Formalisations imprécises de la distance cognitive

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Formalisations imprécises de la distance cognitive

Isabelle Derognat, Catherine Maurice-Baumont

To cite this version:

Isabelle Derognat, Catherine Maurice-Baumont. Formalisations imprécises de la distance cognitive. [Rapport de recherche] Institut de mathématiques économiques (IME). 1992, 27 p., Graph, ref. bib. : 1 p. �hal-01542096�

INSTITUT DE MATHEMATIQUES ECONOMIQUES

DOCUMENT de TRAVAIL

UNIVERSITE DE BOURGOGNE

FACULTE DE SCIENCE ECONOMIQUE ET DE GESTION

4, boulevard Gabriel -21000 DIJON - Tél. 80395430 -Fax 80395648

9202

FORMALISATIONS IMPRECISES

DE LA DISTANCE COGNITIVE

Isabelle DEROGNAT * Catherine MAURICE-BAUMONT **

* Université de BOURGOGNE, I.M.E. ** E.N.S.S.A.A. Dijon

Cet article a fait l ’objet d ’une communication à la Table-Ronde de l ’A.S.R.D. L. F. "Les concepts en Analyse Spatiale", réunie à Chamonix les 6-7-8 janvier 1992.

Ré s u m é

A chaque étape d ’apprentissage de son environnement spatial, l’agent dispose d ’une information de plus en plus fine et élaborée. Dans cet article, on décrit un processus d ’apprentissage spatial, en trois étapes, construit à partir de trois formalisations imprécises de la distance cognitive rapportées à trois types d ’informations : (1) une expression linguistique de la distance relative exprimée en termes de

proche et/ou d'éloigné, (2) une expression linguistique de la distance

absolue exprimée en termes de court, long et leurs nuances et enfin (3) une expression numérique de cette distance absolue. Dans une dernière partie, on propose une méthode de correspondance précise entre les évaluations linguistiques et numériques des jugements de distances absolues portés par l’agent.

Ab s t r a c t

Spatial training process allows more and more precise informations to be collected and memorized. The aim of this article is to describe a three steps training process based on three fuzzy formalizations of cognitive distance associated to three different types of informations : (1) expression of a linguistic relative distance based on fuzzy relation of closeness or/and remoteness, (2) expression of a linguistic absolute distance expressed by primary linguistic terms like short or long and (3) expression of a fuzzy metric absolute distance. A fourth part is devoted to expression of precise correspondance rule between linguistic and metric opinions described below.

Mots clés : distance absolue, distance relative, information, variable linguistique, sous-ensemble flou.

1. DE L ’ INTERET DE LA MATHEMATIQUE DU FLOU DANS LA FORMALISATION DES ESPACES DECISIONNELS SUBJECTIFS

Formaliser les espaces décisionnels subjectifs revient à conférer une expression analytique à la distance conçue mentalement par un agent entre deux lieux (DEROGNAT, 1990). Cette distance, alternativement nommée distance subjective, mentale ou cognitive, résume 1*information que tout décideur a collectée, codée et mémorisée sur son environnement, et dont il dispose en vue de prendre ses décisions d ’interaction ou de localisation.

Certains auteurs (parmi d ’autres : ROUGET, 1975 ; FUSTIER, 1979 ; LEUNG, 1982 ; MAURICE-BAUMONT, 1990) font suivre immédiatement le qualificatif subjectif du qualificatif imprécis et avancent deux arguments en faveur de la nature imprécise de la connaissance de l’espace, spécifique à un agent.

■ Le caractère composite et non précisément évaluable de l ’information spatiale mémorisée l’espace cognitif est le résultat complexe d ’influences plus ou moins bien connues, pouvant faire l ’objet de mesures plus ou moins précises ; ROUGET (1975, p 328) rappelle ainsi que la distance conçue mentalement par un individu "intègre, outre la distance physique, le coût ou le temps de déplacement, des éléments tels que l’agrément d ’un parcours, sa fréquentation, l’inconfort du mode de déplacement ou les masses des points de départ et d ’arrivée". Parmi ces composantes, certaines sont difficiles à mesurer avec précision car de nature qualitative ; c ’est donc plus une recherche de l’ordre de grandeur des informations mémorisées qui doit être entreprise ; à cet égard, la notion de distance floue est censée pouvoir intégrer ces multiples composantes "sans q u ’il soit besoin pour autant de les agréger au sein d ’une formule unicritère et précise" (FUSTIER, 1979, p 560).

■ Le filtrage des informations spatiales collectées et mémorisées :

"l’essentiel des informations dont nous disposons sont imprécises, dès lors q u ’elles doivent être formulées ou interprétées dans un langage particulier" (MAURICE-BAUMONT, 1990, p 109) ; aussi, ROUGET (p 291) souligne que "le traitement du flou des systèmes humains est adapté à la description d ’une facette très importante de la pensée humaine à savoir l’activité de filtrage des informations par l’individu qui extrait, dans un vaste ensemble de stimuli, les éléments utiles à son action". Le processus de sélection des informations spatiales s ’effectue en trois étapes :

□ 1*activité exploratrice a pour objectif de rechercher les sources d ’informations de l’environnement auxquelles l’individu va réagir au travers de ses sens ;

□ l ’attention perceptive permet, une fois choisie la source d ’infor­ mation, de sélectionner les stimuli et certaines de leurs propriétés qui domineront son action future dans l’espace ;

□ enfin, l’individu regroupe les stimuli retenus dans des classes d ’équivalence portant chacune sur une propriété spécifique.

Or, les limites attribuées aux classes d ’équivalence sont par nature floues : en d ’autres termes, l’appartenance d ’un stimulus à une classe est imprécise, car l’activité de filtrage s ’accompagne "d’un codage approprié des informations, généralement subjectif, c ’est-à- dire d ’une transcription, le plus souvent sous forme résumée, et dont l ’expression la plus naturelle est le langage" (ROUGET, p 291). De ces deux constats, il découle que la Mathématique du flou peut, mieux que tout autre outil, aider à la formalisation de l ’espace décisionnel subjectif d ’un agent et de sa distance-associée.

