Capture des différents types d'ondes incidentes et réfléchies dans un tube à choc

(1)

HAL Id: hal-00649403

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Capture des différents types d’ondes incidentes et

réfléchies dans un tube à choc

Redouane Benhafsi

To cite this version:

Redouane Benhafsi. Capture des différents types d’ondes incidentes et réfléchies dans un tube à choc.

2007. �hal-00649403v2�

(2)

un tube à ho

Redouane Benhafsi

∗

2007

Résumé

Ce travail est onsa ré à l'étude du dépla ement

desondesin identesetréé hiesené oulement

om-pressible, àtraversun tube à ho modélisé parles

équationsd'Euler.Nousemployonsuneméthode

ma-thématique impli ite basée sur l'appro he de

Boltz-man pour résoudre e problème : l'utilisation de la

méthode dedé omposition des ux FVS (Flux

Ve -torSplitting)deStegeretWarming.

Dans un premier temps, le système hyperbolique

est appro héparunalgorithmeimpli ite d'ordreun

oùladérivéespatialeestdé entréeselonlesignedes

valeurspropresdelaJa obiennedesux.Nous

onsi-déronsensuite leproblème endénissant des

ondi-tions aux limites réé hissantes,ave une appro he

ghost ells (N÷uds tifs) onstituée d'une donnée

initiale et d'une ondition de bord. Nous nous

pla-çons dans un adre où, les onditions initiales sont

de typeRiemann ave l'appli ation de quelques as

test.Unsolveurblo tridiagonalstandard,quiutilise

une variante de la méthode LU est adopté pour la

résolution du système d'équationslinéaire, les

solu-tionsobtenuessont omparéesauxsolutionsexa tes

duproblèmedeRiemannetauxsolutionsnumériques

obtenuesave d'autress hémasFVS.

mots lés :

Equationsd'Euler,tubeà ho , ondede ho ,

réfra -tionnormale,FluxVe torSplitting,s hémaimpli ite

∗

redouane.benhafsigmail. om ;Fa ultédeGénie

Mé a-nique,LaboratoiredeMé aniqueAvan ée,USTHB,Alger,

Al-gérie.

1 Introdu tion

Un as parti ulierdu problème de Riemann [1,2℄

qui est le tube à ho se modélise par des lois de

onservationhyperboliquesquirelatentuntrait

fon-damental des é oulements ompressibles, qui est la

présen e d'ondesqui sedépla ent sansdissipationà

vitessenie dansle uideen mouvement e qui

im-plique un ara tère dire tionnel de propagation de

l'information,notammentauniveaudesu tuations

depression[3℄.En onséquen ebeau oupde

di ul-téspeuventsurvenirlorsdudéveloppementde

s hé-masderésolutionpour etypedesystèmes.Le hoix

d'un s héma numérique de résolution simple et en

même temps qui tiendrait ompte de es

ara téris-tiquesdevientalorsné essaire,andemieuxprédire

le omportementphysiquedel'é oulement.Ce inous

aamenéàopterpourdess hémasquise lassentdans

la atégorie upwind,et qui introduisent notamment

desnotionsdesensdepropagationdel'information.

Le s héma que nous avons utilisé pour résoudre e

problèmeest uns hémaàdé ompositiondesux

in-troduisenpremierparStegeretWarming[4℄,etqui

ensuiteaétéamélioréparVanLeer[5,6℄.

Lese ondpointquenousavons onsidéré,estla

no-tiond'impli itation quiapparaîtlorsquel'on her he

à augmenter l'ordre de pré ision temporelle, ette

te hniquenousapermis d'a élérerla onvergen e

versl'état stationnaire.Celaapermis aussidelever

les onditions de stabilité restri tives sur le pas de

temps qui sont généralementasso iéesàune

dis ré-tisation expli ite; évidemment, leprix àpayerpour

ette stabilité in onditionnelleestlané essitéde

(3)

raisondu ouplagedesin onnues[7℄. Pourlesimple

as 1D onsidéré, le système linéaire blo

tridiago-nal asso ié au s héma impli ite peut être résolu à

moindre oût par une fa torisation LU

1

, dite

algo-rithme de Thomas.

2 Le modèle d'Euler

L'é oulementest modéliséparleséquations

d'Eu-ler1Dinstationnaires.Ceséquationssontprésentées

sousformed'unsystèmediérentielàtroisgrandeurs

instantanées,lamassevolumique,lavitesseet

l'éner-gietotale.

