() PROBABILITES : SCHEMA DE BERNOULLI.

1STMG Chap 6 Bernoulli 1/3

PROBABILITES : SCHEMA DE BERNOULLI.

I. Probabilités.

Une expérience aléatoire est une expérience dont on ne peut pas prévoir le résultat. Elle peut conduire à plusieurs issues ou éventualités.

Dans ce chapitre, on se limitera au cas où ces issues sont en nombre fini (on peut les compter). On note n leur nombre.

L’ensemble des issues est appelé univers On le note (se lit oméga).

Un événement A est une partie de .

L’événement contraire de A est noté A Il se réalise lorsque A n’est pas réalisé.

Un événement élémentaire ne comporte qu’une seule issue.

L’événement A et B noté A∩B (se lit A inter B) est réalisé lorsque A et B sont réalisés tous les deux.

L’événement A ou B, noté A B (se lit A union B) est réalisé lorsque A est réalisé ou B est réalisé ou les deux sont réalisés.

Si A et B ne peuvent pas être réalisés en même temps, A et B sont incompatibles. On a alors A∩B = Ø (ensemble vide)

Si A n’est jamais réalisé, A est l’événement impossible.

Si A est toujours réalisé, A est l événement certain.

A chaque issue on associe un nombre p _i compris entre 0 et 1 de telle façon que p ₁ p ₂ … p _n 1. Ce nombre est appelé probabilité. de l'issue.

Dans le cas où on associe à chacune des n issues le même nombre p, on parle de loi équirépartie ou d'équiprobabilité. La probabilité d un événement est alors nombre d iss ues dans l événem ent

nombre d iss ues dans l uni vers . Modéliser une expérience aléatoire, c'est définir une loi de probabilité qui représente au mieux les chances de réalisation de chaque issue.

Si l’on répète une expérience aléatoire un très grand nombre de fois, la fréquence de n’importe quelle issue de cet événement finit par se stabiliser vers un nombre. On choisit alors ce nombre comme probabilité de l'issue.

On peut aussi modéliser une expérience aléatoire à l'aide d'un tableau ou d'un arbre.

Pour tous les événements A et B, on a : p (A B ) p( A) p( B)‒ p( A B) et p ( ) ^{A 1‒ p( A).}

Exemple 1 :

Un sac contient 5 jetons carrés numérotés de 1 à 5 et 3 jetons ronds numérotés de 1 à 3. On choisit un jeton au hasard et on note sa forme et son numéro.

1. Combien y a-t-il d issues possibles ?

2. Citer un événement élémentaire.

3. Citer deux événements incompatibles mais pas contraires.

4. Citer deux événements contraires.

On note R l événement "le jeton est rond"

B l événement "le jeton est numéroté 1"

C l événement "le jeton est numéroté 4"

5. Déterminer la probabilité de R, celle de B et celle de C.

6. Définir par une phrase l événement R.

1STMG Chap 6 Bernoulli 2/3

Exemple 2 :

Dans un groupe de 28 personnes, 15 pratiquent le football, 8 pratiquent le basket et 5 pratiquent le foot et le basket.

On choisit une personne au hasard, chacune ayant la même probabilité d être choisie. On note : F l événement "la personne pratique le football"

B l événement "la personne pratique le basket"

1. Calculer la probabilité des événements F et B.

2. Calculer la probabilité que la personne choisie ne pratique pas le basket.

3. Calculer la probabilité que la personne choisie pratique le basket et le football.

4. Calculer la probabilité que la personne choisie pratique le basket ou le football.

II. Schéma de Bernoulli.

1. Epreuve de Bernoulli.

Définition : Une ………. est une expérience aléatoire à deux issues : S (succès) de probabilité p et S (échec) de probabilité q ………..

Exemple : Une urne contient 6 boules noires et 4 boules vertes. On choisit une boule au hasard et on note sa couleur. On considère comme succès le fait de tirer une boule verte.

On a S : ...

On a alors p = ... et q = ...

2. Schéma de Bernoulli.

Définition : On dit que deux expériences aléatoires sont ……….. si les résultats de l une n influencent pas ceux de l autre.

Exemple 1 : tirage sans remise.

Un sac contient 5 jetons numérotés de 1 à 5. On choisit un jeton au hasard, on note son numéro, on le laisse de côté puis on choisit un autre jeton au hasard, dont on note le numéro.

Exemple 2 : tirage avec remise.

Un sac contient 5 jetons numérotés de 1 à 5. On choisit un jeton au hasard, on note son numéro, on le remet

dans le sac puis on choisit un autre jeton au hasard, dont on note le numéro.

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Définition : Un ……….. est la répétition de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.

Propriété : Dans un schéma de Bernoulli, la probabilité d une liste de résultats est le produit des probabilités de chaque résultat.

3. Variable aléatoire.

Soit un schéma de Bernoulli constitué de n répétitions, et soit X le nombre de succès obtenu. On dit que X est la variable aléatoire associée à ce schéma.

Si k est un entier compris entre 0 et n, on note { X k } l événement "on a obtenu k succès" ; {X k}

l événement "on a obtenu k succès ou moins …

La probabilité de l événement {X k} est notée P (X k) …

Exemple 1 : On lance trois fois de suite un dé équilibré. On appelle succès le fait d obtenir 5. On note X la variable aléatoire correspondant au nombre de 5 obtenus.

1. Quelles peuvent être les valeurs prises par X ?

2. Construire l arbre pondéré correspondant à l expérience.

3. Calculer la probabilité d obtenir trois fois 5. L exprimer en utilisant X.

4. Calculer P (X 0). Interpréter.

5. Calculer P (X 1). Interpréter.

6. Calculer la probabilité d obtenir un 5 au premier lancer uniquement.

Exemple 2 : Un sac contient 5 jetons : 2 verts et 3 jaunes. On prélève au hasard un jeton dans le sac, chaque jeton ayant la même probabilité d être choisi. On note sa couleur, on le remet et on recommence l expérience une seconde fois.

On note V l événement "le jeton est vert" et on appelle X le nombre de jetons verts obtenus au cours des deux tirages.

1. Quelles peuvent être les valeurs prises par X ?

2. Construire l arbre pondéré correspondant à l expérience.

3. Calculer la probabilité d obtenir deux jetons de la même couleur.

4. Calculer la probabilité d obtenir au moins un jeton vert.

5. Calculer P (X 0).

Exemple 3 : Un QCM comporte 3 questions. Pour chacune d entre elles, 4 réponses sont proposées, dont une seule est exacte. Un élève répond au hasard à chaque question.

En mettant en évidence un schéma de Bernoulli et en utilisant un arbre pondéré, calculer la probabilité des événements suivants :

A : "toutes les réponses de l élève sont justes".

B : "aucune réponse de l élève n est juste"

C : "l élève n a répondu juste qu à la deuxième question"

D : "l élève a exactement deux réponses justes"

E : "l élève a au moins deux réponses justes"