Supposons que l'on soit dans le cas d'une égalité dans le théorème8. Commencons par supposer également que G est un arbre. Soit x1, . . . , xm, où m ≤ j − 1 des points de G qui satisfont
le lemme 11. On sait qu'il existe une combinaison de linéaire non-triviale Φ de φ1, . . . ,φj qui
s'annule aux points x1, . . . xm. Notons les composantes de G(x1, . . . , xm)par G1, . . . , Gp. Pour
tout Gk, 1 ≤ k ≤ p, tel que Φ n'est pas identiquement nulle sur Gk on a :
Z Gk |Φ0|2dx ≤ λ j Z Gk |Φ|2dx = π2j2 4l(G)2 Z Gk |Φ|2dx. (2.31)
De plus par le lemme 13appliqué à Gk on a :
Z Gk |Φ0|2dx ≥ π 2j2 4l(G)2 Z Gk |Φ|2dx. (2.32)
En combinant (2.31) et (2.32) on a donc égalité. Ceci implique par le lemme 13 que Gk est
un segment de longueur l(G)/j ayant un sommet qui est l'un des points x1, . . . ,xm. On sait
également par le lemme 13que Φ restreinte à Gkest proportionnelle à sin(πjs/2l(G)) où s est
la distance du sommet où Φ s'annule. La fonction Φ ne s'annule pas sur l'autre sommet de Gk
ce qui implique que ce dernier est une feuille de G puisque Gk est une composante connexe
de G(x1, . . . , xm).
La di culté ici vient du fait que Φ peut être identiquement nulle sur une ou plusieurs com- posantes de G(x1, . . . , xm). Nous procédons par récurrence sur j. Si j = 2, alors m ≤ 1, nous
n'avons qu'à choisir un seul point x1 pour satisfaire la conclusion du lemme11. La fonction Φ
n'est pas identiquement nulle sur au moins deux des composantes de G(x1). En eet supposons
le contraire et Φ est identiquement nulle sur toutes le composantes de G(x1)sauf une. Toutes
le composantes de G(x1) ont x1 comme point commun. La composante sur laquelle Φ n'est
pas nulle, notons la G1, est donc un segment de longueur l(G)/2 et Φ est proportionnelle à
sin(πs/2l(G1)) = sin(πs/l(G)) restreinte à G1, où s est la distance à x1. Remarquons que la
dérivée de Φ|G1 est proportionnelle à
π l(G)cos πs l(G) , (2.33)
et donc la valeur de la dérivée de Φ en x1 prise dans le sens de G1 vers le point x1 est
proportionnelle à π/l(G). Ainsi si Φ est identiquement nulle sur toutes le autres composantes de G(x1), la condition de Neumann n'est pas respectée en x1. Alors les composantes de G(x1)
où Φ n'est pas nulle sont de longueur l(G)/2. Alors G(x1) est composée d'exactement deux
composantes. Ceci implique donc que G est composé de deux segments de longueur l(G)/2 ayant x1 comme point commun. Donc G est un segment et x1 son point milieu.
Maintenant supposons j ≥ 3 et que le graphe Hj−1 minimise λj−1(G) . Notons par G1 une
sans perdre de généralité que x1 est une des feuilles de G1. Alors comme vu précédemment
G1 est un segment de longueur l(G)/j ayant pour sommet x1 et l'une des feuilles de G. Alors
G0 = G \ G1 est un arbre connexe et x1 est l'une de ses feuilles. On a l(G0) = (j − 1)l(G)/j.
Notons par L l'ensemble suivant :
L := ( Ψ = j X n=1 cnφn: Ψ(x1) = 0 ) , (2.34)
l'ensemble des combinaisons linéaires de φ1, . . . , φjqui s'annule en x1. Rappelons que φ1(x) = c
où c est une constante. Alors les fonctions φ1, . . . , φj ne sont pas toutes nulles en x1. Posons
H l'ensemble de toutes les combinaisons linéaires de φ1, . . . , φj. Considérons l'application sui-
vante :
T :H → C ϕ 7→ ϕ(x1).
Il est clair que dim(H) = j est que dim(Im(T )) = 1. Par le théorème du rang on a
dim(ker(ϕ)) = dim(L) = j − 1. (2.35)
Une fonction Ψ ∈ L non-nulle ne peut pas être identiquement nulle sur G0. En eet supposons
le contraire. Puisque pour toute ψ ∈ L Z G |ψ0|2dx ≤ π2j2 4l(G)2 Z G |ψ|2dx, (2.36) et comme ψ ≡ 0 sur G0 et l(G 1) = l(G)/j, on en conclut que Z G1 |ψ0|2dx ≤ π2 4l(G1)2 Z G1 |ψ|2dx. (2.37)
En appliquant le lemme 13 à G1 on remarque l'inégalité (2.37) est en fait une égalité. La
fonction ψ|G1 est donc proportionnelle à sin(πs/2l(G1)) ce qui implique que la condition de
Neumann ne peut pas être respectée en x1.
