Combinatoires et probabilités / 4e / 20-21

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COMBINATOIRES

ET

PROBABILITÉS

4

ème

_année

3.1 Analyse combinatoire

1 3.1.1 Outils pour le dénombrement

1 3.1.2 Permutations

8 3.1.3 Arrangements

10 3.1.4 Combinaisons

13 3.1.5 * Formule du binôme de Newton *

16 3.1.6 Ce qu’il faut absolument savoir

28 3.2 Probabilités

29 3.2.1 Introduction

29 3.2.2 Expérience aléatoire, événements

29 3.2.3 Notion de probabilité et axiomes

32 3.2.4 Probabilités conditionnelles

42 3.2.5 Épreuves successives

45 3.2.6 Théorème de Bayes

47

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3.2.8 Variables aléatoires discrètes

55 3.2.9 Un cas particulier : la loi binomiale

64 3.2.10 Variables aléatoires continues

71 3.2.11 Un cas particulier : la loi normale de Gauss

74 3.2.12 Ce qu’il faut absolument savoir

86

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AVANT-PROPOS

 Ce document a été conçu pour l’enseignement des mathématiques dispensé au Collège de

Genève en quatrième année, en combinatoires et probabilités. Cela dit, il peut servir de support

de cours pour d’autres filières d’enseignement.

 Vous trouverez dans ce chapitre de la théorie (définitions, théorèmes, démonstrations, etc.) et des exercices qui vous permettront progressivement de vous familiariser et de maîtriser les diverses notations et concepts mathématiques. À la fin du chapitre se trouvent les solutions des exercices.

 La théorie et les exercices accompagnés d’un astérisque (*), sont destinés aux élèves ayant choisi l’option, niveau avancé (MA2).

 Pour mieux repérer les points importants de la théorie, les définitions sont dans un encadré

blanc et les théorèmes dans un encadré grisé.

 Pour vérifier votre niveau de compréhension à la fin de l’étude d’un sous chapitre, vous pouvez vous référer à la section : « Ce qu’il faut absolument savoir ».

 Des QR CODES apparaissent à certains endroits du cours. Une fois scannés avec vos smartphones, ils donnent (aux personnes ayant un compte EDUGE) accès à la lecture de vidéos dont le contenu est en lien avec certains sujets du cours.

 Vous pouvez télécharger ce document au format PDF à l’adresse suivante :

http://www.sismondi.ch/disciplines/mathematiques/espace-perso-profs/serge-picchione

 Pour finir, un grand merci aux collègues de divers établissements scolaires qui ont partagé leurs cours : Nicolas Chabal, Yves Drevous, Bernard Gisin, Alain Klopfenstein, Maurizio Lalicata, Bernard Lenggenhager, Romanita Nagy Gauxachs, Adrien Schleining et Serge Zoutter.

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3.1 Analyse combinatoire

Nous commencerons ce cours de probabilités par un chapitre exposant des techniques qui permettent de dénombrer (compter) les différentes issues (résultats possibles) pouvant se présenter lors d’une expérience. Beaucoup de problèmes de probabilités peuvent être résolus simplement en en dénombrant le nombre d’issues que possède un certain événement.

La branche des mathématiques qui traite du dénombrement des ensembles finis porte le nom d’analyse combinatoire.

On y rencontrera des problèmes du type :

- Combien y a-t-il d'issues lorsqu'on lance trois dés à 6 faces ?

- Dans une course hippique, 20 chevaux prennent le départ. Combien peut-il y avoir de podiums (classement comportant 3 places) ?

Les réponses à ce type de problèmes sont souvent des nombres gigantesques ; la réponse au deuxième problème dépasse les 6 mille.

3.1.1 Outils pour le dénombrement

Étudions quelques « outils » permettant le dénombrement d’ensembles finis. On essaiera aussi de décrire les avantages et les inconvénients de chaque « outil ». A. Le tableau

Exemple On lance successivement deux dés à 6 faces. Combien y a-t-il d'issues (résultats possibles) ? 1 2 3 4 5 6 1 (1;1) (1;2) (1;3) (1;4) (1;5) (1;6) 2 (2;1) (2;2) (2;3) (2;4) (2;5) (2;6) 3 (3;1) (3;2) (3;3) (3;4) (3;5) (3;6) 4 (4;1) (4;2) (4;3) (4;4) (4;5) (4;6) 5 (5;1) (5;2) (5;3) (5;4) (5;5) (5;6) 6 (6;1) (6;2) (6;3) (6;4) (6;5) (6;6) • Réponse : Il y a 6 6⋅ =36 couples de nombres (issues).

• Inconvénient du tableau : on ne peut pas y mettre plus de deux paramètres (dans l'exemple, on ne pourrait pas y mettre trois dés).

• Remarques :

a) L’issue (2;1) est considérée comme différente de l’issue (1;2).

b) Nous pouvons considérer l’ensemble de toutes les issues possibles de cette expérience. Cet ensemble est appelé univers que l’on note Ω =

{

( ) ( )

1;1 ; 1;2 ;...; 6;6

(

)

}

.

c) Le nombre d'éléments d'un ensemble Ω est noté # Ω (cardinal d’oméga). Dans notre cas : #Ω = ⋅ =6 6 36 (Ω est un ensemble fini).

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B. La liste

Exemple Combien de « mots » peut-on écrire en utilisant les quatre lettres A, B, C et D (sans répétition) ? A B C D A B D C A C B D A C D B A D B C A D C B B A C D B A D C B C A D B C D A B D A C B D C A C A B D C A D B C B A D C B D A C D A B C D B A D A B C D A C B D B A C D B C A D C A B D C B A • Réponse : Il y a 24 « mots » (issues).

• Inconvénient de la liste : très long à écrire si on a beaucoup de lettres (objets) qui composent les « mots » (issues), et on risque principalement d'oublier des « mots » ou de les écrire plusieurs fois.

• Remarques :

a) L’univers est Ω =

{

ABCD; ABDC;...; DCBA

}

et #Ω =24 (Ω est un ensemble fini). b) En analyse combinatoire, on appelle « mot » de x lettres, tout assemblage de x lettres ayant un sens ou non.

L'assemblage des 4 lettres : DACB, bien que n'ayant aucun sens dans la langue française, est considéré comme un « mot » de quatre lettres en analyse combinatoire.

Les « mots » NICHE et CHIEN sont deux « mots » de cinq lettres ; ils sont formés à partir des mêmes lettres, mais celles-ci sont placées dans un ordre différent. Le mot NICHE est un

anagramme du mot CHIEN. C. L'arbre de classement

Exemple Combien de « mots » peut-on écrire en utilisant les quatre lettres A, B, C et D (sans répétition) ?

L'arbre se lit verticalement ; ici de haut en bas. Par exemple, la flèche indique le « mot » B D C A. Chaque « mot » correspond à un « chemin » de l’arbre.

• Réponse : On observe que le premier niveau de l’arbre comporte 4 embranchements, le deuxième 3, le troisième 2 et le dernier 1 seul.

