Stratégies de réécriture probabiliste dans ELAN4

HAL Id: inria-00104091

https://hal.inria.fr/inria-00104091

Submitted on 5 Oct 2006

HAL is a multi-disciplinary open access

archive for the deposit and dissemination of

sci-entific research documents, whether they are

pub-lished or not. The documents may come from

teaching and research institutions in France or

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est

destinée au dépôt et à la diffusion de documents

scientifiques de niveau recherche, publiés ou non,

émanant des établissements d’enseignement et de

recherche français ou étrangers, des laboratoires

To cite this version:

Olivier Bournez, Florent Garnier, Claude Kirchner. Stratégies de réécriture probabiliste dans ELAN4.

[Rapport de recherche] 2004, pp.17. �inria-00104091�

*+, - ./ 01234 +5+67 1 81 9 + 8: 57;<,7+ 4 =>?@A@BCBDEF G ,H<,:671; 81 H::2H7,IH1 J H+K<K757;, 1 8 < 4 ; L*M N -OPQRSTUVTWX Y Z 
 [\   
]  

 ^^    _ `abc de   [   
]  
  f\ g hiVPiSj Qk Y l mnopqrse t  uvpqwrpe Zxwpyzqrp {|}|SPXRP Y ~  rppnr€a dg ‚t  ƒ „g„ O…VP Y \^ ‚††d ‡V…ViV Y 
ˆPSQTWX Y „g„ {|QP…i ‰…VTWX…Š ‹PQ ŒPRXWŠWŽTPQ WŽTRTPŠŠPQ ‘ ^ 
  ’  “   ”••  c –• — ] Z”˜a –• ]_et  –

\ ”™še˜c”˜b—t  ea›”˜ œ g ›— fž Zc”Ÿ ea˜¡ œ`_• eZc”Ÿ al”˜bea”˜œ g Ÿ ž Zc”Ÿ e aŸ œ`cŸ  Z• ž Zc”Ÿ 

· ¸¹º»¼½¾¿ºÀ¼¹ ˜ \ ‘ [Á 
  \_  \
   [f\ •f   \\  
     

  
]g Z[  f\_[ \         
] 

^^ gZ 
]  ^\ 
    ^ ^^
   \^  •f  ^ g    [  \^  •
\“ 
‘Á 
      

—   
] Ã Äe
\     \\  ]

 [ _ “\ 

 
] ^^   “ Åe — •      
  Æ ƒÇg ` Èe  

  
] e   

   e      •
\“  
\   e \É•     ]

 [^   
   ^^   f f       •  gb ^ —  [
   \\    _ “\  

e   ‘
 
]   [ ]
‘Áf  e`abc dg`abc d     \“\  

  ] `abc ÊgZ ]       
  f
 eŸ`c„  Z˘ [b\ \   [
”l— –Ì`lal”˜b Ác _gZ]Á



 [ _ \   fg Z[    [`abc d Á

•   f
\   
]  

^^  g  ^    f   e     \ \ 
   ]  

      \    

  g     
  Íe    ^  
   \^]

   
]  

    
\ g Î Ï»ÐÑÒ Ó»ÔÕÒ¹ºÖºÀ¼¹ ½ÒÕ ×¼ØÀÙ¾ÒÕ ½Ò »ÔÔ¿»Àº¾»ÒÚ š  _ “\  

e 
]  

\  [f— \    \^  
  ^ [ \g Z     \^  É
 ]ÛÁ  ]][f   
] g l   f\ 
    e  \ [
 
• [  
] 
 \ g  
  \       
]  

e   
]  

 ^^  e    [^ 
   [   ]  

    Ƅ„Çe
   _ “\   \\  •
  

   ]  

 Ü  
]   Á \ [ g ÝÞß àáâãäáâå æçèéêëêìéå âë éìëíëêìéå c          
  ÆîÇ  ÆÊÇg ‰WV…VTWX ï

T (Σ, X)

‘”c–a ð~  rppnr€a dg ‚t  ƒ „g„ ‚

ñòóô

Σ

õö÷ø ó ù öú ô õû÷ü ø òóô

X

õö ÷öø÷ýþÿ÷ ÷
úû ó úþÿ÷ø ô ÷ÿ õ÷

Σ ∩ X = ∅

ú ö òô ú ôóò ö

T (Σ, X)

û÷  ûø÷ö ô ÷ ÿ÷öø÷ýþÿ÷ ÷ø

Σ

 ô ÷ûý÷ø øõû

X

 š  ]  

e     ^‘  \   
 
  Ã\ ÄgŸ

F

  \^  e   

F

n

[ \^    

n



F

e [ \

F =

∪

n∈

F

n

gŸ

X

  \^ ^ e

T (F, X)

  []“^  \  \  Á  ] 

F

[ \^ ^

X

g c       [    


\    ]] [f   
]    Á \\    \^  
]  

 f\ gÈ \— \]e   \  

L

  \^  _\^ œ
   g O|XTVTWX ï        ö ô ÷ûý÷ ÷  û÷õ
÷ ÷ø ô õö ô ÷ûý÷  ò öø ô ûõ óô øõû ÿ÷ø ÿ÷öø÷ýþÿ÷ ÷ø ô ÷ûý÷ø