Notons par L0 les fonctions de L restreinte à G0. Par (2.35), on remarque que
dim L0 = j − 1. (2.38)
Par le lemme 13on a pour toute ψ ∈ L Z G1 |ψ0|2dx ≥ π2j2 4l(G)2 Z G1 |ψ|2dx. (2.39)
En combinant les inégalités (2.36) et (2.39) on obtient Z G0 |ψ0|2dx ≤ π 2j2 4l(G)2 Z G0 |ψ|2dx = π 2(j − 1)2 4l(G0)2 Z G0 |ψ|2dx. (2.40)
Avec (2.38), (2.40) et le théorème5, on en conclut que λj−1(G0) ≤ π
2(j−1)2
4l(G0)2 . Par notre hypothèse
de récurrence, c'est le graphe Hj−1qui minimise la valeur propre λj−1, ceci implique donc que
G0 = Hj−1. Notons par v le sommet central de G0 = Hj−1. Il reste à voir de quelle manière
G1 est relié au graphe G0. Il y a trois possibilités :
(1) x1 = v;
(2) x1 est situé sur une arrête e = (v,u) de G0;
(3) x1 coïncide avec une feuille u de G0.
Dans le premier cas G = Hj donc si nous éliminons les deux autres possibilités, on aura montré
que si G est un arbre qui minimise λj alors forcément G = Hj.
Dans le deuxième cas, posons G00 = G0 \ (x
1,u]. Remarquons que l((x1,u]) ≤ l(G)/j =
l(G0)/(j − 1). Par le lemme13 on a Z (x1,u) |ψ0|2dx ≥ π 2(j − 1)2 4l(G0)2 Z (x1,u) |ψ|2dx, (2.41)
pour tout fonction ψ ∈ L0, ce qui implique
Z G00 |ψ0|2dx ≤ π 2(j − 1)2 4l(G0)2 Z G00 |ψ|2dx. (2.42)
Les fonctions ψ ∈ L0 ne peuvent pas être identiquement nulles sur G00 car sinon on aurait une
égalité stricte dans (2.42), ce qui contredirait l'inégalité (2.40). Puisque l'inégalité (2.41) est vraie pour toutes les fonctions d'un sous-espace de dimension j − 1 de H1(G00) on en conclut
par le théorème 5 que :
λj−1(G00) ≤
π2(j − 1)2 4l(G0)2 <
π2(j − 1)2
4l(G00)2 . (2.43)
Cette dernière égalité entre en contradiction avec le théorème 8.
Dans le troisième cas, le graphe G est un graphe étoile à (j − 1) branches. On a (j − 2) arêtes e1, . . . , ej−2 de longueur l(G)/j et une arête f de longueur 2l(G)/j. On paramétrise les arêtes
en partant des feuilles vers le sommet central v. Une fonction propre de G d'une valeur propre λ = k2 est de la forme apcos(kx) sur les arêtes ep et de la forme b cos(kx) sur l'arête f. Les
conditions de Neumann au sommet central nous donne :
a1cos(kl(G)/j) = · · · = aj−2cos(kl(G)/j) = b cos(2kl(G)/j) (2.44)
(a1+ · · · + aj−2) sin(kl(G)/j) + b sin(2kl(G)/j = 0 (2.45)
Nous allons compter le nombre de valeurs propres inférieures ou égales à π2j2
4l(G)2. Il y a toujours
(2.45) impliquent que a1 + · · · + aj−2 = 0 et b = 0. Ceci donne lieu à la famille de valeurs
propres suivante :
λn=
π2j2n2
4l(G)2 (2.46)
où chaque λn est de multiplicité (j − 3). On a donc une valeur propre égale à π
2j2
4l(G)2 de
multiplicité (j − 3), les autres valeurs propres sont strictement supérieures à π2j2
4l(G)2.
Si sin(kl(G)/j) = 0 alors k = nπ, pour n = 0,1,2,.... On obtient des valeurs propres égales à
λn=
π2j2n2 l(G)2 >
π2j2
4l(G)2. (2.47)
La dernière égalité est vraie pour tout n ≥ 1, donc toutes ces valeurs propres sont supérieures à π2j2
4l(G)2.
