Etude de la reconstruction de la surface de Fermi des cuprates supraconducteurs dopés en trous

THÈSE

THÈSE

En vue de l’obtention du

DOCTORAT DE L’UNIVERSITÉ DE TOULOUSE

Délivré par : l’Université Toulouse 3 Paul Sabatier (UT3 Paul Sabatier)

Présentée et soutenue le 04 Juillet 2013 par :

Stéphane LEPAULT

Étude de la reconstruction de la surface de Fermi des cuprates

supraconducteurs dopés en trous

JURY

Alain SACUTO Professeur (Université Paris 7) Rapporteur

Christophe MARCENAT Chercheur-HDR (CEA-Grenoble) Rapporteur

Cyril PROUST Directeur de recherche (CNRS) Directeur de Thèse

David VIGNOLLES Professeur (INSA-Toulouse) Co-Directeur de Thèse

Pierre PUJOL Professeur (UPS) Examinateur

Louis TAILLEFER Professeur

(Université de Sherbrooke)

Président du Jury

École doctorale et spécialité :

SDM : Physique de la matière - CO090 Unité de Recherche :

Laboratoire National des Champs Magnétiques Intenses (UPR 3228) Directeur(s) de Thèse :

Cyril PROUST et David VIGNOLLES Rapporteurs :

Remerciements

Avant de commencer ce projet, le doctorat se présentait comme une expérience unique qui permettrait à la fois de se plonger dans le monde des sciences et d'y apporter sa modeste contribution. Avec le recul, ces quelques années passées dans le laboratoire à préparer des expériences, à analyser des données et à discuter de leur interprétations m'ont comblé plus que je ne l'aurais imaginé. Outre, ce cadre profession-nel privilégié et les résultats obtenus, je retiendrai surtout une formidable aventure humaine. Je tiens à remercier ces personnes qui ont contribuer à l'aboutissement du dé que je m'étais lancé.

Je remercie les membres du jury qui ont porté un regard critique et constructif sur cette thèse : Alain Sacuto et Christophe Marcenat, qui ont été les rapporteurs ; Pierre Pujol qui avait été également mon directeur de stage de M2 et qui avait su m'apporter de nombreuses bases de physique théorique ; Louis Taillefer, qui fut à la fois le président de ce jury mais aussi un collaborateur sans qui de nombreuses mesures n'auraient pas été envisageables.

Je remercie les membres du Laboratoire LNCMI-T : tout d'abord, le directeur Geert Rikken, qui m'a permis d'obtenir l'allocation nécessaire pour nancer ce doctorat ; l'équipe du secrétariat toujours aussi souriante et ecace dans les nombreuses démarches administratives ; les diérents techniciens et ingénieurs qui s'adaptent aux demandes spéciques des expériences et permettent un travail de grande qualité ; et enn les doctorants et post-doctorants, avec qui j'ai passé de très bons moments (en particu-liers les nombreuses soirées dans les bars pour décompresser).

Cette thèse a été eectuée au sein du groupe FFC et je retiendrai de très bons moments, tant sur le plan professionnel que sur le plan humain. En particulier, je remercie mes encadrants Cyril Proust et David Vignolles qui ont su me guider tout en supportant mon caractère pas toujours très commode ; Baptiste Vignolle, qui a su m'aider pendant les pénibles débuts de la rédaction et dont les conseils avisés m'ont permis d'améliorer de nombreuses compétences ; David Leboeuf et Sven Badoux qui ont été les éléments moteur de la bonne ambiance générale.

Outre mon projet de thèse, j'ai eu la chance de pouvoir côtoyer bon nombre de chercheurs et d'étu-diants venant de diérents laboratoires. L'ensemble des discussions m'ont été d'une grande utilité pour la compréhension générale. Je tiens ainsi à remercier ces personnes qui de près ou de loin m'ont permis d'élargir ma vision des sciences et mon projet de thèse.

Je remercie mes proches qui ont su me conseiller et m'écouter tout au long de ce projet. Je remercie plus particulièrement, Philippe Boissinot et Alec Elliott, sans qui rien n'aurait été envisageable.

Enn, je vous souhaite une bonne et agréable lecture en espérant qu'elle vous aide dans votre problé-matique.

Table des matières

1 Rappels théoriques 3

1.1 Rappels de physique du solide. . . 3

1.1.1 Théorie des bandes . . . 3

1.1.2 Surface de Fermi . . . 4

1.1.3 Liquide de Fermi . . . 5

1.1.4 Signatures expérimentales d'un liquide de Fermi . . . 6

1.1.5 Magnétotransport dans un liquide de Fermi . . . 7

1.1.6 Ondes de densité : reconstruction de la surface de Fermi . . . 10

1.2 Oscillations quantiques. . . 13

1.2.1 Les bases théoriques du phénomène . . . 13

1.2.2 Formalisme de Lifshitz-Kosevich . . . 16

1.2.3 Extensions et déviations . . . 18

1.2.4 Phénomènes oscillatoires supplémentaires . . . 20

2 Etat de l'art des cuprates 23 2.1 Historique et mise en contexte. . . 23

2.2 Présentation du matériau . . . 23

2.2.1 Structure cristallographique . . . 23

2.2.2 Structure électronique : exemple de La2CuO4 . . . 24

2.2.3 Dopage . . . 25

2.3 Diagramme de phase générique . . . 29

2.3.1 Isolant de Mott . . . 30

2.3.2 Liquide de Fermi . . . 32

2.3.3 Métal étrange . . . 33

2.3.4 Supraconductivité . . . 34

2.3.5 Pseudogap . . . 40

2.4 Théories de la supraconductivité non-conventionnelle . . . 42

2.4.1 Paires préformées. . . 42

2.4.2 Ordres en compétition . . . 45

3 Techniques 47 3.1 Techniques expérimentales . . . 47

3.1.1 La mesure en champ magnétique pulsé . . . 47

3.1.2 Techniques utilisées dans cette thèse . . . 52

3.2 Traitements numériques . . . 57

3.2.1 Présentation générale . . . 57

3.2.2 Traitement des données brutes par détection synchrone . . . 58

3.2.3 Analyse des oscillations quantiques . . . 60

4 Oscillations quantiques dans YBa2Cu3O6+δ 65 4.1 Rappels et mise en contexte . . . 65

4.2 Dépendance en dopage . . . 70

4.2.1 Détermination du dopage . . . 70

4.2.2 Etude du champ irréversible. . . 71

4.2.3 Détermination de la fréquence. . . 74

4.3.1 Mesures et parties oscillatoires . . . 79

4.3.2 Harmoniques . . . 81

4.3.3 Comparaison des spectres oscillatoires pour diérentes sondes . . . 83

4.3.4 Fréquence lente . . . 85

4.4 Modèle. . . 87

4.5 Scénarii de reconstruction . . . 88

4.5.1 Scénario basé sur un ordre antiferromagnétique . . . 88

4.5.2 Scénarii basés sur l'ordre de stripe . . . 92

4.5.3 Scénario basé sur un ordre de charge bi-axial . . . 96

4.6 Vers une réconciliation entre oscillations quantiques et ordre de charge : simulations nu-mériques. . . 101 4.6.1 Mise en contexte . . . 101 4.6.2 Cas λ = 3 . . . 101 4.6.3 Analyse . . . 102 4.6.4 Comparaisons au modèle . . . 105 4.7 Conclusions et perspectives . . . 107

5 Transport interplan cohérent dans YBa2Cu3O6+δ 109 5.1 Mise en contexte . . . 110

5.1.1 Rappel : transport cohérent et transport incohérent . . . 110

5.1.2 Intégrale de saut t⊥ pour YBa2Cu3O6+δ . . . 111

5.1.3 Résistivité axe-a et résistivité axe-c dans les cuprates. . . 112

5.1.4 Mesures sous champ magnétique . . . 113

5.2 Mesures . . . 115

5.2.1 Présentation des diérents dopages . . . 115

5.2.2 Mesures sous champ magnétique pulsé . . . 116

5.2.3 Traitement des données . . . 118

5.2.4 Températures de cohérence . . . 122

5.3 Etude de l'anisotropie ρc/ρa . . . 123

5.3.1 Etude de la surface de Fermi de Sr2RuO4 . . . 123

5.3.2 Retour à YBa2Cu3O6+δ . . . 126

5.4 Discussions . . . 128

5.5 Conclusions et perspectives . . . 130

6 Mesures sous champ magnétique intense dans HgBa2CuO4+δ 131 6.1 Mise en contexte . . . 131

6.2 Mesures expérimentales . . . 133

6.2.1 Aimantation par cantilever . . . 134

6.2.2 Magneto-transport dans le plan . . . 138

6.2.3 Mesures complémentaires d'eet Seebeck . . . 143

6.3 Discussions . . . 144

6.3.1 Comparaisons à YBa2Cu3O6+δ . . . 144

6.3.2 Conclusions et Perspectives . . . 146

A Relation de Onsager 149

B Résumé des mesures sous champs de YBa2Cu3O6+x 153

C Transformée de Fourier appliquée aux oscillations quantiques 155

Résumé

Cette thèse porte sur l'étude des propriétés électroniques des cuprates, supraconducteurs à haute température critique. Le diagramme de phase de cette famille de composé est très riche. En dopant ces composés, il est possible de changer le nombre de porteurs et ainsi d'explorer leur diagramme de phase. L'une des questions est de caractériser l'état fondamental à basse température dans la partie sous-dopée en trous du diagramme de phase. Ces dernières années, des oscillations quantiques ont été mesurées dans les cuprates, suggérant un état fondamental de type liquide de Fermi. Les oscillations observées dans le

composé YBa2Cu3O6+δ combinées à des mesures d'eet Hall et de d'eet Seebeck montrent la présence

de petites poches d'électron couvrant moins de 2 % de la première zone de Brillouin, 30 fois plus petites que la grande poche de trou prédite par les calculs de structure de bandes. L'approche de cette thèse est de considérer une reconstruction de la surface de Fermi provenant d'un ordre de charge bi-axial, comme le suggèrent de récentes mesures de RMN, de rayons X et d'ultrasons. Des mesures de

trans-port et d'aimantation en champ magnétique pulsé jusqu'à 81 T ont été eectuées dans YBa2Cu3O6+δ

et dans HgBa2CuO4+δà des températures allant de 1.5 K à 300 K. Cette thèse est divisée en trois parties :