T (F, X)

ü ÿ÷ø øýþ ò ÿ÷ø ÷ ò ö ôóò öø

F

ü ÿ÷ø øýþ ò ÿ÷ø

L

ú ó öø ó õ÷ ÿ ò  ûú ô ÷õû ÷  ò öú ô öú ôóò ö  ÿõø  ò ûý÷ÿÿ÷ý÷ö ô õö ô ÷ûý÷ ÷  û÷õ
÷ ÷ø ô õö ÿý÷ö ô ÷ ÿúÿ ù þû÷

PT = T (L ∪ {; } ∪ F ∪ T (F, X))

a \    Á 
   \^   e   g l  

t ⇒ t

0

  

t

 

    
 

t

0

g  
 

  Á 
  


\ g  f\e 
 
 \ \É\  
 [  \^  _\^ 
   


\    e

  g b      

t

⇒ t

π

0

  \

t

 

 

t

0

      [
 

 


π

g ÝÞÝ ìêäáâ æâ ççêëá⠝  ]  
     _ fe  _ “\ 
 e      \“ e        g a  \    — \  
œ

Synth, `, M odel, |=

   É
    g ‡ XV…!P a _ f
 Á 
  [ ]  
    ] — 
    [ \^    _ f  gb    ]

e 


Synt

  

(Σ, sen)

  

Σ

Á —    \É\ ] 

Σ

Á[ \^   _ f   Á   ] g š  ]  

 e   ]       

Σ =

(L, F , E)

Ü

F



E

    \^  _\^    

E

    \^

T (F, X )

—
]
ga
]


E

    f\ — f\   ] 

Σ

gf\e   ]      [
   ‘ 

∧

e `     f\ [ 
‘”c–a ð~  rppnr€a dg ‚t  ƒ „g„ Ê

 \\
   

∧

ga ^‘   Á  ] — 
    
   \

π : hti

E

→ ht

0

i

E

Ü

t, t

0

_{∈ T (F, X )}



π ∈ PT

˜ \ e    \ ]  

π

\ 


t

0

Á  

t

g ‡ QV"#PQ ‹P ‹|‹iRVTWX b     _ “\ 
   ]  

e    [^    •
  

g       _ f

Synt



(Σ, sen) ∈ Synt

e   •
    

T = (Σ, Φ)

Ü

Φ ⊆ sen(Σ)

gl    

T

  
 
 [ \^[f\

Φ

g    ] 

Σ

e _ “\
     
  ^ —        ^
 [ 

φ

     \^ [f\

Φ

      “]   ]gt \\ e
  
      _ f

Synt

e  _ “\ 
     

(Synt, `)

 

`

        Á •

(Σ, sen) ∈ Synt

   ^ 

`

Σ

⊆ P(sen(Σ)) × sen(Σ)


     
 
  t] „

∀φ ∈ sen(Σ), φ `

Σ

φ

œ ”
$f
  Ÿ

Φ `

Σ

φ



Φ ⊆ Φ

0



Φ

0

_`

Σ

φ

e œ ’    Ÿ

(∀i ∈ I, Φ `

Σ

φ

i

)



(Φ ∪

i∈I

φ

i

) `

Σ

φ

e œ– 
    \• \ ]  Ì ð 

Φ `

Σ

φ



H(Φ) `

H(Σ)

H(Φ)

œ –    %w&'„ž ”
]  _ “\ 
 š  ]  

 e    •
  

 

   f\     _ “\ 
 g š \É\  _ “\ 
 
\ 
       
 g  •
 



e   ƒ 

R = (X , F, E, L, R)

Ü

X

    \^   
\^^^ e

L



F

 f  \^  _\^   e

E

  \^

T (Σ, X )

—
]
e

R

  \^ “] 

 \\
 e\

` : g → d

Ü

` ∈ L



g, d ∈ T (Σ, X )



Var(d) ⊆ Var(g)

e  Ü [


`

   \^  ^    

g

g a[ ] 
  \\  “]    
   
]   \“   ]  

 Ü  \\]  
] \   
 
 g a
   É
   

   f[ \ \ \
gaa Ƅ„ Çg   •
  





R

\ 
 

π : hti

E

→ ht

0

i

E

œl   

R ` π : hti

E

→ ht

0

i

E

  

π : hti

E

→ ht

0

i

E

  ^  ]Û Á ‘”c–a ð~  rppnr€a dg ‚t  ƒ „g„ d

{|(P!T)TV|



hti

E

: hti

E

→ hti

E



t ∈ T (F , X )

* WXŽ Si PXRP

π

1

: ht

1

i

E

→ ht

0

₁

i

E

, . . . , π

n

: ht

n

i

E

→ ht

0

n

i

E



f (π

1

, . . . , π

n

) : hf (t

1

, . . . , t

n

)i

E

→ hf (t

0

₁

, . . . , t

0

n

)i

E

Ÿ

f ∈ F

n

{P#UŠ…RP#PXV

π

1

: ht

1

i

E

→ ht

0

1

i

E

, . . . , π

n

: ht

n

i

E

→ ht

0

n

i

E



l(π

1

, . . . , π

n

) : hg(t

1

, . . . , t

n

)i

E

→ hd(t

0

1

, . . . , t

0

n

)i

E

Ÿ

l : g(x

1

, . . . , x

n

) → d(x

1

, . . . , x

n

) ∈ R)

