Université de Badji mokhtar Annaba
Faculté des Sciences
Département des Mathématiques
Mémoire présenté en vue de l'obtention du diplôme de
MAGISTER
de l'Ecole Doctorale de Mathématiques
Option : Mathématiques appliquées
Méthode des équations intégrales pour
l'opérateur de Helmholtz dans le plan.
Elaboré par
FENIZRI FATIMA
Devant le jury composée de :
♦ Président :
♦ Rapporteur : Dr.SAKER H. MCA U. Annaba
Annaba, 2012
Remerciement
Avant tout, Le plus grand merci revient à DIEU qui lui seul guide nos pas dans le bon sens durant notre vie.Je tiens particulièrement à remercier vivement mon encadreur Monsieur H.Saker, Maître de conférence à l'université d'Annaba, pour sa guidance et son soutient indéfectible durant la préparation de ce projet, dès le début sa con ance à mon égard et à mon travail m'a donnée une énergie et une inspiration de soulever toutes les di cultés.
Je souhaite également remercier à Monsieur A.Nouar et touts les enseignants pour que j'ais la chance de réaliser les études que je désirais.
Ma sincère reconnaissance à tous les membres du jury pour l'honneur qu'il me font en acceptant de présider et examiner ce travail.
Un grand merci à tous les enseignants pour leurs conseils précieux tout au long de mes études. J'ai également à remercier pour toute les amies, mes collèges, mes copines et particulièrement Rahima Hamdhouche, qui m'ont apporté leur support moral tout au long de ma démarche, que me pardonnent celles que j'oublie ici, mais j'adresse des personnes que je le plaisir de remercier par exemple : souhila, Bahia, Zina, Nabila... etc, pour leurs encoragements.
En n je remercie tout personne je connais et tout les personnel administratif du département des mathématiques.
Je dédie ce modeste travail
A ma mère et mon père qui par leur dévouement et leur aection ont été pour moi un soutiens tout au long de mes études et ma vie.
A mon mari
A mes frères, mes soeurs, mes chères copines, mes collègues, mes amis A tout la famille Fenizri , Brahimi et Mouada
Je dédie ce travail à toute personne de proche ou de loin n'a pas cessé de me guider et de m'encourager durant la réalisation de ce travail.
T
ABLE DES MATIÈRES
Table des matières i
Résume 1 Abstract 3 Introduction générale 5 Préliminaires 9 1 Notions Fondamentales 11 1.1 Motivation . . . 11 1.2 Analyse Fonctionnelle. . . 12 1.2.1 Théorème de Lax-Melgram . . . 12 1.2.2 L’Alternative de Fredholm . . . 12
1.2.3 Les injections compactes . . . 13
1.3 Les espaces de Sobolev . . . 14
1.3.1 Les espaces de Lebesgue. . . 14
1.3.2 Les espaces de Sobolev d’ordre entier . . . 15
1.3.3 Les espaces de Sobolev d’ordre partiel . . . 16
1.3.4 Les injections des espaces de sobolev . . . 18
1.4 Théorie des Distributions. . . 19
1.4.1 Définition d’une Distribution. . . 19
1.4.2 La fonction de Dirac . . . 20
1.4.3 La convolution . . . 21
1.5 Transformation de Fourier . . . 22
1.5.1 Définition de transformée de Fourier . . . 22
1.5.2 Quelques propriétés des transformées de Fourier . . . 23
1.5.3 Quellque transformées de Fourier paires . . . 23
1.6 Fonctions de Green et solutions élémentaires . . . 24
1.6.1 La solutions élémentaires . . . 24 i
1.6.2 La fonctions de Green . . . 25
1.6.3 Quellque fonction de Green dans des espace libres . . . 26
1.7 Equation aux dérivées partielles . . . 26
1.8 Les opérateurs intégraux . . . 27
1.8.1 Définitions . . . 27
1.8.2 Noyaux intégraux. . . 27
1.9 Les opérateurs pseudo-différentiels. . . 28
1.9.1 Opérateur différentiel . . . 28
1.9.2 Opérateur pseudo-différentiel . . . 28
1.9.3 Classe des symboles d’ordre m . . . 29
1.9.4 Dévelopement asymptotique des éléments de la classe des symboles . . . . 29
1.9.5 Symbole principale . . . 32
2 Méthode des equations intégrales pour l’opérateur de Helmholtz dans un domaine borné deR2 35 2.1 Introduction . . . 35
2.2 Formulation du problème . . . 36
2.3 Etude variationnelle . . . 36
2.4 Interprétation variationnelle . . . 40
2.5 Formules de représentations et équations intégrales . . . 41
2.5.1 Problème intérieur . . . 41
2.5.2 Problème extérieur. . . 45
2.6 Propriétes des opérateurs intégraux au bord . . . 50
2.7 Existence et unicité . . . 54
2.7.1 Propriétés D’équivalence . . . 56
3 Méthode des équations intégrales pour l’opérateur de Helmholtz dans tout le plan. 59 3.1 Introduction . . . 59
3.2 Problème direct de diffraction . . . 60
3.3 La solution élémentaire . . . 62
3.4 Le comportement asymptotique de la solution élémentaire . . . 64
3.5 Problème de la transmission . . . 65
3.6 Formules de représentations et L’équations intégrales . . . 66
3.6.1 Formules de représentation : . . . 66
3.6.2 Equations intégrales . . . 69
3.6.3 Formules de représentations et équations intégrales particulières . . . 70
3.7 Le comportement asymptotique de la solution du problème : . . . 74
3.8 Existence et unicité . . . 75
TABLE DES MATIÈRES iii
3.8.2 Régularité des opérateurs intégraux aux bord . . . 76
3.8.3 Application aux équations intégrales . . . 76
3.8.4 Conséquences de l’alternative de Fredholm. . . 79
4 Méthode des équations intégrales pour l’opérateur de Helmholtz dans demi plan 81 4.1 Introduction . . . 81
4.2 problème direct de diffraction . . . 82
4.2.1 Définition de problème . . . 82
4.2.2 Champ reflété et d’incident. . . 84
4.3 La solution élémentaire . . . 86
4.3.1 Définition de problème . . . 86
4.3.2 Cas spéciaux . . . 87
4.3.3 Résolution de problème . . . 87
4.3.4 Extension et propriétés de la solution élémentaire . . . 100
4.4 Comportement asymptotique de la solution élémentaire . . . 102
4.4.1 Décomposition de Comportement asymptotique . . . 102
4.4.2 Le onde de volume dans le comportement asymptotique . . . 102
4.4.3 Le onde de surface dans le comportement asymptotique . . . 104
4.4.4 Le Comportement asymptotique copmlét de la solution élémetaire . . . 105
4.5 Formules de représentations et équations intégrales . . . 107
4.5.1 Formules de représentations . . . 107
4.5.2 équations intégrales . . . 110
4.6 Comportement asymptotique à l’infini de la solution du problème . . . 111
4.7 Existence et unicité . . . 112
4.7.1 Les espaces de fonction . . . 112
4.7.2 Application aux équations intégrales . . . 114
Conclusion générale et perspectives 117
Bibliographie 119
R
ÉSUMÉ
L’objective de cet thèse est de traiter un problème aux limites elliptique, dit de Helmholtz dans le plan par la méthode des équations intégrales. L’idée principale de cette méthode consiste à transformer la résolution d’un probléme aux limites en une équation intégrale sur la frontière, qui a un avantage très importants : Réductions de la dimension du problème considéré d’une unité, c’est à dire l’équation à résoudre à lieu sur la frontière. Il est possible de résoudre aussi le problème intérieur que le problème extérieur. L’étude est fait dans des domaines bornés ainsi que des domaines non bornés deR2, pour voir la progression de la difficulté dans la construction des équations intégrales qui nécessite de calculer la solution élémentaire de Helmholtz et leur comportement asymptotique à l’infini. L’existence et l’unicité de la solution des problèmes traités sont obtenus à l’aide de la théorie des opérateurs pseudo-differentiels et l’alternative de Fredholm.Mots clés :
L’équation de Helmholtz, formules de Green, solution élémentaire, les théorèmes de Fredholm, les opérateurs pseudo-differentieles, l’inégalité de Gårding, méthode de Potentiel.
A
BSTRACT
The objective of this thesis is to treat an elliptic value problem, known as of Helmholtz in the plan by the integral equations method. The main idea of this method is to transforming the re-solution of a value problem into an integral equation on the boundary, which has un important advantage : reduction of the dimension of the considered problem into one .i.e. the equation to be solved with place on the boundary. As, It is possible to solve the interior problem as the external problem. The study is treated in bounded and unbounded domains ofR2, to see the progression of the difficulty in the construction of the integral equations which requires to calculate the ele-mentary solution of Helmholtz and their asymptotic behavior. The existence and the uniqueness of the solution associated with problems treated are obtained using the theory of the pseudo-differentiels operators and the alternative of Fredholm.Key words :
The equation of Helmholtz, formulas of Green, elementary solution, theorems of Fredholm, pseudo-differentieles operators, the inequality of Gårding, method of Potential.
