Note sur les classes de similitude

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Note sur les classes de similitude

Bernadette Mathieu-Nicot, Michel Prévot

To cite this version:

Bernadette Mathieu-Nicot, Michel Prévot. Note sur les classes de similitude. [Rapport de recherche] Institut de mathématiques économiques ( IME). 1985, 8 p., bibliographie. �hal-01542796�

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EQUIPE DE RECHERCHE ASSOCIEE AU C.N.R.S.

DOCUMENT DE TRAVAIL

INSTITUT DE MATHEMATIQUES ECONOMIQUES

UNIVERSITE DE DIJON

FACULTE DE SCIENCE ECON OMIQUE ET DE GESTION 4, BOULEVARD GABRIEL - 21000 DIJON

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N° 72

Note sur les classes de similitude Bernadette Mathieu-Nicot

et Michel Prévôt

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- 1

-Note sur les classes de similitude. 1. Introduction

1.1. Il est souvent avancé que les pré-ordres flous ne sont pas tous réductibles, c'est-à-dire décomposables en classes de similitude. En d'autres termes, les relations de similitude ne seraient pas, en général, disjointes. ( V o i r , par exemple, Kaufmann [ 1, page 104] . Contrairement à un résultat bien connu en algèbre ordinaire, selon lequel toute

relation d'équivalence détermine une partition du référentiel, une rela tion de similitude (équivalence floue) déterminerait des sous-ensembles flous qui ne seraient pas nécessairement disjoints.

1.2. L'objet de cette Note est de démontrer que, sous certaines conditions, les pré-ordres flous sont réductibles.

des relations binaires floues fait appel aux opérateurs max-min. Elle utilise une propriété importante des pré-ordres flous (voir paragraphe

4.1.2.) qui a été initialement établie par Prévôt [ 2, page 47 J . Elle est exposée au paragraphe 4.2.4.2.

Enfin, quelques propriétés complémentaires des relations binaires floues sont présentées.

1.3. Notation. Les symboles soulignés représentent des concepts ordinaires et les symboles non soulignés des concepts de la théorie des sous-ensembles f l o u s .

2. Définitions.

2.1. Relation binaire floue sur un ensemble E .

où ^ ^ ( x »

y)

e$t la fonction caractéristique d'appartenance du couple (x, y) à la relation binaire floue R.

Cette démonstration est apportée dans le cas où la composition

2

Soit un référentiel (non flou) £ et le carré cartésien £ . 2

Une relation binaire floue, notée R, entre les éléments de £ est un

9

(5)

2

-Z . -Z . Relation binaire floue réciproque.

Etant donné une relation binaire floue R définie sur E2 , il

-1

2

existe une relation réciproque (ou duale), notée R , définie sur £ , telle que :

tf(x, y) e

E2 , R -1 (x.

y)

R U, y) o

P R-1 (y, x) = p R (x, y).

2.3.o-Composition des relations binaires floues.

?

Etant donné deux relations binaires floues sur JE , notées R et S, la relation o-composée de R et S, notée S o R, est une relation floue

2

définie sur £ telle que :

V U , z) e E2 , (S o R) (x, z ) et 3 y e E tel que : R ( x , y) et S(y, z ) .

La fonction d'appartenance correspondante est : M (S o r) z) = max (*»

y)

A h s ( y , z) ]

Remarque : Si L. = |o, ij , il suffit d'utiliser le produit matriciel booléen pour obtenir la fonction d'appartenance de la relation composée non floue.

3. Relations particulières. 3.1. Relation identité.

3.1.1. Définition. La relation identité, notée A, est une relation binaire

2

floue, définie sur Z , telle que :

A =

j

(x ,y),

juA i

(x, y) e £ 2 , m a

(

x

,

x) = 1,

**A (x,y) = 0, x

f

yj

On a évidemment : A = A

“-*-3.1.2. Proposition : R o A = A o R = R

Démonstration : M R q ^ (x, z) = max [ ;uR U , y ) Aju^y, z) ]

Si y = z : P A U , z) = 1 ; ^ Rq A (x , z) = p R (x, z)

(6)

3

-La définition de l'identité de deux sous-ensembles flous est vérifiée. 3.2. Relation réflexive.