ŒS…XQTVT)TV|

π

1

: ht

1

i

E

→ ht

2

i

E

→ ht

3

i

E



π

1

; π

2

: ht

1

i

E

→ ht

3

i

E

%w&'‚ž ”
] 
  \^      

   t] ‚g + ÷ýúûõ÷ , b    
] 
$f
  \\ e   “]

r = (l : g → d) ∈ R

e  
 

seq(r) = (l(hx

1

i

E

, . . . , hx

n

i

E

) : hgi

E

→

hdi

E

)

 É

ga[ \^
 

{seq(r)|r ∈ R}

  

seq(R)

g a _ “\
   
    ] 

Σ = (L, F , X , E)

   •
  





R

e 

seq(R) `

Σ

(π : u → v)siR ` (π :

u → v)

g -W‹"ŠPQ    _ f 


Synt

e • ]   •  \^    _ f 

(Σ, sen) ∈ Synt

   
   

M od(Σ)

[^‘ 

Σ−

’“      


|=

Σ

⊆ M od(Σ) × sen(Σ)

\^   \• \  ]  g   \^  _ f

Φ

e

M od(Σ, Φ)

    

Σ−

\“

M

 

∀φ ∈ Φ, M |=

Σ

φ

e 
\“    

Φ

g

M od(Σ, Φ) |=

Σ

φ

]  

M |=

Σ

φ

  

M ∈ M od(Σ, Φ)

 \“  ] 

 É•  \\ [   —    •
  



R

g      
\
 [ \^  \  

π


 

π : hti

E

7→ ht

0

i

E

\   [
   g Z
   
  [ \^

E

  [ \^

E

P T

(R)

 f\
   [ \^  \  
   ] Êg b   \“   \   [ \^     ð

{π|R ` π : hti

E

→ ht

0

i

E

}/(E ∪ E

P T

(R)

)

g ‘”c–a ð~  rppnr€a dg ‚t  ƒ „g„ ƒ

∀π

1

, π

2

, π

3

∈ PT π

1

; (π

2

; π

3

) = (π

1

; π

2

); π

3

b 

∀π : hti

E

→ ht

0

i

E

,



hti

E

; π = πhti

E

; π = π

˜ 


∀f ∈ F

n

, n ∈

.

, ∀π

1

, . . . , π

n

, π

0

1

, . . . , π

0

n

:

˜
  

f (π

1

; π

0

1

, . . . , π

n

; π

0

n

) = f (π

1

, . . . , π

n

); f (π

0

1

, . . . , π

0

n

)

∀f ∈ F

n

, n ∈

.

:


 `

f (ht

1

i

E

, . . . , ht

n

i

E

) = hf (t

1

, . . . , t

n

)i

E

∀l : g → d ∈ R, ∀π

1

: ht

1

i

E

→ ht

0

1

i

E

, . . . , π

n

: ht

n

i

E

→ ht

0

n

i

E

l(π

1

, . . . , π

n

) = l(ht

1

i

E

, . . . , ht

n

i

E

); d(π

1

, . . . , π

n

)



l(π

1

, . . . , π

n

) = g(π

1

, . . . , π

n

); l(ht

0

1

i

E

, . . . , ht

0

n

i

E

)

 ’a\\ %w&'Ê ž

E

P T

(R)

ð`   \   WŽT/iPQ c  \   
  

\  [  ]

L

e    
    \  

L = (Synt, sen, Mod, `, |=)

 

(Synt, sen, `)

   _ “\
 e

(Synt, sen, Mod, |=)

  \“          ð

∀(Σ, sen) ∈ Synt, Φ ⊆ sen(Σ), φ ∈ sen(Σ), Φ `

Σ

φ ⇒ M od(Σ, Φ) |=

Σ

φ

a ]   \“    

  \    
—  g *…ŠRiŠ ‹P USPi)P c   
   \ “ \  [    ]e  —  [ \     _ “\ 
 g ˜   \   
 \ “ 

Á  [  \^[f\

Φ

g        É Å \\  $f^  \ 
   Ã  Ä  \           \^  

g ˜  
 [  
 

`

g l \[ f      ] 
e\\[     ] \ g   Á••


T

  ]
^

P (T )

    f\ 

T

\\ •_•“      
] 
 \\ 
       g l 

proof s(T )

[ \^     •
“\ •


T

gl  Á ••
“\[e

τ

T

  • 

p ∈ proof s(T )

 


