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Parallel seed-based approach to protein structure similarity detection

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Academic year: 2021

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HAL Id: hal-00881507

https://hal.inria.fr/hal-00881507

Submitted on 18 Nov 2013

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Parallel seed-based approach to protein structure

similarity detection

Guillaume Chapuis, Mathilde Le Boudic-Jamin, Rumen Andonov, Hristo

Djidjev, Dominique Lavenier

To cite this version:

Guillaume Chapuis, Mathilde Le Boudic-Jamin, Rumen Andonov, Hristo Djidjev, Dominique

Lave-nier. Parallel seed-based approach to protein structure similarity detection. PPAM 2013, Roman

Wyrzykowski, Sep 2013, Varsovie, Poland. �hal-00881507�

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Atoms of interest in protein P 1 Atoms of interest in protein P 2 1 2 3 4 1 2 3 4 5 1,1 2,1 4,1 4,3 3,3 3,2 1,2 1,4 2,4 3,4 4,4 2,5 ❋✐❣✳ ✶✳ ❊①❛♠♣❧❡ ♦❢ ❛♥ ❛❧✐❣♥♠❡♥t ❣r❛♣❤ ✉s❡❞ ❤❡r❡ t♦ ❝♦♠♣❛r❡ t❤❡ str✉❝t✉r❡s ♦❢ t✇♦ ♣r♦t❡✐♥s✳ ❚❤❡ ♣r❡s❡♥❝❡ ♦❢ ❛♥ ❡❞❣❡ ❜❡t✇❡❡♥ ✈❡rt❡① (1, 1) ❛♥❞ ✈❡rt❡① (3, 2) ♠❡❛♥s t❤❛t t❤❡ ❞✐st❛♥❝❡ ❜❡t✇❡❡♥ ❛t♦♠s 1 ❛♥❞ 2 ♦❢ ♣r♦t❡✐♥ 1 ✐s s✐♠✐❧❛r t♦ t❤❡ ❞✐st❛♥❝❡ ❜❡t✇❡❡♥ ❛t♦♠s 1 ❛♥❞ 3 ♦❢ ♣r♦t❡✐♥ 2✳ ♣r❡s❡♥t ❜❡t✇❡❡♥ ✈❡rt❡① (i, j) ❛♥❞ ✈❡rt❡① (k, l) ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ |d(i, j) − d(k, l)| < τ✱ ✇❤❡r❡ τ ✐s ❛ ❣✐✈❡♥ t❤r❡s❤♦❧❞✳ ❇② ❝♦♥str✉❝t✐♦♥✱ ❛❧✐❣♥♠❡♥ts r❡t✉r♥❡❞ ❜② ❉❆❙❚ ❛r❡ ❣✉❛r❛♥t❡❡❞ t♦ ❤❛✈❡ ❛ss♦❝✐❛t❡❞ ❘▼❙❉❞ str✐❝t❧② ❧❡ss t❤❛♥ τ✳ ✶✳✸ ▼❡❛s✉r❡s ❢♦r ♣r♦t❡✐♥ ❛❧✐❣♥♠❡♥ts ▼❛♥② ♠❡❛s✉r❡s ❤❛✈❡ ❜❡❡♥ ♣r♦♣♦s❡❞ t♦ ❛ss❡ss t❤❡ q✉❛❧✐t② ♦❢ ❛ ♣r♦t❡✐♥ ❛❧✐❣♥♠❡♥t✳ ❚❤❡s❡ ♠❡❛s✉r❡s ✐♥❝❧✉❞❡ ❛❞❞✐t✐✈❡ s❝♦r❡s ❜❛s❡❞ ♦♥ t❤❡ ❞✐st❛♥❝❡ ❜❡t✇❡❡♥ ❛❧✐❣♥❡❞ r❡s✐❞✉❡s s✉❝❤ ❛s t❤❡ ❚▼✲s❝♦r❡ ❬✶✸❪ ♦r t❤❡ ❙❚❘❯❈❚❆▲ s❝♦r❡ ❬✶✶❪ ❛♥❞ ❘♦♦t ▼❡❛♥ ❙q✉❛r❡ ❉❡✈✐❛t✐♦♥ ✭❘▼❙❉✮ ❜❛s❡❞ s❝♦r❡s✱ s✉❝❤ ❛s ❘▼❙❉✶✵✵✱ ❙❆❙ ❛♥❞ ●❙❆❙ ❬✺❪✳ ●✐✈❡♥ ❛ s❡t ♦❢ n ❞❡✈✐❛t✐♦♥s S = s1, s2, ..., sn✱ ✐ts ❘♦♦t ▼❡❛♥ ❙q✉❛r❡ ❉❡✈✐❛t✐♦♥ ✐s✿ RM SD(S) = v u u tn1 ∗ n X i=1 s2i✳ ❚✇♦ ❞✐✛❡r❡♥t ❘▼❙❉ ♠❡❛s✉r❡s ❛r❡ ✉s❡❞ ❢♦r ♣r♦t❡✐♥ str✉❝t✉r❡ ❝♦♠♣❛r✐s♦♥✿ RMSDc✱ ✇❤✐❝❤ t❛❦❡s ✐♥t♦ ❛❝❝♦✉♥t ❞❡✈✐❛t✐♦♥s ❝♦♥s✐st✐♥❣ ♦❢ t❤❡ ❡✉❝❧✐❞❡❛♥ ❞✐st❛♥❝❡s ❜❡t✇❡❡♥ ♠❛t❝❤❡❞ r❡s✐❞✉❡s ❛❢t❡r ♦♣t✐♠❛❧ s✉♣❡r♣♦s✐t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ t✇♦ str✉❝t✉r❡s❀ RMSDd✱ ✇❤✐❝❤ t❛❦❡s ✐♥t♦ ❛❝❝♦✉♥t ❞❡✈✐❛t✐♦♥s ❝♦♥s✐st✲ ✐♥❣ ♦❢ ❛❜s♦❧✉t❡ ❞✐✛❡r❡♥❝❡s ♦❢ ✐♥t❡r♥❛❧ ❞✐st❛♥❝❡s ✇✐t❤✐♥ t❤❡ ♠❛t❝❤❡❞ str✉❝t✉r❡s✳ ❚❤❡ ♠❡❛s✉r❡❞ ❞❡✈✐❛t✐♦♥s ❛r❡ |d(i, j)❂d(k, l)|✱ ❢♦r ❛❧❧ ❝♦✉♣❧❡s ♦❢ ♠❛t❝❤✐♥❣ ♣❛✐rs ✏i ↔ k, j ↔ l✑✳ ▲❡t P ❜❡ t❤❡ ❧❛tt❡r s❡t ❛♥❞ Nm✱ ✐ts ❝❛r❞✐♥❛❧✐t②✳ ❲❡ ❤❛✈❡ t❤❛t RM SDd= s 1 Nm ∗ X (ij,kl)∈P (|d(i, j)❂d(k, l)|2)✳

✷ ▼❡t❤♦❞s

✷✳✶ ❖✉r ❛♣♣r♦❛❝❤ ▲♦♦❦✐♥❣ ❢♦r t❤❡ ♠❛①✐♠❛❧ ❝❧✐q✉❡ ✐♥ ❛ ❣r❛♣❤ ✐s ❛ ◆P✲❝♦♠♣❧❡t❡ ♣r♦❜❧❡♠ ❬✹❪✳ ❇❡✐♥❣ ❛♥ ❡①❛❝t s♦❧✈❡r✱ ❉❆❙❚ ❢❛❝❡s ♣r♦❤✐❜✐t✐✈❡❧② ❧♦♥❣ r✉♥ t✐♠❡s ❢♦r s♦♠❡ ✐♥st❛♥❝❡s✳ ❲❡ ♣r♦♣♦s❡ ❛ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ ❛♣♣r♦❛❝❤ t♦ ♣r♦t❡✐♥ str✉❝t✉r❡ ❝♦♠♣❛r✐s♦♥ t❤❛t ❣✉❛r✲ ❛♥t❡❡s t♦ r❡t✉r♥ ❛❧✐❣♥♠❡♥ts ✇✐t❤ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ♣r♦♣❡rt✐❡s RMSDd < 2τ ❛♥❞

