9
Limites de suites réelles
40
Leçon
n°
Niveau Terminale S
Prérequis généralité sur les suites : monotonie, suites majorées, suites minorée, suites arith-métiques, suites géométrique ; continuité, dérivabilité, théorème du point fixe Références [60]
40.1
Notion de limite infinie d’une suite
Définition 40.1 — Limite infinie d’une suite. On dit qu’une suite(un)n∈Ntend vers+∞ si, pour tout
nombre A positif, l’intervalle[A , +∞[ contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang. Autrement dit, pour tout nombre A positif, l’inégalité un≥ A est vraie à partir d’un certain rang.
[ A
0
nombre fini de termes de la suite
FIGURE40.1 – Limite infinie d’une suite (en+∞) On dit que la limite de la suite(un) est +∞ et on écrit
lim
n→+∞un= +∞.
R 40.2 On définit de manière analogue une suite qui tend vers −∞ et on note
lim
n→−∞un = −∞.
[
A 0
nombre fini de termes de la suite
FIGURE40.2 – Limite infinie d’une suite (en −∞)
Propriétés 40.3— Limite des suites de référence. 1. limn→+∞n= +∞,
2. limn→+∞n2 = +∞,
3. limn→+∞n3 = +∞,
4. limn→+∞√n= +∞.
Propriété 40.4— Limites et opposés. limn→+∞un= −∞ équivaut à limn→+∞(−un) = +∞.
Définition 40.5 On dit que la suite(un) tend vers un nombre ` si tout intervalle du type ]` − r , ` + r[
(avec r >0) contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang.
0 `− r] ` ` + r[
nombre fini de termes de la suite nombre fini de termes de la suite
FIGURE40.3 – Limite finie d’une suite
R 40.6 Dire que la suite(un) tend vers un nombre `, revient aussi à dire que :
1. L’inégalité |un− `| < r est vraie à partir d’un certain rang ;
2. La double inégalité ` − r < un< `+ r est vraie à partir d’un certain rang.
Exemple 40.7 Soit la suite définie par un = n3. Pour r > 0, 0 < n3 < r est équivalent à n > 3r.
Donc, pour n assez grand, −r < un< r. La suite(un) tend vers 0. Propriété 40.8 Si une suite(un) a une limite finie `, alors la limite ` est unique.
Si une suite(un) a une limite `, on dit aussi que la suite est convergente ou qu’elle converge vers
`et on écritlimn→+∞un= `.
Propriété 40.9 Dire qu’une suite(un) tend vers un nombre ` équivaut à dire que la suite (un− `)
tend vers0.
Exemple 40.10 Soit la suite(un) définie par un = 4n+3n . L’observation de la courbe représentant
la suite dans un repère orthogonal montre que les termes de la suite sont de plus en plus proches du nombre4. 2 3 4 5 6 7
FIGURE40.4 – Représentation graphique de la suite définie par un= 4n+3n pour n ≥ 1
On a :
|un− 4| = 3
n avec n→+∞lim
3
n = 0
40.3 Limites et opérations algébriques 11
Propriété 40.11— Limites de suites de référence. 1. limn→+∞n1 = 0
2. limn→+∞ n12 = 0
3. limn→+∞ n13 = 0
4. limn→+∞ √1n = 0.
Définition 40.12 On appelle suite divergente une suite qui ne converge pas.
R 40.13 Si une suite diverge alors, soit la suite a une limite égale à+∞, soit la suite a une limite égale à −∞, soit
la suite n’a pas de limite.
Exemple 40.14 La suite(−1)n est une suite divergente. La limite de cette suite ne peut être que
1 ou −1. Or, la suite admet presque tous ses termes dans l’intervalle ]−3
2,−12[ et également dans
l’intervalle]1
2,32[. Il est donc impossible que 1 ou −1 soient limites de la suite.
40.3
Limites et opérations algébriques
Propriété 40.15— Limite d’une somme de suites.
silimn→+∞un= ` ` ` +∞ −∞ −∞
silimn→+∞vn= `0 +∞ −∞ +∞ −∞ +∞
alorslimn→+∞(un+ vn) = ` + `0 +∞ −∞ +∞ −∞ forme ind.
R 40.16 L’expression « forme ind. » (ou « forme indéterminée ») signifie que l’on ne peut pas conclure directement
et une étude spécifique est nécessaire.
