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coefficients périodiques : application à un rotor industriel
Mario Defilippi
To cite this version:
Mario Defilippi. Méthodes numériques pour les systèmes différentiels à coefficients périodiques :
ap-plication à un rotor industriel. [Rapport de recherche] Publications du LMA, numéro 135, LMA. 1991,
70 p. �hal-01365732�
n° 135
(novembre
1991)
NOTES
SCIENTIFIQUES
METHODES NUMERIQUES
POUR LES SYSTEMES DIFFERENTIELS
A COEFFICIENTS PERIODIQUES.
APPLICATION A UN ROTOR INDUSTRIEL
Mario DEFILIPPI
METHODES NUMERIQUES POUR LES SYSTEMES
DIFFERENTIELS
A COEFFICIENTS PERIODIQUES.
APPLICATION A UN ROTOR INDUSTRIEL.
Résumé.
L'objet de cette recherche (°) est la mise en place d'un logiciel de
résolution d'un système général de N équations du second ordre couplées, à
coefficients périodiques, en vue de la détermination de la stabilité des
solutions et des réponses forcées. La principale application visée concerne le
comportement dynamique des machines tournantes.
Un algotithme itératif faisant appel à une méthode de Hill généralisée,
inspiré d'un travail de Rossetto, est mis en 9uvre. Cet algorithme a donné
d'excellents résultats sur des exemples de rotors en faible dimension mais
aussi sur un exemple fabriqué en dimension 20.
Cependant, concernant la stabilité, il n'a pas fournit les résultats
escomptés sur un modèle de rotor industriel à 20 DDL étudié par ailleurs à
l'INSA de Lyon, vraisemblablement à cause de problèmes de précision dans
le calcul numérique de grands déterminants mais aussi à l'introduction
artificielle des coefficients périodiques par changement de repère.
Les réponses forcées, dues aux balourds, ont été, elles, obtenues avec
une grande précision sous forme d'approximations de Galerkin.
(°)
Cette recheche à fait l'objet d'une aide du Ministère de la Recherche et
de l'Enseignement Supérieur. Décision d'aide n° 87 E 0132.
SOMMAIRE
Introduction.
7
I. Stabilité des systèmes à coefficients périodiques. Bref rappel de la
11
théorie de Floquet - Liapounov.
II. Procédés de calcul des exposants de Floquet.
13
IL1. Calcul numérique de la matrice fondamentale
13
de solutions et de ses valeurs propres pour t = T.
11.2. Equation de Hill et l'équation caractéristique du
13
déterminant infini.
11.3. Généralisation à N équations du second ordre couplées.
14
11.3.1. Méthode de Noah et Hopkins.
14
11.3.2. Le procédé itératif de Rossetto.
18
III. Stabilité d'un modèle de rotor en dimension 2.
21
IIL 1. Le modèle étudié.
21
111.2. Mise en oeuvre du procédé de Rossetto.
24
111.2.1. Détermination des valeurs initiales del.
24
RI.2.2. Résultats numériques.
26
111.3. Mise en oeuvre de la méthode de Noah et Hopkins.
29
IV. Oscillations forcées.
31
IV. 1. Généralités.
31
IV.2. Réponse au balourd du modèle de rotor en
32
dimension 2.
V. Essais en dimension supérieure à 2. '�
v-*e ...f*
3
�
��-.
V.1. Modèle de rotor en dimension 4.
36
V.2. Exemple "fabriqué" en dimension 20.
38
Sous - systèmes découplés.
V.3. Exemple "fabriqué" en dimension 20.
39
Sous - systèmes couplés.
V.4. Modèle de rotor industriel en dimension 20.
39
V.4.1. Etude de la stabilité.
40
V.4.2. Oscillations forcées. Réponse au balourd.
41
Tables. 45
Bibliographie. 55
Annexes.
Annexe. 1. Application à l'équation de Hill. 57 Annexe. 2. Exemple de résultats en dimension 2 59
visualisant la convergence du procédé itératif.
Annexe. 3. Modélisation des rotors. Rappels. 65 Annexe. 4. Modèle de rotor industriel. 67 Annexe. 5. Algorithme de calcul des multiplieurs 69
INTRODUCTION.
Les systèmes différentiels linéaires du second ordre à coefficients périodiques se rencontrent fréquemment comme modèles de comportements dynamiques. Entre autres exemples, les conduites avec fluide pulsant, la stabilité aéroélastique des pales d'hélicoptère, les oscillations d'un liquide dans un réservoir flexible, les machines tournantes, conduisent à de tels modèles.
Actuellement la prédiction du comportement dynamique d'un rotor dans le domaine linéaire à coefficients constants est bien maîtrisée. Cependant, la prise en compte de dissymétries d'arbre et de paliers , la présence de couples transversaux , la fissuration des arbres, induisent dans les équations des coefficients périodiques qui influencent la stabilité des systèmes [1],[2],[3]. Il s'avère nécessaire de développer des méthodes appropriées à une classe assez générale de grands systèmes à coefficients périodiques.
Les méthodes de résolution des équations linéaires à coefficients périodiques relèvent toutes de la théorie de Floquet (1883) à l'exception des cas où le système résulte d'une perturbation d'un système à coefficients constants [4].
Les exposants de Floquet renseignent sur la forme et la stabilité des solutions mais ne peuvent être déterminés que numériquement, généralement par des méthodes d'intégration pas à pas pour lesquelles, dans certains cas, le choix du pas en temps peut être critique. Une autre façon de procéder utilise un développement de Galerkin des solutions et conduit à la méthode du déterminant infini de Hill où les exposants de Floquet apparaissent comme les valeurs qui annulent le déterminant d'une matrice infinie. Il est clair que la mise en oeuvre exige de tronquer le développement de Galerkin, et par suite le déterminant, à un ordre fini donné. De ce point de vue doivent être cités les travaux déjà anciens de Bolotin [5], Szemplinska-Stupnicka [6] et Valeev [7]. Pour les rotors soumis à un couple transversal sinusoïdal Unger et Brull [8] utilisent un déterminant tronqué à l'ordre 1 et ramènent la recherche des exposants de Floquet à un problème de valeurs propres. Ils soulignent cependant la lourdeur et le temps élevé de calcul et ne donnent aucun procédé de contrôle de l'erreur induite par la troncature du déterminant.
Dans un article récent Weyh [16] propose un algorithme, fondé sur la méthode de Hill - Galerkin, pour construire des domaines paramétriques de stabilité sans avoir à calculer la valeur du déterminant.
Dans ce travail on considère le système linéaire à coefficients périodiques (T = 21t/D.) de dimension N
M M
x(t) + ( IpceikQt) x(t) + ( EKkeikIît) x(t) = 0 (1) k=-M k=-M
Les modèles de rotors discrétisés par éléments finis conduisent à une équation de ce type, S2 étant relié à la vitesse de rotation.
La méthode "historique" de Hill généralisée aux systèmes multidimensionnels est mise en oeuvre numériquement suivant les résultats de [9],[10]. Au déterminant infini précédent, dont ils démontrent la convergence, Noah et Hopkins associent une représentation analytique fermée, l'équation caractéristique. La variation de l'argument de l'équation caractéristique sur le cercle unité renseigne directement sur la stabilité du système sans effectuer le calcul explicite des exposants de Floquet. De son côté Rossetto utilise une idée similaire et développe une procédure numérique itérative contractante pour le calcul des zéros de l'équation caractéristique. Dans une première étape, le calcul du déterminant convenablement tronqué effectué pour un ensemble arbitraire d'exposants de Floquet, permet d'identifier les coefficients de l'équation caractéristique. Dans une seconde étape la résolution de l'équation caractéristique fournit un nouveau jeu d'exposants de Floquet pour une nouvelle identification. Le procédé est itéré jusqu'à la convergence.