(5)

RM SDc < τ✱ ✐❢ s✉❝❤ ❡①✐st✳ ❖✉r ❛♣♣r♦❛❝❤ ♦✛❡rs t❤❡ ♣♦ss✐❜✐❧✐t② t♦ r❡t✉r♥ ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❞✐st✐♥❝t ❛❧✐❣♥♠❡♥ts✳ ❘❡t✉r♥✐♥❣ ♠✉❧t✐♣❧❡ s✐♠✐❧❛r r❡❣✐♦♥s ❝❛♥ ♣r♦✈❡ ✉s❡❢✉❧✱ ❢♦r ✐♥st❛♥❝❡✱ ✇❤❡♥ ❧♦♦❦✐♥❣ ❢♦r ❛ str✉❝t✉r❛❧ ♣❛tt❡r♥ t❤❛t ♠❛② ❜❡ ♣r❡s❡♥t ♠♦r❡ t❤❛♥ ♦♥❝❡ ✐♥ ❛ ♣r♦t❡✐♥ ♦r ✇❤❡♥ ❝♦♠♣❛r✐♥❣ ❤✐❣❤❧② ✢❡①✐❜❧❡ ♣r♦✲ t❡✐♥s✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ ❡♥✉♠❡r❛t✐♥❣ ♠✉❧t✐♣❧❡ s✐♠✐❧❛r r❡❣✐♦♥s r❡q✉✐r❡s ❛ ♠♦r❡ s②st❡♠❛t✐❝ ❛♣♣r♦❛❝❤ t❤❛♥ t❤♦s❡ ❞❡✈❡❧♦♣♣❡❞ ✐♥ ♦t❤❡r ❡①✐st✐♥❣ ❤❡✉r✐st✐❝✲❜❛s❡❞ t♦♦❧s✳ ❚❤❡ ❝♦♠✲ ♣✉t❛t✐♦♥❛❧ ❜✉r❞❡♥ ❛ss♦❝✐❛t❡❞ ✇✐t❤ s✉❝❤ ❛ s②st❡♠❛t✐❝ ❛♣♣r♦❛❝❤ ❝❛♥ ♥❡✈❡rt❤❡❧❡ss ❜❡ ❛❞❞r❡ss❡❞ ❜② ♠❛❦✐♥❣ ✉s❡ ♦❢ ♠✉❧t✐♣❧❡ ❧❡✈❡❧s ♦❢ ♣❛r❛❧❧❡❧✐s♠✳ ❖✉r ♠❡t❤♦❞ ✐s ✐♥s♣✐r❡❞ ❜② t❤❡ ♠❛①✐♠❛❧ ❝❧✐q✉❡ s❡❛r❝❤ ✐♠♣❧❡♠❡♥t❡❞ ✐♥ ❉❆❙❚✳ ■♥st❡❛❞ ♦❢ t❡st✐♥❣ t❤❡ ♣r❡s❡♥❝❡ ♦❢ ❛❧❧ ❡❞❣❡s ❛♠♦♥❣ ❛ s✉❜s❡t ♦❢ ✈❡rt✐❝❡s ❛❞ ✐♥ ❉❆❙❚✱ ✇❡ ♦♥❧② t❡st t❤❡ ♣r❡s❡♥❝❡ ♦❢ ❡❞❣❡s ❜❡t✇❡❡♥ ❡✈❡r② ✈❡rt❡① ♦❢ t❤❡ s✉❜s❡t ❛♥❞ ❛♥ ✐♥✐t✐❛❧ 3✲❝❧✐q✉❡✱ r❡❢❡rr❡❞ t♦ ❛s s❡❡❞✳ ❚❤❡ ❝♦rr❡❝t♥❡ss ♦❢ t❤❡ r❡s✉❧t✐♥❣ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦❧❧♦✇s ❢r♦♠ ❣❡♦♠❡tr✐❝ ❛r❣✉♠❡♥ts✱ ♥❛♠❡❧② t❤❛t t❤❡ ♣♦s✐t✐♦♥ ♦❢ ❛♥② ✸✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ s♦❧✐❞ ♦❜❥❡❝t ✐s ❞❡t❡r♠✐♥❡❞ ❜② t❤❡ ♣♦s✐t✐♦♥s ♦❢ t❤r❡❡ ♦❢ ✐ts ♣♦✐♥ts t❤❛t ❛r❡ ♥♦t ❝♦❧❧✐♥❡❛r✳ ✷✳✷ ❖✈❡r✈✐❡✇ ♦❢ t❤❡ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❚❤❡ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❝♦♥s✐sts ♦❢ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ t❤r❡❡ st❡♣s✿ ✕ ❙❡❡❞s ✐♥ t❤❡ ❛❧✐❣♥♠❡♥t ❣r❛♣❤ ❛r❡ ❡♥✉♠❡r❛t❡❞✳ ■♥ ♦✉r ❝❛s❡✱ ❛ s❡❡❞ ✐s ❛ s❡t ♦❢ t❤r❡❡ ♣♦✐♥ts ✐♥ t❤❡ ❛❧✐❣♥♠❡♥t ❣r❛♣❤ t❤❛t ❝♦rr❡s♣♦♥❞ t♦ t✇♦ tr✐❛♥❣❧❡s ✭♦♥❡ ✐♥ ❡❛❝❤ ♣r♦t❡✐♥✮ ✇✐t❤ s✐♠✐❧❛r ✐♥t❡r♥❛❧ ❞✐st❛♥❝❡s✳ ❚❤✐s st❡♣ ✐s ❞❡t❛✐❧❡❞ ✐♥ s❡❝t✐♦♥ ✷✳✸✳ ✕ ❊❛❝❤ s❡❡❞ ✐s t❤❡♥ ❡①t❡♥❞❡❞✳ ❊①t❡♥❞✐♥❣ ❛ s❡❡❞ ❝♦♥s✐sts ✐♥ ❛❞❞✐♥❣ ❛❧❧ ♣❛✐rs ♦❢ ❛t♦♠s✱ ❢♦r ✇❤✐❝❤ ❞✐st❛♥❝❡s t♦ t❤❡ s❡❡❞ ❛r❡ s✐♠✐❧❛r ✐♥ ❜♦t❤ ♣r♦t❡✐♥s✱ t♦ t❤❡ s❡t ♦❢ t❤r❡❡ ♣❛✐rs ♦❢ ❛t♦♠s t❤❛t ♠❛❦❡ ✉♣ t❤❡ s❡❡❞✳ ❙❡❡❞ ❡①t❡♥s✐♦♥ ✐s ❞❡t❛✐❧❡❞ ✐♥ s❡❝t✐♦♥ ✷✳✹✳ ✕ ❊❛❝❤ s❡❡❞ ❡①t❡♥s✐♦♥ ✐s ✜❧t❡r❡❞✳ ❊①t❡♥s✐♦♥ ✜❧t❡r✐♥❣ ✐s ❞❡t❛✐❧❡❞ ✐♥ s❡❝t✐♦♥ ✷✳✺ ❛♥❞ ❝♦♥s✐sts ✐♥ r❡♠♦✈✐♥❣ ♣❛✐rs ♦❢ ❛t♦♠s t❤❛t ❞♦ ♥♦t ♠❛t❝❤ ❝♦rr❡❝t❧②✳ ❋✐❧t❡r❡❞ ❡①t❡♥s✐♦♥s ❛r❡ t❤❡♥ r❛♥❦❡❞ ❛❝❝♦r❞✐♥❣ t♦ t❤❡✐r s✐③❡ ✲ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❛❧✐❣♥❡❞ ♣❛✐rs ♦❢ ❛t♦♠s ✲ ❛♥❞ ❛ ✉s❡r✲❞❡✜♥❡❞ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❜❡st ♠❛t❝❤❡s ❛r❡ r❡t✉r♥❡❞✳ ❚❤✐s ♣r♦❝❡ss ✐s ❡①♣❧❛✐♥❡❞ ✐♥ s❡❝t✐♦♥ ✷✳✼✳ ❚❤❡ ♦✈❡r❛❧❧ ✇♦rst✲❝❛s❡ ❝♦♠♣❧❡①✐t② ♦❢ t❤✐s ❛❧❣♦r✐t❤♠ ✐s O(|V | ∗ |E|3/2)✳ ✷✳✸ ❙❡❡❞ ❡♥✉♠❡r❛t✐♦♥ ❆ s❡❡❞ ❝♦♥s✐sts ♦❢ t❤r❡❡ ♣❛✐rs ♦❢ ❛t♦♠s t❤❛t ❢♦r♠ s✐♠✐❧❛r tr✐❛♥❣❧❡s ✐♥ ❜♦t❤ ♣r♦✲ t❡✐♥s✳ ❆ tr✐❛♥❣❧❡ IJK ✐♥ ♣r♦t❡✐♥ P1 ✐s ❝♦♥s✐❞❡r❡❞ s✐♠✐❧❛r t♦ ❛ tr✐❛♥❣❧❡ I′J′K′ ✐♥ ♣r♦t❡✐♥ P2 ✐❢ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❛r❡ ♠❡t✿ |d(I, J) − d(I′, J′)| < τ✱ |d(I, K) − d(I′ , K′ )| < τ ❛♥❞ |d(J, K) − d(J′ , K′)| < τ✳ ❍❡r❡✱ d ❞❡♥♦t❡s t❤❡ ❡✉✲ ❝❧✐❞❡❛♥ ❞✐st❛♥❝❡ ❛♥❞ τ ✐s ❛ ✉s❡r✲❞❡✜♥❡❞ t❤r❡s❤♦❧❞ ♣❛r❛♠❡t❡r✳ ❚❤❡ ❞❡❢❛✉❧t ✈❛❧✉❡ ❢♦r τ ✐s 2.0 ➴♥❣strö♠s✳ ■♥ t❤❡ ❛❧✐❣♥♠❡♥t ❣r❛♣❤ t❡r♠✐♥♦❧♦❣②✱ t❤❡s❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❢♦r ❛ s❡❡❞ (vi= (I, I′), vj= (J, J′), v k = (K, K′))✐♥ ❣r❛♣❤ G(V, E) tr❛♥s❧❛t❡ t♦ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣✿ (vi, vj) ∈ E✱ (vi, vk) ∈ E ❛♥❞ (vj, vk) ∈ E✳