Par ailleurs, les théories développementalistes de la connaissance spatiale (PIAGET et INHELDER, 1948 ; GOLLEDGE, 1987) suggèrent l’existence d ’un effet d ’apprentissage, qui permet à tout décideur d ’accumuler une somme d ’informations de plus en plus fines et

élaborées sur son environnement, grâce à une interaction permanente

entre sa connaissance et son comportement dans l’espace.

■ Dans les premiers stades de développement des espaces cognitifs, les lieux identifiés sont mémorisés à l’aide de relations égocentrées, séquentielles et topologiques, c ’est-à-dire en termes de voisinage, de séparation, d ’ordre et de limite : le décideur localise mentalement ces lieux reconnus par rapport à lui-même (PIAGET et INHELDER) ou en référence à certains "points d ’ancrage " (GOLLEDGE) servant de cadre à ses activités quotidiennes (domicile, lieu de travail, principaux centres d ’approvisionnement en biens et services). En conséquence, les positions relatives des lieux sont appréciées subjectivement en termes de distances relatives (voir Lexique) entre points.

■ Dans les stades ultérieurs, l’individu organise l’environnement en groupes d ’éléments mis en rapport directement entre eux et non plus selon son seul point de vue : les éléments à l’intérieur des groupes sont d ’abord reliés, puis des liaisons entre les groupes sont établies. Les ¡positions relatives des lieux sont appréciées

subjectivement en termes de distances absolues (voir Lexique) entre points ou ensembles.

Ainsi, au cours du processus d ’apprentissage de l ’espace, les informations sont mémorisées qualitativement puis quantitativement, l’expression quantitative des rapports spatiaux nécessitant une meilleure compréhension de l’organisation de l’environnement q u ’une expression en termes qualitatifs. Le formalisme utilisé doit donc être suffisamment souple pour rendre compte de la multiplicité des représentations. La Mathématique du flou répond à cette exigence, car elle permet de représenter un concept sous forme linguistique et numérique, et autorise le passage d ’une forme à l’autre.

L ’objectif de cet exposé est d ’apporter différentes illustrations de l ’expression floue de la distance cognitive et de les rapporter à trois étapes du processus d ’apprentissage spatial, décrivant le passage d ’une information pauvre à une information plus élaborée. On retiendra ici la définition d ’une information proposée par DUBOIS et PRADE (1985, p 4) :

INFORMATION = (ATTRIBUT, OBJET, VALEUR, CONFIANCE)

■ Au premier niveau d ’information correspond une appréciation linguis­

tique des distances relatives. L ’imprécision porte sur l ’élément VALEUR du quadruplet.

■ Le deuxième et le troisième niveau se caractérisent respectivement par une évaluation linguistique et métrique de la distance absolue. L ’imprécision porte alors sur l’élément CONFIANCE.

Au cours de cette présentation, nous exposerons et critiquerons les formalisations imprécises existantes de la distance cognitive. L ’accent sera mis sur les possibilités de traitement des estimations

de distances obtenues par voie d ’enquête.

2.APPRECIATION LINGUISTIQUE DE LA DISTANCE RELATIVE

Les informations mémorisées par un agent confronté à un nouvel environnement n ’expriment que de simples relations de proximité ou

d ’éloignement entre les lieux q u ’il reconnaît.

Soit S l’ensemble des éléments localisés identifiés par l ’individu considéré : il s ’agit aussi bien des lieux-extrémités ou arrêts pouvant servir d ’origines ou de destinations à ses déplacements que des lieux intermédiaires ou repères utiles à son orientation.

décrite comme-suit.

□ L ’objet est un couple d ’éléments localisés : ( s ^ s ) € SxS.

□ L ’attribut est la distance relative appréciée par deux termes linguistiques primaires : proche et éloigné.

□ La valeur de l’attribut est imprécise. □ L*information est certaine.

Il existe plusieurs façons de traduire l’imprécision de l ’élément VALEUR.

s En langage commun, l’individu exprime cette information par

□s j est très proche de s.,

(proximité ; (s.,s^) ; très ; certain)

□ s^ est peu éloigné de s^

(éloignement ; (s^s^) ; peu ; certain)

■ Par voie d ’enquête, l’information pourrait être obtenue sous la forme suivante ; sur une échelle de 0 à 1,

□ le degré de proximité entre s^ et s^ est de 0 , 9 :

(proximité ; (s^s^) ; 0 ,9 ; certain)

□ le degré d* éloignement entre s^ et s^ est de 0 , 2 :

(éloignement ; (s.,s^) ; 0,2 ; certain)

Plus généralement, l ’imprécision de l’élément VALEUR est décrite par deux relations floues d ’éloignement et de proximité.

2.1.RELATION FLOUE D ’ELOIGNEMENT

Pour caractériser la notion de distance relative conçue mentalement par un agent, ROUGET (1975) définit une relation de distanciation ou d ’éloignement imprécise.

Définition : La relation d ’éloignement imprécise E propre à l ’individu considéré est toute relation binaire floue de SxS, prenant ses valeurs dans l ’intervalle [ 0 ,1 ] . Soit :

M r . ( s .. s )

(s.,s ) --- 1 --- > [0,1]

i

j

Cette relation est telle que

£ ( s ^ s J signifie que s. est distant de s^,

le degré d ’appartenance fi„(s , s ) du couple (s ,s.) à la relation

L i j i j

1) La fonction d ’appartenance jz est discrète.

b

Les degrés d ’éloignement entre trois éléments s. sont donnés sous forme matricielle :

s et s de S j k À = éloigné = S i sj sk s i 0 0,2 0,8 s j 0,3 0 0,7 S k 0,8 0,6 0

2) La fonction d ’appartenance ¡i est continue. Les degrés d ’

éloigne-b

ment sont donnés graphiquement par la fonction croissante sui­ vante :

GRAPHIQUE 1

Le seuil b est la distance relative à partir de laquelle l’éloignement entre deux lieux est maximum pour l ’agent ; au-delà de ce seuil, le coût perçu de l’effort marginal de déplacement est nul.

La forme de la fonction d ’appartenance traduit la linéarité ou la non-linéarité de l’espace cognitif de l’individu.

