Nombre de zéros d'une équation différentielle

3.12 Nombre de zéros d’une équation différentielle

Référence :H. Queffélec, C. Zuily, Éléments d’analyse, Dunod, 2002. Leçons concernées : 220, 221, 224.

Théorème 1. Soit a P R et q P C1<sub>pra, `8rq avec q ° 0 telle que</sub> ≥`8 a

a

qpuq du “ `8 et q1<sub>pxq “ opq</sub>3{2<sub>pxqq quand x Ñ `8. Alors si on considère y une solution réelle non nulle de</sub> l’équation y2_{` qy “ 0 sur ra, `8r et Npxq le nombre de zéros de y sur ra, xs, alors}

N_{pxq „} 8 1 ⇡ ªx a a q_{puq du.} On a besoin du :

Lemme 2. Soit y1, y2 P C1pra, `8rq sans zéros communs. Si y1paq ` iy2paq “ r0ei✓0 alors

il existe r, ✓ P C1_{pra, `8rq telles que y}

1 “ r cosp✓q et y2 “ r sinp✓q où r “

a y2 1` y22 et ✓pxq “ ✓0` ªx a wptq r2_ptq dt où w “ y1y12´ y2y11.

Démonstration. On pose ' “ y1` iy2 qui ne s’annule pas par hypothèse, on considère alors

pxq “ ≥xa '1ptq

'ptq dt` logpr0q ` i✓0. On a p'e´ q1 “ p'1 ´ ' 1qe´ “ 0 et donc pour tout

x• a, 'pxqe´ pxq“ 'paqe´ paq “ r0ei✓0r0´1e´i✓0 “ 1. Ainsi, y1` iy2 “ ' “ e “ rei✓ où

r_“ay2 1` y22 et ✓ “ =p q. Enfin, pxq “ logpr0q ` i✓0` ªx a y1<sub>1</sub>ptq ` iy₂1ptq y1ptq ` iy2ptq dt “ logpr0q ` i✓0` ªx a py1 1ptq ` iy12ptqqpy1ptq ´ iy2ptqq r2_ptq dt “ logpr0q ` ªx a y<sub>1</sub>1ptqy1ptq ` y2ptqy12ptq r2_ptq dt` i✓0` i ªx a wptq r2_ptq dt d’où le résultat.

Démonstration (Théorème). Étape 1 : on commence par considérer ⌧pxq “ ≥x a

a

qpuq du pour x • a. La fonction ⌧ est ainsi par hypothèse de classe C1 _{strictement croissante}

de ra, `8r dans r0, `8r, qui est donc bijective. On pose alors Y “ y ˝ ⌧´1_{, c’est-à-dire}

ypxq “ Y p⌧pxqq pour tout x • a. On a alors

y1pxq “ ⌧1pxqY1p⌧pxqq “aqpxqY1p⌧pxqq y2_{pxq “} q1pxq

2aqpxqY

1_{p⌧pxqq ` qpxqY}2_p⌧pxqq

ainsi,

y2pxq ` qpxqypxq “ qpxqY2p⌧pxqq ` q1pxq 2aqpxqY

1_{p⌧pxqq ` qpxqY p⌧pxqq “ 0}

c’est-à-dire que, si on pose 'ptq “ q1p⌧´1ptqq

2q3{2_p⌧´1_ptqq, Y est solution sur r0, `8r de

Y2` 'Y1` Y “ 0.

Étape 2 : on remarque maintenant que Y et Y1 _{n’ont pas de zéro commun puisque}

sinon, par unicité de la solution, on aurait Y ” 0 et donc y ” 0 ce qui n’est pas possible par hypothèse. On peut alors appliquer le lemme et écrire Y “ r sinp✓q et Y1 _{“ r cosp✓q}

avec r, ✓ P C1_{pra, `8rq. On obtient successivement}

Y1 “ r1sinp✓q ` r✓1cosp✓q “ r cosp✓q

Y2 “ r1cosp✓q ´ r✓1sinp✓q “ ´'r cosp✓q ´ r sinp✓q.

On multiplie la première égalité par cosp✓q et la seconde par ´ sinp✓q, on ajoute les deux et on obtient : r✓1 _{“ rp1 ` ' cosp✓q sinp✓qq, c’est-à-dire ✓</sub>1 <sub>“ 1 ` ' cosp✓q sinp✓q et donc}

|✓1_{ptq ´ 1| §} 1

2|'pxq|. Ainsi, puisque par hypothèse 'pxq ›Ñ_{xÑ`8</sub>0, ✓1pxq ›Ñ<sub>xÑ`8}1et donc par

intégration des équivalents, ✓ptq „ t en `8.

Étape 3 : on note alors Mptq le nombre de zéros de Y sur r0, ts. On commence par montrer par l’absurde que Mptq † `8 pour tout t. Si Mpt0q “ `8, alors l’ensemble des

zéros de Y dans r0, t0s admet un point d’accumulation u. Soit punqn une suite de zéros de

Y qui tend vers u par valeurs différentes, alors 0_“ Ypunq ´ Y puq

un´ u nÑ`8›Ñ

Y1_puq ce qui contredit le fait que Y et Y1 _{n’aient pas de zéro commun.}

Étape 4 : maintenant, soit t0 • 0 tel que pour tout t • t0, ✓1ptq ° 0, alors Mptq “

Card_{tu P r0, t}0s, Y puq “ 0u ` Cardtu P rt0, ts, sinp✓puqq “ 0u. Or, puisque ✓ est un C1

difféomorphisme sur rt0,`8r,

Cardtu P rt0, ts, sinp✓puqq “ 0u “ Cardtv P r✓pt0q, ✓ptqs, sinpvq “ 0u

“ Cardtk P Z, ✓pt0q § k⇡ § ✓ptqu “ Z ✓ptq ⇡ ^ ´ Z ✓pt0q ⇡ ^ „ 8 t ⇡ grâce à ✓ptq „ t en `8. Ainsi, Mptq „ t ⇡ en `8.

Enfin, il est clair que Npxq “ Mp⌧pxqq et donc par composition des équivalents, on obtient le résultat.

Remarque. Si on considère a “ 1 et qpxq “ 1 4x2, on a bien ≥<sub>`8</sub> 1 a qpuq du “ `8 mais q1_pxqq´3{2_{pxq “ ´4 et la solution de y}2<sub>` 4x</sub>12y “ 0 est ypxq “ ?xpa ` b logpxqq qui a au

plus un zéro sur r1, `8r.

Commentaire : c’est un peu long, on peut éventuellement passer rapidement sur le lemme (voire ne pas le faire), et simplement justifier que M est fini partout parce que la solution n’est pas nulle.