L'arbre comporte : 4 3 2 1⋅ ⋅ ⋅ =24 « chemins » donc 24 « mots ».

A B C D B C D A C D A B D A B C C D D C B D D B B C C B C D D C A D D A A C C A B D D B A D D A A B B A B C C B A C C A A B B A

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• Avantage de l’arbre :

Il est plus général que le tableau ; on peut traiter plus que deux paramètres. Il est plus sûr que la liste, car de par sa symétrie, on voit s'il y a des doublons ou des éléments manquants. Il peut d'ailleurs être complété de façon partielle selon la question qui nous intéresse.

• Inconvénient de l’arbre :

Prend beaucoup de place et de temps pour le représenter si on a beaucoup de lettres (objets) qui composent les « mots » (éléments).

• Remarques :

Un arbre de classement est un schéma permettant de décrire et de dénombrer (compter) tous les résultats possibles d'une expérience donnée.

On peut extrapoler et, sans représenter la situation avec un arbre de classement, deviner que si l'on ajoute une lettre, c’est-à-dire : « combien de « mots » peut-on écrire en utilisant les cinq lettres A, B, C, D et E (sans répétition) ? », on va trouver : 5 4 3 2 1⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =120 «mots».

On a recours à la notation suivante : Définition

Soit n un entier positif ou nul. On appelle n factorielle, noté n!, le produit des nombres entiers de 1 à n. 1 si n 0 n! 1 2 3 .... n si n 0 =  = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ >  Exemples 0!=1 5! 1 2 3 4 5= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =120 7 ! 1 2 3 4 5 6 7= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =5040 98 69 ! 1 2 3 ... 68 69 = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ≅ 1,71 10⋅

70 ! = ... dépasse les capacités des calculatrices scientifiques courantes. Remarques

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Activité

Pour aller de la ville A à la ville C, on doit traverser deux rivières. Sur ces rivières, on dispose de cinq ponts x ,x , y , y et y (B et D sont aussi des villes). ₁ ₂ ₁ ₂ ₃

a) Combien y a-t-il de trajets différents de A à C ? (sans passer deux fois par la même ville)

b) Ajoutons, à la situation a), deux ponts z et z sur la rivière située entre les villes C et D. ₁ ₂

Combien y a-t-il de trajets différents de A à D ? (sans passer deux fois par la même ville)

Il en découle alors l’énoncé suivant :

D. Le principe de décomposition (ou théorème fondamental du dénombrement) Si une expérience peut se décomposer en k phases successives, ces dernières pouvant s'effectuer respectivement de n , n ,....,n₁ ₂ _k manières, alors l’expérience peut se réaliser de n n .... n₁⋅ ⋅ ⋅₂ _k manières différentes.

Le principe de décomposition sera utilisé dans les paragraphes suivants pour aboutir aux formules les plus utiles de l'analyse combinatoire.

x1 x2 y1 y2 y3 z1 z2 A • B _• C _• D _•

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Exemples

a) On lance trois dés à 6 faces (une expérience globale). L’univers est : Ω =

{

(

1;2;1 ; 6;4;1 ;...; 6;6;6

) (

)

(

)

}

Combien y a-t-il d'issues (résultats possibles) ?

On peut décomposer l’expérience globale en 3 phases successives.

• Phase 1 : on lance le 1e_{dé. On a 6 résultats possibles car 6 chiffres distincts.}

Réponse :

Selon le principe de décomposition, le nombre d'issues possibles de l’expérience globale est de 3

6 6 6⋅ ⋅ =6 =216 issues.

Autrement dit : #Ω =216 (Ω est un ensemble fini).

b) On veut imprimer une plaque de voiture comportant de gauche à droite, 2 lettres distinctes de notre alphabet latin et 3 chiffres (arabes), le premier est différent de zéro (une expérience globale).

L’univers est : Ω =

{

CH 124; DE665;...;YZ 990

}

. A combien s'élève le nombre de plaques de ce type ?

On peut décomposer l’expérience globale en 5 phases successives.

• Phase 1 : on imprime la 1e_{lettre. On a 26 résultats possibles car 26 lettres dans l’alphabet.}

• Phase 2 : on imprime la 2e_{lettre. On a 25 résultats possibles pour avoir des lettres distinctes.}

• Phase 3 : on imprime le 1e_{chiffre. On a 9 résultats possibles car sans le zéro.}

• Phase 4 : on imprime le 2e_{chiffre. On a 10 résultats possibles car 10 chiffres.}

• Phase 5 : on imprime le 3e_{chiffre. On a 10 résultats possibles car 10 chiffres.}

Réponse :

Selon le principe de décomposition, le nombre possible de plaques de ce type est de 26 25 9 10 10⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =585' 000.

Autrement dit : #Ω =585 00' 0 (Ω est un ensemble fini).

Remarques

a) Dans les exemples précédents a) et b), la représentation des issues de l'expérience globale avec un arbre de classement n'est pas conseillée car le nombre d’issues est trop élevée. b) Il existe des expériences, dont le dénombrement de l’ensemble fini, ne peut s’effectuer uniquement à l’aide du principe de décomposition.

L’utilisation de la théorie des ensembles et de ses opérations peut s’avérer utile pour résoudre certains problèmes.

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A _B Ω

A Ω

A _B Ω

E. Théorie des ensembles et opérations Soient A et B deux sous-ensembles d’un même ensemble Ω .

Les principales opérations sur les ensembles vont être illustrées au moyen de diagrammes de Venn.

Définition Notation Illustration

L'intersection de deux ensembles A et B est l'ensemble des éléments qui se trouvent à la fois dans A et dans B.

A ∩ B

(se lit "A inter B")

L’union de deux ensembles A et B est l'ensemble des éléments qui se trouvent dans A, dans B ou dans leur intersection.

A ∪ B

(se lit "A union B") Le complémentaire d'un ensemble A est

l'ensemble des éléments qui ne se trouvent pas dans A.

A

(se lit "A barre") La différence de deux ensembles A et B est

l'ensemble des éléments contenus dans A, mais pas dans B.

A \ B

(se lit "A diff. B") L'ensemble vide est l'ensemble

qui ne contient aucun élément. ∅

Propriétés de opérations

1) A∩B=B∩A 2) A\ B =A∩ 3) B A∩B = A∪B 4) A∪B = A∩B Définition

• Le nombre d'éléments d'un ensemble Ω est appelé le cardinal de cet ensemble. Notation : # Ω ou Card(Ω) .

• L'ensemble Ω est fini si #Ω∈ .

• L'ensemble Ω est infini s’il n’est pas fini.