φ

 

p

    e

φ = τ

T

(p)

g      \      [ _ “\ 
 ‘”c–a ð~  rppnr€a dg ‚t  ƒ „g„ 0

Á   _ f 
     \É\ [ \^  f\         g     \\ 
 
 _ — “\
 e••


T

e 

(P (T ), proof s(T ), τ

T

)

g š  ]  

e [ \^    
  \\ [ \^  \   e       \É\ 
]    _ “\ 
 e
   t] „g *…ŠRiŠQ a   ]
  [ _ “\  e  •




eÁ   
     g š
     \ \  [    \
  

\ g   •
  



R

e
 

π : hti

E

→ ht

0

i

E

\  

π = t[l(σx)]

ω

b

hti

E

⇒

l,σ,ω

ht

0

i

E

  
  \  

g l \     Á 
  •^  [   “]  

 \\


l

Á [ 

ω

     

σ

g  

\ e     
 f
  \  f\

E

P T

(R)

e

 
 Ƅ„Ç\  [  È 
\ “e]ÛÁ[ 
[
 
 Ã 1Äe [\
 É
\
  \  
 

\  g ` [ \ e

∀π

 e 

π = hti

E

= ht

0

i

E

e ]

\ 

∃n ∈

.

hti

E

⇒

`

0

ht

1

i

E

⇒

`

1

. . . ⇒

`

n

₋

1

ht

0

i

E



π =

A(;)

(π

0

; π

1

; . . . ; π

n−1

)

eÜ

A(; )

[ 
à 1Äga 

π

  
“  \e

ht

n

i

E

   
  [ 

π



ht

0

i

E

e [


hti

E

π

⇒ ht

0

_i

E

a  [
  ]




(E ∪ E

P T

(R)

)

 \       [
     e f   
  œ    \É\
 e   \    
  g ‡VS…V|ŽTPQ ‹P S||RSTViSP a 
]  2  [  
]  

  
     [^   
  ^ e    3
        

\\  
 [ g O|XTVTWX 4 56 7 68 9:  88; : 6   < ô úö ô ò öö õõö÷ø ô ûú ô  ùó ÷ ÷ø ô õö ø ò õø ÷öø÷ýþÿ÷ ÷ ÿ÷öø÷ýþÿ÷ ÷ø ô ÷ûý÷ø ÷  û÷õ
÷ø  ò öø ô ûõ óô ø  úû  ò öú ô öú ôóò öüø ó

S

÷ø ô õö÷ø ô ûú ô  ùó ÷ü

t

÷ø ô õö

Σ

 ô ÷ûý÷ü ò ö ö òô ÷  úû

S(t)

ÿú  ÿ ó ú ôóò ö ÷ ÿú ø ô ûú ô  ùó ÷ ñ  ò ö ô û÷ ÿ÷ ô ÷ûý÷

t

ü ÷ø ô = ó û÷ ÿ÷öø÷ýþÿ÷ ÷ø û ó
ú ôóò öø ÷

S

=  úû ôó û ÷

t



S(t) = {t

0

|∃π ∈ S, t

⇒ t

π

0

}

‘”c–a ð~  rppnr€a dg ‚t  ƒ „g„ >

c 
]\      [
•g Ÿ

S(t) = ∅

e    [
•[   
]

S

 \

t

gZ ]  \\  [ \   

S

\ 


t

  

t

0

g …XŽ…ŽPQ ‹P ‹PQRSTUVTWX ‹P QVS…V|ŽTPQ   \ “ 
   
] e   [
\
 [ \^     \   g ` e  [   ]

   ^e  [ \^     \   [   
\   
\^^g  
] e  ]]    É
   •     \^  \       ga  ]]     
]  É  \_ _ f[f\
\  
] 

   \ [ ]\\g ÝÞ? @ABâ Cçåâéëíëêìé æá ãíéíâ æâ æâåêCëêìé æâ åëíD ëçêâå áëêãêåç âé EFG c 
  e[\   
] 

 ^^    _     d  _ “\ `abc ƂÇg a 
]  
—
 ^^  [‘  f 
]  

 ÆÊÇ  
  •
\“  ^^  g Z   
]  

 — ^^  Á


 
  ÆdÇ  ƃÇg 4H IHï PŠ…XŽ…ŽP‹P‹PQRSTUVTWX‹PQVS…V|ŽTPQXWXUSWJ…JTŠTQVPQ‹KLh‰ c  
 ^“\  È
  
 ^ \     ]]     
] [`abcg ž MN   [ O Pga 
]MN

(S

1

, . . . , S

n

)

    
  [    
]

S

1

, . . . , S

n

g Ÿ  

S

k

• e  MN
•g ž MQ   [ g a 
] MQ

(S

1

, . . . , S

n

)

    
  [ ‹ KiX P QVS…V|ŽTP \

S

1

, . . . , S

n

[
•     f gŸ 

S

k

• e MQ
•ga•f   
\—  g ž RSTUVg a 
] RSTUV

(S

1

, . . . , S

n

)

    
  [—    \“ 
] [
•   g Ÿ   
]
• e RSTUV
•g ž RWSXga 
]
• ‘ g ž a 
]Yg

S

1

Y

S

2

  Á[ 

S

2

  \   “ 

S

1

   Á [f\   
  ]  

g ž ZM    
] 
e    \É\\ [ 
e  ‘ É 
g Z 
] e \  
 e    \^  
] g a 
]  `abc d    Á  “]  