(6)

❆ s❡❡❞ t❤✉s ❝♦rr❡s♣♦♥❞s t♦ ❛ 3✲❝❧✐q✉❡ ✐♥ t❤❡ ❛❧✐❣♥♠❡♥t ❣r❛♣❤❀ ✐✳❡✳✱ t❤r❡❡ ✈❡rt✐❝❡s t❤❛t ❛r❡ ❝♦♥♥❡❝t❡❞ t♦ ❡❛❝❤ ♦t❤❡r✳ ❊♥✉♠❡r❛t✐♥❣ ❛❧❧ t❤❡ s❡❡❞s ✐s t❤❡r❡❢❡♦r❡ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t t♦ ❡♥✉♠❡r❛t✐♥❣ ❡✈❡r② 3✲❝❧✐q✉❡ ✐♥ t❤❡ ✐♥♣✉t ❛❧✐❣♥♠❡♥t ❣r❛♣❤✳ ◆♦t ❛❧❧ 3✲❝❧✐q✉❡s✱ ❤♦✇❡✈❡r✱ ❛r❡ r❡❧❡✈❛♥t✳ ❙✉✐t❛❜❧❡ 3✲❝❧✐q✉❡s ❛r❡ ❝♦♠♣♦s❡❞ ♦❢ tr✐❛♥❣❧❡s ❢♦r ✇❤✐❝❤ ❛ ✉♥✐q✉❡ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥ ❝❛♥ ❜❡ ❢♦✉♥❞ t♦ ♦♣t✐♠❛❧❧② s✉♣❡r✲ ✐♠♣♦s❡ t❤❡♠✳ ◆❛♠❡❧②✱ 3✲❝❧✐q✉❡s ❝♦♠♣♦s❡❞ ♦❢ tr✐❛♥❣❧❡s t❤❛t ❛♣♣❡❛r t♦ ❜❡ t♦♦ ✏✢❛t✑ ✇✐❧❧ ♥♦t ②✐❡❧❞ ❛ ✉s❡❢✉❧ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥✳ ❲❡ t❤✉s ❡♥s✉r❡ t❤❛t t❤❡ tr✐❛♥❣❧❡s ✐♥ ❜♦t❤ ♣r♦t❡✐♥s ❞❡✜♥❡❞ ❜② ❛ ♣♦t❡♥t✐❛❧ s❡❡❞ ❛r❡ ♥♦t ❝♦♠♣♦s❡❞ ♦❢ ❛❧✐❣♥❡❞ ♣♦✐♥ts ✭♦r ♣♦✐♥ts ✇❤✐❝❤ ❛r❡ ❝❧♦s❡ t♦ ❜❡✐♥❣ ❛❧✐❣♥❡❞✮✳ ❚❤❡ ✇♦rst✲❝❛s❡ ❝♦♠♣❧❡①✐t② ♦❢ t❤✐s st❡♣ ✐s O(|E|3/2)✉s✐♥❣✱ ❡✳❣✳✱ t❤❡ ❛❧❣♦r✐t❤♠s ❢r♦♠ ❬✾❪✳ ✷✳✹ ❙❡❡❞ ❡①t❡♥s✐♦♥ ❊①t❡♥❞✐♥❣ ❛ s❡❡❞ ❝♦♥s✐sts ✐♥ ✜♥❞✐♥❣ t❤❡ s❡t ♦❢ ✈❡rt✐❝❡s t❤❛t ❝♦rr❡s♣♦♥❞ t♦ ♣❛✐rs ♦❢ ❛t♦♠s t❤❛t ♣♦t❡♥t✐❛❧❧② ♠❛t❝❤ ✇❡❧❧ ✭s❡❡ s❡❝t✐♦♥ ✷✳✺ ❢♦r ❞❡t❛✐❧s✮ ✇❤❡♥ t❤❡ t✇♦ tr✐❛♥❣❧❡s ❞❡✜♥❡❞ ❜② t❤❡ s❡❡❞ ❛r❡ ♦♣t✐♠❛❧❧② s✉♣❡r✐♠♣♦s❡❞✳ ❋✐♥❞✐♥❣ ❛ s✉♣❡rs❡t ♦❢ ♣❛✐rs ♦❢ ❛t♦♠s t❤❛t ♠❛t❝❤ ✇❡❧❧ ✐s ♣❡r❢♦r♠❡❞ ❜② tr✐❛♥❣✉❧❛t✐♦♥ ✇✐t❤ t❤❡ t❤r❡❡ ♣❛✐rs ♦❢ ❛t♦♠s ❝♦♠♣♦s✐♥❣ t❤❡ s❡❡❞✳ ❚❤❡ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥❛❧ ❝♦♠♣❧❡①✐t② ❛ss♦❝✐❛t❡❞ t♦ t❤✐s st❡♣ ✐s O(|V |)✳ ✷✳✺ ❊①t❡♥s✐♦♥ ✜❧t❡r✐♥❣ ■♥ ♦r❞❡r t♦ r❡♠♦✈❡ ✐ss✉❡s ✇✐t❤ s②♠♠❡tr② ✭✇❤❡r❡ t❤❡ ❛t♦♠s ✐♥ t❤❡ ❡①t❡♥❞✐♥❣ ♣❛✐r ❛r❡ r♦✉❣❤❧② s②♠♠❡tr✐❝❛❧ ✇✐t❤ r❡s♣❡❝t t♦ t❤❡ ♣❧❛♥❡ ❞❡t❡r♠✐♥❡❞ ❜② t❤❡ s❡❡❞ ❛t♦♠s✮✱ ✇❡ ✐♠♣❧❡♠❡♥t❡❞ ❛ ♠❡t❤♦❞ t♦ ✜❧t❡r s❡❡❞ ❡①t❡♥s✐♦♥s✳ ❚❤✐s ♠❡t❤♦❞ ❝♦♥s✐sts ✐♥ ❝♦♠♣✉t✐♥❣ t❤❡ ♦♣t✐♠❛❧ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥ T t♦ s✉♣❡r✐♠♣♦s❡ t❤❡ tr✐❛♥❣❧❡ ❢r♦♠ t❤❡ s❡❡❞ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ t♦ t❤❡ ✜rst ♣r♦t❡✐♥ ♦♥t♦ t❤❡ tr✐❛♥❣❧❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ t♦ t❤❡ s❡❝♦♥❞✳ ❚❤❡ ♦♣t✐♠❛❧ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥ ✐s ♦❜t❛✐♥❡❞ ✉s✐♥❣ t❤❡ ❢❛st✱ q✉❛t❡r♥✐♦♥✲ ❜❛s❡❞ ♠❡t❤♦❞ ♦❢ ❬✼❪✳ ❋♦r ❡❛❝❤ ♣❛✐r ♦❢ ❛t♦♠s ✭▲✱▲✬✮ ❝♦♠♣♦s✐♥❣ t❤❡ ❡①t❡♥s✐♦♥ ♦❢ ❛ s❡❡❞✱ ✇❡ ❝♦♠♣✉t❡ t❤❡ ❡✉❝❧✐❞❡❛♥ ❞✐st❛♥❝❡ ❜❡t✇❡❡♥ T (L) ❛♥❞ L′✳ ■❢ t❤❡ ❞✐st❛♥❝❡ ✐s ❣r❡❛t❡r t❤❛♥ ❛ ❣✐✈❡♥ t❤r❡s❤♦❧❞ τ✱ t❤❡ ♣❛✐r ✐s r❡♠♦✈❡❞ ❢r♦♠ t❤❡ ❡①t❡♥s✐♦♥✳ ❚❤❡ ❝♦♠♣❧❡①✐t② ♦❢ t❤✐s st❡♣ ✐s O(|V |) ♣❡r s❡❡❞✳ ✷✳✻ ●✉❛r❛♥t❡❡s ♦♥ r❡s✉❧t✐♥❣ ❛❧✐❣♥♠❡♥ts✬ RMSD s❝♦r❡s ❇② ❝♦♥str✉❝t✐♦♥✱ t❤❡ ✜❧t❡r✐♥❣ ♠❡t❤♦❞ ❡♥s✉r❡s t❤❛t t❤❡ ❘▼❙❉ ❢♦r ❛ r❡s✉❧t✐♥❣ ❛❧✐❣♥♠❡♥t ✐s ❧❡ss t❤❛♥ τ✿ t❤❡ ❞✐st❛♥❝❡ ❜❡t✇❡❡♥ t✇♦ ❛❧✐❣♥❡❞ r❡s✐❞✉❡s ❛❢t❡r s✉♣❡r✲ ✐♠♣♦s✐t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ t✇♦ str✉❝t✉r❡s ✐s ❣✉❛r❛♥t❡❡❞ t♦ ❜❡ ❧❡ss t❤❛♥ τ✳ ■♥t❡r♥❛❧ ❞✐st❛♥❝❡s ❜❡t✇❡❡♥ ❛♥② ❛❞❞✐t✐♦♥❛❧ ♣❛✐r ♦❢ ❛t♦♠s ❛♥❞ t❤❡ s❡❡❞ ✐s ❛❧s♦ ❣✉❛r❛♥t❡❡❞✱ ❜② ❝♦♥str✉❝t✐♦♥ t♦ ❜❡ ❧❡ss t❤❛♥ τ✳ ❈♦♥❝❡r♥✐♥❣ ✐♥t❡r♥❛❧ ❞✐st❛♥❝❡s ❜❡t✇❡❡♥ t✇♦ ❛❞❞✐t✐♦♥❛❧ ♣❛✐rs ♦❢ ❛t♦♠s✱ ✇❡ ❡♥s✉r❡ t❤❛t ✐♥ t❤❡ ✇♦rst ♣♦ss✐❜❧❡ ❝❛s❡✱ t❤❡ ❞✐✛❡r❡♥❝❡ ✐s 2 ∗ τ✱ s❡❡ ❋✐❣ ✷✳ ❚❤❡ ✇♦rst ♣♦ss✐❜❧❡ ❝❛s❡ ❤❛♣♣❡♥s ✇❤❡♥ t✇♦ ❛❞❞✐t✐♦♥❛❧ ♣❛✐rs ♦❢ ❛t♦♠s vl= (L, L′)❛♥❞ vm= (M, M′)✱ ❛❞❞❡❞ t♦ t❤❡ ❡①t❡♥s✐♦♥ ♦❢ ❛ s❡❡❞ (vi, vj, vk)✱ ❤❛✈❡ ❛t♦♠s L✱ L′✱ M ❛♥❞ M′❛❧✐❣♥❡❞✱ ❛❢t❡r s✉♣❡r✐♠♣♦s✐t✐♦♥✱ ❛♥❞ ❛t♦♠s ❢r♦♠ ♦♥❡ ♣r♦t❡✐♥ ❧✐❡ ✇✐t❤✐♥ t❤❡ s❡❣♠❡♥t ❞❡✜♥❡❞ ❜② t❤❡ t✇♦ ♦t❤❡r ❛t♦♠s✳ ■♥ s✉❝❤ ❛ ❝❛s❡✱ t❤❡ ✜❧t❡r✐♥❣ st❡♣ ❡♥s✉r❡s t❤❛t d(L, L′) < τ ❛♥❞ d(M, M′) < τ ❀ ✐t ❢♦❧❧♦✇s t❤❛t |d(L, M) − d(L′ , M′)| < 2 ∗ τ✳

(7)