□ Si la fonction est linéaire, la force de distanciation croît proportionnellement avec 1’éloignement perçu entre deux lieux jusqu’au seuil b.

*Sur l ’axe des abscisses, sont reportés les éloignements perçus entre un élement localisé et un lieu de référence : dans le cas présent, il s ’agit du lieu s^.

Sur l ’axe des ordonnés, sont reportés les degrés d ’éloignement correspondants.

□ Si la fonction est concave (convexe), la force de distanciation croît à taux décroissant (croissant) avec 1’ éloignement perçu : l ’espace objectif est alors déformé par l’agent.

La relation d ’éloignement imprécise E est qualifiée par ROUGET de métrique floue si et seulement si elle vérifie les axiomes suivants :

□ Anti-réflexivité : V (s ,s ) € SxS, u_( s , s ) = 0 s = s i j H ? i j i j □ Axiome de symétrie : V ( s , s ) e SxS, JLX ( s.,s ) = ji (s.,s ) 1 j £L 1 J £ J 1

□ Forme générale de l ’axiome d ’inégalité triangulaire : V ( s , s ) , ( s , s ) , ( s , s ) € SxS

i j i k k j

"

e

' V V *

* “

e

' V V

où l’opérateur * est l’opérateur considéré sur les distances rela­ tives : il peut correspondre à l’intersection (* = MIN), à l ’union

(* = MAX), au produit algébrique (* = x) ou à la somme algébrique

(* = +).

Dès lors, le couple (S,£) est un espace métrique flou, décrivant l’espace cognitif de l’agent considéré.

Exemple 2 :

Soient s^, s^ et s^ trois éléments de S. Si l’opérateur * est la somme algébrique + , la relation d ’éloignement E

1) est une métrique floue :

S i sj sk s i 0 0,1 0,4 S j 0,1 0 0,5 s k 0,4 0,5 0

2) est une semi-métrique floue :

éloigné = S i sj sk s i 0 0,1 0,4 S j 0,1 0 0,6 s k 0,4 0,6 0

Cependant, l’information contenue dans le concept de distance relative n ’est pas simplement traduite par le terme éloigné dans le langage commun : le terme proche est tout aussi révélateur et est alternativement utilisé. Ainsi, lorsque deux lieux reconnus sont quasiment confondus, 1’information est plus naturellement exprimée en terme de proximité q u ’en terme d ’éloignement.

2.2.RELATION FLOUE DE PROXIMITE

On peut alors définir la relation de proximité imprécise suivante.

Définition : La relation de proximité imprécise P propre à l ’individu

considéré est toute relation binaire floue de SxS, prenant ses valeurs dans l’intervalle [0,1]. Soit :

-> [0, 1]

<S. , Sj>

-Cette relation est telle que

Pis ^s^) signifie que s^ est voisin de s^,

le degré d ’appartenance s .,s^) du couple (s^s^) à la relation floue P exprimant le degré de proximité de s. et s^ pour l’agent.

Exemple 3 :

1) La fonction d ’appartenance ¡1^ est discrète. Les degrés de proximité

entre les trois éléments s , s et s de S sont les suivants : i j k B = proche = S i S_j sk s i 1 0,7 0,1 S j 0,8 1 0,2 s k 0,1 0,4 1

2) La fonction d ’appartenance est continue. Les degrés de proximité sont donnés graphiquement par la fonction décroissante ci-après.

GRAPHIQUE 22

1

0

■ Le seuil a est la distance relative à partir de laquelle la proximité entre deux lieux est minimale pour ' 1 ’ individu ; par analogie avec b, au-delà de ce seuil, le coût perçu de l ’effort marginal de déplacement est nul.

■ La forme de la fonction d ’appartenance précise là-aussi le caractère linéaire ou non de l’espace cognitif de l’agent.

Confronté à un nouvel environnement, il va alors exprimer les distances relatives mémorisées à partir des deux termes proche et

éloigné . Ceci suppose l’agrégation des deux types d ’informations imprécises données et donc des deux relations floues présentées.

2. 3. AGREGATION DES RELATIONS FLOUES DE PROXIMITE ET D* ELOIGNEMENT

La relation floue G telle que

Dans une logique basée sur la théorie classique des ensembles, la

un élement localisé et un lieu de référence : dans le cas présent, il s ’agit du lieu s..

Sur l ’axe des ordonnés, sont reportés les degrés de proximité correspondants.

G ( s #,s.) signifie que s. est proche et/ou éloigné de s. est l’union des relations P et E :

[1]

L f l j 1 x 1 J L 1 j

2.

sous-ensembles flous rend cette proposition cohérente. Ainsi, la relation imprécise de proximité et/ou d*éloignement G signifie

■ que l’agent transcrit les distances relatives en terme de proximité jusqu’à un certain seuil, puis ensuite les apprécie en terme d ’éloignement, et

■ que le cas où "s. est proche et éloigné de s^" est concevable avec un poids très faible.

Exemple 4 :

1) La fonction d*appartenance ¡i est discrète. A partir des matrices A

G

et B, on obtient les degrés de proximité et/ou d ’éloignement suivants :

C = proche et/ou éloigné =

s i Sj Sk S i o,j 0,8 S j o,§ h 0,7 s k 0 , 8 0 , 6

Remarque : Les degrés d ’appartenance ¡jl déduits de la relation de Cr

proximité P sont repérés par le symbole *.

2) La fonction d ’appartenance |\in est continue. Les degrés de proximité

C

et/ou d'éloignement sont donnés graphiquement par l ’enveloppe supérieure de l’union des courbes des graphiques 1 et 2.

GRAPHIQUE 3

Au seuil c, l’agent utilise indifféremment les termes proche et

éloigné pour traduire le concept de distance relative. Ce seuil,

tel que /j, (s., s.) = >S J> correspond

i i j h, i j

les informations sont appréciées par la relation floue de proximité, et

□ d ’autre part à la distance relative minimale au-delà de laquelle les informations sont appréciées par la relation floue d ’éloignement.