 \\
 g Z ‘”c–a ð~  rppnr€a dg ‚t  ƒ „g„ [

“]   [   \      f\  
 e    
]g  f\e     \^  “] “ \e \\  
 
  t]‚gÊg„ \MQ\T]^T_`` \a  ^  b  ce\  d   “] eTfg    
g Z 
]  \\ 
  Ƅ Ç  Æ0Çg eT]g a hi b eT_g a hi c eTfg a hi d %w&'d ž  _ “\  

 \ ÝÞj âå åëíëçêâå Cìkíkêãêåëâå 4HlHï * WXRPUV a 
]  

^^ e  É \\ 
— ]MQÁ    ‘   \   ^^  Á  \ “•  
] 
  \“ga•f 
] MQ 
\  e    •f   
]  

 ^— ^        ^  ^^
g a    •f ^^            •f 
\  g a 
]  

 ^^        \ \ Á \
   \\    \  f \É\    \ \[f
  _ “\ e\\f\e   \^\•  ]    ZŸ’bZšgZ \    
]  

^^  e [     \  ^ ^^    \^ 
] 

 œ^^     g c  \ 
  _ f 
]  

 — ^^ e mQ  mWe  ^^  •  ^^  g a[
   \“ 
]   [  Á • 
] 
  \“   g mW f\  •f   [ [  
]   
]   [
• RWSXg 4HlH4 ‡|#…XVT/iP ‹P mQ PV mW Z f 
  
]
    \ “  •   — 
] 
  \“g O|XTVTWX I no p  8 7 6  qr qr ÷ø ô õö÷ ø ô ûú ô  ùó ÷ ÷ ûû óô õû÷ òs ÿ ò ö úøø ò  ó ÷ = ÿ÷öø÷ýþÿ÷ ÷ø ø ô ûú ô  ùó ÷ø  úøø÷ø ÷ö  úûúý ô û÷ õö÷ ó ø ô û ó þõ ôóò ö ÷  û ò þúþ ó ÿ óô  qr  û÷ö  ò õû úû ù õý÷ö ô õö÷ ÿ ó ø ô ÷ ÷  ò õ  ÿ÷ø

(S, p)

òs

S

÷ø ô õö÷ ø ô ûú ô  ùó ÷ü ÷ ô

p

÷ø ô õö ÷ö ôó ÷û ‘”c–a ð~  rppnr€a dg ‚t  ƒ „g„ î

ú  û ò þúþ ó ÿ óô  õ÷ qr

((S

1

, p

1

), . . . , (S

n

, p

n

))

ø
úÿõ÷ ÷ö

S

i

úõ ô

p

i

P

n

k=1

p

k

l
    \É\ \ “[
  
] mW ð O|XTVTWX l no p  8 7 6  qt qt û÷ö ÷õu úû ù õý÷ö ô øü õö÷ ø ô ûú ô  ùó ÷ ÷ ô õö ö ò ýþû÷ ûú ôóò öö÷ÿ  ò ø óôó  ó ö û ó ÷õû = õö qt

(S, p : q)


úÿõ÷ ÷ö

S

ú
÷ ÿú  û ò þúþ ó ÿ óô 

p

q

÷ ô ø
úÿõ÷ ÷ö v twx ú
÷ ÿú  û ò þúþ ó ÿ óô 

1 −

p

q

 yö ú ò ö qt

(S, p : q) =

qr

((S, p), (

v twx

, q − p))

 4HlH I … Q XV…!P ‹PQ QVS…V|ŽTPQ ‹PQ WU|S…VPiSQ mQ PV mW a _ f \       \  \   
 
   mW  mQ 
   ]• 

 g  f\e  

S

1

. . . S

n

n


] 

p

1

. . . p

n

n

  e ð \ mQ\z]{m] Y z_{m_ Y ||| Yz}{m} ` ` V ]   [   

pk

Á

S

k

g c [ `abce [
 [  
]   
   •“  Á ]• \Á 
g a _ f[
mQ   ðmQ  \“     ~ 
] e   ~e

  ^  e    ]
 • g Z\\    f
  ]•

 e  ^^
 
]

S

k

[ \ – 

p

k

P

n

i=1

p

i

l    _ f \^^  [
 mW ð \mW\z{{€`` V mW  ]\  \“ e  
] f  g˜ — 
]Ÿ  
 \ ^^

7

9

eRWSX  
 ^^

2

9

g  ¸‚Ó×ԂҹºÖºÀ¼¹ ½ÒÕ ¼ÓÔ»ÖºÒ¾»Õ ½Ò Õº»ÖºÔØÀÒÕ Ó»¼ƒÖƒÀ×ÀÕºÒÕ ½Ö¹Õ „…†‡ ˆ a f 
]  \
\ 
  _`abc dga[\ —  [È f •    ð ž
  _ fe ž  
]  
]   [ 
g ‘”c–a ð~  rppnr€a dg ‚t  ƒ „g„ „†

?Þß ‰éëçíëêìé æâ ãí åŠéëí‹âÞ Z  
\     Á  Í Á  [ 
—   _ fe [ \^  
]      ^  
g Z      • ] Ÿšt Æ>Ç

