de G sont de type Neumann. Nous cherchons à résoudre
− f00= λf, (1.29)
f0(0) = 0, (1.30)
Le signe négatif dans (1.31) est présent qu'à titre indicatif du sens pris pour la dérivée, il n'est évidemment pas nécessaire pour cet exemple.
Tout d'abord, on a comme solution λ = 0. En eet pour f = c, où c est une constante non-nulle, alors f véri e chacune des équations (1.29),(1.30) et (1.31). Supposons maintenant que λ > 0. Posons λ = k2. L'équation (1.29) est une équation diérentielle du deuxième ordre à coe cients constants dont la solution est de la forme :
f (x) = a cos(kx) + b sin(kx). (1.32)
En combinant les équations (1.30) et (1.32) nous obtenons b = 0. Ainsi (1.31) devient
ka sin(kl) = 0. (1.33)
Cette dernière équation implique que k = jπ
l , j ≥ 1. L'ensemble des valeurs propres positives
est donc
λj =
j2π2
l2 , j = 1,2, . . . . (1.34)
Celles-ci sont associées aux fonctions propres fj = cos(jπx/l), j = 1,2, . . . . Ce sont toutes des
valeurs propres de multiplicité 1. Donc en somme les valeurs propres du graphes sont λj =
π2(j − 1)2
l2 , j = 0,1,2, . . . . (1.35)
Nous avons omis de chercher des valeurs propres négatives dans cet exemple. En fait nous avons trouvé toutes les valeurs propres du segment car les valeurs propres d'un graphe quantique sont toujours positives.
Proposition 3. Soit G un graphe quantique. Alors ses valeurs propres sont positives.
Démonstration. Soit G un graphe quantique. Soit f ∈ D(G,H) une fonction propre associée à la valeur propre λ. Alors
hHf,f i = Z G −f00f dx¯ =X e∈E −fe0f¯e le 0 + Z G f0f¯0 dx = Z G |f0|2 dx, (1.36)
puisque, comme vu dans la démonstration de la proposition 1, la somme dans cette dernière équation est nulle. On a également −f00= λf, ce qui donne
hHf,f i = Z G −f00f dx¯ = Z G λf ¯f dx = λ Z G |f |2 dx. (1.37)
En combinant les équations (1.36) et (1.37) on obtient nalement λ Z G |f |2 dx = Z G |f0|2 dx, ce qui implique λ = R G|f 0|2 dx R G|f |2 dx ≥ 0.
Ici, il est possible de diviser par RG|f |2 dxpuisque une fonction propre n'est pas identiquement
nulle.
Remarque 8. Ce dernier résultat nous permet d'a rmer que les valeurs propres d'un graphe quantique G forment une suite 0 = λ1(G) ≤ λ2(G) ≤ λ3(G) ≤ · · · % ∞.
Exemple 2. Considérons Hn, un graphe quantique étoile équilatéral à n branches, c'est à
dire un graphe à n + 1 sommets, v0,v1, . . . vn, où v0 est un sommet de degré n relié à tous
les autres sommets qui sont de degré 1. Soit l(G) = l la longueur du graphe, alors toutes les arêtes du graphe sont de même longueur l/n. On suppose que tout les sommets du graphe sont de type Neumann. On paramétrise les arêtes en partant des sommets de degré 1 vers le sommet central. Si numérote les arêtes par e1,e2,...,en de sorte que l'arête vp ≺ ep, alors pour
p = 1, . . . ,n, on a − fe00 p = λfep, (1.38) fe0p(0) = 0, (1.39) n X p=1 −fe0 p(l/n) = 0, (1.40) fep(l/n) = feq(l/n), p 6= q. (1.41)
Posons λ = k2. Ici, l'équation (1.41) découle de la continuité des fonctions au sommet central
et les équations (1.39) et (1.40) de la condition de Neumann. En résolvant l'équation (1.38) on obtient :
fep = apcos(kx) + bpsin(kx), p = 1, . . . ,n, (1.42)
où ap et bp sont des constantes pour p = 1, . . . ,n. En considérant (1.39), on se rend compte
que bp= 0, p = 1, . . . ,n. Les équations (1.40) et (1.41) deviennent donc respectivement n
X
p=1
apsin(kl/n) = 0, (1.43)
a1cos(kl/n) = a2cos(kl/n) = · · · = ancos(kl/n). (1.44)
Supposons que cos(kl/n) 6= 0. On en déduit que a1 = a2 = · · · = ap = a. L'équation (1.43)
devient donc
Cela implique que kl/n = πj, pour j ≥ 1. On obtient donc la famille de valeur propres suivante :
λ = k2 = π
2j2n2
l2 , j = 1,2, . . . , (1.46)
où chaque λ est une valeur propre de multiplicité 1. Supposons à présent que cos(kl/n) = 0 dans l'équation (1.44). L'équation (1.45) nous donne a1 + · · · + ap = 0. De plus, kl/n =
π
2 + jπ, j = 0,1,2, . . .. Ainsi,
λ = π
2(j + 1)2n2
4l2 , j = 0,1,2, . . . , (1.47)
sont aussi des valeurs propres du graphe Hn, chacune étant de multiplicité (n − 1). Il est
di cile de dénoter explicitement toutes les valeurs propres du graphe, mais on peut dire que λ1(Hn) = 0, λ2(Hn) = λn(Hn) = π2n2 4l2 , λn+1(Hn) = π2n2 l2 . (1.48)
Remarque 9. Nous verrons dans le chapitre 2 que le graphe Hn est le graphe qui minimise
λn(G)pour n'importe quel graphe quantique G.