3. EVALUATION LINGUISTIQUE ET METRIQUE DE LA DISTANCE ABSOLUE

Ayant fait l ’apprentissage de son environnement, 1’individu considéré devient alors apte à évaluer la séparation entre deux éléments

localisés reconnus et mis en rapport directement entre eux.

■ Dans un premier temps, les informations ainsi relevées contribuent à la construction d ’une représentation mehtale de l’espace de nature conceptuelle et propositionnelle, comme le suggèrent les travaux menés par PYLYSHYN (cité dans BOURNE, DOMINOWSKI et LOFTUS, 1979) en psychologie cognitive. L ’agent ne dispose que de simples descriptions verbales de l’environnement : il évalue la distance absolue entre deux lieux sous forme linguistique.

■ Dans un second temps, sa représentation mentale de l’espace devient imagée et prend la forme d ’une carte, bidimensionnelle et continue (KOSSLYN, 1975). Son évaluation de la distance absolue entre deux lieux est alors métrique.

Aussi, l ’information mémorisée au cours de cette deuxième et troisième étapes du processus d ’apprentissage peut être décrite par le quadruplet suivant.

□ L ’objet est un couple d ’éléments localisés : (s,,st) 6 SxS. □ L ’attribut est la séparation ou distance absolue estimée.

□ L ’attribut prend sa valeur tout d ’abord sur l’ensemble linguistique L, ordonné et non fini :

L = . . , très courte, . . . , courte, . . . , longue, . . . , très longue, . . . j-puis sur l ’ensemble des réels non négatifs, muni d ’une unité de longueur.

□ L ’information est imprécise : le jugement de distance porté par l ’individu n ’est pas fiable à 100%.

3.1. IMPRECISION DE L'ELEMENT "CONFIANCE"

En langage commun, cette information s ’exprime comme-suit. □ A première vue, la distance de s^ à s est courte :

a II y a environ 500 mètres de s a s :

1 J

(distance ; (s ,s ) ; 500 ; environ) i j

L'évaluation de la distance est apparemment précise. Cependant, il pèse une certaine indétermination sur ce jugement ; en effet, les informations spatiales sont mémorisées conditionnellement au contexte physique (nuit/jour, ensoleillement/temps pluvieux, ...) et à l ’état psychologique de l’agent (motivations, ...), au moment exact où elles ont été collectées. Ainsi, lorsqu’un individu déclare "à première vue,

la distance de mon domicile à ce restaurant est courte", cela signifie

que dans certaines situations, la longueur du déplacement entre ces deux points est a-priori courte pour lui, alors que dans d ’autres, des facteurs non contrôlables viendront modifier son jugement.

Par voie d ’enquête, l ’information pourrait être obtenue sous la forme suivante ; sur une échelle de 0 à 1,

□ la distance de s à s est courte avec une fiabilité de 0,8 : i j

(distance ; (s ,s ) ; courte ; 0,8) i j

□ il y a 500 mètres de s à s avec une fiabilité de 0,8 : i j

(distance ; (s^s^) ; 500 ; 0,8)

Ces degrés de fiabilité peuvent être obtenus à partir de la relation floue G de proximité et/ou d ’éloignement, en utilisant le principe d ’extension de ZADEH (1965).

3. 2. PRINCIPE D ’EXTENSION : DEFINITION

L ’évaluation de la distance absolue est linguistique.

■ Soit d une application-distance linguistique de SxS vers L : V (s^s.) € SxS , d(s.,s^) = i € L

■ A chaque terme linguistique l € L correspond un degré d ’appartenance |i^(£) au sous-ensemble flou F des éléments qui vérifient la proposition suivante : "lorsque j ’exprime un jugement de distance absolue par i, mon jugement est certain", s ’interprète comme le degré de fiabilité du jugement de distance linguistique i porté par

1’agent.

L ’évaluation de la distance absolue est métrique. ■ Soit D une application-distance de SxS dans IR+ :

A chaque terme numérique r e \R correspond un degré d'appartenance jUgj(r) au sous-ensemble flou ^ des éléments qui vérifient la proposition suivante : "lorsque j'exprime un jugement de distance absolue par r, mon jugement est certain", s'interprète comme le degré de fiabilité de l'estimation numérique r.

Selon le principe d'extension de ZADEH, les sous-ensembles flous F et

& sont dits induits respectivement par les applications-distance d et

D. Leurs fonctions d'appartenance sont données par :

[2]

= MAX [|ix ( s , s ) ]

r Lr i j

pour tous les couples (s ,s^) tels que l = d is^s.) = MAX [/Lt^(s.,s )]

pour tous les couples (s.,st) tels que r = DCs^s^)

Autrement dit, le degré d'appartenance jlx (£) (ou attribué à

r «r

chaque valeur i (ou r) est égal au plus grand degré d'appartenance

m

g (

D).

jlx (s ,s ) des antécédents (s ,s ) de £ (ou r) par l'application d (ou

G i j i j

3. 3. PRINCIPE D ’EXTENSION : INTERPRETATION Exemple 5 :

Retenons le cas où les fonctions d'appartenance n et n, sont discrètes. Soient s , s et s trois éléments localisés reconnus par

i' j k y

l'agent. Ce dernier évalue les distances entre ces trois points sous forme linguistique : d(s ,s ) = d(s ,s ) = d(s ,s ) = très court i i j j k k d(s , s ) = d(s , s ) = court i j j i d(s ,s ) = moyennement long k j d(s ,s ) = d(s ,s ) = d(s ,s ) = long i k j k k i

puis les estime numériquement (en mètres) : D (s it Si) = Dis^.Sj) = D(s , s ) k k D ( s t,s ) j = D(sj(sj) = 250 ü(s . k s )J = 500 Dis , sk) = D(s , s ) k i = 800 D ( s i( s k ) = 1000

D ’après l’expression [2] et la relation floue G de proximité et/ou d ’éloignement définie par la matrice C, les degrés de fiabilité des * jugements de distances ainsi portés sont les suivants.