I
NTRODUCTION GÉNÉRALE
L’étude des équations intégrales et de leur résolution numérique est un sujet qui connaît un grand succés. Mais comme les autre méthodes elle admet des aventage et des inconvénient. Les système physique les plus souvent rencontrés dans la vie courant, se décrivent habituellement par systèmes d’équations aux dérivées partielles, par exemple( l’opérateur de Laplace, de Helmholtz, du bilaplacien ...), peuvent être réduits en équations intégrales sur la frontière, par la méthode des équations intégrales qui a débuté avec les travaux de Fredholm, principal fondateur de la théorie des équations intégrales de deuxième espèce, qui porte son nom.
Un point forte de ces méthodes est réductions de la dimension du problème considéré d’une unité, c’est à dire l’équation à résoudre à lieu sur la frontière. Il est possible de résoudre aussi le problème intérieur que le problème extérieur et aussi la possibilitée de traiter des domaines infinis ou semi-infinis (problèmes extérieures) sans avoir à tranquer artifficiellement le domaine d’étude. D’autre part ces méthodes utilisent des solutions élémentaires, elles donc seulement appli-cables à des problèmes décrits pour les opérateurs aux dérivées partielles linéaires à coefficients constants. Ceci peut apparaître un inconvénient, mais heureusement que les systèmes physiques, décrits par des opérateurs de ce type, sont trés fréquement rencontrés dans la pratique. Il est aussi possible d’étendre le domaine d’application en couplant les éléments frontières avec des éléments classiques.
Un autre inconvénient dans la plupart des cas, est que la classe des opérateurs intégraux ob-tenus est plus large que celle des équations de Fredholm de deuxième espèce à noyau faiblement singulière. Ces difficultés peuvent être surmontées, si on interprète les opérateurs intégraux obte-nus en tant qu’opérateurs pseudo différentiels et, via le calcul symbolique lié à ce dernier, permet de contourner cette difficulté majeur, pour pouvoir obtenir ainsi a des résultats d’unicité et d’exis-tence de la solution.
Un autre inconvénient est basé sur le domaine (demi-plan). Cette situation est gênante pour la réduction des problèmes considérés sur le bord.
Une autre direction de recherche est née avec les travaux de Wendland qui consiste à interpré-ter n’imporet quel opérateur intégral en tant qu’opérateur pseudo-différentiel, via le calcul
bolique associé à ce dernier, pour obtenir des résultats d’existence et d’unicité de la solution. Donc on peut appliquer la théorie des opérateurs pseudo-différentiels qui permet de formuler des pro-priétés commune, telle l’ellipticitée forte et la coercivité sous la forme de l’inégalité de Gårding, pour une large classe d’espaces de sobolev.
Le plan de ce travail est le suivant :
On comence par un rappel des résultats mathématiques qui est nécessaire pour la suite du travail.
Plus précisémment, dans le deuxième chapitre, on présente la méthode direct des équations intégrales de l’opérateur de Helmholtz pour le problème de Dirichlet et Neumann on utilisée la formule de Green pour calculé la formule de réprésentation et l’équation intégral, dans le cas in-térière et exin-térière, aprés on étudie l’existance et unicité de la solution
Les équations intégrales obtennues dans ce chapitre, sont de différents types :
– des équations intégrales de Fredholm de premières espèces avec noyau faiblement singu-lière.
– des équations intégrales de Fredholm de deuxième espèces avec noyau non intégrable, qui interprétée au sens d’une valeur principal.
– un système d’équations intégrales.
Elle sont fortement elliptiques, et la propriété de coercivité est obtenue sous la forme de l’in-égalité de Gårding, ceci permet d’obtenir un bon résultat d’existence et d’unicité.
Dans le troisième chapitre : on étude un problème extérieur de diffraction pour l’opérateur
de Helmholtz dans tout le plan avec une condition de frontière d’impédance. Les équations in-tégrales obtenues ici, sont de type de Fredholm, ainsi on peut appliquer la théorie de Fredholm pour obtenir des résultats d’existence et d’unicité. Le fait que cette théorie est s’amarche, permet de transférer le problème posé pour l’existence qui est difficile de prendre en un problème d’uni-cité qui est facile d’obtenir.
Dans le quatrième chapitre, qui est le principal, on étude un problème extérieur de
diffrac-tion pour l’opérateur de Helmholtz dans un domaine non borné qui est le demi-planR2+avec une condition de frontière d’impédance. cette étude nécessicite de calculer la solution élémentaire et leur comportement asymptotique dans un demi-plan pour avoir la construction de la formule de représentation et l’équation intégrale associés aux problème traité. Avec les propriétés des opéra-teurs intégraux aux bord, l’équation intégrale obtenue est de type de Fredholm, ceci nous donne un bon résultat d’éxistence et d’unicité.
7
Finalement, nous terminons ce travail avec une conclusion dégage les perspectives impor-tantes qui font suite à ce travail
P
RÉLIMINAIRES
Avant de procéder à l’étude, nous allons introduire quelques notions qui seront utilisées dans toute la suite de travail.§1On désigne toujoure parΩ un domaine ouvert, boené et non vide de l’espace réel IR2.qui est
muni de façon naturelle du produit scalaire x.y = x1y1+ x2y2et de la norme | x |= (x12+ x22)
1 2
On note par∂Ω := Γ, la frontière de Ω, c’est-à-dire Γ := ¯Ω/Ω. On note aussi par B(x0, R),la boule
ouverte de centre x0et de rayon R, et par BR:= B(O,R). XΩquand à elle, désigne la fonction
carac-téristique deΩ.. Ω0est son complémentaire,i-eΩ0= R2/Ω
§2Notant par~η le vecteur normal à surface extérieur au domaine Ω.Cependant,∂η∂ représente
la dérivée normale extérieure sur la frontière.On note aussi par [u2− u1] |Γ,le saut de u de
l’exté-rieur du domaine vers l’intél’exté-rieur.
§3Une équation aux dérivées partielles d’ordre m dansR2est une équation de la forme
X
|α|≤m
aα(x)Dαu(x) = f (x), x ∈ R2
Les fonctions aαsont les coefficients de aα(x)Dα.On désigne par
P (x, D) = X
|α|≤m
aα(x)Dα
l’opérateur aux dérivées partielles linéaire. L’équation caractéristique, quand à elle est donnée par
pm(x, D) =
X
|α|=m
aα(x)τα= 0 Maintenant, p(x, D) est elliptique dansΩ, si pour tout x0∈ Ω, on a
X
|α|=m
aα(x0)τα6= 0 pourtout τ 6= 0
Il est fortement elliptique, s’il existe une constante c positive telle que : | X
|α|=m
aα(x0)τα|º c | τ |2k, pourtout x0∈ Ω, k  0
§4On utilise les abréviations suivantes :
1. ord( ) :L’ordre de l’opérateur pseudodifférentiel. 2. (O.ψ.D) :Opérateur pseudodifférentiel.
3. cont,→ :Continuité de l’application. 4. comp,→ :Compacité de l’application.
§5Enfin, On a les notations suivants :
1. Les crochets 〈.,.〉, pour désigner une paire de dualité. 2. L’autre paire de dualité
*Ã u v ! , Ã φ ψ !+
,sera définie par :
*Ã u v ! , Ã φ ψ !+ = 〈u, ψ〉 + 〈v, φ〉 3. Les (.,.) pour désigner le produit scalaire.
4. δ pour désigner la distribution de Dirac.
5. le carré,pour designer la fin d’une démonstration.
D’autre notions seront utilisées dans le texte,mais on a préféré ne pas les noter ici, puisque elles soit liées soit à des définitions soit à des théoèmes.De tout façon, elles seront claires d’aprés le contexte
C
H
A
P
IT
R
E
1
N
OTIONS
F
ONDAMENTALES
1.1 Motivation
Tout problème de la phisique mathématique conduit naturellement à la résolution d’une ou de plusieurs équations fonctionnelles que nous ecrivons sous la forme simplifiée
AU = F (1.1)
où A est un operateur d’un espace X dans un espace Y , F est donnée dans Y ,U est recherché dans
X . Par exemple, les équations différentielles, les équations intégrales et les équations aux dérivées
partielles.
