Fonctions réciproques 4ème Sc Expérimentales Dans tous les exercices le plan est rapporté à un repère orthonormé , , . Exercice 1
Soit la fonction définie sur 0 , +∞ par : = et soit sa courbe représentative. 1) Montrer que est dérivable sur 0 , +∞ et que ∀ ∈ 0 , +∞ ; =
2) Dresser le tableau de variation de sur 0 , +∞ et préciser le nombre dérivé de à droite en 0. 3) Montrer que réalise une bijection de 0 , +∞ sur −1 , 4 .
4) Soit la réciproque de .
a) Donner le tableau de variation de b) Calculer 0 et ′ 0 .
c) Montrer que est dérivable sur −1 , 4 on précisera la dérivabilité de à gauche en 4 d) Expliciter pour tout ∈ −1 , 4 .
Exercice 2
Soit la fonction définie sur ℝ par : = 3 − √ % + 1 et soit sa courbe représentative. 1) Dresser le tableau de variations de .
2) Soit la fonction définie sur ℝ par : = − .
a) Montrer que l’équation = 0 admet dans ℝ une unique solution &.
b En déduire que l’équation = admet dans ℝ une unique solution & et que 1 < & < 1,5. c Tracer .
3) Soit ℎ la restriction de à l’intervalle 0 , +∞ .
a) Montrer que ℎ réalise une bijection de ℝ sur −∞ , 2 .
c) Montrer que la fonction ℎ réciproque de ℎ est continue sur −∞ , 2 et préciser son sens de variation sur −∞ , 2 .
4) a) Montrer que ℎ est dérivable sur l’intervalle −∞ , 2 . b) Montrer que ℎ n’est pas dérivable en 2.
c) Calculer ℎ en fonction de pour tout ∈ −∞ , 2 . d) Tracer 89: courbe représentative de ℎ .
Exercice 3
Soit la fonction définie sur 0 , +∞ par : = %− 1 + √ %+ et soit sa courbe représentative. 1) Montrer que est continue sur 0 , +∞
2) a) Etudier la dérivabilité de à droite en 0 et interpréter géométriquement le résultat obtenu b) Montrer que est dérivable sur 0 , +∞ et calculer .
c) En déduire que ∀ ∈ 0 , +∞ ; > 0. 3) a) Dresser le tableau de variation de
b) Montrer que est une bijection de 0 , +∞ sur −1 , +∞ .
4) Montrer que l’équation = 0 admet dans 0 , +∞ une unique solution & et que & ∈ 0 , 1 5) Soit la réciproque de .
a) Donner le sens de variation de
b) Montrer que est continue et dérivable sur −1 , +∞
Exercice 4
Le graphique ci-contre est celui d’une fonction définie, continue et dérivable sur −2 , 4 .
< est la demi-tangente au point d’abscisse 1. <% est la tangente au point de coordonnées 2 , −1 .
<= est la tangente au point de coordonnées 4 , −2 . 1) Répondre par VRAI ou FAUX en justifiant a) ′> −2 = −2 ; ′? 4 = 2 ; ′ 2 = 0
b) La fonction réalise une bijection de −2 , 4 sur l’intervalle −2 , 3 . 2) Justifier que la fonction réciproque de n’est pas dérivable au point −1. 3) Calculer > 3 et ? −2 .
4) Tracer la courbe ′ de la fonction .
Exercice 5
Soit la fonction définie sur par : = − + %
√ et soit sa courbe représentative.
1) Déterminer le domaine de définition de . 2) a) Calculer lim
→ ∞ et →limC
b) Dresser le tableau de variation de
3) a) Donner une équation cartésienne de la tangente < à la courbe au point d’abscisse 0. b) Tracer et <
4) Montrer que l’équation = admet dans −1 , +∞ une unique solution & et que 1 < & < 1,5 5) a) Montrer que réalise une bijection de −1 , +∞ sur un intervalle D que l’on déterminera. b) Montrer que est dérivable sur D
c) Calculer en fonction de & ; & . d) Tracer la courbe ′ de la fonction .
Exercice 6
Soit la fonction définie sur ℝ par E =% si ≥ 0
= − + √ %− si < 0H
1) a) Etudier la continuité de en 0.
b) Etudier la dérivabilité de en 0. Interpréter le résultat graphiquement. 2) Calculer lim
3) a) Montrer que ∀ > 0 on a : =
%
b) Montrer que ∀ < 0 on a : = −1 + %
%√
c) Dresser le tableau de variation de .
4) Soit la restriction de à l’intervalle −∞ , 0 .
a) Montrer que admet une fonction réciproque définie sur un intervalle D que l’on déterminera. b) Expliciter pour tout ∈ D.
c) Tracer les courbes représentatives de g et .
Exercice 7
Pour chaque question indiquer la réponse exacte. 1) Soit = I % la bijection de 2 , +∞ sur 1 , +∞ a) J = %K K b) J = %K K c) J = %K K
2) La courbe ci-dessous représente une fonction définie sur ℝ
a) ′ 2 = −2 b) 2 = −
% c) ′ 2 = 2
Exercice 8
Soit la fonction définie sur 0 , 1 par = % √ et soit sa courbe représentative. 1) Etudier la dérivabilité de à gauche en 1 et interpréter le résultat graphiquement.
2) Montrer que est dérivable sur 0 , 1 et déterminer pour tout ∈ 0 , 1 . 3) a) Dresser le tableau de variation de .
b) Tracer ( on prendra ‖M‖ = ‖N‖ = 2 OP ).
