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Systèmes différentiels périodiques avec symétries de dimension 4
Marie-Hélène Tihami
To cite this version:
Marie-Hélène Tihami. Systèmes différentiels périodiques avec symétries de dimension 4. Mathéma- tiques générales [math.GM]. Université Paul Verlaine - Metz, 1984. Français. �NNT : 1984METZ011S�.
�tel-01775669�
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3me cycle ERA-CNRS
d ' e n s e i g n e m e n t s u p é r i e u r 040399
THESE
présentée à l'Université de METZ
{ -a.r- t T"^^.^ ^qT+\ . p o u r o b t e n i r l e t ' i t r e d e D o c t e u r e n M a t h é m a t i q u e s Spécialité z EEt*tiorw di{{ônentie.L.Le's et Contttô.Le )piltm.t Menti on : MaihlemaLLcauua Apphcluô-e's
P A R M A D A M E M A R I E - H É L È N E T I H A M I
i n t i t u l é e : S Y S T E M E S D I F F E R E N T I E L S D E D I M E N S I O N 4 .
PERIODIQUES AVEC SYMETRIES
J U R Y :
: M . M A R T I N E T , p r o f e s s e u r à l ' U n i v e r s i t é L o u i s P a s t e u r de STRASB0URG
M M . J . P . D A X , p r o f e s s e u r à l ' U n i v e r s i t é d e M E T Z C . R O G E R , p r o f e s s e u r à I ' U n i v e r s i t é d e M E T Z B . S C H M I T T , p r o f e s s e u r à l ' U n i v e r s i t é d e M E T Z P r é s i d e n t
Membres :
,rlBi-to i nËuu E u t\ rv rRSlTAlFi -METZ
sR{3 tçLÀ
æerrs
2(t'4ar"- \s
IilÏROtX'CTIOlI
S o i t ( f ) u n s y s t è m e d i f f é r e n t i e l p - p é r i o d i q u e d e l a f o r m e :
( f )
* T = rtr,x); (t,x) e tR x Rn
I l e s t d j f f i c i l e d ' é t u d i e r e n g é n é r a l u n t e l s y s t è m e e t e n p a r t i c u l i e r d e p o u v o i r d i r e q u a n d e s t - c e q u r i l a d m e t d e s s o l u t i o n s p é r i o d i q u e s .
E n f a i s a n t d e s h y p o t h è s e s d e s y m é t r i e s u r 1 e s y s t è m e , o n p e u t o b t e n i r d e s r é s u l t a t s c o f f i n e o n 1 ' a v u e n d i m e n s i o n 2 d a n s le s t h è s e s d e K A R R t l l e t M A Z Z A N T I [ 5 ] . D a n s c e t r a v a i l , n o u s n o u s in t é r e s s o n s à d e s s y s t è m e s d ' i f f é - r e n t i e l s d a n s J R 4 , q u i v é r i f i e n t l e s h y p o t h è s e s s u i v a n t e s :
P l ) ( f ) e s t p - p é r i o d ' i q u e c ' e s t à d i r e l p € R , f ( t * p , x ) = f ( t , x )
P 2 ) ( f ) a d m e t 1 a s y m é t r i e p a r r a p p o r t à u n e s p a c e a f f i n e S , a u t e m p s o , c ' e s t à d i r e f ( u + l , s ( x ) ) = s ( - f ( a - t , x ) )
N o u s a l l o n s v o ' i r q u ' u n t e l s y s t è m e a d m e t t o u j o u r s d e s s o l u t i o n s p - p é r i o d i q u e s n o n t r i v i a l e s l o r s q u e ( f ) e s t l i n é a i r e e t S e s t u n e s p a c e a f f i n e d e d i m e n s ' i o n 3 . L e p r e m i e r c h a p i t r e e s t c o n s a c r é a u x p r o p r i é t é s g é n é r a 1 e s d e s s y s t è m e s s a t i s - f a i s a n t P l ) e t P 2 ) . A l a f i n d e c e c h a p i t r e , n o u s é n o n ç o n s u n t h é o r è m e - c ' l é q u i p e r m e t d e d é t e c t e r s ' ' i l e x i s t e d e s s o l u t i o n s p - p é r ' i o d i q u e s o u Z p - p é r i o d i q u e s e n f a i s a n t a p p e l à l a d e m i - a p p l i c a t i o n d e P o i n c a r é .
D a n s l e c h a p i t r e I I , n o u s é t u d i o n s le s s y s t è m e s p - p é r i o d i q u e s s y m é t r i q u e s l i - n é a i r e s q u i p r é s e n t e n t u n g r a n d in t é r ê t .
- 2 -
E n e f f e t , u n s y s t è m e p - p é r ' i o d i q u e a d m e t t a n t l a s y m é t r i e S e s t r a u v o i s i n a g e d , u n e s o l u t i o n p - p é r i o d i q u e , a p p r o c h é a u p r e m i e r o r d r e p a r u n s y s t è m e l i n é a i r e
de même nature.
L e t h é o r è m e - c l é d u p r e m i e r c h a p i t r e e s t e x p l o i t é p o u r p r o u v e r q u e s i S e s t d e d i m e n s i o n 1 o u 3 a l o r s o n a u n e i n f i n i t é d e s o l u t i o n s p é r ' i o d i q u e s p o u r l e s y s t è m e l i n é a . i r e é t u d i é . s j S e s t d e d ' i m e n s i o n 2 d e s e x e m p l e s d e s y s t è m e s n , a d m e t t a n t p a s d e s o l u t i o n s p é r i o d i q u e s s o n t d o n n é s à l a f i n d u c h a p i t r e . L e c h a p i t r e I I I d é b u t e p a r l , é t u d e d é t a i l l é e d e s s y s t è m e s l i n é a i r e s a u t o n o m e s v é r . i f - i a n t p 2 ) . E n s u i t e , n o u s m o n t r o n s q u e p o u r d e s p e r t u r b a t ' i o n s c o n s e r v a n t l e s s y m é t r . i e s s u f f j s a n m e n t p e t i t e s , 1 ' e x i s t e n c e d e s o l u t i o n s p é r i o d i q u e s s y m é t r i - q u e s e s t c o n s e r v é e l o r s q u e S e s t d e d i m e n s i o n 3 '
D a n s 1 e c h a p i t r e I V , o n s ' i n t é r e s s e a u x s y s t è m e s n o n l ' i n é a i r e s o à p a r a m è t r e s , symétri ques .
D i v e r s e s p o s s i b j l j t é s s e p r é s e n t e n t e t n o u s a r r i v o n s à c o n c l u r e q u a n t à l , e x . i s t e n c e d e s o l u t i o n s p é r i o d i q u e s i s o l é e s o u n o n e n r e g a r d a n t l ' é q u a t i o n a u x v a r i a t i o n s .
L , o b j e t d u d e r n i e r c h a p i t r e e s t 1 ' e x p o s é d ' u n e x e m p l e n u m é r i q u e ; l a m é t h o d e u t i l ' i s é e e s t c e l l e d e s s y m é t r i e s -
L e s r é s u l t a t s q u e n o u s a v o n s o b t e n u s d a n s R 4 s e g é n é r a l ' i s e n t s a n s d ' i f f i c u l t é a u x s y s t è m e s d ' i f f é r e n t ' i e l s d e R n a d m e t t a n t d e s s y m é t r i e s p a r r a p p o r t à u n e s p a c e S d e d i m e n s . i o n 1 o u d e c o d i m e n s i o n 1 , a i n s ' i q u ' a u x s y s t è m e s d j f f é r e n - t i e l s d e F , 2 n a d m e t t a n t d e s s y m é t r i e s p a r r a p p o r t à u n e s p a c e S d e d i m e n s i o n n .