vi=( I , I ' ) vj=(J , J ' ) vk=( K , K ' ) vl= L, L'  vm= M , M '  d L, L'  d M , M '  ❋✐❣✳ ✷✳ ■❧❧✉str❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❣✉❛r❛♥t❡❡ ♦♥ t❤❡ s✐♠✐❧❛r✐t② ♦❢ ✐♥t❡r♥❛❧ ❞✐st❛♥❝❡s ❜❡t✇❡❡♥ t✇♦ ♣❛✐rs ♦❢ ❛t♦♠s vl = (L, L′) ❛♥❞ vm = (M, M′)✱ ❤❡r❡ r❡♣r❡s❡♥t❡❞ ✐♥ ②❡❧❧♦✇✱ ❛❞❞❡❞ t♦ ❛ s❡❡❞ (vi, vj, vk) r❡♣r❡s❡♥t❡❞ ✐♥ ❜❧✉❡✳ ❉❛s❤❡❞ ❧✐♥❡s r❡♣r❡s❡♥t ✐♥t❡r♥❛❧ ❞✐st❛♥❝❡s✱ t❤❡ s✐♠✐❧❛r✐t② ♦❢ ✇❤✐❝❤ ✐s t❡st❡❞ ✐♥ t❤❡ ❛❧✐❣♥♠❡♥t ❣r❛♣❤✳ ✷✳✼ ❘❡s✉❧t r❛♥❦✐♥❣ ❲❤❡♥ ❝♦♠♣❛r✐♥❣ t✇♦ ♣r♦t❡✐♥s✱ ✇❡ ❢❛❝❡ ❛ ❞♦✉❜❧❡ ♦❜❥❡❝t✐✈❡✿ ✜♥❞✐♥❣ ❛❧✐❣♥♠❡♥ts t❤❛t ❛r❡ ❜♦t❤ ❧♦♥❣ ❛♥❞ ❤❛✈❡ ❧♦✇ RMSD s❝♦r❡s✳ ❚❤❡ ♠❡t❤♦❞♦❧♦❣② ❞❡s❝r✐❜❡❞ ✐♥ s❡❝t✐♦♥ ✷✳✺ ❡♥s✉r❡s t❤❛t ❛♥② r❡t✉r♥❡❞ ❛❧✐❣♥♠❡♥t ✇✐❧❧ ❤❛✈❡ ❛ RMSDd ❧♦✇❡r ♦r ❡q✉❛❧ t♦ t✇✐❝❡ ❛ ✉s❡r✲❞❡✜♥❡❞ ♣❛r❛♠❡t❡r τ✳ ❲❡ ❝❛♥ t❤❡r❡❢♦r❡ ❧❡❛✈❡ t❤❡ r❡s♣♦♥✲ s❛❜✐❧✐t② t♦ t❤❡ ✉s❡r t♦ ❞❡✜♥❡ ❛ t❤r❡s❤♦❧❞ ❢♦r RMSD s❝♦r❡s ♦❢ ✐♥t❡r❡st✳ ❍♦✇✲ ❡✈❡r✱ r❛♥❦✐♥❣ ❛❧✐❣♥♠❡♥ts t❤❛t ❝♦♥❢♦r♠ t♦ t❤✐s RMSD t❤r❡s❤♦❧❞ s✐♠♣❧② ❜❛s❡❞ ♦♥ t❤❡✐r ❧❡♥❣t❤s ✐s ♥♦t ❛♥ ❛❝❝❡♣t❛❜❧❡ s♦❧✉t✐♦♥✳ ■♥ ❛ ❣✐✈❡♥ ❛❧✐❣♥♠❡♥t ❣r❛♣❤✱ s❡✈❡r❛❧ s❡❡❞s ♠❛② ❧❡❛❞ t♦ ✈❡r② s✐♠✐❧❛r tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥s ❛♥❞ t❤✉s ✈❡r② s✐♠✐❧❛r ❛❧✐❣♥♠❡♥ts✳ ❚❤❡ ♣✉r♣♦s❡ ♦❢ r❡t✉r♥✐♥❣ ♠✉❧t✐♣❧❡ ❛❧✐❣♥♠❡♥ts ❢♦r ❛ s✐♥❣❧❡ ❝♦♠♣❛r✐s♦♥ ✐s t♦ ✜♥❞ ❞✐st✐♥❝t s✐♠✐❧❛r r❡❣✐♦♥s ✐♥ ❜♦t❤ ♣r♦t❡✐♥s✳ ❚❤❡r❡❢♦r❡✱ ✇❤❡♥ t✇♦ ❛❧✐❣♥♠❡♥ts ❛r❡ ❝♦♥s✐❞❡r❡❞ s✐♠✐❧❛r✱ ✇❡ ❞✐s❝❛r❞ t❤❡ s❤♦rt❡r ♦❢ t❤❡ t✇♦✳ ❚✇♦ ❛❧✐❣♥♠❡♥ts ❛r❡ ❝♦♥s✐❞❡r❡❞ s✐♠✐❧❛r✱ ✇❤❡♥ t❤❡② s❤❛r❡ ❞❡✜♥❡❞ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ♣❛✐rs ♦❢ ❛t♦♠s✳ ❚❤✐s ♥✉♠❜❡r ❝❛♥ ❜❡ ❛❞❥✉st❡❞ ❞❡♣❡♥❞✐♥❣ ♦♥ t❤❡ ❡①♣❡❝t❡❞ ❧❡♥❣t❤ ♦❢ t❤❡ ❛❧✐❣♥♠❡♥ts ♦r ❡✈❡♥ s❡t t♦ ❛ ♣❡r❝❡♥t❛❣❡ ♦❢ t❤❡ s♠❛❧❧❡r ♦❢ t❤❡ t✇♦ ❝♦♠♣❛r❡❞ ❛❧✐❣♥♠❡♥ts✳ ❚❤✐s ♠❡t❤♦❞♦❧♦❣② ♦❢ r❛♥❦✐♥❣ r❡s✉❧ts ❡♥s✉r❡s t❤❛t ♥♦ t✇♦ r❡t✉r♥❡❞ ❛❧✐❣♥♠❡♥ts ♠❛t❝❤ t❤❡ s❛♠❡ r❡❣✐♦♥ ✐♥ t❤❡ ✜rst ♣r♦t❡✐♥ t♦ t❤❡ s❛♠❡ r❡❣✐♦♥ ✐♥ t❤❡ s❡❝♦♥❞ ♣r♦t❡✐♥✳

✸ P❛r❛❧❧❡❧✐s♠

✸✳✶ ❖✈❡r✈✐❡✇ ♦❢ t❤❡ ✐♠♣❧❡♠❡♥t❡❞ ♣❛r❛❧❧❡❧✐s♠ ❚❤❡ ♦✈❡r❛❧❧ ❝♦♠♣❧❡①✐t② ♦❢ ♦✉r ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❜❡✐♥❣ O(|V | ∗ |E|3/2)✱ ❤❛♥❞❧✐♥❣ ❧❛r❣❡ ♣r♦t❡✐♥ ❝♦♠♣❛r✐s♦♥ ✇✐t❤ ❛ ❞❡❝❡♥t ❧❡✈❡❧ ♦❢ ♣r❡❝✐s✐♦♥ ✲ ✐✳❡✳✱ ✉s✐♥❣ ❛❧✐❣♥♠❡♥t ❣r❛♣❤s ✇✐t❤ ❛ ❧❛r❣❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❡❞❣❡s ✲ ❝❛♥ ♣r♦✈❡ t✐♠❡✲❝♦♥s✉♠✐♥❣✳ ❖✉r ❛♣♣r♦❛❝❤ ✐s ❤♦✇❡✈❡r ♣❛r❛❧❧❡❧✐③❛❜❧❡ ❛t ♠✉❧t✐♣❧❡ ❧❡✈❡❧s✳ ❋✐❣✳ ✸ s❤♦✇s ❛♥ ♦✈❡r✈✐❡✇ ♦❢ ♦✉r ♣❛r❛❧❧❡❧ ✐♠♣❧❡♠❡♥t❛t✐♦♥✳ ▼✉❧t✐♣❧❡ s❡❡❞s ❛r❡ tr❡❛t❡❞ s✐♠✉❧t❛♥❡♦✉s❧② t♦ ❢♦r♠ ❛ ❝♦❛rs❡✲❣r❛✐♥ ❧❡✈❡❧ ♦❢ ♣❛r❛❧❧❡❧✐s♠✱ ✇❤✐❧❡ ❛ ✜♥❡r ❣r❛✐♥ ♣❛r❛❧❧❡❧✐s♠ ✐s ✉s❡❞ ✇❤❡♥ ❡①t❡♥❞✐♥❣ ❛ s✐♥❣❧❡ s❡❡❞✳

