Introduction
Pour un employé choisi au hasard dans une entreprise (universΩ ), on envisage les deux caractères (événements) suivants :
A : « avoir fait des études supérieures » B : « occuper un poste administratif »
Nous avons les informations suivantes :
• 10 % des employés ont fait des études supérieures ; P A
( )
= 0,1• Parmi les employés qui ont fait des études supérieures, 70 % occupent un poste administratif ; P B A
(
)
= 0,7 • Parmi les employés qui n'ont pas fait d'études supérieures, 20 % occupent un poste administratif ; P B A( )
= 0,2a) On peut considérer l’épreuve successive suivante et compléter l’arbre :
• Parmi les employés qui ont fait des études supérieures, 30 % n’occupent pas un poste administratif ; P B A
(
)
= −1 P B A(
)
= −1 0,7=0,3• 3 % des employés ont fait des études supérieures et, n’occupent pas un poste administratif ; P A
(
∩B)
=P A P B A( )
⋅( )
=0,1 0,3 0,03⋅ =b) A partir des données obtenues précédemment on aimerait connaitre :
• Quelle est la probabilité, qu’un employé choisit au hasard, occupe un poste administratif ? P B
( )
=P A(
∩B)
+P A(
∩B)
=P A P B A( )
⋅( )
+P A P B A( ) ( )
⋅=0,1 ⋅ 0,7 + 0,9 ⋅ 0,2 = 0,25 = 25% (formule des probabilités totales) • Quelle est la probabilité, qu’un employé choisit au hasard, aie fait des études supérieures sachant qu’il occupe un poste administratif ?
(
)
(
( )
)
(
)
(
)
(
)
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
P A P B A P A B P A B P A B P B P A B P A B P A P B A P A P B A ⋅ ∩ ∩ = = = ∩ + ∩ ⋅ + ⋅ 0,1 0,7 0,28 28 % 0,1 0,7 0,9 0,2 ⋅ = = = ⋅ + ⋅ (théorème de Bayes) A 0,1 0,7 0,3 0,2 0.9 0,8 B BB
Ω Théorème de Bayes (Thomas Bayes, mathématicien anglais, 1702-1761)
Soit B un événement de l’univers Ω . Si A et A forment une partition de 1 2 Ω
alors k k k 1 1 2 2 P( B A ) P( A ) P( A B ) P( B A ) P( A ) P( B A ) P( A ) ⋅ = ⋅ + ⋅ k∈
{ }
1;2 Démonstration • Rappels : P B A( )
P( B A ) P( A ) ∩= définition de probabilité conditionnelle
P A
(
∪B)
=P( A ) P( B ) si A+ ∩ = ∅ axiome des probabilités B• Formule des probabilités totales :
Par hypothèse A et A forment une partition de 1 2 Ω : Illustration
A1∪A2 =Ω avec A1∩A2= ∅
Nous en déduisons que : (voir illustration)
B=
(
A1∩B) (
∪ A2 ∩B)
avec(
A1∩B) (
∩ A2∩B)
= ∅Donc P B
( )
=P((
A1∩B) (
∪ A2∩B))
=P A
(
1∩B)
+P A(
2∩B)
axiome des probabilités=P B A
(
1)
⋅P A( )
1 +P B A(
2)
⋅P A( )
2 définition de proba. conditionnelle• k k P( A B ) P( A B ) P( B ) ∩
= avec k∈
{ }
1;2 définition de proba. conditionnellek 1 1 2 2 P( A B ) P( B A ) P( A ) P( B A ) P( A ) ∩ =
⋅ + ⋅ formule des proba. totales (dénominateur)
k k 1 1 2 2 P( B A ) P( A ) P( B A ) P( A ) P( B A ) P( A ) ⋅ =
⋅ + ⋅ définition de proba. conditionnelle (numérateur)
Remarques
a) L’application du théorème de Bayes appelé aussi « théorème de la probabilité des causes » est à la base de toute une branche de la statistique : la statistique Bayesienne.
