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Codes Z_2^k-linéaires

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Academic year: 2021

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(1)INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE. Codes Z2k -linéaires Fabien Galand. N° 5073 Janvier 2004. ISSN 0249-6399. ISRN INRIA/RR--5073--FR. THÈME 2. apport de recherche.

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(79)   

(80)     -  H. wA87:NPF X2. m+1. −2.  m  m   m   2m −1 − 1 = X 2 −1 − 1 X 2 −1 + 1 = − X 2 −1 − 1 (−X) −1 , = −Q(k) (X)Q(k) (−X)A(X)A(−X)   − 2k Q(k) (X)A(X)B(−X) + Q(k) (−X)A(−X)B(X) .. M:fFI:5 F Q (X) = P (X) − I(X) | A(X) = P (X) − I (X) , @ B(X) = P (X) − I (X) |G:VU , @ 5),]> :5@P67,+5)5),?5f@yLfE),8;,+FO*-:5 =*v,_FO\^,]\^,+<=NP3Z BC6;N†, @ I(X), I (X), I (X) | P (X), P (X) P (X) >?,?E^œ\^,\^,?<N[346;*-ZBC6;N+„#T~5’BvBC6;5 F[6 (k). a. a. a. b. b. b. a. b. Q(k) (X)A(X)B(−X) + Q(k) (−X)A(−X)B(X)     = P (X) − I(X) Pa (X) − Ia (X) Pb (−X) − Ib (−X)     + P (−X) − I(−X) Pa (−X) − Ia (−X) Pb (X) − Ib (X) ,     = P (X) − I(X) Pa (X) − Ia (X) Pb (X) + Ib (X)     + P (X) + I(X) Pa (X) + Ia (X) Pb (X) − Ib (X) ,  = 2 P (X)Pa (X)Pb (X) − P (X)Ia (X)Ib (X)  − I(X)Pa (X)Pb (X) + I(X)Ia (X)Pb (X) .. 8^,+5hNP3+F[E)87@[,LfE),'87,Z#:=8;HJ5 =*v, f (X ) \^67jJ6DFI, X −1 \)BC5 F Z \)BC5F Z [X] „ X −1 = J@ r ?™  % + U4BC5F Z [X] | X − 1 F[,~‡ˆB>@P:=NP6;F[,9FI:E F'8;Bh‡¡:N[*v, '. 2m+1 −2. 2. m. 2 −1. 2k+1 [X]. |z\^:=5>XLfE),. 2k+1. 2. f (X). \)67jJ6DFI, . 7. X 7 − 1 = (X 3 + X + 1)(X 3 + X 2 + 1)(X − 1) .. M:fFI:5 F Q = Q = X + X + 1 ∈ Z [X] , @AB=Z)Z)8;6;LfE):5 F'8;B-MONP:=Z#:F[67@[6;:=5 .^„ c0Z#:=E NA>?B=8;>?E)87,+N]FI:5 NP,?8;,?j34\GŽ :NP\^NP, 3 Y¡E)5 X { Z#:=8;HJ5 =*v,B‰j=,_>~5 :C@[NP,9\^3 Š5)6ƒ@P67:5RZ„“T~5B (1). 3. 2. P1 (X) = 1. \):=5 >. mod 2 , 3. I1 (X) = −X − X. mod 2 ,. P12 (X) = 1 I12 (X). mod 4 , 6. 4. = X + 2X + X. 2. mod 4 ,. Ÿ¡ s¢GŸ¤£.

(81) . Z2k

(82) 

(83) .  .. \GŽ :VUG|  Q(2) X 2 = X 6 + 2X 4 + X 2 − 1 3. 2. = X + 2X + X − 1. U~,9*v?*v,=|. P2 (X) = 2X 2 − 1. I2 (X) = −(X + X). mod 4 ,. P22 (X) = 4X 2 − 4X 2 + 1 I22 (X). T~5’Bv\^:=5>. 6. 4. = X + 2X + X. mod 8 ,. 2. mod 8 ..  Q(3) X 2 = X 6 − 2X 4 − 3X 2 − 1. F[:=67@+|JŠ5 BC8;,?*v,?5f@. T~5Z#,?E^@AB=87:NPFXj=3+N[67Š ,+N]LE ,. Q(3) (X) = X 3 + 6X 2 + 5X + 7 Q(3). mod 4 .. mod 4 ,. 3. \):=5)5),. mod 4 ,. ,+FI@]K)6;,?5’E)5 \^6;jf6DF[,?E)N]\^,. mod 8 ,. mod 8 .. X7 − 1. \)BC5F. Q(3) (X) (X 4 + 2X 3 + 7X 2 + 5X + 1) = X 7 − 1. X6;,?5 ,+5@P,?5 \)EG| X X. 2. 4. „. + 2X 3 + 7X 2 (X + X + 1)(X − 1) 3. Z8 [X]. |^,?5’, “, @. mod 8 .. ,+FI@08;,ŒN[,+87,+j=3‚\),‚],+5 FI,+8y\žŽ :=N`\^NP, 3 \^E Z#:=8;HJ5 =*v, + 5X + 1 . [. "     b.