(8)

neighbors i1∩neighbors  j1∩neighbors k1

seed1i1, j1, k1: Filtering neighbors i2∩neighbors  j2∩neighbors k2

seed2i2, j2, k2: Filtering

neighbors in∩neighbors jn∩neighbors kn

seednin, jn, kn: Filtering . . . Coarse-grain parallelism Fine-grain parallelism Enumeration Extension ❋✐❣✳ ✸✳ ❖✈❡r✈✐❡✇ ♦❢ t❤❡ ✐♠♣❧❡♠❡♥t❡❞ ♣❛r❛❧❧❡❧✐s♠✳ ✸✳✷ ❈♦❛rs❡✲❣r❛✐♥ ♣❛r❛❧❧❡❧✐s♠ ❈♦♠♣✉t❛t✐♦♥s ❢♦r ❡♥✉♠❡r❛t✐♥❣ s❡❡❞s ✲ s❡❡ s❡❝t✐♦♥ ✷✳✸✱ ❡①t❡♥❞✐♥❣ s❡❡❞s ✲ s❡❡ s❡❝✲ t✐♦♥ ✷✳✹✱ ❛♥❞ ✜❧t❡r✐♥❣ t❤❡ r❡s✉❧t✐♥❣ ❡①t❡♥s✐♦♥s ✲ s❡❡ s❡❝t✐♦♥ ✷✳✺✱ ❛r❡ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ♣r♦❝❡ss❡s✱ ✇❤✐❝❤ ❝❛♥ ❜❡ ♣❡r❢♦r♠❡❞ ✐♥ ♣❛r❛❧❧❡❧✳ ❆ ✉s❡r✲❞❡✜♥❡❞ ♥✉♠❜❡r ♦❢ t❤r❡❛❞s ❝❛♥ ❜❡ s♣❛✇♥❡❞ t♦ ❤❛♥❞❧❡✱ ✐♥ ♣❛r❛❧❧❡❧✱ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥s ❢♦r t❤❡ ✈❛r✐♦✉s s❡❡❞s ♣r❡s❡♥t ✐♥ t❤❡ ❣r❛♣❤✳ ❚❤✐s ♣❛r❛❧❧❡❧✐s♠ ✐s ✐♠♣❧❡♠❡♥t❡❞ ✉s✐♥❣ t❤❡ ♦♣❡♥▼P st❛♥❞❛r❞ ❬✷❪✳ ❚❤r❡❛❞s✱ ❤♦✇❡✈❡r ♥❡❡❞ t♦ s❤❛r❡ t❤❡✐r r❡s✉❧ts t♦ ♣♦♣✉❧❛t❡ ❛ ❣❧♦❜❛❧ ❧✐st ♦❢ r❡✲ s✉❧ts✳ ■♥s❡rt✐♥❣ ♥❡✇ ❡♥tr✐❡s ✐♥ t❤✐s ❣❧♦❜❛❧✲r❡s✉❧t ❧✐st ✇♦✉❧❞ ♣r♦✈❡ r❛t❤❡r ✐♥❡✣❝✐❡♥t✱ ❜❡❝❛✉s❡ t❤r❡❛❞ s❛❢❡t② ✇♦✉❧❞ ♥❡❡❞ t♦ ❜❡ ❡♥s✉r❡❞ ❜② ✉s✐♥❣ ❧♦❝❦s ❛r♦✉♥❞ ❛❝❝❡ss❡s t♦ t❤✐s r❡s✉❧t ❧✐st✳ ❲✐t❤ s✉❝❤ ❧♦❝❦s✱ t❤r❡❛❞s ✇♦✉❧❞ ♦❢t❡♥ st❛❧❧ ✇❤❡♥❡✈❡r ✐♥s❡rt✐♥❣ ❛ ♥❡✇ ❛❧✐❣♥♠❡♥t ❛♥❞ t❤❡ t✐♠❡ ❧♦st ♦♥ t❤❡s❡ ❛❝❝❡ss❡s ✇♦✉❧❞ ♦♥❧② ✐♥❝r❡❛s❡ ✇✐t❤ t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ t❤r❡❛❞s ✐♥ ✉s❡✳ ■♥ ♦r❞❡r t♦ ❛✈♦✐❞ ❛♥② ❜♦tt❧❡♥❡❝❦ ✇❤❡♥ ✐♥s❡rt✐♥❣ ❛ ♥❡✇ ❛❧✐❣♥♠❡♥t ✐♥ t❤❡ r❡s✉❧t ❧✐st✱ ❡❛❝❤ t❤r❡❛❞ ❤❛s ✐ts ♦✇♥ ♣r✐✈❛t❡ ❧✐st✳ ❚❤❡s❡ ❧✐sts ❛r❡ ♠❡r❣❡❞ ❛t t❤❡ ❡♥❞ ♦❢ t❤❡ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥s t♦ ❢♦r♠ ❛ ❣❧♦❜❛❧ r❡s✉❧t ❧✐st✳ ❚❤✐s ♠❡t❤♦❞ ♣r❡✈❡♥ts t❤❡ ♥❡❡❞ ❢♦r ❛ s②♥❝❤r♦♥✐③❛t✐♦♥ ♠❡❝❤❛♥✐s♠ ❛♥❞ ❛❧❧♦✇s t❤r❡❛❞s t♦ ❜❡ ❝♦♠♣❧❡t❡❧② ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ ✉s✐♥❣ t❤✐s ♠❡t❤♦❞ ❝❛♥✱ ✐♥ s♦♠❡ ❝❛s❡s✱ ✐♥❝r❡❛s❡ t❤❡ t♦t❛❧ ❛♠♦✉♥t ♦❢ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥s✳ ❲❤❡♥❡✈❡r ❛ s❡❡❞ ❡①t❡♥s✐♦♥ ✐s s♠❛❧❧❡r t❤❛♥ t❤❡ s♠❛❧❧❡st ❛❧✐❣♥♠❡♥t ♣r❡s❡♥t ✐♥ t❤❡ r❡s✉❧t ❧✐st✱ ✐t ✐s ❞✐s❝❛r❞❡❞✱ t❤✉s ❛✈♦✐❞✐♥❣ t❤❡ ❝♦st ♦❢ ❛ ✜❧t❡r✐♥❣ st❡♣✳ ❙✐♥❝❡ ❡❛❝❤ t❤r❡❛❞ ❤❛s ✐ts ♦✇♥ r❡s✉❧t ❧✐st✱ t❤❡ ♠✐♥✐♠❛❧ s✐③❡ r❡q✉✐r❡❞ ❢♦r t❤❡ t❤r❡❛❞ t♦ ❝♦♥s✐❞❡r ✜❧t❡r✐♥❣ ❛♥ ❡①t❡♥s✐♦♥ ✐s ♦♥❧② ❛ ❧♦✇❡r ❜♦✉♥❞ ♦❢ t❤❡ ❣❧♦❜❛❧ ♠✐♥✐♠❛❧ s✐③❡ ❢♦✉♥❞ s♦ ❢❛r ❜② ❛❧❧ t❤r❡❛❞s✳ ❙❤❛r✐♥❣ ♦♥❧② t❤✐s ❣❧♦❜❛❧ ♠✐♥✐♠❛❧ s✐③❡ ❛♠♦♥❣ t❤r❡❛❞s ✐s ♥♦t ❛ s✉✐t❛❜❧❡ s♦❧✉t✐♦♥✱ ❜❡❝❛✉s❡ ♥♦ ❣✉❛r❛♥t❡❡ ❝♦✉❧❞ ❜❡ ♠❛❞❡ ♦♥ t❤❡ ❞✐st✐♥❝t♥❡ss ♦❢ t✇♦ ❛❧✐❣♥♠❡♥ts ❢r♦♠ ❞✐✛❡r❡♥t t❤r❡❛❞s✳ ❚❤❡r❡❢♦r❡✱ s♠❛❧❧❡r s✐♠✐❧❛r r❡❣✐♦♥s ✇♦✉❧❞ ❜❡ ✇r♦♥❣❧② ❞✐s❝❛r❞❡❞✳ ✸✳✸ ❋✐♥❡✲❣r❛✐♥ ♣❛r❛❧❧❡❧✐s♠ ❙❡❡❞ ❡①t❡♥s✐♦♥ ♠❛❦❡s ❡①t❡♥s✐✈❡ ✉s❡ ♦❢ s❡t ✐♥t❡r❡❝t✐♦♥ ♦♣❡r❛t✐♦♥s✳ ■♥ ♦r❞❡r t♦ s♣❡❡❞ ✉♣ t❤❡s❡ ♣❛rt✐❝✉❧❛r ♦♣❡r❛t✐♦♥s✱ ✇❡ ✐♠♣❧❡♠❡♥t❡❞ ❛ ❜✐t ✈❡❝t♦r r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♥❡✐❣❤❜♦rs s❡t ♦❢ ❡❛❝❤ ✈❡rt❡① ♦❢ t❤❡ ❛❧✐❣♥♠❡♥t ❣r❛♣❤✳ ❚❤❡s❡ ❜✐t ✈❡❝t♦rs r❡♣r❡s❡♥t t❤❡ ♥❡✐❣❤❜♦rs ✐♥ t❤❡ ❛❧✐❣♥♠❡♥t ❣r❛♣❤ ♦❢ ❡❛❝❤ ✈❡rt❡① ✭❝❢✳ ✜❣✉r❡ ✹✮✳ ❋♦r ❛ ✈❡rt❡① vi✱ ❛ ❜✐t ✐s s❡t ❛t ♣♦s✐t✐♦♥ j ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ ✈❡rt✐❝❡s vi❛♥❞ vj❛r❡ ❝♦♥♥❡❝t❡❞ ✐♥ t❤❡ ❛❧✐❣♥♠❡♥t ❣r❛♣❤✳