  Z˘ Á b\ \   \ “   ð  • Ÿšt    
   _ f  
 𠌍 MŽX UVTWV‘SU’“T ” zVTWV‘SUezVTWVz  TVg S Œ m  TVU ” WUSQ’bŽSXVS}Z}V • SMM}U U  TVU zVTWV z  TV “T ” zVTWVz  TV –m  TVU Q  }V–V—RT U˜}VW– zVTWV z  TV ™{™ bŽSXVS}Z}V —i “T ” zVTWVz  TV ™mQ™ ™\™ š“T ” zVTWVz  TV ™^™›œ ™`™ —i zVTWVz  TV šUVTWV  m^ ” ŽSXVS}\™mQ™`^ Q  }U\™mQ™`› ™mW™ ™\™ zVTWVz  TV ™{™ bŽSXVS}Z}V ™{™ bŽSXVS}Z}V ™`™ —i zVTWVz  TV šUVTWV  m^ ” ŽSXVS}\™mW™`^ Q  }U\™mW™`› l
   f
 emWmQga[
mQ  \“   “T ” zVTWVz  TVga_ ^  à 
]e Äe 
   _ f[ “T ” zVTWVz  TV   
]

[       ]g a  \ e`abc d  Á [ b Æ[Ç Æ„ÊÇe‘

 Z˘   al”˜be  \   ]

 \\   ‘    \    _
     g b e b  \ [     \   _
  Zg a  È
 b \  \     [ 
— ]      [ 
  
]      [ 
`abc dg˜ Å ‘ [ 
   —   
]mQœ mW ga \“  


  \[     f  ]Ûf  ]


 b gb —     \ e  ^ 
  \“   
  \ “   Á  [   ^  \ ^  ]Û Á  ]

 \^ —
e [   TW}M Œ  ^ Zg ?ÞÝ žçéçíëêìé æâå æêåëêkáëêìéå a   TW}M Œ e  ‘  \É\   \^    ]  f
e 

•        
\   ‘”c–a ð~  rppnr€a dg ‚t  ƒ „g„ „„

\
 ]

 \^
     — 
 [`abc dga[ f
]

  \^
\ 
g a \\  TW}M Œ   ]

 \^  
  ^    _ “\ Ìb `` Ƅ‚Ç \ [^     \^ È
  [ f
 Á[e   Á •f
—    ]  ^ ]

 \^  
   
    ^   e ^    \    
  _ “\•_    Á     
g ˆ „ŸÒ‚Ó×ÒÕ ½Ò ¿¼½ÖØÒÕ ½  Ö¾º¼‚ÖºÒÕ Ó»¼ƒÖƒÀ×ÀÕºÒÕ Û f 
]  

 ^^  e     \ ^^  e\ “\  \
   _ “\ \f Ü     •
\“  
 g’ e   
[f\ \\ 3 [   ^ g˜    ]  \ e\\  \   t]d TŽXU eg mSXRWQ hi mQ\ mSX{] Y mSX{] ` emSXg Q  S} hi VWSX eRWQg Q  S} hi • WM %w&'ƒ ž • g ˜e  \ mQ\ mSX {]Y mSX {] ` Q  S}   

  \ “
^^ •WM  VWSX jÞß ¡é íáëì¢íëâ Cìkíkêãêåëâ åê¢Cãâ a[\    É 
 `abc de\\ \  [f\    g TŽXU e£ag a hi ¤ ¥•T ¤ {h \£b` b e £ bg b hi ¤ ¥ • T ¤ {h \ mQ\ba { ¦ ^ bc {]` ` b ebag b hi ¤ ¥•T ¤ {h \£a` a ebcg b hi c jÞÝ ¡éâ ¢í§â íãçíëìêâ CíëêáãêA⠘  
]\   ^    \• 
   — “ e \\         𠐑”c–a ð~  rppnr€a dg ‚t  ƒ „g„ „‚

A

B

C

1

_5/6

1/6

%w&' 0 ž b ^^ \

(X

n

, Y

n

) ∈

.

2

¨

((X

n+1

, Y

n+1

) = (X

n

+ 1, Y

n

)) =

¨

((X

n+1

, Y

n+1

) = (X

n

, Y

n

+ 1)) =

1

₆



X

n

6= 0



Y

n

6= 0

¨

((X

n+1

, Y

n+1

) = (X

n

− 1, Y

n

)) =

¨

((X

n+1

, Y

n+1

) = (X

n

, Y

n

− 1)) =

1

₃



X

n

6= 0



Y

n

6= 0

¨

((X

n+1

, Y

n+1

) = (X

n

− 1, Y

n

)) =

2

₃



X

n

6= 0



Y

n

= 0

¨

((X

n+1

, Y

n+1

) = (X

n

+ 1, Y

n

)) =

1

₃



X

n

6= 0etY

n

= 0

¨

((X

n+1

, Y

n+1

) = (X

n

, Y

n

− 1)) =

2

₃



X

n

= 0etY

n

6= 0

¨

((X

n+1

, Y

n+1

) = (X

n

+ 1, Y

n

)) =

1

₃



X

n

= 0etY

n

6= 0

(0, 0)

 \  a ]• 
 
  ] > \ [   \\   ^           .