Les méthodes de Noah et de Rossetto sont mises en oeuvre sur un modèle élémentaire de rotor à 2 DDL (deux équations couplées du second ordre). Il est montré que la méthode de Noah, pour être efficace, demande de tronquer le déterminant à un ordre plus élevé que ne l'exige la méthode de Rossetto.
Ce dernier procédé, itératif, suppose la connaissance à priori d'un ensemble de valeurs arbitraires d'exposants pour amorcer l'itération. Deux façons pour déterminer ces valeurs initiales sont proposées. L'une consiste à utiliser les valeurs propres du système déduit de (1) en ne conservant que les valeurs moyennes, sur une période, des termes périodiques d'amortissement et de raideur. La seconde revient à identifier les coefficients du polynôme
caractéristique à l'aide d'une procédure FFT, les racines fournissent alors un
jeu de valeurs initiales.
Des résultats de stabilité sont présentés pour un système à 20 DDL
"fabriqué" de façon à pouvoir contrôler le calcul des exposants
caractéristiques. L'algorithme proposé demande de tronquer le déterminant à
un ordre faible, la convergence est rapide et les exposants caractéristiques
calculés avec une très bonne précision.
La prédiction des comportements dynamiques forcés, synchrones
(balourd; période T associée à la vitesse de rotation), est aussi d'une grande
importance dans le domaine des machines tournantes. Le système homogène
étant lui - même T- périodique, les réponses synchrones seront T -
périodiques.
La prise en compte d'un balourd fait intervenir un second membre dans
l'équation (1) de telle sorte que
M
M
L
x(t) + (
�CkeikS2t) X(t) + ( EKkeik0t) x(t) = IFIeili2t
(2)
k=-M
k=-M
k=-L
Les solutions synchrones sont approchées par un développement de Galerkin
à l'ordre P
P
x(t) _ ^XPe-'P"1
�-P
Les coefficients XP sont obtenus par balance harmonique. Le système
linéaire correspondant d'équations déterminantes a la même structure que
celui intervenant dans l'analyse de la stabilité. Ainsi le calcul des réponses
forcées apparaît comme un "sous produit" de l'algorithme mis en oeuvre dans
la détermination de la stabilité. Cette méthode présente l'avantage, sur les
méthodes d'intégration pas à pas, de fournir des renseignements sur le
contenu spectral des solutions calculées et de supprimer la difficulté du choix
d'un pas d'intégration. D'autre part on peut, en appliquant les résultats de
[11],[12],[13], estimer numériquement l'erreur de troncature à l'ordre P par
rapport aux solutions exactes.
L'algorithme est appliqué à un modèle de rotor industriel en dimension 20 dont les réponses forcées sont calculées par intégration numérique directe (méthode de Newmark) dans [3]. Le calcul des régimes forcés dus à des balourds s'avère être pleinement satisfaisant.
L'étude de la stabilité pour le modèle de rotor industriel en dimension 20, réalisée par intégration numérique directe dans [3], n'a pu être menée à bien par l'algorithme itératif proposé. Le déterminant tronqué est dans ce cas obtenu numériquement égal à zéro pour les valeurs utilisées des exposants. L'évaluation avec une précision suffisante du déterminant tronqué suppose des procédés de calcul plus performants que celui utilisé dans ce travail. Il faut remarquer ici que le modèle à coefficients périodiques est construit par changement de repère à partir d'un système à coefficients constants ce qui peut lui conférer des propriétés particulières.Cependant le calcul des régimes forcés dus à des balourds donne de très bons résultats.
I. STABILITE DES SYSTEMES A COEFFICIENTS PERIODIQUES. BREF RAPPEL DE LA THEORIE DE
FLOQUET-LIAPOUNOV. [14] Soit le système différentiel
x(t)=A(t).x(t) (1.1)
où la matrice A(t) est périodique, de période T et de dimension NxN A(t) = A(t+T) T�0
On montre que toute solution particulière est de la forme [14] x(t) = exp(�,t).p(t)
Le coefficient X est dit exposant caractéristique (ou de Floquet) et p(t)=p(t+T)
Le signe de la partie réelle de X, déterminée de façon unique, renseigne sur la stabilité de la solution nulle. La partie imaginaire, définie à 2kin/T près, renseigne sur la nature du transitoire. Les multiplieurs caractéristiques définis de façon unique par
p = exp(ÀT)
sont les valeurs propres de la matrice F(t) où F(t) est la matrice fondamentale principale de solutions de (1.1) telle que F(0) = I. On montre que F(t) s'écrit
F(t) = P(t)exp(Bt) avec
P(t) = P(t+T) et F(0) = I
Les exposants caractéristiques sont les valeurs propres de B.
HP =exp( f trA(s)ds) et �. _ (1�T) f trA(s)ds (mod2ni/T)
N 1 T N 1 T
Stabilité. La solution nulle est asymptotiquement stable si et seulement si partie réelle des li�O ou 1 ri � 1
p=l indique l'existence d'une solution T-périodique p=-1 entraîne l'existence d'une solution 2T-périodique.
Un exposant de Floquet X = a+ib avec a�0 et b # 0 correspond à une instabilité par "résonances combinées" (période T et 2n/b).
IL PROCEDE DE CALCUL DES EXPOSANTS DE FLOQUET.
Les multiplieurs caractéristiques étant les valeurs propres de la matrice
fondamentale en t = T leur détermination passe par le calcul numérique des
solutions, la matrice fondamentale n'étant pas en général connue de façon
analytique contrairement au cas des systèmes à coefficients constants (A =
cte.) où celle - ci est donnée par F(t) = e�. Les exposants caractéristiques
sont simplement les valeurs propres de A.
II.1. Calcul numérique de la matrice fondamentale de solutions et de ses
valeurs propres pour t = T.
La matrice fondamentale de solutions est généralement calculée en résolvant,
sur (0,T) par une méthode pas à pas, le système
F(t) = A(t).F(t) avec F(0) = 1
les multiplieurs caractéristiques sont obtenus par calcul des valeurs propres de
F(T).
Les limitations de cette méthode sont liées à
temps de calcul élevé dans le cas des grands systèmes
choix du pas d'intégration (qui peut être critique dans certains cas)
non contrôle de l'erreur
solution entièrement numérique pour les parties périodiques p(t).
°
IL2. Equation de Hill et équation caractéristique du déterminant infini.
L'équation historique de Hill s'écrit
x(t)+J(t).x(t) = 0
où x(t) est un scalaire et J(t) une fonction paire telle que J(t+n) = J(t)
J(t) = Jo+EJ2m.cos2mt
m
Suivant Floquet une solution x(t) est de la forme
x(t) = exp(It)Y-c2,.exp(2int)
En reportant les expression de J et x dans l'équation de Hill il vient un système d'équations linéaires B.C=0 où C est le vecteur des coefficients en nombre infini et B une matrice comportant une infinité de lignes et de colonnes qui dépend de X. Une solution non nulle existe si
det(B) = D(k) = 0
Hill montre que le déterminant infini D(k) est convergent et s'exprime suivant
D(k) = l+K/[cos(i7�)-cos(Jta)], a2=Jo, i2=-l
K est une constante calculée en faisant 1 = 0. Celle - ci peut s'exprimer en fonction de D(0) de telle sorte que résoudre D(k) = 0 revient à résoudre l'équation
sin2(ina/2) = D(O)sin2(na/2)
dite équation caractéristique, ce qui nécessite au préalable le calcul de D(0). Hill effectue un calcul de D(0) en utilisant un développement limité de D(�,). L'équation caractéristique se généralise aux systèmes en dimension N. IL3. Généralisation à N équations du second ordre couplées.