Les équations d'Euler pour un é oulement

uni-dimensionnel instationnaire sous forme onservative

sont: ontinuité,

∂

∂t

(ρ) +

∂

∂x

(ρu) = 0

(1) mouvement,

∂

∂t

(ρu) +

∂

∂x

ρu

2 _{+ p}

_{= 0}

(2) énergie,

∂

∂t

(ρe

t

) +

∂

∂x

[(ρe

t

+ p) u] = 0

(3)

où

t

représenteletemps,

x

lapositionen oordonnée

artésienne,

u

la omposantedelavitesse,

ρ

lamasse

volumique,

p

lapression,

e

t

= e +

1

2 u

2

l'énergietotale

del'é oulement,où

e

estl'énergieinterneduuide.

Leséquations pré édentes peuventêtreexprimées

sousformeve torielle,

∂U

∂t

+

∂F

∂x

= 0

(4) où,

U =





ρ

ρu

ρe

t





et

F =





ρu

2 _{+ p}

(ρe

t

+ p) u





1 Lower-Upper 2.1 Dis rétisation

Leséquations d'Euler sont appro héesparla

mé-thode desdiéren es nies, sur unmaillage régulier

ave intégration temporelle impli ite pré ise au

pre-mierordre.

U

n+1

_{− U}

n

∆t

+

∂F

n+1

∂x

= 0

(5)

Laformulationétantimpli ite, ledeuxièmeterme

del'équation (5) est exprimé àl'instant

n + 1

, et le

hangement d'état du uideà haquepas de temps

sera al ulépar

∆U = U

n+1

− U

n

.

LesEDF

2

serontformuléesentermesde

∆U

, e ise

refèreàlaformulationdelta

3

.

UndeveloppementenseriedeTayloràl'ordre1

per-metd'exprimerlavariable

F

n+1

àl'instant

n

:

F

n+1

= F

n

₊

∂F

∂t

∆t + O(∆t

2 ₎

(6) ave

∂F (U )

∂t

=

∂F

∂U

∂t

∼

=

∂F

∂U

∆U

∆t

(7)

L'insertionde(7)dans(6),donne:

F

n+1

_{= F}

n

₊

∂F

∂U

∆U + O(∆t

2 ₎

(8)

le terme

∂F

∂U

représente la matri e ja obienne

A

du

ve teur

F

;

A =

"

₀

₁

₀

γ−3

2 u

2 (3 − γ)u

(γ − 1)

(γ − 1)u

3 − γ ue

t

γe

t

−

3

2 (γ − 1)u

2 γu

#

(9)

Pour un uide parfait, l'énergie totale

e

t

peut être

expriméeenfon tiondelavitesseduson

a

,

e

t

=

a

2 γ(γ − 1)

+

u

2

Par onséquent,lamatri e

A

devient:

A =

"

₀

₁

₀

γ−3

2 u

2 (3 − γ)u

(γ − 1)

γ

2 − 1

u

3 −

ua2

γ−1

a2

+

3

2 − γ

u

2 γu

#

(10) 2

EquationsauxDiéren esFinies.

3

(4)

2.1.1 Fa torisation de laJa obienne

A

Uneméthodesimple,proposéeparStegeret

War-ming (1980) pour la résolution des problèmes

ins-tationnaires, onsiste à fa toriser la Ja obienne du

s héma ompressible proposé pour l'équation (4).

Cettefa torisations'appuiesurlapropriété

d'homo-généité du ve teur des ux

F

et la nature des

va-leurspropresdelaja obiennedesux,si es valeurs

propressontréellesetleursve teurspropresasso iés

sont linéairement indépendants, alors la matri e

A

estdiagonalisableetpeuts'é riresouslaforme:

A = KΛK

−1

où

Λ

estlamatri ediagonaledontleséléments

repré-sententlesvaleurspropresde

A

,et

K

lamatri edes

ve teurspropresàdroiteasso iésauxvaleurspropres

de

A

.Lesvaleurspropresdelamatri e

A

sont

al u-léesparleploynme ara téristique

|A − λI| = 0,

equi donnelesvaleurspropresdusystème :

λ

1 = u − a,

λ

2 = u

et

λ

3 = u + a

Les ve teurs propresà droite asso iés au système

d'Euler(4)sont

X

(1)