En général,la solution de (1.1) est impossible à déterminer explicitement , où encore si sa forme explicite est compliquée elle est inutilisable et on s’intéresse donc à la resolution approchée de l’équation. Proprement dite,l’idée est de remplacer les espaces X et Y par des espaces plus simple
Xhet Yhet d’associer à l’équation (1.1) une famille d’équations approchées
AUh= Fh (1.2)
où Fh∈ Yhapproxime F et Uh∈ Xhapproxime U .
pour passer d’un problème exacte à un problème approché,il faut d’etudier l’existence et l’uni-cité la méthode d’approximation utilisée.
Nous allons utiliser l’outil des opérateurs pseudo-différentiells, pour l’étude des problèmes, comportant une classe d’équations intégrales, plus large que celle des équations intégrales de
Fredholm de deuxième espèce. C’est la raison pour laquelle,on insistera dans le premier chapitre sur le concept des opérateurs pseudo-différentiells.
1.2 Analyse Fonctionnelle
a) Soit H un espace de Hilbert réel muni du produit scalaire 〈.,.〉 et de la norme associée k.kH.
On désigne par H0l’espace dual de H .
1.2.1 Théorème de Lax-Melgram
Soit a : H × H → R une forme bilinéairecontinue et coercive,c-à-d,il existe M > 0 et α > 0 telle que pour tout u, v ∈ H :
|a(u, v)| ≤ MkukH.kvkH, (1.3)
ℜe{a(u, v)} ≥ αkuk2H. (1.4)
Alors, pour tout fonctionnelle linéaire continue f : H → R sur H il existe une solution unique u ∈ H telle que
a(u, v) = 〈f , v〉H0,H ∀v ∈ H. (1.5) De plus,la solution u depend continument sur f :
kukH≤
1
αk f k0H. (1.6)
1.2.2 L’Alternative de Fredholm
L’Alternative de Fredholm est un théorème qui caractérise l’existence et l’unicité de la solu-tion d’un problème linéaire perturbé et compact. Soit X un espace de Banach, si T ∈ L(X ) est un opérateur copmact , alors
1. N (I − T ) est de Dimension finie,
2. R(I − T ) est fermée, c-à-d, R(I − T ) = N (I − T∗)⊥, 3. N (I − T ) = {0X} ⇔ R(I − T ) = X ,
4. dimN (I − T ) = dimN (I − T∗).
En résolvant une équation de la forme u − Tu = f , l’Alternative de Fredholm est ainsi énoncée comme suit :
Pour tout f ∈ X l’équation u−Tu = f admette une solution unique u ∈ X qui dépend continu-ment de f ; ou l’équation homogène u −Tu = 0X admette n solutions linéairement indépendantes
1.2. ANALYSE FONCTIONNELLE 13
(pas nécessairement uniquement) si et seulement si f satisfait n conditions d’orthogonalité, c- `
a-d, f ∈ R(I − T ) = N (I − T∗)⊥, qui est de dimension finie.
L’importance de l’alternative de Fredholm se situe dans le fait qu’elle transforme le problème d’existence pour la solution de l’équation non homogène u−Tu = f , qui est tout à fait difficile, à un problème d’unicité qui enlève les solutions non triviales pour l’équation homogène u − Tu = 0X,
qui est plus facile d’accomplir. En d’autres termes, ce théorème nous indique qu’une perturbation compacte de l’opérateur d’identité est injective si et seulement si elle est surjective. Nous remar-quons que l’alternative toujours valide quand nous remplaçons I − T par S − T , où S ∈ L(X ) est un opérateur linéaire, continu et inversible leur inverse S−1 est aussi continu . Ceci provient du fait qu’une équation de la forme Su − Tu = f peut étre alors transformée aisément en forme équiva-lente u − S−1Tu = S−1f , où S−1T est compact puisque T est compact.
Une autre manière d’exprimer l’alternative de Fredholm est par la formulation classique, en considérant les quatre équations :
u − Tu = f d ansX (1.7)
u − Tu = 0E d ans X (1.8)
w − T∗w = g d ansX∗ (1.9)
w − T∗w = 0∗E d ans X∗ (1.10)
Si T ∈ L(X ) est un opérateur compact, alors on a l’alternative suivante :
– ou bien les deux équations (1.7) et (1.9) admettent pour tous seconds membres f ∈ X , g ∈ X∗ une solution unique u ∈ X , w ∈ X∗.
– ou bien les équations homogènes (1.8) et (1.10) admettent un même nombre fini n > 0 de solutions indépendantes, u1, ··· ,un et w1, ··· , wn. Dans ce cas pour que l’équation (1.7)
ad-mette une solution u ∈ X ,il fautet il suffit que w1( f ) = w2( f ) = ··· = wn( f ) = 0, et pour que
l’équation (1.9) admette une solution w ∈ X∗,il faut et il suffit que g (u1) = g (u2) = ··· =
g (un) = 0.
1.2.3 Les injections compactes
Soit E et F deux espaces de Banach tels que E ⊆ F . Nous disons que E est continument inclus dans F , écrit comme E ,→ F , si E est un sous-espace de vectoriel de F et si l’op ´erateur d’identitéc
I : E −→ F d ´efini par I (v) = v pour tous v ∈ E est continu, c-à-d, s’il existe une constante C tels que
kvkF ≤ C kvkE ∀v ∈ E . (1.11)
D’ailleurs,l’espace E serait de manière compacte continument inclu dans F , écrit comme Ecomp,→
F si E est continument inclus dans F et si l’opérateur d’identité I : E −→ F est un opérateur
1.3 Les espaces de Sobolev
Soit f une fonction réel, ou plus généralement, une fonction à valeur complexe définie sur le domaineΩ, et soit α = (α1,α2, ··· ,αN) ∈ NN0, nous écrivons
Dαf = µ ∂ ∂x2 ¶α2µ ∂ ∂x1 ¶α1 · · · µ ∂ ∂xN ¶αN f (1.12)
pour noter une dérivée partielle mixte de f d’ordre
|α| = α1+ α2+ · · · + αN. (1.13)
1.3.1 Les espaces de Lebesgue
Les Lp ou les espaces de Lebesgue correspondent aux classes des fonctions mesurables de Lebesgue définis sur le domaineΩ ⊂ RN. Ils sont définis,pour 1 ≤ p ≤ ∞, par
Lp(Ω) = {f : Ω → C|kf kLp(Ω)< ∞}, (1.14)
où la norme de Lp est donnée par k f kLp(Ω)= ( ¡R Ω| f (x)|pdx ¢1/p , 1 ≤ p < ∞, supp essx∈Ω| f (x) |, p = ∞. (1.15)
Nous disons que deux fonctions sont égaux presque partout si elles sont égaux sauf sur un en-semble de mesure zéro. Les fonctions qui sont égaux presque partout dans le domaineΩ sont donc identifiés dans Lp(Ω). Le supp essentiel est de même défini dans ce sens par
supp essx∈Ω| f (x)| = inf{C > 0 : | f (x)| ≤ C presque partout dans Ω}. (1.16) Nous remarquons que les espaces Lp , muni avec la norme de Lp, sont des espaces de Banach. Un espace vectoriel normé serait séparable s’il contient un sous-ensemble dense comptable.
Pour 1 < p < ∞, nous avons que l’espace Lp(Ω) est espace séparable, réfléxif, et son dual Lp(Ω)0 est identifié avec Lq(Ω), où p1+q1= 1. L’espace L1(Ω) est un espace séparable, mais non réfléxif, et son dual L1(Ω)0est identifié avec L∞(Ω). L’espace L∞(Ω) est ni un espace séparable ni réfléxif, et son dual L∞(Ω)0est strictement contenu dans L1(Ω). Si
fi∈ Lpi(Ω) (1 ≤ i ≤ n) avec 1 p= n X i =1 1 pi ≤ 1, 1 ≤ pi ≤ ∞, (1.17) alors la multiplication de ces fonctions fi est telle que
1.3. LES ESPACES DE SOBOLEV 15
et de plus
k f kLp(Ω)≤ k f kLp1(Ω)k f kLp2(Ω)...k f kLpn(Ω) (1.19)
Si f ∈ k f kLp(Ω)∩ k f kLq(Ω) avec 1 ≤ p ≤ ∞, alors f ∈ k f kLr(Ω) pour tout p ≤ r ≤ q, et nous avons
d’ailleurs l’inégalité d’interpolation k f kLr(Ω)≤ k f kα Lp(Ω)k f k1−αLq(Ω), o `u 1 r = α p+ 1 − α q (1.20)
Dans le cas particulier quand p = 2, on obtient que L2(Ω) est aussi un espace de Hilbert muni au produit intérieur
( f , g )L2(Ω)= Z
Ωf (x)g (x)dx, ∀f , g ∈ L
2(Ω). (1.21)
Son espace dual L2(Ω)0est identifié avec l’espace L2(Ω) lui-même. Nous pouvons de même définir les espaces Ll ocp par
Lpl oc(Ω) = {f : Ω → C|f ∈ Lp(K ) ∀K ⊂ Ω,K compact}, (1.22) qui comportent localement comme des espaces Lp, c-à-d, sur chaque sous-ensemble compact
K ⊂ Ω.