D'une part nous présentons des mesures d'oscillations quantiques dans YBa2Cu3O6+δ sous champ

magnétique pulsé pour des dopages compris entre 9.8 % et 12.3 % L'analyse nous a permis de proposer une topologie de la surface de Fermi, qui est constituée de poches de type électron et de poche(s) de type trou. Un lien est établi entre les récentes mesures d'ordre de charge, la reconstruction de la surface de Fermi et la taille des poches mesurées. Ce scénario de reconstruction est également commenté au regard des autres sondes expérimentales et comparé aux autres scénarii envisageables.

Une deuxième partie montre la restauration de la cohérence du transport interplan en dessous d'une

température notée Tcoh sous champ magnétique, pour des échantillons de YBa2Cu3O6+δ dont le dopage

est compris entre 8.4 % et 12 %. Cette restauration de la cohérence est interprétée comme une consé-quence de la reconstruction de la surface de Fermi.

Enn la dernière partie est consacrée à des mesures d'eet Hall dans HgBa2CuO4+δ, un système

cuprate modèle. Nous avons mesuré un signe négatif de l'eet Hall à basse température et sous champ magnétique intense, mettant en évidence la présence de poches d'électron dans la surface de Fermi de ce

composé. Par analogie avec YBa2Cu3O6+δ, nous avons proposé qu'un mécanisme de reconstruction de la

surface de Fermi par une onde de densité apparaît à basse température dans HgBa2CuO4+δ.

Mots clés (fr) :

supraconductivité - magnéto-transport - oscillations quantiques - cuprates - surface de Fermi - ordre en compétition

Summary

This thesis focuses on the study of the electronic properties of the high temperature cuprate supercon-ductors. The phase diagram of these compounds is very rich. By doping these compounds, it is possible to change the number of carriers and thus explore their phase diagram. One question is to characterize the ground state at low temperature in the underdoped part of the phase diagram. In recent years, quantum oscillations were measured in cuprates, suggesting a Fermi liquid-like ground state. The oscillations

ob-served in the compound YBa2Cu3O6+δcombined with Hall eect and Seebeck eect measurements show

the presence of small electron pockets covering less than 2 % of the rst Brillouin zone , 30 times smaller than the large hole pocket predicted by the band structure calculations. The approach of this thesis is to consider a reconstruction of the Fermi surface by a bi-axial charge density wave, as suggested by recent NMR, X-ray and ultrasound measurements. Transport and magnetization measurements in pulsed

ma-gnetic elds up to 81 T were performed in YBa2Cu3O6+δand in HgBa2CuO4+δat temperatures ranging

from 1.5 K to 300 K. This thesis is divided into three parts :

In the rst part, we present measurements of quantum oscillations in YBa2Cu3O6+δ under pulsed

magnetic eld for doping levels between 9.8 % and 12.3 %. The analysis allowed us to propose a particu-lar topology of Fermi surface, which consists of electron and hole pockets. A link is established between the charge order, the reconstruction of the Fermi surface and the size of the pockets. This scenario of the reconstruction of the Fermi surface is discussed in line with other experimental probes and compared to other possible scenarios.

The second part shows the restoration of the c-axis transport in YBa2Cu3O6+δ with doping level

between 8.4 % and 12 % below a temperature Tcoh and in a magnetic eld. The restoration of the c-axis

coherence is interpreted as a consequence of the reconstruction of the Fermi surface.

The last part is devoted to Hall eect measurements in HgBa2CuO4+δ, a model cuprate. We have

measured a negative Hall eect at low temperatures and in high magnetic elds, highlighting the

pre-sence of electron pockets in the Fermi surface of this compound. By analogy with YBa2Cu3O6+δ, we

have proposed a mechanism for reconstruction of the Fermi surface with a density wave appearing at low

temperature in HgBa2CuO4+δ.

Keywords :

superconductivity - magneto-transport - quantum oscillations - cuprates - Fermi surface - competitive order

Préambule

"Dans le contexte actuel de crise énergétique, la recherche de nouveaux matériaux susceptibles de diminuer notre consommation est essentielle. A ce titre, les supraconducteurs, capables de transporter l'énergie électrique sans aucune perte, paraissent être des candidats idéaux. De surcroit, ces matériaux expulsent les lignes de champ magnétique, conduisant à des phénomènes de lévitation stable. Pour l'ins-tant ces applications son limitées par le fait que la supraconductivité ne se manifeste que en dessous d'une

température critique très basse."1

Ces quelques phrases résument l'état d'esprit avec lequel la supraconductivité est perçue, plus de 100 ans après sa découverte. Comme pour tout phénomène physique, une étude fondamentale est nécessaire avant sa mise en application et son optimisation. Malgré tous les eorts, la compréhension de cette supra-conductivité reste inachevée. Une théorie portant le nom de BCS (du nom de ses inventeurs : Bardeen, Cooper et Schrieer), a bien été mise au point en 1957 et décrit correctement les premiers supraconduc-teurs tel que le mercure ou le plomb ; mais depuis près de 25 ans, de nouveaux supraconducsupraconduc-teurs sont apparus rendant cette théorie caduque.

Les cuprates, étudiés dans cette thèse, font parti de ces supraconducteurs non-conventionnels. Au moment de leur découverte en 1986, ces composés ont suscité un grand engouement car leur température critique dépassait les valeurs prédites par la théorie BCS, ravivant la possibilité d'une supraconductivité à température ambiante. Malgré la forte augmentation de la température critique en quelques années, cet objectif n'est toujours pas atteint. An de comprendre ces matériaux, une longue démarche de recherche fondamentale a débutée partout dans le monde, pour améliorer les synthèses, perfectionner les mesures et développer de nouvelles théories ...

L'une des approches possibles consiste à déterminer l'état fondamental (c'est-à-dire l'état à tempéra-ture nulle). L'état fondamental d'un système est un peu le point de départ à partir duquel une théorie va pouvoir se développer et permettre de prédire toutes les propriétés du système. Dans le cas des supracon-ducteurs conventionnels respectant la théorie BCS, la supraconductivité est vue comme une instabilité du liquide de Fermi ; l'état fondamental a un caractère métallique. Pour les cuprates, pendant très long-temps, il n'y a pas eu de consensus. La découverte d'arcs de Fermi a amené une partie de la communauté à penser que l'état fondamental avait un caractère isolant.

Il y a quelques années, la découverte d'oscillations quantiques dans certains de ces cuprates a montré la présence d'une surface de Fermi fermée (et donc d'un caractère métallique) changeant radicalement l'état d'esprit de la communauté. Cependant, ces oscillations restent encore mal comprises au regard des prédictions théoriques, en particulier lorsque ces cuprates sont sous-dopés en trous. Cette thèse s'inscrit dans la continuité des thèses de Julien Levallois, Cyril Jaudet (anciens thésards du LNCMI-T) et de David Leboeuf (ancien thésard dans le groupe de Louis Taillefer à Sherbrooke) qui ont pu mesuré les premières oscillations quantiques ainsi qu'un changement de signe de l'eet Hall dans cette partie du diagramme de phase. A cette époque, l'interprétation de ces données faisait émerger doucement l'idée d'une reconstruction de la surface de Fermi par un ordre en compétition.

Dans ce manuscrit, le but est d'approfondir cette réexion à partir des mesures en champs intenses

eectuées sur les composés YBa2Cu3O6+δ et HgBa2CuO4+δ. Les trois premiers chapitres donnent les

1. d'après l'article "Des champs magnétiques intenses pour sonder les supraconducteurs" de la revue Image de la Physique (2008)

bases et les méthodes qui permettent de mieux comprendre le reste du manuscrit.