I . D E F I N I T I O N S E T P R O P R I E T E S D E S S Y S T E M E S D I F F E R E N T I E L S P E R I O D I Q U E S A V I C S Y M E T R I E S .
I . 1 . D é f i n i t i o n s .
I . 2 . P r o p r i é t é s d e s s o l u t i o n s de systèmes d i f f é r e n t i e l s a d n e t t a n t u n e s y m é t r i e .
I . 3 . P r o p r i é t é s d e s systèmes d i f f é r e n t i e l s a d m e t t a n t d e s "symétries c o m p o s é e s " e t d e l e u r s s o l u t i o n s .
I . 4 . S y s t è m e s p - p é r " i o d i q u e s a v e c s y m é t r i e s e t s o l u t i o n s p - p é r i o d i q u e s . I . 5 . E x e m p l e s .
I I . S Y S T E M E S D I F F E R E N T I E L S P E R I O D I Q U E S A D M E T T A N T D E S S Y M E T R I E S .
I I . 1 . F o r m e d e l a m a t r i c e d u s y s t è m e e t d e l a m a t r i c e fo n d a m e n t a l e a s s o c i é e . 1 1 . 2 . U n e c l a s s i f i c a t i o n d e L ?' - ]
I I . 3 . U n e c l a s s i f i c a t i o n d e r P .' - i j
I I I . S Y S T E M E S A V E C S Y M E T R I E S A D M E T T A N T U N E P A R T I E L I N E A I R E A U T O N O M E . I I I . 1 . S y s t è m e s s y m é t r i q u e s d o n t l a p a r t i e l j n é a i r e e s t u n é l é m e n t O e L f I I I . 2 . S y s t è m e s s y m é t r i q u e s d o n t 1 a p a r t i e l i n é a i r e e s t u n é l é m e n t d e f ! ,
I V . S Y S T E M E S D I F F E R E N T I E L S P E R I O D I Q U E S A V E C S Y M E T R I E S I V . 1 . . E q u a t i o n s a u x v a r i a t i o n s .
I U . 2 . S t a b i I i t é .
I V . 3 . S y s t è m e s d i f f é r e n t i e l s p é r i o d i q u e s s y m é t r i q u e s d é p e n d a n t de paramètres.
V . E T U D T N U M E R I Q U E V . 1 . I n t r o d u c t i o n .
V . 2 . M é t h o d e n u m é r i q u e d e s s y m é t r i e s d a n s le c a s ( A 1 , E l )
V . 3 . E t u d e d u s y s t è m e p a r a m é t r é p a r a et b X" +2X3 +bXyZ = a cos t Y ' = X
Z' = XYZ
- 4 -
C H A P I T R E I - D E F I N I T I O N S E T P R O P R I E T E S D E S S Y S T E I V I E S D I F F E R E N T I E L S P E R I O D I P U E S A V E C S Y M E T R J E S .
D a n s c e c h a p i t r e , n o u s d é f i n i s s o n s la n o t i o n d e s y s t è m e d i f f é r e n t i e l s y m é t r i q u e p a r r a p p o r t à u n e s p a c e S d e I R - .^
Nous énonçons certaines propriétés de
t r o n s c o m m e n t o n o b t i e n t d e s s o l u t i o n s
N o u s n o u s ré f é r o n s a u x t h è s e s d e B . K a r r t 1 l e t S . M a z z a n t i t 5 l q u i o n t a b o r d é c e s p r o b l è m e s e n d i m e n s i o n 2 .
I . L . D é f i n i t i o n s
N o t r e é t u d e e s t l i m i t é e à I R 4 m u n i n é e s ( X l , X Z , X 3 , X 4 ) .
S o ' i t :
lf = r(r,x)
u n s y s t è m e d i f f é r e n t i e l d e d i m e n s i o n 4 ,
A
o ù x = ( x 1 , * Z , x r , x 4 ) e R 4 e t f = ( f f f z , f 3 , f 4 ) : I R ' R 4 * R 4
a d m e t d e s d é r i v é e s p a r t i e l l e s d é f i n i e s e t c o n t i n u e s p a r r a p p o r t à x e t e s t c o n t i n u e p a r m o r c e a u x e n t .
R e m a r - q u e . L e s c o n d i t i o n s 'i m p o s é e s s u r ( f ) a s s u r e n t l ' e x i s t e n c e e t I ' u n i c i t ê d ' u n e s o l u t i o n a i n s i q u e s a d é p e n d a n c e c o n t i n u e e n l e s c o n d i t i o n s in i t i a l e s .
I . 1 . 1 . D é f i n i - t i o n d e l a s y m é t r i e p a r - r a p p o r t à u n e s p a c e S . I R 4 a u t e m p s a ( c r e R )
0 n n o t e V t ( x ) l e v e c t e u r f ( t , x ) a d m e t t a n t x c o m m e o r i g i n e e t s 1 a s y m é t r i e p a r r a p p o r t à S p a r a l l è l e m e n t à 5 , o ù 5 e s t u n s u p p l é m e n t a i r e d e S . 0 n d i t
q u e ( f ) e s t u n s y s t è m e d i f f é r e n t i e l a v e c s y m ê t r i e S a u t e m p s c r s i e t s e u l e m e n t s i :
c e s s y s t è m e s , e n p a r t i c u l i e r n o u s m o n - p é r i o d i q u e s s y m é t r i q u e s .
d ' u n e o r i g i n e 0 e t d ' u n s y s t è m e d e c o o r d o n -
v o + t ( s ( x ) ) = s ( - v ' - t ( x ) ) ; ( t ' x ) e I R x n 4
"N
II
o - t ( * )
i
uo*.( s (1)is (x)
r'
R e m a r q u g . s i ( f ) e s t u n s y s t è m e d i f f é r e n t i e l a v e c s y m é t r i e S , a u t e m p s c ' a l o r s :
f ( a + t , s ( x ) ) = s ( - f ( c - t ' x ) ' V ( t ' x ) e I R " I R 4
D a n s t o u t e l a s u i t e , S ( o u é v e n t u e l l e m e n t 5 1 , S 2 ' S 3 ) d é s i g n e r a u n a x e O X t ' u n p l a n O X ' X , , u n e s p a c e 0 X r X r X n ; ( 1 < i < i < k < 4 ) . E n f a i t , p a r r a i s o n d ' a n a l o g i e é v i d e n t e , n o u s n ' a p p l i q u o n s l a d é f i n i t i o n g é o m é t r i q u e p r é c é d e n t e q u ' a u x s y s - t è m e s a d m e t t a n t u n e s y m é t r i e a u t e m p s c r € l R , PâF rapport à 0X1' OX'X, ou b i e n O X ' X ' X O .
