Cycles limites de certains systèmes de Liénard généralisés dépendant d'un petit paramètre

généralisés dépendant d'un petit paramètre

devant le jury

PRSEDENT SISSAOUI Hocine Pr. U.B.M Annaba

EXAMINATEUR KESSI Arezki Pr. USTHB. Alger

EXAINATEUR LAKRIB Mustapha Pr. U. Sidi Bel Abbès

Résumé

On considère le problème de la recherche des cycles limites de certaines équa-tions diérentielles ordinaires dépendant d'un petit paramètre. Plus précisé-ment, nous appliquons la méthode de moyennisation du premier et second ordre à une classe d'équations diérentielles polynomiales de Liénard généra-lisées dépendant d'un petit paramètre. Notre résultat montre que pour tout n, m ≥ 1 et p ∈ N, il existe des équations diérentielles de la forme

¨

x + f (x) ˙x2p+1+ g(x) = 0,

où f et g sont des polynômes de degré n et m respectivement, ayant au moins max{[n/2], [(n − 1)/2] + [m/2]} cycles limites. [.] désigne la fonction partie entière.

De même en utilisant la théorie de moyennisation nous avons étudié les solu-tions périodiques de l'équation diérentielle du quatrième ordre

...._{x + (1 + p}2

)¨x + p2x = F (t, x, ˙x, ¨x,...x ),

où p est un rationnel diérent de −1, 0, 1,  est un petit paramètre réel et F est une fonction non-autonome périodique par rapport à t.

Mots clés : Équation de Liénard, cycle limite, solution périodique, équation diérentielle du quatrième ordre, théorie de moyennisation.

We apply the averaging theory of rst and second order to a class of the generalized polynomial Liénard dierential equations depending on a small parameter. Our main result shows that for any n, m ≥ 1 there are dierential equations of the form

¨

x + f (x) ˙x2p+1+ g(x) = 0,

with p ∈ N, f and g are polynomials of degree n and m respectively, having at least max{[n/2], [(n − 1)/2] + [m/2]} limit cycles. [.] denotes the integer part function.

Using averaging theory, we provide sucient conditions for the existence of periodic solutions of the fourth-order dierential equation

...._{x + (1 + p}2_{)¨x + p}2_{x = F (t, x, ˙x, ¨x,}..._{x ),}

where p = p1/p2 with p1, p2 ∈ N and p is dierent from −1, 0, 1.  is a small

real parameter, and F is a non-autonomous periodic function with respect to t. Keywords : Liénard equation, limit cycle, periodic orbit, fourth-order dierential equation, averaging theory.

Remerciements

Je remercie tout d'abord mon encadreur Amar Makhlouf, professeur à l'université d'Annaba de m'avoir guidé avec autant d'écoute vers un sujet de recherche qui corresponde à mes attentes. La conance qu'il m'a accordée ainsi que sa bienveillance m'ont permit d'initier et mener mes travaux de recherche plus sereinement.

Je remercie vivement le professeur H. Sissaoui pour avoir accepté de présider le jury.

Mes remercie vont également aux professeurs Mustapha Lakrib et Arezki Kessi sans oublier Abd El Hamid Laouar pour l'honneur qu'ils m'ont fait en acceptant de faire partie du jury.

Enn, merci a mes parents qui m'ont toujours encouragé et soutenu sous toutes formes et ont toujours cru en ma volonté de réussir.

Table des matières

Introduction générale . . . 2

I Notions préliminaires 10 I.1 Systèmes dynamiques, points d'équilibre . . . 11

I.2 Classication des points d'équilibre . . . 12

I.3 Portrait de phase et cycles limites . . . 13

I.4 Intégrabilité des systèmes diérentiels . . . 14

II Méthode de G/N 16 II.1 Présentation de l'algorithme de G/N . . . 17

II.1.1 Algorithme appliqué sur le système de Van-der Pol . . 18

II.1.2 Lien entre les racines de Rn(x)et les trajectoires pério-diques . . . 19

II.1.3 Quelques exemples . . . 22

II.2 Méthodes de Melnikov et de relaxation . . . 25

II.3 Amélioration de l'algorithme de G/N . . . 28

II.3.1 Comparaison entre Rn(x) et ˆRn(a) . . . 29

II.4 Exemples sur des fonctions non polynomiales . . . 30

III Cycles limites des systèmes polynomiaux de Liénard généra-lisés 37 III.1 Théorie de moyennisation . . . 38

III.1.1 Méthode de moyennisation du premier ordre . . . 40

III.1.2 Méthode de moyennisation du second ordre . . . 42

III.2 Nombre maximum de cycles limites par la méthode de moyen-nisation . . . 44

III.2.1 Théorème III.4 . . . 46

III.3 Démonstration du théorème III.4 . . . 46

III.3.1 Démonstration de la partie (a) du théorème III.4 . . . 46

Table des matières IV Solutions périodiques d'une classe d'équations diérentielles

du quatrième ordre 55

IV.1 Autres théorèmes de moyennisation . . . 56

IV.2 Recherche des solutions périodiques de l'équation (IV.1.7) . . . 58

IV.2.1 Théorème IV.3 . . . 58

IV.2.2 Preuve du Théorème IV.3 . . . 59

IV.3 Applications du théorème IV.3 . . . 62

IV.3.1 Corollaire 1 . . . 62

IV.3.2 Corollaire 2 . . . 63

Conclusion et perspectives 65

Annexes 66

Introduction générale

Quand Henri Poincaré a commencé à s'intéresser aux équations diéren-tielles, il a introduit trois changements majeurs dans la façon d'étudier les équations diérentielles. Il décide d'étudier la solution de manière globale, c'est à dire l'espace des phases dans son ensemble. Il abandonne la variable complexe et étudie dés lors des fonctions réelles à variables réelles.Il géomé-trise le problème. Poincaré compris le caractère utopique de vouloir calculer une approximation du comportement asymptotique de la solution et décida d'étudier en premier lieu le comportement qualitatif des solutions avant de les calculer de manière numérique. Il justia même cette orientation en ar-guant que parfois l'étude qualitative seule surait pour comprendre certains problèmes. Le qualitatif lui t prendre une orientation géométrique et il se mit à étudier les courbes dénies par les solutions des équations diérentielles plutôt que les fonctions solutions elle même.

Liapunov (1907) fut le premier mathématicien russe à suivre les traces de Poincaré. Il étudia la stabilité du mouvement en utilisant une fonction de force qu'il note V (x, y). Il établi une technique pour déterminer la stabilité d'un point d'équilibre. Grâce à cette technique, on peut tester la stabilité d'une solution sans connaitre l'expression analytique des solutions. La fonc-tion qu'il a introduite est maintenant appelée foncfonc-tion de Liapunov.

En général par système dynamique, on sous entend tout système qui évolue au cours du temps. Cette évolution est décrite par des équations diérentielles ou des applications. L'étude des systèmes dynamiques traite donc l'évolution temporelle des systèmes physiques, économiques, chimiques...etc

Un cycles limite d'un système dynamique est une orbite périodique isolée. Un système dynamique qui possède un cycle limite quelques soient les conditions initiales ne peut être linéaire. Car s'il était linéaire, toute solution x(t) indui-rait par principe de superposition que la fonction αx(t), (α ∈ R) soit aussi solution. Ainsi il y aurait une bande continue de trajectoires périodiques dans l'espace des phases. Pour avoir des trajectoires périodiques isolées dans l'es-pace des phases, il faut donc que le système soit non linéaire.

Introduction générale Avec l'avènement de l'ordinateur, on peut s'attaquer à la deuxième partie du plan de Poincaré quand à la résolution des équations diérentielles : le calcul numérique. Mais il faut faire attention aux limites du calcul numérique. Le calcul numérique vient après l'étude qualitative des solutions. Car la précision de l'ordinateur est limitée et les algorithmes utilisés ne fournissent que des ap-proximations aux solutions sur des intervalles de temps bornés. L'utilisation de l'ordinateur seul peut induire en erreur : par exemple, l'algorithme d'Euler appliqué à la résolution numérique du système linéaire simple :

( ˙x = y, ˙ y = −x

fournit des approximations des trajectoires du type foyer instable alors que les trajectoires réelles du système sont des orbites périodiques non-isolées (centre).

L'étude qualitative, surtout pour les systèmes non-linéaires, reste donc un préalable nécessaire à l'étude complète de leurs solutions. L'étude numérique permet d'aner les résultats qualitatifs.

Le mathématicien David Hilbert présenta, lors du deuxième congrès inter-national de mathématiques (été 1900), 23 problèmes "dont l'avenir attend la résolution grâce aux nouvelles méthodes qui seront découvertes dans le siècle qui commence". Le problème numéro 16 est de déterminer le nombre maximal et la position relative des cycles limites qu'un système polynomial planaire de degré n puisse avoir. On note Hn ce nombre maximal. Dulac (1923) proposa

une démonstration assurant que Hn est ni pour tout n. Mais sa

démonstra-tion comportait une erreur. La résoludémonstra-tion de ce problème de Dulac a été faite de façon indépendante par Ilyashenko (1991) et Ecalle, Martinet & Moussu (1987)puis Ecalle (1992). Cette résolution permet de montrer que Hn< ∞.

Pe-trovsky & Landis (1957) crurent trouver la valeur de H2 mais ils s'aperçurent

d'une erreur dans leur propre démonstration (Landis & Petrovski, 1967) avant que celui-ci ne soit inrmée par un contre exemple de Shi (1982) dans lequel un système quadratique a 4 cycles limites. Ainsi, si Hn est un nombre ni

pour tout n, la seule chose que l'on sache est que H2 ≥ 4et H3 ≥ 11 (Jibin &

Chunfu, 1985 ; Zoladek, 1995). Christopher & lLOYD (1995) ont donné une borne inférieur au nombre Hn : Hn≥ n2log(n).

Steve Smale, à l'occasion du soixantième anniversaire d'Arnold, a exposé 18 problèmes. Ici l'accent est mis sur une classe particulière des systèmes pla-naires : Les systèmes de Liénard. Devant la diculté du problème général, les mathématiciens s'orientent dans deux directions diérentes :

 Étudier les systèmes quadratiques et démontrer que H2 = 4.