IL3.1. Méthode de Noah et Hopkins. r91
Le procédé de Hill se généralise à un système de N équations couplées
x(t) + CCt).x(t) + K(t).x(t) = 0 (IL 1 ) où C(t) et K(t) sont 2n périodiques données sous forme de séries trigonométriques finies
M M
C(t) = XC'e*1 et K(t) = £Kkeikt k=-M k=-M
Les Ck et Kk sont des matrices NxN à coefficients constants
éventuellement non symétriques, supposées être à valeurs réelles pour
simplifier. Suivant la théorie de Floquet toute solution est de la forme
00
x(t) = L,Xl1exp(À+int)
(11.2)
X" est le vecteur des coefficients de Fourier d'ordre n (n entier), X est un
exposant de Floquet.
Après avoir reporter (11.2) dans (IL 1 ) le système d'équations qui
détermine Xn s'obtient par annulation des termes exp(int) de même puissance
soit
M
(1 + in)2Xn +
�[(�1+i(n-k))Ck+Kk].X"-k
= 0
(11.3)
k=-M
où n varie de -00 à +00.
Chacune des équations (11.3) peut être multipliée par la matrice
constante
[-n2j + diag[KO] - (diag[CO/21)21-1
sans modifier la solution ce qui exclut les cas où le crochet serait nul. Ce
système d'équations est de la forme
BX=0
X est un vecteur infini composé de sous-vecteurs XJ, j = n-k.
B est une matrice infinie composée de sous-matrices Bnj où n et j indiquent
les indices ligne et colonne de B. Les éléments diagonaux et hors diagonaux
de B sont donnés par
(1..+in)2+(1..+in)CO +KO
(1..+iJ.)c"-j+Kn-j
Bnn Ir =
-n2+K
�-[C�]2
2
(114)B"°^
�^"1-5�
Le nombre d'harmoniques des éléments périodiques du système étant limité à M il en résulte que la matrice infinie B est une matrice bande ayant N(M+1)-1 diagonales non nulles de part et d'autre de la diagonale principale. Noah et Hopkins utilisent cette propriété pour montrer que le déterminant D(À) = det(B) est absolument convergent et obtenir l'équation caractéristique en fonction des exposants de Floquet. Dans ce but le déterminant D(À) est réécrit sous la forme
D(À) = D1(X)T7 lim j� ((À+in)2+(À+in)CO +KO»)I(-n2+KO -[CO n]2) (11.6)
!=1
Les éléments diagonaux et hors diagonaux de la matrice dont le déterminant est Dl s'écrivent
D rr nn = 1 et " rs nJ'
(X+in)2+(5i+in)C°+Kj If
(Il.7) Noah et Hopkins montrent que D1(A.) a une valeur finie ainsi que le produit qui figure dans l'expression de D(k).
11.3.1.1. Equation caractéristique.
Noah et Hopkins montrent que le déterminant D s'exprime en fonction de X par D(À) = (-l)NDl(�)n.sini7t(�.-�.',)sini7t(�)/sin2(jr(K�-[C°/2]2)t/2) N DI(k) = 1 + LrR;cotgi1t(À-À;)-R�cotgi1t(À-À�)] où kr 1,2 = -c�� 0 ± KK°-[C^2]2)l/2 (11.9)
sont des pôles simples de D1(X) ( au sens où les racines de ^�2+^Cn.+Krr = 0 le sont).
R�,2 sont des constantes qui vérifient L (R I-R2) = 0 En posant
z = exp(2n�.) et c�,2 =
exp(-2�� �) on obtient l'équation caractéristique sous la forme
f(z) =n (clz-1)(c2z-1) - -ZP(Rr1(cr1z+l)(c^-l)-Rr2(cr2z+l)(c'z-l))
où (11.10)
P = llCclz-1)(c2z-1)
Les coefficients
R j sont donnés
par
R
�
2
=
° 1tDI .. (À. ° s 1,2)
N
1I((À.
2)2+À
�
�,2CO
+Ko) (11.11)
M
2(K
� [C�J2] ) n=l^s ll2
� T "
Dj est le déterminant
de la matrice
obtenue
en multipliant
les éléments
définis
en (11.7)
pour lesquels
n = 0 par
D ne possède donc pas de pôles en Xj 2- 11.3.1.2. Mise en oeuvre.
L'évaluation des constantes Ri,2 demande le calcul de 2N déterminants
(Dl(Â.l,2) s = 1,...,N).
En pratique on ne sait calculer que des déterminants tronqués à un ordre fini à partir de (11.7) où -NT � n �_ NT c'est à dire un déterminant associé à une matrice N(2NT+l)xN(2NT+l). Nous rappelons que l'équation caractéristique (11.10) avec (11.11) suppose que les pôles (7� r 1,2) soient des pôles simples.
La variation de l'argument de l'équation caractéristique lorsque z parcourt le cercle unité renseigne sur la stabilité du système sans avoir à effectuer le calcul explicite des exposants de Floquet.
IL3.2. Le procédé itératif de Rossetto. [10]
Les résultats sont établis pour un système de la forme x=A(t)x, A(t)=A(t+T),et s'adaptent au cas de l'équation (Il.1). Ils font appel au théorème de Noah et Hopkins relatif à la convergence du déterminant. Rossetto exprime Dl (k) défini en (11.7) suivant la forme fermée
2N
Dl(?,) = j'[ (exp(TÀ) - exp(TÀk))/(exp(TÀ) - exp(TÂ��k» (11.12) k=l
où les Àk sont les exposants de Floquet cherchés et les a,pk sont les pôles de Dol Indéfinis en (IL9) et tels que
2N
I(Ik - kOk) 0 k=l
En posant z = exp(U) et zok = exp(T�0k) et si Â.k *- Àok alors (11.12) est
zn+Slzn-l+"'+Sn=DI(X)[Zn+Solzn-1 + - - + Son ] (11.13) avec Son = Sn et n = 2N. Les constantes Sk s'expriment comme des sommes de produits de multiplieurs caractéristiques.
On peut les identifier, étant données 2N-1 valeurs de z différentes entre elles et différentes de ZQk, en résolvant un système linéaire de 2N-1 équations ce qui demande le calcul de 2N - 1 déterminants D1(X). Ces constantes étant identifiées les multiplieurs caractéristiques sont alors obtenus en résolvant l'équation caractéristique
zn+ Sizn-1 + � � + Sn-iz + Sn = 0 (11.14) Le procédé numérique comporte donc deux phases. Une phase d'identification des constantes Sk qui demande le calcul numérique du déterminant tronqué à l'ordre NT comme en II.3.1.2 pour n - 1 valeurs de z différentes entre elles et différentes de zok. Et une phase de résolution de l'équation caractéristique (11.14). Des arguments sont donnés pour montrer que l'erreur commise par troncature du déterminant est d'autant plus faible que les X utilisés pour l'identification sont proches des exposants de Floquet. De ce fait le procédé peut être rendu itératif, la résolution de l'équation (11.14) à l'itération j fournissant des valeurs de z pour l'identification à l'itération j+1. Le procédé numérique itératif est alors contractant.