I . I . ? . . P r o p r i é t é s
Symêtrie par rap!g-t!_sl'axe 0X.' (noté A1)
( f ) e s t a v e c s y m é t r i e A 1 a u t e m p s a s i e t s e u l e m e n t s i f r ( a + t , x ' x 2 , X 3 , x 4 ) - - f 1 ( c r - t , x 1 ' - x 2 ' - x 3 ' - * 4 ) f , ( c + t ,x l , x z , x r , x 4 ) = f j ( q - t , x 1 ' - x 2 ' - x 3 ' - * 4 ) ; ( i l 1 )
0 n n o t e r a F A i , o l ' e n s e m b l e d e s s y s t è m e s d i f f é r e n t i e l s a v e c s y m é t r i e A i a u t e m p s a e t f O r , o r n é l é m e n t d e F O r , o , i e { 1 , 2 , 3 , 4 } .
S v m é t r i e D a r r a p p o r t a u p l a n 0 X . X " ( n o t é P 1 2 )
( f ) e s t a v e c s y m é t r i e P 1 2 a u t e m p s a s i et seulement s i f r ( a + t , x ! , x z , x ' x 4 ) - - f j ( a - t , x 1 , x z ' ' x 3 ' - * 4 ) i i = L , 2
f r ( a + t , x ! , x z , x 3 r x 4 ) = f j ( a - t , x t , x Z ' - x 3 , - * 4 ) i i = 3 ' 4
- 6 -
0 n n o t e r a F p i 3 , o l ' e n s e m b l e d e s s y s t è m e s d i f f ê r e n t i e l s a v e c s y m é t r i e P i j a u t e m p s c r e t f ' r j , o u D ê l é m e n t d . F p i 5 , o .
S y m é t r i e p a r r a p p o r t à l'espace OX2X?X, ( n o t é El)
( f ) e s t a v e c s y m é t r i e E l a u t e m p s c s i e t s e u l e m e n t s i : f r ( c r + t , x L , x Z , x 3 , x 4 ) = f 1 ( a - t , - x ' x 2 , x 3 , x 4 )
f r ( a + t , x ! , x . , x 3 , x 4 ) - - f j ( a - t , - x ' X 2 , X 3 , x O ) ; j l l
0 n n o t e r a F E i , o l ' e n s e m b l e d e s s y s t è m e s d i f f é r e n t i e l s a v e c s y m é t r i e E i a u t e m p s a e t f r i , o u r é l ê m e n t d " F E i ,
I . 2 . P r o p r i é _ t é s d e s s o l u t i o n s d e s y s t è m e s d i f f é r e n t i e l s a d m e t t a n t u n e s y m é t r i e S o i t S e t A i , P i i , E i , 1 < i < j < 4 ] e t ( f s , o ) u n s y s t è r n e d i f f é r e n t i e l a v e c s y m é - t r i e S a u t e m p s a .
N o u s m o n t r o n s q u e t o u t e o r b i t e d ' u n e s o l u t i o n d e ( f S , o ) q u i t r a v e r s e S a u t e m p s o est symétrique p a r r a p p o r t à S.
0n notera :
F " ^ : 1'ensemble d e s s y s t è m e s d i f f é r e n t i e l s a v e c s y m é t r i e S a u t e m p s c r
J r u
S o l ( f ) : l ' e n s e m b l e d e s s o l u t i o n s d e ( f )
I ( p ) : l ' e n s e m b l e d e d é f i n i t i o n m a x i m a l d e t p = ( e L , e Z , e r , Ç O ) o i t e e Sol(f) R e m a r q u _ e l . : S i t P e S o l ( f s , o ) e t Ç(a) € S, alors :
I ( p ) e s t u n i n t e r v a l l e o u v e r t c o n t e n a n t a d o n c il e x i s t e u n i n t e r v a l l e o u v e r t I c e n t r ê e n a m a x i m a l c o n t e n u d a n s I ( 9 ) .
f ( c - t )
-Lcpue-1:A
S o i t ( f A i , o ) e t p e S o l ( f A i , o ) t e l l e q u e p ( " ) e A i ' a l o r s e t ( t ) = t P . ( 2 o - t )
o , ( t ) = 4 i ( z c r - t ) , i l i -
L ' o r b i t e d e p d a n s I' e s p a c e d e s p h a s e s O X t X r X t X O e s t d o n c p o r t à I ' a x e O X i ( n o t é A i ) .
Dêmonstrati on
S o i t u ( t ) = ( u , . ( t ) ) 1 = f 4 o ù : o.' ( 2c-t)
- 9 r ( 2 o - t ) , i l i
a l o r s :
( t ) = - o . i { z o - t ) - -fi (2a-t,cp(2c-t) ) ( t ) = f , ( 2 c x - t , e ( 2 4 - t ) )
. ) p o u r A i , a u t e m P s c , on obtient : ( t ) = f o ( t , u o ( t ) ) ' k e { L , 2 , 3 , 4 } '
D e p l u s :
c r ) = < P ( a )'
+ V t e I ( P ) , u ( t ) = 9 ( t ) .
" )
= ô ( o )
V t C I :
symétrique par rap-
a
u . ' ( t ) =
u , ( t )
E n a p p l i q u a n t ( I .
D ' o ù u e S o l ( f A i , ù i r l .
J
t . 2 ù t
o ) .
L.,tlrt
teuuc-l:B
s o i t ( f p i j , o ) e t g e S o l ( f r r j , o ) t . l 1 e q u e 9 ( a ) e F i i ' a l o r s v t e I :
L ' o r b i t e d e @ a u p ' l a n O X ' X ,
- B - ( P k ( t ) = @ k ( 2 4 - t ) ; k P k ( t ) = 9 k ( Z c r - t ) ; d a n s I ' e s p a c e d e s p h a s e s
( n o t é P i j ) .
€ { i , i } k é { i , j } .
0X1XZX3X4 est doncsymétrique par rapport
R2
I I I
--, @
ï t t ' l
Démonstrati on
E l l e e s t a n a l o g u eà c e l le d u l e m m e 1 - A u o ( t ) = 9 k ( Z a - t ) ; k u O ( t ) = - 9 k ( 2 a - t ) ; k
a v e c u v é r i f i a n t e { i , j i
€ t r , J j
-Leuue-1:E
S o i t ( f r r , o ) . t p e S o l ( f r i , o ) t e l l e q u e g ( " ) e E i ; a l o r s V t e I : P i ( t ) = - @ i ( 2 o - t )
e j ( t ) = e j ( 2 a - t ) ; i l i .
L ' o r b i t e d e g d a n s 1 ' e s p a c e d e s p h a s e s O x r x 2 x r X o e s t s y m ê t r i q u e p a r r a p p o r t l ' e s p a c e c o m p l é m e n t a i r e à 0 X . , d a n s IR 4 ( n o t ê E i ) .
Démonstrati on
E l l e e s t a n a l o g u e à c e l l e d u l e m m e L - A a v e c u v é r i f i a n t u r ( t ) = - P - ( 2 c t - t )
u r ( t ) = e j ( z d - t ) ; ili.
R e n l g r q u e 2 : S i a e S o l ( f S , o ) e t < D ( o ) e S , a l o r s : I ( @ ) e s t u n i n t e r v a l l e o u v e r t c e n t r é e n c r i e n e f f e t : I ( 9 ) é t a n t u n o u v e r t , s u p p o s o n s q u e I ( 9 ) = ltl't't
D , a p r è s l a d é f i n i t i o n d e ( f r , o ) , o n s a i t q u e c h a c u n e d e s e s c o m p o s a n t e s v é r i f i e u n e r e l a t i o n d e l a f o r m e :
f o ( t , x r , x z , x 3 , * 4 ) = ( - 1 ) u f o ( 2 c r - 1 , v 1 , ! 2 , ! g , Y 4 ) ; 1 < k < 4
a v e c v p a i r o u i m p a i r s u i v a n t la s y m é t r i e S v é r i f i é e e t l ' i n d i c e k u t i l i s é ; y j = ( - t ) u t j s u i v a n t le s m ê m e s c r i t è r e s .
