Films Courbés Minces Ferromagnétiques

(1)

Films courb´es minces ferromagn´etiques

Hamdi Zorgati

a,b

a_{Laboratoire Jacques-Louis Lions, Universit´}_{e Pierre et Marie Curie, boˆıte courrier 187, 75252 Paris Cedex 05, France.} b_{CEREMADE, CNRS UMR 7534, Universit´}_{e Paris-Dauphine, Place du Mar´}_{echal de Lattre de Tassigny, 75775 Paris,}

France

Abstract

Curved ferromagnetic thin films. We consider a thin curved ferromagnetic film not submitted to an external magnetic field. The behavior of the film is described by an energy depending on the magnetization verifying the saturation constraint. The energy is composed of an induced magnetostatic energy and an energy term with density including the exchange energy and the anisotropic energy. We study the behavior of this energy when the thickness of the curved film goes to zero. We show with Γ-convergence arguments that the minimizers of the free energy converge to the minimizers of a local energy depending on a two-dimensional magnetization. To cite this article: H. Zorgati, C. R. Acad. Sci. Paris (2004).

R´esum´e

On considère un film courbé mince ferromagnétique non soumis à un champ magnétique externe. Le comportement du film est décrit par une énergie dépendant de la magnétisation du film vérifiant la contrainte de saturation. Cette ´

energie se compose d’une partie d’énergie magnétostatique induite et d’un terme d’énergie ayant comme densité une fonction , comprenant l’énergie d’échange et l’énergie anisotrope. Nous étudions le comportement de cette ´

energie quand l’épaisseur du film courbé tend vers zéro. Nous prouvons avec des arguments de Γ-convergence que les minimiseurs de l’énergie totale convergent vers les minimiseurs d’une énergie locale dépendant d’une magnétisation bidimensionnelle. Pour citer cet article : H. Zorgati, C. R. Acad. Sci. Paris (2004).

Abridged English version

We consider a thin curved ferromagnetic film (see [1] [2] [3] [8] [9] [10]) occupying an open domain eΩh

of the form e Ωh=x ∈ R3, ∃x ∈ ee S, x =x + η ae 3 ψ −1₍ e x) with −h 2 < η < h 2 , (1)

(2)

where eS is the curved midsurface of the film, a3 ψ−1(_ex) is the unit vector normal toS at pointe _ex, and h is the thickness of the film.

The behavior of the thin film in the absence of an external magnetic field is described by an energy_eeh depending on its magnetizationm_eh. The energy is composed of the induced magnetostatic energy and an

energy term with density W including the exchange energy and the anisotropic energy

e eh(m_eh) = 1 h Z e Ωh h W (m_eh, ∇m_eh) + 1 2∇ueh.meh i d_ex, (2)

under the saturation constraint

|m_eh| = 1 in eΩh, (3)

where W is a continuous function verifying some coercivity and growth assumptions and_euh: R3→ R is

a scalar potential for the induced magnetic field Hh= −∇euh verifying the magnetostatic equation

div(−∇u_eh+m_eh) = 0 in R3. (4)

In order to study the behavior of the thin film when its thickness h goes to zero, we begin by rescaling the energy in order to work on a domain independent of the thickness h. Then, we study the behavior of the induced magnetostatic energy. Next, we use Γ-convergence arguments (see [5][6][7][11][12]) to study the behavior of almost minimizers of the free energy when the thickness of the film goes to zero. We prove that diagonal minimizing sequences are bounded in V (see (23)) and that their limit points belong to VM

(see (24)) and minimize the local limit energy depending on the two dimensional magnetization m e(0)(m) = Z ω n Q2,3_T W0 x, m(x), (m,1|m,2) + |(a3(x), m)|2 o d0dx. (5)

where Q2,3_T denotes the tangential quasiconvex envelope (see Definition 2.1).