=





0 u − a

u

2

2 − au +

a

2 γ−1





,

X

(2)

=





1 u

u

2

2 



et

X

(3)

=





0 u + a

u

2

2 + au +

a

2 γ−1





Par onséquent,lamatri e

K

est:

K =





0

1

0 u − a

u

u + a

u

2 −au

2 +

a

2 γ−1

u

2

2 u

2 _+2au

2 +

a

2 γ−1





(11)

Lamatri ediagonaledesvaleurspropress'é rit:

Λ =





u − a

0

0 u

0

0 u + a





(12)

La matri e ja obienne

A

est reliée à la matri e des

valeurspropres

Λ

parlarelation:

Λ = K

−1

_AK

La matri e

Λ

est de omposée endeux parties selon

lesignedesvaleurspropresde

A

,de lamanière

sui-vante :

Λ = Λ

+

+ Λ

−

etpar onséquentlamatri e

A

peutêtredé omposée

delamême façon:

A = A

+

+ A

−

où

A

+

= KΛ

+

K

−1

et

A

−

_{= KΛ}

−

_K

−1

Pour un é oulement subsonique (

0 ≤ M < 1

), la

matri edesvaleurs ara téristiques

Λ

s'é rit:

Λ =





0

0 0 u

0

0 u + a





|

{z

}

Λ

+





u − a

0 0

0 0 0





|

{z

}

Λ

−

Aprésent,leve teurdesux

F

estdé omposéenune

partie

F

+

etunepartie

F

−

selonladé ompositionde lamatri e

A

,ils'é rit:

F = F

+

+ F

−

_{= A}

+

_{U + A}

−

_U

(13) Les matri es

A

+

et

A

−

pour un é oulement

subso-niquesontdéterminéesparlelogi ielàmanipulation

symboliqueMaple[8℄.

Onobtientnalementl'expressionduve teurdesux

onve tifsquiest :

pour

0 ≤ M < 1

:

F

+

=

ρ

2γ

"

2γu + a − u

2(γ − 1)u

2 _{+ (u + a)}

2 (γ − 1)u

3 ₊

(u+a)3

2 +

(3−γ)(u+a)a2

2(γ−1)

#

et

F

−

=

ρ

2γ

"

_{u − a}

(u − a)

2 (u−a)3

2 +

(3−γ)(u−a)a2

2(γ−1)

#

(5)

2.1.2 Constru tiondes EDF

L'insertionde lalinéarisation(8)dans (5)permet

d'obtenir

∆U

∆t

+

∂F

n

∂x

+

∂

∂x

∂F

∂U

∆U

= 0

(14)

Cette équation peut être exprimée en termes de la

matri eja obienne

A

ommesuit

∆U

∆t

+

∂

∂x

(A∆U ) = −

∂F

n

∂x

(15)

etfa torisée delamanièresuivante

I∆U + ∆t

∂

∂x

(A

+

+ A

−

_)∆U

₌

−∆t

∂

∂x

F

+

_{+ F}

−

n

(16)

où

I

est lamatri eidentité.

Les hémaestalorsdé entréselonlesignedesvaleurs

propres, e quidonne:

CI

i

∆U

i−1

+ CD

i

∆U

i

+ CS

i

∆U

i+1

= RHS

i

(17)

ave

CI

i

= −

∆t

∆x

A

+

i−1

CD

i

= I +

∆t

∆x

(A

+

i

− A

−

i

)

CS

i

=

∆t

∆x

A

−

i+1

RHS

i

= −

∆t

∆x

(F

+

i

− F

+

i−1

+ F

i+1

−

− F

i

−

)

n

L'équation (17) est appliquée à haque n÷ud

i

du

domaine d'étude, un système d'équations est alors

onstitué, lamatri e des oe ientsdusystème

ob-tenue est symétrique et dénie positive, pour notre

problème 1D haque élément de la matri e

repré-senteàsontourunematri e

3 × 3

.Lesystèmeobtenu

ommesuit: 2 6 6 6 6 6 4

CD

2 CS

2 CI

3 CD

3 CS

3 CI

N −2

CD

N −2

CS

N −2

CI

N −1

CD

N −1

3 7 7 7 7 7 5 | {z }

F

2 6 6 6 6 6 4

∆U

2 ∆U

3 .