En médecine : A diagnostics (causes) et B un symptôme (conséquence) k
On peut calculer P( A B ) connaissant k P( B A ) à l’aide du théorème de Bayes. k
b) Le théorème de Bayes à été présenté et démontré dans le cas où on a une partition de Ω avec n=2 événements :A , A . Il est valable pour toute partition de 1 2 Ω avec n≥2 événements : Soit B un événement de Ω . Si A , A ,..., A forment une partition de 1 2 n Ω
alors k k k 1 1 2 2 n n P( B A ) P( A ) P( A B ) P( B A ) P( A ) P( B A ) P( A ) ... P( B A ) P( A ) ⋅ = ⋅ + ⋅ + + ⋅ k∈
{
1;2;....;n}
Indication : Pour chaque exercice, représenter la situation à l’aide d’un arbre en indiquant les probabilités correspondantes sur chaque branche.
Exercice 63
Une usine fabrique des pièces avec une proportion de 5 % de pièces défectueuses. Le contrôle des fabrications est tel que :
- si la pièce est n’est pas défectueuse, elle est acceptée avec la probabilité de 96 % . - si la pièce est défectueuse, elle est refusée avec la probabilité de 98 % .
On considère les événements : D : « la pièce est défectueuse » A : « la pièce est acceptée »
a) Compléter l’arbre suivant :
On choisit une pièce au hasard et on la contrôle. Quelle est la probabilité : b) qu’il y ait une erreur de contrôle ?
c) qu’une pièce soit défectueuse sachant qu’elle a été acceptée ? d) qu’une pièce soit non défectueuse sachant qu’elle a été refusée ? Exercice 64
Un patient arrive aux urgences pour un « mal de ventre ».
Le médecin essaie donc d’établir un diagnostic parmi plusieurs afin de choisir l’examen clinique et le traitement le plus approprié pour guérir la douleur aiguë à l’abdomen de son patient.
On estime que 50% des patients ont une appendicite, 30% une perforation d’ulcère et 20% un autre diagnostic. La probabilité que le patient ait comme signe, la fièvre
(
≥38,5)
est respectivement de 50% , 90% et 50% que l’on peut aussi estimer .Le problème du médecin est celui de calculer la probabilité que le patient ait un certain diagnostic sachant qu’il n’a pas de fièvre.
On considère les événements : D1 = « diagnostique de l’appendicite »
D2 = « diagnostique de perforation de l’ulcère »
D3 = « autre diagnostique »
F = « le patient à de la fièvre » F = « le patient n’a pas de fièvre »
Calculer P D F
(
1)
, P D F(
2)
et P D F(
3)
.Comparer vos résultats et établir le diagnostic le plus probable.
D ... …. ….. ….. ….. ….. A A
Exercice 65
Une compagnie d’assurance répartit ses clients en trois classes R , R et R : les bons risques, les 1 2 3
risques moyens, et les mauvais risques. Les effectifs de ces trois classes représentent 20 % de la population totale pour la classe R , 50 % pour la classe 1 R , et 30 % pour la classe 2 R . 3
Les statistiques indiquent que les probabilités d’avoir un accident de voiture au cours de l’année pour une personne de l’une de ces trois classes sont respectivement de 5 % , 15 % et 30 % . a) Quelle est la probabilité (en %) qu’une personne choisie au hasard parmi les clients de l’assurance ait un accident de la route dans l’année ?
b Etablir dans quelle classe de risque (bons, moyens, mauvais) l’assureur doit considérer M. Dupont qui est client de l’assurance, sachant qu’il a eu un accident de voiture cette année.
Exercice 66 * (efficacité du vaccin)
Le quart d’une population a été vacciné contre une maladie contagieuse. Au cours d’une épidémie, on constate qu’il y a parmi les malades un vacciné pour quatre non-vaccinés. On sait de plus qu’au cours de cette épidémie, il y avait un malade sur douze parmi les vaccinés.