3.2.1. Définition. Une relation R définie sur E2 est réflexive si et seule ment s i ,

V

x e £ , ju n U .x) = 1. 3.2.2. Propriétés : 3 . 2 . 2 . 1 . A ç r. 2 Démonstration : V(x, x) e je , M a ( x , x ) = J“R (x, x) = 1 V U , y) e E2 , x f

y,

M A Ix, y) = 0 < Ji R (x, y)

2

V(x, y) e E , U , y ) < *<R tx, y)

Il suffit d'appliquer la définition de l'inclusion. 3.2 .2.2. R réflexive =» R C R o R Démonstration : A ç R (3.2.2.1.) R o A ç R o R Or, R o A = R ( 3.1.2.) D'où il vient : R ç R o R. 3.3. Relation transitive

2

3.3.1. Définition. Une relation R définie sur £ est transitive si et

seu-O

lement si, V ( x , y, z) e £ ,

R( x, y) et R( y, z) => R (x, z)

2 ?

3.3.2. Propriété : Soit R une relation transitive sur ,

V

(x, z)e E1 , ] y e £ tel que R (x, y) et R [ y, z) => R (x, z)

R o R C R

D'après la définition de la o - composition des relations, il vient immédiatement :

2

(7)

4

-3.4. Relation symétrique.

1

3.4.1. Définition : Une relation R définie sur £ est symétrique si et

2 seulement si, V U , y ) e £ ,

m

r(x > y) = ^

r

^ » *)•

3.4.2. Propriété : Une relation R est symétrique si et seulement si R = R"*, puisque m r (x, y) = ju R -1 (y,x) et la définition (2.2.) est vérifiée.

3.5. Relation antisymétrique.

2

3.5.1. Définition : Une relation R définie sur JE est antisymetrique si et seulement si,

V

(x, y) e£^,

R ( x , y) et R (y, x) => x = y 3.5.2. Propriété : V U , y) e £ 2 >

R(x, y) et R (y, x) =* x = y

R ( x , y) et R-1 (x, y) =► x = y =* (x, y) e A

D'où il suit : A ç R n r"^

4. Structures des relations binaires f l o u e s . 4.1. Relation de pré-ordre f l o u .

2

4.1.1. Définition. Une relation binaire floue R sur £ est une relation de pré-ordre flou si seulement si elle est réflexive et transitive.

V x e E, v R (x, x) = 1 V (x , y, z) e JE , max [ ju R lx. y) A R (y» z) ] < u R (x, z) 4.1.2. Propriété : R réflexive =*• R Ç R o R (3.2.2.2.) R transitive =* R o R £ R (3.3.2) Par

conséquent,

R

o

R = R et n R (x, z) = max [ V R (x, y ) a M r (y, z) ] 4.2. Relation de similitude.

2

4.2.1. Définition : Une relation binaire floue R sur £ est une relation de similitude si et seulement si R est un pré-ordre symétrique.

4.2.2. Propriété : On a immédiatement, en utilisant 3.2.2.1. et 3.4.k!. : A ç r o R = R = R"1

(8)

5

-4.2.3. Proposition : Etant donné une relation de similitude R définie sur

2

E_ , R peut être décomposée sous la forme : R = m a x t ^ A R ] , a e L, où R

oi a et

est le sous-ensemble ordinaire de niveau a :

- a = ( ^ X ’ ’ ^X ’ 6 - 2 ’ ^ R ^x ’ > ] Alors, IR est une relation d'équivalence. De plus, on a :

°

tl'>CtZ

^ — a l C —

a 2

Démonstration : Il faut d'abord démontrer que R a est une relation d'équi valence. Cette relation est :

- réflexive : V x e £, m r (x, x) = 1 > oc

Par définition, (x, x) e et est réflexive.

- symétrique : V ( x , y ) e

R a

U ,

y) > a

(y» x) >

a(d'après

4.2.1.)

et

[y,

x)

e R .

K OC

- transitive :

V

(x, y) e R = ^ m d (x »

y) >

a

0i K

V (y, Z) e R a R (y, Z) > <X

Par la propriété 4.1.2., ¿»R (x, z) = max [¿u (x, y) a ^ r (y, z) |

d'où il vient : M D (x, z) ^ a = » U , z) e R

K — OL

Ainsi, R est une relation d'équivalence.

-a.