.

∆U

N −2

∆U

N −1

3 7 7 7 7 7 5 | {z }

X

=

2 6 6 6 6 6 4

RHS

2 − C I

2 ∆U

1 RHS

3 .

.

RHS

N −2

RHS

N −1

− C S

N −1

∆U

N

3 7 7 7 7 7 5 | {z }

R

(18)

Pour des régions supersoniques de l'é oulement, les

oe ients

CS

i

sont nuls(les

A

−

i

sontnulles)

géné-rant ainsi une matri e triangulaire supérieure

(Sys-tèmebidiagonal)qu'onpourrainverserd'unemanière

pluse a e.

2.2 Résolution

Pour résoudre le système linéaire (18), nous

em-ployonslaméthodede fa torisation

LU

qui onsiste

àdé omposer lamatri e du système obtenu en une

matri etriangulairesupérieure

U

etune matri e

in-férieure

L

. Dans e as, les matri es

L

et

U

de la

fa torisation

LU

de la matri e système

F

sont des

matri esbidiagonalesparblo .Ensuite, onapplique

l'algorithme de Thomas [9℄ qui onsiste à résoudre

deuxsystèmesbidiagonaux

LY = R

et

U X = Y

.

2.3 Traitement des onditions aux

li-mites

On onsidèrequelesparois situéesà

x = X

R

età

x = X

L

sontxesetréé hissantes(gure1),en

sup-posantdes états tifs

U

n

N+1

et

U

n

0

al ulés àpartir

desétats onnus

U

n

N

et

U

n

1

àl'interieur dudomaine

d'étude ommesuit:

ρ

n

N

+1

= ρ

n

N

, u

n

N

+1

= −u

n

N

, e

n

t

N+1

= e

n

t

N

.

(19) et

ρ

n

0 = ρ

n

1 , u

0 n

= −u

n

1 , e

n

t

0 = e

n

t

1 .

(20)

(6)

déter-b

b

X

L

1

N

X

R

0 N

+ 1

Domained'étude N÷ud tifgau he N÷ud tifdroit Paroi àdroite Paroi àgau he

Fig. 1 Conditions aux limites. Les no÷uds tifs

sontàl'extérieur dudomaine.

[10,11,12℄.Les onditionsinitialesrestent onstantes

àtraverstoutl'espa esaufpourlasingularitéquise

trouveà

x = x

0

,end'autrestermes,lasingularité

re-présentelaséparationdesdeuxuidesstagnantspar

lediaphragmeà

x = x

0

.

U (x, 0) =

(

U

L

= (ρ

L

, ρ

L

u

L

, ρ

L

e

t

L

)

T

_{x < x}

0 ,

U

R

= (ρ

R

, ρ

R

u

R

, ρ

R

e

t

R

)

T

_{x ≥ x}

0 .

3 Résultats numériques

3.1 La dénition des as tests

Unedes ongurationpossiblepourlasolutiondu

problèmedeRiemann:selonles onditionsinitiales,

orrespondàl'é oulementdansuntubeà ho oùla

dis ontinuité initiale entre deux gaz est réaliséepar

un diaphragme lo alisé à

x

0

. Dans l'expérien e, e

diaphragme est enlevé à l'instant

t = 0

et

l'é ou-lement se développe ensuite. Pour ette

ongura-tion,Sod[13℄adénides onditionsinitialesstandard

pourle al ul numérique. Nous nous basonssur es

valeursen equi on ernelesvariables

aérothermody-namiques.Leuide onsidéréi iestdel'air(

γ = 1.4

).

3.2 Tests

L'obje tif des tests présentés dans e paragraphe

est d'évaluerlaperforman edus hémaimpli ite de

StegeretWarmingquenousavonsproposépour

trai-terleproblèmedutubeà ho .Nousallonségalement

Ce ipermet dejugerle omportementdestrois

mé-thodes pour haque test et de distinguer l'e a ité

de ha uned'elles.

Nous utilisons trois tests ave leurs solutions

exa tes. Les données initiales sont onstituées des

deux états onstants

U

L

et

U

R

séparés par le

dia-phragme à la position

x = x

0

, es tests sont

don-nés par le tableau 3.2. Les solutions sont al ulées

à l'intérieur du domaine spatial

x

L

≤ x ≤ x

R

. Les

solutionsnumériquessontobtenuespour100n÷uds.