 Étudier une sous-classe des systèmes planaires, par exemple les systèmes de Liénard.

De nombreux livres sont consacrés à l'étude des cycles limites. Parmi eux, celui de Yanqian [59].

L'équation de Liénard polynomiale s'écrit ¨

x + f (x) ˙x + g(x) = 0, (1)

où f(x) et g(x) sont des polynômes. Cette équation peut se transformer en un système de deux équations du premier ordre en posant dx/dt = z

( ˙x = z,

˙z = −g(x) − f (x)z. (2)

Le système (2) est équivalent au système (3), obtenu en posant z = y − F (x), où F (x) = Rx 0 f (s)ds ( ˙x = y − F (x), ˙ y = −g(x). (3)

où F (x) et g(x) sont deux polynômes de degré m et n respectivement. Ce système est très intéressant pour étudier les cycles limites des systèmes pla-naires, notamment pour montrer l'existence et l'unicité des cycles limites. On note H(m, n) le nombre maximal de cycles limites qui peuvent exister si-multanément pour le système (3). L'histoire commence avec Liénard (1928), un ingénieur français qui établit un théorème d'existence et d'unicité d'une solution périodique pour le système portant son nom.

 Le théorème de Liénard, établit que si g(x) = x et F (x) est une fonction continue et impaire qui a une unique racine positive en x = a et qui est strictement croissante pour x ≥ a, alors le système (3) possède un unique cycle limite.

 Rychkov (1975), a prouvé que pour des polynômes F (x) impaires et de degré 5 et si g(x) = x alors (3) a au plus 2 cycles limites.

 Zhang (1981) a étendu le résultat de Rychkov (1975) à des fonctions non polynomiales : si g(x) = x; si F (x) et sa dérivée f(x) sont continues ; si f (x) est paire et a deux racines positives a1 < a2 telle que F (a1) > 0

et F (a2) < 0 et si f(x) est strictement croissante pour x > a2, alors le

Introduction générale  Lins, De Melo et Pugh (1977)dans [32] ont prouvé que si m = 3 et n = 1 alors il y a au plus un cycle limite. Ils ont de plus donné les conditions pour que ce cycle existe. Enn ils ont conjecturé que si g(x) = x, il ne pouvait y avoir plus de E(m−1

2 ) cycles limites1. Mais cette conjecture a

été prouvée qu'elle est fausse pour n ≥ 6 voir [17].

 Dumortier et Chengzhi (1997) dans [13] ont prouvé que H(2, 2) = 1.  Coppel (1998) dans [12] a prouvé que H(2, 1) = 1.

 Wang et Jing (2002) dans [58] ont prouvé que H(3, 2) = 3.

Aujourd'hui, certains chercheurs établissent l'unicité d'un cycle limites dans des classes de systèmes les plus larges possible (Coll, Gasull et Llibre, 1989). D'autres chercheurs essayent de trouver des valeurs minimales de H(m, n) en ne considérant que des cycles limites de faible amplitude qui se-raient créés par bifurcation de Hopf autour d'un point d'équilibre. Il trouvent ainsi un nombre maximum ˆH(m, n) de cycles limites locaux appelés cycles limites de faible amplitude. Blows, Lloyd et Lynch dans [2], [41] et [42] ont prouvé que

 Si g est impaire alors ˆH(m, n) =_n

2 .

 si f est paire alors ˆH(m, n) = n, quelque soit g.  Si f est impaire alors ˆH(m, 2n + 1) =m−2₂  + n.  si g(x) = x + ge(x),où ge est paire alors ˆH(2m, 2) = 2.

Christopher et Lynch (1999)dans [11], [43], [44] et [45] ont montré que  ˆH(m, 2) = 2m+1₃  ,

 ˆH(2, n) = 2n+1₃  ,

 ˆH(m, 3) = 23m+2₈  pour tout 1 < m ≤ 50.

 ˆH(4, k) = ˆH(k, 4) pour k = 6, 7, 8, 9 et ˆH(5, 6) = ˆH(6, 5).

En 1998 Gasull et Torregrosa dans [18] ont amélioré certains résultats et ont obtenu des bornes supérieures pour ˆH(7, 6), ˆH(6, 5), ˆH(7, 7)et ˆH(4, 20). En 2006 Yu et Han dans [60] ont prouvé que ˆH(m, n) = ˆH(n, m) pour n = 4, m = 10, 11, 12, 13; n = 5, m = 6, 7, 8, 9; n = 6, m = 5, 6.

Trouver la solution d'une équation diérentielle est bien plus compliqué que de résoudre le problème algébrique de trouver les racines d'un polynôme. Melnikov (1963) [47] et avant lui Pontrjagin (1934) transforment le problème

de savoir combien de cycles limites (ou plus généralement de trajectoires fermées) a un système d'équations diérentielles en un problème algébrique qui est de savoir combien de racines strictement positives a une certaine fonction. Le problème 'diérentiel' est donc transformé en un problème de trouver les racines d'une fonction dénie par une intégrale. Dans certains cas, lorsque le système non perturbé est assez simple, cette fonction sera un polynôme.

L'étude des foyers ns (ne focus) grâce a une fonction de Liapunov V (x, y) dont la dérivée temporelle s'exprimerait en fonction de la distance au foyer ( ˙V = η2r2 + η4r4 + · · ·) est aussi un essai pour transformer le problème

initial en un problème algébrique (les coecients η2p sont des polynômes

dépendants des paramètres du système d'équations diérentielles). Un autre outil pour étudier les systèmes perturbés est la méthode de moyennisation. Cette méthode est l'une des méthodes classiques qui permet de rechercher des cycles limites s'ils existent. Elle consiste à donner une relation quantitative entre les solutions d'un certain système diérentiel périodique non autonome et celles de son système diérentiel autonome moyenné.

Dans ce travail, on considère le problème de recherche des cycles limites pour un système diérentiel dont le second membre dépend d'un petit para-mètre . Une réponse à ce problème peut être donnée en utilisant la méthode de moyennisation. La moyennisation est par rapport à la variable indépen-dante et le second membre de ces systèmes est susamment petit, dépendant d'un petit paramètre . Plus précisément, on se propose d'étudier les cycles limites de la classe d'équations polynomiales de Liénard généralisée

¨

x + ˜f (x) ˙x2p+1+ ˜g(x) = 0, (4)

où premièrement, on considère ˜

f (x) = f (x) et ˜g(x) = x + g(x),

où f, g sont des polynômes de degré m et n respectivement et  est un petit paramètre ( voir chap.III). Cette équation est donc équivalente au système

suivant ₍

˙x = y, ˙

y = −x − (f (x)y2p+1_{+ g(x))} (5)

On a trouvé la borne inférieure qui est [n

2]du nombre de cycles limites H(m, n)

que peut avoir ce système. Deuxièmement, on considère

˜

Introduction générale où fi, gi sont des polynômes de degré m et n respectivement pour i = 1, 2 et

 est un petit paramètre. L'équation (4) devient (

˙x = y, ˙

y = −x − (f1(x)y2p+1+ g1(x)) − 2(f2(x)y2p+1+ g2(x))

(6) Une borne inférieure du nombre H(m, n) de ce système est donnée par max{[n

2], [

n−1 2 ] + [

m

2]}.L'équation étudiée par J. Llibre, A.C. Meureu et M.A.

Teixeira [35] est un cas particulier de notre équation (4) (le cas p = 0) . Dans [34] J. Llibre et A. Makhlouf ont étudié, en utilisant la méthode de moyennisation, les solutions périodiques de l'équation diérentielle ordinaire autonome du quatrième ordre

...._{x + (1 + p}2

)¨x + p2x = F (x, ˙x, ¨x, ¨x),

où p est un rationnel diérent de −1, 0, 1,  est un petit paramètre réel, et F est une fonction non-linéaire autonome. En utilisant un autre résultat de la méthode de moyennisation, nous avons étudié les solutions périodiques de la même équation mais dans la cas non autonome c.à.d lorsque F dépend explicitement du temps t. C'est l'objet du chapitre IV.

Le plan de cette thèse est le suivant. Un rappel sur les notions géné-rales des systèmes diérentiels est donné au chapitre I. Le chapitre II introduit l'algorithme de G/N qui permet d'avoir accès au nombre de cycles limites du système de Liénard. Nous avons donné des exemples où cet algorithme de G/N s'applique aussi à des fonctions non polynomiales. Dans le chapitre III nous utilisons la méthode de moyennisation du premier et second ordre pour chercher le nombre maximum de cycles limites du système de Liénard généralisé. Le chapitre IV contient une étude des solutions pério-diques d'une classe d'équations diérentielles non-autonomes du quatrième ordre ainsi que quelques applications.

Ces chapitres représentent des travaux publiés dans les revues suivantes :  Amel Boulfoul and Amar Makhlouf ,"The GN's method for some

cases of Liénard systems", Proceeding of the rst days on dynamical systems and dierential equations , (2007).

 Amel Boulfoul and Amar Makhlouf , "Limit cycles of the gene-ralized polynomial liénard dierential equation", Annals of Dierential Equations, P.127-131, Vol 28, Issue 2, (2012).

 Amel Boulfoul and Amar Makhlouf , "On the limit cycles for a class of fourth-order dierential equations", International Journal of Dif-ferential Equations and Applications, P.135-144, Vol 11, No 3, (2012).

Chapitre I

Notions préliminaires

Sommaire

I.1 Systèmes dynamiques, points d'équilibre . . . 11

I.2 Classication des points d'équilibre . . . 12

I.3 Portrait de phase et cycles limites . . . 13

Dans ce chapitre, nous rappelons quelques notions de base des systèmes dy-namiques, points d'équilibre, portrait de phase, cycles limites et intégrabilité des systèmes diérentiels.

I.1 Systèmes dynamiques, points d'équilibre

Dénition I.1. Un système dynamique sur Rn _{est une application :}

U : R+× Rn→ Rn dénie sur tout R+

× Rn_{, telle que :}

• U (t, x) : R+ _{→ R}n _{est continue.}

• U (0, x) = x.