Propriété 40.17— Limite d’un produit de suites.
silimn→+∞un= ` ` <0 ou −∞ ` > 0 ou +∞ ` < 0 ou −∞ ` > 0 ou +∞ 0
silimn→+∞vn= `0 +∞ +∞ −∞ −∞ +∞ ou −∞
alorslimn→+∞(unvn) = ` + `0 −∞ +∞ +∞ −∞ forme ind.
Propriété 40.18— Limite de l’inverse d’une suite.
silimn→+∞un= `6= 0 +∞ −∞ 0 avec un>0 0 avec un<0 0
alorslimn→+∞u1n = 1
` 0 0 +∞ −∞ forme ind.
Exemples 40.19 1. Soit la suite(vn) définie par :
vn= 4n + 3 n 3 + 5 n3 .
On alimn→+∞ n13 = 0 donc limn→+∞ n53 = 0 et
lim n→+∞ 3 + 5 n3 = 3. On a montré précédemment que
lim
n→+∞
4n + 3
n = 4.
2. Soit la suite(wn) définie par wn= n3√n+n12 + 3. On a : lim n→+∞n 3 = +∞ et lim n→+∞ √ n= +∞ donc lim n→+∞n 3√n= +∞.
De pluslimn→+∞n12 = 0, donc
lim n→+∞ 1 n2 + 3 = 3. On en déduit que lim n→no43:pinfn 3√n+ 1 n2 + 3 = +∞.
3. Soit la suite(zn) définie par zn= n51√n. On écrit n5= n3n2et on montre quelimn→+∞n5=
+∞, d’où limn→+∞n5√n= +∞. On a, d’après la propriété précédente,
lim
n→+∞zn= limn→+∞
1
n5√n = 0.
40.4
Limites et comparaison de suites
Propriété 40.20 Soit(un) et (vn) deux suites vérifiant, à partir d’un certain rang, un ≤ vn. Si(un)
et(vn) sont des suites convergentes de limites respectives ` et `0alors ` ≤ `0.
Dv
•Démonstration —Par l’absurde, supposons qu’à partir du rang n0, un ≤ vn e que ` > `0. Soit r= |`−`0|
3 , I :=]` − r, ` + r[ et I0=]`0− r, `0+ r[. I et I0sont bien disjoints c’est-à-dire
I∩ I0 = ∅.
Icontient tous les termes de la suite(un) à partir d’un rang n1, I0contient tous les termes de
la suite(vn) à partir d’un rang n2.
Soit N le maximum de n0, n1et n2alors, pour tout n ≥ N, un∈ I et vn∈ I, d’où : v2< `0+ r < ` − r < un,
ce qui est absurde car, pour tout n ≥ n0, un≤ vn. •
Théorème 40.21— Théorème des gendarmes. Soit(un), (vn) et (wn) trois suites vérifiant à partir
d’un certain rang, un ≤ wn ≤ vn. Si(un) et (vn) sont deux suites convergentes de même limite `,
40.4 Limites et comparaison de suites 13
Dv
•Démonstration du théorème des gendarmes —Soit r >0. A partir d’un certain rang, `− r < un< `+ r. De même, pour la suite (vn), à partir d’un certain, ` − r < vn< `+ r. Donc, à partir d’un certain rang,
`− r < un≤ wn ≤ vn< `+ r. Finalement, pour n assez grand,
`− r < wn< `+ r.
•
Exemple 40.22 On considère la fonction :
f : R → R
x 7→ x2
et on veut calculer l’aire A entre la courbe représentative de f et l’axe des abscisses entre 0 et 1.
0.2 0.4 0.6 0.8 1 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0
Soit(un) l’aire des rectangles inférieurs et (vn) l’aire des rectangles supérieurs.
un= 0 n 2 +1 n 2 + · · · +kn2+ · · · +n− 1n 2 =nX−1 k=0 k n 2 = 1 n2 nX−1 k=0 k2 = 1 n2 (n − 1)n(2n − 1) 6n = (n − 1)(2n − 1)6n2 .
De même, vn= 1 n 2 + · · · +kn2+ · · · +n− 1n 2+n n 2 = (n + 1)(2n + 1)6n2 d’où : lim n→+∞un= limn→+∞vn= 1 3
et comme un ≤ A ≤ vn, par le théorème des gendarmes, A = 13, ce qui correspond bien àR01x2dx.
Propriétés 40.23 1. Soit(un) et (vn) deux suites vérifiant, à partir d’un certain rang, un≤ vn.