D e p l u s , c o m m e p ( c r ) e S, d'après les lemmes p r é c ê d e n t s , o n a : p k ( t ) = ( - 1 ) v * 1 9 o ( 2 o - t ) ; 1 < k < 4 .
0 n e n d é d u i t q u e p u i s q u e g e s t d é f i n i e à d r o i t e d e t r ( r e s P . à g a u c h e d e t 2 ) r p est aussi définie et prolongeable à d r o i t e d e 2 a - t r ( r e s p . à g a u c h e d e 2 a - t r ) d ' o ù , t . r 1 u ' t , ( r e s P . t l = ? a ' t 2 )
0n a donc :
t' = ?a-t'' Rêsumé
L e s t r o i s c a s p r é c é d e n t s s e r é s u m e n t d e l a m a n i è r e s u i v a n t e : s o i t ( f r , o ) . t < D e s o l ( f s , o ) t e l l e q u e 9 ( a ) e s ; a l o r s :
a ) I ( o ) e s t c e n t r é e n c
b ) p ( t ) = s ( < p ( Z c l - t ) ) , V t e I ( o )
o ù s e s t l a s y m é t r i e p a r r a p p o r t à S p a r a l l è l e m e n t à 5
1 . 3 . p r o p r i é t é s d e s s y s t è m e s d i f f é r e n t i e l s a d m e t t a n t d e s "symétries comPosêes"
e t d e l e u r s s o l u t i o n s
N o u s v e r r o n s q u ' u n s y s t è m e d i f f ê r e n t i e l ( f ) a d m e t t a n t d e u x s y m é t r i e s , e n d e s t e m p s d i f f ê r e n t s , a d e s p r o p r i é t é s n o u v e l l e s in t é r e s s a n t e s :
- l C -
( f ) e s t p é r ' i o d i q u e ( i . e . 3 T e I R * , V t e R , f ( t + T , x ) = f ( t , x ) ) e t a l o r s , s o u s c e r t a i n e s c o n d i t i o n s , i1 p e u t a d m e t t r e d e s o r b i t e s p é r i o d i q u e s .
D a n s c e c a d r e 1 â , n o u s é t u d i o n s d ' a b o r d 1 e s s y s t è m e s a d m e t t a n t d e u x s y m é t r i e s e t n o u s e n t i r o n s l e s c o n s é q u e n c e s p o u r d e s s y s t è m e s p a r t i c u l i e r s : l i n é a i r e s , p a r exemple.
P u i s , n o u s g é n é r a l i s o n s a u x s y s t è m e s d i f f é r e n t i e l s a d m e t t a n t p l u s d e d e u x s y m é t r i e s .
I . 3 . 1 . S y s t è m e s d i f f é r e n t i e l s a d m e t t a n t d e u x s y m é t r i e s e n d e s t e m p s di ffélents .
P r o p o s i t i o n 1
S o i t S 1 , S 2 e { A i , P i i ; E i i < i < i < 4 } e t ( f ) e F S 1 , o n F S z , B , a l o r s ( f ) e s t :
2 ( Ê - c ) p é r i o d i q u e , s i S 1 = S 2 4 ( B - a ) p é r i o d i q u e , s i S l l S 2 . D é m o n s t r a t i o n
P o u r S 1 = S 2 = S , p u i s q u e ( f ) € F r , o o n a :
f o ( t, x r , X z , X 3 , * 4 ) = ( - 1 )v fo( zc-t,y y! 2 , v 3 , y 4 )
a v e c v p a i r o u i m p a i r s u i v a n t la s y m é t r i e S v é r i f i é e e t I ' i n d i c e k u t i l i s é ; y j = ( - 1 ) u x j s u i v a n t le s m ê m e s c r i t è r e s .
D e m ê m e p u i s q u e ( f ) e F S , e :
f o ( t, x r , X 2 , X 3 , * 4 ) = ( - 1 ) u
f k ( z B - t , y y y 2,! 3,t 4) d ' o ù l ' o n d é d u i t :
f p ( t , v r , !
2 , ! 3 , v 4 ) = f ; . ( 2 ( o - o ) + t , y 1 , t 2 , t 3 , ! 4 )
L a d ê m o n s t r a t i o n s e f a i t d e m a n i è r e a n a l o g u e p o u r s i v e m e n t l e f a i t q u e ( f ) e F S 1 , o P u i t ( f ) e F S z , o
S l l S Z e n u t i I ' i sant succes- d e u x fo i s .
tgusg-?.1.
s o i t ( f ) € F s , o n F s , u ( o . B )
S i < p e s t u n e s o l u t i o n d e ( f ) v é r i f i a n t : p ( o ) e S e t 9 ( B ) e S ; ( ' i .e . I v é r i f i e les hypothèses du lemme 1.S autemps a et B) alors :
a) I(P) = 1ff,
b ) < p e s t p é r i o d i q u e d e p é r i o d e 2 ( g - o )
D e p l u s , 1 ' o r b i t e d e t p e s t s y m é t r i q u e p a r r a p p o r t à
Dêmonstrati on
a ) I ( e 1 = p c a r I ( p ) e s t c e n t r é ê h q ê t I a v e c o l 8
b ) D a n s c h a q u e c a s , o n u t i l i s e l e s f o n c t i o n s u d é f i n i e s a u l e m m e 1 ' S 0 n a :
u ( B ) = A Q a - B )
ù ( s ) = ô 1 z a - o )
+ u ( t ) = 9 ( t ) , V t e I R ( â 9 ( 2 ( B - o ) + t ) = p ( t ) ' V t e I R
Legse-?',?'
S o ' i t ( f ) . F S l , o n F S , , B ô V ê c S 1 , S 2 e { A i , P i i , E i , 1 < i ' i < 4 } ' S l l s z r o , s B ' S i I e s t u n e s o l u t i o n d e ( f ) v é r i f i a n t : p ( " ) e 5 1 e t p ( S ) e 5 2 , a l o r s :
a ) I ( e ) = P
b ) g e s t u n e s o l u t i o n 4 ( B - o . ) p é r i o d i q u e ; d l o r b i t e s y m é t r i q u e p a r r a p p o r t à 5 1 e t S Z d o n c a u s s i p a r r a p p o r t à S 1 n 5 2 .
- L 2 -
E n p a r t i c u l ie r ,
s i S 1 o 5 2 = R 4 a l o r s o e s t 2 ( B - a ) ( i . e . : ç G ( B - a ) + t ) = - 9 ( t ) , V t € e t I ' o r b i t e d e p e s t s y m é t r i q u e p a r Démonstrati on
a n t i - p é r i o d i q u e I R ) .
r a p p o r t à l ' o r i g i n e d e 1 ' e s p a c e d e s p h a s e s .
s o i t u l a f o n c t i o n d ê f i n i e a u l e r n m e 1 - S p o u r s = s l p u i s q u e ( f ) r F s l , o Ê t V c e l l e d é f i n i e p o u r S = S 2 p u i s q u e ( f ) . t r r , U .