Propriétés sur le dénombrement des ensembles

1) #A\ B=#A−#A∩B 2) #A∪ =B #A+# B−# A∩B

3) # A=#Ω −# A 4) Si A⊆B alors#A≤#B

5) Si A∩B= ∅ alors #A∪ =B #A+#B 6) Si A⊆B alors #A\ B=#A−#B Remarque

On dit que A , A , A forment une partition de ₁ ₂ ₃ Ω si Ω =A₁∪A₂∪A₃ et A_i∩ = ∅ A_j ∀ ≠i j (deux à deux disjoints) De plus #Ω =#A₁∪A₂∪ =A₃ #A₀+#A₁+#A₂

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Exemples

a) Avec les 3 chiffres : 5, 6, 7, combien peut-on écrire de nombres de 3 chiffres : 1) avec ou sans répétitions ? 2) sans répétitions ? 3) avec répétitions ? Réponses :

Considérons l’ensemble Ω = =

{

0;1;2;3;...

}

= ensemble des entiers naturels

1) A= {issues avec ou sans répétition} =

{

555;556;....;567...;777

}

Selon le principe de décomposition : #A=3 3 3⋅ ⋅ =3 =27 3

2) B= {issues sans répétition} =

{

567;657;....;765

}

Selon le principe de décomposition : #B= ⋅ ⋅ =3 2 1 6

Remarque : B⊂ A et # B≤#A

3) C= {issues avec répétition}=

{

555;556;....;777

}

On a : C=A\ B et B⊂A donc A∩ =B B

donc #C =#A \ B=#A−#A∩ =B # A−#B=27− =6 21

b) On lance trois dés à 6 faces.

Combien y a-t-il d'issues possibles qui comportent une fois la face 4. Réponse :

L’univers est : Ω =

{

(

1;2;1 ; 6;4;1 ;...; 6;6;6

) (

)

(

)

}

Ak= { issues comportant k fois la face 4 }

Remarque :

A , A , A , A forment une partition de ₀ ₁ ₂ ₃ Ω .

On s’intéresse à :

A1= { issues comportant une fois la face 4 } :

Avec le principe de décomposition et les

opérations de la théorie des ensembles on obtient :

  

1 ,1 1 ,2 1 ,3 1 A A # # # A A 1 5 5 5 1 5 5 5 1 75 issues # = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = Chiffre des centaines Chiffre des dizaines Chiffre des unités Ω A B C=A\B Ω

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3.1.2 Permutations

Définition

Si on classe dans un ordre particulier, n objets distincts, on forme une permutation simple de ces n objets distincts.

Exemple

Considérons les 4 lettres distinctes A, B, C , D et l’arbre de classement suivant :

Chaque « chemin » de l’arbre correspond à une permutation simple des 4 lettres : A, B, C , D. Considérons l’ensemble de permutations simples : Ω =

{

ABCD; ABDC;...; DCBA

}

BDCA est une permutation simple (un élément) de l’ensemble Ω.

Dénombrement de l’ensemble des permutations simples On notera P_n , le nombre de permutations simples de n objets.

Le principe de décomposition (*) s’applique au dénombrement des permutations simples et nous obtenons les résultats suivants :

• Cas particulier avec l’exemple ci-dessus :

( ) notation factorielle 4 * P = ⋅ ⋅ ⋅ =_{}4 3 2 1 24 = 4! permutations simples. • Cas général :

(

) (

)

( ) n * permutation P = ⋅n n− ⋅1 n−2 ⋅... 3 2 1⋅ ⋅ ⋅ = n! s simples  Autres exemples

a) Combien de «mots» peut-on former à l’aide des 7 lettres distinctes D, E, F, G, H, I, J ? Chaque «mot» est une permutation formée de 7 lettres distinctes (7 objets distincts). Réponse : Il y a P₇ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =7 6 5 4 3 2 1 7 !=5040 « mots ».

b) De combien de façons différentes peut-on asseoir 5 personnes sur un banc ?

Lorsque 5 personnes ("5 objets distincts") sont assises sur un banc elles forment une permutation. Réponse : P₅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =5 4 3 2 1 5!=120 possibilités.

A B C D B C D A C D A B D A B C C D D C B D D B B C C B C D D C A D D A A C C A B D D B A D D A A B B A B C C B A C C A A B B A

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Question

Combien de «mots» distincts de 5 lettres, peut-on écrire avec les 5 lettres : E, R, R, E, R ? Pour répondre à ce problème on va considérer les permutations simples des 5 objets distincts

1, 1, 2, 2 3

e r r e , r ; on en trouve 5 4 3 2 1 5!⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = =120.

Mais parmi celles-ci, certaines sont indiscernables si l'on emploie le même graphisme pour toutes les lettres :

En partant du « mot » ERRER, on en trouve 6 en permutant les trois r ( 3 ! ) :

1 1 2 2 3 e r r e r 1 1 3 2 2 e r r e r 1 1 2 2 3 e r r e r 3 1 2 2 1 e r r e r 1 1 3 2 2 e r r e r 1 3 2 2 1 e r r e r

Puis, on peut multiplier par 2 ces possibilités en permutant les deux e ( 2 ! ) :

2 1 2 1 3 e r r e r 2 1 3 1 2 e r r e r 1 2 2 1 3 e r r e r 3 2 2 1 1 e r r e r 1 2 3 1 2 e r r e r 2 3 2 1 1 e r r e r

En conclusion, nous avons donc 5!=120 permutations simples formé des 5 objets distincts 1, 1, 2, 2 3

e r r e , r ; il y a des sous-ensembles de 3! 2!⋅ =12 permutations simples que l’on ne peut pas distinguer si l'on emploie le même graphisme pour toutes les lettres.

On peut alors écrire 5! 10

2! 3!⋅ = «mots» distincts avec les 5 lettres E, R, R, E, R :

{

RRREE ; RRERE ; RREER ; RERRE ; RERER ; REERR ; ERRRE ; ERRER ; ERERR ; EERRR

}

Les éléments de cet ensemble sont appelés permutations avec répétitions des lettres E, R, R, E, R. Définition

Si on classe dans un ordre particulier, n éléments dont : • n1 sont identiques de type 1, • ……..

• n2 sont identiques de type 2, • nk sont identiques de type k, on forme une permutation avec répétitions de ces n= + +n₁ n₂ .... n+ éléments. _k

Dénombrement de l’ensemble des permutations avec répétitions En notant P ( n , n , ..., n )_n ₁ ₂ _k le nombre de permutations avec répétitions de n= + +n₁ n₂ .... n+ _k

éléments nous obtenons le résultat suivant :

1 2 k n n 1 2 k n n n 1 2 k P n! P ( n , n , ..., n ) P P ... P n ! n ! ... n ! = = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ avec n=n₁+n₂+.... n+ _k Remarques

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3.1.3 Arrangements

Définition

Si, parmi n objets distincts, on choisit r objets distincts (r ≤ n) en les classant dans un ordre particulier, on forme un arrangement simple de r objets choisis parmi n. Exemple

Considérons les 4 lettres distinctes A, B, C , D et l’arbre de classement suivant :

Chaque « chemin » de l’arbre correspond à un arrangement simple de 3 lettres distinctes parmi 4 . Considérons l’ensemble de arrangements simples : Ω =

{

ABC; ABD;...; DCB

}

BDC est un arrangement simple (un élément) de l’ensemble Ω.