1. Pr´eliminaires

On considère un film ferromagnétique courbé mince d’épaisseur h (voir [1] [2] [3] [8] [9] [10]), occupant un domaine eΩh de la forme e Ωh=x ∈ R3, ∃x ∈ e_e S, x =x + η a_e 3 ψ−1(_ex) avec −h 2 < η < h 2 , (6)

où eS est la surface moyenne de eΩh, qui est une sous-variété bidimensionnelle de classe C1 de R3

admet-tant un atlas comporadmet-tant une seule carte ψ. Cette carte est un C1_-diff´_{eomorphisme. Elle envoie un ouvert}

born´_{e ω inclus dans R}2 _{de fronti`}_{ere lipschitzienne dans e}_{S, a}

3(ψ−1(ex)) est le vecteur normal `a eS au point e

x. Le vecteur a3 est le troisième vecteur de la base covariante du plan tangent associé à la carte ψ. On

suppose aussi que la surface moyenne de eΩh est l’image d’un ouvert ω ⊂ R2 par un C1-diff´eomorphisme

¯

ψ : R2_{→ R}3 _{qui prolonge ψ `}

a R2_{. Plus g´}_en´_{eralement, on suppose que Ψ est la restriction `}

a R2× (−h 2,

h 2) d’un C1-diff´eomorphisme ¯_{Ψ (qu’on notera dans la suite Ψ par abus de notation) de R}3 qu’on suppose

(3)

´

egal `a l’identit´e en dehors d’un compact contenant Ωh.

Le comportement du film courbé est décrit par une énergie micromagnétique _eeh dépendant de la

magnétisation m_eh : R3 → R3 nulle en dehors de eΩh, qui représente la densité par unité de masse du

moment magnétique. Cette énergie par unité de volume est de la forme

e eh(m_eh) = 1 h Z e Ωh h W (m_eh, ∇m_eh) + 1 2∇ueh.meh i d_ex, (7)

sous la contrainte de saturation

|m_eh| = 1 sur tout eΩh, (8)

où W est une fonction continue vérifiant les hypothèses de croissance, de coercivité et de caractère lipschitzien suivantes          ∃c > 0, ∃p ∈]1, +∞[, ∀x ∈ R3et ∀F ∈ M3, |W (x, F )| ≤ c(1 + |F |p), ∃γ > 0, ∃β ≥ 0, ∀x ∈ R3_{et ∀F ∈ M}3_{, W (x, F ) ≥ γ|F |}p_{− β,} ∀x ∈ R3_{et ∀F, F}0 _{∈ M}3_{, |W (x, F ) − W (x, F}0_{)| ≤ c(1 + |F |}p−1_{+ |F}0_|p−1_{) |F − F}0_|, (9)

et u_eh : R3 → R est un potentiel scalaire pour le champ magnétique induit Hh = −∇euh, lequel vérifie l’équation magnétostatique

div(−∇u_eh+m_eh) = 0 sur R3. (10)

Nous étudions, en utilisant des arguments de Γ-convergence (voir [5][6][7][11][12]), le comportement de l’énergie_eeh et de ses éventuels minimiseurs lorsque l’épaisseur du film courbé tend vers zéro.

Nous commen¸cons notre étude par un changement d’échelle qui nous permet de travailler sur un domaine indépendant de l’épaisseur h. On pose, pour x ∈ Ω1=x ∈ R3, (x1, x2) ∈ ω et −1₂ < x3<1₂ , m(h)(x) =

e

mh(Ψ(x1, x2, hx3)), avec m(h) = 0 en dehors de Ω1 et pour tout x ∈ R3, u(h)(x) =ueh(Ψ(x1, x2, hx3)). On pose aussi e(h)(m(h)) =e_eh(meh), ce qui s’exprime par

e(h)(m(h)) = Z Ω1 h W (m(h), (m(h),1|m(h),2| 1 hm(h),3)Ah) +1 2 AT_h(u(h),1, u(h),2, 1 hu(h),3), m(h) i dhdx, (11)

o`u l’on a pos´e Ah(x) = ∇Ψ−1◦ Ψ(x1, x2, hx3) et dh(x) = det ∇Ψ(x1, x2, hx3). La contrainte de saturation

s’écrit |m(h)(x)| = 1 pour tout x ∈ Ω1, et l’équation magnétostatique devient

∇ − AT h(x)Ih∇u(h)(x) + m(h)(x) : ATh(x)Ih = 0 sur R3, (12) avec Ih=      1 0 0 0 1 0 0 0 1 h     