C o m m e u < p e t v < 0 , o n d é d u i t q u e v(20-o) appart'ient à S 1 . 0 n a d o n c :
( f ) . F S l , o n F s Z , Z ' - o ' p ( c r ) e 5 1 e t < p ( 2 0 - a ) e 5 2
D ' o ù e n a p p l i q u a n t 2 ; L , o n o b t i e n t q u e < p e s t Z ( Z B - Z a ) p é r i o d i q u e . S i 5 1 @ 5 2 = R 4 , 9 e s t s y m é t r i q u e p a r r a p p o r t à S 1 e t 5 2 d o n c p a r r a p p o r t I ' o r i g i n e d e s p h a s e s p u i s q u e 5 1 l l S 2 = o .
< p e s t d o n c 'i m p a i r e p a r r a p p o r t a u t e m p s 2 ( B - c r ) . 0 n e n d é d u i t q u e o e s t a n t i - p é r i o d i q u e
E x a m i n o n s l e c a s p a r t i c u l i e r o ù ( f ) admet d e u x s y m ê t r i e s a u même t e m p s c .
I . 3 . 2 . S y s t è m e s d i f l é r e n t i e l s a d m e t t a n t d e u x s y m é t r i e s au même t e m p s q . P r o p o s i t i o n 2
A
a ) S i 5 1 O 5 2 = l R - , a l o r s f ( t , x ) - - f ( t , - x ) e t d o n c f( t , o ) = o , V t e I R .
L a s e u l e s o ] u t i o n < p p é r i o d i q u e v ê r i f i a n t p ( o ) e S l e t s o l u t i o n ' i d e n t i q u e m e n t n u l I e '
b ) R é c i p r o q u e m e n t , s i ( f ) € F S , o .t f ( t , x ) = - f ( t ' - x ) o ù 5 e s t u n s u p p l é m e n t a i r e d e S d a n s I R 4 '
Démonstrati on
p ( " ) e S 2 e s t l a
- s 2 ( f ( a - t , s l ( x ) ) - f ( c r + t , - x ) .
e t p ( c r ) € S 2 < + P ( o ) = o . a l o r s ( f ) e F S , o
a ) S o i t s i l a s Y m é t r i e P a r r a P P o r t C o m m e 5 T = S 2 ' o n a : s 2 o s 1 = - I d ' 0 n v a a p p l i q u e r s u c c e s s ' i v e m e n t l a
à S i p a r a l l è l e m e n t a S ; ( i = 1 , 2 )
d é f i n ' i t ' i o n d e ( f ) a F S l , o P r i s c e l l e d e ( f ) € F S Z , o . 0 n o b t i e n t :
f ( a + t , X ) = - s 2 " s1(f(c+t'x)) = f ( c r + t , X ) = - f ( a + t , s 2 . s 1 ( x ) ) = E n o u t r e , p u i s q u e 5 1 n 5 2 = { o } , q t ( o ) e S 1 D e p 1 u s , p o u r t o u t t '
f ( t , o ) = - f ( t , o ) + f ( t , o ) = o â Ô ( t ) = o '
S a c h a n t q u ' i l y a e x i s t e n c e e t u n i c i t ê d e s s o l u t i o n s ' o n e n d é d u i t q u e
a = c .
= ( - 1 ) u f f ( 2 c - t , y )
e t u p a i r s o u . i m p a i r s s u i v a n t l a s y m é t r i e S v ê r i f i é e b ) S i ( f ) e F S , o , f o ( t , x )
o - y j = ( - 1 ) u x j a v e c v e t l ' i n d i c e k u t i l i s é
f o ( t , x ) = D ' o ù :
- f k ( t , - x ) â f o ( t , x ) = ( - t 1 v t o ( 2 " - t ' - y )
( f ) e F s , o '
r . 3 . 3 .S v s t è m e s d i f f é r e n t i e l s a d m e l t a n t p l u s d e d . e u x s tri es .
A p r è s l' é t u d e d e s s y s t è m e s d i f f é r e n t i e l s a d m e t t a n t d e u x s y m é t r i e s ' n o u s e x a m l - n o n s s i l , o n o b t i e n t d e n o u v e l l e s p r o p r i é t é s p o u r 1 e s s y s t è m e s d i f f é r e n t i e l s a y a n t p l u s d e d e u x s Y m é t r i e s .
- 1 4 -
P a r e x e m p l e , s i ( f ) e F s 1 , o n F s z , o * p n F s 3 , o * p , r o ( p . p ' a l o r s d ' a p r è s 1 a p r o p o s i t i o n 1 , o n s a i t q u e ( f ) e s t p é r i o d i q u e .
u n e p é r i o d e e s t l e m i n i m u m d e ( a ( p ' - p ) , 4 p ) p o u r s l l s z ; s 2 l S 3 ; S 1 l S 3 e t p ' e s t m u l t i p l e d e p .
D e m ê m e d a n s le s a u t r e s c a s , o n o b t i e n t 1 a p é r i o d e d e ( f ) e n e x a m i n a n t t o u s . l e s c a s p o s s i b l e s d e s y m é t r i e s 2 à 2 p o u r ( f ) e t e n a p p l i q u a n t 1 a p r o p o s i t i o n 1 . 0 n f a i t d e m ê m e p o u r toutes les autres propriétês de (f) et des solutions du système d i f f é r e n t i e l .
L ' ê t u d e d e s s y s t è m e s d i f f é r e n t i e l s admettant p l u s d e d e u x symétries revient donc à l ' ê t u d e d e s p r o p r i é t ê s d e ( f ) e n c o n s i d é r a n t t o u t e s 1 e s s y r n é t r i e s 2 à 2 p o s s i - b l e s p o u r ( f ) e t l e s p r o p r i ê t é s q u i e n d é c o u l e n t .
C ' e s t p o u r q u o i , d o r ê n a v a n t , n o u s n o u s li m i t e r o n s à l ' é t u d e d e s s y s t è m e s d i f f é - r e n t i e l s a d m e t t a n t d e u x s y m é t r i e s a u p 1 u s .
U n s y s t è m e d i f f ê r e n t i e l a d m e t t a n t d e u x s y m ê t r i e s e n d e s t e m p s d i f f é r e n t s e s t p é r i o d i q u e ( c f . I . 3 . p r o p . 1 ) . R ê c i p r o q u e m e n t , e s t - c e q u ' u n s y s t è m e d i f f ê r e n t i e l p é r i o d i q u e a v e c s y m é t r i e S 1 a d m e t f o r c é m e n t u n e a u t r e s y m é t r i e 5 2 ? . La rêponse e s t a f f i r m a t i v e .
N o u s a p p l i q u o n s a l o r s I . 3 . a u x s y s t è m e s p - p é r i o d i q u e s ( d e p é r i o d e p e I R ) e t n o u s é n o n ç o n s l e s c o n d i t ' i o n s d ' o b t e n t i o n d e s o l u t i o n s p - p é r i o d i q u e s p o u r d e t e l s s y s t è m e s .