— Silimn→+∞un= +∞ alors limn→+∞vn= +∞.
— Silimn→+∞vn= −∞ alors limn→+∞un= −∞.
2. Soit(un) et (vn) deux suites vérifiant, à partir d’un certain rang, |un| ≤ vn. Silimn→+∞vn=
0 alors limn→+∞un= 0.
Exemple 40.24 Soit la suite définie par un= 7 +sin nn . Pour tout n ≥ 1, on a
−n1 ≤ sin nn ≤ n1 et 7 −n1 ≤ 7 +sin nn ≤ 7 +n1. Or, lim n→+∞ 7 + 1 n = lim n→+∞ 7 −1n= 7.
Le théorème des gendarmes permet d’en déduire que la suite(un) est convergente et limn→+∞un=
7.
40.5
Limites des suites arithmétiques et géométriques
Définition 40.25 — Suites arithmétiques. La suite (un)n∈N est dite arithmétique si, pour tout n,
un+1 = un+ r, où r est un nombre réel. Le nombre r s’appelle la raison de la suite
arithmé-tique.
Propriété 40.26 Si(un) est une suite arithmétique de premier terme u0et de raison r, alors, pour tout
n, on a un= u0+ nr.
Définition 40.27 — Suites géométriques. La suite(un)n∈N est géométrique si, pour tout n, un+1 =
qun, où q est un nombre réel non nul qu’on appelle la raison de la suite géométrique.
Propriété 40.28 Si(un)n∈Nest une suite géométrique de raison q (q non nul) alors pour tout n, on a
un= u0qn.
Propriété 40.29 Soit(un) une suite arithmétique de raison r.
— Si r >0, alors limn→+∞un= +∞.
40.6 Déterminer la limite d’une suite 15
Propriété 40.30 Soit(un) la suite géométrique de raison q définie par un= qn.
— Si −1 < q < 1 alors limn→+∞un= 0.
— Si q >1, alors limn→+∞un= +∞.
— Si q= 1 alors la suite (un) est constante.
— Si q ≤ −1, alors la suite (un) est divergente.
Exemples 40.31 1. limn→+∞(350×0, 95n) = 0. On a 0 < 0, 95 < 1 et limn→+∞0, 95n= 0.
La propriété sur le produit des limites permet de conclure.
2. limn→+∞(−3 × 1, 01n) = −∞. On a 1, 01 > 1, limn→+∞1, 01n= +∞. La propriété sur le
produit des limites permet de conclure.
40.6
Déterminer la limite d’une suite
40.6.1 Méthodes
Méthode 40.32— Déterminer la limite d’une suite. 1. Exprimer la suite en fonction de suites dont on connaît la limite et utiliser les propriétés sur les opérations algébriques.
2. Encadrer la suite par deux suites ayant même limite.
3. Majorer l’écart, entre le terme général de la suite et la limite, par le terme général d’une suite convergent vers0.
40.6.2 Exemples
Exemples 40.33 1. On veut déterminer la limite de la suite(un) définie par
un= 9n 2− 5n + 2 n2 . On a : un= 9n 2 n2 − 5n n2 + 2 n2 = 9 − 5 n+ 2 n2.
Les suites n1 et n12 convergent vers0. On a donc :
lim n→+∞− 5 n = 0 et n→+∞lim 2 n2 = 0.
On en déduit quelimn→+∞un= 9.
2. On veut déterminer la limite de la suite(un) définie par
un= 4n
3− 2n2+ 1
5n3− 4n + 6.
Pour cela, on transforme l’expression de (un) comme pour la recherche de la limite en +∞
d’une fraction rationnelle :
un= 4n 3− 2n2+ 1 5n3− 4n + 6 = n3(4 −n2 + n13) n3(5 −n42 +n63) = 4 − 2 n+ n13 5 − 4 n2 +n63 .
En procédant comme dans l’exemple 1, on a lim n→+∞ 4 −2n+ 1 n3 = 4 et lim n→+∞ 5 −n42 + 6 n3 = 5. Donclimn→+∞un= 45.
3. On veut déterminer la limite de la suite(un) définie par :
un= 5n
2+ (−1)n
n2+ 2 .