Dénombrement de l’ensemble des arrangements simples

On notera An_r , le nombre d’arrangements simples de r objets choisis parmi n objets. Le principe de décomposition (*) s’applique au dénombrement des arrangements simples et nous obtenons les résultats suivants :

• Cas particulier avec l’exemple ci-dessus :

( )

(

)

4 3 * 4 3 2 1 4! 4! A 4 3 2 24 1 1! 4 3 ! ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = = = = −  • Cas général :

(

)

(

)

( ) n r * A = ⋅n n− ⋅1 ... n⋅ − +r 1 

(

)

(

) (

₍

n r

) (

_{) (}

n r 1

)

₎

... 2 1 n n 1 ... n r 1 n r n r 1 ... 2 1 − ⋅ − − ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ − ⋅ ⋅ − + ⋅ − ⋅ − − ⋅ ⋅ ⋅

(

nn!r

)

! arrangements simples = − A _B C D B C D A C D A B D A B C C D B D B C C D A D A C B D A D A B B C A C A B

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Remarques a) Si r = n,

(

)

n n n n ! n ! A n ! P n n ! 0 ! = = = = −

Les permutations simples sont un cas particulier des arrangements simples. b) Sur certaines calculatrices, la touche nPr effectue ce type de calcul.

Autre exemple

Dans une course hippique, 20 chevaux prennent le départ. Combien peut-il y avoir de podiums (classement comportant 3 places) ?

Réponse :

Chaque podium est un arrangement simple de 3 chevaux parmi 20. En appliquant le principe de décomposition (3 phases successives) : • 1e_{place du podium : 20 chevaux}

• 2e_{place du podium : 19 chevaux}

• 3e_{place du podium : 18 chevaux}

On a alors

(

)

20 3 20 19 18 17 16 ... 3 2 1 20! 20! A 20 19 18 6840 17 16 ... 3 2 1 17 ! 20 3 ! ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = = = = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − podiums. Situation duale

La notion d’arrangement simple possède deux descriptions que voici :

Le choix de r objets distincts (r ≤ n) pris parmi n objets distincts en les classant dans un ordre particulier est la situation duale de :

On répartit r objets distincts (r ≤ n) dans n cases distinctes avec au maximum un objet par case.

Exemple

Une association veut distribuer à 5 familles dans le besoin des bons alimentaires.

Les 3 bons que possède l’association sont respectivement d’une valeur de : 100 Fr , 200 Fr et 500 Fr. Elle compte distribuer au plus un (aucun ou un) bon à une famille.

Combien de distributions possibles peut-on effectuer dans ces conditions ? Réponse :

En appliquant le principe de décomposition (3 phases successives) : • bon de 100 Fr. : 5 familles • bon de 200 Fr. : 4 familles • bon de 500 Fr. : 3 familles On a alors :

(

)

5 3 5! A 5 4 3 60 5 3 ! = ⋅ ⋅ = = − distributions.

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Question

Combien de « mots » distincts de 4 lettres peut-on former à l’aide des 7 lettres A, B, C, D, E, F, G si on peut répéter les lettres dans les « mots » ?

Réponse :

Considérons l’ensemble de ces « mots » : Ω =

{

AAAA ; AAAB ;...; ABCD ;...; DEFG

}

En appliquant le principe de décomposition (4 phases successives) :

• Ecrire la 1e _{lettre : 7 lettres}

       Au total : 4 7 7 7 7⋅ ⋅ ⋅ =7 =2401 «mots». Définition

Si, parmi n objets distincts, on choisit r objets distincts ou non (on peut choisir

plusieurs fois le même) en les classant dans un ordre particulier, on forme un arrangement avec répétitions de r éléments choisis parmi n.

Dénombrement de l’ensemble des arrangements avec répétitions On notera n

r

A , le nombre d’arrangements avec répétitions de r objets choisis parmi n.

Le principe de décomposition (*) s’applique au dénombrement des arrangements avec répétition et nous obtenons les résultats suivants :

• Cas particulier avec l’exemple ci-dessus : 7 4 4 A =7 =2401 • Cas général : ( ) n r r * arrange

A = ⋅ ⋅_{}n n ....... n⋅ =n ments avec répétitions

Remarques

a) L’ensemble des arrangements simples de r objets parmi n est inclus dans l’ensemble des arrangements avec répétitions de r objets parmi n car dans un arrangements avec répétitions il peut y a avoir r objets distincts ou non. Nous avons donc que n n

r r

A ≤A b) La barre sur le A signifie « avec répétitions ».

Autre exemple

Combien de nombres différents peut-on lire sur un compteur kilométrique de voiture à 6 chiffres ? Réponse :

Considérons l’ensemble de ces nombres : Ω =

{

000000 ; 000001 ;...; 123005 ; ...;999999

}

Les nombres du compteur sont des arrangements avec répétitions de 6 chiffres parmi 10. En appliquant le principe de décomposition (6 phases successives) :

On a 10 6

6

6 fois

(17)

3.1.4 Combinaisons

Définition

Si, parmi n objets distincts, on choisit r objets distincts (r ≤ n) sans les classer

dans un ordre particulier, on forme une combinaison simple de r éléments choisis parmi n. Exemple

Considérons les 4 lettres distinctes A, B, C , D.

Choisissons d’abord, 3 lettres distinctes parmi 4 distinctes en tenant compte de l’ordre. Nous pouvons alors écrire les 24 arrangements simples dont voici la description :

En ne tenant pas compte de l’ordre nous obtenons alors seulement 4 combinaisons simples de 3 lettres distinctes parmi 4 distinctes, représentées par les 4 cases.

Dénombrement de l’ensemble des combinaisons simples

On notera Cn_r, le nombre de combinaisons simples de r objets choisis parmi n objets. • Cas particulier avec l’exemple ci-dessus :

Chacune des colonnes donne les mêmes lettres, qui est alors compté 6 fois (les 3! permutations du trio). Par conséquent, si l'on ne tient pas compte de l'ordre, il faut diviser le nombre

d'arrangements simples par 3! :

(

)

(

)

4 4 3 3 4! 4 3 ! A 4! C 4 3! 3! 4 3 ! 3! − = = = = − • Cas général :

(

)

(

)

n n r r r n! n r ! A n! C

P r ! n r ! r ! combinaisons simples − = = = − ⋅ Remarques a) C_rn≤ A_rn car A_rn =C_rn⋅ P_r b) Autre notation : C_rn n r   =    

c) Sur certaines calculatrices, la touche nCr effectue ce type de calcul.

A B C A C B B A C B C A C A B C B A A B D A D B B A D B D A D A B D B A A D C A C D D A C D C A C A D C D A D B C D C B B D C B C D C D B C B D

(18)

Autre exemple

De combien de façons différentes peut-on constituer un groupe de 3 personnes choisies parmi 5 ? Réponse :

Lee 5 personnes sont toutes distinctes. L’ordre dans le groupe n’a pas d’importance c’est donc des combinaisons simples et pas des arrangements simples.