1.5 Théorème min-max
Nous introduisons maintenant le théorème min-max qui nous donne une caractérisation varia-tionnelle des valeurs propres d'un graphe quantique quelconque. Soit G un graphe quantique. Pour f ∈ H1(G)non nulle on dé nit
R(f ) := hf 0,f0i hf,f i = R G|f 0|2 dx R G|f |2 dx , le quotient de Rayleigh de f.
Théorème 5 (Min-Max). Soit G un graphe quantique, alors les valeurs propres de G sont données pour chaque j ≥ 1 par :
λj(G) = min V ⊂H1(G) dim V =j max f ∈V kf k6=0 R(f ),
où le minimum est pris sur la famille des sous-espaces V ⊂ H1(G)qui sont de dimension j.
Avant de démontrer cet théorème nous avons besoin du lemme suivant qui donne également un caractérisation utile des valeurs propres d'un graphe quantique.
Lemme 8. Soit G un graphe quantique. Soit f ∈ H1(G) non-nulle et {φ
i}∞i=1 la base
hil-bertienne de L2(G) de fonctions propres de G provenant du théorème 4. Alors pour chaque
j ≥ 1
λj(G) = minR(f ) : f ∈ H1(G) et f ⊥ φi,pour i = 1, . . . ,j − 1 . (1.49)
Démonstration du lemme 8. Soit f ∈ H1(G)et {φ
i}∞i=1 la base hilbertienne de L2(G)
consti-tuée des fonctions propres de G. Soit j ≥ 1, supposons de plus que f⊥φ1, . . . , φj−1. La fonction
f peut s'écrire comme un somme
f =
∞
X
n=j
cnφn, (1.50)
où les cn sont des constantes. Alors le quotient de Rayleigh de f est donné par :
R(f ) = hf0,f0i hf,f i = h(cjφ 0 j + cj+1φ 0 j+1+ . . . ), (cjφ 0 j+ cj+1φ 0 j+1+ . . . )i h(cjφj + cj+1φj+1+ . . . ), (cjφj+ cj+1φj+1+ . . . )i . Puisque hφn, φmi = 0, pour tout n 6= m, on obtient
R(f ) = hcjφ 0 j,cjφ 0 ji + hcj+1φ 0 j+1,cjφ 0 j+1i + . . . hcjφj,cjφji + hcj+1φj+1,cjφj+1i + . . . = |cj| 2kφ0 jk2+ |cj+1|2kφ0j+1k2+ . . . |cj|2kφ jk2+ |cj+1|2kφj+1k2+ . . . = |cj| 2kφ0 jk2+ |cj+1|2kφ0j+1k2+ . . . |cj|2+ |c j+1|2+ . . . (1.51)
Puisque kφik2 = 1, pour tout i ≥ 1. Remarquons aussi que pour tout i ≥ 1 on a
kφ0ik2 = Z G φ0iφ¯i 0 dx =X e∈E φ0iφi le 0 − Z G φ00iφ¯i dx.
Comme on l'a vu dans la démonstration de la proposition1, la somme ci-dessus est nulle. De plus puisque −φ00
i = λiφi, pour tout i ≥ 1, nous avons
kφ0ik2 = λi
Z
G
|φi|2 dx = λi. (1.52)
En remplaçant dans (1.51) on obtient R(f ) = |cj|
2λ
j+ |cj+1|2λj+1+ . . .
|cj|2+ |cj+1|2+ . . .
. (1.53)
Cette dernière quantité est minimisée lorsque cj 6= 0 et les autres termes sont nuls. Il en suit
que
λj = min R(f ),
Démonstration du théorème 5. Soit V ⊂ H1(G) un sous-espace de dimension j et {φ i}∞i=1
une base hilbertienne de L2(G). Posons U := span(φ
1, . . . , φj−1). Considérons l'application
suivante
ϕ : V → Cj−1
f 7→ (hf, φ1i, . . . hf, φj−1i) .
