HAL Id: tel-00910879
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Thomas Chabrier
To cite this version:
Thomas Chabrier. Arithmetic recodings for ECC cryptoprocessors with protections against side-channel attacks. Other [cs.OH]. Université Rennes 1, 2013. English. �NNT : 2013REN1S064�. �tel-00910879v2�
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✉♥❡ s✉✐t❡ ❞❡ ❞♦✉❜❧❡♠❡♥ts ✭DBL✮ ❡t ❞✬❛❞❞✐t✐♦♥s ✭ADD✮ ❞❡ ♣♦✐♥ts q✉✐ ❝♦rr❡s♣♦♥❞❡♥t à ❞❡s ♦♣ér❛t✐♦♥s ❞❛♥s Fp ♣♦✉r ❧❡ ❝❛❧❝✉❧ ❞❡ [k]P = P + P +· · · + P | {z } k❢♦✐s , ♦ù k ❡st ✉♥ ❣r❛♥❞ ❡♥t✐❡r ❡t P ✉♥ ♣♦✐♥t ❞✬✉♥❡ ❝♦✉r❜❡ ❡❧❧✐♣t✐q✉❡ ❞é✜♥✐❡ s✉r Fp✳ ▲❛ ✜❣✉r❡ ✷ ♣rés❡♥t❡ ❞❡✉① ✈❡rs✐♦♥s ❛❧❣♦r✐t❤♠✐q✉❡s ❞✉ ❝❛❧❝✉❧ ❞❡ [k]P ✱ ✉t✐❧✐s❛♥t ❧❛ r❡♣rés❡♥t❛t✐♦♥ ❜✐♥❛✐r❡ ❞❡ k✳ ❈❡s ❞❡✉① ✈❡rs✐♦♥s ❝♦♥s✐st❡♥t à ♣❛r❝♦✉r✐r ❧❡s ❜✐ts ❞❡ k ❡♥ ♣❛rt❛♥t ❞❡s ♣♦✐❞s ❢❛✐❜❧❡s ✭❛❧❣♦r✐t❤♠❡ ❞❡ ❣❛✉❝❤❡✮ ♦✉ ❞❡s ♣♦✐❞s ❢♦rts ✭❛❧❣♦r✐t❤♠❡ ❞❡ ❞r♦✐t❡✮✳ ▲✬❡①é❝✉t✐♦♥ ❞❡s ❛❧❣♦r✐t❤♠❡s ♣rés❡♥tés ❞❛♥s ❧❛ ✜❣✉r❡ ✷ ♥é❝❡ss✐t❡♥t ❡♥ ♠♦②❡♥♥❡ (n−1)DBL+n/2ADD✳ ❊♥ ❡✛❡t✱ ♣♦✉r ❞❡s r❛✐s♦♥s ❞❡ sé❝✉r✐té✱ ✐❧ ❡st ♥é❝❡ss❛✐r❡ q✉❡ ❧❡ s❝❛❧❛✐r❡ k ❛✐t ✉♥ ♥♦♠❜r❡ ❞❡ 0 éq✉✐✈❛❧❡♥t ❛✉ ♥♦♠❜r❡ ❞❡ 1 ❞❛♥s s❛ r❡♣rés❡♥t❛t✐♦♥ ❜✐♥❛✐r❡✳ ❡♥tré❡ ✿ k = (kn−1kn−2. . . k1k0)2✱ P ∈ E(Fp) s♦rt✐❡ ✿ Q = [k]P ✶ ✿ Q←− O Q←− O ✷ ✿ ♣♦✉r ✐ ❞❡ ✵ à n − 1 ❢❛✐r❡ ♣♦✉r ✐ ❞❡ n − 1 à ✵ ❢❛✐r❡ ✸ ✿ s✐ ki = 1 ❛❧♦rs Q ←−Q + P ADD Q←−[2]Q DBL ✹ ✿ P ←−[2]P DBL s✐ ki= 1 ❛❧♦rs Q ←−Q + P ADD ✺ ✿ r❡t♦✉r♥❡r ◗ r❡t♦✉r♥❡r ◗ ❋✐❣✉r❡ ✷ ✕ ✓ ❉♦✉❜❧❡♠❡♥t ❡t ❛❞❞✐t✐♦♥ ✔ ❞❡ ❞r♦✐t❡ à ❣❛✉❝❤❡ ❡t ❞❡ ❣❛✉❝❤❡ à ❞r♦✐t❡ ♣♦✉r ❧❡ ❝❛❧❝✉❧ ❞❡ [k]P ✳ ▲✬❛❧❣♦r✐t❤♠❡ ❞❡ ❞r♦✐t❡ ❡st ✐♥s♣✐ré❡ ❞❡ ❧❛ ❢♦r♠✉❧❡ s✉✐✈❛♥t❡ ✿ [k]P = k0P + [2] k1P + [2] k2P +· · · + [2](kn−1P ), t❛♥❞✐s q✉❡ ❝❡❧✉✐ ❞❡ ❣❛✉❝❤❡ ❛♣♣❧✐q✉❡ ❧❛ ❢♦r♠✉❧❡ s✉✐✈❛♥t❡ ✿ [k]P = k0P + k1([2]P ) + k2([4]P ) +· · · + kn−1([2n−1]P ). ▲♦rsq✉❡ ♥♦✉s ♣❛r❝♦✉r♦♥s ❧❡s ❜✐ts ❞✉ s❝❛❧❛✐r❡ k ❞❡ ❣❛✉❝❤❡ à ❞r♦✐t❡✱ ✉♥ ❞♦✉❜❧❡♠❡♥t ❞❡ ♣♦✐♥t✱ s✉✐✈✐ ❞✬✉♥❡ ❛❞❞✐t✐♦♥ ❞❡ ♣♦✐♥ts s♦♥t ❡✛❡❝t✉és s✐ ❧❡ ❜✐t ❞✉ s❝❛❧❛✐r❡ ✈❛✉t 1✳ ❙✐♥♦♥✱ ❧♦rsq✉❡ ❧❡ ❜✐t ❞✉ s❝❛❧❛✐r❡ ✈❛✉t 0✱ ✉♥❡ s❡✉❧❡ ♦♣ér❛t✐♦♥ ❛✉ ♥✐✈❡❛✉ ❞❡ ❧❛ ❝♦✉r❜❡ ❡st ❡✛❡❝t✉é❡✱ ✉♥ ❞♦✉❜❧❡♠❡♥t ❞❡ ♣♦✐♥t✳ ❈❡s ❛❧❣♦r✐t❤♠❡s ♣rés❡♥t❡♥t ❝❧❛✐r❡♠❡♥t ❧❛ ❝♦rré❧❛t✐♦♥ ❡♥tr❡ ❧❡s ❜✐ts ❞❡ ❧❛ ❝❧é s❡❝rèt❡ k ❡t ❝❡rt❛✐♥❡s ♦♣ér❛t✐♦♥s✳ ❉❡ ♣❧✉s✱ ❞❛♥s ❧❡ ❝❛❞r❡ ❞❡ ❧✬❡①é❝✉t✐♦♥ ❞✬✉♥ ❝r②♣t♦s②stè♠❡ à ❜❛s❡ ❞❡ ❝♦✉r❜❡s ❡❧❧✐♣t✐q✉❡s✱ ❧❡ ♥♦♠❜r❡ ❞✬♦♣ér❛t✐♦♥s ❞❛♥s ❧❡ ❝♦r♣s Fp ❡✛❡❝t✉é❡s ❧♦rs ❞✬✉♥❡ ❛❞❞✐t✐♦♥ ❞❡ ❞❡✉① ♣♦✐♥ts ✭ADD✮ ❞✐✛èr❡ ❞✉ ♥♦♠❜r❡ ❞✬♦♣ér❛t✐♦♥s ❡✛❡❝t✉é❡s ❞❛♥s Fp ❧♦rs ❞✬✉♥ ❞♦✉❜❧❡♠❡♥t ❞❡ ♣♦✐♥t ✭DBL✮✳ ❉♦♥❝ ❡♥ ❣é♥ér❛❧✱ ✉♥❡ ADD ❡t ✉♥ DBL ♦♥t ❞❡s tr❛❝❡s ❞✬❡①é❝✉t✐♦♥ ❞✐✛ér❡♥t❡s✳ ❉❡ ♣❧✉s✱ ✐❧ ♥✬❡st ♣❛s ♣♦ss✐❜❧❡ ❞✬♦❜s❡r✈❡r ❞❡✉① ADDs ❝♦♥sé❝✉t✐❢s ✿ s✐ ❞❡✉① ♦♣ér❛t✐♦♥s ✓ ✐❞❡♥t✐q✉❡s ✔ s❡ s✉❝❝è❞❡♥t✱ ✐❧ s✬❛❣✐t ♦❜❧✐❣❛t♦✐r❡♠❡♥t ❞✬❛✉ ♠♦✐♥s ✉♥ ❞♦✉❜❧❡♠❡♥t ❞❡ ♣♦✐♥t✳ ❆✐♥s✐✱ ✉♥ ❛tt❛q✉❛♥t ♣❡✉t s❛✈♦✐r s✐ ❧❡ ❜✐t tr❛✐té ✈❛✉t 0 ♦✉ 1 ❀ ❡t ❛✈❡❝ ❧❛ tr❛❝❡ ❞❡ ❝♦♥s♦♠♠❛t✐♦♥ ❝♦♠♣❧èt❡✱ ✐❧ ♣❡✉t ❝♦♥♥❛îtr❡ ❧❡ s❝❛❧❛✐r❡ s❡❝r❡t✳ ✽
k r r = 1 r r ≫ 10 r k P Q = [k]P [k′]P [k]P k′ = k + g#E(Fp) #E(Fp) E(Fp) g
♣❛r ❝❛♥❛✉① ❝❛❝❤és✳ P♦✉r ❝❡❧❛✱ ❧❡ s❝❛❧❛✐r❡ k ❡st ❝❤❛♥❣é à ❧❛ ✈♦❧é❡ ❡t ❛❧é❛t♦✐r❡♠❡♥t ❡♥ ✉♥❡ ❛✉tr❡ r❡♣rés❡♥t❛t✐♦♥✳ ❈❡s r❡♣rés❡♥t❛t✐♦♥s ♥✬♦♥t r✐❡♥ ❞❡ ♥♦✉✈❡❛✉✱ ét❛♥t ❞é❥à ❜✐❡♥ ❝♦♥♥✉❡s ♣❛r ❧❛ ❝♦♠✲ ♠✉♥❛✉té s❝✐❡♥t✐✜q✉❡✳ ▼❛✐s ❜✐❡♥ q✉✬ét✉❞✐é❡s✱ ✐❧ ② ❛ ♣❡✉ ❞✬✐♠♣❧é♠❡♥t❛t✐♦♥ ❧♦❣✐❝✐❡❧❧❡s ❡t ❡♥❝♦r❡ ♠♦✐♥s ❞✬✐♠♣❧é♠❡♥t❛t✐♦♥ ♠❛tér✐❡❧❧❡s s✉r ❞❡ t❡❧s r❡❝♦❞❛❣❡s ♣♦✉r ❧❡✉r ✉t✐❧✐s❛t✐♦♥ ❞❛♥s ❧❡s ❝♦✉r❜❡s ❡❧❧✐♣t✐q✉❡s✳ P♦✉r ❝❤❛q✉❡ r❡♣rés❡♥t❛t✐♦♥ r❡❞♦♥❞❛♥t❡ ét✉❞✐é❡✱ ✉♥❡ ✐♠♣❧é♠❡♥t❛t✐♦♥ ♠❛tér✐❡❧❧❡ ❞❡ ❧❛ ♠ét❤♦❞❡ ♣❡r♠❡tt❛♥t ❞❡ ❝❤❛♥❣❡r ❛❧é❛t♦✐r❡♠❡♥t ✉♥ ♥♦♠❜r❡ ❡♥t✐❡r ❡♥ ✉♥❡ ❛✉tr❡ r❡♣rés❡♥t❛t✐♦♥ ❛ été ré❛❧✐sé❡✳ ❊♥ ❡✛❡t✱ ♥♦✉s ✈♦✉❧✐♦♥s ♠♦♥tr❡r q✉❡ ❧✬✉t✐❧✐s❛t✐♦♥ ❞❡ ❝❡s r❡♣rés❡♥t❛t✐♦♥s ❡st ❛♣♣❧✐❝❛✲ ❜❧❡ ❡t ré❛❧✐s❛❜❧❡ ❡♥ ♠❛tér✐❡❧❧❡✳ ❊♥ ♣❛rt✐❝✉❧✐❡r✱ ♥♦✉s ❝♦♠♣❛r♦♥s ❧❛ s✉r❢❛❝❡ ✉t✐❧✐sé❡ ❡t ❧❛ ❢réq✉❡♥❝❡ ❞✬❤♦r❧♦❣❡ ❞❡ ❝❡s ♠ét❤♦❞❡s s✉r ✉♥ ❝r②♣t♦s②stè♠❡ ❊❈❈✳ ❉❛♥s ✉♥❡ r❡♣rés❡♥t❛t✐♦♥ ❡♥ ❝❤✐✛r❡s ❜✐♥❛✐r❡s s✐❣♥és✱ ✉♥ ❡♥t✐❡r k ♣❡✉t s✬é❝r✐r❡ ✿ k = n X 0 ki2i ❛✈❡❝ ki ∈ {−1, 0, 1}. ▲❡s ❛❧❣♦r✐t❤♠❡s ❞❡ ♠✉❧t✐♣❧✐❝❛t✐♦♥ s❝❛❧❛✐r❡s ❝♦rr❡s♣♦♥❞❛♥ts s✬♦❜t✐❡♥t ❞✐r❡❝t❡♠❡♥t ❡♥ r❡♠♣❧❛ç❛♥t ❧❡s ❧✐❣♥❡s ✓ s✐ ki= 1 ❛❧♦rs Q ← Q + P ✔, ❞❡s ❛❧❣♦r✐t❤♠❡s ♣rés❡♥tés ❞❛♥s ❧❛ ✜❣✉r❡ ✷ ♣❛r ✓ s✐ ki6= 0 ❛❧♦rs Q ← Q + sign(ki) P ✔, ♦ù sign(ki) r❡♣rés❡♥t❡ ❧❡ s✐❣♥❡ ❞✉ ❝❤✐✛r❡ ❞❡ k à ❧✬✐♥❞✐❝❡ i✳ ▲♦rsq✉❡ ki = −1✱ ✉♥❡ s♦✉str❛❝t✐♦♥ ❞❡ ♣♦✐♥t ❡st ré❛❧✐sé❡ ✭SUB✮✳ ❊♥ ♣r❛t✐q✉❡✱ ❧✬♦♣ér❛t✐♦♥ ❡t ❧❡ ❝♦ût ❞❡ ADD ❡t SUB s♦♥t ❝♦♥s✐❞érés éq✉✐✈❛❧❡♥ts✳ ❉❡ ♣❧✉s✱ ❝❡tt❡ r❡♣rés❡♥t❛t✐♦♥ ♣❡✉t êtr❡ ♠♦❞✐✜é❡ ♣♦✉r ❢❛✐r❡ ❡♥ s♦rt❡ q✉❡ ❧✬❡①é❝✉t✐♦♥ ❞❡ ❧❛ ♠✉❧t✐♣❧✐❝❛t✐♦♥ s❝❛❧❛✐r❡ s♦✐t ♣❧✉s r❛♣✐❞❡✳ ❊♥ ❡✛❡t✱ ❧❛ r❡♣rés❡♥t❛t✐♦♥ r❡❞♦♥❞❛♥t❡ ❡♥ ❝❤✐✛r❡s ❜✐♥❛✐r❡s s✐❣♥és ♣❡✉t êtr❡ ét❡♥❞✉❡ ❡♥ ✉♥❡ r❡♣rés❡♥t❛t✐♦♥ r❡❞♦♥❞❛♥t❡ ❡♥ ❝❤✐✛r❡s s✐❣♥és ♣❛r ❢❡♥êtr❡ ❞❡ w ❜✐ts✳ k = n X i=0 2iki ❛✈❡❝ ki ∈ {0, ±1, ±3, . . . , ±(2w− 1)}. ❙✉r w ❝❤✐✛r❡s ❝♦♥sé❝✉t✐❢s✱ ✐❧ ❡st ❛ss✉ré q✉✬❛✉ ♠❛①✐♠✉♠ ✉♥ ❝❤✐✛r❡ ❡st ❞✐✛ér❡♥t ❞❡ ③ér♦✳ ❆✐♥s✐✱ ✐❧ ② ❛ ♣❧✉s ❞❡ ✵ ❞❛♥s ❝❡tt❡ r❡♣rés❡♥t❛t✐♦♥✱ ❝❡ q✉✐ ♣❡r♠❡t ❞❡ ré❛❧✐s❡r ♠♦✐♥s ❞✬❛❞❞✐t✐♦♥s ❞❡ ♣♦✐♥t✱ ❡t ❞♦♥❝ ❞✬❛❝❝é❧ér❡r ❧✬❡①é❝✉t✐♦♥ ❞❡ ❧❛ ♠✉❧t✐♣❧✐❝❛t✐♦♥ s❝❛❧❛✐r❡✳ ▼❛✐s ❝❡tt❡ r❡♣rés❡♥t❛t✐♦♥ ♥é❝❡ss✐t❡ ❧❡ ♣ré✲❝❛❧❝✉❧ ❞❡s ♣♦✐♥ts Pj = [j]P ♣♦✉r t♦✉t j ∈ {3, 5, . . . , 2w− 1} ✭[3]P, [5]P, . . . , [2w− 1]P ✮✱ ❝❡ q✉✐ ♣❡✉t êtr❡ ❝♦ût❡✉① ❡♥ t❡r♠❡ ❞❡ s✉r❢❛❝❡ ✉t✐❧✐sé❡✳ ▲❛ ♠✉❧t✐♣❧✐❝❛t✐♦♥ s❝❛❧❛✐r❡ ❡st ré❛❧✐sé❡ ❡♥ ✉t✐❧✐s❛♥t ❧❡s ❛❞❞✐t✐♦♥s✴s♦✉str❛❝t✐♦♥s ❞❡ ♣♦✐♥t ✭♣❛r r❛♣♣♦rt ❛✉ s✐❣♥❡ ❞❡ ki✮ ❛✈❡❝ ❧❡s ♣ré✲❝❛❧❝✉❧s ❞❡s ♣♦✐♥ts Pj✳ ▲❡ ♣s❡✉❞♦✲❝♦❞❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞❛♥t ❡st ✓ s✐ ki6= 0 ❛❧♦rs Q ← Q + sign(ki) P|ki|✔. ❉✐✛ér❡♥t❡s r❡♣rés❡♥t❛t✐♦♥s ❞✬✉♥ ♥♦♠❜r❡ ❡♥ ❝❤✐✛r❡s ❜✐♥❛✐r❡s s✐❣♥és ♣❡✉✈❡♥t êtr❡ ♦❜t❡♥✉❡s ❡♥ r❡♠✲ ♣❧❛ç❛♥t ❝❡rt❛✐♥❡s séq✉❡♥❝❡s ❞❡ ❝❤✐✛r❡ ♣❛r ❞✬❛✉tr❡s ✿ 0¯1⇐⇒ ¯11 ❡t 01⇐⇒ 1¯1✳ ❆✐♥s✐✱ ❞✐✛ér❡♥t❡s r❡♣rés❡♥t❛t✐♦♥s ❞✬✉♥ ❡♥t✐❡r k ♣❡✉✈❡♥t êtr❡ ♦❜t❡♥✉❡s✱ ✈✐❛ ✉♥ ♥♦♠❜r❡ ❛❧é❛t♦✐r❡ q✉✐ ❞é❝✐❞❡ ❞✉ ❝❤❛♥❣❡♠❡♥t ❞❡ ❝❡rt❛✐♥❡s séq✉❡♥❝❡s✳ ▲✬✉t✐❧✐s❛t✐♦♥ ❞✉ s❝❛❧❛✐r❡ k ❞❛♥s ❝❡tt❡ r❡♣rés❡♥t❛t✐♦♥ ✶✵
