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Correction du sujet de mathématiques de l’épreuve E4 du Bac Pro métropole 2012 Exercice 1
PARTIE A 1°)
Réseau
Age (ans) Facebook Twitter My Space Autres Total
Moins de 18 115 77 20 8 220
[18 ; 25[ 148 273 14 15 450
[25 ; 40[ 107 60 66 97 330
Total 370 410 100 120 1000
2°)
a) Le réseau social le plus utilisé est Twitter (410 internautes).
b) 410/1000 = 0,41 ; donc le pourcentage des internautes qui utilisent Twitter est égal à 41%. c) 273/450 = 0,6067 ; Environ 61% des internautes âgés de 18 à moins de 25 ans préfèrent
d) 330/1000 = 0,33 ; donc le pourcentage des internautes âgés de 25 à moins de 40 ans est égal à 33%.
e) 115/1000 ; donc le pourcentage des internautes âgés de moins de 18 ans et utilisateurs de Facebook est égal à 11,5%, soit environ 12%.
PARTIE B
Question 1 220 internautes sur 1000 ont moins de 18
ans Réponse : 0,22
Question 2 410 internautes sur 1000 utilisent Twitter Réponse : 0,41 Question 3 Parmi les 100 utilisateurs de my Space,
14 sont âgés de 18 à moins de 25 ans Réponse : 0,14 Question 4 Parmi les 450 internautes âgés de 18 à
moins de 25 ans, 273 utilisent Twitter Réponse : 0,61
PARTIE C 1°) Age (ans) [9 ; 16[ [16 ; 18[ [18 ; 25[ [25 ; 30[ [30 ; 40[ Total Effectif ni 80 148 270 110 92 700 Centre xi 12,5 17 21,5 27,5 35
2°) 15566/700 = 22,24 donc la moyenne d’âge x des 700 utilisateurs de Twitter est environ égale à 22,2 ans.
3°) L’écart-type
σ
des âges des 700 utilisateurs de Twitter est environ égal à 6,5 ans. 4°) x –σ
= 22 – 7 = 15 et x +σ
= 22+ 7 = 29- 2 -
Au vu de la courbe des fréquences cumulées croissantes de l’annexe D, environ 10% des internautes ont moins de 15 ans et 84% ont au plus 29 ans.
Il en résulte qu’environ 74% des utilisateurs de Twitter sont âgés de 15 à 29 ans.
Remarque : Ce pourcentage, déterminé par lecture graphique et calcul, est très proche de 75%. Aussi en l’absence d’un quadrillage adéquat en arrière plan de la courbe, on ne peut pas répondre avec certitude qu’il y a au moins 75% des utilisateurs de Twitter qui sont âgés de 15 à 30 ans.
Exercice 2
1°) f(3) = 144 ln(3) + 81 ; f(3) = 239,2 ; le nombre de personnes contaminées après 3 jours d’épidémie est égal à 239 par défaut.
2°) Pour tout x de [ 1 ; 30 ], f ’ (x) = 144 / x.
3°) Pour tout réel x de [ 1 ; 30 ], x > 0 d’où 144 / x > 0 et donc f ’ (x) > 0.
4°) D’après la question 3, f ’ est positive sur [ 1 ; 30 ], donc f est croissante sur [ 1 ; 30 ]. 5°)
Annexe E
x 1 5 10 15 20 25 30
f (x) 81 312 412 470 512 544 570
Valeurs approchées de f (x) à l’unité près par défaut : 81 est la valeur exacte de f (1). 6°) f ’ (20) = 144 / 20 = 7,2.
7°) f ’ (20) = 7,2 est le coefficient directeur de la tangente (T). Donc une équation réduite de (T) est de la forme : y = 7,2 x + b
Cette tangente (T) passe par le point (20 ; f (20) ) ; f (20) = 144 ln(20) + 81
d’où 144 ln(20) + 81 = (7,2 x 20) + b ; b = 144 ln(20) + 81 – (7,2 x 20) ; b = 368,4 Equation réduite de (T) : y = 7 x + 368 (les coefficients sont donnés à l’unité près) 8°) a) Tracé de (T) d’équation y = 7 x + 370 à partir de deux points :
par exemple (0 ; 370) et (30 ; 580)
b) En l‘absence d’un quadrillage d’arrière plan adéquat, la lecture graphique ne peut être qu’approximative.
L’antécédent par f de 550 est environ 26,5.
On peut indiquer, qu’au bout d’environ 26,5 jours d’épidémie, il y aura 550 personnes contaminées. c) Les points d’ordonnée 550 de la tangente (T) et de la courbe représentative de f sont assez
proches, on peut donc utiliser l’équation réduite de la tangente (T),
y = 7 x + 370, pour déterminer approximativement le temps au bout duquel il y aura 550
personnes contaminées.
La fonction f est définie sur [ 1 ; 30 ].
50 n’appartient pas à cet intervalle, le calcul de f (50) n’est donc pas à effectuer. 9°) a) et b) : bonus.