Par le théorème du rang, nous avons dim(V ) = dim(Im(ϕ)) + dim(ker(ϕ)). Remarquons que dim(Im(ϕ)) est au plus j − 1. Alors dim(ker(ϕ)) est au moins 1, donc il existe f ∈ V tel que f ⊥span(φ, . . . , φj−1). Il en suit du lemme8 que
R(f ) ≥ λj. (1.54)
Ceci implique donc que max
f ∈V kf k6=0
R(f ) ≥ λj. Ainsi en minimisant sur tous les sous-espaces de
dimension j on obtient maintenant que : min V ⊂H1(G) dim V =j max f ∈V kf k6=0 R(f ) ≥ λj. (1.55)
À présent considérons le sous-espace V = span(φ1,φ2, . . . ,φj) de dimension j. Prenons f ∈ V
quelconque. Alors R(f ) = λ1|c1| 2+ λ 2|c2|2+ · · · + λj|cj|2 |c1|2+ |c 2|2+ · · · + |cj|2 ≤ λj|c1| 2+ λ j|c2|2+ · · · + λj|cj|2 |c1|2+ |c 2|2+ · · · + |cj|2 = λj. (1.56)
Finalement, en combinant (1.55) et (1.56) on obtient le résultat.
Remarque 10. Le théorème 5 s'avère être un outil très puissant. Remarquons que dans le théorème 5 et le lemme 8, on utilise H1(G). Ceci implique une condition de continuité mais
aucune condition supplémentaire sur les sommets. On peut donc caractériser les valeurs propres avec un espace de fonctions plus général que celui du domaine l'opérateur H. Le théorème5sera particulièrement utile pour la démonstration du théorème d'entrelacement Dirichlet-Neumann plus tard dans ce chapitre et pour celle du théorème de Friedlander dans le deuxième chapitre de ce mémoire.
Proposition 4. Soit G un graphe quantique qui possède un sommet v de degré 2 de type Neumann. Notons par ˜G le graphe obtenu en supprimant v donnant lieu à une seule arête. Alors
Démonstration. Soit G un graphe quantique quelconque qui possède un sommet v de degré 2 de type Neumann. Soit e1 et e2 les arêtes incidentes à v. On associe e1 au segment [−a,0] et
[0,b]au sommet e2 pour certains a,b > 0, de sorte que v est situé en zéro sur les deux segments.
Soit f ∈ H1(G), alors f e1 ∈ H
1(−a,0)et f e2 ∈ H
1(0,b). Posons ˜f
e0 : (−a,b) → C telle que
˜ fe0(x) = fe1(x) si x ∈ (−a,0), fe2(x) si x ∈ (0,b). (1.57)
Clairement ˜fe0 est continue sur (−a,b) puisque fe1(0) = fe2(0). Aussi ˜fe0 ∈ L
2(−a,b)car Z b −a ˜ fe0 dx = Z 0 −a |fe1| 2 dx + Z b 0 |fe2| 2 dx < ∞. (1.58)
Soit I ⊂ R, on dé nit la fonction caractéristique de I, χI : R → {0,1} par :
χI(x) = 1 si x ∈ I, 0 sinon. (1.59)
Remarquons que, pour ϕ ∈ C1 c(−a,b) Z b −a ˜ fe0ϕ 0 dx =Z 0 −a fe1ϕ 0 dx +Z b 0 fe2ϕ 0 dx = − Z 0 −a fe01ϕ dx + uϕ 0 −a − Z b 0 fe02ϕ dx + uϕ b 0 . (1.60)
Or, ϕ(a) = ϕ(b) = 0 puisque ϕ est à support compact sur (−a,b). Alors Z b −a ˜ fe0ϕ 0 dx = −Z 0 −a fe01ϕ dx − Z b 0 fe02ϕ dx + fe1(0)ϕ(0) − fe2(0)ϕ(0). (1.61)
De plus, fe1(0) = fe2(0)ce qui implique donc
Z b −a ˜ fe0ϕ 0 dx = − Z 0 −a fe01ϕ dx − Z b 0 fe02ϕ dx = − Z b −a fe01χ(−a,0)+ fe02χ(0,b) ϕ dx = − Z b −a ˜ fe0 0 ϕ dx. (1.62)
On en conclut que ˜fe0 possède une dérivée faible ˜fe0
0 et ˜ fe0 0 (x) = fe01(x) si x ∈ (−a,0), fe02(x) si x ∈ (0,b). (1.63) Comme f0 e1(x) et f 0 e2(x) sont dans L
2(−a,0) et L2(0,b) respectivement il en suit que ˜f e0
0
∈ L2(−a,b), et donc que ˜fe0 ∈ H
v ≺ e1,e2 comme sommet de degré 2, les arêtes e1 et e2 forment une arête e0 interrompue.