On considère les événements : M : « la personne est malade » V : « la personne est vaccinée »
a) Déterminer les probabilités suivantes :
P V
( )
= P V( )
= P V M(
)
= P V M( )
= P M V(
)
= P M V( )
=b) Démontrer que la probabilité de tomber malade est égale à 5
48 .
c) Quelle était la probabilité de tomber malade pour un individu non-vacciné ? d) Quelle était la probabilité de tomber malade pour un individu vacciné ?
Exercice 67 * (tests de dépistage)
Un laboratoire pharmaceutique propose des tests de dépistage de diverses maladies. Son service de communication met en avant les caractéristiques suivantes :
- la probabilité qu'une personne malade M présente un test positif T est de 99 % ; - la probabilité qu'une personne saine M présente un test positif T est de 0,1%.
a) Pour une maladie qui vient d'apparaître, le laboratoire élabore un nouveau test. Une étude statistique permet d'estimer que le pourcentage de personnes malades M parmi la population d'une métropole est de 1 personne sur 1000. On choisit au hasard une personne dans cette population et on lui fait subir le test.
On note M l'événement « la personne choisie est malade » et l'événement T « le test est positif ». 1) Traduire l'énoncé sous la forme d'un arbre.
2) Démontrer que la probabilité P( T ) 1,989 10= ⋅ −3 , c’est-à-dire très petite. 3) L'affirmation suivante est-elle vraie ou fausse ? Justifier la réponse.
Affirmation: « Si une personne est testée positive alors il y a environ une chance sur deux quelle soit malade ».
4) Le test est-il efficace ?
b) Le laboratoire décide de commercialiser un test dès lors que la probabilité qu'une personne testée positivement soit malade est supérieure ou égale à 95 %. On désigne par x la proportion de personnes atteintes d'une certaine maladie M dans la population.
À partir de quelle proportion x, le laboratoire peut-il commercialiser son test ?
M ... …. ….. ….. ….. ….. T T
Exercice 68 *
Le problème de Monty Hall est un casse-tête probabiliste librement inspiré du jeu télévisé
américain Let's Make a Deal. Il est simple dans son énoncé mais non intuitif dans sa résolution et c'est pourquoi on parle parfois à son sujet de paradoxe de Monty Hall. Il porte le nom de celui qui a présenté ce jeu aux États-Unis pendant treize ans, Monty Hall.
Voici son énoncé :
John vient de gagner la finale d’un jeu télévisé. En guise de récompense, l’animateur du jeu lui présente 3 portes et l’informe que derrière l’une d’entre elles est parquée une voiture de luxe qu’il pourra emporter s’il ouvre la bonne porte. Il lui demande d’en désigner une sans l’ouvrir.
L’animateur ouvre alors l’une des 2 autres portes derrière laquelle il sait qu’il n’y a pas la voiture. John se retrouve donc en face de 2 portes fermées, celle qu’il a choisie et une autre. L’animateur lui propose alors d’ouvrir l’une des 2 portes, soit celle qu’il avait choisie initialement, soit de changer d’avis et d’ouvrir l’autre.
John choisit de maintenir son choix et d’ouvrir la porte qu’il avait désignée initialement.
A-t-il raison ? N’aurait-il pas augmenté ses chances de gagner la voiture en changeant de choix ? Vous pouvez réfléchir ou faire quelques parties avec un comparse qui jouera le rôle de l’animateur.
Remarque :
Ce problème est peut-être le casse-tête probabiliste le plus célèbre du 20e siècle.
Mis en lumière dans les années 90, il a valu à son auteur plus de 10’000 lettres de critiques, y compris de la part de professeurs d’université. Certains prétendaient que quel que soit la solution choisie par le candidat, il gardait 1 chance sur 3 de gagner la voiture, d’autres que ses chances de gain étaient dans les deux cas de 1 sur 2.
