AP Approfondissement en Terminal S Groupe Math´ematique Liaison Lyc´ee-Enseignement Sup´erieur Cette fiche a ´et´e ´elabor´ee par des enseignantes et des enseignants des lyc´ees et universit´es de l’acad´emie de Cr´eteil.
Th`eme :
El´
ements d’analyse
Titre :
Propri´
et´
es de la fonction logarithme.
Objectifs :
. Utilisation des symboles P et Q
. Lien entre calcul d’aires par sommes de Riemann, int´egrales et primitives . Manipulation de la fonction n!
. Calculs de limites de suites non prototypiques. Mise en place :
Contenu :
Cette fiche a ´et´e construite `a partir d’un exercice `a pr´eparer pour le contrˆole continu d’int´egration du cours de math´ematiques de L1 semestre 1 commun `a toutes les licences scientifiques de l’institut Galil´ee (Universit´e Paris 13, PRES Cit´e Paris-Sorbonne). Seules les questions 5 et 9 constituent l’exercice, qui est ´egalement un bon exercice de colle et/ou d’oral de concours.
(*) et (**) renvoient `a des indications en derni`ere page du document.
AP Approfondissement en Terminal S Groupe Math´ematique Liaison Lyc´ee-Enseignement Sup´erieur 1. Calculer les images de ln(x) pour l’ensemble des valeurs x ∈ {1 + k
10, 1 ≤ k ≤ 10}
2. Repr´esenter `a grande ´echelle le graphe de la fonction ln(x) dans l’intervalle [1,2]
3. Montrer que la somme suivante correspond `a la somme des aires de 10 rectan-gles contigus de largeur 1
10situ´es `a l’int´erieur de l’aire d´elimit´ee par l’intervalle [1,2] et le graphe de ln(x) sur cet intervalle.
k=10 X k=1 1 10ln (1 + k 10) ou ´ecrite en extension 1 10ln (1 + 1 10) + 1 10ln (1 + 2 10) + · · · + 1 10ln (1 + 10 10)
4. Montrer que la fonction r´eelle F (x) = x. ln(x) − x, d´efinie sur ]0, +∞[, est une primitive de la fonction ln(x). 5. (*) D´emontrer que1 : lim n→+∞ 1 n k=n X k=1 ln (1 + k n) = ln ( 4 e). 6. On pose n! = n × (n − 1) × (n − 2) · · · 2 × 1
7. Montrer que pour tout entier n > 1, (2n)! n! = 2 n[(2n − 1) × (2n − 3) × · · · × 3 × 1] 8. En d´eduire que (2n)! n!nn = [(1− 1 2n)×(1− 3 2n)×· · ·×(1− 2n − 3 2n )×(1− 2n − 1 2n )] 9. (**) En d´eduire2 la limite pour n → +∞ de la suite (un)n≥1) dont le terme
g´en´eral est d´efini par : un=
n r (2n)! n!.nn 1De mˆeme, k=n X k=1 ln (1 + k n) = ln (1 + 1 n) + ln (1 + 2 n) + · · · + ln (1 + n n)
2On admettra le r´esultat suivant : si f est une fonction continue, alors f ( lim
n→+∞un) = lim
n→+∞f (un)
AP Approfondissement en Terminal S Groupe Math´ematique Liaison Lyc´ee-Enseignement Sup´erieur (*) L’expression `a gauche de l’´egalit´e g´en´eralise celle ´etudi´ee en 3. Il suffit alors d’utiliser la question 4 et les propri´et´es arithm´etiques de la fonction ln pour obtenir le r´esultat.
(**) La question 5 nous a permis d’´etablir la limite d’une somme. Penser :
(i) aux propri´et´es arithm´etiques de ln pour transformer un produit en une somme, (ii) qu’il est ´equivalent de montrer que a = b ou que ln(a) = ln(b), pour a, b > a puisque ln est une bijection de ]0, ∞[ dans ] − ∞, +∞[.
(iii) ln est une fonction continue, donc elle commute avec le passage `a la limite.