• U (t + s, x) = U (t, U (s, x)) pour t, s ∈ R+_{, x ∈ R}n_.

Exemple Soit le problème de Cauchy associé à une équation diérentielle (

˙

x(t) = Ax(t)

x(0) = x0, t ∈ R+, x0 ∈ Rn

(I.1.1) où A est une matrice constante. La solution de (I.1.1) est :

x(t) = etAx0

Le système (I.1.1) engendre un système dynamique, car l'application : U : R+× Rn

→ Rn

qui à tout t ∈ R+_{, x ∈ R}n _{associe :}

U (t, x) = etAx vérie les quatre propriétés de la dénition I.1. Dénition I.2. Soit le système non linéaire

˙x = f (x) (I.1.2)

On appelle point critique ou point d'équilibre du système (I.1.2), tout point x0 ∈ Rn tel que :

Chapitre I. Notions préliminaires Dénition I.3. Considérons le système (I.1.2)

Le système ˙x = Ax où A = ∂fi ∂xj (x0)  = Df (x0), 1 ≤ i, j ≤ n et f (x0) = 0

est appelé le linéarisé de (I.1.2) en x0.

Dénition I.4. On appelle point critique hyperbolique de (I.1.2), tout point critique x0 telle que toutes les valeurs propres de A sont à partie réelles nulles.

I.2

Classication des points d'équilibre

Cas des systèmes linéaires

Considérons le système linéaire :

˙x = Ax (I.2.1)

où x = (x1, ..., xn) et A une matrice constante inversible. Soient λ1, ..., λn les

valeurs propres de A. Dénition I.5.

 Si les valeurs propres λ1, ..., λn sont réelles et du même signe, la solution

x = 0 est appelée noeud.

 Si les valeurs propres λ1, ..., λn sont réelles, non nulles et de signe

diérent, la solution x = 0 est appelée selle.

 Si les valeurs propres λ1, ..., λn sont complexes avec Im(λi) 6= 0,

i = 1, ..., n, La solution x = 0 est appelée foyer.

 Si les valeurs propres λ1, ..., λn sont complexes avec Re(λi) = 0 et

Cas des systèmes non linéaires

Considérons maintenant le système non-linéaire autonôme (I.1.2) où x = (x1, ..., xn), f = (f1, ..., fn).

Dénition I.6. Un point critique x0 de (I.1.2) est appelé puits si toutes les

valeurs propres de la matrice A = Df(x0) ont des parties réelles négatives ;

Il est appelé source si toutes les valeurs propres de la matrice A = Df(x0)

ont des parties réelles positives ; Il est appelé selle s'il est hyperbolique et si A = Df (x0) a au moins une valeur propre avec une partie réelle positive et

au moins une valeur propre avec une partie réelle négative. Dénition I.7. Deux systèmes autonômes dans le plan :

˙x = f (x) (I.2.2)

et

˙x = g(x) (I.2.3)

dénis sur deux ouverts U et V respectivement, sont topologiquement équi-valents s'il existe un homéomorphisme h : U → V tel que h transforme les orbites de (I.2.2) en celles de (I.2.3) et préserve le sens du mouvement. Théorème I.1. Si x0 est un point d'équilibre hyperbolique de (I.1.2), alors il

existe un voisinage de ce point dans lequel le système ˙x = f(x) est topologi-quement équivalent à son linéarisé ˙x = Ax.

I.3 Portrait de phase et cycles limites

Dénition I.8. Soit le système diérentiel de la forme (

˙x = P (x, y) ˙

y = Q(x, y) (I.3.1)

où P et Q sont des polynômes en x et y à coecients réels de degré d. Les solutions (x(t), y(t)) du système (I.3.1) représentent dans le plan (x, y) des courbes appelées orbites.

Les points critiques de ce système sont des solutions constantes et la gure complète des orbites de ce système ainsi que ces points critiques représentés dans le plan (x, y) s'appelle portrait de phase, et le plan (x, y) est appelé plan de phase.

Chapitre I. Notions préliminaires Dénition I.9. Une solution périodique du système (I.3.1) est une solution telle que :

∀t > 0, (x(t + T ), y(t + T )) = (x(t), y(t))pour certain T > 0.

A toute solution périodique correspond une orbite fermée dans l'espace des phases.

Dénition I.10. Un cycle limite du système (I.3.1) est une orbite fermée isolée, c'est à dire qu'on ne peut pas trouver une autre orbite fermée dans son voisinage.

Dénition I.11. Soit la gure I.1 : On a

Figure I.1 Cycle limite d'amplitudes a1, a2. a1 = xmax− x0

et

a2 = x0− xmin.

On dit que Γ est un cycle limites d'amplitudes a1, a2.

I.4 Intégrabilité des systèmes diérentiels

Soient U un ouvert du plan et (x(t), y(t)) une solution du système (I.3.1). On note

∆U_{(x,y) = {t ∈ R |(x(t), y(t)) ∈ U } .}

Dénition I.12. L'application H : U −→ R est appelée intégrale première du système sur U si elle est constante sur les courbes solutions (x(t), y(t)) du système (I.3.1) contenue dans U, i.e si

Dénition I.13. On dit que le système diérentiel (I.3.1) est intégrable sur un ouvert U du plan, s'il admet une intégrale première sur U.

Chapitre II

Méthode de G/N

Sommaire

II.1 Présentation de l'algorithme de G/N . . . 17

II.1.1 Algorithme appliqué sur le système de Van-der Pol 18 II.1.2 Lien entre les racines de Rn(x) et les trajectoires périodiques . . . 19

II.1.3 Quelques exemples . . . 22

II.2 Méthodes de Melnikov et de relaxation . . . 25

II.3 Amélioration de l'algorithme de G/N . . . 28

II.3.1 Comparaison entre Rn(x)et ˆRn(a) . . . 29

Dans ce chapitre, nous présentons la méthode de G/N (Giacomini et Neukirch [48]) pour l'étude des cycles limites des systèmes de Liénard polynomiaux. Nous présentons ensuite la méthode améliorée de G/N ainsi qu'une comparaison entre les deux méthode. En termine par présenter une application de cette méthode sur des systèmes non polynomiaux.

II.1 Présentation de l'algorithme de G/N

En fait, il faut préciser que ce chapitre reprend des parties essentielles des chapitres II et III de [48]. Considérons le système      dx dt = y − F (x), dy dt = −G(x) (II.1.1) où F (x) et G(x) sont des polynômes de degré m et n respectivement. Le problème fondamental lié au système (II.1.1) est de déterminer le nombre de solutions périodiques isolées (i.e. cycles limites) qui peuvent exister simulta-nément. On note par H(m, n) ce nombre.

On ne considèrera que les cas où F (x) et G(x) sont des polynômes impaires (donc F (0) = G(0) = 0).

Trouver une intégrale première I pour un système est un travail compliqué et la présence de cette intégrale restreint énormément les comportements pos-sibles du système. Pour cette raison, les auteurs (Giacomini et Neukirch) ons essayé de trouver des fonctions ayant une propriété moins forte que ˙I ≡ 0. L'algorithme de G/N restreint la propriété ˙I ≡ 0 en cherchant des fonctions H(x, y)telles que ˙H = f(x) pour le système (II.1.1).

Pour se convaincre de la possibilité de trouver H(x, y) telle que ˙H ≡ f(x), il sut d' eectuer le calcul : Les auteurs proposent une fonction Hn(x, y)de la

forme :

Hn(x, y) = gn,n(x)yn+ gn−1,n(x)yn−1+ gn−2,n(x)yn−2+ · · · + g1,n(x)y + g0,n(x)

(II.1.2) Grâce aux n + 1 fonctions gj,n ont fait en sorte que ˙Hn ne soit fonction que

de la variable x avec n un entier pair. Il est toujours possible de choisir les fonctions gj,n(x) telles que

˙ Hn(x, y) = d dtHn(x, y) = (y − F (x)) ∂Hn(x, y) ∂x − G(x) ∂Hn(x, y) ∂y (II.1.3)

soit une fonction de x seulement, alors on peut dénir : ˙

Chapitre II. Méthode de G/N Les fonctions gj,n(x)et Rn(x)déterminées de cette façon sont des polynômes.

Ces polynômes donnent des d'informations sur l'endroit et le nombre de cycles limites du système (II.1.1). Prenons ici un exemple :

II.1.1 Algorithme appliqué sur le système de Van-der

Pol

Considérons

F (x) = (x

3

3 − x), G(x) = x (II.1.4)

Alors le système (II.1.1) devient    ˙x = y − (x 3 3 − x), ˙ y = −x (II.1.5) Calculons la forme de

H4(x, y) = g4,4(x)y4+ g3,4(x)y3+ y2g2,4(x) + g1,4(x)y + g0,4(x) (II.1.6)

˙ H4(x, y) = (y − F (x)) ∂H4 ∂x − x ∂H4 ∂y (II.1.7) ˙ H4(x, y) =g04,4(x)y5+ g 0 3,4(x) − F (x)g 0 4,4(x)
y4 + g0_2,4(x) − F (x)g_3,40 (x) − 4xg4,4(x)
y3 + g0_1,4(x) − F (x)g_2,40 (x) − 3xg3,4(x)
y2 + g0_0,4(x) − F (x)g_1,40 (x) − 2xg2,4(x)
y − F (x)g_0,40 (x) − xg1,4(x).