Alors, la fonction la fonction ˜f dé nie par
˜ f = ˜ fe0 sur l'arête e0
fe sur les autres arêtes du graphe ,
(1.64)
alors ˜f ∈ H1( ˜G). Remarquons aussi que
Z G |f |2 dx = Z ˜ G | ˜f |2 dx, (1.65) et Z G |f0|2 dx = Z ˜ G | ˜f0|2 dx, pour toute f ∈ H1(G). (1.66)
Soit {φi}∞i=1 la base hilbertienne de fonctions propres de L2(G). Si l'on applique la même
transformation aux fonctions φi, on obtient l'ensemble { ˜φi}∞i=1. On voit que si f = ∞ P n=1 cnφn alors ˜f = ∞ P n=1
cnφ˜n et donc l'ensemble { ˜φi}∞i=1 forment une base hilbertienne de L2( ˜G). Soit
j ≥ 1, considérons ˜V =span( ˜φ1, . . . , ˜φj)et V = span(φ1, . . . , φj). Il en suit donc du théorème
5 que λj( ˜G) ≤ max ˜ f ∈ ˜V kf k6=0 R ˜ G| ˜f 0|2 dx R ˜ G| ˜f |2 dx . (1.67) De (1.65) et (1.66) on obtient λj( ˜G) ≤ max f ∈V kf k6=0 R G|f 0|2 dx R G|f |2 dx = λj(G), (1.68)
où la dernière égalité découle du théorème 5.
Inversement considérons la même structure de graphe ˜G, c'est à dire le graphe G qui a une arête e0 interrompue au lieu de deux arêtes. Prenons le point y ∈ (0,le0), qui en devenant
un nouveau sommet du graphe, donne lieu à deux arêtes et qui nous redonne la structure du graphe G. Soit f ∈ H1( ˜G), dé nissons
ˆ f := fe0|(0,y), fe0|(y,le0), fe sur e 6= e0. (1.69)
La fonction ˆfest clairement dans H1(G). De plus, il est clair que ce sommet est immédiatement
de type Neumann par continuité des fonctions dans H2(G) et de leurs dérivées à l'intérieur
des arêtes. Aussi Z
G | ˆf |2 dx = Z ˜ G |f |2 dx, (1.70)
et Z G | ˆf0|2 dx = Z ˜ G |f0|2 dx, pour toute f ∈ H1( ˜G). (1.71) Comme vu précédemment, on eectue la même identi cation aux fonctions propres de la base de H1(G). En prenant V = span(φ 1, . . . , φj) et ˆV =span( ˆφ1, . . . ˆφj) on a λj(G) ≤ max ˆ f ∈ ˆV kf k6=0 R G| ˆf0| 2 dx R G| ˆf |2 dx = max f ∈V kf k6=0 R ˜ G|f 0|2 dx R ˜ G|f |2 dx = λj( ˜G). (1.72)
En comparant (1.68) et (1.72), on obtient nalement que λj(G) = λj( ˜G).
Voici une application intéressante de ce résultat :
Exemple 3. Considérons un graphe cycle de longueur l(G) = l > 0 avec n sommets et trouvons ses valeurs propres. Si on note par v1, . . . ,vn, les sommets du graphe, alors il y a n arêtes
e1 = (v1,v2),e2 = (v2,v3),. . . ,en−1 = (vn−1,vn),en = (vn,v1). Comme tous les sommets de ce
graphe sont de degré 2, par la proposition 4 nous pouvons les supprimer, donc le problème revient à trouver le spectre du laplacien sur un cercle de circonférence l. On cherche donc les fonctions qui véri e −f00 = λf telles que f(x + l) = f(x), où n ∈ Z. Posons k2 = λ, alors
comme on le sait déjà, les solutions sont de la forme :
f (x) = a cos(kx) + b sin(kx). (1.73)
Puisque f(x + l) = f(x), il en suit que kl = 2jπ, pour j = 1,2, . . . . Il en suit que les valeurs propres sont de la forme
λ1 = 0, λ2= λ2j+1 =
4j2π2
l2 , j = 1,2, . . . (1.74)
Remarque 11. En règle général, il n'est donc pas nécessaire de considérer les graphes quantiques ayant des sommets de degré 2. Cette observation est également utile pour étudier les graphes qui ont des boucles, qui peuvent présenter parfois des problèmes de notation. En rajoutant des sommets accessoires de degré 2 on peut par exemple transformer une boucle en triangle.
Figure 1.4 Par exemple voici un graphe lasso consitué de deux sommets v et u et de deux arêtes e2 = (u,v) et e1= (v,v).
Figure 1.5 En rajoutant deux sommets u1 et u2 au graphe lasso de la gure 1.4 sur
l'arête e1 nous obtenons un nouveau graphe avec 4 arêtes. Ici on a l(e01) + l(e001) + l(e0001) = l(e1)
où e1 est la boucle du graphe précédent. Par la proposition 4, les graphes de la gure 1.4 et
1.5 ont le même spectre.