1.3.2 Les espaces de Sobolev d’ordre entier
Nous définissons maintenant les espaces de Sobolev Wm,ppour 1 ≤ p < ∞ et m ∈ N0, par
Wm,p(Ω) = {f : Ω → C|Dαf ∈ Lp(Ω)∀α ∈ N0N, |α| ≤ m}, (1.23) ou alternativement, par
Wm,p(Ω) = {f : Ω → C|kf kWm,p(Ω)< ∞}, (1.24)
muni d’une norme donnée par
k f kWm,p(Ω)= ³ P |α|≤mkDαf k p Lp(Ω) ´p1 , 1 ≤ p < ∞, max|α|≤mkDαf kLpp(Ω), p = ∞. (1.25)
Les espaces de Sobolev Wm,psont réellement les espaces de Banach, à condition que les dérivées soient données dans le sens des distributions (section (1.4)). Si m = 0, alors on a
W0,p(Ω) = Lp(Ω), 1 ≤ p ≤ ∞. (1.26) Pour p = 2 l’espace Wm,2(Ω) devient un espace de Hilbert, et il est dénoté en particulier par
L’espace Hm(Ω) est muni avec le produit intérieur 〈 f , g 〉Hm(Ω)= X |α|≤m Z ΩD αf (x)Dαg (x) dx ∀f , g ∈ Hm(Ω), (1.28) et par conséquent avec la norme
k f kHm(Ω)= Ã X |α|≤m Z Ω|D αf (x)|2dx !1/2 ∀ f ∈ Hm(Ω). (1.29)
Nous nous associé à Hm(Ω) comme espace de Sobolev d’ordre m. Les espaces de Sobolev d’ordre plus supérieur contiennent éléments avec un degré plus élevé de douceur ou de régu-larité. Nous remarquons que si f ∈ Hm(Ω) alors ∂x∂fi ∈ Hm−1(Ω) pour 1 ≤ i ≤ N.
En raison de la densité, nous pouvons définir maintenant l’espace H0m(Ω) comme la ferméture de C0m(Ω) avec la norme de Hm(Ω), c-à-d,
H0m(Ω) = C0m(Ω)k.k
m H(Ω)
. (1.30)
Nous remarquons que si le domaineΩ est assez régulier, alors l’espace Hm(Ω) peut être défini alternativement comme accomplissement de C∞( ¯Ω) associé à la norme kHm(Ω)k, qui signifie que pour tout f ∈ Hm(Ω) il existe une suite {fk}k∈N⊂ C∞( ¯Ω) telle que
lim
k→∞k f − fkkH
m(Ω)= 0. (1.31)
D’autre part, on a les propriétés suivantes D(Ω) ⊂ Hm
0 (Ω) ⊂ H0k(Ω) ⊂ L2⊂ H−k(Ω) ⊂ H−m(Ω) ⊂ D0(Ω) (1.32)
avec une inérons les espaces de Sobolev localement définés, donnés par
Hl ocm (Ω) = {f : Ω → C|f ∈ Hm(K ) ∀K ⊂ Ω,K compact}, (1.33) qui sont définés comme les espaces Hm sur chaque sous-ensemble compact K deΩ, et pouvent être traité dans le cadre des espaces de Fréchet.
1.3.3 Les espaces de Sobolev d’ordre partiel
Les espaces de Sobolev peuvent être définis aussi pour des valeurs non-entières de m, pré-tendu des ordres partiels notés par s. pour ceci nous considérons d’abord le cas particulier quand le domaineΩ est tout l’espace RN, dans ce cas les espaces de Sobolev d’ordre partiel sont définis aussi d’une transformée de Fourier (section1.5). Pour une valeur réelle s nous utilisons la norme
k f kHs(RN)= µZ RN(1 + |ξ| 2)s | ˜f (ξ)|2dξ ¶1/2 , (1.34)
1.3. LES ESPACES DE SOBOLEV 17
où ˜f dénote la transformée de Fourier du f . le facteur pesant (1 + |ξ|2)s/2 est connu comme po-tentiel de Bessel d’ordre s. L’expression (1.34) définit une norme équivalente à (1.29) dans Hm(RN) si s = m, mais s’obtient aussi pour s non-entier et même négative. Si s est réel et positif, alors les espaces de Sobolev d’ordre partiel sont définis par
Hs(RN) = { f ∈ L2(RN) : kf kHs(RN)< ∞}, (1.35)
qui est équivalent à la définition donnée précédemment, quand s = m. Si nous permettons des valeurs négatives pour s, alors la définition (1.35) doit être prolongée pour admettre aussi des dis-tributions tempérées dansS0(RN) (section (1.4) et (1.5)). Ainsi en général, si s ∈ R, alors les espaces de Sobolev d’ordre partiel sont définis par
Hs(RN) = { f ∈ S0(RN) : k f kHs(RN)< ∞}. (1.36)
Nous observons que l’espace de Sobolev H−s(RN) est l’espace dual de Hs(RN).
Si nous considérons maintenant un sous-domain appropriéΩ de RN, alors les espaces de So-bolev d’ordre partiel , pour s ≥ 0, sont définis par
Hs(Ω) = {f : Ω → C|∃F ∈ Hs(RN) t el que FΩ= f }. (1.37) et avez la norme
k f kHs(Ω)= inf{kF k
H−s(RN): FΩ= f }. (1.38)
Nous remarquons que siΩ est un domaine non admissible, alors la nouvelle définition (1.37) n’est pas équivalente à la définition pour s = m.
Quand C0∞(Ω) ⊂ C∞(Ω) ,où pour tout f ∈ C0∞(Ω) l’extension trivial par zéro ˜f extérieur de Ω est dans C0∞(RN, nous définissons l’espace ˜Hs(Ω) pour s ≥ 0 pour être le complément de C0∞(Ω) avec la norme
k f kH˜s(Ω)= k ˜f kHs(RN). (1.39)
Cette définition implique que ˜
Hs(Ω) = {f ∈ Hs(RN) : sup p f ⊂ ¯Ω} (1.40) Nous remarquons que l’espace ˜Hs(Ω) est aussi noté comme H00s (Ω), si Ω = RN, alors les es-paces Hset ˜Hscoincident, c-à-d,
˜
Hs(RN) = Hs(RN). (1.41)
Pour des ordres négatifs nous prenons que H−s(Ω) est l’espace dual de ˜Hs(Ω), c-à-d,
où la norme est définie au sens du produit intérieur de L2(Ω), à savoir k f kH−s(Ω)= sup 06=ϕ∈ ˜Hs(Ω) |( f , ϕ)L2(Ω)| kϕkH˜s(Ω) , s > 0. (1.43)
De la même manière, l’espace ˜H−s(Ω) est l’espace dual de Hs(Ω), c-à-d,
˜
H−s(Ω) = Hs(Ω)0, (1.44)
1.3.4 Les injections des espaces de sobolev
C’est principalement les caractéristiques des injections des espaces de Sobolev (section (1.2)) qui rendent ces espaces si utiles dans l’analyse, particulièrement dans l’étude des oparateurs diffé-rentiels et intagraux. En connaissant les propriétés de trace d’un tel opérateur en termes d’espaces de Sobolev, par exemple, il peut être déterminé si l’opérateur est continu ou compact.
DansRN nous avons les injections continus
Hs(RN),→ Hc t(RN) pour − ∞ < t ≤ s < ∞. (1.45) si m ∈ N0et 0 ≤ α < 1, alors on obtient que
Hs(RN),→ Cm,α(RN) pour s > m + α +N
2, (1.46)
qui satisfaite aussi si s = m + α +N2 et 0 < α < 1.
Nous considérons maintenant un domaine fortement LipschitzienΩ ∈ C0,1. Alors nous avons les injections compacts et continus
Hs(Ω)comp,→ Ht(Ω) pour − ∞ < t < s < ∞, (1.47) ˜
Hs(Ω)comp,→ ˜Ht(Ω) pour − ∞ < t < s < ∞, (1.48)
Hs(Ω)comp,→ Cm,α( ¯Ω) pour s > m + α −N2, 0 ≤ α < 1,m ∈ N0. (1.49)
Nous avons aussi l’injection continu
Hs(Ω),→ Cc m,α( ¯Ω) pour s > m + α −N
2, 0 < α < 1,m ∈ N0. (1.50) soitΓ une frontière de classe Ck,1, k ∈ N0, et soit | t |,| s |≤ k +12. Alors nous avons les injections
compacts
Hs(Γ)comp,→ Ht(Γ) pour t < s, (1.51)
1.4. THÉORIE DES DISTRIBUTIONS 19
1.4 Théorie des Distributions
1.4.1 Définition d’une Distribution
SoitΩ un domaine dans RN. On note comme fonctions d’essai dansΩ les éléments de l’espace
C0∞(Ω) des fonctions indéfiniment différentiables à support compact dans Ω. Le support d’une fonction est la ferméture de l’ensemble des points où la fonction s’annule pas. L’espace C0∞(Ω) est aussi noté parD(Ω), c-à-d,
D(Ω) = {ϕ/ϕ ∈ C∞(Ω),suppϕbΩ} = C∞
0 (Ω) (1.53)
un exemple classique d’un fonction testϕ ∈ D(Ω) est donné par
ϕ(x) =
(
exp(( 1
|x|2−1)) si | x |< 1
0 ai l l eur s. (1.54)
La densité deD(Ω) dans L2(Ω) assure que la classe des fonctions test, par exemple (1.54), est suffisament large.