(4)

On passe en suite à l’étude du comportement de l’énergie magnétostatique, suivie du calcul de la Γ-limite de l’énergie totale qui nous donnera le comportement des minimiseurs et on conclut par une application au modèle courbé de Gioia et James (voir [9]).

2. R´esultats principaux

2.1. Comportement de l’´energie magn´etostatique

On se propose d’analyser le comportement asymptotique du terme d’´energie magn´etostatique Emag(h)(m) = Z Ω1 1 2 AT_h(u,1, u,2, 1 hu,3), m dhdx (13)

lorsque l’épaisseur du film courbé tend vers zéro. Pour cela, étant donn´_{e m : R}3

→ R3 _{mesurable avec}

m_|Ω₁ ∈ L2_(Ω

1; S2) et m = 0 sur Ωc1, on consid`ere le probl`eme de minimisation : trouver u(h, m) ∈ U tel

que Im(h)(u(h, m)) = inf v∈UIm(h)(v), (14) avec Im(h)(v) = 1 2 Z R3   A T h v,1, v,2, 1 hv,3 − m    2 dhdx (15) et U =v ∈ L1 loc(R 3_{), ∇v ∈ L}2 (R3; R3), Z B v dx = 0 , (16)

o`u B est la boule unit´_{e de R}3. On munit U du produit scalaire (u, v)U,h= Z R3 AT_h(u,1, u,2, 1 hu,3), A T h(v,1, v,2, 1 hv,3) dhdx, (17)

o`u (x, y) d´_{esigne le produit scalaire usuel de R}3. On d´emontre que U muni du produit scalaire (u, v)U,h

est un espace de Hilbert, ce qui nous permet d’obtenir l’existence d’une solution unique pour le problème de minimisation (14) qui vérifie l’équation d’Euler-Lagrange

Z R3 AT_h(u(h, m),1, u(h, m),2, 1 hu(h, m),3) − m, A T h(v,1, v,2, 1 hv,3) dhdx = 0, ∀ v ∈ U. (18)

Cette équation est la forme faible de (12). En utilisant cette équation, on démontre la proposition suivante qui nous donne le comportement du terme d’énergie magnétostatique Emag(h).

Proposition 1 Soit ¯m(h) une suite de fonctions L2

(R3

; R3_{) telles que ¯}_{m(h) = 0 sur Ω}c

1 et | ¯m(h)| = 1

sur Ω1, v´erifiant ¯m(h) → ¯m(0) fortement dans L2(R3; R3), et soit ¯u(h, ¯m(h)) la solution du probl`eme de

minimisation (14) associ´ee `a ¯m(h). On a alors ∇¯u(h, ¯m(h)) → 0 dans L2_(R3_{; R}3) et 1

hu(h, ¯¯ m(h)),3→ w dans L

2

(5)

o`u w ∈ L2_(R3) v´erifie Z R3 |w_ea3|2_d 0dx = Z Ω1 |(a3, ¯m(0))|2d0dx, (20)

où_ea3 représente le troisième vecteur colonne de la matrice AT 0(x) = ∇Ψ−1 _Ψ(x 1, x2, 0) T , lequel est ´

egal `a a3 sur Ω1. De plus,

Emag(h)( ¯m(h)) → Emag(0)( ¯m(0)) = 1 2 Z Ω1 |(a3, ¯m(0))|2d0dx. (21)