On a

(

)

5 3 5! C 10 5 3 ! 3! = =

− façons de former un groupe. Situation duale

La notion de combinaison simple possède deux descriptions que voici :

Le choix de r objets distincts (r ≤ n) pris parmi n objets distincts sans les classer dans un ordre particulier est la situation duale de :

On répartit r objets indiscernables (r ≤ n) dans n cases distinctes avec au maximum un objet par place.

Exemple

De combien de façons différentes peut-on disposer 2 boules indiscernables dans 4 cases, chaque case pouvant contenir au plus une boule ?

Réponse : On a

(

)

4 2 4! C 6 4 2 ! 2! = = − ⋅ dispositions. Remarques a) Si n= + alors n₁ n₂

(

)

1 n n n 1 2 1 1 2 1 n! n! C P ( n , n ) n n ! n ! n ! n ! = = = − ⋅ ⋅ et

(

)

2 n n n 1 2 2 2 1 2 n! n! C P ( n , n ) n n ! n ! n ! n ! = = = − ⋅ ⋅

b) Nous ne traiterons pas dans ce cours les combinaisons avec répétitions que l’on note C_rn .

• • • •

(19)

Résumé

L’ordre compte L’ordre ne compte pas

Nombre d’objets : Départ : n Arrivée : n n

P

(objets distincts) et n 1 2 k P ( n , n , ..., n ) (objets distincts ou non)

/ Nombre d’objets : Départ : n Arrivée : r

(

r<n

)

n r

A

(objets distincts) et n r A

(objets distincts ou non)

n r

C

(20)

Isaac Newton (1642-1727)

3.1.5 Formule du binôme de Newton *

Rappel et simplification

(

)

n! = ⋅ ⋅ ⋅ 1 2 3 ... n 1 n ⋅ − ⋅ 5! = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 1 2 3 4 5 0! = 1

(

) (

)

n!⋅ n+1 = n+1 ! Définition *

Les coefficients binomiaux sont des nombres entiers définis de la façon suivante :

(

)

n r n! C n r ! r ! = − ⋅ avec n, r∈ et 0 ≤ r ≤ n Exemples*

(

)

3 2 3! 6 C 3 3 2 ! 2! 2 = = = − ⋅

(

)

4 4 4! 4! C 1 4 4 ! 4! 4! = = = − ⋅

Triangle de Blaise Pascal (1623-1662)

n r 0 1 2 3 4 5 … 0 1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 3 1 4 1 4 6 4 1 5 1 5 10 10 5 1 … … … … … … … …

Remarque * Autre notation : n r n C r   =     Proposition * Soit

(

)

n r n! C n r ! r ! = − ⋅ avec n, r∈ et 0 ≤ r ≤ n On a : 1) C₀n =C_nn = 1 2) C_rn =C_{n r}n₋ (symétrie) 3) C_rn+C_{r 1}n₊ =C_{r 1}n 1₊+ (formule de Pascal) Remarque

Les coefficients binomiaux de la ligne n+1 s’obtiennent en additionnant deux à deux les coefficients binomiaux de la ligne n.

(21)

Démonstration * 1)

(

)

(

)

n n 0 n n! n! n! n! C 1 C 1 n 0 !·0! n! 1 n n !·n! 1 n! = = = = = = − ⋅ − ⋅ 2)

(

)

(

)

(

) (

)

n n n r r n! n! C C n n r !· n r ! n r !·r ! − = ₋ ₋ ₋ = ₋ = (symétrie) 3)

(

)

(

)

(

)

n n r r 1 n! n! C C n r !·r ! n r 1 !· r 1 ! + + = + − − + +

(

)

(

n r 1 ! n r ·r !n!

)

(

)

(

n

(

r 1 !·r !· rn!

)

(

1

)

= + = − + ⋅ − − + +

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

) (

)

r 1 n! n r n! r 1 n r n! n r 1 ! n r r ! r 1 n r ! r 1 ! + ⋅ + − ⋅ + + − ⋅ = = − + ⋅ − ⋅ ⋅ + − ⋅ +

(

)

(

) (

)

(

) (

)

(

) (

(

)

(

)

r 1n 1 n 1 n! n 1 ! n 1 ! C n r ! r 1 ! n r ! r 1 ! n 1 r 1 ! r 1 ! + + + ⋅ + + = = = = − ⋅ + − ⋅ + + − + ⋅ +

Formule du binôme de Newton *

On cherche une formule générale pour le développement du binôme

(

a+b

)

n avec n∈ . 1) Développons le binôme

(

a+b

)

nen prenant les premiers entiers naturels :

(

)

0 a+b = 1 1

(

) (

1

) (

)

0 a+b = a+b ⋅ a+b = a+ b 1 1

(

) (

2

) (

)

1 a+b = a+b ⋅ a+b = a2+2ab+b2 1 2 1

(

) (

3

) (

)

2 a+b = a+ ⋅b a+b = a3+3a b2 +3ab2+b3 1 3 3 1

(

) (

4

) (

)

3 a+b = a+ ⋅ +b a b = a4+4a b 6 a b3 + 2 2+4ab3+b4 1 4 6 4 1 ……. 2) Remarques

a) Il n’est pas facile de calculer le développement de

(

a+b

)

n car on doit développer au préalable et successivement tous les binômes ayant une puissance inférieure a n.

(

) (

3

) (

2

) (

)

3 2 2 3

a b a b a b a b aa ab ba bb

aaa aab aba abb baa bab bba bbb

a 3a b 3ab b

+ = + ⋅ + = + ⋅ + + +

= + + + + + + +

= + + +

b) Les coefficients des monômes de chaque

développement correspondent aux coefficients binomiaux. b a b b a b a b a b a b a a

(22)

3) Etudions de manière « combinatoire » le développement du binôme

(

a+b

)

3: Si on veut développer

(

a+b

)

3, il faut effectuer les produits :

(

a+ ⋅b

) (

a+ ⋅b

) (

a+b

)

Choisissons de prendre le nombre de «b» par exemple comme référence :

• a3 s'obtient en choisissant le facteur b dans 0 parenthèses parmi les 3, et le facteur a dans les autres :

(

a+ ⋅ + ⋅ +b

) (

a b

) (

a b

)

=a3+...

Le choix (non ordonné) de 0 parenthèses parmi les 3 peut se faire de C₀3 = manière différente. 1

Dans le développement de

(

a+b

)

3, le monôme a3 se retrouve donc C₀3 = fois. 1

• a2b s'obtient en choisissant le facteur b dans 1 parenthèse parmi les 3, et le facteur a dans les autres : (a+ ⋅ +b ) (a b) (⋅ +a b ) ...= +a b2 +...

Le choix (non ordonné) de 1 parenthèse parmi les 3 peut se faire de C₁3 = manières différentes. 3

(

a+b

)

3, le monôme a2b se retrouve donc C₁3 =3 fois.

• ab2 s'obtient en choisissant le facteur b dans 2 parenthèses parmi les 3, et le facteur a dans les autres : (a+b) (⋅ +a b) (⋅ +a b ) ...= +ab2 +...