0 n d é s i g n e r a p a r : F P : l ' e n s e m b l e
J r 0
symêtrie S P ( f ) : l ' e n s e m b l e
d e s a u d e s
systèmes différentiels p-périodiques avec temps o.
p é r i o d e s d e ( f ) .
t r i e s e t s o l u t i o n s
Lemme 3
Démons trati on
a ) s i ( f ) 6 F 3 , o , a l o r s y p ' e P ( f ) , ( f ) e F 3 , o + p , / z
b ) s i ( f ) e F ! , o n t ! , u , a l o r s f p ' e P ( f ) , t e l q u e 3 = c r ( p ' / 2 )
c ) s i ( f ) e t ! r , o n F ! z , g ( s l l s 2 ) , a l o r s I p ' e P ( f ) t e l Q U ê B = c r ( p ' / 4 )
a ) t n ( , , + ! - - t , x ) = (-1)v tn("-Ë +t,Y)
o ù v e s t p a i r o u i m p a i r s u ' i v a n t l a s y m é t r i e S v é r i f i é e e t I ' i n d i c e k u t i l i s é ; d e m ê m e * k = ( - f ) u Y t . 0 r P ' e P ( f ) d ' o ù :
ft (.-+ -t,x) = (-1)v to("$- +t,v).
0 n o b t i e n t d o n c q u e ( f ) e F g , o * p ' 1 2 . b ) e t c ) s e d é d u i s e n t d e I . 3 .
R a p p e l . S o i t ( f ) . F R ^ , e t t p e S o l (f ) . A l o r s ' l 'a p p l i c a t i o n :
J t q
 * I R 4 T p : l R '
^ o + < D ( p + c l r a r x o )
e s t a p p e l é e 1 ' a p p l i c a t i o n d e P o i n c a r é a s s o c i é e à l a p é r i o d e p d u s y s t è m e ' o ù < p ( t , o , x o ) e s t l a s o l u t i o n u n i q u e d e ( f ) i s s u e d e x o a u t e m p s i n i t i a l c r ' 0 n a p p e l l e r a d e m ' i - ( r e s p . q u a r t ) d ' a p p l ' i c a t i o n d e P o i n c a r é , n o t é T p / Z ( r e s p ' T p / + ) 1 ' a P P l i c a t i o n :
R 4 * I R 4
^ o * p ( Ë + o , o , x o ) ( r e s p . e ( Ë + o , o , X o ) .
D e s le m m e s p r ê c é d e n t s , o n d é d u i t , e n p o s a n t B = o + 1 , l e t h é o r è m e :
- i 6 -
Théorème 1
E n n o t a n t s o l 3 , o ( f ) l ' e n s e m b l e d e s s o l u t i o r s < p = ( v r , o r , < p r , Q o ) d e ( f ) . Ft,o q u i v ê r i f i e n t < P ( o ) e S e t 9 ( . o + f ) e S ; o n a :
a ) S o i t ( f ) . t ! , o
, p / r ( t ) n S É 0 s i e t s e u l e m e n t s i ( f ) a d m e t d e s s o l u t i o n s p - p é r i o d i q u e s
< p a p p a r t e n a n t à S o l ! , o ( f ) d o n t l e s o r b i t e s s o n t s y m é t r i q u e s p a r r a p p o r t
à s.
b ) S o i t ( f ) e r P . ' F P n a v e c S i e 5 2 = R 4
S l r a " ' S 2 r o + ;
T p l 4 ( 5 1 ) n S Z l 0 s t e t s e u l e m e n t s i ( f ) a d m e t d e s s o l u t i o n s p - p é r i o d i - q u e s p a p p a r t e n a n t à S o l 3 t , * ( f ) n S o l t z , o * p / + ( f ) d o n t l e s o r b i t e s s o n t s y m é t r i q u e s p a r r a p p o r t à S 1 e t 5 2 d o n c p a r r a p p o r t à l ' o r i g i n e d e 1 ' e s p a c e d e s p h a s e s .
c ) S o i t ( f ) . F B f , o n F E Z , a + p / 4 a v e c S 1 e t 5 2 n o n s u p p l é m e n t a i r e s . T p l + ( S l ) n 5 2 f 0 s i e t s e u l e m e n t s i ( f ) a d m e t d e s s o l u t i o n s p - p é r i o - d i q u e s r p a p p a r t e n a n t à S o f ! r , o ( f ) n S o l S z , o * p / + ( f ) d o n t l e s o r b i t e s s o n t s y m é t r i q u e s p a r r a p p o r t â S l e t 5 2 , d o n c p a r r a p p o r t à 5 1 n S 2 .
R e . m a r q u e a . ( O X i ) e s t p o r t é p a r A i e t ( 0 X , X k X o ; i l i , k l i , e"fi ) est porté p a r E i . 0 n c h o i s i t E i ( r e s p . A i ) c o m m e s u p p l é m e n t a i r e à A ' i ( r e s P . E i ) .
b . ( o x i X j ) e s t p o r t é p a r P i j e t ( o x o X u ; k , t , Ê { i , i } ) e s t p o r t é p a r P 1 n . 0 n c h o i s i t P , . u c o m m e s u p p l é m e n t a i r e d e P ' i i e t o n l e notera PïJ.
Notati ons 0n notera :
F l R i , r i
) , o ( r e s p ' r f e i : , p î i ) , c , ) l ' e n s e m b l t F i i , o n F E i
, a + p / 4 ( r e s p . t Ë r i , o n t Ë ï J
, a + p / 4 )
s o r f n i , E i ), o ( f ) I ' e n s e m b l e s o l l . i
, o ( t ) n s o l Ë r , o * o 7 o t t )
s o r f l n t j , m ) , o ( f ) I ' e n s e m b l e S o l B . , i , o ( f ) n s o l f - 1 , o * p 7 4 ( f )
I . 5 . E x e m p l e s
a ) S o i t x ( r v ) + f ( t , x , x ' , x " ,x " ' 1 = s ( 1 ) u n e é q u a t i o n d ' o r d r e 4 a v e c
f : I R t l R 4 - I R c o n t i n u e p a r m o r c e a u x e n t e t d e c l a s s e C l p a r r a p p o r t a u x q u a t r e d e r n i e r s a r g u m e n t s . L e s y s t è m e d i f f é r e n t i e l ( 1 ) s ' é c r i t s o u s la f o r m e d ' u n s y s t è m e d i f f ê r e n t i e l d ' o r d r e 4 :
* 1 = * Z X 2 = X 3 i 3 = * 4
( 1 ')
i + = - f ( t , x r , x r , x r , x O )
a l o r s ( 1 ' ) n e v é r i f i e p a s le s c o n d i t i o n s d e s y m ê t r i e p a r r a p p o r t à E l c a r o n d e v r a i t a v o i r
f r ( a + t , x r , x 2 , x 3 , x 4 ) = ' f z(a-t,-xr,x2,X3,X4) 0 r '
f r ( o + t , x r , X 2 , X 3 , x O ) = x ,
0 n v é r i f i e d e m ê m e q u e : l e s y s t è m e ( 1 ) n ' a d m e t p a s d e s y m é t r i e p a r r a p p o r t à u e s p a c e d e d i m e n s i o n 1 o u d e d i m e n s i o n 3 .
- 1 8 -
P a r c o n t r e , ( 1 ) p e u t a d m e t t r e d e s s y m ê t r i e s p a r r a p p o r t à u n e s p a c e d e d i m e n - s i o n 2 .
D a n s l ' e s p a c e d e s p h a s e s ( 0 , X , X ' , X " , X " ' ) , c e s s y m é t r i e s s o n t :
s y r n é t r i e O X X " , a u t e m p s a , s i f ( a + t r x rx' ,x" ,x"') = f (o-trx r-x' ,x" ,-x"') s y m é t r i e O X ' X " ' , a u t e r n p s a , s i f ( c + t r X r X ' , x " , x " ' ) = - f ( o - t r - X r X ' , - x " , x " ' ) . b ) S o i t * ( i v ) + f ( t ) 9 ( x , x " ) = o ( 2 ) a v e c f : I R * I R c o n t i n u e p a r
m o r c e a u x e n t e t g : I R Z * I R d e c l a s s e C l .