2

g a    .

2

  
 
     ^g l   ]  _   e  \ 

(0, 0)

[Ü[ ^] e ^  [            Ü [  \ e   e Á ]•   [Á g a ] $“•   Á  ^^
[È\— \     g a $“• ]     f \\ 
— ]       [] e  $“•  
    \\   • [] g l  \   ©\   [
\ 

(0, 0)

e      _ “\ \    ©\ g  \\    \•  `abc d 𠐑”c–a ð~  rppnr€a dg ‚t  ƒ „g„ „Ê

%w&' > ž   \• 
 TŽXU eg TW}M Œ ¥WXN hi mQ\XRVUVTWV{_^TS‘•VUVTWV{]^M  ¥}UVTWV{_^ŽmUVTWV{]` eg XRVUVTWV hi RSTUV\XRV]^XRV_^XRVf` eg M  ¥}UVTWV hi RSTUV\M  ¥}]^M  ¥}_^M  ¥}f` eg ŽmUVTWV hi RSTUV\Žm]^Žm_^Žmf` eg TS‘ • VUVTWV hi RSTUV\TS‘ • V]^TS‘ • V_^TS‘ • Vf` eXRV]g \–^˜` hi z SR – i ª ¥ • T z {h \TW}M Œ ¥WXN`\–—]^˜` eXRV_g \–^˜` hi z SR – hh ª W}M ˜ i ª ¥•T z {h \TW}M Œ ¥WXN`\–^˜` eXRVfg \–^˜` hi \ª^ª` SR – hh ª W}M ˜hhª eTS‘•V]g \–^˜` hi z SR – i ª ‘”c–a ð~  rppnr€a dg ‚t  ƒ „g„ „d

¥ • T z {h \TW}M Œ ¥WXN`\–œ]^˜` eTS‘ • V_g \–^˜` hi \ª^ª` SR ˜hhª eTS‘ • Vfg \–^˜` hi z ¥•T z {h \TW}M Œ ¥WXN`\–^˜` eŽm]g \–^˜`hi z SR ˜ i ª ¥•T z {h \TW}M Œ ¥WXN`\–^˜œ]` eŽm_g \–^˜` hi \ª^ª` SR – hh ª eŽmfg \–^˜` hi z ¥•T z {h\TW}M Œ ¥WXN`\–^˜` eM  ¥}]g \–^˜` hi z SR ˜ i ª ¥ • T z {h \TW}M Œ ¥WXN`\–^˜—]` eM  ¥}_g \–^˜` hi z SR – i ª ¥•T z {h \TW}M Œ ¥WXN`\–^˜` eM  ¥}fg \–^˜` hi \ª^ª` a 
  \ \TW}M Œ ¥WXN`\«^«`  `abc 
\  \\ gTW}M Œ ¥WXN     mQ\XRVUVTWV {_^TS‘•VUVTWV {]^M  ¥}UVTWV {_^ŽmUVTWV {]`e   
]  •  mQ  
       Á e  Á ]•e   •   ^   \    ^ œ   È ^ ga     

e[
—   
] \TW}M Œ ¥WXN` 
     g Z 
 [     \     


(0, 0)

  

gl ^ 


(0, 0)

  \ \_ ^
 ¬ e  [`abc        g ­ ®¼¹¿×¾ÕÀ¼¹ Òº ÓÒ»ÕÓÒ¿ºÀÑÒÕ a[\   
]  

 ^^   _ “\ `abc \
\     _ “\ ^^ g c  \   f\\\    [\ ^^
œ   •Í   ’O    [f
  _ “\  “]  

—      \\  [  \gb       \
   _ “\ \f Ü     — ^^
   
  \ “ f
\    

  

  
] ^^  g ‘”c–a ð~  rppnr€a dg ‚t  ƒ „g„ „ƒ

¯ †¹¹ÒŸÒ °Þß ± CìCìå æâ ãí çéçíëêìé æâ éì¢kâ íãçíëìê⠘ [f   []•\
\   \  [^   \— \  \“\  
g Z  e  f   \^f ]•\ \  [^  
   \^    “ ]  
 

g \  ]•\ e        ÃaZÄ  a  Z ]   eÁ à \Ä  ^ Zg “ ^ 

  š ² • Ƅ†ÇeÜ “]  •   ]