Le choix (non ordonné) de 2 parenthèses parmi les 3 peut se faire de C₂3 = manières différentes. 3

(

a+b

)

3, le monôme ab2 se retrouve donc C₂3 = fois. 3

• b3 s'obtient en choisissant le facteur b dans 3 parenthèses parmi les 3, et le facteur a dans les autres : (a+b) (⋅ +a b) (⋅ +a b) ...= +b3

Le choix (non ordonné) de 3 parenthèses parmi les 3 peut se faire de C₃3 = manière différente. 1

(

a+b

)

3, le monôme b3 se retrouve donc C₃3 =1 fois.

On peut alors écrire :

(

)

3 3 3 3 2 3 2 3 3 3 2 2 3

0 1 2 3

a+b =C a +C a b+C ab +C b =a +3a b+3ab +b

4) Question : Peut-on généraliser le résultat obtenu pour le développement de

(

a+b

)

3 aux autres puissances entières ?

Théorème * (formule du binôme de Newton) Pour tout n∈ on a :

(

)

n n n 0 n n 1 1 n n 2 2 n 2 n 2 n 1 n 1 n 0 n

0 1 2 n 2 n 1 n

a+b =C ⋅a b +C ⋅a −b +C ⋅a −b + +... C ₋ ⋅a b − +C ₋ ⋅a b − +C ⋅a b On peut utiliser la notation « somme » :

(

)

n n _n _{n r} _r r r 0 a b C a − b = + =

∑

⋅ ⋅ Exemples *

(

)

4 ₄ ₄ ₀ ₄ ₃ ₁ ₄ ₂ ₂ ₄ _{1 3} ₄ ₀ ₄ ₄ ₃ ₂ ₂ ₃ ₄ 0 1 2 3 4 a+b =C ⋅a b +C ⋅a b +C ⋅a b +C ⋅a b +C ⋅a b =a +4a b 6 a b+ +4ab +b

(

)

5 ₅ ₅ ₀ ₅ ₄ ₁ ₅ ₃ ₂ ₅ ₂ ₃ ₅ _{1 4} ₅ ₀ ₅ 0 1 2 3 4 5 a+b =C ⋅a b +C ⋅a b +C ⋅a b +C ⋅a b +C ⋅a b +C ⋅a b =a5 +5a b 10a b4 + 3 2+10a b2 3+5ab4 + b5

(23)

Remarques *

a) Le théorème donne une formule permettant de développer

(

a+b

)

n pour tout n∈ sans devoir calculer les développements précédant et en utilisant uniquement les coefficients binomiaux. b) La somme des coefficients binomiaux du développement de

(

a+b

)

n vaut 2n_.

Il suffit d’écrire :

(

)

n n (*) n n n n r r n r r r 0 r 0 C C 1 − 1 1 1 2 = = = ⋅ ⋅ = + =

∑

( ) (

)

( ) n n n n r r r r 0 * a b C a − b = + =

∑

⋅

c) La somme des puissances de chaque monôme du développement de

(

a+b

)

n est constante et égale à n. Exemple :

(

)

3 _3 _2 1 _{ }1 2 3 3 3 2 1 1 2 a b a 3 a b 3 a b b + + + = + + + Démonstration * Par récurrence sur n :

• A voir que la formule est vraie pour n=0 (initialisation) :

(

)

( ) ( ) 0 0 0 r 0 0 0 r 0 0 r 0 r 0 a b 1 C a − b C a − b 1 1 1 1 = + = ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ =

∑

• Hypothèse de récurrence : la formule est vraie pour n. A voir que la formule est vraie n+1 (hérédité).

(

a+b

)

n 1+ =

(

a+ ⋅b

) (

a+b

)

n algèbre

(

)

n n n r r r r 0 a b C a −b = = + ⋅

∑

hypothèse de récurrence n n n n r r n n r r r r r 0 r 0 a C a − b b C a −b = = = ⋅

∑

+ ⋅

∑

algèbre : distributivité n n n n 1 r r n n r r 1 r r r 0 r 0 C a + − b C a − b + = = =

∑

+

∑

algèbre : distributivité n n 1 n 1 n n 1 r r n n r r 1 n 1 r r r 1 r 0 a C a b C a b b − + + − − + + = = = +

∑

+

∑

+ algèbre : réécriture n n n 1 n n 1 r r n n 1 r r n 1 r r 1 r 1 r 1 a + C a + − b C ₋a + − b b + = =

= +

∑

+

∑

+ algèbre : changement d’indice

(

)

n n 1 n n n 1 r r n 1 r r 1 r 1 a + C C ₋ a + −b b + =

= +

∑

+ + propriété des sommes et mise en évidence

n n 1 n 1 n 1 r r n 1 r r 1 a + C +a + − b b + =

= +

∑

+ propriété des coeff. binomiaux :C_rn+C_{r 1}n₊ =C_{r 1}n 1₊+

n 1 n 1 n 1 r r r r 0 C a b + + + − = =

∑

algèbre : réécriture

(24)

Exercices (arbres de classements)

1) On lance une pièce de monnaie et on s'arrête dès qu'on a obtenu trois fois le même côté. Construire un arbre de classement représentant cette expérience. Combien y a-t-il d’issues ?

2) Observer les figures ci-dessous. Faire une liste des critères qui les différencient et décrire à l'aide d'un arbre de classement toutes les possibilités. Quelles figures manquent sur le dessin ?

3) On désire se rendre de la case A à la case X. Les seuls déplacements autorisés sont des déplacements d'une case vers la droite (D) ou d'une case vers le bas (B).

Combien y a-t-il de chemins différents allant de la case A à la case X ? A

X

4) Le diagramme ci-dessous représente des îles : A, B, C, D, E et F. Certaines d'entre elles sont reliées par des ponts. Un touriste part de l'île A et va d'île en île. Il s'arrête pour déjeuner lorsqu'il ne peut plus continuer sans repasser sur un pont qu'il a déjà traversé lors de sa promenade. Quel est le nombre de chemins différents qu'il peut prendre avant de déjeuner ?

A X A B D C E F

(25)

Marche à suivre pour résoudre les problèmes

1) Comprendre/cerner l’ensemble Ω et les éventuels sous-ensembles de Ω que l’on veut dénombrer.

2) Repérer les éventuelles partitions de Ω .

3) Déterminer si les éléments contenus dans les ensembles précédant sont :

des permutations, des arrangements ou des combinaisons (simples ou avec répétitions). 4) Calculer la cardinalité de l’ensemble Ω et les éventuels sous-ensembles de Ω

en utilisant si c’est possible :

a) le principe de décomposition.

b) les propriétés de dénombrement des ensembles.

c) les formules de dénombrement des permutations, des arrangements ou des combinaisons (simples ou avec répétitions).

Exercices (principe de décomposition et opérations de la théorie des ensembles)

5) a) Avec les 6 chiffres : 2, 3, 5, 6, 7, 9, combien peut-on écrire de nombres de 3 chiffres : 1) avec ou sans répétitions ?