Le premier chapitre est une introduction aux oscillations quantiques. Les bases fondamentales du liquide de Fermi et de la surface de Fermi y sont rappelées brièvement an d'introduire le formalisme de Lifshitz-Kosevich. C'est à partir de ce formalisme que nos mesures seront analysées.

Le deuxième chapitre est une présentation générale des cuprates. Cette partie reprend d'une part la structure cristallographique en se focalisant sur les deux composés étudiés. D'autre part, elle détaille le diagramme de phase des cuprates déduit de diérentes sondes expérimentales. Ceci nous amènera à parler de diérents concepts théoriques proposés et ainsi d'amener le lecteur à la problématique "d'ordre en compétition" traitée dans la thèse.

Le troisième chapitre regroupe l'ensemble des techniques expérimentales utilisées dans cette thèse. Une première partie traite des informations relatives à la mesure expérimentale des échantillons en champ magnétique pulsé ; la deuxième partie reprend les concepts d'analyse numérique qui servent à traiter les courbes et à extraire les informations physiques. Une part importante est dédiée à l'analyse des oscilla-tions quantiques et permet de faire le lien avec ce qui a été vu dans le premier chapitre.

Les trois autres chapitres permettent de rentrer dans le coeur du sujet. Le quatrième chapitre

pré-sente l'ensemble des mesures d'oscillations quantiques eectuées sur YBa2Cu3O6+δ. Au regard de toutes

ces mesures, une analyse approfondie du spectre oscillatoire est eectuée et une dépendance en dopage de la fréquence principale est déduite. Ces analyses vont être discutées, an de proposer une

topolo-gie de la surface de Fermi de YBa2Cu3O6+δ qui convienne aussi à d'autres mesures expérimentales. Ce

modèle de surface de Fermi sera argumenté par rapport aux diérents scénarii de reconstruction existants. Le cinquième chapitre présente des mesures de transport interplan à diérentes températures et pour

diérents dopages de YBa2Cu3O6+δ. Le but est de montrer qu'à basse température, un comportement

métallique s'observe en champ magnétique, montrant la restauration d'un transport interplan cohérent. Un lien sera établi entre cette restauration de cohérence et la reconstruction de la surface de Fermi, an de renforcer la validité du modèle de surface de Fermi proposé précédemment.

Le sixième chapitre présente des mesures en champ pulsé du composé HgBa2CuO4+δ. Ce cuprate a

un intérêt fondamental majeur de part sa structure simple, sa haute température critique et son faible désordre. Une partie est consacrée à des mesures exploratoires d'aimantation par cantilever, eectuées dans le but de détecter la présence d'oscillations quantiques. Une deuxième partie traite des mesures

d'eet Hall qui montrent un changement de signe à basse température comme dans YBa2Cu3O6+δ. Cette

similarité amène une discussion sur la généralisation de la reconstruction de la surface de Fermi des cu-prates sous-dopés en trous.

Rappels théoriques

Ce chapitre a pour but de rappeler les concepts nécessaires à la compréhension de cette thèse. Il va essentiellement aborder le concept de surface de Fermi et celui d'oscillations quantiques. Le but n'est pas de faire une revue, mais d'aborder succinctement les points nécessaires à la compréhension du manuscrit.

1.1 Rappels de physique du solide

Cette partie reprend les bases de physique du solide en s'inspirant des références [1, 2,3,4,5].

1.1.1 Théorie des bandes

Pour modéliser les électrons dans un solide, il sut de considérer un gaz de fermions sans interaction dans un potentiel périodique dans l'espace réel U(r). La périodicité provient de la structure cristalline du solide et permet de dénir la première zone de Brillouin dans l'espace réciproque ainsi que le réseau de Bravais dans l'espace réel à partir de la cellule unité. Les fonctions d'onde solution respectent cette

périodicité et s'expriment sous la forme d'ondes de Bloch : Φk(r) = uk(r).eik.ravec r le vecteur position, k

le vecteur d'onde et uk(r) une fonction invariante par translation dans le réseau de Bravais. Ces fonctions

d'onde sont invariantes par translation d'un vecteur du réseau réciproque K et ont pour centre de symétrie l'origine du réseau réciproque. De ce fait, les relations de dispersions respectent les égalités suivantes :

ε(k) = ε(−k) (1.1)

ε(k) = ε(k + K) (1.2)

k

k

_k

(a)

(b)

(c)

Figure 1.1  (a) : Dispersion en énergie ε(k) selon la direction kx : schéma de bandes en zone

éten-due. (b) : Même dispersion ε(k), en tenant compte des arguments de symétrie : schéma de bandes en zone réduite. Les bandes sont représentées par un indice n. (c) : Structure de bandes après levée de dégénérescence

La gure 1.1 (a) montre la relation de dispersion ε(k) pour un système 1D. Pour toute valeur ε(k) en dehors de la première zone de Brillouin, il est toujours possible de reporter cette énergie à un vecteur d'onde contenu dans la première zone de Brillouin. Les énergies possibles du système peuvent donc toutes être représentées dans la moitié de la première zone de Brillouin : on parle de repliement de bandes. La

gure1.1(b) montre l'évolution de la structure de bandes sur une moitié de la première zone de Brillouin,

une fois ces repliements eectués. Pour chaque vecteur d'onde k, plusieurs énergies εn(k) sont possibles.

nest appelé indice de bande. La gure1.1(c) montre qu'en centre de zone et en bord de zone, des gaps

s'ouvrent pour séparer ces bandes. Les états correspondants à ces bandes sont remplis en suivant une

statistique de Fermi-Dirac. Le dernier niveau occupé est appelé niveau de Fermi (ou énergie de Fermi εF)

et correspond au potentiel chimique µ.

A partir de cette structure de bandes (qui peut se calculer numériquement), il est possible de prévoir le comportement électronique du matériau. A température nulle, si ce niveau de Fermi correspond au dernier niveau d'une bande et qu'il existe un gap d'énergie avec la bande du dessus, alors le matériau est isolant. Si le niveau de Fermi est au milieu d'une bande, alors il est possible que des excitations électron-trou de basse énergie existent, ce qui se traduit par un transport de charge et donc un comportement métallique.

1.1.2 Surface de Fermi

surface de Fermi

1D surface de Fermi 2D surface de Fermi 3D

kx

ky

kz

Figure 1.2  Schéma de surface de Fermi ayant une topologie 1D, 2D et 3D.

L'ensemble des états de vecteur d'onde kF ayant une énergie εF représente la surface de Fermi. Ces

états peuvent provenir d'une ou de plusieurs bandes. La topologie de cette surface de Fermi permet de déduire les propriétés électroniques du système. Entre autre, la vitesse de groupe d'un électron représenté

par un train d'onde de vecteur d'onde kF, s'exprime sous la forme :

v(k) = 1

}∇kεF(k) (1.3)

Cette formule signie que la vitesse moyenne sera orientée selon la normale à la surface de Fermi. La

gure1.2montre des exemples de surfaces de Fermi à diérentes dimensions. Dans le cas d'un système 1D,

la surface de Fermi est constituée de 2 plans (et le transport se fait perpendiculairement à ces plans). Dans le cas d'un système 2D isotrope, la surface de Fermi est un cylindre (et le transport se fera dans toutes les

directions normales à l'axe de révolution). Pour un cas 3D, la surface de Fermi est une sphère de rayon kF.

Il existe des cas intermédiaires quasi-1D et quasi-2D qui se traduisent par un gondolement

supplé-mentaire (suivant la direction kz par exemple). En terme de transport, la vitesse ne sera plus nulle

suivant cette direction mais elle sera beaucoup plus faible par rapport aux autres, on parle de transport anisotrope. Dans cette thèse, nous serons amené à traiter de surfaces de Fermi de type quasi-2D.

1.1.3 Liquide de Fermi

Les systèmes étudiés dans cette thèse comportent de fortes corrélations électroniques qui ont été né-gligées dans la partie précédente. Pour en tenir compte, il faut rajouter un terme supplémentaire V dans

le hamiltonien qui tient compte des corrélations électroniques et complexie les calculs. Le tableau1.1

ré-sume les diérences qui apparaissent entre un système d'électrons libres et un système où ces corrélations électroniques sont prises en compte (appelé liquide de Fermi). La fonction spectrale A(k,ω) correspond à la densité électronique au vecteur d'onde k et à l'énergie ω. Elle se déduit à partir de la fonction de

Green G(k, σ; iωn). La fonction de Green donne l'amplitude de probabilité qu'il y ait une particule de

vecteur k, de spin σ et d'énergie ωn (et se déduit de l'équation d'évolution du hamiltonien).

électrons libres liquide de Fermi

fonction spectrale A(k,ε)

densité d'état

Zk 1 <1

masse eective me me/Z

durée de vie innie nie

Table 1.1  Tableau récapitulatif des propriétés d'un système d'électrons libres et d'un système d'élec-trons corrélés dans le cadre de la théorie du liquide de Fermi. Les élecd'élec-trons libres suivent une statistique de Fermi-Dirac ce qui implique, à T = 0, de remplir les niveaux en dessous du niveau de Fermi (n(k) = 1) et de laisser les niveaux supérieurs vides. Dans le cas des électrons corrélés, la densité d'état évolue dif-féremment et l'on se retrouve avec une discontinuité de la densité d'état moins prononcée au niveau de

Dans le cas des électrons libres, la fonction spectrale est un pic de Dirac, A0(k, ω) = δ(ω − εk). La

densité d'état à une énergie ω s'obtient en intégrant la fonction spectrale sur toutes les valeurs de k. Dans

cette situation, seuls les états en dessous de kF sont remplis et l'énergie de Fermi est clairement dénie.