(9)

1111001...0 0101001...1 ... 0001100...1 Word size (i , j)∈ E ∣V∣ (i ,k )∉ E j k neighboors( vi) : ❋✐❣✳ ✹✳ ❇✐t ✈❡❝t♦r r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♥❡✐❣❤❜♦rs ♦❢ ✈❡rt❡① vi ✐♥ ❛♥ ❛❧✐❣♥♠❡♥t ❣r❛♣❤ G(V, E)✳ ■♥ t❤✐s ❡①❛♠♣❧❡✱ vj✉♥❧✐❦❡ vk✐s ❛ ♥❡✐❣❤❜♦r ♦❢ vi✳ ❚❤✐s ❜✐t ✈❡❝t♦r r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♥❡✐❣❤❜♦rs s❡ts ❛❧❧♦✇s ❜✐t ♣❛r❛❧❧❡❧ ❝♦♠♣✉✲ t❛t✐♦♥s ♦❢ s❡t ✐♥t❡rs❡❝t✐♦♥✳ ❆ s✐♠♣❧❡ ❧♦❣✐❝ ❛♥❞ ♦♣❡r❛t✐♦♥ ♦✈❡r ❡✈❡r② ✇♦r❞ ❡❧❡♠❡♥t ♦❢ t❤❡ t✇♦ s❡ts ②✐❡❧❞s t❤❡ ✐♥t❡rs❡❝t✐♦♥✳ ■♥t❡rs❡❝t✐♦♥ ♦♣❡r❛t✐♦♥s ❛❧s♦ ❜❡♥❡✜t ❢r♦♠ ❙❙❊✶ ✐♥str✉❝t✐♦♥s✳ ❆ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❛t♦♠✐❝ ♦♣❡r❛t✐♦♥s ❡q✉❛❧ t♦ t❤❡ s✐③❡ ♦❢ t❤❡ ❙❙❊ r❡❣✐st❡rs ❛✈❛✐❧❛❜❧❡ ♦♥ t❤❡ ♠❛❝❤✐♥❡ ✭t②♣✐❝❛❧❧② ✶✷✽ ♦r ✷✺✻✮ ❝❛♥ ❜❡ ❝♦♠♣✉t❡❞ s✐♠✉❧t❛♥❡♦✉s❧②✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ t❤✐s s♣❛rs❡ ❛♣✲ ♣r♦❛❝❤ t♦ ❝♦♠♣✉t✐♥❣ s❡t ✐♥t❡rs❡❝t✐♦♥s ✐♥❝r❡❛s❡s t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❛t♦♠✐❝ ♦♣❡r❛t✐♦♥s t♦ ♣❡r❢♦r♠✳ ◆❛♠❡❧②✱ ✈❡rt✐❝❡s✱ ✇❤✐❝❤ ❛r❡ ♥♦t ♥❡✐❣❤❜♦rs ♦❢ ❛♥② ♦❢ t❤❡ t✇♦ ✈❡rt✐❝❡s ❢♦r ✇❤✐❝❤ t❤❡ ✐♥t❡rs❡❝t✐♦♥ ✐s ❝♦♠♣✉t❡❞✱ ✇✐❧❧ ✐♥❞✉❝❡ ❛t♦♠✐❝ ♦♣❡r❛t✐♦♥s✳ ❙✉❝❤ ✈❡r✲ t✐❝❡s ✇♦✉❧❞ ♥♦t ❜❡ ❝♦♥s✐❞❡r❡❞ ✐♥ ❛ tr❛❞✐t✐♦♥❛❧ ❛♣♣r♦❛❝❤ t♦ s❡t ✐♥t❡rs❡❝t✐♦♥✳ ❚❤✐s s♣❛rs❡ ❛♣♣r♦❛❝❤ ✐s st✐❧❧ ❢❛st❡r ✐♥ ♦✉r ❝❛s❡ ❜❡❝❛✉s❡ ❛❧✐❣♥♠❡♥t ❣r❛♣❤s t❡♥❞ t♦ ❜❡ ❞❡♥s❡ ❡♥♦✉❣❤✳ ❚❤❡ s✐③❡ ♦❢ t❤❡ r❡s✉❧t✐♥❣ ✐♥t❡rs❡❝t✐♦♥s ✐s r❡q✉✐r❡❞ ❢♦r t❤❡ r❡st ♦❢ ♦✉r ❛❧❣♦r✐t❤♠✳ ❑♥♦✇✐♥❣ t❤❡ s✐③❡ ♦❢ ❛♥ ✐♥t❡rs❡❝t✐♦♥ ❛❧❧♦✇s ✉s t♦ ❞✐s❝❛r❞ s❡❡❞s✱ ✇❤❡♥ ❧❛r❣❡r r❡s✉❧ts ❤❛✈❡ ❛❧r❡❛❞② ❜❡❡♥ ❢♦✉♥❞✳ ❈♦♠♣✉t✐♥❣ t❤❡ s✐③❡ ♦❢ ❛ s♣❛rs❡ s❡t ✐s ♥♦t ❛s tr✐✈✐❛❧ ❛s ✐t ✐s ✇✐t❤ ❛ ❞❡♥s❡ s❡t✳ ■♥ ♦r❞❡r t♦ ❝♦♠♣✉t❡ t❤❡ s✐③❡ ♦❢ ❛ s♣❛rs❡ s❡t✱ ✇❡ ✉s❡ ❛ ❜✉✐❧t✲✐♥ ♣♦♣✉❧❛t✐♦♥ ❝♦✉♥t ✐♥str✉❝t✐♦♥ ✭P❖P❈◆❚✮ ❛✈❛✐❧❛❜❧❡ ✐♥ ❙❙❊✹✳ ❚❤✐s ♦♣❡r❛t✐♦♥ r❡t✉r♥s✱ ✐♥ ❝♦♥st❛♥t t✐♠❡✱ t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❜✐ts s❡t ✐♥ ❛ s✐♥❣❧❡ ♠❛❝❤✐♥❡ ✇♦r❞✳ ❋♦r ❛r❝❤✐t❡❝t✉r❡s ✇✐t❤♦✉t ❛ ❜✉✐❧t✲✐♥ ♣♦♣✉❧❛t✐♦♥ ❝♦✉♥t ✐♥str✉❝t✐♦♥✱ ❛ s❧♦✇❡r ❛❧t❡r♥❛t✐✈❡ ✐s ♣r♦✈✐❞❡❞✳

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(10)