Ce procédé itératif pose le problème de la détermination, pour N grand, de 2N-1 valeurs arbitraires de À "suffisamment" proches des exposants de Floquet pour amorcer le procédé. L'étape d'identification suppose également que les multiplieurs caractéristiques soient, à chaque itération, tous différents.
L'identification des coefficients de (11.14) exige de résoudre, à chaque itération, le système linéaire
'. : zl � � � : zl ] SI =SM (IL15) 2N-1 2N-2 T2N-1 T2N-1 ' ' z2N-I 1 S2N-1
avec
' 2N D(Â.I)[ £..J "'" zl 2N-k SOk+z1 2N ]-Zl 2N -S02N k=l SM = 2N L k=loù les Zi = eT^ sont complexes et obtenus comme solution de (11.14) à l'itération précédente.
L'annexe 1 reproduit un extrait de [10], relatif à l'équation historique de Hill, montrant l'efficacité du procédé.
III. STABILITE D'UN MODELE DE ROTOR EN DIMENSION DEUX.
Afin d'illustrer et de comparer les deux procédés de calcul des exposants de Floquet leur mise en oeuvre est réalisée pour un système en dimension deux tiré du mémoire de thèse de P.M.Guilhen [3], élaboré au Laboratoire de Mécanique des Structures de l'INSA de Lyon. Le modèle a été choisi en vue de tester les méthodes de calcul. Il représente un modèle de rotor dont l'équation dynamique peut être décrite par un système linéaire à coefficients constants dans un repère fixe, où l'étude de la stabilité se ramène à un simple calcul de valeurs propres, ou, dans un repère mobile, par un système à coefficients périodiques dont les exposants caractéristiques sont reliés simplement aux valeurs propres précédentes ce qui permet de valider leur calcul.
IIL 1. Le modèle étudié.
Le rotor est schématisé par la figure 1. L'arbre est symétrique, ainsi que le disque, et repose sur des appuis.
fig. 1
La suspension (ressort plus amortisseur) est placée au tiers de la longueur de l'arbre. Elle n'agit que suivant l'axe des Z ce qui crée une dissymétrie. Un balourd de masse m peut être placé à une distance a du centre du disque.
L'énergie cinétique et l'énergie de déformation de l'arbre sont seules
prises en compte pour l'analyse du mouvement du rotor. Une méthode de
Rayleigh-Ritz permet de limiter le nombre d'équations, les fonctions de
déplacement choisies sont celles d'une poutre appuyée aux extrémités. La
mise en équation, détaillée dans [3] conduit, dans le repère tournant (x,z), au
système à coefficients périodiques, de période T=n/i2,suivant
MX+[Cp(i2)+Cl sin2f22+C2cos2S2i]z
+[Kp(S2)+Ki (S2)sin2i2i+K2(S2)cos2i2i]x
= 0
(111.1 )
où x=(xl x2)t et les matrices de masse, d'amortissement et de raideur ont les
valeurs suivantes
M =
0
7.777 J
C 20
2
C = [ 0 -20J C = [-20 0 J (111.2
r7.829104-3.998
�2
20Q
1
r 20Q -.371104
°
L
-20Q
7.829104-3.998S22J K1 [-.371104 -2052 J
K
2-C-.371104 -20Q 1
z L -20Q -.371104 JDans le repère fixe (X,Z) la dynamique du rotor est décrite par le système à coefficients constants
C7.777 0 1 0 -3.778QTxtj7.458 104 0 XI "I 0 0 7.777 Xl 13.7780. 40 X2 14 8.2 104 0 J x2 J ~ 0 (111.3)
L'effet d'un balourd est pris en compte par l'introduction d'un second membre
F
IniaD2 dans le repère tournant F = 2
CcosS2tJ dans le repère fixe.
La matrice de masse étant inversible les deux membres de l'équation (m.1) peuvent être multipliés par [M]'1. D'autre part le changement de temps t = 2Qt rend le système 2a-périodique, qui s'écrit alors
x + [C°(£2)+C-1e-'t+C1eit] x +[KO(0)+K-'(0)e-'t+K'(Q)e't] x = 0 (111.4) avec C°(�) _ � M]-1Co(�) C-1 = -L(M]-'[C2 + icil ; Cl = [C-11* (111.5) KO(ÇI) 4f22[M] 11C0(S2) K-t(S2) = g�2 [Ml-t[K2(f2) + iaa(S2)] : K1(S2) _ [K-1]*
Le système (111.4) est de même forme que (Il.1), les termes périodiques ne contenant qu'un seul harmonique.
Le changement de variable t = 2DT n'affecte pas les multiplieurs caractéristiques mais il affecte les exposants de Floquet qui se déduisent de la relation � = 2�.;.
La stabilité du mouvement décrit par (111.1) dans le repère mobile est déterminée dans [3] à partir de la matrice fondamentale calculée sur (0,T) par intégration numérique (méthode de Newmark). Le résultat est confirmé par le
calcul des valeurs propres du système à coefficients constants qui représente le mouvement dans le repère fixe.
Le système (III. 1 ), avec (II.2), est ici utilisé pour tester les méthodes de Noah et Hopkins et de Rossetto et les résultats numériques seront comparés aux valeurs propres du système à coefficients constants (111.3). IIL2. Mise en oeuvre du procédé de Rossetto.
IIL2.1. Détermination des valeurs initiales de k.
Dans ce procédé l'itération s'effectue, sur cet exemple où N = 2, à partir de 2N-1 = 3 valeurs arbitraires de X. La convergence est d'autant plus rapide que ces valeurs initiales sont "proches" des exposants de Floquet. Deux approches sont proposées pour la détermination des valeurs initiales de La première consiste à calculer les valeurs propres pour le système différentiel obtenu en prenant la valeur moyenne, sur une période, des termes périodiques dans (111.4). La seconde utilise une technique d'identification par transformée de Fourier.
I112.1.1. Valeurs propres du système moyenné.
Si seule la valeur moyenne des termes 2n-périodiques est prise en compte l'équation (111.4) se réduit à un système à coefficients constants
x + CO x + KG x = 0 et les valeurs de X cherchées satisfont
det[ k2 + Cok + KO] = 0
Les matrices CO et Ko, données en (IIL2), sont antisymétriques de la forme .
[ab] �=�-[£;] Par suite les X sont racines de l'équation
1..4 + 2aX3 + (a2+2A+b2)X2 + 2(aA+bB)k + A2+B2 = 0 Pour f2 = 100 rd/s les valeurs obtenues sont
11,2 = -.794950 10-2 ± i .137738
(IIL6) X3,4 = -.490893 10-2 ± i .893814
1112.12. Calcul des Â. initiaux par identification. L'équation (II. 13) peut s'écrire
zn + Slzn-1 + ... + Sn- 1 + Sn = So(z)Dl(LN(z)) = O(z) (111.7)
où O(z) est connue pour une
valeur de z donnée.