Dans le cas des systèmes corrélés, la fonction de Green s'obtient à partir de l'équation de Dyson,

G(k, σ; iωn) = G0(k, σ; iωn) + G0(k, σ; iωn).Σ(k, σ; iωn).G(k, σ; iωn) (1.4)

où Σ est appelée self-énergie et correspond à la contribution de toutes interactions liées à la composante V

du hamiltonien. G0est la fonction de Green du système sans interaction. La fonction spectrale s'exprime

sous la forme d'une Lorentzienne,

A(k, ω) = 1 π −Σ00(k, ω) [ω − εk− Σ 0 (k, ω)]2_{+ [Σ}00 (k, ω)]2 (1.5) avec Σ0 (k, σ; iωn)et Σ 00

(k, σ; iωn), les parties réelles et imaginaires de la self-energie.

La théorie du liquide de Fermi suppose que le terme contenu dans le dénominateur de la fonction

A(k, ω) peut se réécrire : ω − εk− Σ 0 (k, ω) ≈ (1 − [∂Σ 0 (k, ω) ∂ω ]ω=Ek−µ)(ω) + ... (1.6)

En d'autres termes, l'état fondamental du système de fermions corrélés se déduit de celui du système

sans interaction. Les excitations εk sont remplacées par de nouvelles particules appelées quasi-particules

indépendantes et d'énergie Ek = εk− Σ

0

(k, ω). Par analogie au cas des électrons libres, le poids des

quasi-particules Z(k) = (1 − [∂Σ

0

(k, ω)

∂ω ]ω=Ek−µ)

−1 _{permet de déduire le temps de vie des quasi-particules via}

le taux de diusion Γk(ω) = −Z(k).Σ

00

(k, ω) ainsi que la masse eective m∗/me= Z−1. Le concept de

surface de Fermi reste donc utilisable dans les systèmes corrélés en considérant une renormalisation du poids spectral de quasi-particule Z(k).

1.1.4 Signatures expérimentales d'un liquide de Fermi

Expérimentalement, une phase liquide de Fermi comporte une surface de Fermi. Cette surface de Fermi peut se déduire :

 des mesures d'oscillations quantiques (dont nous parlerons plus en détail par la suite)

 des mesures de spectroscopie de photo-émission résolues en angle (ARPES). Cette technique consiste

à envoyer des photons de forte énergie (εe ∼ 20 eV) suivant une incidence ke sur la surface d'un

échantillon an d'exciter les états en dessous du niveau de Fermi. Ceci produit un photo-électron

dont la direction kf et l'énergie εf sont analysées en sortie. Cette technique permet de déduire la

fonction spectrale A(k,ω) des états occupés, et donc la surface de Fermi.

 des mesures de dépendance angulaire de la magnétorésistance (AMRO). Cette technique consiste à placer un échantillon dans un champ magnétique statique et de mesurer sa résistance pour dié-rentes orientations du champ magnétique. Pour les composés de basse dimensionnalité, ceci permet de faire apparaitre des oscillations dont la position angulaire dépend de la topologie de la surface de Fermi.

Outre la surface de Fermi, un composé ayant un comportement de liquide de Fermi (et n'ayant qu'une bande) vérie les aspects suivants :

 En optique, les mesures de conductivité présentent un pic de Drude à basse fréquence, qui se traduit par une divergence de l'amplitude spectrale à fréquence nulle, lorsque la température diminue.

 La résistivité a une dépendance quadratique en température : ρ = ρ0+ AT2, où ρ0est la résistivité

résiduelle liée aux impuretés. A est un coecient tenant compte de l'interaction électron-électron

qui est proportionnel à (m∗₎2_.

 La chaleur spécique électronique C vérie : C/T = γ = m∗kFkB2

3~2 . γ étant appelé coecient de

Sommerfeld.

 La susceptibilité de Pauli est indépendante de la température : χ = µ0µBm∗kF

π2

~2

 La loi de Wiedemann-Franz est respectée à T = 0. C'est à dire que les quasi-particules transportent autant la chaleur que la charge. Ceci se traduit par un rapport de la conductivité thermique κ/T sur

la conductivité électrique σ qui reste constant : κ

σT =

π2k_B2

3e2 = L0, où L0= 2.44 × 10

−8_W.Ω.K−2

est le nombre de Lorentz.

1.1.5 Magnétotransport dans un liquide de Fermi

Les mesures de transport présentées dans cette thèse, sont eectuées en champ magnétique et reètent la surface de Fermi du composé. Outre les oscillations quantiques, deux autres aspects vont donner des indications sur la topologie de la surface de Fermi :

 La magnétorésistance c'est à dire variation de résistance en fonction du champ magnétique  L'eet Hall, qui correspond à la tension mesurée perpendiculairement à la fois au champ magnétique

et au courant injecté.

1.1.5.1 Electron dans un champ magnétique

Avant de présenter les propriétés de magnétotransport, il est nécessaire de rappeler comment se comporte un électron soumis à un champ magnétique B. D'un point de vue semi-classique, l'électron,

de charge −e, d'énergie ε, de masse me peut être considéré comme un train d'onde de position r et

d'impulsion p = }k = mev (où k est le vecteur d'onde et v la vitesse de groupe). Cet électron est soumis

à deux lois. La première est le principe fondamental de la dynamique appliqué aux électrons soumis à un champ magnétique B,

}

dk

dt = −e(v × B), (1.7)

et la deuxième est une loi cinématique,

v = 1

}

∇kε (1.8)

qui relie la vitesse de groupe à l'énergie. Dans le cas simple où le champ magnétique B est suivant l'axe-z, il n y aura pas de variation temporelle de k suivant cette direction (de part le produit vectoriel). k et v vont évoluer dans un plan normal à B. (k' et v' seront les notations des projections).

En intégrant l'équation1.7on obtient,

k' = −e

}

(r' × B) (1.9)

Cette expression montre que dans le cas où l'énergie est constante, la trajectoire des électrons dans l'espace

des moments se déduit de celle dans l'espace réel à un facteur d'échelle près ( }

eB) et en appliquant une

rotation de π/2 autour de l'axe B. La gure1.3illustre le mouvement d'un électron soumis à un champ

une translation suivant l'axe du champ magnétique (provenant de la composante pz constante) et d'un

mouvement orbital perpendiculaire au champ magnétique.

Figure 1.3  (a) : Illustration de la trajectoire hélicoïdale de l'électron soumis à un champ magnétique

dans l'espace réel. (b) : Trajectoire dans l'espace des moments (d'après [7]).

Puisque le travail de la force magnétique est nul, l'énergie de l'électron reste constante. Les orbites portent le nom d'orbites cyclotrons et dans le vide elles sont circulaires. Dans un solide, les électrons au

niveau de Fermi εF vont suivre le contour de la surface de Fermi normal au champ magnétique. De ce

fait, la forme de l'orbite cyclotron va dépendre de la forme de la surface de Fermi.

L'orbite cyclotron englobe une aire A dans l'espace des moments. A partir des equations de mouve-ment, il est possible de montrer que la vitesse de balayage de cette aire est constante et indépendante

de la forme de l'orbite. De ce fait, il est possible de déduire une vitesse angulaire constante ωc (appelée

pulsation cyclotron), dénie par :

ωc=

eB

}2

.dE

dA (1.10)

Dans le cas d'un électron libre, l'énergie est }2k2

2me, ce qui donne ωc=

eB

me. Dans un solide, l'expression

est la même, en dénissant la masse cyclotron eective par :

mc= } 2 2π.( dA dE) (1.11) 1.1.5.2 Magnétorésistance

L'eet de la force de Lorentz sur l'électron a une incidence sur les propriétés de transport et en par-ticulier sur la résistivité. Dans le cas simple où l'orbite cyclotron est représentée par un cercle, il est

possible de dénir un rayon de courbure moyen rL = }kF/eB, appelé rayon de courbure de Larmor. Si ce

rayon est très grand par rapport au libre parcours moyen l alors l'électron ne sera que légèrement dévié de sa trajectoire. La variation de la résistivité ρ (à faible champ) sera quadratique en champ :

ρ(B) − ρ(0) ρ(0) = ∆ρ(B) ρ(0) ≈ l2 r2 L ∝ B2 _(1.12)

Lorsque rL< l, le moment des électrons va varier considérablement le long de la surface de Fermi. Pour

estimer la magnétorésistance, il est nécessaire d'évaluer l'equation de Boltzmann pour calculer le tenseur

de conductivité σαβ : σαβ= 2e2_τ (2π})3 Z _df 0 dεvα(p)vβ(p)dp (1.13)

αet β correspondent aux 3 axes possibles : x, y ou z ; f0 est la distribution de Fermi, et vβ(p) est déni

par :

vβ(p) = 1/τ

Z 0

−∞

vβ(p, t)e−t/τdt (1.14)

où τ est la durée de vie de l'électron. Il n'y a pas de solution analytique pour un cas général de surface de Fermi. Il est néanmoins possible de déduire le comportement à fort champ de la magnétorésistance à partir de la topologie de la surface de Fermi.