Donc pour éliminer le terme en y5_{, on pose g}

4,4(x) = c4,4 = 1. Le terme en y4

devient :

˙

H4(x, y) = g3,40 (x)y

4_{+ · · · (II.1.8)}

que l'on élimine en posant g3,4(x) = c3,4 = 0. Le terme y3 devient :

˙

H4(x, y) = −g2,40 (x) + 4x
y

3_{+ · · · (II.1.9)}

que l'on élimine en posant g2,4(x) = 2x2+ c2,4 = 2x2. Le terme y2 devient :

˙ H4(x, y) =  −4x(−x + x 3 3 ) + g 0 1,4(x)  y2+ · · · (II.1.10) que l'on élimine en posant g1,4(x) = −

4 3x 3 ₊ 4 15x 5_c 1,4 = 2x2 (on choisit

˙ H4(x, y) =  −4x3_{− 4}2_x3 ₊8 3 2_x5₋ 4 9 2_x7_{+ g}0 0,4(x)  y + · · · (II.1.11)

que l'on élimine en posant g0,4(x) = (1 + 2)x4−

4 9 2_x6₊ 1 18 2_x8_c 0,4 (on choisit

c0,4 = 0). Ainsi il n'y a plus de terme en y dans ˙H4 :

˙ H4(x, y) = 16 3 x 4_{+ 4}3_x4 ₋8 5x 6_{− 4}3_x6₊4 3 3_x8 4 27 3_x10 = R4(x)

La forme explicite de H4(x, y)est :

H4(x, y) = (1 + 2)x4− 4 9 2_x6_{+ }2x8 18− ( 4 3x 3₋ 4 15x 5_{)y + 2x}2_y2_{+ y}4 _(II.1.12) On note Rn(x)déf= ˙Hn(x, y).

Ce calcul s'automatise facilement et ne prend que quelques secondes à l'ordi-nateur (voir Annexe).

Pour n = 2, on trouve que ˙ H2(x, y) = − 2G(x)F (x) = −2x2( x2 3 − 1) = R2(x). et H2(x, y) = y2+ x2+ k

On voit que si les fonctions G(x) et F (x) sont impaires, alors le polynôme R2(x)sera pair. Chaque polynôme Rn(x)a une racine d'ordre n en x = 0. On

note xi,nles racines strictement positives de Rn.Leurs symétriques strictement

négatives seront notées x−i,n (avec la propriété x−i,n = −xi,n puisque Rn est

pair). On remarque aussi que R2(x)a une seule racine positive de multiplicité

impaire (i.e x1,2 =

√ 3).

II.1.2 Lien entre les racines de R

(x)

et les trajectoires

périodiques

Une autre façon de voir que chaque cycle doit englober au moins la pre-mière bande x−1,n ≤ x ≤ x1,n est d'intégrer l'égalité Rn = ˙Hn le long d'un

Chapitre II. Méthode de G/N

-2 -1 1 2

-2 -1 1

Figure II.1 Tracer de R4(x)de l'équation (II.1.5).

-2 -1 0 1 2 -4 -2 0 2 4

Figure II.2  Les courbes fermées sont les courbes H4(x, y) = K et les droites verticales sont les droites x1,4 et x2,4.

cycle limite : Z T 0 Rn(x(t))dt = Z T 0 ˙ Hn(x(t), y(t)) dt = Hn(x(T ), y(T )) − Hn(x(0), y(0)) = 0

où T est la période du cycle limite. Par conséquent, le long de tout cycle limite :

Z T 0

Il faut donc que Rn(x) change de signe au moins une fois le long de chaque

cycle. On voit donc que si un seul des polynômes Rn(x) ne change pas de

signe (c'est à dire n'a aucune racine réelle de multiplicité impaire) alors le système (II.1.1) n'a pas de cycle limite.

De plus, chaque racine x1,n(à chaque ordre) est une borne inférieure de

l'am-plitude du plus petit cycle du système (II.1.1). Considérons le système (II.1.5) avec  = 2.

   ˙x = y − 2(x 3 3 − x), ˙ y = −x (II.1.13) Le théorème de Liénard montre que ce système possède un seul cycle limite (dont l'amplitude varie avec ).

L'application de l'algorithme montre que pour tout les rangs calculés (jusqu'à n = 120), il n'y a qu'une seule racine réelle strictement positive. On voit dans le tableau que les racines x1,n sont toutes inférieures à l'amplitude du cycle

limite qui est calculé numériquement par la méthode de Runge-Kutta.

n 2 6 10 14 18 70 102 120 xΓ

x1,n 1.732 1.866 1.912 1.936 1.951 1.999 2.009 2.011 2.019

Table II.1  Valeurs des racines de Rn(x)pour le système (II.1.13). De plus, et c'est le résultat important il semble que :

x1,n −→ xΓ quand n −→ +∞

donc chaque xi,n est une borne inférieure au cycle limite. La question est

comment trouver K∗

n tel que Hn(x, y) = Kn∗ soit la dernière courbe qui soit

complètement contenue dans la bande x−1,n ≤ x ≤ x1,n? Cette courbe est

tangente à la droite x = x1,n, on cherche donc y et K tels que :

         Hn(x1,n, y) = K, ∂Hn ∂y (x1,n, y) = 0. (II.1.14) On note y1,net K1,n∗ les solutions de ce système de deux équations à deux

incon-nus qui se résout numériquement à l'ordinateur. Le tableau suivant contient les valeurs trouvées pour le système (II.1.5) avec  = 2.

Mais comme on l'a vu plus haut, la borne en x n'est pas la seule borne infé-rieure au premier cycle limite qui nous est fournie par les polynômes Hn(x, y).

Chapitre II. Méthode de G/N

n 2 6 10 12 14 16 18 20

y1,n 0 0.60 0.83 0.91 0.96 1.01 1.05 1.08

K_n∗ 3 96.02 3.92 103 2.58 104 1.71 105 1.14 106 7.68 106 5.18 107 Table II.2  Valeurs des K∗

n(x)pour le système (II.1.13).

Ce qui donne aussi une borne inférieure au y maximum sur ce cycle (que l'on note yΓ). Les cycles limites du système (II.1.1) ont leurs y maximal en x = 0

(puisque G(0) = 0) et d'autre part, les courbes Hn(x, y)ont leur y maximum

(que l'on note ymax,n) en x = 0. Pour connaître ce ymax,n, il sut de faire

x = 0 dans Hn(x, y): Hn(x = 0, ymax,n) = Kn∗ donc yn_max,n= K_n∗ n 2 4 6 8 10 12 18 20 yΓ ymax,n √ 3 1.99 2.13 2.22 2.28 2.33 2.41 2.43 2.61 Table II.3  Valeurs de ymax,n= (Kn∗)

1

n pour le système (II.1.13). Les valeurs semblent s'approcher de la valeur numérique yΓ.

II.1.3 Quelques exemples

• Prenons par exemple le système suivant (

˙x = y − (0.8x − 4₃x3+ ₂₅8x5), ˙

y = −x (II.1.15)

Ce système d'après le théorème de Rychkov admet deux cycles limites. On peut vérier par intégration numérique que le système (II.1.15) a deux cycles limites. Les Polynômes Rn(x)ont exactement deux racines positives de

n x1,n K1∗ x2,n K2∗ 2 0.852 0.726 1.854 3.439 4 0.905 0.711 1.885 14.497 6 0.930 0.739 1.905 67.596 8 0.945 0.784 1.920 334.224 10 0.955 0.840 1.930 1712.38 12 0.962 0.903 1.938 8973.16 14 0.967 0.974 1.944 47500.6 xΓ 1.003 . 1.999 .

Table II.4  Les deux racines positives des polynômes Rn(x) qui correspondent aux deux cycles limites du système (II.1.15) dont leurs amplitudes xΓ et xΓ sont calculées numériquement. • Considérons le système :    ˙x = y − (32 875x 7₋ 56 125x 5₊ 98 75x 3₋ 18 25x), ˙ y = −x (II.1.16) Ce système a été étudié par Perko (pour 0 <  << 1). L'intégration numérique montre qu'il a trois cycles limites et l'application de l'algorithme pour  = 1 donne le tableau II.5.

Tous les polynômes Rn(x) calculés pour ce système ont trois racines

stricte-ment positives de multiplicité 1.

-2 -1 1 2

-2 -1 1 2

Figure II.3  Les deux cycles limites du système (II.1.15) en trait continu et leurs approximations algébriques en pointillé H14(x, y) = K1,14∗ et H14(x, y) = K2,14∗ .

Chapitre II. Méthode de G/N n x1,n K1∗ x2,n K2∗ x3, n K ∗ 3 2 0.846 0.716 1.832 3.359 2.858 8.173 4 0.902 0.692 1.869 13.008 2.878 103.11 6 0.929 0.708 1.894 53.894 2.895 165.13 8 0.944 0.737 1.912 231.816 2.909 29818.9 10 0.954 0.767 1.924 1015.01 2.919 575004 30 0.969 0.980 1.930 11.568 2.156 430.191 110 1.000 . 1.989 . 2.956 . xΓ 1.0029 . 2.0032 . 2.9810 .

Table II.5  Les trois racines positives des polynômes Rn(x)du système (II.1.16) avec  = 1.

Cela s'accorde avec le fait que ce système à trois cycles limites de multipli-cité 1. On peut remarquer dans cet exemple que, bien que la première racine ne fasse que croître avec n et il n'en est pas de même pour x2,n et x3,ncar x2,n

croît vers x2,Γ puis, à partir de (n = 30) décroit mais, il commence à partir

d'un certain rang (n = 110) par croître vers x2,Γ (même chose pour x3,n).

-3 -2 -1 1 2 3

-4 -2

2 4

Figure II.4  Les trois cycles limites du système (II.1.16) avec leurs approximations algébriques H8(x, y) = Kj,8∗ avec j = 1, 2, 3 et  = 1.

II.2 Méthodes de Melnikov et de relaxation

• Méthode de Melnikov

La méthode de Melnikov (1963) est dans la lignée des méthodes perturbatives. Elle permet d'étudier les perturbations des orbites homoclines des systèmes dynamiques de la forme

˙x = F (x) + G(x, t, µ), où 0 <  << 1, x ∈ R2navec µ ∈ Rm, (II.2.1) où F(x) est le champ de vecteur déduit du hamiltonien H(x). La méthode de Melnikov peut être aussi utiliser pour établir l'existence des cycles limites des systèmes planaires perturbés (II.2.1) avec x ∈ R2_{. c'est à dire les systèmes de}

la formes

˙x = f (x) + g(x, t, µ), (II.2.2)

où 0 <  << 1, x ∈ R2 et µ est un paramètre réel. f ∈ C1_(R2₎ et

g ∈ C1_(R2_{× R × R), périodique en t de période T.} Supposons que :

(A.1) Pour  = 0, le système (II.2.2) a une orbite homocline Γ0 : x = γ0(t), −∞ < t < +∞

au point d'équilibre hyperbolique x0.