Soient K valeurs de z, K �
2n+l, telles que
Zk = p exp(-i2nk/K); k = 0,
1, "',K-1
où p est arbitraire. (cf.fig 2)
fig.2 A ces valeurs de z correspondent K valeurs de À telles que
LN(p) ik 2n K
Le déterminant qui figure au second membre de (IIL7) doit être calculé pour chacune des valeurs de kk. Pour une valeur de zk donnée (III. 7) devient
pn exp(-i2ttknJK) + � + Smpn-mexp(-i2nk(n-m)/K) + � � +Sn = 4�(Zk) (111.8) Le coefficient Sm est obtenu en multipliant les deux membres de (111.8) par exp(i2nk(n-m)/K) et en effectuant la sommation sur k de façon à utiliser l'orthogonalité de l'exponentielle. Il vient
i K-1
Sm = 1 ��hcexp(i27tk(n-m)/K) (III.9) KP"-m g)
avec
�))k=�))(pexp(-i2jtk/K))
Les coefficients Sm peuvent ainsi être calculés à l'aide d'une sous- routine de FFT. Pour une meilleure précision le calcul est effectué sur des réels, Sm étant réécrit Sm = A + B avec
K-l A = Re[^X(Re�t�k)exp(-i27tk(n-m)/K)]/pn-m ka (IIL 10) 1 x-1 B =
Im[ � L,(lm4�k)exp( -i21tk(n-m)/K)]!po-m ka
Les coefficients Sm étant réels K doit être supérieur à 2n+1. Dans l'exemple traité 2N = 4 et par suite !Q9. La valeur de p qui permet d'ajuster les valeurs initiales est choisie égale à 1, les Zk sont sur le cercle unité. Les racines de l'équation caractéristique utilisées pour initialiser l'itération ont pour valeur
zl,2 = .613750 ± i .722203 Xh2 = -.853776 10-2 ± i .137892 z3,4 = .765760 ± i .600638 �.3,4 = -.432042 JO-2:t i .105860 IIL2.2. Résultats numériques.
Les calculs sont effectués avec les valeurs (III.2) et S2 = 100 rd/s, le déterminant est calculé tronqué à l'ordre 10. La table 1 permet de comparer les résultats.
Les deux points de départ conduisent à des valeurs numériques identiques. Toutefois, les multiplieurs caractéristiques gardent une valeur fixe à partir de la sixième itération si le procédé est initialisé par les valeurs propres du système moyenné tandis que les valeurs obtenues par identification conduisent au résultat à partir de la troisième itération (cf.annexe 2 pour résultats détaillés).
Cet exemple montre l'influence de la valeur de départ sur le nombre d'itérations nécessaire à la convergence.
La précision du calcul peut être estimée en comparant les résultats à ceux obtenus directement à l'aide de (111.3). En effet les solutions de (III. 1 ) sont de la forme x = e�t p(t), p(t) = p(t + n/S2) et les solutions de (111.3) du type en avec r = a ± ico. En posant 1 = r - m, x peut s'écrire
x = e2iilt exp(r - ml)
où le terme e2lîît est n/S2 périodique. D'où la relation entre r et les multiplieurs caractéristiques p = e7tÃ/Q
(j f2 LN(j p 1) 1t
w = � Arg(p) + S2 ± 2k7t
1t
Dans le cas de l'équation (IIL3), le calcul de a et w revient à résoudre une équation algébrique du quatrième degré et les valeurs peuvent être comparées à celles obtenues à partir des multiplieurs caractéristiques. Les résultats sont résumés ci-dessous
Système à coefficients constants al = -.863063 COI = 78.81633 a2 = -1.708696 w2 = 127.5648 Valeurs déduites des multiplieurs caractéristiques
al = -.863107 col 78.82345 a2 = -1.708598 ar1= 127.5677
et montrent un très bon accord des valeurs obtenues par le procédé itératif avec celles données par un calcul de valeurs propres.
L'effet de l'ordre de la troncature sur le calcul du déterminant est testé par comparaison des résultats pour 2, 3, 5, 10, 30 et 100 harmoniques (cf.table 2 pour 2,3,5 harmoniques). Les essais sont réalisés à partir de valeurs initiales identifiées. Pour 2 et 3 harmoniques les multiplieurs oscillent fortement jusqu'à l'itération 10. Pour 5 harmoniques les oscillations s'atténuent et se stabilisent à partir de la cinquième itération, la convergence est obtenue en 3 itérations pour 10 harmoniques.
Remarque. 1.
Le calcul des valeurs propres du système moyenné amorti et non symétrique, éffectué au § 111.2.1.1, suppose, pour des systèmes d'ordre élevé, la mise en oeuvre d'un code de calcul spécialisé. Par contre le procédé d'identification utilisé au § 111.2.1.2, n'introduit aucune difficulté supplémentaire en dimension élevée.
Remarque.2.Système instable dont le système moyenné est stable.
De façon à mettre en évidence l'effet sur la stabilité des termes périodiques un exemple est donné où le système à coefficients périodiques est instable bien que le système moyenné, à coefficients constants, correspondant soit stable.
Le système est obtenu à partir de (III. 1 ) dans lequel les matrices de masse M , d'amortissement et de raideur moyen C 0 et K 0 sont inchangées, les termes périodiques sont multipliés par 4.
Les exposants de Floquet du système moyenné restent inchangés soit X1�2 = -.794950 10-2 ± i .137738
Al,2 = -.490893 10-2 ± i .893814
Les parties réelles étant toutes négatives le système moyenné est stable. Le calcul itératif effectué avec ces valeurs pour point de départ donne
MULTIPLIEURS CARACTERISTIQUES
PARTIE REELLE PARTIE IMAGINAIRE MODULE
0.565413E+00 0.697669E+00 0. a?BO 17E+00
0.565413E+00 -.697669E+00 0.999017E+00
0.770606E+00 0.679O98E+00 0. 10'-:714E+01
0.770b06E+00 -.67909BE+00 0.102714E+O1 1
PLUS GRAND MODULE -O.10Z714E+Ol
EXPOSANTS DE FLOQUET
PARTIE REELLE PARTIE IMAGINAIRE
-.171197E-01 0.141604E+00
-.171197E-01 -.141b04E+00
0.4261"-c'ZE-02 0.114967E+00
0.426123E-02 -.114967E+00
Deux exposants de Floquet sont à partie réelle positive et par suite le système est instable.
III 3 Mise en oeuvre de la méthode de Noah et Hopkins.
Pour le système mécanique considéré l'équation caractéristique est à coefficients réels. D'après (111.2) et (111.5) il est clair que les éléments de la diagonale principale des matrices Co et KO sont identiques. Il en résulte que les quatre pôles du déterminant Dl sont deux à deux identiques et la méthode de Noah et Hopkins ne s'applique pas directement (cf. (11.2) et la phrase suivante). Pour pouvoir l'appliquer on pourrait faire un changement de coordonnées convenable, on se borne ici à modifier la matrice de masse dans (üI.1 ) de telle sorte
m 7.777 0
ce qui supprime les pôles identiques. La vitesse de rotation S2 est encore choisie égale à 1OOrd/s. Les résultats de la table 3 montrent la très grande influence de la troncature du déterminant sur le calcul des multiplieurs caractéristiques. La valeur peut varier, en fonction du nombre d'harmoniques, jusqu'à donner une indication erronée sur la stabilité pour NT= 10.
Le procédé de Rossetto appliqué au même exemple donne des valeurs stables des multiplieurs caractéristiques
zl,2 = .621855 ± i 0.717659 Z3,4 = .522617 ± i 0.825102
à partir d'une troncature du déterminant à l'ordre 10. La table 3 montre que la méthode de Noah nécessite 500 harmoniques pour obtenir un résultat voisin.
La possibilité de tronquer le déterminant à un ordre faible est un point important pour les systèmes en dimension élevée.