Lorsque le champ magnétique est susamment important (rL  l), l'électron eectue plusieurs

or-bites cyclotrons. Les composantes de vitesse perpendiculaires au champ oscillent très rapidement (par rapport au temps τ) et la valeur moyenne tend vers 0 au fur et à mesure que le champ magnétique augmente. En appliquant un champ magnétique le long de l'axe-z, le tenseur de conductivité prend la forme : σ_αβclosed= σ0.   γ2axx γaxy γaxz −γaxy γ2ayy γayz −γaxz −γayz azz   (1.15)

avec γ = (ωcτ )−1. Les coecients aij permettent de tenir compte de l'anisotropie du matériau et

σ0 = ne

2_τ

m est la conductivité à champ nul (n étant la densité d'état). En inversant la matrice, on

obtient les résistivités ρxx, ρyy, ρzz qui saturent à fort champ.

Dans le cas d'une surface de Fermi ouverte, il est possible d'orienter le champ de tel sorte que la trajectoire de l'électron le long de la surface de Fermi ne produise pas d'orbite cyclotron fermée. En supposant que cette direction soit selon l'axe-x et que le champ magnétique soit suivant l'axe-z, alors la

composante vy de le vitesse dans l'espace réel, ne va plus osciller autour de 0 et la vitesse moyenne ne va

plus tendre vers 0. Les conductivités σyy et σyz tendent vers des valeurs nies à fort champ et le tenseur

de conductivité s'écrit : σopen(x)_αβ = σ0.   γ2_a xx γaxy γaxz −γaxy ayy ayz −γaxz −ayz azz   (1.16)

En inversant la matrice, la résistivité sature à fort champ pour ρyy et ρzz, mais pour ρxxune

dépen-dance B2 _{est attendue.}

1.1.5.3 Eet Hall

L'eet Hall correspond à la tension perpendiculaire à la fois au courant et au champ magnétique.

La résistivité de Hall vaut ρxy = B/nqdans le cas d'une surface de Fermi sphérique. Cette linéarité en

RH=

ρxy

B =

1

nq (1.17)

où n est la densité de porteur et q la charge des porteurs. Cette constante est indépendante de la température et du taux de diusion. Elle permet d'obtenir le signe ainsi que la nombre de porteurs (dans le cas d'une seule poche isotrope).

Dans le cas où le système est constitué de plusieurs bandes de porteurs diérents, la constante de Hall ne pourra plus donner le nombre de porteurs de chacune d'entre elles. Son signe va dépendre également de la mobilité (µ = eτ/m) et de la densité de porteur de chacune des poches. Nous serons amené à reparler de la modélisation de cet eet Hall à travers le modèle à deux bandes.

A noter qu'il existe deux approches qui peuvent mener à un signe de l'eet Hall diérent des prédictions

classiques. La première est une théorie [8] qui tient compte de la courbure de la surface de Fermi à 2D

et qui a permis d'expliquer le signe négatif obtenu dans 2H − NbSe2 (dont la structure de bandes prévoit

des porteurs de type trou). La deuxième approche fait intervenir la physique des vortex. Un vortex est un mouvement circulaire de courant électrique autour d'un centre appelé coeur de vortex. Ces vortex apparaissent dans les supraconducteurs dans une certaine gamme de champ magnétique correspondant à un état appelé liquide de vortex. Le mouvement de ces vortex fait apparaitre une tension de Hall qui n'a rien à voir avec celle provenant d'un liquide de Fermi. Nous retiendrons qu'une manière de distinguer cet eet est de suivre la dépendance de la tension de Hall en fonction du champ magnétique. La résistivité

ρxy issue des vortex est proportionnelle à 1/B [9], contrairement à la contribution issue de l'état normal

qui varie en B.

1.1.6 Ondes de densité : reconstruction de la surface de Fermi

Il peut arriver que la surface de Fermi mesurée soit diérente de celle prédite par les calculs de struc-ture de bandes. C'est le cas lorsqu'une transition de phase (structurale ou instabilité du gaz électronique) apparait à une certaine température. On parle alors de reconstruction de la surface de Fermi. Nous serons amené à discuter de ce point particulier au regard de nos données. Pour mieux comprendre l'origine de ce phénomène, il est nécessaire de reprendre certaines bases concernant les ondes de densité.

1.1.6.1 Rappels sur la susceptibilité du gaz électronique

On parle d'onde de densité quand une densité (de charge ou/et de spin) est modulée spatialement. On parle alors d'onde de densité de charge et d'onde de densité de spin. La modulation périodique dans l'espace réelle peut se représenter par un vecteur d'onde Q dans l'espace réciproque qui se mesure expé-rimentalement par diraction de rayons X ou diraction de neutrons.

Dans le cadre de la théorie de la réponse linéaire, un système soumis à une perturbation extérieure

V (Q), aura une susceptibilité dénie par :

χ0(Q) =

δρ(Q)

V (Q) (1.18)

où δρ(Q) est la modulation de la densité de charge ou de spin. Ceci se traduit par un déplacement d'une

partie de la densité d'état au vecteur d'onde k vers le vecteur k+Q. Plus χ0(Q) est grand, plus ce

déplacement est important. Pour un système de dimension d, cette susceptibilité s'exprime sous la forme de la formule de Lindhart χ0(Q) = Z _dd_k 2πd f (k) − f(k+Q) ε(k) − ε(k+Q) (1.19)

où f est la fonction de Fermi-Dirac. L'intégrale se fait pour tous les vecteurs k vériant |k| < |kF| et

|k+Q| > |kF|. Les vecteurs d'onde k représentent les états occupés et les états k+Q sont vides

initiale-ment. Pour un potentiel V(Q) donné, si ε(k) = ε(k+Q), la susceptibilité diverge.

En terme de surface de Fermi, la translation par un vecteur Q s'apparente à un emboitement (ou nesting en anglais) et la divergence de la susceptibilité sera d'autant plus marquée que l'emboitement

est important. La gure1.4montre les diérents emboitements possibles (en rouge) à partir des surfaces

de Fermi de la gure1.2. Pour un gaz électronique 1D, la surface de Fermi est dénie par deux plans

à kF et −kF, de ce fait il y aura divergence de la susceptibilité au vecteur d'onde Q = 2kF : on parle

d'emboitement parfait. Pour un cylindre 2D, la translation par un vecteur Q = 2kF ne produit qu'un

emboitement partiel le long d'une droite (parallèle à l'axe de revolution du cylindre) et la susceptibilité

montre une discontinuité à Q = 2kF. Pour une sphère 3D, l'emboitement ne se fait que sur un seul point

de la surface de Fermi et la susceptibilité à Q = 2kF ne subit qu'une simple inexion. La divergence

de la susceptibilité n'est donc pas possible à 2D ou à 3D. Néanmoins il existe des cas, comme celui du chrome, où la surface de Fermi a une topologie telle qu'elle permet un emboitement sur une portion non négligeable.

surface de Fermi

1D surface de Fermi 2D surface de Fermi 3D

kx

ky

kz

Figure 1.4  Illustration des emboitements de surfaces de Fermi ayant une topologie 1D, 2D et 3D, après

translation par un vecteur 2kF. Les surfaces de Fermi initiales sont en noir, celles translatées sont en bleu

et les parties emboitées sont en rouge. 1.1.6.2 Onde de densité de charge

L'origine des ondes de densité de charge provient de l'interaction avec les phonons (distorsion du

ré-seau). Dans le cas 1D, la divergence de la susceptibilité au vecteur d'onde 2kF modie l'état fondamental.

La charge est modulée par une nouvelle périodicité de 2kF, ce qui cause une dimérisation des charges de

la chaine 1D, comme illustré sur la gure 1.5. Ceci provoque l'ouverture d'un gap à ±kF et bloque le

transport de charge. Cette transition métal-isolant porte le nom de transition de Peierls et fut observée

pour la première fois dans TTF-TCNQ [10]. Expérimentalement, il est possible de caractériser la présence

de ces ordres de charge (ou de la modulation associée) par des mesures de diraction de rayons X, de neutrons ou de RMN.

-k_F k_F ε ε_F -k_F k_F 2∆ ρ(x) = ρ₀ + ρ₁ cos (2k_Fx + θ) ρ(x) = ρ₀ ε ε_F

b

a

Figure 1.5  (a) : Bande de conduction dans un cas 1D. La position des charges est représentée par des cercles régulièrement espacés, ce qui produit une densité de charge ρ(x) uniforme le long de la chaine. (b) : Bande de conduction dans un cas 1D en présence d'un ordre de charge (transition de Pieirls). La

charge est modulée le long de la chaine. (Adapté de [11])

1.1.6.3 Onde de densité de spin

Dans un gaz électronique, il a été montré que l'état paramagnétique est toujours instable et amène

à la formation d'une onde de densité de spin. [12]. Cette modulation apparait lorsque les interactions

électrostatiques sont trop importantes et ne favorisent plus l'onde de densité de charge.