Fiabilité des évaluations linguistiques

u„(très court) = MAX

F S'),n 1 Ur (s j j , S ),fi (s (a k k,s )] = 1

ll_F„(court) = MAX

'" c 'Y

[îpimoyennent long) = MAX

[“

(Y

Hp ( 1 ong ) = MAX [Mois,. = 0 , 8

Fiabilité des évaluations métriques

^ ( 0 ) = MAX S l)’t,G (Sj’S J)’,'G<V S«n = i ^ ( 2 5 0 ) _{= MAX [|Ig (Y} = 0,8 ^ ( 5 0 0 ) = MAX c F en K

V

1

■ 1) Les degrés de fiabilité des évaluations linguistiques portées en termes de court et de ses nuances (très, moyennement, peu, . . . ) sont obtenus à partir des degrés de proximité si :

jLtp ( s . , s . ) > /jlf (s ,s ) pour tout couple ( s . , s j t e l s que l = d ( s . , s )

r i j £ i j i j i j

Par analogie, ceux des jugements portés en termes de long et de ses nuances sont calculés à partir des degrés d ’éloignement si :

fi—(s , s ) > n (s ,s ) pour tout couple (s ,s ) tels que £ = d(s , s )

H (très co u r t ) = MAX [|i ( s , s ), n ( s s ) , f i D ( s , s )] = 1

r r i i r j j r p' v kk k

H p.(court ) = 0,8

(i (moyennent long) = MAX [ ( s ,s )]

r t k j = 0 , 6

HF (long)

Cette remarque s'applique tout autant aux évaluations métriques. En d'autres termes, lorsque l'agent désire évaluer une courte distance, il se réfère à la proximité de ses extrémités ; inversement, lorsqu'il souhaite caractériser linguistiquement ou numériquement une longue distance, il se réfère à 1'éloignement de ses extrémités. ■ 2) Ainsi, les courtes distances sont évaluées en comparaison à la

plus petite distance identifiée par l'individu dans l'environnement étudié, et les longues distances sont estimées en comparaison à la plus grande distance rencontrée. Il en découle que la fiabilité des jugements portés sur la plus petite et sur la plus grande distance reconnue par l'agent est élevée, voir maximum.

Quant aux jugements portés sur les distances intermédiaires, leur fiabilité est moins élevée ; celle-ci devient minimale dès lors que la distance à évaluer se rapproche du seuil c, c'est-à-dire dès lors que la distance relative conçue entre ses extrémités est appréciée indifféremment par 1'individu par les termes proche et éloigné.

On ne peut donc se contenter, comme le suggère ROUGET (1975), d'une simple relation floue d'éloignement pour déterminer, à l'aide du principe d'extension de ZADEH, les degrés de fiabilité des évaluations de distances absolues proposées par un agent ; car dans ce cas, les distances les plus longues sont fiables à 100% et les distances les plus courtes ont une fiabilité nulle : ce qui est

éloigné ne caractérise pas correctement ce qui est court, mais aide

à définir ce qui est long.

r Hpitrès court) = fi^(0) = 1

DISTANCE ABSOLUE

On peut désormais relier les informations obtenues au cours de la deuxième et la troisième étapes du processus d'apprentissage, en étudiant la correspondance entre les évaluations linguistiques et métriques de la distance absolue. Autrement dit, on peut tenter de répondre à la question suivante : une distance de 500 mètres est-elle

courte, moyennement courte, ..., ou longue pour l'agent ?

Deux approches sont possibles.

■ Soit l'on cherche à mesurer la compatibilité de tous les jugements de distances portés numériquement par 1'individu avec un terme linguistique donné l : 100, 200, 300, . . . , 1000 mètres peuvent être

qualifiés de court à des degrés divers par l'agent.

■ Soit l'on recherche précisément la correspondance linguistique de chaque évaluation métrique r proposée par l'individu.

4.1. COMPATIBILITE LINGUISTIQUE DES EVALUATIONS METRIQUES

La première approche est celle adoptée par LEUNG (1982) et fait appel à la linguistique floue. Pour l'auteur, la signification donnée par un agent à la longueur d'un parcours appréciée mentalement entre deux lieux est mieux à même d'expliquer son comportement de déplacement, que la longueur en elle-même. Aussi, il définit le concept de distance cognitive comme une variable linguistique imprécise, décrit par le quintuplet suivant :

d , T(d) , U , G , S

■ où T(d) est un ensemble non fini de termes linguistiques t pouvant caractériser la distance cognitive d, soit

T(d) = | court, très court, peu court, pas court, long, très l ong,

peu long, pas long, court et long, ni court ni long, long mais pas très long, extrêmement long,

■ où U est l'univers de discours, dont les éléments r sont des ju­ gements de distances portés numériquement par l'agent, soit U c IR+, ■ où G est la syntaxe, qui permet à l'individu de former de nouveaux

termes linguistiques à partir des deux termes primaires court et

long, selon des opérations usuelles, telles la complémentation pas,

1'intersection e t , l'union ou, la compression très, la dilatation

■ où S est la règle sémantique, qui à chaque terme linguistique t associe sa signification S(£) propre à l'agent considéré.

La signification S (t) est un sous-ensemble flou de U, tel que : S (t) =

{

où fXg(r) est le degré d'appartenance de l'évaluation métrique r à la signification S (£) ;

compatibilité de r avec le terme t pour l'individu.

autrement dit, fig(r) est le degré de

Exemple 6 : Soit un univers de discours composé de quatre jugements de

distances portés numériquement par un agent : U = {100,200,500,1000}. Pour ce dernier, la signification floue de court est telle que :

S (court) (100/1) ; (200/0,9) ; (500/0,7) ; (1000/0

où fig(200) = 0,9 signifie que 200 mètres est compatible à 90% avec la signification donnée à court par l'agent.

LEUNG décrit les significations floues des deux termes primaires de la façon suivante.

■ Sicourt) est définie, pour k > 0 et X > 0, par :

V r € U ,

jis (r) = EXP

si r s X si r > X

X est une distance-seuil en-deçà de laquelle une distance conçue

mentalement r est compatible à 100% avec la signification donnée à

co u r t .

S(long) est définie, pour k > 0 et <p > X, par :

V r € U ,

Hs (r) = 0

V

<p est une distance-seuil en-deça de laquelle une distance perçue

subjectivement r est totalement incompatible avec la signification donnée à long.