(A.2) Pour  = 0, le système (II.2.2) possède une famille à un paramètre d'or-bites périodiques γα de période Tα à l'intérieur de Γ0 avec ∂γα(0)/∂α 6=

0;Voir gure ci-dessous.

Figure II.5  portrait de phase du système (II.2.2) sous les conditions (A.1) et (A.2).

Chapitre II. Méthode de G/N La fonction de Melnikov du système (II.2.2) est dénie par :

M (t0, µ) = Z ∞ −∞ exp  − Z t t0 ∇.f (γ0(s))ds  f (γ0(t) ∧ g(γ0(t), t + t0, µ)dt

De plus si pour  = 0, (II.2.2) est un système hamiltonien c.à.d f = (∂H_∂y, −∂H_∂x)T_, alors ∇.f = 0. La fonction de Melnikov dans ce cas s'écrit

M (α, µ) = Z Tα 0 f (γα(t) ∧ g(γα(t), t, µ)dt où u ∧ v = u1u2− v1v2 avec u, v ∈ R2 et u = u1 u2  , v =v1 v2  .

Application de la méthode de Melnikov aux systèmes de Lié-nard Nous allons considérer un cas où la perturbation est indépendante du temps : g(x, t) = g(x) et f(x) =  y_−x  . Si on choisit g(x) = F (x) 0,  le système (II.2.2) devient :

 ˙x ˙ y  = y −x  + F (x) 0  (II.2.3) On reconnait ici le système de Liénard. Pour  = 0, on a des trajectoires périodiques de type centre.

La perturbation introduite transforme le centre du système linéaire en un foyer et transforme occasionnellement certaines trajectoires périodiques du centre en cycles limites ; la méthode de Melnikov permet de savoir quelles sont ces trajectoires.

Pour le système de Liénard (II.2.3), on a une bifurcation du centre f(x) =  y

−x 

,par conséquent ∇f = 0. La fonction de Melnikov est alors :

M (α) = Z Tα 0 f (x) ∧ g(x)|x=γα(t) = − α Z 2π 0 cos(t)F (α cos(t))dt.

Le système non perturbé (II.2.3) possède une famille à un paramètre d'or-bites périodiques :

Le système de Liénard perturbé pour F (x) de degré impair et contenant toutes les puissance de x, s'écrit :

(

˙x = y − (a1x1+ a2x2+ a3x3+ · · · + a2n+1x2n+1)

˙

y = x (II.2.4)

En posant µ = (a1, · · · , a2n+1),(II.2.4) prend la forme du système (II.2.2). La

fonction de Melnikov pour ce système est : M (α, µ) = −

Z 2π

0

a1x(t)1+ a2x(t)2+ a3x(t)3+ · · · + a2n+1x(t)2n+1
x(t)dt

Les termes impairs sont nuls. De plus, Z 2π 0 cos(t)2n+2dt =2n + 2 n + 1  a_2n+1π 22n+1 d'où, on obtient : M (α, µ) = −2πα2 a1 2 + 3 8aα 2_{+ · · · +}2n + 2 n + 1  a2n+1 22n+2α 2n  (II.2.5) En se basant sur la formule (II.2.5), Perko et Blows, ont montré cette propo-sition.

Proposition II.1. Le système (II.2.4), pour  susamment petit, possède au plus n cycles limites. Il possède exactement n cycles limites hyperboliques asymptotiques aux cercles de rayon rj, j = 1, ..., n, quand  → 0 si et

seule-ment si le polynôme de degré n en r2_.

P (r2, n) = a1 2 + 3 8a3+ · · · + 2n + 2 n + 1  a2n+1 2(2n+2)α 2n

possède n racines positives α2 _{= α}2

j, j = 1, · · · , n.

Ce résultat nous permet de construire des systèmes de Liénard avec le nombre exact de cycles limites avec des rayons que nous souhaitons. On écrit le polynôme avec les racines choisies et on trouve les coecients aj du polynôme

P (r2, n). Le polynôme P (r2, n) s'appelle polynôme de Melnikov, il est lié à la fonction de Melnikov par la relation suivante :

P (r2, n) = − 1

2πM (r, µ) Prenons par exemple la perturbation F = x3

3 − x. Alors a1 = −1, a3 = 1 3. Dans ce cas, P (r2_{, 1) possède une seule racine positive r = 2 et donc il y a un}

Chapitre II. Méthode de G/N -2 -1 1 2 -2 -1 1 2

Figure II.6  Cycle limite de (II.1.5) avec  = 0.1

• Méthode de relaxation

Pour les grande valeurs de , le système (II.1.1) avec G(x) = x modélise un système de relaxation (Levi, 1981). Les cycles limites ont alors une forme spéciale qui épouse les formes de la courbe y = F (x) voir gure II.7 quand  → ∞, chaque cycle englobe un extremum de F (x). On peut ainsi connaitre

-2 -1 1 2 -6000 -4000 -2000 2000 4000 6000

Figure II.7  Cycle limite de (II.1.5) avec  → ∞.

de façon exacte les valeurs maximales en x(i.exΓ)et en y(i.eyΓ)du cycle limite.

Pour l'exemple de la gure II.7, les extremum de F (x) sont en x = ±1 donc yΓ = F (1) = 2₃. xΓ est l'autre racine de l'équation F (x) = 2₃ c'est à dire

xΓ = 2.

II.3 Amélioration de l'algorithme de G/N

Notons par ˆ Rn(a)déf= Z 2π 0 Rn(x = a cos(t))dt (II.3.1)

Si on utilise la formule Z 2π 0 cos2(j+1)(t)dt = 2(j + 1) j + 1  2π 22(j+1),

on voit que ˆRn(a) peut se calculer facilement :

ˆ Rn(a) = 2πRn(xj −→ ajcj) où cj = 2(j + 1)! 4j+1_{(j + 1)!(j + 1)!}

D'autre part, on voit facilement que chaque polynôme ˆRn(a) a la structure

suivante : ˆ

Rn(a, ) = −nan−2M (a) + 3Rˆn,3(a) + · · · + n−1Rˆn,n−1(a) (II.3.2)

On remarque qu'il n'y a que des termes de puissance impaires en  dans la formule précédente et que le premier terme en  de chaque polynôme ˆRn

correspond à la fonction de Melnikov. Cela donne une preuve que lorsque  → 0 le nombre, la multiplicité et le lieu des racines positives de ˆRn(a) est

directement relié au nombre, à la multiplicité et à l'étendu de chaque cycle limite du système (II.2.3).

II.3.1 Comparaison entre R

(x)

et ˆ

R

(a)

Nous allons comparer les résultats donnés par les polynômes moyennés ˆ

Rn(a) (trouver par la méthode améliorée) avec les anciens polynômes Rn(x)

(méthode classique) .

• Considérons le système de bien connu :    ˙x = y − (x 3 3 − x) ˙ y = −x (II.3.3) On vérie par intégration numérique que, pour  = 2 l'amplitude du cycle limite vaut xΓ = 2.019. La méthode améliorée de l'algorithme montre que les

racines andes polynômes ˆRn(a)sont à chaque ordre supérieurs aux racines xn

des polynômes Rn(x).

On remarque dans le tableau II.6 que les racines an fournissent de

meilleures approximations de l'amplitude xΓ que les racines xn. Comme pour

Chapitre II. Méthode de G/N

n 2 6 8 10 12 14 18 20 xΓ

xn 1.732 1.866 1.894 1.912 1.926 1.936 1.951 1.999 2.019

an 2 2.003 2.005 2.007 2.009 2.010 2.0124 2.0127 .

Table II.6 Valeurs des racines xndes polynômes Rn(x)et des racines andes polynômes ˆ

Rn(a)pour le système (II.3.3) avec  = 2. Ces valeurs tendent vers l'amplitude du cycle limite de (II.3.3).

qu'une seule racine strictement positive (à tous les rangs calculés).

On voit donc que si l'on considère des polynômes moyennés ˆRn(a),on obtient

une convergence beaucoup plus rapide qu'avec les polynômes classiques Rn(x).

La valeur xΓ de l'amplitude est supérieure à 2 et on voit que les racines an

sont toutes supérieures ou égales à 2, alors qu'il faut atteindre l'ordre n = 72 pour que la racine de Rn(x)dépasse 2 (x72 = 2.0002).

II.4

Exemples sur des fonctions non

polyno-miales

Exemple 1

Considérons l'équation suivante ¨

x + (|x| − 1) ˙x + x = 0, qui est équivalente au système suivant

   ˙x = y − (−x + 1 2x|x|) ˙ y = −x. (II.4.1) Le théorème de Liénard montre que pour tout  > 0, le système (II.4.1) possède une seule solution périodique.

• Pour 0 <  << 1, en utilisant la méthode de Melnikov au système (II.4.1). On voit que la fonction de Melnikov

M (r) = −1 3r

2

(3π − 4r) a une seule racine positive r = 3π

4 ' 2, 3561. Cette racine corresponde au

rayon du cycle limite de (II.4.1). Le même résultat peut être obtenu par la méthode de G/N.

n 2 4 6 8 10 20 xΓ

a1,n 2.3561 2.3561 2.3561 2.3561 2.3561 2.3561 3π₄

Table II.7  Racines des ˆRn(a)pour le système (II.4.1) ( = 0.001).

Les polynômes moyennés ˆRn calculés pour ce système (0 <  << 1) n'ont

qu'une seule racine strictement positive (du moins à tous les rangs calculés). La présence d'une seule racine positive, nous donne l'existence d'un seul cycle limite comme elle le montre la gure II.7.

-2 -1 1 2

-2 -1 1 2

Figure II.8  Cycle limite du système (II.4.1) avec  = 0.001.

• Dans le cas où  n'est ni petit ni grand, la méthode de G/N montre que les polynômes ˆRn(a) calculés jusqu'à l'ordre 20 en toujours une seule racine

positive.

n 2 4 6 8 10 20 xΓ

an 2.3561 2.3652 2.3717 2.3760 2.3891 2.3858 2.3944

Table II.8 Valeurs des racines an des ˆRn(a)pour le système (II.4.1) ( = 3). xΓvaleur de l'amplitude du cycle limite calculé numériquement.