L'instabilité de l'état paramagnétique (par rapport à l'onde de densité de spin) provient du surcout énergétique de l'interaction d'échange entre un électron d'un état occupé et d'un trou de spin anti-parallèle au voisinage du niveau de Fermi. L'état onde de densité de spin va donc coupler ces états séparés par un vecteur d'onde Q, comme dans le principe d'emboitement. Cependant, il n'y aura qu'une modulation du spin suivant ce vecteur d'onde et non une modulation de la charge.

Cette modulation du spin peut être vue comme la superposition de deux modulations de charge ayant respectivement les spins up et les spins down selon l'axe-x s'écrivent :

ρup(x) = 1/2[ρ0+ ρ1cos(2kF + φ)]

ρdown(x) = 1/2[ρ0+ ρ1cos(2kF+ φ + Θ)]

Pour Θ = π, la densité de charge ρup+ ρdown est uniforme et l'aimantation ρup− ρdown est modulée.

L'onde de densité de spin se caractérise par des mesures de diraction de neutrons ou des mesures de susceptibilité de spin par RMN, SQUID ou RPE. Les même eets de reconstruction de surface de Fermi que ceux des ondes de densité de charge s'appliquent.

1.2 Oscillations quantiques

Le but de cette partie est de familiariser le lecteur aux oscillations quantiques. Certains aspects théo-riques fastidieux seront mis de côté pour laisser place à des explications plus qualitatives. Le lecteur peut

se référer à [5,7,13].

L'idée de ces oscillations a été évoquée pour la première fois en 1930 par Landau. La même année, de Haas et van Alphen observent dans le bismuth les premières oscillations quantiques de l'aimantation. Le caractère singulier du bismuth a rendu dicile la généralisation du phénomène et il a fallu attendre 1947 pour qu'il soit vu dans un autre métal (le zinc). Ces découvertes ont donné naissance à un nouveau pan de la physique appelé fermiologie qui porte sur la caractérisation des métaux (et de leur surface de Fermi) par les oscillations quantiques. D'un point de vue théorique, ceci a amené au développement de la formule analytique de Lifshitz-Kosevich (1955) qui décrit ces oscillations. D'un point de vue expérimental, le développement s'est fait grâce à l'amélioration de la qualité des matériaux, de la sensibilité des mesures, ainsi qu'à l'augmentation des champs magnétiques accessibles. La mesure d'oscillations quantiques, reste à ce jour, un outil puissant pour déduire la surface de Fermi d'un composé.

1.2.1 Les bases théoriques du phénomène

1.2.1.1 Quantication des niveaux d'énergie d'un électron La condition de quantication de Bohr-Sommerfeld

I

p.dr = (n + γ).h (1.20)

permet d'introduire la quantication de l'énergie des électrons soumis à un champ magnétique. n est un entier et γ un nombre décimal entre 0 et 1. L'impulsion s'exprime par p = }k − eA où B = Rot(A) est le potentiel vecteur du champ magnétique. Le terme de gauche de l'equation peut s'écrire

I

p.dr = e.Φ, (1.21)

où Φ est le ux magnétique. Dans l'espace réel, le ux magnétique est quantié par quanta de valeur

Φ0= h/(2e) ' 2.0678 × 10−15T.m2,

Φn = Φ0.(n + γ). (1.22)

De ce fait, à un champ magnétique donné, seules certaines valeurs d'aire de l'orbite cyclotron seront permises. Pour une valeur de champ magnétique B, l'aire correspondant à l'indice n vaudra

An=

2πeB }

(n + γ) (1.23)

Cette relation est connue sous le nom de relation de Onsager1_{. En intégrant de l'equation 1.10,}

l'énergie des électrons vaut

εn= }ωc(n + γ) = }

eB

mc

(n + γ) (1.24)

Les tubes représentant ces énergies εn sont appelés tubes de Landau. Pour retrouver l'énergie totale

d'un électron, il faut ajouter également l'énergie cinétique (}2k2

z

2mc) provenant de son déplacement suivant

l'axe-z.

En pratique, cette quantication des énergies provoque un changement drastique de l'organisation

des états occupés dans le système. La gure 1.6(a) représente la projection d'une surface de Fermi 2D

dans le plan perpendiculaire au champ magnétique. Les états occupés sont représentés par des petits cercles contenant deux èches (deux états de spins). Les états vides correspondent aux cas où l'énergie

est supérieure au niveau de Fermi. En appliquant un champ magnétique (gure 1.6 (b)), la surface de

Fermi est toujours dénie et la délimitation entre états vides et états occupés est toujours possible. En revanche, les états sont réorganisés sur les tubes de Landau dont l'énergie est quantiée.

Figure 1.6  Représentation schématique des niveaux occupés/vides dans l'espace des moments. (a) : En l'absence de champ magnétique, les moments correspondant aux états occupés sont tous ceux inclus dans la surface de Fermi. (b) : En présence d'un champ magnétique, les états occupés sont situés à la

fois sur les niveaux de Landau et dans la surface de Fermi (d'après [7]).

1.2.1.2 Détermination de la densité d'état

La densité d'état électronique d'un gaz électronique s'exprime sous la forme, N (ε) =

Z

P ZB

dNk

(2π)NA(k, ε) (1.25)

où A(k, ε) est la fonction spectrale et où l'intégrale se fait sur toutes les valeurs de k contenues dans la première zone de Brillouin. Pour mettre en évidence la quantication en niveaux de Landau, il faut résoudre l'équation de Schrödinger, HΨ = εΨ , d'un gaz d'électron libre soumis à un champ magnétique

dans une boite de dimension (Lx,Ly,Lz). Par principe de correspondance, le hamiltonien sera H =

1

2me

(p − eA)2. La solution prend la forme d'un oscillateur harmonique,

ε.ψ(x, y, z) = [ p 2 x 2me +1 2meω 2 c(x − x0)2]ψ(x, y, z), (1.26) centré en x0= −}k y

eB, de pulsation ωc= eB/meavec une fonction d'onde de la forme :

ψ(x, y, z) = φ(x).exp(i(ky.y + kz.z)) (1.27)

Le nombre de niveau accessible se déduit des conditions aux limites qui imposent les valeurs de ky

possibles (ky = p.2π/Ly avec p un entier). Comme l'origine de l'oscillateur harmonique doit se trouver

dans la boite (x0 < Lx), p ne peut dépasser une valeur de Lx.Ly.

eB

h . Chaque niveau de Landau aura

donc une dégénérescence

gLL= 2LxLy

eB

Le facteur 2 provient des deux congurations de spin possibles. L'écart en énergie entre deux niveaux

de Landau est }ωc. La dégénérescence ne dépend pas non plus de l'indice du niveau, elle n'est

proportion-nelle qu'au champ magnétique. Sur une gamme d'énergie comprise entre ε et ε + }ωc, il n'y aura qu'un

seul tube, donc le nombre d'état sera gLL. Sur cette même gamme d'énergie, à champs nul, un système

2D aura le même nombre d'état : N (ε) = Z ε+}ωc ε n(ε)dε = }ωc.g2D= }ωc. 2π h2.m.Lx.Ly = gLL (1.29)

De ce fait, le champ magnétique ne modie pas le nombre d'état permis mais les réorganise sur les niveaux de Landau.

1.2.1.3 Oscillation de la densité d'état électronique sous champ magnétique

Pour comprendre l'origine du phénomène oscillatoire, il faut calculer la densité d'état électronique à

3D. Puisque chaque tube de Landau porte une quantité gLL d'état disponible, la densité d'état

électro-nique à deux dimensions à l'énergie ε correspond à :

ρ2D(ε) = gLL.

X

n

δ(ε − }ωc(n + 0.5)) (1.30)

où n est l'indice du tube. Pour passer à la densité d'état complète à 3D, il faut tenir compte la dispersion selon l'axe-z. Selon cette direction, la densité d'état (à 1D) s'exprime comme

ρ1D(εz) = Lz. r (2m h2) X n 1 √ εz,n = Lz. r (2m h2 ) X n 1 pε − }ωc(n + 0.5) ce qui donne, ρ(ε) = gLL.ρ1D= π.V.}.ωc.( 2m h2) 3/2 .X_{δ(ε − }ω}c(n + 0.5)) (1.31)

où V = Lx.Ly.Lz. Cette dernière formule montre des divergences de la densité électronique, chaque

fois que l'énergie est un demi-entier de }ωc. Dans un composé, cette divergence est attenuée car il faut

tenir compte du temps de relaxation des électrons τ. En appliquant le principe d'incertitude de Heisen-berg, il est possible de dénir une énergie ∆ε ∼ }/τ appelée largeur naturelle qui élargie les pics de Dirac. Pour observer des oscillations quantiques, il faut que la largeur d'un niveau de Landau soit inférieure à

la distance entre deux niveaux : ωcτ  1.