De plus, si a 1 > « 2 , V (x, y) e R a , ju (x, y) >

1 - “ i

■* Mo

U > y)

> «

, e t (x, y)

€ R .

" “ I 2

Remarque : D'après le théorème 4.2.3. R ^ constitue une famille d'ensembles emboîtés les uns dans les autres, cela conduit tout naturellement soit dans le cas discret à définir une hiérarchie sur le référentiel £

soit dans le cas continu à définir un homéomorphisme entre £ et R.

4.2.4. Hiérarchie sur E .

4.2.4.1. Définition : Soit £ un ensemble fini à n éléments, une ^artiti^n de £ est un ensemble de parties de £ disjointes deux à deux, dont la réunion est E.

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6

-Ces parties sont nommées classes de la partition.

Construire une classification sur l'ensemble £ équivaut à définir une partition de cet ensemble.

Il est facile de voir qu'à toute partition est associée une relation d'équivalence P et réciproquement. L'ensemble des classes est

l ’ensemble quotient E/P en notant P la relation"x appartient à la même classe que y."

Si P(E) est l'ensemble des partitions de £, on dit qu'une partition P est plus fine qu'une partition P' si x P y =* x P' y.

Cette relation permet de définir un ordre partiel sur P(E) que 1'on note P < P' .

PQE) a alors une structure de treillis.

4.2.4.2. Chaîne de partitions

Le plus petit élément de P(E) est la partition discrète dont chaque classe ne contient qu'un élément de E. Son plus grand élément ne comporte qu'une classe E.

On construit souvent pour définir une classification une suite de partitions emboîtées les unes dans les autres et qui découpent £ de façon plus ou moins fine ; cette pratique amène à définir des chaînes

Une chaîne du treillis P(E) est un sous-ensemble totalement ordonné de P ( E ) .

C = ( pr ..pk )

avec Px < P2 ... < Pk p . e P(E)

Ainsi d'après le théorème 4.2.3., il est possible de définir une chaîne sur P(E) puisque les R_ sont des sous-ensembles emboîtés, il est possible cependant de préciser cette notion.

4.2.4.3. Ultramétrique associée à R^a

2 +

Une application S de £ dans R est une métrique si S(x, y) = S(y, x)

S ( x , y) = 0 x = y

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-S est une ultramétrique si elle vérifie de plus S(x, z) < max [ S (x, y ) , S (y, z) ]

Considérons la chaîne C = ( Pq, P ^ ,...,P ^ ) où Pq est la parti tion discrète, P^ la partition définie par et P.. la partition définie par u ^ , les a étant rangés par valeurs décroissantes, par le théorème 4.2.3. nous obtenons une famille d'ensembles emboîtés donc une chaîne sur P ( E ) .

Munissons E^ de la fonction 6

( x , y ) --- ^ 5 (x,y) est le plus petit i tel que x P. y S est une ultramétrique

S U , y) = S (y, x) S(x, y) = 0 <*■ x = y

S U . z) < max [ S U . y ) . S(y, z) ] en effet S(x, y) = i et S(y, z)=j cela veut dire que s, y, z se retrouvent dans la même classe dans la par tition P^ avec k = max (i, j) donc S(x, z) < k.

4.2.5.

Cas continu : il suffit d'utiliser le théorème

4.2.3.

4.3.

Relation d'ordre fl ou .

2

4.3.1.

Définition : Une relation binaire floue R sur £ est une relation

d'ordre flou si et seulement si R est un pré-ordre antisymétrique.

4.3.2.

Propriété : Une relation d'ordre flou induit un pré-ordre flou sur

le référentiel :

x

< y o i i R

U, y) < / ^ y . x)

Démonstration : La relation R est :

- réflexive :

V

x

e

£, m rU , x) < m r(x , x) =► x < x

- transitive : x < y => juR VX, y) < x ) y < z -* M R (y, z) < //R (z, y) ¿tR (x, y) A M R (y. z) < juR (y, x) a jir(z, y)

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Références

[ 1 ] KAUFMANN (A.) : Introduction à la théorie des sous-ensembles flo us . Tome 1, Paris, Masson et Cie, 1973.

[ 2 ] PREVOT (M.) : Sous-ensembles flous. Une approche théorique. Dijon, Librairie de l'Université, 197/.