Asymptotic analysis for the solution to the Helmholtz problem in the exterior of a finite thin straight wire

(1)

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Asymptotic analysis for the solution to the Helmholtz

problem in the exterior of a finite thin straight wire

Xavier Claeys

To cite this version:

Xavier Claeys. Asymptotic analysis for the solution to the Helmholtz problem in the exterior of a

finite thin straight wire. [Research Report] RR-6277, INRIA. 2007. �inria-00163230v4�

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Thème NUM

INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE

Asymptotic analysis

for the solution to the Helmholtz problem

in the exterior of a finite thin straight wire

Xavier Claeys

N° 6277

(3)

(4)

Unité de recherche INRIA Rocquencourt

Domaine de Voluceau, Rocquencourt, BP 105, 78153 Le Chesnay Cedex (France)

Téléphone : +33 1 39 63 55 11 — Télécopie : +33 1 39 63 53 30

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Γ

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r = Φ

ε

_{(θ, z)}

➌ç♣◆✐

z

_{∈ [−1, 1]}

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(8)

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Ω

ob

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❷❸❥♠❱❯❵❨♣r❢➋✇❻✐❦✈◆③❄❜❞❥➉③✭✈r❷☞③✭♣r❢❻❵❞❥♠②❙❱✭✐✯✈✚❜❞❥♠♣r❢➟❵✭➛ ➆❢➟❵s❜❦❱❯✈r②➋♣①➌➷❜❞◗❻❱✕❣❻❵❞❣❻✈①❷✎◗❙♣◆❚✹♣◆❼r❱❯❢❙❱✭♣◆❣❻❵ ➒❨❥❸✐❦❥♠③✯◗❻❷❸❱✭❜➠③✑♣◆❢❻②❛❥❸❜❞❥♠♣r❢✝♣r❢✘❜❦◗❙❱❬➊✬❥♠✐❦❱r➢r♣◆❢❙❱✵➊✬✐❦❥➑❜❦❱❯❵➠✈①❢✝❱❯❧■❣❻✈①❜❞❥♠♣r❢✝✈➤➧r❱❯✐❦✈r❼r❱❡②✕➓❉❴

δ

ε

✈r❢❻②✘❚✝✈①➨◆❱❯❵➷❣❻❵❞❱❬♣r➌⑥❜❞◗❙❱✵✐✯✈r②❙❥♠✈r❷ ❱✭❷♠❱❯③✑❜❞✐❦♣◆❵❝❜❦✈①❜❞❥➉③❬➓▲❱✭◗❻✈➤➧❉❥♠♣r✐✬♣r➌☎❜❞◗❻❱✌➥❻❱✭❷➉②✿➛➍❪❉♣✹❜❞◗❻❱✜➧➤✈r✐❞❥➉✈✚❜❦❥❸♣◆❢❻✈①❷▲➌ç♣◆✐❞❚❁❣❙❷♠✈①❜❞❥♠♣r❢✡❜❞◗❻✈①❜✵◗❻✈r❵✸❜❦♣✘➓➟❱✗②❛❥➉❵❦③✑✐❦❱✑❜❞❥♠➏✭❱❡②✧❥➉❵











Z

Ω

R

∇u

ε

tot

· ∇v − k

2 Z

Ω

R

u

ε

tot

v +

Z

Γ

R

vT

R

u

ε

tot

+

Z

Ω

R

δ

ε

(r)I

ε

(z)v(r, θ, z) =

₋

Z

Ω

R

f v

_{∀v ∈ H}

1 (Ω

R

),

Z

Ω

R

δ

ε

(r)q(z)u

ε

tot

(r, θ, z) =

Z

Ω

R

δ

ε

(r)q(z)I

ε

(z) ln(

r

ε

)

∀q ∈ H

−1/2

moy

(Γ

ε

).

➊✬◗❙❱❯✐❞❱

T

R

❥➉❵✬✈✹❣❻❵❝❣➟✈①❷➦➒❺P✬❲④❚✝✈①✇✴✈r③❄❜❦❥❸❢❻❼✹♣◆❢✧❜❦◗❙❱✜➓▲♣r❣❙❢❻②❻✈①✐❦❴❿♣①➌

Ω

R

➛ ☞✍✌✼❖ P◗✕❋❘✫❙❚✦❯✯❱✦✤✖✆✬✮❲❀❘✣❳❨❙✜✕❩✯✪❲✍✘❬✥✜✬❪❭❚❘✣✦✍❘✫✓✎❳❫✕❋❴✰❭❵❲❛★❵✘✛✓❜✦✤★❵✘ ➜➐❱✕✈①✐❦❱✌❢❙♣✚➊➙❼◆♣r❥♠❢❙❼✹❜❞♣✝➓❙✐❦❥♠❱✑ð❻❴✡✇❙✐❞❱❡❵❝❱❯❢■❜✸❜❦◗❙❱✗❚✝✈✚❜✯③✯◗❙❱❯②✴✈◆❵❝❴❉❚✘✇❛❜❞♣r❜❞❥➉③✌❱✑↔❛✇❻✈r❢❻❵❝❥♠♣r❢➟❵✺❚✹❱✭❜❞◗❙♣❛②❇✈r❢❻②✡❜❞◗❙❱✜➊✺✈➤❴❿➊✸❱ ➊✬❥➉❵❝◗✴❜❦♣✧✈①✇❙✇❻❷❸❴✡❥➑❜❨❜❞♣❿♣◆❣❙✐✵✇❙✐❦♣r➓❙❷♠❱✭❚✴➛✺P✺◗❙❥➉❵✵➊✬❥♠❷❸❷☞❼r❥♠➧r❱✗✈①❢❇♣◆❣❛❜❞❷♠❥♠❢❙❱✗♣①➌➷♣◆❣❙✐❬❵❝❜❞❣❻②❛❴◆➛ ➆ ❢✴❜❞◗❙❥➉❵❬②❛♣❛③✭❣❙❚✘❱✭❢■❜❨➊✸❱✗✈①✐❦❱ ❥♠❢◆❜❦❱✭✐❦❱❯❵❝❜❞❱❡②✧❥♠❢✩❜❞◗❙❱✜❱✭↔❉✇➟✈①❢❻❵❞❥❸♣◆❢✧➊✬❥❸❜❞◗✴✐❦❱❯❵❞✇➟❱❡③❄❜✬❜❞♣