Ceci nous permet de passer à l’étude des minimiseurs de l’énergie e(h). 2.2. Calcul de la Γ-limite

Afin d’étudier le problème de minimisation de l’énergie e(h) et puisque l’absence d’hypothèse de quasi-convexité tangentielle de W ne permet pas d’assurer l’existence de solutions de ce problème, on considère une suite minimisante diagonale m(h) de l’énergie e(h) dont on est assuré de l’existence, c’est-à-dire une suite telle que

m(h) ∈ V et e(h)(m(h)) = inf m∈Ve(h)(m) + hε(h), (22) avec ε(h) → 0 quand h → 0 et V =m ∈ Lp_(R3_{; R}3), v´erifiant m/Ω1 ∈ W 1,p_(Ω 1; R3), |m| = 1, p.p. sur Ω1et m = 0, p.p. sur Ωc1 .(23)

On montre ensuite que toute suite de V à énergie bornée est uniformément bornée dans V et que ses valeurs d’adhérence pour la topologie faible de W1,p(Ω1; R3) appartiennent à

VM = {m ∈ V et m,3= 0 sur Ω1}. (24)

On pose ensuite

W0(x, y, ¯F ) := inf

z∈y⊥W (y, ( ¯F |z)A0(x)). (25)

On démontre que cette fonction de Carathéodory possède des propriétés analogues à celles de W à savoir qu’elle est continue et vérifie les propriétés de croissance et de coercivité suivantes

   ∃c > 0, ∀ ¯F ∈ M3,2_{, ∀y ∈ R}3, ∀x ∈ ¯ω, |W0(x, y, ¯F )| ≤ c(1 + | ¯F |p), ∃γ > 0, ∃β ≥ 0, ∀ ¯F ∈ M3,2_{, ∀y ∈ R}3, ∀x ∈ ¯ω, W0(x, y, ¯F ) ≥ γ| ¯F |p− β. (26)

On prolonge ensuite l’´energie e(h) `a l’espace Lp(Ω1; R3) en posant

∀ m ∈ Lp_(Ω 1; R3), e∗(h)(m) =    e(h)(m) si m ∈ V, +∞ sinon. (27)

On rappelle la d´efinition de l’enveloppe quasiconvexe tagentielle introduite par B. Dacorogna, I. Fonseca, J. Maly et K. Trivisa dans [4] et reprise par R. Alicandro et C. Leone dans [1] pour les fonctionnelles d´ependant de la d´_{eformation. Soit f : R}d× Md×N _{→ [0, +∞[ une fonction Borel mesurable et M une C}1

(6)

D´efinition 2.1 Soit y ∈ M et ξ ∈ Ty M

N

. La quasiconvexification tangentielle de f en ξ relativement `

a y est d´efinie par QN,d_T f (y, ξ) := infn Z Q f y, ξ + ∇ϕ(x)dx : ϕ ∈ W1,∞ 0 Q; Ty(M ) o , (28) avec Q un cube de RN_.

Dans notre cas, M est la sphère unité S2 _{de R}3et Ty(S2) = y⊥le plan orthogonal à y. Ceci nous permet

d’obtenir le r´esultat suivant

Theorem 2.1 La suite d’´energies e∗(h) est Γ-convergente pour la topologie forte de Lp(Ω1; R3). Sa

Γ-limite a pour expression

e∗(0)(m) =        Z ω Q2,3_T W0 x, m(x), (m,1|m,2) + |(a3(x), m)|2d0dx si m ∈ VM +∞ sinon. (29)

Dans le cas du mod`ele de G. Gioia et R.D. James [9], pour lequel W est de la forme W (y, F ) = ϕ(y)+α|F |2_,

dans un film mince courbé, l’énergie limite s’écrit

e e(0)(m) =_e Z e S n ϕ(m) + α|(∇_e m)|_e 2+ |(a3(ψ−1(_ex)),m(_e x))|_e 2 o d_ex. (30) R´ef´erences

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