On considère d’autre fonctions d’essai, les fonctions à décroissance rapide, plus précésement, soitϕ ∈ C∞(Rn) tel que
qh(ϕ) = sup x∈R |α|≤h
(1+ | x |2)h| Dαϕ(x) | (1.55) Alors on note par S(Ω) l’espace des fonctions à décroissance rapide qui est donné par
S(Ω) = {ϕ/ϕ ∈ C∞(Rn), ∀h = 1,2,··· qh(ϕ) < ∞}. (1.56)
l’espace dual de S(RN) est l’espace des distributions tempérées qui est noté par S0(RN).
Nous disons que la suite {ϕn} des fonctions test estconverge vers ϕ ∈ D(Ω) s’il existe un
en-semble compact K ⊂ Ω tel que supp(ϕnϕ) ⊂ K pour tout n,et si pour chaque α ∈ N0N,
lim
n→∞D αϕ
n(x) = Dαϕ(x),uniformement surK. (1.57)
Nous définisons une fonctionnelle linéaire et continue T surD(Ω) comme une application de D(Ω) dans le corps K(C ou R),notépar 〈T,ϕ〉 pour ϕ ∈ D(Ω), qui vérifiée
〈T, αϕ1+ βϕ2〉 = α〈T, ϕ1〉 + β〈T, ϕ2〉 ∀α, β ∈ K , ∀ϕ1,ϕ2∈ D(Ω), (1.58)
et tel que
ϕn→ 0 dans D(Ω) =⇒ 〈T, ϕn〉 → 0 d ans K (1.59)
Cette fonctionnel linéaire et continu s’appelle une distribution ou une fonction généralisée. l’es-pace des distributions (de Schwartz) est noté parD0(Ω) et correspond à l’espace dual de D(Ω).
Ainsi, la forme bilinéaire 〈.,.〉 : D0(Ω) × D(Ω) → K représente le produit de dualité entre les deux espaces. proprement dit, quand le champK est pris comme C, alors le produit de dualité doit être considéré comme une forme séquilinéair et les distributions en tant que functionnelles antili-néairs. Néanmoins, pour la simplicité ceci n’est pas habituellement fait, puisque les résultats dans D0(Ω) sont identiques sauf une conjugaison complexe sur les fonctions d’essai dans D(Ω). Nous
notons que l’espaceD0(Ω) a la topologie faible de l’espace dual. L’espace vectoriel et les opérations de convergence dansD0(Ω), si T,S,Tn∈ D0(Ω) et α,β ∈ K, peuvent être caractérisées par
〈αT + βS, ϕ〉 = α〈T, ϕ〉 + β〈S, ϕ〉 ∀ϕ ∈ D(Ω), (1.60) et
Tn→ T d ansD0(Ω) ⇐⇒ 〈Tn,ϕ〉 → 〈T,ϕ〉 dans K ∀ϕ ∈ D(Ω). (1.61)
Les distributions peuvent être aussi multipliées par des fonctions indéfiniment différentiables pour former des nouveaux distributions. si T ∈ D0(Ω) et η ∈ C∞(Ω), alors le produit ηT ∈ D0(Ω) est défini par
〈ηT, ϕ〉 = 〈T, ηϕ〉 ∀ϕ ∈ D(Ω). (1.62)
On remarque, cependant, que le produit de deux distributions n’est pas bien défini en général. Chaque fonction localement intégrable f ∈ L1l oc(Ω) définit une distribution
〈 f , ϕ〉 = Z
Ωf (x)ϕ(x) dx ∀ϕ ∈ D(Ω). (1.63)
la distribution f serait produite par la fonction f . Une distribution qui est produite par une fonc-tion localement intégrable s’appelle une distribufonc-tion régulière. Toutes autres distribufonc-tions s’ap-pellent singulières. Ceci propose la notation
〈T, ϕ〉 = Z
ΩT (x)ϕ(x) dx (1.64)
pour une fonctionnelle linéaire continue T même lorsqu’elle n’est pas une fonction de L1l oc.
1.4.2
La fonction de Dirac
La fonction de Diracδ, qui n’est pas à proprement dit une fonction, était présenté par le phy-sicien théorique britannique Paul Adrien Maurice Dirac (1902 à 1984) comme une technique dispositif dans la formulation mathématique de la mécanique quantique. La fonction de Dirac s’annule partout sauf à l’origine, où sa valeur est infinie, et de sorte que son intégrale a une valeur d’une. Elle est donc définie par
δ(x) =
(
∞ si x = 0, 0 si x 6= 0, (1.65)
1.4. THÉORIE DES DISTRIBUTIONS 21
et a la propriété
Z
Ωδ(x) dx = 1 si 0 ∈ Ω. (1.66)
Il existe aucune fonction avec ces propriétés. Cependant, la fonction de Dirac est bien défini comme distribution, dans ce cas elle associe à chaque fonction d’essaiϕ sa valeur à l’origine. Supposant que 0 ∈ Ω , la fonction de Dirac est défini comme distribution δ qui satisfait
Z
Ωδ(x)ϕ(x) dx = ϕ(0) ∀ϕ ∈ D(Ω). (1.67)
La fonctionnelel linéaireδ défini sur D(Ω) par
〈δ, ϕ〉 = ϕ(0) (1.68)
1.4.3 La convolution
Nous définissons la convolution f ∗ g de deux fonctions f et g de RN àK, s’il existe, comme
f (x) ∗ g (x) =
Z
RN f (y)g (x − y) dy =
Z
RN f (x − y)g (y) dy. (1.69)
La convolution a la propriété de régulariser une fonction en faisant la moyenne, et est une opéra-tion commutative, c-à-d,
f (x) ∗ g (x) = g (x) ∗ f (x). (1.70) La convolution est bien définie si f , g ∈ L2(RN). Elle peut être encore prouvée que la convolution
Lp(RN) ∗ Lq(RN) est bien définie pour p, q, r ≥ 1 et telle que p1+1q − 1 = 1r. Dans ce cas, si f ∈
Lp(RN) et g ∈ Lq(RN) , alors f ∗ g est dans Lr(RN). D’ailleurs, la notion de la convolution peut être prolongée au cadre des distributions, dans ce cas les convolutionsD(RN) ∗ D0(RN),S (RN) ∗ S0(RN),E (RN
)∗E0(RN) et mêmeE0(RN)∗S0(RN) etE0(RN)∗D0(RN) soyent bien défini. ParE0(RN) nous notons le sous-espace deD0(RN) de ces distributions qui ont un support compact, qui est le dual de E (RN) = C∞(RN). On peut montrer que E0(RN) est aussi un sous-espace linéaire de S0(RN). Les inclusions sont telles que
D ⊂ E0,S ⊂ S0,E ⊂ D0,D ⊂ S ⊂ E ,et E0⊂ S0⊂ D0. (1.71)
Si T ∈ D0(RN) etϕ ∈ C∞(RN), alors la convolution T ∗ ϕ est définie par
T (x) ∗ ϕ(x) = 〈T (y),ϕ(x − y)〉 = 〈T (x − y),ϕ(y)〉. (1.72)
si S ∈ E0(RN) et T ∈ D0(RN), alors
ψT(y) = 〈T (x),ϕ(x + y)〉 ∈ C∞(RN), (1.73)
et pour cette raison la convolution T ∗ S est définie par
〈S(x) ∗ T (x), ϕ(x)〉 = 〈S(y), 〈T (x), ϕ(x + y)〉〉 = 〈T (y), 〈S(x), ϕ(x + y)〉〉 (1.75) pour toutϕ ∈ D(RN).