Nousutilisonsla onditiondestabilitédetype ritère

de Courant-Friedri hs-Levy(CFL) pourle al ul de

∆t

global telle que,

|λ

max

|∆x/∆t ≤ 1

, où

λ

max

re-présente lavitesse maximale de l'onde

|u

i

| + a

i

. La

valeurinitiale hoisiedu nombredeCFLest de 0.9,

ensuite nous réduisons le nombre de CFL ave un

pasde0.01an desatisfaireles onditionsde

stabi-lité pour le al ul expli ite. Les onditions de bord

sont réé hissante. Pour haquetest nous

séle tion-nonsunepositioninitiale

x

0

dudiaphragmeet

l'ins-tantde al ul.Lesrésultatsnumériquesobtenussont

omparésauxsolutionsexa tesainsiqu'auxrésultats

obtenusave less hémasexpli itesdeVanLeeretde

Liou-Steen[14℄. Lesméthodes expli ites ainsi

dé-niessontformellementd'unepré isiond'ordreunen

espa eet entemps.

Le odagedesalgorithmespour estestsaété

ee -tuéàl'aidedulangageFORTRAN90[15℄.Letemps

de al uln'estpasreprésentatif;puisqu'ils'agitd'un

odequi n'estpasoptimisé.

ρ

L

u

L

p

L

ρ

R

u

R

p

R

Test

(

kg

m

3 ) (

m

_s

)

(kP a) (

_m

kg

3 ) (

m

_s

)

(kP a)

1 1 0 100 0.125 0 10 2 122 0 10000 1.22 0 100 3 1 0 1 1 0 0.01

Tab.1Conditionsinitialesdesproblèmestest.

3.2.1 Test 1

Le test 1 à l'instant

t = 0.01s

où l'é oulement

(7)

pro-impli ite de Steger-Warming (gure 2) sont

ompa-rablesà la solutionexa te ave un ho in identet

unedis ontinuitéde onta tbeau oupplusétendus,

en revan he, l'éventail de détente est plus

satisfai-santave unedissipationauniveaudelatête

d'ex-pansion. Les s hémas expli ites de Van Leer et de

Liou-Steen présentent une meilleure résolution

no-tamment au niveau des dis ontinuités ( ho et

dis- ontinuitéde onta t).

0

20

40

60

80

100

120 −6

−2

2

6

10 bbbbbb

_bb

bb

b

bb

bbbbbbbbbbbbbb

_{bbbbbbbbbbbbb}

bbb

_bbb

b

bb

bbb

_{bbbbbbbbbbbbbbbbbbb}

uuuuuuu

_uu

uu

u

uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu

u

_{uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu}

lllllllll

_ll

l

ll

llll

lllllllllllllllllllllllllllll

l

lllllllllllllllllllllllllll

Pression (

k

P

a

) Position(

m

)

u

b

l

VanLeer(expli ite)

Steger-Warming(impli ite) Liou-Steen(expli ite)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2 −6

−2

2

6

10 bbbbbbb

_bbb

bb

b

bb

_bbb

bbbbb

_bbb

bb

_bb

bb

_bbb

bbbbb

_bbbbb

bbb

_bb

bb

_bbb

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

uuuuuuuuu

uu

_uu

u

uuuuuuuuuuuuu

uu

u

uu

uuuuuuuuu

_uuu

u

uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu

lllllllll

lll

l

ll

lll

_lllllllll

ll

_ll

l

ll

_{lllllllllllll}

l

lllllllllllllllllllllllllll

Masse v olumique (

k

g

/

m

3

) Position(

m

)

u

b

l

VanLeer(expli ite)

Steger-Warming(impli ite)

Liou-Steen(expli ite)

Fig.2S hémasFVSappliquésautest1,ave

x

0 =

0

, les solutions numériques (symboles) et exa tes

(trait)sont omparéesàl'instant

t = 0.01 s

.

3.2.2 Test 2

En utilisantun nombredeCFL de0.4 àl'instant

t = 0.01s

,qui orrespondà52itérationsenimpli ite

pourles hémadeSteger-WarmingetunCFLde0.8

(85itérations)enexpli itepourVanLeer,on onstate

i iquelaversionimpli ite onvergeplusrapidement

verslasolutionstationnaire.