Dans le cas où cos(kl(G)/j) 6= 0 et sin(kl(G)/j) 6= 0, les équations (2.44) et (2.45) impliquent a1 = · · · = aj−2= a. Alors en utilisant cos(2x) = 2 cos2(x) − 1, l'équation (2.44) devient
a cos(kl(G)/j) = b(2 cos2(kl(G)/j) − 1). (2.48) En utilisant sin(2x) = 2 cos(x) sin(x) l'équation (2.45) devient
a(j − 2) sin(kl(G)/j) + 2b sin(kl(G)/j) cos(kl(G)/j) = 0. (2.49) En isolant b dans (2.49) on a b = a(j − 2)/(2 cos(kl(G)/j). Ainsi l'équation (2.48) devient :
cos2(kl(G)/j) = j − 2
2(j − 1). (2.50)
Alors cos(2kl(G)/j) = −1/(j −1). Ceci implique nalement qu'il y a une valeur propre égale à arccos2(−1/(j − 1))j2/(4l(G)2)de multiplicité 1 inférieure à 4l(G)π2j22. Les autres valeurs propres
sont supérieures à π2j2
4l(G)2.
En conclusion, pour le cas où x1 coïncide avec une feuille de G0 = Hj−1, il y a exactement
(j − 1) valeurs propres qui sont inférieures ou égales à 4l(G)π2j22, donc pour un tel graphe une
égalité dans le théorème 8n'est pas possible.
On a donc montré que si G est un arbre pour lequel on a égalité dans le théorème, alors G = Hj. Supposons maintenant que G est un graphe qui n'est pas un arbre tel que l'égalité
est satisfaite dans le théorème 8. Alors, comme on a vu précédemment, il est possible de choisir des points x1, . . . , xm de sorte que G0 = G(x1, . . . , xm) est un arbre. De plus, on sait
que λj(G0) ≤ λj(G). Donc si λj(G) = π
2j2
4l(G)2 on a également λj(G0) = π
2j2
4l(G0)2, sinon cela
contredirais le théorème 8. Ceci implique aussi que G0 = H
j, puisque l'on vient de montrer
que si G est un arbre qui minimise λj(G), alors G = Hj. Ainsi, pour n'importe quel choix de
points x1, . . . , xm qui font de G(x1, . . . , xm)un arbre on a G0 = Hj et il est clair que ceci est
Chapitre 3
Autres inégalités isopérimétriques
Dans ce dernier chapitre nous présentons d'autres inégalités de type isopérimétriques et nous voyons également que certaines sont impossibles à obtenir.
3.1 Une borne supérieure en termes de la longueur
Contrairement au théorème 8 où on donne un borne inférieure pour chaque valeur propre uniquement en termes de la longueur du graphe G, il est impossible de donner une borne supérieure de chaque valeur propre uniquement en termes de la longueur du graphe.
Proposition 5. Il existe (Gn)n≥1une suite de graphes quantiques tels que tous leurs sommets
sont de type Neumann et qui véri e
λ2(Gn) → ∞,lorsque n → ∞, (3.1)
où l(Gn) = l > 0, pour tout n ≥ 1.
Démonstration. Par l'exemple2du premier chapitre de ce document, la première valeur propre non-nulle du graphe étoile équilatéral Hn de longueur l, est
λ2(G) =
π2n2
4l2 . (3.2)
On peut considérer une suite de graphes Hn qui sont tous de longueur l mais qui ont un
nombres d'arêtes aussi grand que l'on souhaite. Ceci implique donc que λ2(Hn) =
π2n2
4l2 → ∞, (3.3)
lorsque n → ∞.
Cependant, Ariturk en 2016 [2] donne une borne supérieure pour chaque valeur propre d'un graphe quantique avec des sommets de type Neumann en terme de la longueur du graphe, son
nombre de Betti et son nombre de sommets de degré 1. Le nombre de Betti β(G) d'un graphe Gest dé nit par β(G) := E − V + 1. Si G est un arbre, alors son nombre de Betti est zéro. En eet un arbre G qui a n sommets possède donc n − 1 arêtes et donc β(G) = n − 1 − n + 1 = 0. En général, β(G) donne le nombre d'arêtes qu'il faudrait enlever pour faire de G un arbre (voir la dé nition 1.1.1 dans [7] pour plus de détails).
Théorème 10 (Théorème 1.2 dans [2]). Soit G un graphe ni connexe, tels que tout ses sommets sont de type Neumann, qui possède au moins une arête. Soit ρ(G) le nombre de sommets de degré 1 de G, alors pour tout j ≥ 2
λj(G) ≤ j − 2 + 2β(G) +ρ(G) 2 2 π2 l(G)2. (3.4)
Exemple 4. Examinons ce que signi e cette inégalité dans le cas d'un segment, un graphe étoile et un graphe cycle avec des sommets qui sont de type Neumann. Les valeurs propres de ces graphes on déjà été calculées dans les exemple1,2et3 du chapitre 1 de ce document. Les valeurs propres d'un segment de longueur l(G) sont :
λj =
π2(j − 1)2
l(G)2 , j = 1,2 . . . . (3.5)
Son nombre de Betti vaut zéro et il a deux sommets de degré 1. Alors le théorème 10donne λj(G) ≤
π2(j − 1)2
l(G)2 (3.6)
et donc la borne est atteinte pour le segment.