Soit T ∈ D0(RN) une distribution. Alors la fonction de Diracδ agit comme un élément neutre pour la convolution, c-à-d
δ ∗ T = T ∗ δ = T. (1.76) La fonctionδ permet aussi de décaler des arguments au sense de
δa(x) ∗ T (x) = T (x) ∗ δa(x) = T (x − a). (1.77)
La convolution a la propriété de distribuer les dérivés parmi ses membres. Ainsi, si S ∈ E0(RN) et T ∈ D0(RN), alors ∂ ∂xj{S ∗ T } = ∂S ∂xj ∗ T = S ∗ ∂T ∂xj, j ∈ {1,2,··· , N }, (1.78) et, plus généralement,
Dα{S ∗ T } = DαS ∗ T = S ∗ DαT, α ∈ NN0. (1.79)
1.5 Transformation de Fourier
1.5.1 Définition de transformée de Fourier
Nous définissons la transformée de Fourier directe ˜f = F {f } d’une fonction intégrable f ∈ L1(Rn) comme b f (τ) = 1 (2π)n/2 Z RN f (x) exp −i xτ dx, τ ∈ RN, (1.80)
et son transformée de Fourier inverse f = F−1{ bf } par f (x) = 1 (2π)N /2 Z RN b f (τ)expi xτ dτ, x ∈ RN . (1.81)
Les transformées de Fourier (1.80) et (1.81) peuvent être utilisées aussi pour une classe plus générale des fonctions f , comme pour des fonctions dans L2(RN) ou même pour des distributions tempérées dans l’espaceS (RN), le dual de l’espace de Schwartz des fonctions à décroissance ra-pide S (RN ) = { f ∈ C∞(RN)/xβDαf ∈ L∞(RN) ∀α,β ∈ N0N}, (1.82) ou xβ= (x1β1xβ2 2 · · · x βN N ) pour un multi-indice β ∈ N N
0. L’espaceS (RN) a la propriété importante
d’être invariable sous la transformée de Fourier , c-à-d,ϕ ∈ S (RN) ⇔ϕ ∈ S (Rb
N). Nous avons en
particulier l’inclusionD(RN) ⊂ S0(RN), et ainsiS (RN) ⊂ D0(RN). La convergence dansS0(RN) est la même que pour des distributions (section1.4), mais en ce qui concerne des fonctions d’essai dansS (RN). En effet, si Tn, T ∈ S0(RN), alors
1.5. TRANSFORMATION DE FOURIER 23
1.5.2 Quelques propriétés des transformées de Fourier
Dans ce qui suit, On considère les distributions arbitraires S, T ∈ S0(RN), u ∈ S (RN) et les constantes arbitrairesα,β ∈ K , a,b ∈ RN. On écrit T (x)−→ bF T (τ) pour noté queT (b τ) est la trans-formé de fourier de T (x), c-à-d,T = F {T }. Alorsb
αS(x) + βT (x) −→ α bF S(τ) + βT (b τ). (1.84) b T (x) −→ T (−τ).F (1.85) T (x − b) −→ expF −i b.τT (b τ), (1.86) expi b.xT (x) −→F T (τ − b),b (1.87) T (x) ∗ S(x) −→ (2π)F N /2T (b ξ)S(bξ), (1.88) (2π)N /2T (x)S(x) −→F T (ξ) ∗b S(ξ).b (1.89) et aussi F−1{F {T }} = F {F−1{T }} = T F {Dau} = (i τ)aF {u}, u ∈ S (RN), ∀a ∈ RN,
DaF {u} = F {(−i x)au}, u ∈ S (RN), ∀a ∈ RN. (1.90)
1.5.3 Quellque transformées de Fourier paires
Nous considérons maintenant quelques transformées de Fourier paires , définies surRN, qui utilisent les définitions (1.80) et (1.81). Pour la fonction de Diracδ on obtient que
δ(x) −→F 1 (2π)N/2, (1.91) 1 (2π)N /2 F −→ δ(ξ). (1.92)
La fonction exponentielle complexe, pour a ∈ RN, satisfaites
ei a.x −→ (2π)F N /2δ(ξ − a), (1.93) (2π)N /2δ(x + a) −→ eF i a.ξ. (1.94) Pour la fonction cosinus nous avons que
cos(a.x) −→F (2π) N /2 2 (δ(ξ − a) + δ(ξ + a)), (1.95) (2π)N /2 2 (δ(ξ − a) + δ(ξ + a)) F −→ cos(a.ξ), (1.96)
et pour la fonction de sinus nous avons que
sin(a.x) −→F (2π) N /2 2i (δ(ξ − a) − δ(ξ + a)), (1.97) (2π)N /2 2i (δ(ξ + a) − δ(ξ − a)) F −→ sin(a.ξ). (1.98)
Puissancant des monômes, pour n ∈ N0et j ∈ {1,2,··· , N }, en obtenant xnj −→ iF n(2π)N /2∂ nδ ∂ξn j (ξ), (1.99) (−i )n(2π)N /2∂ nδ ∂ξn j (x) −→ ξF nj, (1.100)
et, pour le cas général quandα ∈ N0N est un multi-indice, on a
xα −→ iF |α|(2π)N /2Dαδ(ξ), (1.101) (−i )|α|(2π)N /2Dαδ(ξ) −→ ξF α. (1.102)
1.6 Fonctions de Green et solutions élémentaires
1.6.1 La solutions élémentaires
Techniquement, une solution élémentaire pour un opérateur différentielL , linéaire, avec des coefficients constants, et défini sur l’espace des distributionsD0(RN), est une distribution E qui satisfait
L E = δ dans D0(RN
), (1.103)
oùδ est la fonction de Dirac, centrée à l’origine. L’intérét principal d’une telle solution élémentaire se situé dans le fait que si la convolution a un sens, alors la solution de
L u = f dans D0(RN), (1.104)
pour une fonction donnée f , est donnée par
u = E ∗ f . (1.105)
En fait, en raison de linéarité deL , puisque E est une solution élémentaire, et puisque δ est l’élé-ment neutre de la convolution, nous avons
L u = L {E ∗ f } = L E ∗ f = δ ∗ f = f . (1.106) En s’ajoutant aux solutions non triviales de solution élémentaire pour le problème homogène, une nouvelles solutions fondamentales peuvent être obtenues. La solution élémentaire pour un problème bien-posé est unique, si des conditions additionnelles sont indiquées pour le compor-tement de la solution, par exemple, le comporcompor-tement asymptotique à l’infini, étant ces conditions souvent déterminées à travers des considérations physiques. Dans la construction de la solution élémentaire il est permis d’utiliser toutes les méthodes pour trouver les solutions de l’équation, à condition que le résultat soit alors justifié par des arguments rigoureux.
1.6. FONCTIONS DE GREEN ET SOLUTIONS ÉLÉMENTAIRES 25
Nous remarquons aussi que de la solution élémentaire d’autres solutions peuvent être construites, dans le sens des distributions, quand les dérivés de la fonction de Diracδ apparaissent sur le coté droit. Par exemple, la solution de
L F = ∂δ
∂xi
dansD0(RN) (1.107)
est donné par
F = E ∗ ∂δ ∂xi = ∂E ∂xi ∗ δ = ∂E ∂xi . (1.108)
1.6.2 La fonctions de Green
Dans le cas de la fonction de Green, la solution élémentaire considère aussi des conditions de frontière homogènes, et la fonction delta de Dirac n’est plus centrèe à l’origine, mais à un point fixe de source. Ainsi, une fonction de Green d’un opérateur différentiel partielLyavec des conditions
de frontière homogènes, linéaire, avec des coefficients constants, par rapport à y, et défini sur l’espace des distributionsD0(RN), est une distribution G tel que
Ly{G(x, y)} = δx(y) D0(RN), (1.109)
oùδx est la fonction de Dirac avec la masse de Dirac a centrée au point de source x, c-à-d,δx(y) =
δ(y − x). La fonction de Green représente ainsi la réponse d’impulsion de l’opérateur Ly par
rap-port à un point de source x , étant donc le noyau de l’opérateur inverse deLy, noté par Ly−1,
qui correspond à un opérateur intégral, et G(x, y) = Ly{δx(y)}. La fonction de Green,
différem-ment comme solution élédifférem-mentaire, est recherchée dans un certain domaine particulierΩ satisfait quelques conditions de frontière, mais pour la simplicité nous considérons ici justeΩ = RN.