Pour comprendre la périodicité en 1/B de ces oscillations, il sut de reprendre la relation de Onsager.

L'aire correspondant à la surface de Fermi, A(εF)prend la forme : A(εF) = (n + γ)

2πeBn

} . En

augmen-tant le champ magnétique de Bn à Bn−1, il est possible de faire passer le tube de Landau d'indice n − 1

au niveau de Fermi. L'aire de la surface de Fermi se re-écrit sous la forme : A(εF) = (n − 1 + γ)

2πeBn−1

} .

De part ces égalités, on déduit que

1/Bn− 1/Bn−1=

2πe

}A(εF) (1.32)

Le résultat de cette diérence ne dépend pas de l'indice de Landau ce qui traduit un phénomène périodique en 1/B (caractérisé par une fréquence F exprimée en Tesla). Cette fréquence est reliée à l'aire

extrémale de la surface de Fermi A(εF):

F = ~

1.2.2 Formalisme de Lifshitz-Kosevich

La plupart des propriétés électroniques dépendent de la densité d'état électronique au niveau de Fermi. Nous venons de voir que cette quantité oscille en fonction de l'inverse du champ magnétique. La formule qui permet de rendre compte de ces phénomènes oscillatoires a été développé par Lifshitz et Kosevich en

1955 [14].

Dans sa formulation la plus générale, la formule de Lifshitz-Kosevich s'écrit de la manière suivante :

G − G0 G0 =X p A(p).RT(p).RD(p).Rs(p).sin(2πp( Fi B − γ)) (1.34)

Greprésente une grandeur comme la conductivité ou l'aimantation, et l'indice 0 la partie monotone de

cette grandeur. Dans cette formule, le terme oscillatoire (G − G0) est représenté par une somme de sinus

de fréquence F (en Tesla) et de ses harmoniques p. La fréquence fondamentale F (p = 1) correspond à l'aire extrémale englobée par les orbites cyclotrons perpendiculaires au champ magnétique. Les compo-santes p ≥ 2 correspondent à des harmoniques dont l'amplitude est généralement faible par rapport au fondamental.

A et γ dépendent de la sonde et de la dimensionnalité de la surface de Fermi. L'aimantation est

une grandeur thermodynamique et donc les oscillations quantiques dépendent directement du potentiel thermodynamique. Dans le cas du transport, il est nécessaire de faire intervenir des approximations sur le taux de diusion τ. Cependant, il a été montré que ces oscillations pouvaient être décrites de manière satisfaisante en considérant que la probabilité de diusion est proportionnelle à la densité d'état au niveau

de Fermi D(εF)(règle d'or de Fermi). Cette variation de densité d'état sous champ est également reliée

à la variation de l'aimantation par la relation :

∆D(εF) ∝ (

mcB

F )

2∂∆M

∂B (1.35)

Parmi les diérentes formulations, le produit du terme A et de la composante oscillatoire, peuvent s'écrire suivant les cas 2D ou 3D et suivant si il s'agit d'une courbe d'aimantation (M) ou de transport (σ) : Aσ,3D= mcB 1/2 (S00₎1/2.cos[2π( F B − 1 2) ± π 4] (1.36) AM,3D = ( e 2π}) 3/2 SB1/2 π2_m c(S00)1/2 .sin[2π(F B − 1 2) ± π 4] (1.37) AM,2D = −( e 2π}) S π2_m cd .sin[2π(F B − 1 2)] (1.38)

Les principales diérences sont le déphasage de π/2 entre transport et aimantation ainsi que la dépen-dance en champ de l'amplitude des oscillations quantiques. On appelle souvent les oscillations mesurées en aimantation, les oscillations de de Haas-van Alphen, et celles mesurées en transport les oscillations de Shubnikov-de Haas.

Le terme RT, appelé facteur de réduction thermique, décrit l'évolution en température de l'amplitude

des oscillations et s'exprime comme :

RT(p) = p.X.T.mc B sinh(p.X.T.mc B ) ' 2exp(−p.X.T.mc B ) avec X = 2π2_k Bme }e ∼ 14.694(T.K −1_{) (1.39)}

où mc est la masse cyclotron (exprimée en unité de masse de l'électron libre me), kB la constante de

Boltzmann, T la température. Ce terme de réduction prend en compte la statistique des électrons. La

densité d'état passe d'un delta à εF (à T = 0) à une Lorentzienne de largeur δεF ∼ kBT (à température

nie) ce qui engendre une atténuation de l'amplitude des oscillations quantiques. En outre, si la distance

entre deux niveaux de Landau successifs }ωc n'est pas susamment grande par rapport à kBT alors le

phénomène oscillatoire ne sera plus visible, ce qui donne comme critère d'observation des oscillations :

}ωc kBT.

Le terme RDest appelé terme de Dingle et vaut

RD(p) = exp(

−p.X.TD.mb

B ) (1.40)

avec mb la masse de bande déduite des calculs de structure de bandes (c'est à dire sans tenir compte des

interactions électron-électron et électron-phonon). Par analogie avec le terme RT, il est possible de dénir

une température de Dingle TD = }

2πkBτ où τ est le temps de relaxation. Ce terme prend en compte

les eets liés à la diusion élastique et donc implicitement à la qualité des échantillons. Un autre critère

d'observation des oscillations quantiques s'écrit sous la forme : ωcτ  1.

Le terme Rscorrespond au terme d'atténuation lié au spin. Il est lié à l'eet Zeeman qui produit un

écart en énergie entre les électrons de spin up et ceux de spin down sous l'eet d'un champ magnétique.

L'écart est noté ∆ε = gµBB, où g est le facteur de Landé et µB = e}/(2me)est le magnéton de Bohr.

Un déphasage

φ = 2π∆ε

}ωc

(1.41) va apparaitre entre les composantes oscillatoires de ces deux sous-niveaux de Landau. En re-écrivant la somme des composantes oscillatoires

1 2(cos(2π.p. F B) + cos(2π.p.( F B + φ))) = cos(2π.p. F B).cos(π.p.φ) (1.42)

ce déphasage correspond à une modulation de l'amplitude des oscillations par un facteur :

Rs(p) = cos(π.p.φ) = cos(

π.p.g.m∗

2me

) (1.43)

Dans le cas d'un électron libre, g ≈ 2 et ∆ε ≈ }ωc et donc Rsvaut (−1)p. Un calcul plus rigoureux

montre que la masse m∗ _{utilisée dans cette expression n'est pas sensée tenir compte de l'interaction}

électron-phonon [15]. Dans la formule, cette masse est donc remplacée par une masse de spin ms= m

∗

1+λ

où λ est le facteur de couplage électron-phonon.

L'interaction électron-électron est prise en compte dans le terme g et/ou dans la masse suivant la formulation. Ceci explique que les valeurs de g déduites puissent être diérentes des valeurs déduites des mesures de résonance électronique de spin (ESR) pour lesquels les corrélations ne sont pas prises en compte.

Ce facteur Rsne dépend pas du champ. Nous verrons par la suite que la détermination du coecient

g.ms peut se faire par des mesures d'oscillations quantiques à diérentes orientations du champ

1.2.3 Extensions et déviations

1.2.3.1 Multiplicité des fréquences : cas des matériaux quasi-2D

Figure 1.7  A gauche : Illustration d'une surface de Fermi quasi-2D comprenant les deux fréquences caractéristiques 'neck' et 'belly'.A droite : Oscillations quantiques (tracées en fonction de B)

correspon-dant à cette poche. On peut voir le battement évoqué dans le texte (d'après [7]).

La gure 1.7 montre le schéma d'une surface de Fermi quasi-2D. Elle est composée de deux aires

extrémales : un cou (neck) et un ventre (belly). Deux fréquences Fmin et Fmax correspondent à ces

deux aires. Dans les mesures d'oscillations quantiques, la somme des deux fréquences correspondant à ces

deux aires fait apparaitre un battement comme illustré sur la gure 1.7. Les noeuds de ces battements

apparaissent périodiquement avec une fréquence ∆F = Fmax− Fmin. La diérence de fréquence ∆F est

reliée à l'intégrale de saut t⊥ dans la direction perpendiculaire au plan conducteur.

4t⊥

εF

=∆F

F (1.44)

F correspond à la valeur moyenne des deux fréquences F = (Fmax+Fmin)/2. Pour observer ce battement,

il faut théoriquement que le gondolement soit plus grand que l'écart des niveaux de Landau, ce qui se traduit par :

W⊥≡ 4t⊥> }ωc (1.45)

Sur les composés quasi-2D, le gondolement obtenu en superposant les deux composantes de fréquences proches est généralement réécrit sous la forme :

A1sin(2πFmax/B) + A2sin(2πFmin/B) ∼ A3sin(2πF/B).RW (1.46)

En particulier, dans les mesures de transport selon l'axe-c, RW prend la forme d'une fonction de Bessel,

RW = J0(2π 2t⊥ }ωc ) = J0(2π ∆F 2B) (1.47)

En eectuant une dépendance angulaire des fréquences des oscillations quantiques, on peut distinguer le cas où deux fréquences sont issues de deux poches diérentes ou si les deux fréquences sont issues d'une même poche quasi-2D.

