IUT Rodez Ann´ee universitaire 2008/2009
Informatique 1◦ann´ee TD de math´ematiques n◦25
TD n
◦25
. Applications lin´
eaires II.
Exercice 1 Soient f : R3 −→ R3 (x, y, z) 7−→ (2x − z, −x + 3y + z, z) et les vecteurs de R3 d´efinis par − →e 1 = (1, 0, 0), −→e2 = (0, 1, 0), −→e3 = (0, 0, 1). − →v 1 = (1, 0, 1), −→v2 = (1, 1, 0), −→v3 = (0, 1, 0).
(La famille B = {−→e1, −→e2, −→e3} est donc la base canonique de R 3
). 1. Calculer f (−→0 ), f (1, 1, 1), f (1, 0, −1).
2. Montrer que f est une application lin´eaire. 3. Image de la base canonique.
(a) Calculer les images de −→e1, −→e2 et −→e3 par f .
(b) En d´eduire la matrice de f dans la base canonique.
(Rappel : la matrice de f dans une base donn´ee est la matrice donn´ee par f(−→e1) f(−→e2) f(−→e3) ↓ ↓ ↓ MB(f ) = a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3 − →e 1 − →e 2 − →e 3
4. Une base plus adapt´ee.
(a) Montrer que la famille B2 = {−→v1, −→v2, −→v3} est une base de R 3
. (b) Calculer les images de −→v1, −→v2 et −→v3 par f .
(c) En d´eduire la matrice de f dans la base B2.
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Exercice 2 Soient f l’application f : R3 −→ R3 (x, y, z) 7−→ (x + 2y − z, y + z, x + y − 2z) et les vecteurs de R3 d´efinis par − →e 1 = (1, 0, 0), −→e2 = (0, 1, 0), −→e3 = (0, 0, 1). 1. Calculer f (−→0 ), f (−→e1), f (−→e2) et f (−→e3).
2. D´eterminer la matrice de f dans la base canonique de R3
. 3. On appelle Noyau de f l’ensemble des vecteurs de R3
qui sont envoy´es sur le vecteur nul. On note cet ensemble Ker(f ) :
Ker(f ) = {(x, y, z) ∈ R3
, f(x, y, z) = (0, 0, 0)}. (a) Montrer que le noyau de f est un SEV de R3
. (On pourra repr´esenter les vecteurs de Ker(f ) comme les solutions d’un syst`eme lin´eaire dont le second membre est nul).
(b) On note −→v = (3, −1, 1).
i. Calculer f (−→v ), f (2−→v ), f (−−→v).
ii. Montrer que l’ensemble des vecteurs colin´eaires `a −→v est un vecteur de Ker(f ).
(c) Donner la dimension de Ker(f ), ainsi qu’une base.
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