A partir de ces définitions et des opérations autorisées par la syntaxe G, on peut alors spécifier les significations floues de nouveaux termes linguistiques, pour des longueurs-seuil X et <p et un paramètre k propres à l'individu considéré. Par exemple :

Hs (r) = 0

V r € U , r 2

»i (r) = 1 - EXP -k si r > A ■ S(très long) est telle que :

jus (r) = 0

V r € U , «

1 - E X P |-k

I

r

I j

Pour des distances conçues mentalement ayant une forte appartenance à S [long)y la réduction du degré d'appartenance, suite à l'opération de compression (t) > 1), est faible, et inversement.

Par cette démarche, LEUNG qualifie les évaluations métriques de distances absolues par divers termes linguistiques et détermine leur compatibilité avec les significations données à chacun de ces termes par l'agent ; aussi, la correspondance linguistique de chaque jugement porté numériquement reste imprécise.

4.2. CORRESPONDANCE LINGUISTIQUE PRECISE DES EVALUATIONS METRIQUES

Cette imprécision peut être levée en faisant appel au principe de décomposition d'un sous-ensemble flou en une suite emboitée d'ensembles ordinaires : les a-coupures (KAUFMANN, 1973).

Reprenons les sous-ensembles flous F et et rappelons que F est défini de L dans [0,1] et F de IR+ dans [0,1]. Sachant que l'ensemble linguistique L et l'ensemble des réels non négatifs IR+ sont ordonnés, il est possible, en comparant les degrés de fiabilité des évaluations linguistiques des distances reconnues par l'agent aux degrés de fiabilité de leurs évaluations métriques, de déterminer la correspondance linguistique de chaque jugement de distance porté numér iquement.

Position du problème :

■ Soient £ , . . . , £ } l'ensemble ordonné des termes

lin-1 2 n N

guistiques utilisés par l’agent pour évaluer les distances conçues mentalement entre chaque couple de lieux de SxS,

Soient {r ,r r } l’ensemble ordonné des valeurs

numé-1 2 m M

riques utilisées pour estimer ces mêmes distances,

avec {r , r , . . . , r , . . . , r > c (R+ et r <r <. . . <r <. . . < r

1 2 m M 1 2 m M

Supposons que les degrés de fiabilité des évaluations linguistiques et métriques soient déterminés conditionnellement à la relation floue de proximité P, puis conditionnellement à la relation floue d ’éloignement E.

P P

□ Soient a et p les degrés de fiabilité respectivement du jugement

n m

linguistique l et de l’estimation numérique r , conditionnés par

n m

la relation de proximité imprécise P :

[3]

V n = l .... N a = MAX tu (s.,s.)]

n r 1 j

a € [0,1] pour tous les couples (s ,s ) tels que l = d(s ,s )

i j n i j

V m = l .... M , 3 = MAX [fiD (s.,s.)]

m r i j

pour tous les couples (s ,s ) tels que r = D(s ,s )

i j m i j

E E

□ Soient a et 0 les degrés de fiabilité respectivement du jugement

n m

linguistique l et de l’estimation numérique r , conditionnés par

n m

la relation d ’éloignement imprécise E :

[4]

V n = l .... N , a = MAX [fx_(s » s )] , a e [ 0 , l ]

n t, 1 j n

pour tous les couples (s ,s ) tels que i = d(s ,s )

i j n i j

V m = l .... M 3 = MAX [/iP (s ,s )]

m L i j

0 € [0,1]

pour tous les couples (s ,s ) tels que r = D(s ,s )

i j m i j

Principe de décomposition :

P +

m Soit ^ le sous-ensemble flou de IR tel que : \ ( r , 3? ) ; V m = l .... M \

I m m J

P

On appelle a-coupure de niveau n, du sous-ensemble flou ^

p

l ’ensemble ordinaire, noté C(<x ) et défini par :

n

C( ocP ) = l r € 1R+ / 3P i «P ; V m=l, . . . ,M

i

p p

Autrement dit, l'a -coupure de 3F est l'ensemble des évaluations

n

métriques r , V m=l,...,M, dont le degré de fiabilité conditionné

m P

par la relation floue de proximité P est au moins égal à a .

n

E +

Soit ¿F le sous-ensemble flou de (R tel que :

j

1

I m m I

£

On appelle a-coupure de niveau n, du sous-ensemble flou &

E

l'ensemble ordinaire, noté C(<x ) et défini par :

n

C(a£ ) = | r e R+ / p£ ï / ; V m=l.... M 1

n I m m n I

E

Autrement dit, C(a ) est l'ensemble des évaluations métriques r ,

n m

V m=l,...,M, dont le degré de fiabilité conditionné par la relation

E

floue d'éloignement E est au moins égal à a .

n

P E

On peut ainsi décomposer chacun des sous-ensembles flous ? et ? en une suite emboitée de N ensembles ordinaires.

□ Les degrés de fiabilité conditionnés par la relation de proximité imprécise sont tels que :

p ^ p ^ x p ^

a > a > . . . > a > . . . > a

1 2 n N

car, en regard aux degrés de proximité, les distances courtes sont plus fiables que les distances longues. On obtient donc la chaîne d'inclusions suivante :

C(ocP ) £ C(aP ) £ ... £ C(<xP ) £ ... £ C(aP )

1 2 n N

□ Quant aux degrés de fiabilité conditionnés par la relation d'éloi­ gnement imprécise, ils sont tels que :

E E E E

a < oc < . . . < a < . . . < a

1 2 n N

En regard aux degrés d'éloignement, les distances courtes sont moins fiables que les distances longues. La chaîne d'inclusions suivante peut donc être construite :

C(a£ ) £ ... £ C(a£ ) £ ... £ C(aE ) £ C(a£ )

N n 2 1

Détermination des correspondances linguistiques :

A chaque terme linguistique i , on associe les deux ensembles

P E n

ordinaires C(<x ) et C(a ). Leur intersection regroupe l'ensemble des

n n

□ dont le degré de fiabilité conditionné par la relation floue P est au moins égal à a e t

□dont le degré de fiabilité conditionné par la relation floue E est au moins égal à a , soit :

n

C(a ) r\ C(

n a ) = ■

_l

Deux cas peuvent alors se présenter.