2) sans répétitions ? 3) avec répétitions ?

b) Avec les 6 chiffres : 2, 3, 5, 6, 7, 9, combien peut-on écrire de nombres de 3 chiffres : 1) avec ou sans répétitions et inférieurs à 400 ?

2) sans répétitions et inférieurs à 400 ?

c) Avec les 6 chiffres : 2, 3, 5, 6, 7, 9, combien peut-on écrire de nombres de 3 chiffres : 1) sans répétitions et pairs ?

2) sans répétitions et impairs ?

6) Cette bande, partagée en 5 cases, doit être coloriée (case par case) et l'on dispose de 8 couleurs.

De combien de manières peut-on procéder si deux cases adjacentes doivent être de couleurs différentes ?

7) a) Combien y a-t-il d'issues possibles lorsqu'on lance trois dés à 6 faces ?

b) On lance trois dés à 6 faces. Combien y a-t-il d'issues possibles qui comportent : 1) aucune face 1. 4) trois fois la face 1.

2) une fois la face 1. 5) au moins une fois la face 1. 3) deux fois la face 1.

(26)

Exercices (sans le principe de décomposition)

8) Douze joueurs d’échec participent à un tournoi dans lequel chaque joueur joue une fois contre chacun des autres joueurs. Combien y a-t-il de parties disputées ?

Indication : commencer par un tournoi avec 3 joueurs puis avec 4 joueurs, etc.

Exercices (notation factorielle)

9) a) Simplifier et calculer les expressions suivantes : 1) 3! 4⋅ 2) 7 ! 6 ! 3) 20 ! 18 ! 4) 8 ! 7 ! 4 !⋅ 5) 98! 100! 6) 1 1 4 !−5! 7) 20! ( 20 4 )!− 8) 24! ( 24 4 )! 4!− ⋅

b) Simplifier les expressions suivantes : 1) ( n 1 )! n− ⋅ 2) n ! ( n 1 )!− 3) ( n 2 )! ( n 1 )! + − 4) ( n r 1 )! ( n r 1 )! − + − −

Exercices (permutations simples et avec répétitions)

10) a) Écrire, à l’aide d’un arbre de classement, toutes les permutations simples des 3 lettres distinctes : E , U et X .

b) Combien de « mots » peut-on former avec les lettres des mots suivants ?

1) EUX 2) UTILE 3) PARMI

11) Soient 3 personnes : p , p et p₁ ₂ ₃ .

a) De combien de manières différentes peut-on les mettre en rang ? b) De combien de manières différentes peut-on

les asseoir autour d'une table circulaire ?

c) Mêmes questions qu'en a) et b), mais avec 4 personnes.

12) a) De combien de façons, peut-on asseoir sur un banc 3 garçons et 2 filles ?

b) Même question qu’au point a) avec la condition supplémentaire que les garçons restent ensemble et les filles aussi. Indication : il y a deux cas disjoints.

c) Même question qu’au point a) avec la condition supplémentaire que seulement les filles restent ensemble. Indication : il y a quatre cas disjoints.

13) Combien de « mots » distincts peut-on écrire avec les lettres du mot : a) rire ? b) arranger ?

(27)

14) Combien de plaques distinctes peut-on former avec les numéros de la plaque CH 1090210 ?

15) a) Combien de « mots » distincts peut-on écrire avec les lettres du mot : ELEVES. b) Combien de ces mots commencent et finissent par E ?

c) Combien sont ceux où les trois lettres E sont adjacents ? Indication : il y a quatre cas disjoints.

d) Combien commencent par E et se terminent par S ?

16) On désire se rendre de la case A à la case X. Les seuls déplacements autorisés sont des déplacements d'une case vers la droite (D) ou d'une case vers le bas (B).

Combien y a-t-il de trajectoires différentes allant de la case A à la case X ?

Exercices (arrangements simples et avec répétitions, combinaisons simples)

17) a) Écrire, à l’aide d’un arbre de classement, tous les arrangements simples de 2 lettres choisies parmi les 4 lettres distinctes : X , Y , Z et T .

Donner le nombre d’arrangements simples de 2 lettres choisies parmi les 4 lettres. b) Écrire, toutes les combinaisons simples de 2 lettres choisis parmi les 4 lettres distinctes : X , Y , Z et T .

Donner le nombre de combinaisons simples de 2 lettres choisies parmi les 4 lettres.

18) De combien de façons peut-on former une cordée de 3 hommes en les choisissant parmi 10 alpinistes ? L’ordre à une importance.

19) On doit envoyer 7 lettres distinctes, mais on ne dispose que de 4 timbres. Combien y a-t-il de choix d'envoi possibles ?

20) Combien de façon a-t-on de choisir, après les prolongations d'un match de football, 5 tireurs de penalties parmi les 11 joueurs de l’équipe ? L'ordre de passage des joueurs a de l’importance.

21) Combien de comités de 3 personnes peut-on former avec 8 personnes ? A

X

Exemple de trajectoire :

(28)

22) Il y a 8 balles numérotées de 1 à 8 dans une urne. Combien de nombres de 3 chiffres peut-on former :

a) avec replacement des balles dans l'urne ? b) sans replacement des balles dans l'urne ?

23) Un couple à 5 enfants. Ils veulent léguer 3 biens immobiliers (une villa, un chalet et une usine) à leurs 5 enfants. Les parents comptent distribuer au plus un bien immobilier à un enfant. Combien de dispositions testamentaires peut-on effectuer dans ces conditions ?

24) Combien un village doit-il avoir d'habitants au minimum pour que l'on soit sûr que deux personnes au moins aient les mêmes initiales ? Indication : initiales = 2 lettres .

25) Une classe compte 24 élèves. De combien de façons peut-on former 3 groupes de 8 élèves ? Indication : former d’abord le 1er groupe, ensuite le 2e groupe et finalement le 3e groupe.

26) Jean, Pierre, Anne et Luc font partie d’une classe de 14 élèves composée de 8 filles et 6 garçons.

L’enseignant de la classe décide de créer un comité formé de 4 élèves. a) Combien y-a-t-il de comités possibles ?

b) Combien y-a-t-il de comités possibles si l’on veut un comité composé uniquement de filles ? c) Combien y-a-t-il de comités possibles si Jean ne veut pas faire partie du comité ?

d) Combien y-a-t-il de comités possibles si l’on veut un comité composé de 2 filles et 2 garçons ? Indication : pour créer un comité de ce type, on choisit d’abord

les personnes du même sexe et ensuite les personnes de l’autre sexe.

e) Combien y-a-t-il de comités possibles si l’on veut Pierre et Jean se retrouvent ensemble dans le comité ?

f) Combien y-a-t-il de comités possibles si l’on ne veut pas que Anne et Luc se retrouvent ensemble dans le comité ?

Exercices ( mélangés )

27) Dans une assiette nous avons en même temps : un toast, une tranche de pain et une biscotte. Mademoiselle Combinatoire a le choix entre quatre confitures différentes pour étaler sur une tranche de pain, un toast et une biscotte. Combien y a-t-il de possibilités différentes sachant qu'elle peut éventuellement, en plus de la confiture, les beurrer ?