IV. OSCILLATIONS FORCEES. IV.1. Généralités.
La prise en compte des effets de balourd dans un rotor se traduit par l'introduction d'un terme forçant périodique dans le modèle. L'équation du mouvement s'écrit alors
M M L
x(t) + ( L,Ckeikt) i(t) + ( Zk^1) x(t) = L,Fleilt (IV.1)
k=-M k=-M k=-L
Le terme forçant 2n-périodique est de même période que les termes C(t) et K(t). Les solutions synchrones de l'excitation sont cherchées sous formes d'approximation de Galerkin à l'ordre P
P
x(t) = £XPe-'Pl (IV.2) p=-P
L'approximation (IV.2) est portée dans (IV.1) et les équations déterminantes, dont les solutions sont les coefficients XP, se déduisent par balance harmonique. Le système algébrique de 2P+1 équations déterminantes est donné par
M
(ip)2 XP + 1(i.(p-k)Ck + Kk) Xp-k = Fk (IV.3) k=-M
où p varie de -P à P et FP = 0 si p�L.
Les équations (IV.3) ont même structure que les équations (11.3) avec -P 5 n zig P et X = 0, soit un système algébrique
BX = F (IV.4)
où les éléments diagonaux et hors diagonaux sont donnés par
La matrice B est une matrice bande de même structure que la précédente et sa construction fait appel au même algorithme. La détermination des réponses forcées périodiques peut être envisagée comme un sous-produit de l'algorithme utilisé pour tester la stabilité.
Cette méthode présente l'avantage, sur les méthodes d'intégration pas à pas, de fournir des renseignements sur le contenu spectral des solutions calculées et de supprimer la difficulté du choix d'un pas d'intégration. D'autre part on peut, en appliquant les résultats de [11],[12] et [13], estimer numériquement l'erreur de troncature à l'ordre P par rapport aux solutions exactes.
IV.2. Réponse au balourd du modèle de rotor en dimension 2.
La méthode est testée en calculant la réponse au balourd du modèle (111.3). La prise en compte du balourd conduit, dans le repère fixe, à
7.777 0
l xi ]{ 0 -3-778"1K . 0 7.777 ix2.L3-77M 40 X2 X 2 J
+
[ 8.2 104 0, [ x2, aniQ2cosD 1 (IV.6) où m est la masse du balourd et a sa distance au centre du disque.
Le changement de variables associé au repère mobile (cf.annexe 3) transforme (IV.6) en x + C(t) x + K(t) x = -M 1 [ 0 D2 ] (IV.7) les matrices C(t) et K(t) étant définies en (111.1), (111.4) et (I11.5) avec les valeurs numériques (111.2).
Comme précédemment la réponse au balourd dans le repère fixe conduit à résoudre un système à coefficients constants et fournit un point de comparaison.
Les valeurs numériques choisies sont celles de [3] soit un balourd m = .Olkg situé à une distance a = .lm du centre du disque et S2 = 104.719 rd/s correspondant à une vitesse de rotation de 1000 tr/mn. La comparaison avec les résultats de [3], obtenus dans le repère fixe par un calcul de valeurs propres et par intégration numérique dans le repère mobile, se fait sur la valeur maximale de la composante u (fig.l).
La solution forcée associée à (IV.7) calculée pour P = 10 s'écrit xi = -.2205 10� - .1301 l0�cos2f2t - .2454 10-4sin2f2t
(IV.8) X2 = .3152 10-3 + .2454 10-4cos2nt - .1301 10-4sin2at
les autres composantes étant obtenues égales à 0 par ce calcul en simple précision.
Dans le repère fixe les solutions de (IV.6) sont de la forme xi = Aicoss2t + BlsinS2t
X2 = A2coss2t + B2sinS2t et l'amplitude maximum vaut
umax = .866(A + b])1^ = .25358 10-3 m
D'autre part par changement de variables (cf.annexe 3) (IV.8) donne dans le repère fixe
xi = -.3506 10-4cosS2t + .2906 10-3sinS2t X2 = .3397 10-3cosS2t + .0904 10-�sini2t soit pour l'amplitude maximum
Umax = .25348 1O-3m valeur en excellent accord avec la précédente.
Le calcul numérique pas à pas effectué dans [3] a fourni la valeur Umax = .2944 10-3m.
V. ESSAIS EN DIMENSION SUPERIEURE A 2. De façon à tester plus complètement l'efficacité de l'algorithme, des systèmes en dimension 4 et 20 sont traités ci après.
Le système en dimension 4 est un modèle de rotor obtenu par une méthode d'éléments finis tiré de [15].
Le système en dimension 20 est un exemple "fabriqué" de manière à pouvoir contrôler le calcul des multiplieurs caractéristiques.
La dimension souhaitée est obtenue à partir de 10 systèmes en dimension 2, du type (III.1), découplés entre eux. Les différentes matrices sont bloc-diagonales. Les matrices d'amortissement et de raideur sont toutes identiques, données en (II.2). Seule la matrice de masse est modifiée dans chaque sous-système de telle sorte que les multiplieurs caractéristiques correspondants soient différents.
La figure 3 représente la
structure de la matrice de
masse, les matrices
d'amortissement et de
raideur
ont
même
structure.
Les sous-systèmes étant
découplés,les quarante
multiplieurs
caractéristiques
du
système à 20 DDL
doivent être constitués
par
les
10
x
4
multiplieurs des sous-
systèmes à 2 DDL.
Par construction , dans
ce cas aussi, les pôles du
déterminant sont deux à
deux identiques. Par
suite seul l'algorithme
itératif sera utilisé.
fig.3
Pour s'assurer que le découplage des sous systèmes ne joue pas un rôle particulier dans le fonctionnement du procédé itératif le même système en
dimension 20 est ensuite modifié par un changement de variables qui couple
toutes les équations sans altérer les multiplieurs caractéristiques.
Les calculs doivent être effectués en double précision pour assurer la
convergence de l'algorithme.
V. 1. Modèle de rotor en dimension 4.
L'algorithme de calcul des exposants de Floquet est appliqué à un
modèle de rotor soumis à un couple de torsion périodique pour lequel une
étude expérimentale est élaborée dans [15]. La dynamique est décrite par un
modèle différentiel sans amortissement tel que
Mx + (Kc - TO[KTI - Tt [KT]cosrlT)x = 0
(V.1 )
où les matrices sont de dimension NxN et To, Tl sont des constantes. Ce
modèle est construit à partir d'une discrétisation en éléments finis.
Après multiplication par M-1 et changement de temps t = ilT le système
(V.l) s'écrit
x + (KO + K-Ie-it + Kleit)x = 0
KO =
1 [MI-'(Kc - TO[KTI)
(V.2)
K-' = K' _ - 212 T1 [M]-' [KTl
système de même forme que (IIL4) en donnant aux matrices d'amortissement la valeur 0.
Pour cet exemple, les matrices élémentaires étant données [15], l'assemblage peut être réalisé avec un nombre variable d'éléments.
Des essais ont été réalisés dans le cas d'une modélisation à deux éléments soit N = 4. Les exposants caractéristiques du système moyenné, pour lequel TI = 0, sont les racines carrées des valeurs propres de KO ce qui permet de confirmer les résultats de l'algorithme itératif par un calcul de valeurs propres. Les multiplieurs caractéristiques correspondants, calculés pour il = 82.741, sont représentés table 4. Les résultats des deux procédés, très proches, indiquent la stabilité neutre du système à coefficients constants
non amorti. Dans ce cas le procédé itératif donne de bons résultats malgré la présence de multiplieurs identiques.
La table 4 donne également les multiplieurs calculés pour TI= et la même fréquence, les valeurs initiales étant soit les valeurs du système moyenné soit calculées par identification. Le calcul, effectué en double précision, fournit encore des multiplieurs caractéristiques deux à deux numériquement identiques.