1.6 Théorème d'entrelacement Dirichlet-Neumann
Soit M une matrice quelconque, on dit que N est une sous matrice de M si N est obtenue en supprimant un certain nombres de colonnes ou lignes de M. Une sous matrice est dite
principale si elle est aussi carré. Un résultat dû à Suk-Gun Hwan [13] dit que si A est une matrice hermitienne d'ordre n ayant λ1 ≤ · · · ≤ λn comme valeurs propres et B une sous
matrice principale d'ordre n − 1 ayant µ1 ≤ · · · ≤ µncomme valeurs propres, alors
λ1≤ µ1≤ λ2 ≤ µ2≤ · · · ≤ λn−1≤ µn−1≤ λn.
Nous démontrons un résultat similaire à celui-ci mais dans le contexte des valeurs propres des graphes quantiques.
Théorème 6 (Lemme 4.1 dans [5]). Soit G0 un graphe quantique qui possède un sommet v
de type Neumann. Soit G∞ le graphe obtenu en remplaçant le sommet v du graphe G0 en un
sommet de type Dirichlet. Alors on obtient l'inégalité suivante pour chaque j ≥ 1 :
λj(G0) ≤ λj(G∞) ≤ λj+1(G0) ≤ λj+1(G∞).
Démonstration. Considérant le graphe G0, par le théorème 5 on sait que la je valeur propre
du graphe est donnée par :
λj(G0) = min V ⊂H1(G 0) dim V =j max f ∈V kf k6=0 R(f ). (1.75)
Considérons maintenant le graphe G∞, remarquons que H1(G∞) = {f ∈ H1(G0) : f (v) = 0}.
On a λj(G∞) = min V ⊂H1(G ∞) dim V =j max f ∈V kf k6=0 R(f ) ≥ λj(G0), (1.76)
car λj(G∞) est obtenue en minimisant sur les sous-espaces de dimension j de H1(G∞) ⊂
H1(G0). En minimisant sur un espace plus petit on obtient une valeur de λj qui est plus
grande.
Pour montrer la deuxième inégalité, considérons le sous-espace V0 ⊂ H1(G0) de dimension
n + 1 qui minimise la quantité max
f ∈V f 6=0 R(f ). Alors λn+1(G0) = max f ∈V0 f 6=0 R(f ). (1.77) Considérons l'application ϕ : V0 → C f 7→ f (v). On a Im(ϕ) = C et donc par le théorème du rang :
Alors dim(ker(ϕ)) = n. Il existe donc un sous-espace de H1(G
∞) de dimension n, notons le
V∞, tel que V∞⊂ V0. Ceci implique donc que
λn(G∞) = min V ⊂H1(G ∞) dim V =j max f ∈V kf k6=0 R(f ) ≤ max f ∈V∞ kf k6=0 R(f ) ≤ max f ∈V0 f 6=0 R(f ) = λn+1(G0). (1.79)
Ce dernier théorème nous permet de démontrer la loi de Weyl pour les graphes quantiques dans la prochaine section.
1.7 Loi de Weyl
Le théorème d'entrelacement nous permet de montrer une loi de Weyl pour les graphes quan-tiques. Soit G graphe quantique, on dé nit NG(k) :=
{λ ∈ σ(G) : λ < k2}
, la fonction qui donne le nombre de valeurs propres de G qui sont inférieures ou égales à k2. Avant de montrer
la loi de Weyl, nous avons besoin de montrer les deux lemmes suivants :
Lemme 9. Soit G un graphe quantique quelconque avec |E| = n tels que tous ses sommets sont soumis aux conditions de Dirichlet. Notons par e1, . . . , en ses arêtes, alors
NG(k) = n
X
i=1
Nei(k). (1.80)
Démonstration. Commençons par supposer que le graphe G est composé des n segments dis-joints de longueurs le1, . . . , len. Pour trouver σ(G) on veut résoudre :
− fe00
i = λfi, (1.81)
fe1(0) = fe1(le1) = · · · = fen(0) = fen(len) = 0. (1.82)
Remarquons que si on décide de coller une ou plusieurs arêtes ensemble donnant lieu à un graphe plus complexe, les équations (1.81) et (1.82) restent inchangées. Donc un graphe Gquelconque dont tous les sommets sont soumis aux conditions de Dirichlet avec n arêtes de longueur respectives le1, . . . , len a le même que le spectre que n segments disjoints de longueur
le1, . . . , len avec des conditions de Dirichlet aux sommets. On a donc σ(G) =
n
S
i=1
implique NG(k) = {λ ∈ σ(G) : λ < k2} = ( λ ∈ n [ i=1 σ(ei) : λ < k2 ) = n X i=1 λ ∈ σ(ei) : λ < k2 = n X i=1 Nei(k).
Lemme 10. Soit G un segment [0,l] avec les conditions de Dirichlet aux sommets. Alors les valeurs propres de G sont λj = π2j2/l2, j ≥ 0.
Démonstration. En résolvant −f00 = λf on obtient f = a cos(kx) + b sin(kx), où k2 = λ.