28) Un questionnaire comprend 8 questions auxquelles il faut répondre par oui ou par non. Combien peut-on donner de réponses différentes avec 4 oui et 4 non ?

29) Le code de la porte d'entrée de votre immeuble est composé de 4 chiffres (pas forcément distincts) suivis d'une lettre. Exemple : 3 4 3 6 A

Combien de possibilités le concierge a-t-il pour choisir un code d'entrée ?

1 2 3 4 5 6 7 8 9 A 0 B

(29)

30) Dans l'alphabet Braille, chaque lettre ou signe est représenté par 6 points au maximum. Les points étant en relief. Combien de signes distincts peut-on ainsi composer ?

31) Un jeu de 36 cartes est composé de la façon suivante : il y a 4 familles ( ♣ , ♦ , ♥ , ♠ ) de 9 cartes de valeurs différentes (A , R , D , V , 10 , 9 , 8 , 7 , 6 ) ; ♦ et ♥ sont des cartes rouges, ♣ et ♠ sont des cartes noires.

Un ensemble de 5 cartes sans répétition et sans ordre s’appelle une main. Autrement dit, une main c’est une distribution de 5 cartes sur 36 à un joueur. a) Combien de mains différentes existe-t-il ?

b) Combien de mains contiennent 4 as ? c) Combien de mains contiennent 3 as ? d) Combien de mains contiennent aucun as ? e) Combien de mains contiennent au moins un as ? f) Combien de mains contiennent 2 as et 2 rois ?

(30)

32) Parmi les arrangements simples de 5 lettres du mot EQUATIONS, a) Combien ne contiennent que des voyelles ?

b) Combien contiennent toutes les consonnes ? c) Combien commencent par E et se terminent par S ? d) Combien commencent par une consonne ?

e) Combien contiennent N ?

33) Jouer à l'Euro Millions, c’est prendre la grille représentée ci-dessous et cocher 5 numéros sur une carte qui en comporte 50 (carrés) et 2 numéros sur une carte qui en comporte 9 (étoiles).

a) Combien y a-t-il de possibilités différentes de remplir une grille ? b) Parmi ces possibilités, combien permettent-elles de trouver :

i) les 5 numéros gagnants sur une carte qui en comporte 50 et 2 numéros gagnants sur une carte qui en comporte 9 ? (1er prix)

ii) les 5 numéros gagnants sur une carte qui en comporte 50 et 1 numéros gagnants sur une carte qui en comporte 9 ? (2ème prix)

iii) les 5 numéros gagnants sur une carte qui en comporte 50 et 0 numéros gagnants sur une carte qui en comporte 9 ? (3ème_prix)

iv) les 4 numéros gagnants sur une carte qui en comporte 50 et 2 numéros gagnants sur une carte qui en comporte 9 ?(4ème prix)

v) aucun numéro gagnant sur une carte qui en comporte 50 et aucun numéro gagnant sur une carte qui en comporte 9 ? (aucun prix)

c) Si on joue une grille, quelle est la probabilité d’obtenir : i) le 1er prix ? ii) le 3ème prix ? iii) aucun prix ?

34) Un club de football est composé de 20 joueurs dont 3 gardiens de but. Combien d'équipes différentes de 11 joueurs dont un gardien peut-on former? (On ne tient pas compte de la place des joueurs, sauf pour les gardiens qui ne peuvent jouer que dans les buts).

(31)

35) Une entreprise pharmaceutique décide d’étiqueter tous ses produits avec un sigle composé de trois lettres de l'alphabet latin . L’ordre des lettres à une importance mais on peut choisir plusieurs fois la même lettre. Exemples : DFX, XDF, AAG, …..

a) Combien de sigles peut-on former avec toutes les lettres de l'alphabet ?

b) Combien de sigles peut-on former comportant une consonne et deux voyelles ?

c) Combien de sigles peut-on former comportant une consonne et deux voyelles différentes ? Rappel : L'alphabet latin comprend 26 lettres, dont 20 consonnes et 6 voyelles.

36) Combien de nombres de 4 chiffres supérieurs à 3000 pouvons-nous former avec les chiffres 2,3,4,5 si la répétition des chiffres :

a) n'est pas permise ? b) est permise ?

37) Un étudiant doit résoudre 8 problèmes sur 10 lors d'une épreuve écrite. a) Combien de choix différents peut-il faire ?

b) Même question en supposant qu'il doit obligatoirement résoudre : i) les 3 premiers problèmes

ii) 4 des 5 premiers problèmes (et le reste dans les 5 derniers)

38) On jette 20 fois de suite une pièce de monnaie.

Déterminer le nombre de séquences qui peuvent contenir exactement : a) 0 fois pile. b) 1 fois pile. c) 2 fois pile. d) 18 fois pile. e) 19 fois pile. f) 20 fois pile.

39) a) Combien de « mots » différents peut-on écrire avec toutes les lettres du mot MISSISSIPPI ? b) Parmi ces « mots », combien commencent et se terminent par la lettre S ?

40) De combien de façons peuvent s'asseoir 3 filles et 3 garçons dans une rangée, sachant que les filles et les garçons doivent alterner ?

41) * Soit un ensemble E contenant n éléments.

Considérons l’ensemble ayant pour éléments tous les sous-ensembles (ou parties) de l’ensemble E . Cet ensemble se note P(E) et est communément appelé l’ensemble des parties de E.

Exemple : Si E=

{

a;b;c

}

alors P E

( )

= ∅

{

; a ; b ; c ; a,b ; a,c ; b,c ; a,b,c

{ } { } { } { } { } { } {

}

. Déterminer la cardinalité de P(E).

(32)

3.1.6 Ce qu’il faut absolument savoir

1♥ Construire un arbre de classement d’une expérience donnée. ok

2♥ Connaître la notation factorielle. ok

3♥ Connaître et comprendre le principe de décomposition. ok 4♥ Connaître la définition d’une permutation simple de n objets. ok 5♥ Comprendre et connaître la formule permettant de calculer le nombre

de permutations simples de n objets. ok

6♥ Connaître la définition d’une permutation avec répétitions de

n= + +n₁ n₂ .... n+ objets. _k ok

7♥ Comprendre et connaître la formule permettant de calculer le nombre

de permutations avec répétitions de n= + +n₁ n₂ .... n+ objets. _k ok 8♥ Connaître la définition d’un arrangement simple de r objets choisis parmi n. ok 9♥ Comprendre et connaître la formule permettant de calculer le nombre

d’arrangements simples de r objets choisis parmi n. ok

10♥ Connaître la définition d’un arrangement avec répétitions de r objets

choisis parmi n. ok

11♥ Comprendre et connaître la formule permettant de calculer le nombre

d’arrangements avec répétitions de r objets choisis parmi n. ok 12♥ Connaître la définition d’une combinaison simple de r objets choisis parmi n. ok 13♥ Comprendre et connaître la formule permettant de calculer le nombre

de combinaisons simples de r objets choisis parmi n. ok 14♥ * Connaître les propriétés des coefficients binomiaux. * ok