−1000

1000

3000

5000

7000

9000

11000

−6

−2

2

6

10 bbbbbbbb

bb

_bb

b

bb

_bbb

bbb

_bbbb

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

_bbbbbb

bbbbbbb

uuuuuuuuuu

_uu

u

uu

_uu

uuu

_uuuu

uuuuuuu

_{uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu}

u

uuuuuuuuuuuu

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l

ll

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lll

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llllllllllllllllllllllllllllllllll

l

lllllllllll

Pression (

k

P

a

) Position(

m

)

u

b

l

VanLeer(expli ite)

−10

10

30

50

70

90

110

130 −6

−2

2

6

10 bbbbbbbbb

_bbb

bb

b

bb

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bbbbbbbb

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bbbbbbbbb

_{bbbbbbbbbbbbbbb}

uuu

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l

ll

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ll

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lll

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Masse v olumique (

k

g

/

m

3

) Position(

m

)

u

b

l

VanLeer(expli ite)

x

0 =

0 t = 0.01 s

.

Danslasolutiondutest2(gure3),l'éventail

d'ex-pansion ontientunpointsonique

u − a = 0

à

x = 0

,

e qui génère une légère détente auniveau du ho

don un rapport de pression assez faible et qui est

de 6.5374, e qui indiquequ'un rapportde pression

initialélevénetraduitfor émentpasun ho

impor-tant.Ense ondlieu,le ho ontientunpointsonique

de ompression

u + a = 0

,quiapparemmentnepose

au unproblèmeauxs hémasnumériquesutilisés.En

(8)

Warming,lesrésultatsdeVanLeeretdeLiou-Steen

sont plus pré is et pratiquement identiques sauf au

point sonique, où le s héma de Liou-Steen se

rap-pro he plus de la solution exa te. Les plus grandes

diéren es du s héma impli ite de Steger-Warming

par rapport aux s hémas expli ites sont visibles au

niveaudu ho in identoùladissipationestplus

im-portante.

3.2.3 Test 3

Letest 3est purementthéorique,il permet

d'éva-luerlaméthodenumériqueentermedepré isionetde

robustesse,lesrésultatsobtenusàl'instant

t = 0.009s

omportentun ho in identassezimportantqui

tra-verse le tube ave un nombre de Ma h de 198, une

surfa e de séparation et un éventail de détente

(-gure4).On onstatepour etestquelesversions

ex-pli ites onvergentplusrapidementverslasolution,

etenparti ulier elledeLiou-Steen(48itérations).

EnfaisantvarierleCFLdu al ulimpli ite, on

n'ar-rivepasàdépasserlavitessede onvergen edes

ver-sionsexpli ites.Larésolutiondusystèmeprin ipal à

haquepasentempssembleêtreplussévère.Onnote

don uneinstabilitéà ausedupasdetempspuisque

l'on obtient des résultats que lorsque le nombre de

CFLsetrouveréduità0.09, equi orrespondàun

∆t

globalde

0.288×10

−5

.Dans e as,le al ul

impli- iten'apportepasd'avantageparrapportaus héma

expli ite.

Lessolutionsnumériquesmontrentunelégèreperte

demonotonieàproximitédu ho quiapparaîtdans

lesrésultatsdepression,ainsiqu'unesous-estimation

deladensité. En omparaisonave le s héma

impli- itedeSteger-Warming,onpeutdirequeless hémas

expli itessontpluspré is,parti ulièrementaupoint

−0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

0

0.5

1.0 bbbbbbbb

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bb

_bb

bb

b

bb

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bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

b

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

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u

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l

ll

llllllllllllllllllllllll

lll

l

lllllllllllllllllllllllllll

Pression (

k

P

a

) Position(

m

)

u

b

l

VanLeer(expli ite)

0

1

2

3

4

5

6

7

0

0.5

1.0 bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

_bbbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

b

bb

b

_{bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb}

uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu

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u

uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu

lllllllllllllllllllll

_llllllllll

llllllllllllllllllllllllllll

l

llllllllllllllllllllllllll

Masse v olumique (

k

g

/

m

3

) Position(

m

)

u

b

l

VanLeer(expli ite)

x

0 =

0.5 t = 0.009 s

.