• Pour des grandes valeurs de  ( → +∞), la méthode de relaxation montre que la seule racine positive de l'équation F (x) = F (−1) est la valeur de l'amplitude xΓ = 1 +

√

2 ' 2.414du cycle limite de (II.4.1)

Un même résultat peut être obtenu par la méthode de G/N comme il le montre le tableau II.9

Chapitre II. Méthode de G/N

n 2 4 6 10 12 14 16 xΓ

an 2.356 2.383 2.393 2.401 2.403 2.405 2.413 2.414

Table II.9  an racines des ˆRn(a)du système (II.4.1) avec ( = 10000).

-2 -1 1 2 -3 -2 -1 1 2 3

Figure II.9  Cycle limite du système (II.4.1) avec  = 3.

-2 -1 1 2 -6000 -4000 -2000 2000 4000 6000

Figure II.10 Cycle limite du système (II.4.1) avec  = 10000.

Exemple 2

Dans cet exemple, considérons l'oscillateur de Van der Pol non-linéaire

forcé : _   ˙x = y − (x 3 3 − x) ˙ y = −x|x| (II.4.2) Ce système a été étudié par Kale. O dans [25], par la méthode du balance harmonique.

Nous pouvons appliqué le théorème de Liénard-Levinson au système (II.4.2), ce théorème montre qu'il existe un seul cycle limite pour tout  > 0.

• Dans le premier cas, prenons  petit ( = 0.001). En calculant les racines an des polynômes moyennées, on obtient une seule racine strictement

positive (du moins à tous les rangs calculés) qui converge vers la valeur de l'amplitude de ce cycle limite (voir tableau II.10).

n 2 4 6 8 10 20 30 50 xΓ

an 1.732 1.816 1.853 1.873 1.886 9.914 1.924 1.933 2.

Table II.10  an racines des ˆRn(a)pour le système (II.3.3) avec ( = 0.001).

-2 -1 1 2

-2 -1 1 2

Figure II.11 Cycle limite du système (II.3.3) avec  = 0.001.

• Considérons maintenant une valeur intermédiaire de . La méthode de G/N montre que les polynômes ˆRn(a) ont tous une seule racine positive de

multiplicité impaire. Pour  = 2, les racines an des polynômes ˆRn(a)tendent

vers la valeur de l'amplitude du cycle limite du système (II.3.3) calculée nu-mériquement (voir tableau II.11 et gure II.12).

n 2 8 12 18 20 30 40 56 xΓ

an 1.732 1.875 1.900 1.920 1.924 1.937 9.944 1.952 1.968

Table II.11  an racines des ˆRn(a)pour le système (II.3.3) avec ( = 2). • Dans le cas où  est très grand ( = 2000 par exemple). Les polynômes ˆ

Chapitre II. Méthode de G/N -2 -1 1 2 -2 -1 1 2

Figure II.12  Cycle limite du système (II.3.3) avec  = 2 en trait continu et l'approxi-mation H20= K20∗ en pointillé.

n 2 4 6 8 10 20 32 xΓ

an 1.732 1.734 1.749 1.769 1.789 1.859 1.903 2.

Table II.12  an racines des ˆRn(a)pour le système (II.3.3) avec ( = 2000).

Exemple 3

Dans cet exemple, considérons l'équation suivante : ¨

x + (x2− 1) ˙x + sgn(x) = 0, (II.4.3)

qui s'écrit sous la forme du système diérentiel suivant    ˙x = y − (x 3 3 − x) ˙ y = −sgn(x) (II.4.4) Le théorème de Liénard-Levinson montre que l'équation (II.4.4) a une seule solution périodique pour tout  > 0.

• Si 0 <  << 1, la méthode de balance harmonique peut estimer la valeur de l'amplitude du cycle limite de ce système xΓ' ₂35√₂ ' 2.0916.

Les polynômes ˆRn(a)du système (II.4.4) ont tous une seule racine positive

n 2 6 12 14 16 18 20 30 xΓ

an 1.732 1.880 1.960 1.975 1.986 1.996 2.004 2.030 2.0916

Table II.13  an racines des ˆRn(a) du système (II.4.4) convergeant vers la valeur de l'amplitude xΓ avec ( = 0.005). -2 -1 1 2 -2 -1 1 2

Figure II.13 Cycle limite du système (II.4.4) avec  = 0.005.

• Pour les valeurs de  qui ne sont pas susamment petites (par exemple  = 1, le tableau ci-dessous montre les racines des polynômes ˆRnont une seule

racine positive qui tend vers la valeur de l'amplitude. Une approximation algébrique à l'ordre 30 de l'équation de ce cycle limite est montrée dans la gure II.14.

n 2 4 6 8 10 20 30 60 xΓ

an 1.732 1.824 1.878 1.913 1.937 1.998 2.024 2.053 2.089

Table II.14  an racines des ˆRn(a)pour le système (II.4.3) avec ( = 1). •Finalement, pour  très grand ( = 100), les polynômes ˆRn ont une seule

racine positive comme le montre le tableau II.15.

n 2 4 6 8 10 20 30 34 xΓ

xn 1.732 1.751 1.784 1.813 1.836 1.899 1.927 1.932 2.001

Chapitre II. Méthode de G/N -2 -1 1 2 -2 -1 1 2

Figure II.14  Cycle limite du système (II.4.3) avec  = 1 en trait continu et l'approxi-mation H30= K30∗ en pointillé.

Chapitre III

Cycles limites des systèmes

polynomiaux de Liénard

généralisés

Sommaire

III.1 Théorie de moyennisation . . . 38 III.1.1 Méthode de moyennisation du premier ordre . . . 40 III.1.2 Méthode de moyennisation du second ordre . . . . 42 III.2 Nombre maximum de cycles limites par la

mé-thode de moyennisation . . . 44 III.2.1 Théorème III.4 . . . 46 III.3 Démonstration du théorème III.4 . . . 46 III.3.1 Démonstration de la partie (a) du théorème III.4 . 46 III.3.2 Démonstration de la partie (b) du théorème III.4 . 48

Chapitre III. Cycles limites des systèmes polynomiaux de Liénard généralisés

Nous rappelons dans ce chapitre la théorie de moyennisation du premier et se-cond ordre. En appliquant cette méthode sur une classe d'équations diérentielles ordinaires polynomiales de Liénard, nous donnons une bonne inférieure au nombre de cycles limite H(m, n) que peut avoir cette classe d'équations.

III.1 Théorie de moyennisation

On s'intéresse toujours au même problème qui est la recherche des solutions périodiques d'un certain système diérentiel.

En 2004, Buicá et Llibre [8] ont introduit des méthodes topologiques pour démontrer que ce problème est en fait équivalent à celui de rechercher les zéros d'une certaine fonction reliée directement au système considéré.

En fait, ils ont remplacé le théorème des fonctions implicites par la théorie du degré de Brouwer [40]. Avec cette nouvelle approche, ils ont réussi à aaiblir les hypothèses du théorème analogue concernant la moyennisation d'ordre un (voir p.158 de [57]) et concernant la moyennisation d'ordre deux (voir [33]). Ils ont donné aussi pour la première fois un résultat sur la moyennisation d'ordre plus élevé.

Donnons d'abord quelques notions sur le degré de Brouwer.

Dénition III.1. Soit D un ouvert de Rn _{et soit g ∈ C}1_{(D), V un ouvert de}

Rn tel que V ⊂ D et Zg = {z ∈ V : g(z) = 0} . Supposons aussi Jg(z) 6= 0,

pour tout z ∈ Zg, alors le degré de Brouwer de la fonction g par rapport à

l'ensemble V et le point 0, noté dB(g, V, 0) est déni par

dB(V, 0) =

X

z∈Zg

(Jg(z)).

Lemme III.1. On considère les fonctions continues : fi : V −→ Rn, pour i = 0, · · · , k et f, g, τ : V × [−0, 0] → Rn, données par g(., ) = f0(.) + f1(.) + 2f2(.) + · · · + kfk(.). (III.1.1) f (., ) = g(., ) + k+1τ (., ). (III.1.2)

Supposons que

g(z, ) 6= 0, ∀z ∈ ∂V,  ∈ [−0, 0]\0.

Alors, pour  > 0 susamment petit, dB(f (., ), V, 0) est bien déni et de plus

dB(f (., ), V, 0) = dB(g(., ), V, 0) .

Démonstration. Voir [40].

Remarque. Soit g : D → Rn une fonction de classe C1_, avec g(a) = 0,

où D est un ouvert de Rn _{et a ∈ D. Si J}

g(a) 6= 0, il existe un voisinage V de

a tel que g(z) 6= 0 pour tout z ∈ V \a alors dB(g, V, 0) ∈ {−1, 1}

Justions maintenant le fait que le problème de chercher des solutions périodiques pour un certain système diérentiel est équivalent à celui de chercher les zéros d'une certaine fonction reliée à ce système.

Considérons le système diérentiel ˙x(t) = dx

dt = F (t, x, ) (III.1.3)

où F : R × D × ]−f, f[ → Rn est une fonction continue T-périodique en la

première variable et localement lipschitzienne en la deuxième variable. D est un ouvert de Rn_,

Pour tout z ∈ D, on désigne par

x(., z, ) : [0, tz[ → Rn,

la solution de (III.1.3) tel que x(0, z, ) = z, avec tz > T pour tout z ∈ D.

On considère maintenant la fonction f : D × ]−ff[ → Rn dénie par

f (z, ) = Z T

0

F (t, x(t, z, ), ) dt. (III.1.4) Toute solution x : [0, T ] → Rn de l'équation (III.1.3) avec x(0) = x(T ) admet

un prolongement sur R. On obtient alors la relation suivante

x(T, z, ) − x(0, z, ) = f (z, ) (III.1.5) Donc, tout (z, ) pour lequel

f (z, ) = 0 (III.1.6)

produit une solution périodique x(., z, ) pour le système (III.1.3).