Comme −1 ≤ (−1)n≤ 1, on a :
5n + 1 ≤ 5n2+ (−1)n≤ 5n2+ 1,
d’où par encadrement
5n2− 1 n2+ 2 ≤un≤ 5n2+ 1 n2+ 2 . On a : 5n2+ 1 n2+ 2 = n2(5 +n12) n2(1 +n22) = 5 +n12 1 + 2 n2 . Orlimn→+∞ n12 donc lim n→+∞ 5 + 1 n2 = 5 et lim n→+∞ 1 + 2 n2 = 1. En utilisant le quotient, on en déduit
lim
n→+∞
5n2+ 1
n2+ 2 = 5.
On montre de même que
lim
n→+∞
5n2− 1
n2+ 2 = 5.
La suite est donc encadrée par deux suites convergentes vers le même nombre5. Le « théorème des gendarmes » implique alors que
lim
n→+∞un= 5.
4. On veut déterminer la limite de la suite(un) définie par
un= n− sin n n . On a, pour tout n, |un− 1| = −sin nn = sin nn .
On en déduit que, pour tout n, |un− 1| ≤ n1 avec
lim n→+∞ 1 n = 0. Donclimn→+∞un= 1.
40.7 Suites monotones et limites 17
40.7
Suites monotones et limites
40.7.1 Suites monotones
Théorème 40.34 1. Toute suite croissante non majorée diverge vers+∞. 2. Toute suite décroissante non minorée diverge vers −∞.
Dv
• Démonstration — Soit (un) une suite croissante non majorée et a ∈ R. Posons I = ]a , +∞[. Comme (un) est non majorée, il existe n0 ∈ N, un0 > a. De plus,(un) est crois-sante, d’où
∀n ≥ n0, un ≥ un0 < a. Icontient tous les termes de(un) à partir du rang n0. Donc :
lim
n→+∞un = +∞.
•
Théorème 40.35 1. Toute suite croissante majorée converge. 2. Toute suite décroissante minorée converge.
Dv
• Démonstration (admise en TS) —Soit (un) une suite réelle, croissante et majorée. On considère l’ensemble E = {un, n∈ N}. Comme (un) est majorée, E l’est également. De plus, E est non vide. Or, toute partie de R non vide et majorée admet une borne supérieure. Soit α= sup E.
Montrons que(un) converge vers α. Soit ε > 0, d’après la caractérisation de la borne supé-rieure,
∃n0∈ N, α − ε < un0≤ α. Comme(un) est croissante,
∀n ≥ n0, α− ε < un0 ≤ un ≤ α. Donc :
lim
n→+∞un= α.
•
Exemple 40.36 — Suite de Héron. Soit la suite undéfinie par :
u0∈ ]0 , +∞[ un+1 = 12 un+u2n ∀n ∈ N∗.
Dans un premier temps, on montre que, pour tout n ≥ 1, un≥√2.
un+1− √ 2 = u2n+ 2 − 2√2un 2un = (un−√2)2 2un ≥ 0
donc, ∀n ≥ 1, un≥√2. un+1− un= 12 2 un − un = 12 2 − u2n un ! ≤ 0 car ∀n ≥ 1, u2n≥ 2.
d’où(un) est décroissante à partir du rang 1.
(un) est décroissante et minorée par √2, par conséquent elle est convergente mais on ne peut
conclure quelimn→+∞un=√2.
Pour cela, on pose :
f : ]0 , +∞[ → R
x 7→ 12x+2x f est dérivable sur I = ]0 , +∞[ et :
∀x ∈ I, f0(x) = 12 − 2
x2 ≤
1 2. Par l’inégalité des accroissements finis, on a :
∀(x, y) ∈ I2, |f(x) − f(y)| ≤ 12 |x− y| .
f est 12-contractante. Par le théorème du point fixe,(un) converge vers√2, qui est l’unique point fixe
de f dans I.
On se sert de la suite de Héron pour approximer le nombre irrationnel√2
1 2 3 4 5 1 2 3 4 0
40.7 Suites monotones et limites 19
pour avoir une bonne approximation à10−4, on doit choisir u6(ou les termes suivants).
n un erreur 0 17, 807113 16, 392899 1 8, 959714 7, 545500 2 4, 591467 3, 177254 3 2, 513291 1, 099315 4 1, 654115 0, 240397 5 1, 431677 0, 017463 6 1, 414320 0, 000106 7 1, 414213 10−8 40.7.2 Suites adjacentes
Définition 40.37 Soient(un) et (vn) deux suites réelles. On dit que (un) et (vn) sont adjacentes si
elles vérifient les trois conditions suivantes : 1. (un) est croissante ;
2. (vn) est décroissante ;
3. limn→+∞vn− un= 0.