Dans le cas du système moyenné sur une période correspondant à Tl = 0 on montre que les valeurs propres sont doubles. En effet les matrices élémentaires sont telles que, après assemblage, (V. 1) est de la forme
M2 Mtr X2
+
K tr 2 (,r) Ktr 1 x2]
= 0 (V.3)
où l'exposant tr indique la transposition.
La détermination des multiplieurs caractéristiques revient à résoudre le problème de valeurs propres
LÀX 1 + QJ..X2 = O tr tr q£xi + lJx2 = 0 Soit encore -1 tr
(LÀ - QJ..[LÀ, ]trQÀ) X 1 = 0
tr tr -1
Ce qui montre
que sur les 2N valeurs
propres
seules
N sont distinctes.
Il n'a pas été possible
d'établir
un système
d'équations
découplées
équivalent
à (V.3).
On peut conjecturer que cette propriété se conserve pour les multiplieurs caractéristiques du système périodique.
La difficulté des multiplieurs doubles fait que les résultats se dégradent lorsque la modélisation prend en compte plus de deux éléments (N�4). V.2. Exemple "fabriqué" en dimension 20. Sous-systèmes découplés.
La table 5 donne les valeurs des multiplieurs caractéristiques pour les dix systèmes d'ordre 2 qui diffèrent par la valeur des coefficients de la matrice de masse.
Les essais ont été réalisés en prenant comme valeurs de départ pour les multiplieurs caractéristiques soit les multiplieurs des systèmes d'ordre 2 moyennés soit les valeur obtenues par identification avec 82 points répartis sur le cercle de rayon p = 2. Dans les deux cas le déterminant est tronqué à l'ordre 30 pour obtenir une convergence suffisamment rapide.
Les valeurs de la table 6 correspondent à des multiplieurs initiaux calculés pour les sous-systèmes moyennés et sont stabilisés à partir de l'itération 6. Les multiplieurs relatifs à chacun des sous-systèmes sont retrouvés avec au moins trois chiffres significatifs (cf.table 6).
Les multiplieurs caractéristiques de la table 7 sont calculés pour des valeurs initiales déterminées par identification. Dans ce cas 20 itérations sont nécessaire pour retrouver les valeurs avec au moins trois chiffres significatifs.
De façon à diminuer la taille du déterminant à calculer la troncature peut être limitée à 10 harmoniques. Dans ce cas la convergence doit être "guidée" en effectuant à chaque itérations une correction. Soit Sn+1 le vecteur des coefficients à l'itération n+1, donné par la résolution de (11.15). L' équation caractéristique est construite non pas avec Sn+t mais avec �n+1 1 tel que
� n+1 = �n + (12 + .J.L)(Sn+1 - �n ); go = 0
Les résultats obtenus avec une troncature à l'ordre 30 sont retrouvés , pour le même nombre d'itérations et une correction en l/(l+n), soit Il = 1, 12 = 0 et 9 = l,avec seulement 10 harmoniques. (cf.table 8).
V.3. Exemple "fabriqué" en dimension 20. Sous systèmes couplés.
Un système en dimension 20 tels que les sous-systèmes soient couplés est construit à partir du système précédent à l'aide d'un changement de variables y = Sx tel que les composantes de y soient des combinaisons linéaires des composantes de x, par exemple
L'équation (11.1) devient
(t) + SC(t)S-1 (t) + SK(t)Sv y(t) = 0
Les exposants de Floquet ne sont pas affectés par le changement de variables. La modification de l'algorithme concerne simplement la construction des matrices SCkS-1 et SKkS-1. Le calcul est effectué en tronquant le déterminant à l'ordre 10 et en guidant la convergence avec une correction en 1/(1+n). Dans ce cas les valeurs des multiplieurs caractéristiques sont retrouvées (cf.table 9), avec au moins trois chiffres significatifs, pour six itérations, les exposants des sous-systèmes moyennés étant pris comme point de départ.
V.4. Modèle de rotor industriel en dimension 20.
La formulation par éléments finis d'un modèle de rotor dans un repère fixe et un repère tournant est détaillée dans [3] où un modèle à quatre éléments finis conduit à un système différentiel à 20 DDL.
Les référentiels absolu et tournant sont rappelés figure 1 en annexe 3.
De même la figure 2 indique les variables pour chacun des éléments et la
figure annexe 4 schématise le rotor modélisé par quatre éléments finis.
Après assemblage, la mise en équation, dans le repère mobile,donne un
modèle différentiel à coefficients périodiques de la forme (ici. 1) avec
M matrice de masse
Co (0.) = S2AMT + AOE
CI = AlE
C2 = A2E
Ko (S2) = RAT - Q2WMR + OYE + QOE
KI (S2) = QP1E + Q1E
K2 (S2) = S2P2E + Q2E
où
AMT est la matrice de Coriolis.
AOE, AIE, A2E, POE,PIE,P2E sont les matrices d'amortissement des
paliers introduites par la prise en compte, lors du changement de repère, des
dissymétries des paliers.
RAT est la matrice de raideur de l'arbre.
WMR la matrice de masse introduite par le changement de repère.
QOE, Q1E, Q2E sont les matrices de raideur des paliers.
Les matrices M,RAT,WMR sont symétriques, AMT est antisymétrique.
Les composantes du vecteur x sont les coordonnées aux noeuds
x = lul vv1 81 1
�11
.... us w5 05 'VS]tr
La présence d'un balourd au noeud i introduit au second membre un terme
constant, dans le repère tournant, sur la composante correspondant à w;.
Dans le cas de la figure annexe 4, le second membre s'écrit
SM = [0 -amD.2 0 0 0.. 0 0.. 0 0 amD.2]tr
V.4.1. Etude de la stabilité.
Aucun résultat de stabilité n'a pu être établi pour ce modèle de rotor
industriel par notre algorithme. En effet il n'a pas été possible d'évaluer de
façon correcte le déterminant. Il faut remarquer que seule une méthode
classique de calcul a été utilisée qui consiste en une décomposition LU de la
matrice, la valeur du déterminant étant alors donnée par le produit des
éléments diagonaux. La sous-routine de décomposition LU d'une matrice
complexe prend en compte la "ligne de ciel" de la matrice bande. Cette sous-
routine est empruntée au code de calcul MEF existant au laboratoire. Il est
également possible que l'introduction des coefficients périodiques par changement de repère joue un rôle dans cet échec.
V.4.2. Oscillations forcées. Réponse au balourd.
Par contre la réponse au balourd à été bien maîtrisée par notre algorithme, les résultats obtenus sont en bon accord avec ceux calculés par intégration numérique pas à pas donnés en [3]. Les balourds sont situés, en opposition, sur chacun des disques en acier, la masse et la distance au centre sont telles que ma = 3 10-6kg.m. De façon à comparer les résultats la réponse est évaluée en calculant le déplacement maximum suivant les directions X et Z pour le centre du premier disque, noeud 1. Les résultats sont résumés dans la table suivante.