Chapitre III. Cycles limites des systèmes polynomiaux de Liénard généralisés si on désigne par z sa valeur pour t = 0, alors (III.1.6) est satisfaite.

Donc, le problème de chercher une solution T-périodique de (III.1.3), peut être remplacer par celui de chercher des zéros de la fonction f(., ) donnée par (III.1.4). La propriété la plus importante du degré de Brouwer est que si dB(f (., ), V, 0) 6= 0, alors l'équation

f (z, ) = 0 (III.1.7)

admet une solution dans V, où V est un ouvert de Rn_{, V ⊂ Det 0 n'appartient}

pas à f(∂V, ) pour un certain .

III.1.1 Méthode de moyennisation du premier ordre

Théorème III.1. On considère le système suivant : ˙x(t) = dx

dt = F1(t, x) + 

2

R(t, x, ), (III.1.8)

où F1 : R × D → Rn, R : R × D × ]−f, f[ → Rn sont des fonctions continues,

T-périodiques en la première variable et D un ouvert de Rn_.

On dénit F10: D → Rn comme suit

F10(z) = 1 T Z T 0 F1(s, z)ds, (III.1.9) supposons que

(i) F1 et R sont localement lipschitziennes par rapport à x;

(ii) Pour a ∈ D tel que F10(a) = 0, il existe un voisinage V de a tel que

F10(z) 6= 0 pour tout z ∈ V \{a} et dB(F10, V, 0) 6= 0.

Alors, pour || > 0 susamment petit, il existe une solution ϕ(., ) du sys-tème (III.1.8) T-périodique isolée telle que ϕ(., ) → a quand  → 0.

Les hypothèses de ce théorème sont plus faibles que celles du théorème 2.1.1 dans [57], où à la place de (i), il suppose que

(j) F1, R, DxF1, D2xF1 et DxR sont dénies continues et bornées par

une constante M (indépendante de ). Á la place de (ii), il suppose que (jj) pour a ∈ D avec F10(a) = 0, on a JF10(a) 6= 0,

où DxF désigne la matrice jacobienne de F par rapport à x, D2xF la matrice

hessienne de F et Jf(a)désigne le déterminant de la jacobienne de f calculée

Démonstration. Voir [7].

Théorème III.2. Le résultat du théorème III.1 reste valable sans que l'hypo-thèse (i) ne soit satisfaite.

Démonstration. Voir [8].

Exemple Le système de Liénard (

˙x = y − (a1x + a2x2+ · · · + anxn),

˙

y = −x (III.1.10)

pour  susamment petit et an6= 0 a au plus

 n − 1 2



cycles limites.

En utilisant les coordonnées polaires x = r cos θ, y = r sin θ, le sys-tème (III.1.10) s'écrit

(

˙r = −r(a1cos2θ + · · · + anrn−1cosn+1θ),

˙

θ = −1 +  sin θ(a1cos θ + · · · + anrn−1cosnθ)

(III.1.11) En divisant ˙r par ˙θ, on trouve

dr dθ =

r(a1cos2θ + · · · + anrn−1cosn+1θ)

1 −  sin θ(a1cos θ + · · · + anrn−1cosnθ)

(III.1.12) On sait que 1 1 − x = 1 + x + O(x 2 ), |x| < 1 d'où dr dθ = r(a1cos 2

θ+· · ·+anrn−1cosn+1θ)+2r sin θ cos θ(a1cos θ+· · ·+anrn−1cosnθ)2,

(III.1.13) On cherche maintenant la fonction moyennée F10(r)

F10(r) = 1 2π Z 2π 0 f (θ, r)dθ = r 2π Z 2π 0 a1cos2θ + · · · + anrn−1cosn+1θ
dθ, (III.1.14) On a dr dθ = F10(r).

Chapitre III. Cycles limites des systèmes polynomiaux de Liénard généralisés Ce qui implique dr dθ = r 2π  a1 Z 2π 0 cos2θdθ + a3r2 Z 2π 0 cos4θdθ + · · · + an−1rn−2 Z 2π 0 cosnθdθ + anrn−1 Z 2π 0 cosn+1θdθ  (III.1.15)  Si n est impair, on a dr dθ = r 2π a1I2+ a3r 2 I4+ · · · + anrn−1In+1
. (III.1.16)

On cherche les points d'équilibre de l'équation (III.1.16). En posant X = r2_{, on a} F10(r) = 0 =⇒  a1I2+ a3I4X + · · · + anIn+1X n−1 2  = 0. Ce polynôme possède au plus n − 1

2 racines positives.  Si n est pair, on a dr dθ = r 2π a1I2+ a3r 2 I4+ · · · + anrn−2In
. (III.1.17)

On cherche les points d'équilibre de (III.1.17). Posant toujours X = r2_,

on trouve F10(r) = 0 =⇒  a1I2+ a3I4X + · · · + anInX n−2 2  = 0. Dans ce cas, ce polynôme possède au plus n − 2

2 racines positives et comme n − 2 2 =  n − 1 2  . Alors le système (III.1.10) possède au plus  n − 1

2 

cycles limites.

III.1.2 Méthode de moyennisation du second ordre

Théorème III.3. Considérons le système diérentiel

˙x(t) = F1(t, x) + 2F2(t, x) + 3R(t, x, ), (III.1.18)

où F1, F2 : R × D → Rn et R : R × D × ]−f, f[ → Rn sont des fonctions

continues, T-périodiques en la première variable. D est un ouvert de Rn_.

(i) Pour tout t ∈ R, F1(t, .) ∈ C1(D), F1, F2, R et DxF1 sont localement

lipschitziennes par rapport à x. R est diérentiable par rapport à . On dénit F10, F20: D → Rn par F10(z) = 1 T Z T 0 F1(s, z)ds, F20(z) = 1 T Z T 0  DxF1(s, z) Z s 0 F1(t, z)dt + F2(s, z)  ds. (III.1.19) et supposons que

(ii) pour V ∈ D, un ensemble ouvert et borné et pour tout

 ∈ ]−f, f[ \ {0} , il existe a ∈ V tel que F10(a) + F20(a) = 0

et dB(F10(a) + F20(a), V, a) 6= 0 (i.e. le degré de Brouwer de

F10(a) + F20(a)|a est non nul).

Alors, pour || > 0 susamment petit, il existe une solution T-périodique isolée ϕ(., ) de l'équation (III.1.18) telle que ϕ(0, ) = a.

Exemple On considère le système diérentiel (

˙x = −y + x − 2x, ˙

y = x + (x2_{− y − 8xy) − }2_y. (III.1.20)

En utilisant les coordonnées polaires (r, θ) où x = r cos θ, y = r sin θ. Ce système s'écrit

(

˙r = −2_{r + (sin θr}2_cos2_{θ + 8r}2_cos3_{θ + 2r cos}2_{θ − r − 8r}2_{cos θ),}

˙

θ = 1 + (r cos3_{−2 cos θ sin θ − 8r sin θ cos}2_θ).

Ou d'une manière équivalente dr

dt = F1(r, θ) + 

2_F

2(r, θ) + O(3),

tel que

F1(θ, r) =r2sin θ + 8r2cos2θ + 2r cos2θ − r − 8r2cos θ,

F2(θ, r) =63r3sin θ cos5θ + 32r2cos4θ sin θ − 64r3cos3θ sin θ

+4r cos3θ sin θ − 24r2cos θ sin θ − 2r cos θ sin θ − r 3r2cos3θ + 16r3cos4θ − 16r3cos6θ − 4r2cos5θ.

Chapitre III. Cycles limites des systèmes polynomiaux de Liénard généralisés On applique la méthode de moyennisation du second ordre pour

F10(r) = 1 2π Z 2π 0 F1(r, θ)dθ = 1 2π Z 2π 0

r2sin θ cos2θ + 8r2cos2θ + 2r cos2θ − r − 8r2cos θ
dθ.

d'où on a F10(r) = 0, Calculons y1(r, s) = Z s 0 F1(r, θ)dθ =1 3r 2₋ 1 3r 2_cos3_{s +}8 3r 2_{sin s cos}2_{s −} 8 3r

2_{sin s + r cos s sin s.}

Alors f1(r, s) =∂F1 ∂r y1(r, s) = ∂F1 ∂r Z s 0 F1(r, θ)dθ

=r 2r sin s cos2s + 16 cos s
3+ 2 cos2s − 1 − 16r cos s
y1(r, s).

Donc la fonction F20(r) est

F20(r) = 1 2π Z 2π 0 f1(r, s) + F2(r, s)
ds =r3− r.

L'unique racine positive de F20(r)est r = 1. Comme _∂r∂(F10(r)+F20(r))|r=1 =

2 6= 0, d'aprés le théorème III.3, le système (III.1.20), pour 0 <  << 1 susamment petit possède un seul cycle limite. Voir gure ci-dessous.

III.2 Nombre maximum de cycles limites par la

méthode de moyennisation

Considérons l'équation polynomiale de Liénard généralisée ¨

x + ˜f (x) ˙x2p+1+ ˜g(x) = 0, (III.2.1) où ˜f (x) et ˜g(x) sont deux polynômes de degré m, n respectivement etp ∈ N. Le but de notre travail est de donner une borne inférieure à ˜H(m, n) qui est

-1.0 -0.5 0.5 1.0

-1.0 -0.5 0.5 1.0

Figure III.1  Le cycle limite du système (III.1.20) pour  = 0.001. le nombre maximum de cycles limites qui peuvent bifurquer du centre linéaire

˙x = y, ˙y = −x. pour cela, nous allons utiliser la méthode de moyennisation d'ordre 1 pour le premier cas et la méthode de moyennisation d'ordre 2 pour le deuxième cas.

Les deux cas que nous considérons sont les suivants : Premier cas (k = 1)

˜

f (x) = f (x) et ˜g(x) = x + g(x)

où f, g sont des polynômes de degré m et n respectivement et  est un petit paramètre. (III.2.1) est donc équivalente au système suivant

( ˙x = y, ˙ y = −x − (f (x)y2p+1_{+ g(x))} (III.2.2) deuxième cas (k = 2) ˜ f (x) = f1(x) + 2f2(x) et ˜g(x) = x + g1(x) + 2g2(x),

où fi, gi sont des polynômes de degré m et n respectivement pour i = 1, 2 et

 est un petit paramètre. L'équation (III.2.1) devient ( ˙x = y, ˙ y = −x − (f1(x)y2p+1+ g1(x)) − 2(f2(x)y2p+1+ g2(x)) (III.2.3) On sait que ˜Hk(m, n) ≤ ˜H(m, n) ≤ H(m, n).