Lancer 1 Lancer 2 Lancer 3 p1 p2 i2 p2 i2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 i1 p3 i3 1/2 1/2 (*)
3.2.7 Evénements indépendants
Imaginons que le fait de savoir qu’un événement A s’est produit n’a aucune influence sur la probabilité d’un autre événement B. Autrement dit que : P( B A )=P( B )
On en déduit que : P( B A ) P( B ) P( A B ) P( B ) P( A B ) P( A ) P( B ) P( A ) ∩ = ⇔ = ⇔ ∩ = ⋅ De plus : P( A B ) P( A B ) P( A ) P( B ) P( B ) ⋅ ∩ = = P( B ) =P( A )
En d’autres termes, si B ne dépend pas de A, A ne dépend pas non plus de B. Définition
On dit que deux événements A et B d’un univers Ω sont indépendants si et seulement si P( A∩B )=P( A ) P( B )⋅
Dans le cas contraire on dit qu’ils sont dépendants. Exemples (Épreuves successives indépendantes)
a) Soit deux jets successifs d’une pièce de monnaie. Ω =
{(
p; p ; p; f ; f ; p ; f ; f) (
) (
) (
)}
Soit les événements : A = « pile au premier jet » ={(
p; p ; p; f) (
)}
B = « face au deuxième jet » =
{(
p; f ; f ; f) (
)}
A ∩ B = « pile au premier jet et face au deuxième jet » =
{(
p; f)}
On a P( A ) 1 2 = P( B ) 1 2 = et P( A B ) 1 4 ∩ =Ces probabilités vérifiant l’égalité P( A∩B )=P( A ) P( B )⋅ , A et B sont des événements indépendants. Attention, A et B ne sont pas incompatibles, c’est-à-dire A∩ ≠ ∅B .
Remarque : L'indépendance en probabilité des événements A et B est ici tout à fait en accord avec l'intuition ; la pièce n'a pas de « mémoire ».
b) Un joueur lance un dé à 6 faces, trois fois. Déterminons la probabilité qu'il obtienne un nombre pair à chaque lancer. Soit les événements :
p = « nombre pair au nn e lancer »
i = « nombre impair au nn e lancer » n∈
{
1;2;3}
p1∩p2∩p3 = « nombre pair à chaque lancer » On a : P p
( )
1 1 , P p( )
2 1 et P p( )
3 1 2 2 2 = = =(*)
Evénements indépendants :(
)
3 1 2 3 1 2 3 1 1 P p p p P( p ) P( p ) P( p ) 2 8 ∩ ∩ = ⋅ ⋅ = = Indication : Pour chaque exercice, représenter la situation à l’aide d’un arbre en indiquant les probabilités correspondantes sur chaque branche.
Exercice 69
Une première urne contient 4 boules blanches et 4 boules noires ; une seconde contient 3 boules blanches et 6 boules noires ; enfin une troisième contient 1 boule blanche et 5 boules noires. On considère les événements : Bn = « tirer une boule blanche de la ne urne »
Nn = « tirer une boule noire de la ne urne » n∈
{
1;2;3}
Si M. Martin tire une boule de chaque urne quelle est la probabilité qu’il a d’avoir : a) trois boules blanches ?
b) trois boules noires ? c) au moins une boule noire ?
Exercice 70
Un joueur lance un dé à 6 faces, trois fois. Déterminer la probabilité :
a) qu'il obtienne un nombre impair à chaque lancer. b) qu'il obtienne une seule fois un nombre impair. c) que la somme des trois lancers soit paire.
Exercice 71 (Introduction à la loi binomiale)
Si la probabilité qu’une fille naisse est de p=6 / 10 et celle d'un garçon de q=4 / 10,
déterminer la probabilité qu'une famille de 3 enfants soit constituée de :
a) 3 filles b) 2 filles
c) 1 filles d) aucune fille
e) 3 garçons f) k filles avec k∈