P E

m C(a ) n C(a ) = 0 : le terme i ne qualifie aucun jugement r porté

n n n m

numériquement par l'agent.

P E

m C(a ) n C(a ) * 0 : le terme l est la correspondance linguistique

n n n

d'au moins une évaluation métrique r .

m

Exemple 7 : Reprenons l'exemple 5.

L'ensemble des termes linguistiques retenus par l'individu est :

l^=trè=très co urt , l -court, t =,moyennement long, i = long

2 3 4

}

L'ensemble des valeurs numériques (en mètres) utilisées pour estimer les distances est :

{ r r °

•

}

Déterminons les fiabilités des évaluations linguistiques métriques :

■ conditionnellement à la relation de proximité imprécise :

et = M A X t U p i s ^ s ^ . ^ i s , s ) , / i p ( s k , s k ) ] = 1 <x3 = M A X [ # i p ( s k > s j ) ] = 0,8 = 0 , 4 <x4 = M A X [fxp ( s i , s k ) , f i p ( s , s k ) , M p ( s k , s i ) ] = 0 , 2 FP = { { i ,</=l); U , / = 0 , 8 ) ; U , / = 0 , 4 ) ; U , / = 0 , 2 ) l 1 1 1 2 2 3 3 4 4 I

p u is c o n d it io n n e lle m e n t à l a r e l a t i o n d * é lo ig n e m e n t im p r é c is e : £ a i = MAX [jj£ ( s i , s i ) ,/ j £. ( s j , s j ) ,( i£ ( s k, s k)] = 0 a E = MAX [ji ( s , s ) , n ( s , s )] = 0 , 3 2 t, 1 j t, j 1 a E = MAX [fi ( s , s )] = 0 , 6 3 E k j

a £ = MAX [fif . ( s i , s k) ,i j £ ( s j , s i() ,i i £:( s k, s i )] = 0 , 8

F* = j i ^ . a ^ O ) ; (£2, / = 0 , 3 ) ; (£3>/ = 0 , 6 ) ; (£4,a ^ = 0 ,8 ) j . De même pour l e s é v a lu a t i o n s num ériques :

fE = j ( 0 , 3 ^ = 0 ) ; ( 2 5 0 , p ^ = 0 , 3 ) ; ( 5 0 0 ,0 ^ = 0 ,6 ); ( 8 0 0 ,3 ^ = 0 ,8 ) ; ( 1 0 0 0 ,3 ^ = 0 ,8 ) | P Décom posons l e s o u s -e n s e m b le f l o u ? en 4 e n se m b le s o r d i n a i r e s : C (aP ) = C ( l ) = { 0} c ar 3P=1 C (aP ) = C (0, 8 ) = {0; 2 5 0 } c a r 3 P=1 e t

P^-0,S

La c h a în e d ’ i n c l u s i o n s e s t : C(a ) Q C(a ) Q C(a ) Q C (a ).

1 2 3 4

£

P u is décom p oson s l e s o u s -e n s e m b le f l o u & en 4 e n s e m b le s o r d i n a i r e s : C (a£ ) = C (0 ) = {0; 250; 500; 800; 1000} ca r pE*0 , V m = l... 5 1 m C (a£ ) = C (0, 3 ) = {250; 500; 800; 1000} ca r 3 £ £0 , V m=2... 5 2 m C (a£ ) = C ( 0 ,6 ) = { 5 0 0 ;8 0 0 ;1 0 0 0 } ca r 3 £ a0 , V m= 3 , . . . , 5 3 m C (a£ ) = C ( 0 , 8) = {800; 1000} c a r p E*0 , V m =4,5 4 m E E E E

La c h a în e d ’ i n c l u s i o n s e s t : C(a ) Q C(a ) Q C(a ) Q C (a ).

4 3 2 1

Pour chaq u e term e t , é t u d io n s l ’ i n t e r s e c t i o n s u i v a n t e :

n

C(aP ) a C(a£ )

l = très court

î C(<xP ) n C(a£ ) = {0}

i =court

2 C(aP ) n C{aE ) = {250}2 2

l ^ moy e nne m en t 1 ong C(ctP ) n C(a£ ) = {500}

3 3

i =long

4 C(aP ) n C(a£ ) = {800;1000}4 4

Ainsi, pour l'agent considéré, une distance □ de 0 mètre est très courte, □ de 250 mètres est courte,

□ de 500 mètres est moyennement longue, □ de 800 mètres est longue, et

□ de 1000 mètres est longue.

Par cette démarche, on obtient la correspondance linguistique précise de chaque jugement de distance porté numériquement par l'agent.

5. CONCLUSION

Au-delà de la simple formalisation imprécise de la distance cognitive et des informations relevées au cours des trois premières étapes d'apprentissage de l'espace, le présent exposé propose une méthode de traitement des estimations des distances obtenues par voie d'enquête :

□ déduction des degrés de fiabilité des jugements de distances portés, linguistiquement ou numériquement, à partir des appréciations des distances relatives exprimées en termes de

proche et/ou éloigné.

□ recherche de la correspondance linguistique d'une évaluation numérique des distances absolues.

Par ailleurs, une quatrième étape mêlant les concepts de distance absolue et de direction aurait pu être étudiée. Au cours de celle-ci, l'agent est capable de positionner les lieux les uns par rapport aux autres dans un espace à deux dimensions. Par exemple, une information du type "à première vue, s. est à 200 m au Nord-Est de s " peut être énoncée. Une formalisation imprécise du concept de direction doit alors être envisagée.

Cependant, si la Mathématique du floue permet de traduire les formes multiples de l'information spatiale recueillie, elle n'autorise pas la comparaison de l'espace cognitif ainsi formalisé à l'espace objectif : car le degré de fiabilité d'un jugement de distance absolue ne permet de dire si l'individu surestime ou sous-estime la distance objective correspondante.