Sachant que f(0) = 0 on obtient
f (x) = b sin(kx). (1.83)
Puisque f(l) = 0 on a
λj =
π2j2
l2 , j = 0,1, . . . . (1.84)
Nous donnons maintenant la démonstration de la loi de Weyl.
Théorème 7 (Lemme 4.4 dans [5]). Soit G un graphe quantique qui possède les conditions de Neumann ou Dirichlet pour chacun de ses sommets. Alors
NG(k) =
l(G)
π k + O(1).
La notation O(1) signi e que l'erreur est bornée. En d'autres mots, la fonction
k 7→ NG(k) −
l(G)
π kest bornée.
Démonstration. Considérons le graphe Glconstitué d'un intervalle [0,l] dont les deux sommets
sont soumis aux conditions de Dirichlet. Par le lemme 10 nous savons que les valeurs propres de ce segment sont de la forme λj = j
2π2
l2 , pour j ≥ 0. Alors NGl(k) = |{λj : j ≤
kL
π }|ce qui
veut dire que NGl(k) =
kl
π
. On a donc la paire d'inégalités suivante : kl
π − 1 ≤ NGl(k) ≤
kl
Considérons maintenant le graphe quantique G0avec un sommet v qui est soumis à la condition
de Neumann et G∞, le graphe obtenu en imposant la condition de Dirichlet sur le sommet v
du premier graphe. Nous avons les inégalités suivantes :
NG∞(k) ≤ NG0(k) ≤ NG∞(k)+ 1. (1.86)
En eet, xons un k et supposons que NG0(k) < NG∞(k). Si NG∞(k) = m, alors λj(NG∞) ≤
k2,j = 1,2, . . . m. Ceci implique que NG0(k) < m, et donc que λm(G0) ≥ k
2 ≥ λ
m(G∞) ce qui
contredit le théorème 6. La deuxième inégalité est obtenue avec un argument par l'absurde similaire.
À présent, considérons un graphe G quelconque. Notons par GD le graphe obtenu en imposant
la condition de Dirichlet sur l'ensemble des sommets de G. En appliquant les inégalités (1.86) |V | fois on obtient :
NGD(k) ≤ NG(k) ≤ NGD(k) + |V |, (1.87)
Remarquons que (1.87) reste vraie même peut importe le nombre de sommets de type Neumann de G.
Le graphe GD peut être interprété comme une collection d'intervalles de longueur li, pour
i = 1,...,|E|. Soit lp un de ces intervalles. On sait par (1.85) que klπp − 1 ≤ Nlp(k) ≤
klp
π .
Par le lemme 9, la fonction de compte NGD(k) est la somme des fonctions de comptes de
chaque intervalle [0,li]. Alors |E| X i=1 kli π − 1 ≤ NGD(k) ≤ |E| X i=1 kli π. (1.88)
En combinant cette dernière paire d'inégalités avec (1.87) on obtient nalement : kl(G)
π − |E| ≤ NG(k) ≤ k l(G)
π + |V |. (1.89)
Corollaire 1. Soit G un graphe quantique. Alors λj(G) ∼
π2j2
l(G)2, lorsque j → ∞. (1.90)
Démonstration. On dit que des fonctions f ∼ g si lim
x→∞
f (x)
Remarquons que NG(j) ∼ l(G)jπ et NG(λj) ∼ j. Alors j ∼ l(G)pλj π , (1.92) ce qui implique pλj ∼ πj l(G), (1.93) et donc que λj(G) ∼ π 2j2 l(G)2.
Chapitre 2
Le théorème de Friedlander
Dans ce deuxième chapitre nous donnons la démonstration du théorème de Friedlander. Ce résultat donne une borne inférieure optimale pour chaque valeur propre des graphes quantiques de longueur l(G) > 0 prescrite. Il montre également que le graphe qui minimise λj est le graphe
Hj, le graphe étoile équilatéral à j branches.
Théorème 8. Soit G un graphe métrique de longueur l(G). Alors pour chaque j ≥ 2,
λj(G) ≥
j2π2
4l(G)2. (2.1)
De plus, il y a égalité dans (2.1) si et seulement si G est un segment pour j = 2 et G = Hj
pour j ≥ 3.
Pour montrer ce théorème nous allons commencer par découper le graphe G de sorte qu'il devienne un arbre, c'est à dire un graphe sans cycle. Nous verrons que cette opération ne fait pas augmenter les valeurs propres du graphe et donc il est su sant de montrer l'inégalité
2.1 dans le cas où G est un arbre. La démonstration suit d'un découpage approprié et de l'utilisation d'inégalités de type Poincaré. Le cas de l'égalité est montré par récurrence.