S i f e s t p a i r e , a l o r s ( 2 ) a d m e t 1 a s y m é t r i e O X X " a u t e m p s a q u e 1 l e q u e s o i t l a f o n c t i o n g .
c ) S o i t
x " ' + f ( t r X r X ' ,x " , ! ) = o y ' + g ( t r x r x ' r X " r V ) = o
( 3 )
a v e c f , g : I R x i R 4 * I R c o n t i n u e s p a r m o r c e a u x e n t e t d e c l a s s e C l p a r r a p p o r t a u x q u a t r e d e r n ' i e r s a r g u m e n t s .
L e s y s t è m e ( 3 ) p e u t a d m e t t r e u n e s y m é t r i e p a r r a p p o r t à u n e s p a c e d e d i m e n s i o n 3 . D a n s l ' e s p a c e d e s p h a s e s ( 0 , X , X ' , X " , Y ) c e t t e s y m é t r i e e s t :
s y m ê t r i e O X X " Y a u t e m p s c r , , s i f ( o + t , X , X ' , x " , ! ) = - f ( a - t r X , - X ' , x " , ! ) g ( a + t , x , x ' , x " ,y ) = - g ( o - t , X , - X ' ,x " , ! )
L e s y s t è m e ( 3 ) p e u t a d m e t t r e la s y m ê t r i e p a r r a p p o r t à I'axe 0X' au tempso, s i
f ( a + t r x r x ' , x " r Y ) = f ( c - t r - X r X ' , - x " , - ! ) g ( c + t , x , x ' , x " , y ) = g ( " - t , - X , X ' , - x " , - ! ) Le système x"'+si[ ty = s
y ' + s i n t x " = o
a d m e t le s s y m é t r i e s 0 X X " Y e t 0 X ' a u t e m p s o .
E n o u t r e , ( 3 ) p e u t a d m e t t r e s o u s c e r t a i n e s c o n d i t i o n s s y m é t r i e s 0 X X " e t O t ' Y .
p o r t a n t s u r f e t g l e s
d) Examinons les différentes symétries que peut admettre un système de deux
êquations du second ordre :
x " + f ( t r X r X ' , Y r V ' ) y " + g ( t r x , x ' r Y , V ' )
= O
( 4 )
= Q
a v e c f, g : I R * I R 4 * I R d e c l a s s e C l p a r r a p p o r t a u x q u a t r e d e r n i e r s a r g u - m e n t s e t c o n t i n u e s p a r m o r c e a u x e n t .
L e s y s t è m e d i f f é r e n t i e l ( 4 ) p e u t a d m e t t r e d e s s y m ê t r i e s p l a n e s '
D a n s l ' e s p a c e d e s p h a s e s ( 0 , X , X ' , Y , Y ' ) , c e s s y m é t r i e s , a u t e m p s c r , S o r t : S y r n â t r i e o X Y a u t e m p s o s i : f ( e + t , X , X ' , ! , ! ' ) = f ( a - t , x , - x ' , V , ' ! ' )
g ( c r + t , X , X ' , ! , ! ' ) = g ( c - t , x r - X ' ,V , - Y ' ) S y r , r e t r i e 0 X ' Y ' a u t e m p s c r s i : f ( c l + t , X , X ' , ! , y ' )
g ( a + t r x r X ' r y r V ' )
Symétrie 0XY' au temPs cr si : f ( c r + t r X r X ' r ! t ! ' ) g ( a + t , x , x ' , ! , ! '
)
: f ( c r + t r X r X ' , ! r ! ' ) g ( c r + t r X r X r Y r V )
S y m é t r i e O X ' Y a u t e m p s a s i
Le système différentiel (4) ne peut admettre de symétries
o u p a r r a p p o r t à u n e s p a c e d e d i m e n s i o n 3 .
E n e f f e t , s i ( 4 ) a d m e t t a i t la s y m é t r i e 0 X , ( r e s p ' 0 X ' Y Y ' ) ' f r ( a + t r x , X ' ,Y r y ' ) = + f r ( a - t o x , - x ' , - ! , - Y ' )
( r e s P ' = -f 3 ( o - t ' - x ' x ' ' V ' Y ' )
- f ( c - t r - X r X ' , - ! r ! ' ) - g ( o - t r - x r x ' r - V r Y ' )
f ( c r - t r X r - X ' , - ! r ! ' ) - g ( o - t r X r - X '
, - ! , ! ' )
- f ( o - t r - X r X ' , y r - Y ' ) g ( " - t , - X , X , y , - V )
p a r r a p p o r t à u n a x e
p a r e x e m p l e , o n a u r a i
- 2 0 -
o r f 3 ( t , x r x ' , ! r ! ' ) = y '
d o n c ( 4 ) n ' a d m e t p a s la s y m ê t r i e 0 X , ( r e s p . O X ' Y Y ' ) .
0 n m o n t r e d e m ê m e , g u ê ( 4 ) n ' a d m e t p a s l e s a u t r e s symétries.
E n p a r t i c u l i e r , s i l ' o n a
x " + f ( t r x r x ' ) = o r ( 5 a ) y " + g ( t r ! , ! ' ) = o r ( 5 b )
a v e c f , g : I R " IR2 * IR continues par morceaux e n t e t d e c l a s s e C l p a r r a p p o r t a u x q u a t r e d e r n i e r s a r g u m e n t s .
A l o r s l e s y s t è m e a d m e t l a s y m é t r i e p l a n e 0 X Y ( r e s p . 0 X ' Y ' ; r e s p . O X ' Y ; r e s p r e s p . O X Y ' ) d a n s I' e s p a c e d e s p h a s e s ( 0 , X , X ' , Y , Y ' ; s i e t s e u l e m e n t s i
5 a ) a d m e t 1 a s y m é t r i e 0 X ( r e s p . 0 X ' ; r e s p . 0 X ' ; r e s p . 0 X ) d a n s l' e s p a c e d e s p h a s e s O X X '
5 b ) a d m e t 1 a s y m é t r i e 0 Y ( r e s p . 0 Y ' ; r e s p . 0 Y ; r e s p . 0 Y ' ) d a n s I' e s p a c e d e s p h a s e s O Y Y '
C H A P I T R E I I . S Y S T E M E S D I F F E R E N T I E l S L I N E A I R E S P E R I O D I Q U E S D . E D I M E N S I O N 4
ADMETTANT DES SYMETRIES
L ' é t u d e d e s s y s t è m e s d i f f é r e n t i e l s l i n é a i r e s e s t u n e é t a p e im p o r t a n t e d a n s l ' é t u d e d e s s y s t è m e s d i f f é r e n t i e l s c a r l a l i n é a r i s a t i o n p e r m e t d ' o b t e n i r u n e p r e m i è r e a p p r o x i m a t i o n d a n s d e n o m b r e u x p r o b l è m e s n o n l i n é a i r e s . N o u s v e m o n s e n p a r t i c u l i e r d a n s le p a r a g r a p h e ( I I . 2 . ) q u e c e t t e ê t u d e p e r m e t d ' o b t e n i r d e s r é s u l t a t s p r é c i s d a n s le c a s n o n li n é a i r e .