La solution du problème aux limite différentiel non homogène
Lx{u(x)} = f (x) dans D0(RN), (1.110)
si la convolution a un sens, est donné par
u(x) = G(x, y) ∗ f (y), (1.111) où G est la fonction de Green de l’opérateurLx, qui est symétrique , c-à-d,
G(x, y) = G(y, x). (1.112) comme dans la solution élémentaire, nous prenons
Lx{u(x)} = Lx{G(x, y) ∗ f (y)} = δx(y) ∗ f (y) = f (x). (1.113)
Nous observons que la fonction de Green de l’espace libre ou de tout l’espace, c-à-d, sans conditions de frontière, est liée à la solution élémentaire par la relation
1.6.3 Quellque fonction de Green dans des espace libres
La fonction de Green d’espace libre pour l’équation de Helmholtz, satisfait dans le sens des distributions
∆yG(x, y) + k2G(x, y) = δx(y) dans D0(RN), (1.115)
et doit être satisfait la condition de rayonnement de Sommerfeld lim | y |→ ∞ | y | N −1 2 µ ∂G ∂ | y |(x, y) − i kG(x, y) ¶ = 0 (1.116)
où k ∈ C correspond au nombre d’onde. En adaptant les expressions dans Polyanin(2002) nous acquérons dans ce cas que :
G(x, y) = −i 2kei k|y−x|, pour N = 1, −i 4H (1) 0 (k | y − x |) pour N = 2,
−4eπ|y−x|i k|y−x| pour N = 3, −i4 ³ k 2π|y−x| ´N −22 H(1)N −2 2 (k | y − x |) pour N ≥ 4, (1.117)
où Hν(1)dénote la fonction de Hankel du premier espèce d’ordreν.
1.7 Equation aux dérivées partielles
une équation aux dérivées partielles (E.D.P) d’ordre m dansRN est une équation de la forme X
|α|≤m
aα(x)Dα= 0, (1.118)
où les fonctions aαsont les coéfficients de aα(x)Dα. On désigne par,
A(x, D) = X
|α|≤m
aα(x)Dα, (1.119)
l’opérateur aux dérivées partielles linéaire. L’équation caractéristique, quand à elle, est donnée par
Am(x,τ) = X
|α|=m
aα(x)τα6= 0. (1.120)
Maintenant, A(x, D) est elliptique dansΩ, si pour tout x0∈ Ω, on a
X
|α|=m
aα(x)τα6= 0, pour toutτ 6= 0. (1.121) Il est fortement elliptique , s’il exist une constante C telle que
| X
|α|=m
1.8. LES OPÉRATEURS INTÉGRAUX 27
1.8 Les opérateurs intégraux
1.8.1 Définitions
Définition 1.1. On appelle opérateur surΩ toute application linéaire continu de D(Ω) dans D0(Ω).
D’aprés le théorème des noyaux de schwartz [24], étant donné un opérateur T surΩ , il existe une distribution uniqueK ∈ D0(Ω × Ω) telle que
〈Tu, v〉 = 〈K , v ⊗ u〉, ∀u, v ∈ D(Ω). (1.123) on dit queK est le noyau distributionnel de T ,ou bien, T est l’opérateur de noyau K .
Définition 1.2. un opérateur T surΩ est dit intégral si son noyau K est la distribution associée à
une fonction K ∈ L1l oc(Ω,Ω).
La théorie des opérateurs intégraux s’identifie à celle de l’intégrale. Etant donné K ∈ L1l oc(Ω,Ω), on peut définir, par application du théorème de Fubini [39], la fonction Tu ∈ L1l oc par
Tu(x) =
Z
ΩK (x, y)u(y) dy. (1.124)
Définition 1.3. [37]
– Soient E , F deux espaces de Banach. Un opérateur linéaire , continu de E dans F , est appelé opérateur de Fredholm si la dimension de son noyau et la codimension de son image sont finies.
– Le nombre IndT = dimkerT − dimCokerT est appelé l’indice de T .
Théorème 1.4. Soit T un opérateur linéaire , continu de E dans F . Alors les deux propriétés sui-vantes sont équivalentes
1. T est un opérateur de Fredholm d’indice zéro.
2. il ya un opérateur linéaire K , continu de E dans F , copmact tel que T + K est inversible.
Preuve.
Voir [37]. ä
1.8.2
Noyaux intégraux
Le caractère d’une équation intégrale est déterminé par les propriétés de son noyau qui est de différents types. En effet,
– Si le noyau K (x, t ) est continu dansΩ ou, au moins, si les discontinuités du noyau sont telle que Z Ω Z Ω| K 2 (x, t ) | dx dt < ∞,
alors les équations données par
Tu(x) =
Z
Ωk(x, t )u(y) dy = f (x), (1.125)
où u est l’inconnue et f (x), k(x, y) des fonctions données, sont dites équations de type de
Fredholm de première espèce. Ainsi l’équation de Fredholm de deuxième espèce est définie
par
u(x) − Tu(x) = u(x) −
Z
Ωk(x, t )u(y) dy = f (x). (1.126)
– Si le noyau k(x, y) = H (x,y)|x−y|α où H (x, y) est borné et 0 < α < 1 , alors (1.125) et (1.126) sont des
équations intégrales avec une singularité faible.
– Si le noyau k(x, y) = A(x,y)|x−y| où A(x, y) est une équation différentiable en x et y, alors Z
ΩK (x, t ) dy
diverge.
La théorie de Fredholm est valable uniquement pour les équations de type de Fredholm. Elle s’applique pas pour les équations singulières et pour d’autres équations de noyau non intégrable [39].
1.9 Les opérateurs pseudo-différentiels
1.9.1 Opérateur différentiel
Un opérateur différentiel linéaire d’ordre m s’écrit comme
D = X
|α|≤m
aα(x)Dα, (1.127)
où les aα(x) appelées coéfficients de l’opérateur D, sont des fonctions C∞(RN).
1.9.2 Opérateur pseudo-différentiel
les opérateurs pseudo-différentiels peuvent être considérés comme une généralisation des opérateurs différentiels. En effet, soit l’opérateur différentiel (1.127) exprimons le, en fonction de la transformée de Fourier et son inverse, comme
A(x, D)u(x) =P
|α|≤maα(x)Dαu(x)
= F−1P
|α|≤maα(x)ταF {u}
= (2π)−N /2RRNei xτa(x,τ)F {u}(τ)dτ (1.128)
1.9. LES OPÉRATEURS PSEUDO-DIFFÉRENTIELS 29
1.9.3 Classe des symboles d’ordre m
SoitΩ ⊂ RN , et a(x,τ) une fonction de C∞(Ω × RN). Soit K ⊂ Ω un copmact et m un nombre réel quelconque. La classe Sm(Ω × RN) des symboles d’ordre m est définie par
Sm(Ω × RN) =na(x,τ)/ | ∂ατ∂βxa(x,τ) |≤ Cα,β,K(1 + |τ|)m−|α|o, (1.129) pour tout x ∈ K ,τ ∈ RN, et pour tout multi-indiceα,β. les Cα,β,K sont des constantes, qui peuvent dépendre deα,β et K .
L’espace Sm(Ω × RN) est un espace de Fréchét muni des semi-normes
p(m)α,β,K(a) = sup
x∈K t∈RN
(1 + |τ|)|α|−m| ∂ατ∂βxa(x,τ) |, (1.130)
ces éléments sont appelés les fonctions apmlitudes d’ordre m.
1.9.4 Dévelopement asymptotique des éléments de la classe des symboles
Le dévelopement asymptotique des éléments de Sm revient à donner un sens à une serie for-melle d’éléments aj∈ Smj tendant vers −∞. On pose S∞=Sm∈RSm et S−∞=Tm∈RSm.
On a le résultat suivant
Théorème 1.5. Soit aj ∈ Smj(Ω × RN), pour j = 0,1,2,··· et mj−→ −∞ pour j −→ ∞. Alors
1. Il exist un élément a ∈ Sm(Ω × RN), m = max{mj: j ≥ 0} tel que
ordre(a −
k
X
j =0
aj) −→ −∞,k → ∞. (1.131)
2. a est uniquement déterminé modulo S−∞(Ω) par la famille dénombrable (aj)j ≥0.
Preuve.
1. Soitρj , j = 1,2,..., une suite de nombres positifs, qui tend vers l’infini, quand j −→ ∞. Soit
X une fonction vérifie
X (τ) = 0, pour |τ| ≤1 2, (1.132) X (τ) = 1, pour |τ| ≥ 1. (1.133) et a(x,τ) = ∞ X j =0 X ( τ ρj )aj(x,τ). (1.134)
Notons tout d’abord , queX (ρτ
j) ∈ S0(Ω) uniformément pour ρ ≥ 1. En effet, on a
DατX (τ
ρ) = (DατX )( τ
et comme |τ| ≤ ρ ≤ 2|τ| pour τ ∈ supp DατX (α 6= 0), alors
| DατX (τ
ρ) |≤ Cα(1 + |τ|)−|α|, (1.136)
avec Cα= Ct e.