2.1 Découpage d'arbres métriques
Dé nition 11. Étant donné un arbre métrique G et x1, . . . , xm une collection de points de
G. L'ensemble G \ {x1, . . . , xm} est constitué d'un certain nombre de composantes connexes
G1, G2, . . . Gp, où p ≥ m + 1. Ces derniers sont aussi des arbres métriques. On dé nit
G(x1, . . . , xm) := G1t G2t · · · t Gp, (2.2)
l'union disjointes des composantes de G \ {x1, . . . , xm} (voir les gures 2.1 et 2.2 pour un
Figure 2.1 Un arbre métrique G avec 3 points x1,x2 et x3 où x3 est aussi un sommet de
degré 3.
Figure 2.2 L'ensemble G(x1,x2,x3) = G1t G2t · · · t G6 issu du graphe G de la gure2.1.
Lemme 11. Soit G un arbre métrique. Soit un entier j ≥ 2, alors il existe des points x1, . . . , xm, m ≤ j − 1, tels que la longueur de chacune des composantes de G(x1, . . . , xm)
ne dépasse pas l(G)/j.
La preuve du lemme 11est basée sur le lemme suivant :
Lemme 12. Soit G un arbre métrique connexe de longueur l(G). Alors pour tout l ∈ (0,l(G)] il existe un point x tel que G(x) admet la décomposition suivante :
G(x) = G0t G1t · · · t Gp
Figure 2.3 Un arbre métrique G = (V,E) où |E| = 15 et chaque arête est de longueur 1. Nous faisons le choix de la feuille y0. Pour cet exemple on suppose qu'on a choisi l = 3.
Démonstration du lemme 12. Fixons une feuille y0 ∈ Get xons un point x ∈ G qui n'est pas
un sommet. Remarquons que lorsque x n'est pas un sommet, G(x) est constitué d'exactement deux composantes connexes. Notons par Gx la composante connexe de G(x) qui ne contient
pas y0. S'il existe un point x ∈ G \ V tel que l(Gx) = lalors un tel point satisfait l'énoncé du
lemme. En eet la composante de G \ G(x) sera de longueur l(G) − l. Si un tel point n'existe pas, alors pour toute arête e du graphe G, soit l(Gx) < l pour x ∈ e, on dira que ce sont des
arêtes de type 1. Soit l(Gx) > l pour x ∈ e, on désigne ces dernières comme arêtes de type 2.
Il est toujours possible de faire cette classi cation dans cette situation. Sinon, on aurait une
Figure 2.4 Si on considère le même exemple qu'à la gure 2.3, l'arête e4 est de type 2 car
pour tout point x ∈ (0,le4 = 1), la longueur du graphe Gx est plus grande que l = 3.
arête e où l(Gx1) < l et l(Gx2) > l pour deux points distincts de e. La fonction l(Gx) étant
continue si on la restreint à une seule arête, par le théorème des valeurs intermédiaires il existe un point x ∈ e tel que l(Gx) = l, ce qui contredit notre hypothèse. Remarquons que l'arête
incidente à y0 est de type 2 et les arêtes incidentes aux autres feuilles de G sont de type 1.
On note par G1 (respectivement G2) la fermeture de l'union de toutes les arêtes de type 1
(respectivement de type 2 ; voir les gures 2.5et2.6). Toutes les composantes connexes de G1
Figure 2.5 L'ensemble G1 issu du graphe G de la gure2.3.
Figure 2.6 L'ensemble G2 issu du graphe G de la gure2.3. On choisit y, une des feuilles
de G2.
Soit y 6= y0 une feuille de G2 (voir la gure2.6). On note par G0 la composante de Gy qui
contient y0 et soit G1, . . . , Gples autres composantes de G(y). Posons ek, 0 ≤ k ≤ p, les arêtes
de Gk qui sont incidentes à y. Puisque y est une feuille de G2, les arêtes e1, . . . , ep sont de
type 1. Alors l(Gx) ≤ l pour x ∈ ek, 1 ≤ k ≤ p ce qui implique que
l(Gk) = lim ek3x→y
l(Gx) ≤ l (2.3)
Également, e0 est une arête de type 2 ce qui implique
l(G0) = lim e03x→y
Figure 2.7 Les composantes de G(y) = G1t G2t G3t G0 issues du choix du point y à la
gure 2.6. Ici l(G1) = l(G2) = l(G3) = 1 < 3 = l.
Nous somme prêts à montrer le lemme 11.
Démonstration du lemme 11. Appliquons le lemme12en prenant l = l(G)/j. On trouve donc un point x1 ∈ Gtel que G(x1) = G1t G∗1 où G1 est un arbre connexe d'une longueur qui ne
dépasse pas l(G) − l j = l(G)(j − 1) j . Aussi, G∗
1 est une collection d'arbres connexes dont chaque composante est de longueur au
plus l(G)/j. De la même manière, appliquons le lemme 12 à G1. On trouve x2 ∈ G1 tel que
G1(x2) = G2t G∗2, où G2 est un arbre connexe d'une longueur qui ne dépasse pas
l(G)(j − 2)
j ,
et chaque composante de G∗
2 est de longueur au plus l(G)/j. On continue ainsi et après une
(j − 1)e application du lemme12 nous obtenons Gj−2(xj−1) = Gj−1t G∗j−1
l(Gj−1) ≤
l(G)(j − (j − 1))
j =
l j et où la longueur de chaque composante de G∗
j−1 est au plus l/j. Alors l'ensemble des
compo-santes de G(x1, x2, . . . , xj−1)ont une longueur qui ne dépasse pas l(G)/j.