1.2.3.2 Dépendance Angulaire

En changeant la direction du champ magnétique appliqué, pour une surface de Fermi sphérique, le spectre des oscillations reste inchangé. Dans le cas d'une surface 2D, l'aire extrémale varie en 1/cos(θ) et donc la fréquence évolue en F (θ) = F (θ = 0)/cos(θ), avec θ l'angle formé entre l'axe du champ magnétique et l'axe de révolution du cylindre.

Dans le cas quasi-2D, les deux fréquences correspondant aux deux aires extrémales ainsi que la dif-férence de fréquence ∆F , varient de façon non-monotone en angle. Dans le cas simple où la dispersion

selon l'axe-z est de la forme ε(kz) = −2t⊥cos(kzc) (où c représente la longueur de la maille élémentaire

suivant l'axe-z), il est possible de dénir des valeurs d'angle où ∆F s'annule et où le battement disparait

comme illustré sur la gure1.8. Ces angles sont appelés angles de Yamaji [16] et sont dénis par :

θY = arctan(

π(r − 0.25)

ckF

) (1.48)

avec kF le vecteur d'onde de Fermi moyen et r étant un entier.

Figure 1.8  Illustration du concept d'angle de Yamaji. La même surface de Fermi gondolée que dans

la gure1.7est considérée. Les surfaces extremales perpendiculaires au champ magnétique ont toutes la

même aire ce qui se traduit par une seule fréquence dans les oscillations (d'après [7]).

Pour une surface de Fermi quasi-2D, l'amplitude des oscillations quantiques peut également varier

suivant l'angle. Cette évolution provient du terme d'atténuation lié au spin, Rs. En repartant de la

formule du déphasage φ de l'équation 1.41, le fait d'incliner le champ d'un angle θ ajoute un facteur

cos(θ)dans le terme }ωc. Le terme Rsdevient

Rs(p) = cos(pπφ) = cos(

p.π.g.ms

2me.cos(θ)

) (1.49)

et s'annule pour un angle θk tel que :

cos(θk) =

p.g.ms

(2k + 1)me (1.50)

avec k un entier relatif. Cet angle est appelé angle de spin-zéro, permet de déterminer le produit g.ms.

1.2.4 Phénomènes oscillatoires supplémentaires

Si dans l'espace des moments, deux bandes sont séparées par un petit gap ∆g, alors il est possible que

l'électron passe d'une bande à l'autre par eet tunnel. On appelle ce phénomène la rupture magnétique (magnetic breakdown). La probabilité de passage par eet tunnel Y est dénie par la relation :

Y = exp(−BM B/B) (1.51)

avec BM B le champ de rupture magnétique déni par

BM B≈ mc e} ∆2g εF (1.52) dans le cas d'une bande parabolique. Si la probabilité de passage par eet tunnel est susamment grande

(ce qui se produit lorsque B  BM B), d'autres trajectoires fermées peuvent être décrites par l'électron,

ce qui engendre d'autres fréquences dans le spectre des oscillations quantiques. La gure 1.9 (gauche)

montre une surface de Fermi constituée de bandes 1D et de poches 2D (notées α). Les jonctions possibles par eet tunnel sont notées par les chires 1, 2, 3, 4. Si la probabilité de passage est susamment grande

l'électron peut ainsi décrire une grande orbite β. La gure 1.9(droite) montre le spectre oscillatoire de

κ − (BEDT − TTF)2Cu(NCS)2 [17] avec la présence de ces deux fréquences.

Figure 1.9  A gauche : Illustration du chemin de rupture magnétique correspondant à la fréquence β

(en pointillé) à travers un exemple de surface de Fermi (d'après [5]). A droite : Spectre oscillatoire de

κ − (BEDT − TTF)2Cu(NCS)2 respectant cette topologie de surface de Fermi (d'après [17]).

Un formalisme a été établi pour décrire ce phénomène de rupture magnétique et il est possible de quantier les valeurs de fréquence et d'amplitude en tenant compte des probabilités de passage au

ni-veau des jonctions [18]. La conservation des particules implique un déphasage de π/2 lorsque l'onde est

transmise à travers la jonction et aucun déphasage si l'onde est rééchie. Il est possible de dénir les

amplitudes respectives de transmission iν (avec ν = √Y) et de réexion ξ = √1 − Y. La formule de

Lifshitz-Kosevich s'écrit alors

RT.RD.RM B.cos(2π(

F

B + φ)) (1.53)

RT et RD correspondent aux termes d'atténuation liés à la température et à la température de Dingle.

F un fréquence correspondant à la nouvelle orbite. φ est un terme de phase supplémentaire de la forme,

φ = 1

}eB Z

qui permet de tenir compte de la condition de Bohr-Sommerfeld. L'évolution en champ s'exprime sous la

forme : RM B= (iν)ltξlr, avec lt et lr, le nombre de transmission et de réexion nécessaires.

Le phénomène de rupture magnétique permet d'avoir des orbites plus complexes qui font intervenir

plusieurs fois la même jonction et générant ainsi des combinaisons de fréquences de la forme Fβ+ n.Fα.

Par exemple, il est possible d'obtenir la fréquence Fβ+ Fαen passant par les chemins 1-2-d-3-c-2-d-3-4-a

de la gure1.9.

1.2.4.2 Interférences quantiques

Cette théorie a été proposée pour expliquer la présence d'une fréquence lente dans la magnétorésistance du magnésium. Cette fréquence ne correspond à aucune orbite cyclotron et l'amplitude des oscillations

est quasi-indépendante entre 1.5 K et 4.2 K [19]. Le principe s'inspire des interféromètres optiques où un

faisceau lumineux est divisé en deux puis réuni en sortie. Suivant les diérences de chemins parcourus par les deux ondes, l'amplitude du faisceau en sortie sera modulée (et pourra même s'annuler). Ici l'interférence provient du caractère ondulatoire des électrons.

2'

3'

2

3

1

J1

J2

4

Figure 1.10  Illustration du principe d'interférences quantiques.

La gure1.10montre deux chemins sur lesquels les électrons (soumis à un champ magnétique) peuvent

se déplacer. Les électrons peuvent passer par eet tunnel d'un chemin à l'autre au niveau des jonctions notées J1 et J2. De ce fait, pour qu'une onde se propage du site 1 au site 4, deux parcours sont possibles : 1-2-3-4 et 1-2'-3'-4.

Au niveau des jonctions, les probabilités de passage et les termes de phase supplémentaires de l'onde sont les mêmes que ceux décrits dans la partie sur la rupture magnétique. La propagation de l'onde entre

les sites 2 et 3 ajoute un déphasage de φ23 et la propagation entre les sites 2' et 3' ajoute un déphasage

de φ20₃0. Ce déphasage est lié au potentiel vecteur A et vaut

φ = e

} Z

L

où L correspond à la distance parcourue. Les fonctions d'onde relatives aux deux chemins valent :

γ1=< 1|2 >< 2|3 >< 3|4 >= ξ2exp(i(φ23)) (1.56)

γ2=< 1|20>< 20|30>< 30|4 >= −ν2exp(i(φ20₃0)) (1.57)

La probabilité que l'onde se propage du site 1 au site 4 est donnée par :

P1−4= (γ1∗+ γ

∗

2).(γ1+ γ2) = γ12+ γ

2

2+ γ1γ2∗+ γ2γ∗1 (1.58)

Les deux derniers termes correspondent à l'interférence quantique

γ1γ2∗+ γ2γ1∗∝ cos(φ23− φ20₃0) (1.59)

D'après la formule 1.55 , φ23− φ20₃0 =

e }

.B.S où S est la surface fermée décrite par le parcours

2-3-3'-2'. Le facteur d'échelle ( }

eB)

2 _{permet de déduire que l'aire décrite dans l'espace des moments sera}

proportionnelle à 1/B et ainsi de faire apparaitre des oscillations périodiques en 1/B.

Bien que n'étant pas proprement parlé un phénomène d'oscillation quantique, les dépendances en champ et en température y ressemblent. La dépendance en température est de la même forme que le

facteur RT. Elle se déduit de la dépendance en énergie du terme φ23− φ20₃0. Dans le cas où l'interférence

quantique fait intervenir deux orbites cyclotrons, l'amortissement suit une loi en X/sinh(X) comme dans les oscillations quantiques ; avec une masse eective égale à la diérence des masses associées à ce deux orbites. La masse associée à cette interférence est généralement faible, ce qui permet d'observer des oscillations à plus haute température que des oscillations de Shubnikov - de Haas. La dépendance

en champ est similaire au terme RD et s'exprime par un facteur exp(−tL/2τ ) où tL est le temps mis

par l'électron pour parcourir la distance L. Ce terme correspond à la probabilité qu'un électron avec une durée de vie τ parcourt cette même distance.