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(86)  65 k 0G   0G    N3 1  >= H ? 1  J  1  K   20 A  = Z p  [X]/(P E  )1  /     1  - I/  

(87)   

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(91)  */ k.   O 41  3     / E

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(93) A/

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(95)  /

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(97)  ppkm J    3  7       p  / O  /

(98)   1 E  /   A/(p) /0G O  3 K

(99) B9 pm  - */ J . */

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(102) _d.   

(103)     - . ,. T~N_| P mod p ,+FI@]67NPN[3_\^E > @[6;K)87, Y. P. ,_FR@E)5 X { #Z :=8;HJ5 =*v, Z,?@A\^,9\^,?<N[3 m | \^:=5>. Y Z. A ' F pm .. YABCZ)Z#,?8;:=5 F Y3A ]E)5RH=d)|'%'&G„.^„ .Cd DZLfEGŽ E)5 B=5)5),_BCE Yˆ>?:=*v*0E)@PBz@P6ƒ‡,?@oE)5 6ƒ@`BC6;N[, ZŒLfE):C@P67,+5f@[3šZBCN‚E 5 6D\^3_BC8 I ,+FI@E)5 > :=NPZ FF[6ž, @AF[,?E)8;,?*v,+5@]F[6G8Ž 6D\^3+B=8 I ,+FI@'*BCœJ6;*BC8„T~5\)3+\^E)67@~\^:5 >\^, Y Z'LE , (p) ,_FR@h*vBCœ^67*BC8„sSy:5 FI6D\^3+N[:5 FE)5t3+873+*-,+5f@ α ∈ A |}:=5 j=3+N[67Š ,ŒB=6;F[3?*v,?5f@0LfEGŽ 678y,+FI@06;5fj,?N`FI6;K)8;,ŒFI6y, @ F[,?E 87,+*-,+5f@4F[6 ,_FR@4675Jj,?N`FI6;K)8;,=„wA675FI6|“87,_F~3+873+*v,?5f@PF~5):=5š675Jj=,+NPF[6;K)87,_FA\^,-8Ž B=5)5),+B=E FI:5@ ,?œ)B=>@P,?*v,?5f@'> ,?αE)mod œLfE)6“pjzBC8;,?5f@ 0 *v:^\^E)8;: p |J6„ ,„^> ,~F[:=5f@'87,_F3+873+*v,?5f@PFX\^,48 Ž 6;\)3+BC8 (p) „^UhŽ B=E^@[NPA,AZ B=NI@_| F[:=67@ E)5 6D\^3+B=8 „“WJ6 >?:=5f@[6;,?5f@]E)5 3+873+*v,?5f@]675Jj,?N`FI6;K)8;,BC8;:=N`F I = A „U~:=5> I ⊂ (p) |> ,hLE 6 @P,?NP*vI675)⊂,8DABvZ)NP,?E)j,=„ I  n " #¡– #ˆ• " % O   " "  )q  )™ R• # p +    3V3    R  `0     

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(105) 6 5 . . k. 0G  */

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(112)    1  3  1 Y X /  /  x 5

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(115)  C. deg(P ). 1. 2. . . pk. C40. k. pk. 41 . k. . * /  /  P J 1  * /    J# "  %  6M     /    χ 1   3

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(117)   (pk , m) 0G Fp C40G

(118) Y9 0G  -            . .   O

(119)  O - α∈ (pk , m)  6CN0G

(120)   O χ(α) = α + (p) J &  R? J# J# " %  R   - 1  */ x = X mod P (X)  E 3   3 E

(121) (4/   0G

(122) */   P J χ(x)  /0G  - 1  */ 3 E

(123) 1

(124) A/

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(126)   7      0Gc7  0 3  1 0G >/

(127) 3

(128) O 2 /

(129)       F m. pm − 1 5. n o m T ∗ = 1, x, . . . , xp −2. 3  F - 3   3 E

(130) (N/  3   O   */  B5 /  0 /   1  I/  . T∗.   O /  

(131)     

(132)      . T ∗

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(136) . . ,,. z• •#p ˆ– ˆ• m znJp  " – )–J#ˆ• " p Jpvnf™ nJr  " –+p  !1Y + Y],?Z)NP3+F[,?5f@PBC@[6;:=5B=\)\^67@[6;j=,  α (  O E

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(141) A/.  1. i=0. α=. T. .   O. λ i xi. k−1 X. 1Y. (pk , m) J. (λi ) ∈ Zpk m ..  F   K

(142)  G0 R

(143) MCN0 0 - >   1  O k. . µj p j. α∈. (µj ) ∈ T. j=0. ,. /  3F3  -   41   K

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(286) A/ O = O

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(288)

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