Enfin, les travaux présentés s'inscrivent dans un cadre à la fois ordinal et cardinal puisque l'on a tenté de donner une expression analytique à la distance relative et à la distance absolue conçues mentalement par l'agent en utilisant la Mathématique du flou. On passe alors du domaine du mesurable au domaine du valuable (PONSARD, 1988).

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Distance absolue : quantité de séparation entre deux lieux mis en

rapport directement entre eux.

Distance cognitive : quantité de séparation spatiale qu'un individu a

mémorisée à partir d'une connaissance directe ou indirecte de la distance objective, d'une part, et des caractéristiques retenues et interprétées de ses extrémités, d'autre part (Synonymes : distance

subjective, m e nta l e).

Distance linguistique floue : quintuplet

d , T(d) , U , G , S

■ où T(d) est un ensemble non fini de termes linguistiques t pouvant caractériser la distance cognitive d, soit

T(d) = -j court, très court, peu court, pas court, long, très long,

peu long, pas long, court et long, ni court ni long, long mais pas très long, extrêmement long,

■ où U est l'univers de discours, dont les éléments r sont des ^u~ gements de distances portés numériquement par l'agent, soit U c IR , ■ où G est la syntaxe, qui permet à l'individu de former de nouveaux

termes linguistiques à partir des deux termes primaires court et

long, selon des opérations usuelles, telles la complémentation pas,

l'intersection et, l'union ou, la compression très, la dilatation peu ou le renforcement de contraste extrêmement, et

■ où S est la règle sémantique, qui à chaque terme linguistique t associe sa signification S (t ) propre à l'agent considéré.

[KAUFMANN, 1975 ; LEUNG, 1982]

Distance objective "quantité mesurable de séparation spatiale, existant nécessairement, traduisant les liens et les arrangement entre les lieux, avec des attributs spécifiques possibles mesurables universellement" (Synonymes : distance physique, chorotaxique...).

[CAUVIN, 1984]

Distance relative : relation d'éloignement ou de proximité entre deux

lieux appartenant à un même espace de référence.

Exemples :

□ A 1* echelie de la France, Chamonix est loin de Paris. □ A l’échelle du Monde, Chamonix est proche de Paris.

Effet d ’apprentissage spatial effet par lequel tout décideur accumule une somme d'informations de plus en plus fines et élaborées sur son environnement, grâce à une interaction permanente entre sa connaissance et son comportement dans l'espace.

Espace cognitif : organisation des lieux et de leurs caractéristiques

obtenue à partir d ’informations que l’individu a collectées, stockées puis interprétées mentalement (Synonymes : espace subjectif, mental).

Espace physique : voir lexique trivial (Synonymes : espace objectif, chorotaxique, géographique, de référence, environnement...).

Information : se définit par le quadruplet :

(Attribut, Objet, Valeur, Confiance) L ’attribut est une caractéristique de l’Objet. Cette caractéristique possède une Valeur.

La Confiance renvoie à la fiabilité de l’information.

[DUBOIS et PRADE, 1985]

Métrique floue : relation d ’éloignement imprécise E définie sur un ensemble de lieux S (se référer au texte p 4) qui satisfait les axiomes suivants : □ Anti-réflexivité : V (s ,s ) € SxS, u~(s , s ) = 0 s = s i’ j HE i’ j i j □ Axiome de symétrie : V (s., s.) e SxS, n r (s , s ) = jül_(s.,s ) 1 J £, 1 j t j i

□ Forme générale de l’axiome d ’inégalité triangulaire : V ( s , s ) , ( s , s ) , ( s , s ) € SxS

i j i k k j

U ^ ( S , S ) ^ Lt„( S , S ) * Ll_ ( S , S )

* E i j H E i k k ’ j

[ROUGET, 1975]

Métrique faible floue : relation d ’éloignement imprécise E définie sur S et telle que :

x = y =» ^ ( x , y) = 0 et n£ (x,y) < fi (x,z) * nE (z,y)

Quasi-métrique floue : relation d ’éloignement imprécise E définie sur S et telle que :

fi g (x, y) = 0 x = y et /i^(x,y) < ji^îx^) * ^ ( 2 , y)

Relation binaire floue : notée iR, c’est un sous-ensemble flou de ExE (le référentiel) prenant ses valeurs dans un ensemble d ’appartenance ordonné M. Le degré d ’appartenance du couple (x,y) de ExE à la relation noté (x, y ), représente la force de la relation entre x

i.

et y.

Propriétés (possibles) d ’une relation binaire floue ■ réflexivité :

V (x , y ) € ExE, M ^ ix .y ) = a t r a n s i t i v i t é : V ( x , y ) , ( x , z ) e t ( y , z ) e ExE M ^ (x ,y ) £ MAX [ ^ ( x , z ) * i i ^ ( z , y ) ] z où l ' o p é r a t e u r * e s t une c o n j o n c t io n lo g iq u e q u i p e u t c o r r e s p o n d r e à l ' i n t e r s e c t i o n (* = MIN), à l ' u n i o n (* = MAX), au p r o d u it a l g é b r i q u e ( # = x ) ou à l a somme a lg é b r iq u e ( * = + ) . S e m i-m é tr iq u e f l o u e : r e l a t i o n d 'é lo ig n e m e n t im p r é c is e £ d é f i n i e s u r S e t t e l l e que : jui^ix, y ) = 0 o x = y e t ^ ( x , y ) = fi£ (y , x ) S o u s -e n s e m b le f l o u : s o i e n t E un r é f é r e n t i e l e t A un e n se m b le i n c l u s d an s E. On a p p e l l e s o u s -e n s e m b le f l o u ( s . e . f . ) de E t o u t e n se m b le A t e l que : A e s t un e n se m b le de c o u p le s c o n s t i t u é s par l e s é lé m e n t s d e E e t p a r le u r d e g r é d 'a p p a r te n a n c e à A. H e s t une f o n c t i o n d ’ a p p a r te n a n c e , q u i a pour e n se m b le d e d é f i n i t i o n Pi l ’ e n se m b le E e t q u i prend s e s v a le u r s dans un e n se m b le o rd o n n é ou p r é o rd o n n é M, num érique ou non. S i M = [ 0 , 1 ] a l o r s on a un s . e . f . au s e n s de Zadeh.