I I . 1 . F o r m e . d e f a m a t r i c e d u s y s t è m e e t d e l a m a t r i c e fo n d a m e n t a l e a s s o c i é e N o u s m o n t r o n s q u e l' e n s e m b l e d e s s y s t è m e s d i f f é r e n t i e l s l i n ê a i r e s p - p é r i o d i q u e s s y m é t r i q u e s L * P , S € d é c o m p o s e e n d e u x p a r t i e s ( 1 e s s y s t è m e s a d m e t t a n t l e s s y m é - t r i e s ( A i ,E i ) o u ( P i i , m ) ) .
P o u r u n é l ê m e n t ( A ) d e f p , n o u s v e r r o n s q u ' i ' l s u f f i t d e d é t e r m i n e r l a m a t r i c e f o n d a m e n t a l e a s s o c i é e a u t e m p s g , x O t | ) r p o u r ^ o b t e n i r l a d i m e n s i o n d e I ' e s p a c e v e c t o r i e l d e s s o l u t i o n s p - p é r i o d i q u e s .
N o u s d o n n o n s d o n c 1 e s p r o p r i é t é s d e X O ( t ) p o u r A é l é m e n t d e L P .
I I . 1 . 1 . G é n ê r a l i t é s s u r l e s s y s t è m e s d . i J f é r e n t i e l s l i n é a i r - e s . p é r i o d i q u e s s y m ê t r i q u e s .
a ) S o i t L p l ' e n s e m b l e d e s s y s t è m e s d i f f é r e n t i e l s l i n é a i r e s p - p é r i o d i q u e s d e d i m e n s i o n 4
- =dx
d t
d e s l a
A ( t ) x ( A )
c e a u x e t p - p é r i o d i q u e L e s c o e f f i c i e n t s d e A b ) S o i t L i , D l ' e n s e m b l e
J : O
d i m e n s i o n 4 a d m e t t a n t
avec x = (xl ,xz,x3,x4) e IR4 et où A : IR *Jt (4,R ) est continue par mor- ( p n ' e s t p a s f o r c ê m e n t 1 a p é r i o d e m i n i m a l e ) .
s e r o n t d é s i g n é s p a r a k t ; k , t e { L , 2 , 3 , 4 }
s y s t è m e s d i f f ê r e n t i e l s p - p ê r i o d i q u e s 1 i n é a i r e s d e s y m é t r i e S a u t e m p S a € l R ; S e { A i , P i j , E i 1 s i < j < 4 1
o n a t L E , o = t E , o n L o
T
- 2 ? -
R e m a r q u e L . S o i t ( A ) € L P , a l o r s A ( t ) x = - A ( t ) ( - x ) 0 n d é d u i t d e l a p r o p o s i t i o n ( 2 ) ( 5 I . 3 . ) q u e :
V a € R , L B , o = L Ë , o
o ù 5 e s t l e s u p p l é m e n t a i r e d e S d a n s n 4 O é t i n i d a n s I. 4 .
R e m a r q u e 2 . a ) S i ( A ) e 1 3 , o , a l o r s ( A ) e L E , o + p / 2 d ' a p r è s le l e m m e 3 ' b ) s i ( A ) e L B , o n L
{ , o * p 7 + , a l o r s d ' a p r è s le l e n r n e 3 ( S I ' 4 ' ) e t l a r e m a r q u e 1 , o n e n d é d u i t q u e ( A ) e s t u n s y s t è m e d i f f é r e n t i e l l i n é a i r e p / 2 p é r i o d i q u e ( i . e . ( A ) e Y P / Z , -
C o n c l u s i o n
D e s d e u x re m a r q u e s p r é c é d e n t e s ' o n d é d u i t q u e
s i ( A ) e t l t , o , a l o r s ( A ) e L ? : , p / Z t
en effet
r P = l P = L P . = l P
r  L , o - r ' A L , p / 2 - t E L , p / 2 - ' E l , 0
S a n s re s t r e i n d r e l a g é n é r a t ' i t é o n p e u t s u p p o s ê l c r = o' 0 n d é s i g n e r a P a r
t T = t l r , o = L E i , o t i e {I,2,3,4}
r T i = t | , j , o = L h , o ; 1 < i < j < 4
r"o =
,!, (LT,Llj)
E n u t i l j s a n t l a r e m a r q u e 2 , o n s ' a p e r ç o i t q u e :
r*P/Z=!(tB,on*,oro,
E n u t i l i s a n t l e s d é f i n i t i o n s d e s s y s t è m e s d i f f é r e n t i e l s s y m é t r i q u e s , o n o b t i e n t ' l a p r o p o s i t i o n s u i v a n t e q u i d o n n e l a f o r m e d ' u n s y s t è m e d i f f é r e n t i e l .
P r o p o s i t i o n 3
a ) U n s y s t è m e ( A ) a p p a r t e n a n t à L P e s t d a n s L T ( i e { ! , 2 , 3 , 4 } ) s i e t s e u l e m e n t s i
. ) u k n , r R + R , ( k o u s = i ; k f l ) e s t u n e fo n c t i o n p a i r e . ) u k . t , R + B , e s t u n e fo n c t i o n i m p a i r e , s i n o n
b ) U n s y s t è m e ( A ) a p p a r t e n a n t à L P e s t d a n s fl r t t < i . i < 4 ) s i e t s e u l e m e n t s i
. ) u k s , l R + l R e s t u n e fo n c t i o n p a i r e , ( k o u I e { i , i } ; k I l . ) . ) uk.e, t I R + I R e s t u n e f o n c t i o n i m p a i r e , s i n o n .
I I . l . 2 . N o u s m o n t r o n s , m a i n t e n a n t , q u e l e s m a t r i c e s f o n d a m e n t a l e s a s s o c i é e s a u x é l é m e n t s d e L * P o n t d e s p r o p r i é t é s i n t é r e s s a n t e s :
S o i t X O : I R * G L + ( 4 , R ) la s o l u t i o n m a t r i c i e l l e f o n d a m e n t a l e d e ( A ) v é r i - f i a n t X O ( o ) = 1 A
S o i t ( A ) é l é m e n t d e L p , s ' i X A ( t ) e s t u n e s o l u t i o n m a t r i c i e l l e a l o r s X O ( t + R ) a u s s i , d o n c il e x i s t e C m a t r i c e c a r r é e in d é p e n d a n t e d u t e m p s t e l l e q u e :
x A ( t + p ) = x o ( t ) x Ç . 0 r , X o ( o ) = 1 o
d ' o ù :
x o ( t + R ) = xo(r)xo(n)
D ' a p r è s le t h é o r è m e d e L i o u v i l l e , o n s a ' i t q u e d e t X n ( P ) = e x P ( l P t ' u t t ( A ( t ) ) d t )
,'t .o
o r d ' a p r è s la p r o p o s i t i o n 4 , t r a c e A ( t ) e s t u n e fo n c t i o n i m p a i r e . 0 n e n d é d u i t : s i ( A ) € f p , a l o r s d e t X o ( P ) = 1 .
0 n e n d é d u i t a u s s i q u e l e p r o d u ' i t d e s v a l e u r s p r o p r e s O e X o ( n ) e s t é q a l à 1 . 0 n r a p p e l l e q u e l e s v a l e u r s p r o p r e s d e X O ( R ) s o n t l e s v a l e u r s c a r a c t é r ' i s t i q u e s d e A .