  \^  
  
 
gš
—    \^
\  
  É^   ^   •
\“  •_  e 
 
] [
•   \e   ^    _ “\ \f _    \^f
  “   fgZ
   \^ 
 Á[^   [ _ “\“     •“\  •• ^ [
 [b 
Ÿ¬  Á [˜”˜Ÿb Ƅ‚Çg ³ Ô´Ô»Ò¹¿ÒÕ Æ„ Ç  › O_e Z ²• e Ì
“  ²• e  —`  ’g `abc \  ”P ] a]    Pg µ¶ ÷ ò û÷ ôó úÿ · ò ý  õ ô ÷û ñ  ó ÷ö÷ e œ‚[ƒ  ð„ƒƒž„[ƒe¸_ ‚††‚g Æ ‚Ç  › O¹e Z ²• e Ì
“  ²• e —`  ’e  Z• • ” ]  g b P  º»¼½g ˜ Z ²•   Ì
“  ²• e  e û ò ÷÷ ó ö ù ø ò  ô¶ ÷ ø÷  ò ö ¾ö ô ÷ûöú ôóò öúÿ ¿ ò ûÀø ¶ò  ò ö + ÷Áû óôó ö ù  òùó  úö   ÿ ó ú ôóò öø e\ „ƒe •VVm {’’¥¥¥|XUÃST|}X’X  QWV’}VQU’à  XŽ Œ ]«|•V Œ Xe  —Á— ’  œt  e Ÿ\^ „îî[g` c  –• Z\—  Ÿ g ÆÊÇ  › O¹eZ²• eÌ
“ ²• e Z• •” — ]  g ”P ] P• ]  º»¼½ ð     \  g ¾ö ô ÷ûöú ôóò öúÿ Ä ò õûöúÿ ò  Å ò õö ú ôóò öø ò  · ò ý  õ ô ÷û ñ  ó ÷ö÷ e „‚œ„  ð0îžî[et— ^_ ‚††„g ÆdÇ l› ¬ ’• Ì_g ”P ] ] ^^ g˜ ”^ cP • e e + ÷Áû óôó ö ù µ ÷ ¶ ö ó õ÷ø úö   ÿ ó ú ôóò öøü Æ Ç ô¶ ¾ö ô ÷ûöú ôóò öúÿ · ò ö÷û÷ö÷ü +µ  ÈÉÉÊü Ëúÿ÷ö ó úü ñ  ú ó öü Äõö÷ ÌÆÆü ÈÉÉÊü û ò ÷÷ ó ö ù ø e\‚>† 0  ÷ ô õû÷Í òô ÷ø ó ö · ò ý  õ ô ÷û ñ  ó ÷ö÷ e] 0 „ ž >ƒgŸ ]e‚††Êg Æ ƒÇ l › ¬  Z ²• g ^^  P ] ð b   g ˜ Ÿ• –  e e + ÷Áû óôó ö ù µ ÷ ¶ ö ó õ÷ø úö   ÿ ó ú ôóò öø e \ ‚Ê >[  ÷ ô õû÷ Í òô ÷ø ó ö · ò ý  õ ô ÷û ñ  ó ÷ö÷ e ] ‚ƒ‚ž‚ 00 gŸ ]— ]e¸_ ‚‚—‚d ‚††‚g ‘”c–a ð~  rppnr€a dg ‚t  ƒ „g„ „0

Æ0Ç Z e Ì  ²• e Zg –• P ]  Î  ˜ úö ˜˜g  òùó  Ä ò õûöúÿ ò  ô¶ ÷ ¾ö ô ÷û÷ø ô Ï û ò õ  ó ö õû÷ úö   ÿ ó ÷  òùó ø e îœ Ê  ðd‚>ždî [ e’_ ‚††„g Æ>Ç ¸gÌ ]eg”gÌgÌ O eg² e ¸g”O g –• _ f  \ \ Ÿšt —  \ g ·Рñ ¾ Ï ÂÍ Í òôó ÷ø e ‚dœ„„  ðdʞ >ƒe „î [ îg Æ[Ç Ìgbg¸ ]  gb lg    ^  ]\\ ]  —  \ _ f  g Ä ò õûöúÿ ò   òùó úö Âÿ ù ÷þûú ó û òù ûúýý ó ö ùe ‚††Êg ÆîÇ Z ²• e Ì
“  ²• e  ’ Og š ]  ] Z   a] ]\\ ] a ]]   ] Z\  Ÿ_ \ g ˜ tgl‘ ee û ò ÷÷ ó ö ù ø ò  Èö ·· ¿ ò ûÀø ¶ò  ea `  œ Ÿ  e Ÿ\^ „îîÊg Ƅ†Ç š g` ² •g µ¶ ÷ Âû ô ò  · ò ý  õ ô ÷û û òù ûúýý ó ö ùe\ ‚g b  — Ë _e „îî>g Ƅ„ Ç ¸g ’ ]g Z   P ] ]    \    _g µ¶ ÷ ò û÷ ôó úÿ · ò ý  õ ô ÷û ñ  ó ÷ö÷ e î0œ„  ð>ʞ„ƒƒe„îî‚g Ƅ‚Ç b 
Ÿ¬  c Ÿ gÌ]ðb  — P•   ]  ] \_  ]  \ \^ g ·Рµ ûúöø Ð ò ÷ÿ · ò ý  õ ô  ñó ýõÿ e „Êœd  ðÊÊdžÊd 0 e ‚††Êg ƄÊÇ › ’g g¸g  eg`g’e ¸g¸g  ‘gb] Å   ]__ ^  _ f   ‘g –•  eZ˘e ‚††Êg ‘”c–a ð~  rppnr€a dg ‚t  ƒ „g„ „>