Théorème 40.38— Théorème des suites adjacentes. Si(un)net(vn)nsont deux suites adjacentes,
alors elles sont convergentes et :
lim
n→+∞un= limn→+∞vn.
Dv
•Démonstration —Dans un premier temps, montrons que, pour tout n ∈ N, un≤ vn. Pour cela, posons wn= vn− un.
wn+1− wn= vn+1− un+1− (vn− un) = (vn+1− vn) − (un+1− un) ≤ 0 car
— (un) est croissante : un+1− un ≥ 0 — (vn) est décroissante : vn+1− vn≤ 0
donc(wn) est décroissante vers 0. De ce fait, pour tout n ∈ N, wn ≥ 0, c’est-à-dire : ∀n ∈ N, vn ≥ un.
Les termes des suites(un) et (vn) sont donc rangés comme indiqué sur la figure ci-dessous :
u0 · · · un−1 un · · · vn vn−1· · · v0
La suite(un) est ainsi croissante et majorée par v0. Le théorème des suites croissantes
majo-rées permet de conclure que la suite(un) converge vers une limite λ.
La suite(vn) est décroissante et minorée par u0. On peut conclure de même que la suite(vn)
Or
lim
n→+∞(un− vn) = 0.
On en déduit quelimn→+∞un− limn→+∞vn= 0, c’est-à-dire λ = λ0. •
Exemple 40.39 Soient(un)net(vn)ndéfinies de la manière suivante :
un= E (10 nx) 10n , vn= E (10nx) + 1 10n . un+1− un= E 10 n+1x 10n+1 − E (10nx) 10n = E 10n+1x− 10E (10nx) 10n+1 .
Or, E (10nx) ≤ 10nx donc 10E (10nx) ≤ 10n+1x. Comme E 10n+1x est le plus grand entier
inférieur ou égal à10n+1x, on en déduit que :
E10n+1x≥ 10E (10nx) .
Ainsi un+1 ≥ unet(un)nest croissante.
vn+1− vn= E 10 n+1x+ 1 10n+1 − E (10nx) + 1 10n = E 10n+1x+ 1 − 10(E (10nx) + 1) 10n+1 .
Or,10nx <E (10nx) + 1 donc 10n+1x <10(E (10nx) + 1). Comme E 10n+1x+ 1 est le plus petit
entier strictement supérieur à10n+1x, on a :
E10n+1x+ 1 ≤ 10(E (10nx) + 1)
c’est-à-dire
E10n+1x+ 1 − 10(E (10nx) + 1) ≤ 0
ainsi, vn+1 ≤ vndonc(vn)nest décroissante.
On a : vn− un= 101n, d’oùlimn→+∞vn− un= 0.
Finalement, les suites(un)net(vn)nsont adjacentes. Nous venons de démontrer que tout nombre
réel x est limite d’une suite de nombres rationnels. Il s’agit de la densité de Q dans R.
40.8
Compléments : suites homographiques et limites
Commençons par exposer une méthode classique pour l’étude de certaines suites récurrentes. Si une suite(un)n∈Nest définie par récurrence par une formule du type :
un+1 = f(un)
avec f de la forme z 7→ az+b
cz+d (c 6= 0 sinon l’étude est triviale), alors :
— soit la fonction f admet deux points fixes α et β, auquel cas on étudie la suite de terme général
vn= uun−αn−β, et l’on s’aperçoit rapidement que(vn)n∈Nest une suite géométrique.
— sinon f n’a qu’un seul point fixe α, auquel cas on étudie la suite de terme général vn= un−α1 ,
40.8 Compléments : suites homographiques et limites 21
Exemple 40.40 Soit à étudier la suite définie par u0 = 1 et pour tout n :
un+1 =
un+ 3
2un
.
On commence par chercher les points fixes de f: z 7→ z+3
2z . Ceux-ci sont les racines de l’équaton
z+ 3 = z × (2z), c’est-à-dire −1 et 3/2. On étudie donc la suite de terme général uun−3/2n+1 . On a :
un+1+ 1 un+1− 3/2 = un+3 2un + 1 un+3 2un − 3/2 = −32 u n+ 1 un− 3/2 .
Par récurrence, on a immédiatement :
un+ 1 un− 3/2 = −32 u 0+ 1 u0− 3/2 et donc : lim n→+∞ un+ 1 un− 3/2 = +∞. D’où : lim n→+∞un= 3/2.
Bibliographie
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