Galerkin Intégration numérique pas à pas S2 (tr/mn) X max (m) Z max (m) X max (m) Z max (m)
5000 .809510-7 .711410-7 .81010-7 .71210-7 10000 .48991()-6 .42201()-6 .4901()-6 .422 10-6 15000 .3287 10-5 .4477 10-5 .345 10-5 .463 10-5 20000 .2593 10-5 .2024 10-5 .269 10-5 .194 10-5
Ces valeurs sont calculées à l'aide des coefficients de Fourier dont un exemple est donné ci- dessous, dans le repère mobile et le repère fixe, pour S2 = 15000 tr/mn et relatif aux composantes u,w suivant les axes X, Z au noeud 1. repère tournant ul = .1108 10-5 - .2899 1O-5cos2D.t - .2376 1O-5sin2D.t w� _ .6494 10-5 + .2376 10-Scos2i2t - .2899 10-Ssin2i2t repère fixe ui =-.1792 10-ScosS2t -.275610-Ssini2t wi=.1997 10-ScosS2t - .4007 10-Ssin�2t
La relation de passage repère fixe repère tournant est donnée en annexe 3. L'excitation due aux balourds ne contient que des termes en sinS2t
et coss2t et par suite dans le repère fixe les composantes du vecteur d'état sont
toutes de la forme
x = AcosS2t + BsinS2t
Par changement de variables les composantes dans le repère tournant
prennent la forme
x = Ao + Aicos2Qt + Blsin2D.t
et ne contiennent également qu'un seul harmonique de période Jt/Q. Ce
résultat est vérifié en calculant cinq harmoniques. La table suivante donne les
cinq harmoniques pour la composante suivant X au noeud 1 et S2 = 15000
tr/mn.
harmonique
coeff.cos
coeff.sin
5
-.1945 10-23
-.4356 10-24
4
-.252010-21
.350210-21
3
-.2045 10-15
-.4573 10-15
2
-.749710-14
.114910-13
1
-.2899 10-5
-.237610-5
0
.1108 10-5
CONCLUSION.
L'algorithme itératif décrit dans ce travail, en vue de déterminer la
stabilité des systèmes différentiels à coefficients périodiques, s'est montré
performant sur un exemple test à 20 DDL. La convergence est rapide et le
calcul des exposants de Floquet effectué avec une bonne précision.
Cependant l'étude de la stabilité pour le modèle de rotor industriel en
dimension 20, réalisée par intégration numérique directe dans [3], n'a pu être
menée à bien. Les raisons de cet échec peuvent être attribuées, d'une part, à
l'évaluation avec une précision insuffisante du déterminant tronqué, d'autre
part, à la nature du modèle dont les coefficients périodiques apparaissent par
changement de repère.
Le même algorithme adapté au calcul des régimes forcés périodiques a
donné entière satisfaction. Les solutions sont obtenues de façon explicite
sous forme d'approximations de Galerkin. En particulier, les réponses aux
balourds du modèle de rotor industriel à 20 DDL sont déterminées avec une
très bonne précision.
[1] P.Berthier, G.Ferraris, M.Lalanne. Prediction of critical speeds, unbalance and nonsynchrous forced response rotor. The shock and Vibration Bulletin. Bull.53; Part 4. May 1983. [2] R.Dufour, J.Der Hagopian, M.Lalanne. Influence of an axial
torque on the dynamic behaviour of rotors in bending. The shock and vibration Bulletin. Bull.55. Part 3. June 1985. [3] P.M.Guilhen. Prediction du comportement dynamique de rotors
dans le cas d'éqations à coefficients périodiques. Instabilité. Réponse aux balourds. Thèse d'Université. INSA Lyon. 1988. [4] C.S. Hsu. On the parametric excitation of a dynamic system having multiple DOF. Jour. of Appl. Mech. ASME. 30, 367 - 372, 1963.
[5] V.V.Bolotin. The dynamic stability of elastic system. Holden- Day, San-Fransisco, 1963.
[6] W. Szemplinska - Stupnicka. The generalized harmonie balance method for determining the combination resonance in the parametric dynamic systems. Jour. of Sound and Vibration, 58 N°3, 347-361, 1978.
[7] K.G.Valeev. On Hill's method in the theory of differential equations with periodic coefficients. J.of Applied Math. and Mech., 25 N°2, 460-466, 1961.
[8] A.Unger et M.A. Brull. Parametric instability of a rotating shaft due to pulsating torque.ASME.J.Applied Mech.,Vol.48,948- 958 Dec. 1981.
[9] S.T.Noah et G.R.Hopkins. A generalized Hill's method for the stability analysis of parametrically excited dynamic systems. J. of Applied Mech., Vol. 49, 217-223, mars 1982.
[10] B.Rossetto. Détermination des exposants de Floquet - Liapounov de l'équation de Hill d'ordre N. Applications. Thèse d'état (1983), Université de Toulon et du Var, et Japan Journal of applied Mathematics, Vol. 3 N° 1 (1986).
[11] M.Urabe. Galerkin's procedure for non linear periodic systems. Archs.Ration. Mech. Analysis; 20, 120, 1965.
[12] R.Bouc. Sur la méthode de Galerkin - Urabe pour les systèmes différentiels périodiques. Int. J. Non-Linear Mech., Vol. 7,
175-188,1972.
[13] R. Bouc, M.Defilippi. A Galerkin procedure for multidimensional nonlinear random vibration. Int. Journal of Ing. Sciences. Vol. 25, 723-733,1987.
[14] M.Roseau. Vibrations non lineéaires et théorie de la stabilité. Springer, Berlin, 1966.
R. Dufour. Influence d'un couple axial sur le comportement dynamique des rotors flexibles. Thèse de 3ème. Cycle. INSA Lyon. 1985.
[16] B. Weyh. Calculation of stability maps of time-varying systems. ASME. 12th. Biennal Conf. on Mechanical Vibration and Noise. Montreal, 17-22 Sept. 1989.
L'exposant ce Floauet elant e,al. cr aD!'!:! G. W Hill. a n. J.9=8.416.'__.=57.98s.
� tabicau montre Que. C3.ns ce cas, 4 itérations sufisent cour oCtCnlr W chiffres iinuncauts l'et: Q": La OfeC1Slon n est oas amettarm lors ae la 4e neratlon en :renaw o-i0 car. étant conne les erreurs aartonan. on atteint la limite Do., .�omnmseur utilise, gui caicuie avec 15 ciullm Stl¡nuncaulS Il- IJ'ns1
ANNEXE. 3.
ANNEXE. 5.
Algorithme itératif de calcul des multiplieurs caractéristiques.
L'algorithme itératif décrit dans le rapport peut se résumer de la façon suivante.
1) Lecture des données relatives au rotor considéré. 2) Construction des matrices qui définissent le système.
3) Détermination des pôles Xok et des éléments nécessaires au calcul du déterminant.
4) Calcul des coefficients Sok-
5) Initialisation des Â.k nécessaires au procédé itératif.
Si ICOF = 0 7v,k = valeurs propres du système moyenné, calculées par ailleurs.
Si ICOF = 1 kk = valeurs identifiées à partir de 7^ = pexp(-2nik/K), K �t 4N+I.
6) Construction de la matrice bande (ligne de ciel) pour chaque \ et calcul de son déterminant D1(î�).
7) Identification des coefficients Si, résolution de
z2N + Slz2N-1 + ... + S2N-lz + S2N = 0 et calcul des valeurs initiales 7�,k = LN(zk).
8) Calcul de D1(Â.k n) à l'itération n.
9) identification du vecteur S des coefficients Si avec ,éventuellement la correction
Sn+l = Sn + (12 + � � ) p 1 +gn
(Sn+1 - Jn ) si 12, = g = 0 et 1 = 1 pas de correction.
10) Détermination des multiplieurs caractéristiques.
11) Test de convergence, si satisfait aller en 12 sinon aller en 8. 12) Impression des résultats.