Chapitre III. Cycles limites des systèmes polynomiaux de Liénard généralisés

III.2.1 Théorème III.4

Sous les hypothèses précédentes, on a le théorème suivant :

Théorème III.4. (a) le nombre maximum de cycles limites qui peuvent bi-furquer du centre linear ˙x = y, ˙y = −x, du système polynomial de Lié-nard généralisé (III.2.2) est

˜ H1(m, n) = hn 2 i ;

(b) le nombre maximum de cycles limites qui peuvent bifurquer du centre linear ˙x = y, ˙y = −x, du système polynomial de Liénard généra-lisé (III.2.3) est

˜ H2(m, n) = max  hn 2 i , n − 1 2  +hm 2 i .

III.3 Démonstration du théorème III.4

III.3.1 Démonstration de la partie (a) du théorème III.4

Nous allons appliquer la méthode de moyennisation du premier ordre. Pour cela nous écrivons le système (III.2.2) en coordonnées polaires (r, θ) où x = r cos θ, y = r sin θ. On pose f(x) = Pn

i=1 aixi, g(x) = m P i=0 bixi. Le

système (III.2.2) s'écrit comme suit

               ˙r = − n X i=0

airi+2p+1cosiθ sin2(p+1)θ + m X i=0 biricosiθ sin θ ! , ˙ θ = −1 −_r n X i=0

airi+2p+1cosi+1θ sin2p+1θ + m X i=0 biricosi+1θ ! . (III.3.1) Si on prend θ comme une nouvelle variable indépendante, le système (III.3.1) devient dr dθ =  n X i=0

airi+2p+1cosiθ sin2(p+1)θ + m X i=0 biricosiθ sin θ ! + O(2)

Calculons maintenant F10(r) F10(r) = 1 2π Z 2π 0 n X i=0

airi+2p+1cosiθ sin2(p+1)θ + m X i=0 biricosiθ sin θ ! dθ On sait que Z 2π 0 coskθ sin θdθ = 0, k = 0, 1, · · · Z 2π 0 cos2k+1θ sin2(p+1)θdθ = 0, k = 0, 1, · · · Z 2π 0 cos2kθ sin2(p+1)θdθ = α2k,p 6= 0, k = 0, 1, · · · ce qui donne F10(r) = 2 2π n X i=0 ipair airi+2p+1 Z 2π 0

cosiθ sin2(p+1)θdθ (III.3.2) Donc F10(r) = 1 2πr 2p+1 n X i=0 ipair aiαi,pri. (III.3.3) Le polynôme F10 a au plus hn 2i racines positives. 

Exemple 1

La méthode de moyennisation du premier ordre montre que le système (

˙x = y, ˙

y = −x −  [(1 − 5x2_{+ x}4_{)] y}3_{+ x} (III.3.4)

admet au plus deux cycles limites. En eet si on pose p = 1, f(x) = 1−5x2_+x4

et g(x) = x dans le système (III.2.2), l'équation III.3.3 devient F10(r) =

r3

128(48 − 40r

2_{+ 3r}4_).

Ce polynôme possède deux racines positives distinctes en r2_{. Ces racines sont} 2

√ 3 et 2

√

3 respectivement. D'où on a deux cycles limites d'amplitudes r1 =

q 2 √ 3 ' 1.1547 et r2 = p 2√3 ' 3.4641. Voir III.2.

Chapitre III. Cycles limites des systèmes polynomiaux de Liénard généralisés -3 -2 -1 1 2 3 -3 -2 -1 1 2 3

Figure III.2  Les deux cycles limites du système (III.3.4).

III.3.2 Démonstration de la partie (b) du théorème III.4

Posons f1(x) = n X i=0 aixi, g1(x) = m X i=0 bixi, f2(x) = n X i=0 cixi et g2(x) = m X i=0 dixi.

Maintenant, on va appliquer la méthode de moyennisation du seconde ordre pour le système (III.2.3). L'équation (III.2.3) s'écrit en coordonnées polaires (r, θ) sous la forme suivante

                                             ˙r = − n X i=0

airi+2p+1cosiθ sin2(p+1)θ + m X i=0 biricosiθ sin θ ! −2 n X i=0

ciri+2p+1cosiθ sin2(p+1)θ + m X i=0 diricosiθ sin θ ! , ˙ θ = −1 −  r n X i=0

airi+2p+1cosi+1θ sin2p+1θ + m X i=0 biricosi+1θ ! −2 r n X i=0

ciri+2p+1cosi+1θ sin2p+1θ + m X i=0 diricosi+1θ ! (III.3.5)

Considérons θ comme une nouvelle variable indépendante, alors le sys-tème (III.3.5) devient

dr dθ =

n

X

0

airi+2p+1cosiθ sin2(p+1)θ + m X 0 biricosiθ sin θ ! − 2 " _n X 0

ciri+2p+1cosiθ sin2(p+1)θ + m X 0 diricosiθ sin θ ! −1 r n X 0

airi+2p+1cosiθ sin2(p+1)θ + m X 0 biricosiθ sin θ ! × n X 0

airi+2p+1cosi+1θ sin2(p+1)θ + m

X

0

biricosi+1θ

!#

On peut écrire donc dr

dθ sous la forme suivante : dr dθ = F1(θ, r) +  2_F 2(θ, r) + O(3), où F1(θ, r) = n X i=0

airi+2p+1cosiθ sin2(p+1)θ + m X i=0 biricosiθ sin θ, F2(θ, r) = n X i=0

ciri+2p+1cosiθ sin2(p+1)θ + m X i=0 diricosiθ sin θ− r cos θ sin θ n X i=0

airi+2pcosiθ sin2p+1θ + m X i=0 biri−1cosiθ !2 . De (III.3.3), F10 est identiquement nulle si et seulement si ai = 0 pour tout i

pair.

Calculons maintenant F20. Pour cela, nous commençons par chercher

d drF1(θ, r). d drF1(θ, r) = n X i=0 i impair

ai(i + 2p + 1)ri+2pcosiθ sin2(p+1)θ + m

X

i=1

ibiri−1cosiθ sin θ,

et Z θ 0 F1(φ, r)dφ = n X i=0 airi+2p+1 Z θ 0 cosiφ sin2(p+1)φdφ+ m X i=0 bjrj Z θ 0 cosjφ sin φdφ

Chapitre III. Cycles limites des systèmes polynomiaux de Liénard généralisés D'après la relation (III.3.3), on a

f10(r) = 0 ⇐⇒ ai = 0 ∀ipair Ainsi, on a Z θ 0 F1(φ, r)dφ = n X i=0 iimpair airi+2p+1 Z θ 0 cosiφ sin2(p+1)φdφ+ m X i=0 bjrj  1 − cosj+1_θ j + 1  Notons par y1(θ, r) = n X i=0 iimpair airi+2p+1 Z θ 0 cosiφ sin2(p+1)φdφ On trouve que

y1(θ, r) =a1r2p+2(α11sin2p+3θ) + a3r2p+4(α13sin2p+3θ + α23sin2p+5θ) + · · ·

+alrl+2p+1(α1lsin2p+3θ + α2lsin2p+5θ + · · · + αl+1 2 lsin 2p+l+2_θ) +b0(1 − cos θ) + · · · + bmrm( 1 m + 1(1 − cos m+1_θ)), Donc Z θ 0

F1(φ, r)dφ =a1r2p+2(α11sin2p+3θ) + a3r2p+4(α13sin2p+3θ + α23sin2p+5θ) + · · ·

+alrl+2p+1(α1lsin2p+3θ + α2lsin2p+5θ + · · · + αl+1 2 lsin 2p+l+2_θ) +b0(1 − cos θ) + · · · + bmrm( 1 m + 1(1 − cos m+1_θ)), (III.3.6) où l est le plus grand nombre impair inférieur ou égal à n et αij sont des

constantes réelles calculées de l'intégration Rφ 0 cos

i_{φ sin}2(p+1)_{φdφ pour tout i.}

De plus, on a Z 2π 0 cosiθ sin2p+1θdθ = 0, i =0, 1, · · · Z 2π 0

cos2i+1θ sin2(p+1)θdθ = 0, i =0, 1, · · · Z 2π 0 cosiθ sin θdθ = 0, i =0, 1, · · · Z 2π 0 cos2iθ sin2(p+1)θdθ = A2(p+1)_2i 6= 0, i =0, 1, · · ·

Alors Z 2π 0 d drF1(θ, r)y1(θ, r)dθ = Z 2π 0    l X i=1 iimpair

(i + 2p + 1)airi+2pcosiθ sin2(p+1)θ + m X j=0 jbjrj−1cosjθ sin θ    × n X i=0

ri+2p+1(α1isin2p+3θ + α2isin2p+5θ + · · · + αi+1 2 isin (2p+i+2)_θ) + m X j=0 bj j + 1(1 − cos j+1_θ)rj # dθ Ce qui donne Z 2π 0 d drF1(θ, r)y1(θ, r)dθ = l X i=1 iimpair k X j=0 jpair −(i + 2p + 1) j + 1 aibjr i+j+2p Z 2π 0

cosi+j+1θ sin2(p+1)θdθ

+ l X i=1 iimpair k X j=0 jpair jaibjri+j+2p Z 2π 0 α1icosjθ sin(2p+4)θdθ + · · · + Z 2π 0 αi+1 2 icos j θ sin(2p+i+3)θdθ  = r2p+1 α˜10a1b0+ ( ˜α12a1b2+ ˜α30a3b0)r2+ · · · + X i+j=l+k ˜ αijaibjrl+k−1 ! , où ˜ αij = −(i + 2p + 1) j + 1 A 2(p+1) i+j+1 + j  α1iA 2(p+2) j + · · · + α1+i₂ iA i+2p+3 j