2.2 Inégalités de type Poincaré
Voici une inégalité de type Poincaré qui nous sera nécessaire pour démontrer le théorème 8. Pour un graphe quantique G et y ∈ G un point de G, on note par H1
y(G) := {f ∈ H1(G) :
Lemme 13. Si G est un graphe métrique et y ∈ G un point de G. Alors Z G |φ0|2dx ≥ π 2 4l(G)2 Z G |φ|2dx, (2.4)
pour toute fonction φ ∈ H1
y(G). De plus, pour une fonction φ ∈ Hy1(G)non-nulle, on a égalité
dans l'équation (2.4) si et seulement si le graphe G est un segment, que y est un de ses sommets et φ est proportionnelle à sin(πs/2l(G)) où s est la distance à y.
La démonstration de ce lemme est di cile. Voici une version plus simple : Lemme 14. Soit G un graphe métrique et y ∈ G un point de G. Alors
Z G |φ0(x)|2 dx ≥ 1 l(G)2 Z G |φ(x)|2 dx, (2.5) pour toute φ ∈ H1 y(G).
Démonstration. Soit x 6= y un point du graphe, alors en intégrant sur le plus court chemin reliant x à y on a
φ(x) = Z x
y
φ0(t) dt,
puisque φ(y) = 0. En appliquant l'inégalité de Cauchy-Schwarz on obtient
φ(x) = (d(x,y))1/2 Z x y φ0(t)2 dt 1/2 ≤ l(G)1/2 Z x y φ0(t)2 dt 1/2 . Alors φ(x)2≤ l(G) Z x y φ0(t)2 dt, et donc |φ(x)|2 ≤ l(G) Z x y φ0(t)2 dt ≤ l(G) Z x y |φ0(t)|2 dt. On en conclut donc que
Z G |φ(x)|2 dx ≤ Z G l(G) Z x y |φ0(t)|2 dt dx ≤ l(G) Z G Z G |φ0(t)|2 dt dx = l(G)2 Z G |φ0(t)|2 dt.
Pour démontrer le lemme 13, nous avons besoin du théorème de Sard [15]. Le théorème dit la chose suivante : pour une fonction f : Rn ⊃ U → Rm, où U est un ensemble ouvert, telle
que f une fonction in niment dérivable sur U, alors l'ensemble des points critiques de f, c'est à dire les points x ∈ U tels que la matrice jacobienne de f est de rang inférieur à m, est de mesure nulle dans Rn. La démonstration de ce théorème est di cile pour le cas général, mais
nous avons besoin uniquement du résultat dans le cas unidimensionnel. Nous donnons donc une preuve de ce résultat pour le cas qui nous intéresse.
Théorème 9 (Sard). Soit I ⊂ R et f : I → R telle que f ∈ C1(I). Posons
C := {x ∈ I : f0(x) = 0}, (2.6)
l'ensemble des points critiques de f. Alors |f(C)| = 0, où f(C) est l'ensemble des valeurs critiques de f.
Démonstration. Fixons > 0. Posons C := {x ∈ I : |f0(x)| < }. Puisqu'il s'agit d'un
ensemble ouvert il existe des intervalles disjoints In,n ≥ 1, tels que
C = ∞
[
n=1
In (2.7)
Prenons un tel intervalle Ij et supposons Ij = (a,b). La fonction f étant continue et dérivable
sur [a,b], par le théorème des accroissement nis on a f (b) − f (a)
b − a = f
0(c), (2.8)
pour un certain c ∈ (a,b). Or c ∈ C, on a donc
|f (b) − f (a)| < |b − a|. (2.9)
Remarquons que si l'on remplace a et b dans (2.9) par n'importe quelle paire de points l'in-égalité reste vraie. Alors
|f (In)| < |In| (2.10)
ce qui implique |f(C)| < |C|. Il est clair que C ⊆ C et puisque est aussi petit que l'on
veut, on a le résultat.
En plus du théorème de Sard, nous aurons besoin des deux lemmes suivants pour montrer le lemme 13.
Lemme 15. Soit G le graphe quantique constitué d'un segment [0,l(G)] tel qu'au sommet 0 la condition de Dirichlet est véri ée et celle de Neumann au sommet l(G). Alors la pre-mière valeur propre non-nulle du graphe est π2
4l(G)2 associée à la fonction propre φ2(x) =