3.3 Augmentation de la pré ision en

ranant le maillage

Jusqu'i i, la façond'obtenir desrésultats adaptés

pourreprésenterlapropagationdesondesdusystème

d'Euleraétédis utée.Pour ela,ona onsidéréune

appro hespatialedupremierordre, equi onstitue

une erreurde tron ature

O(∆x)

, don une méthode

assezdissipative.Pour augmenter la pré ision,nous

avonsaugmentélenombreden÷udsà

N = 2000

an

(9)

-6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 position (m) t e m p s ( s) 0 16500 33000 49500 66000 82500 103500 110000 Pression (N/m 2 )

Fig. 5 Test 1 : répartition des pressions dans le

tubeenfon tiondutemps. Lesresultatssontobtenus

ave le s héma impli ite de Steger et Warming pour

un

∆t

global de

0.354 × 10

−3

.

3.3.1 Test1

Lesgures5à7montrentuneaméliorationvisible

de la représentation des dis ontinuités. La réexion

desondesdedétenteaétédistinguéeetsoninuen e

sur le ho réé hi a été démontrée. De même,

l'in-uen e des ondes réé hies sur la dis ontinuité de

onta taété lairementmiseenéviden e

numérique-ment.Lapositiondesondesest fa ilementrepéréeà

haqueinstant.Lagure6quimontrelarépartition

de la vitesse est exemplaire pour la représentation

numériquedesondes.On onstated'abordla

mono-tonie des résultats obtenus ave le s héma impli ite

qui génèreune trèsbonnerésolutiondel'éventailde

détente.De plus,l'intensitédu ho réé hi est très

pronon éejuste auniveau dela paroi où on est

a-pablededonnerlesvaleursderéféren eanalytiques.

L'intera tionentre le ho réé hiet lasurfa ede

onta test trèsbien reproduiteparlesrésultats

nu-mériques.Onpeut lairementdistinguerlaréfra tion

normaledu ho réé hiprovoquéeparsaren ontre

ave lasurfa edeséparation(gure7).Unepartiedu

ho réé hi est transmiseàtraversla dis ontinuité

de onta t,oùlavitessedu ho transmisest

légère--6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 position (m) t e m p s ( s) -400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400 Vitesse (m/s)

Fig.6Test1:répartitiondesvitessesdansletube

en fon tiondutemps.

ondede ho produiteparlaréfra tionquisedépla e

versladroite,àpartirdupointd'intera tion.Le

om-portementde esondesquisontuneparti ularitédu

phénomène de la réfra tion normale prévue par la

théorie du tube à ho , a don été lairement mis

enéviden enumériquement.Ce ipeutêtre onstaté

pourlesrésultatsobtenus par ha un destrois

s hé-masFVS. -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 position (m) t e m p s ( s) 0 0.1375 0.2750 0.4125 0.5500 0.6875 0.8250 0.9625 1.100 Densité (kg/m 3 )

Fig.7Test1:répartitiondesdensités dansletube

(10)

4 Con lusion

En se basant sur les résultats des as tests, nous

pouvons on lure que la formulation mathématique

utilisée pour la résolution du système hyperbolique

d'Eulerest robuste,et permet de al uler des ho s

forts et des détentes fortes sans os illations, dans

un uide parfait ompressible. Le hoix d'une

mé-thode impli ite nous a permis la onstru tion d'un

algorithme àfaible oût de al ul se omportantde

manière très satisfaisante dans laplupart des tests,

ave une très bonne prédi tion des ho s in idents

et réé his, notammentune parfaite distribution de

pression. Cependant,la apture de façon pré ise de

ladis ontinuitéde onta tmontrequ'une

dé omposi-tiondeuxgénèreunevis ositénumérique(undéfaut

souvent onstatédanslalittérature).

Si on observeles résultats du test 3, on onstate

queles hémasur-estimelapressionaupointsonique

(le as où la vitesse ara téristique s'annule) juste

avant le ho , en revan he la masse volumique est

sous-estimée en e même point. Ces deux

observa-tions sont liées. On note aussi le point faible de la

méthodeimpli itedupremierordrequiatendan eà

êtretropdiusiveet àétalerles ho ssur ungrand

nombreden÷uds,surtoutdansles asoùils'agitde

ho srelativementfaibles.

Référen es

[1℄ E.f. Toro. Riemann Solver and Numeri al Methods of

FluidDynami s.Springer,Berlin,1997.

[2℄ Culbert.B.Laney. Computational Gasdynami s.

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