✇❛s s❡t t♦ 7 ➴♥❣strö♠s ❛♥❞ t♦ 2 ➴♥❣strö♠s ✐♥ t❤❡ ❛❧✐❣♥♠❡♥t ❣r❛♣❤✳ ❙❝♦r❡s ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ t♦ t❤❡s❡ ❛❧✐❣♥♠❡♥ts ❛r❡ ❞✐s♣❧❛②❡❞ ✐♥ ❚❛❜❧❡ ✶✳ ❈▼❖ P❆❯▲ ❚▼❆❧✐❣♥ ❆❈ ❇❉ ❆❉ ❇❈ ★ ♦❢ ❛❧✐❣♥❡❞ r❡s✐❞✉❡s ✶✹✽ ✶✹✽ ✼✾ ✼✷ ✼✵ ✻✻ ✻✹ ✪ ♦❢ ❛❧✐❣♥❡❞ r❡s✐❞✉❡s ✶✵✵ ✶✵✵ ✺✸✳✹ ✹✽✳✼ ✹✼✳✸ ✹✹✳✻ ✹✸✳✷ ❘▼❙❉❝ ✶✹✳✼✽✶ ✶✹✳✼✽✶ ✷✳✾✸✺ ✷✳✵✹✽ ✶✳✼✸✶ ✶ ✳✺✾✷ ✷✳✷✶✵ ❘▼❙❉❞ ✶✵✳✽✸✽ ✶✵✳✽✸✽ ✷✳✻✷✼ ✶✳✼✾✼ ✶✳✹✼✺ ✶ ✳✹✶✹ ✶✳✼✼✵ ❚▼❴s❝♦r❡ ✵✳✶✻✶ ✵✳✶✻✶ ✵ ✳✹✷✷ ✵✳✹✶✶ ✵ ✳✹✷✷ ✵✳✹✵✺ ✵✳✸✺✽ ❚❛❜❧❡ ✶✳ ❉❡t❛✐❧s ♦❢ t❤❡ ❛❧✐❣♥♠❡♥ts r❡t✉r♥❡❞ ❜② ♦t❤❡r t♦♦❧s ✲ ❝♦❧✉♠♥s ✷ t❤r♦✉❣❤ ✹ ✲ ❛♥❞ ♦✉r ♠❡t❤♦❞ ✲ ❝♦❧✉♠♥s ✺ t❤r♦✉❣❤ ✽✳ ❇❡st s❝♦r❡s ❛r❡ ✐♥ ✐t❛❧✐❝s✳ ■♥ ♦r❞❡r t♦ t❡st ♦✉r ❝♦❛rs❡✲❣r❛✐♥ ♣❛r❛❧❧❡❧ ✐♠♣❧❡♠❡♥t❛t✐♦♥✱ ✇❡ ❝♦♠♣❛r❡ r✉♥ t✐♠❡s ♦❜t❛✐♥❡❞ ✇✐t❤ ✈❛r✐♦✉s ♥✉♠❜❡rs ♦❢ t❤r❡❛❞s ♦♥ ❛ s✐♥❣❧❡ ❛rt✐✜❝✐❛❧❧② ❧❛r❣❡ ✐♥st❛♥❝❡✳ ❆♥② ✐♥st❛♥❝❡ ❝❛♥ ❜❡ ♠❛❞❡ ❛rt✐✜❝✐❛❧❧② ❧❛r❣❡ ❜② ❛❧❧♦✇✐♥❣ ❛ ❧❛r❣❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ✈❡rt✐❝❡s ❛♥❞ ❡❞❣❡s ✇❤❡♥ ❝r❡❛t✐♥❣ t❤❡ ❛❧✐❣♥♠❡♥t ❣r❛♣❤✳ ❚❤❡ ✐♥♣✉t ❛❧✐❣♥♠❡♥t ❣r❛♣❤ ❢♦r t❤✐s ✐♥st❛♥❝❡ ❝♦♥t❛✐♥s 15024 ✈❡rt✐❝❡s ❢♦r 9565358 ❡❞❣❡s✳ ❈♦♠♣✉t❛t✐♦♥s ✇❡r❡ r✉♥ ✉s✐♥❣ ❛ ✈❛r②✐♥❣ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❝♦r❡s ♦❢ ❛♥ ■♥t❡❧✭❘✮ ❳❡♦♥✭❘✮ ❈P❯ ❊✺✻✹✺ ❅ ✷✳✹✵●❍③✳ ❚❛❜❧❡ ✷ s❤♦✇s r✉♥ t✐♠❡s ❛♥❞ s♣❡❡❞✉♣s ✇✐t❤ r❡s♣❡❝t t♦ t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❈P❯ ❝♦r❡s✳ ❚❤❡ ❣❛✐♥ ✐♥ t❡r♠s ♦❢ s♣❡❡❞✉♣ ❜❡❝♦♠❡s ❧❡ss s✐❣♥✐✜❝❛♥t ❜❡②♦♥❞ 12 ❝♦r❡s✳ ◆♦t❡ t❤❛t s✐♠✐❧❛r r❡s✉❧ts ✲ ❜♦t❤ ✐♥ t❡r♠s ♦❢ ❧❡♥❣t❤ ❛♥❞ RMSD s❝♦r❡s ✲ ❝❛♥ ❜❡ ♦❜t❛✐♥❡❞ ✐♥ ❧❡ss t❤❛♥ 30 s❡❝♦♥❞s ✇✐t❤ ❛ s♣❛rs❡r ❛❧✐❣♥♠❡♥t ❣r❛♣❤✳ ★ ♦❢ ❝♦r❡s 1 2 3 4 6 8 12 16 20 24 ❘✉♥ t✐♠❡ ✭s✮ 6479 3696 2494 1932 1374 1072 781 723 676 643 ❙♣❡❡❞✉♣ 1 1.8 2.6 3.4 4.7 6.0 8.3 9.0 9.6 10.1 ❚❛❜❧❡ ✷✳ ❘✉♥ t✐♠❡s ❛♥❞ s♣❡❡❞✉♣s ❢♦r ✈❛r②✐♥❣ ★ ♦❢ ❝♦r❡s✳ ❋✐❣✳ ✺ s❤♦✇s r✉♥ t✐♠❡s ❢♦r ❣r❛♣❤s ✇✐t❤ ❛ ✈❛r②✐♥❣ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❡❞❣❡s ❛♥❞ t❤❡ s❛♠❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ✈❡rt✐❝❡s ✲ 21904✳ ❈♦♠♣✉t❛t✐♦♥s ✇❡r❡ r✉♥ ✉s✐♥❣ 12 ❝♦r❡s ♦❢ ❛♥ ■♥t❡❧✭❘✮ ❳❡♦♥✭❘✮ ❈P❯ ❊✺✻✹✺ ❅ ✷✳✹✵●❍③✳ ■♥♣✉t ❛❧✐❣♥♠❡♥t ❣r❛♣❤s ✇❡r❡ ❛❧❧ ❣❡♥✲ ❡r❛t❡❞ ❢r♦♠ t❤❡ s❛♠❡ t✇♦ ♣r♦t❡✐♥s ❛♥❞ ❞✐✛❡r❡♥t ♣❛r❛♠❡t❡rs t♦ ❛❧❧♦✇ ❛ ✈❛r②✐♥❣ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❡❞❣❡s✳ ❚❤✐s ❛♣♣r♦❛❝❤ ❝♦✉❧❞ ❜❡ ✉s❡❞ t♦ ✜♥❞ s✐♠✐❧❛r✐t✐❡s ❜❡t✇❡❡♥ ❘◆❆ str✉❝t✉r❡s✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ s✉❝❤ str✉❝t✉r❡s ❝❛♥ ❜❡ ♠✉❝❤ ❧❛r❣❡r t❤❛♥ ♣r♦t❡✐♥s✳ ❚❤❡r❡❢♦r❡✱ ❢✉t✉r❡ ✇♦r❦ ✐♥❝❧✉❞❡s ❢✉rt❤❡r ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥s t♦ ❛❧❧♦✇ ❧❛r❣❡r ❛❧✐❣♥♠❡♥t ❣r❛♣❤s t♦ ❜❡ ❝♦♠✲ ♣✉t❡❞✳

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(11)

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Evolution of run time w.r.t. # of edges

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