Soit maintenant kh, h = 0,1,2,..., une suite exhaustive de copmacts de Ω, avec ¯kh ⊂ kh+1
pour tout h etS∞
h=0kh= Ω. Alors pour certain C j > 0, on a
| DαxDβτX (
τ
ρ)aj(x,τ)) |≤ Cj(1 + |τ|)
mj−|α|, (1.137)
pour tout x ∈ ¯kiet |α| + |β| + i ≤ j ,ρ ≥ 1. Dautre part, en supposant que mj +1< mj pour tout
j , on peut écrire
Cj(1 + |τ|)mj = Cj(1 + |τ|)mj−1Cj(1 + |τ|)mj−mj −1
< 2− jCj(1 + |τ|)mj −1, (1.138)
pour |τ| suffisament large. Or,
DβxDατX (τ
ρ)aj(x,τ) = 0, (1.139)
pour |τ| ≤ρ2 . Et Pourρ = ρj est suffisament large, on obtient que
| DβxDατX (ρτ)aj(x,τ) |≤ 2− j(1 + |τ|)mj −1−|α|. (1.140)
D’où la convergence de (1.134).
De la même manière, pour ses dérivées, on obtient que | DβxDατ Ã ∞ X j =r +1 X ( τ ρj )aj(x,τ) ! |≤ 2−r(1 + |τ|)mr−|α|. (1.141) Alors a − r X j =0 aj∈ Smr, d’où le résultat. ä
2. L’unicité est une conséquence immédiate de la définition des sommes asymptotiques. La somme formelleP
jaj est appellée dévelopement asymptotique de a. On note
a ≈
∞
X
j =0
aj. (1.142)
Définition 1.6. On note par Sl ocm (Ω), l’espace des fonctions a ∈ C∞(Ω × RN) telle que a −P
jaj, où
1.9. LES OPÉRATEURS PSEUDO-DIFFÉRENTIELS 31
Définition 1.7. SoitΩ ⊂ RN etΓ ⊆ Ω×RN\{0} . Une fonctionφ ∈ C∞(Γ) est appelée fonction phase si elle possède les propriées suivantes
– i)φ(x,tτ) = tφ(x,τ), pour tout t > 0, (x,τ) ∈ Γ. – ii)PN i =1| ∂φ ∂xi(x,τ) | 2+PN j =1| ∂φ ∂τj(x,τ) | 26= 0 , pour tout (x, τ) ∈ Γ.
Maintenant, en explicitant la transformée de Fourier dans (1.119) on obtient une intégrale os-cillante dépendant du paramètre x ∈ Ω [24].
On veut que ces intégrales oscillantes possèdent les propriétés de stabilité des opérateurs dif-férentiels pour les opérateurs d’addition , transformation, de coposition, etc...
Ainsi les opérateurs pseudo-différentiels forment une classe d’opérateurs plus générale que (1.128), où le polynome a(x,τ), sera remplacé par une amplitude quelconque appartenant à S(Ω×Ω). D’où la
Définition 1.8. Soit Ω ⊂ RN, m ∈ R ∪ {−∞}. On appel opérateur pseudo-différentiel (O.ψ.D) de degré m dansΩ, un opérateur intégrale P associé à la phase
φ(x, y,τ) = (x − y)τ , (x, y,τ) ∈ Ω × Ω × RN
, (1.143)
et à une amplitude P (x, y,τ) ∈ Sm(Ω × Ω).
On note par Lm(Ω), l’espace des (O.ψ.D) de degré m dans Ω et on écrit
Pu(x) =
Z Z
ei (x−y)τp(x, y,τ) dydτ, u ∈ D(Ω). (1.144) Soient L(Ω) = SLm(Ω) et L−∞(Ω) = TLm(Ω) . Les élément de L(Ω) sont les opérateurs
pseudo-différentiels standards dans Ω. Tout opérateur pseudo-différentiel P est continu de D(Ω) dans
C∞(Ω) et peut se prolonger en un opérateur continu de E0(Ω) dans D0(Ω) [24]. Dautre part on a la Proposition 1.9. Chaque opérateur pseudo-différentiel P , dans L−∞(Ω), est un opérateur régulari-sant.
Preuve.
Voir [24]. ä
Définition 1.10. Un opérateur P ∈ Lm(Ω) est dit classique, si p(x,τ) ∈ Sml oc(Ω). On note dans ce cas P ∈ Lml oc(Ω).
Définition 1.11. soit Sm0 (Ω) l’espace quotient Sm(Ω)/S∞(Ω). Alors les éléments de Sm0 (Ω) sont ap-pelés les symboles complets de degré m dansΩ.
1.9.5 Symbole principale
Chaque élément de l’espace Sm(Ω)/Sm−1(Ω) est appelé le symbole principale, qui représente la partie d’ordre le plus èlvée dans le dévelopement asymptotique du symbole complet.
Théorème 1.12. Soit P un opérateur propre de Lm(Ω). Alors, il exist p ∈ Sm(Ω) unique tel que
Pu(x) =
Z
ei xτp(x,τ)F {u}(τ) dτ. (1.145)
de plus, si a(x, y,τ) est une amplitude pour P, on a alors p(x,τ) ≈ X
α
1
a!D
α
τDαya(x, y,τ) |y=x (1.146)
Preuve. Voir [35]. ä
Théorème 1.13. Soit P un opérateur linéaire , continu deD(Ω) dans C∞(Ω). Alors P ∈ Lm(Ω) si et
seulement si pour tout f ∈ D(Ω), on a
e−i x.τp( f .ei x.τ) ∈ Sm(Ω). (1.147)
Preuve. Soit (ρj) une partition de l’unité surΩ avec des fonctions ρj ∈ D(Ω) et soit βj des
fonctions deD(Ω) , avec βj = 1 sur supp ρj. On a donc
(ρju)(x) =
Z
ei xτF {ρju}(τ)dτ =
Z
βj(x)ei xτF {ρju}(τ)dτ, (1.148)
et comme P est continu alors
P (ρju)(x) =R ei xτpj(x,τ)F {ρju}(τ)dτ =R R ei (x−y)τpj(x,τ)ρj(y)u(y)dydτ, (1.149) où ρj(x,τ) = e−i xτp(βj(x)ei xτ) ∈ Sm(Ω). (1.150) et puisque u =P jρju , on obtien que Pu(x) = Z Z ei (x−y)τp(x, y,τ)u(y)dydτ, (1.151) où l’amplitude p(x, y,τ) ∈ Sm(Ω × Ω) car
p(x, y,τ) = X
j
pj(x,τ)ρj(y) (1.152)
est localement finie en y. ä
1.9. LES OPÉRATEURS PSEUDO-DIFFÉRENTIELS 33
Théorème 1.14. Soit P ∈ Lml oc(Ω) . Alors pour (x0,τ0) appartenant à T∗Ω\0, ona
σP(x0,τ0) = lim
λ→0λ
−m³e−i λφ(x)P³f (x)eiλφ(x)´´
x=x0
(1.153)
où f ∈ D(Ω) et égale à 1 au voisinage de x0,φ ∈ C∞(Ω), dφ(x) = τ06= 0 sur supp f et T∗Ω\0 est le
complément de la section nulle dans le filtré cotangent T∗Ω.
Preuve.
Voir [24]. ä
Un résultat fondamental, qui est un outil adéquat utilisé dans la démonstration de l’ellipticité forte pour les problème aux limites, à savoir l’inégalité de Gårding.
Théorème 1.15. (Inégalité de Gårding) [37],[23]
Soit P ∈ Lm(Ω). Supposons que ℜe p(x,τ) ≥ c|τ|m pourτ large et c > 0. Alors pour chaque s réel, et pour chaque compact fixi K et pour tout u ∈ D(K ) on a
ℜe〈Pu, u〉 ≥ c1kuk2Hm/2− c2kuk2Hs, (1.154)
C
H
A
P
IT
R
E
2
M
ÉTHODE DES EQUATIONS INTÉGRALES POUR
L
’
OPÉRATEUR DE
H
ELMHOLTZ DANS UN
DOMAINE BORNÉ DE
R
2
2.1 Introduction
On présente dans ce chapitre, la méthode directe des équations intégrales pour l’opérateur de Helmholtz dans un domaine borné de R2, pour les problèmes de Dirichlet et de Neumann qui consiste à utiliser les formules de Green, et les techniques d’équation intégrale.
L’équation de Helmholtz dans le cadre générale intervient comme modèle de nombreux pro-blémes physiques notamment sous forme vectorielle, dans la théorie du rayonnement des sources lectromagnétiques
Ce chapitre est structurée de 7 sections, on commence par cette introduction. Les problèmes de Drichlet et Neumann sont définit dans la section (2.2), leurs formulation et interprétation va-riationnelle sont traités respectivement dans (2.3), (2.4). Dans la section (2.5) on construit les formules et les équations intégrales associes aux problèmes traités, puis on étude les propriétés des opérateur intégraux aux bords dans la section (2.6), ces propriétés permet d’obtenir un résul-tat d’existance et unicité de la solution qui est présenté dans la section (2.7)