Si G = Hn le graphe étoile équilatéral à n branches de longueur l(G), alors son nombre de
Betti est zéro puisque c'est un arbre et il a n sommets de degré 1. Ses n − 1 premières valeurs propres non-nulles sont :
λ2(Hn) = λn(Hn) = π2n2 4l(G)2. (3.7) Le théorème 10donne λj(Hn) ≤ j − 2 +n 2 2 π2 l(Hn)2 . (3.8)
Pour j = 2, le théorème 10 donne λ2(Hn) ≤ π
2n2
4l(Hn)2 = λ2(Hn) = λn(Hn). Alors pour j =
3, . . . , n la borne n'est pas atteinte. Si G est un cycle, on sait que
λ2j(G) = λ2j+1(G) =
4π2j2
l(G)2. (3.9)
Le nombre de Betti de ce graphe est 1 et G ne possède pas de sommet de degré 1. Par le théorème 10 on a
λ2j(G) ≤
4j2π2
et
λ2j+1(G) ≤
(2j + 1)2π2
l(G)2 . (3.11)
Alors pour les valeurs propres d'indices paires, la borne est atteinte mais pas pour les valeurs propres d'indices impaires.
En 2017, Berkolaiko et ses collaborateurs [6] ra nent la borne trouvée par Friedlander. Théorème 11 (Théorème 4.7 dans [6]). Soit G un graphe quantique avec des sommets de type Neumann ou Dirichlet. Soit ρN(G) ≥ 0son nombre de sommets de degré 1 de type Neumann.
Supposons également que G n'est pas un cycle. Alors pour j ≥ 2 λj(G) ≥ j −ρN(G) + β(G) 2 2 π2 l(G)2, si j ≥ ρN(G) + β(G), (3.12) λj ≥ j2π2 4l(G)2 sinon. (3.13)
Remarque 13. Il est clair que ce résultat améliore la borne du théorème de Friedlander pour les j ≥ ρn(G) + β(G). Cette inégalité à l'avantage aussi d'être asymptotiquement optimale
contrairement à celle du théorème de Friedlander. En eet on rapelle que par le corollaire 1
on a
λj(G) ∼
π2j2
l(G)2. (3.14)
En efet, la borne trouvé par les auteurs du théorème 11tend vers π2j2
l(G)2 lorsque j → ∞.
Exemple 5. Examinons ce que signi e cette dernière inégalité pour un graphe segment, un graphe étoile équilatéral et un graphe cycle, tous avec des sommets de type Neumann. Pour le cas où G est le graphe segment, ρN(G) = 2, β(G) = 0. Alors le théorème11 donne
λj(G) ≥
(j − 1)2π2
l(G)2 , (3.15)
Si G = Hn, alors ρN(G) = net β(Hn) = 0. Dans le cas du théorème 11 on retrouve la borne
de Friedlander pour j ≤ n − 1 mais pour j ≥ n, on a λj(Hn) ≥ j −n 2 2 π2 l(Hn)2 . (3.16)
On remarque que pour λn(Hn)la borne est atteinte mais ne l'est pas pour j = 2, . . . , n − 1.
Supposons à présent que G est un graphe cycle. Alors le théorème 11 donne λj(G) ≥ j −1 2 2 π2 l(G)2. (3.17)
On remarque que pour les valeurs propres d'indice impairs, 4π2j2 l(G)2 = λ2j(G) ≥ 2j + 1 2 2 π2 l(G)2, (3.18)
Les mêmes auteurs du théorème précédent trouvent également une meilleure borne que celle trouvée par Ariturk dans [2].
Théorème 12 (Théorème 4.9 dans [6]). Soit G un graphe où les sommets de degré 1 sont de type Neumann ou de type Dirichlet et le reste des sommets sont de type Neumann. Si on note ρD(G)et ρN(G)le nombre de sommets de degré 1 qui sont de type Dirichlet et Neumann
respectivement, alors pour tout j ≥ 2 on a
λj(G) ≤ j − 2 + β(G) + ρD(G) + ρN(G) + β(G) 2 2 π2 l(G)2. (3.19)
Exemple 6. Considérons les mêmes graphes qu'à l'exemple précédent. Si G est un segment le théorème 12 nous donne :
λj(G) ≤
(j − 1)2π2
l(G)2 . (3.20)
La borne est donc atteinte si G est un segment. Si G = Hn, on obtient par le théorème 12 :
λj(Hn) ≤
(j − 2 + n/2)2π2 l(Hn)2