4) a) Montrer que admet une fonction réciproque définie sur un intervalle D que l’on déterminera. b) Montrer que est dérivable sur 0 , 2
c) Expliciter pour tout ∈ D.
d) Tracer dans le même repère ′ la courbe de
Exercice 9
1) Soit la fonction définie sur 0 , +∞ par = I
a) Calculer lim
→ C et lim→ ∞ b) Montrer que est dérivable sur
c) Montrer que réalise une bijection de d) Expliciter pour tout
2) Soit la fonction définie sur 0 , a) Dresser le tableau de variation de b) Montrer que l’équation
3) Soit la suite QR définie sur ℕ par a) Montrer que ∀ ∈ 1 , ∞ on a b) Montrer que ∀T ∈ ℕ on a : QR 4) a) Montrer que ∀T ∈ ℕ on a : |QR b) Montrer que ∀T ∈ ℕ on a : |Q c) En déduire lim → ∞QR. Exercice 10
La courbe représentée ci-dessous et celle d’une fonction
1) Déterminer graphiquement les limites suivantes 2) Déterminer graphiquement ′? 0
3) Dresser le tableau de variation de 4) Soit la restriction de à l’intervalle a) Montrer que réalise une bijection de b) Construire la courbe ?9: de
c) Calculer 2 puis ′
e) La fonction est-elle dérivable à droite en
Kooli Mohamed Hechmi
. Interpréter les résultats graphiquement. est dérivable sur 0 , ∞ et que ∀ ∈ 0 , ∞ on a
réalise une bijection de 0 , ∞ sur un intervalle D que l’on précisera.
∈ D. , ∞ par
a) Dresser le tableau de variation de .
admet une unique solution & dans 0 , ∞ par Q 1 et QR QR . on a V ′ V W % R G 1 QR &| W%|QR &|. QR &| W X%YR|1 &|.
dessous et celle d’une fonction définie sur ℝ.
1) Déterminer graphiquement les limites suivantes : lim
→ ∞ ; lim→ ∞ ; lim→
0 et ′> 0 . Déterminer le domaine de dérivabilité de
3) Dresser le tableau de variation de sur ℝ. à l’intervalle 0 , ∞ .
réalise une bijection de 0 , ∞ sur un intervalle D que l’on déterminera. de puis dresser le tableau de variation de
2 .
elle dérivable à droite en 1 ? Justifier votre réponse.
Kooli Mohamed Hechmi http://mathematiques.kooli.me/
% IZC:Zque l’on précisera.
∞ et que 1 3 & 3 2.
lim
∞ et lim→ C X Y
. Déterminer le domaine de dérivabilité de .
que l’on déterminera.
.
Exercice 11
Soit la fonction définie sur [0 ,\
%[ par = ]^_ et soit sa courbe représentative.
1) Etudier les variations de et construire .
2) Montrer que réalise une bijection de [0 ,\
%[ sur 1 , +∞ .
3) On désigne par ℎ la fonction réciproque de .
a) Etudier la dérivabilité de ℎ à droite en 1. b) Montrer que ℎ est dérivable sur 1 , +∞ . c) Expliciter ℎ′ pour tout ∈ 1 , +∞ .
4) a) Calculer ℎ 1 , ℎ √2 et ℎ 2 Exercice 12
Soit la fonction définie sur `0 ,\%` par : = √tan .
1) Etudier la dérivabilité de en 0 et interpréter le résultat graphiquement. 2) Montrer que est une bijection de `0 ,\
%` sur 0 , +∞ .
3) Soit la fonction réciproque de .
Montrer que est dérivable sur 0 , +∞ et que ∀ ∈ 0 , +∞ on a : = % 4) Soit ℎ la fonction définie sur 0 , +∞ par ℎ = + X Y
a) Montrer que ℎ est dérivable sur 0 , +∞ et calculer ℎ pour tout ∈ 0 , +∞ . b) En déduire que ∀ ∈ 0 , +∞ on a : + X Y =\
%
c) Montrer alors que ∀ ∈ ℝ on a : b√ %+ 1 − c + b√ %+ 1 + c est une constante.
Exercice 13
Soit la fonction ∶ ↦ 1 + sin f ∈ `−
% , %[.
1) a) Montrer que réalise une bijection de `−
% , %[ sur 0 , 2 .
b) Soit la fonction réciproque de . Montrer que est dérivable sur 0 , 2 . c) Etudier la dérivabilité de en 0.
c) Vérifier que : ∀ ∈ 0 , 2 =
\√%
2) Soit la fonction définie sur 0 , 2 par : = 2 − + . a) Montrer que est dérivable sur 0 , 2 .
b) Calculer pour tout de 0 , 2 .
c) Calculer 1 . En déduire que : ∀ ∈ 0 , 2 on a : 2 − = − .
3 Soit la suite réelle Q déiinie sur jk∗ par : QR = 1
T o p1 +T + qr1
R st
a) Montrer que ∀T ∈ jk∗ ; ∀q ∈ u0, 1, 2,HH… , Tw on a : X1 +%RY ≤ X1 +R sY ≤ X1 +RY. b) En déduire que : ∀T ∈ jk∗ on a : R R X %R %R Y ≤ QR ≤ R R X R R Y
c) En déduire que la suite Q est convergente et déterminer sa limite.
Exercice 14
Soit la fonction définie sur 0 , 1 par : =
\X1 + sin X \
% YY.
1) a) Montrer que est dérivable sur 0 , 1 .
b) Vérifier que ∀ ∈ 0 , 1 on a : = Oxy X\
% Y.
c) Dresser le tableau de variation de .
2) a) Montrer que réalise une bijection de 0 , 1 sur `
\ , % \[.
b) Montrer que la fonction réciproque de est dérivable sur [
\ ,\%`. c) Etudier la dérivabilité de en \ et % \ d) Calculer X= %\Y et ′ X%\=Y
3) Soit la fonction définie sur 0 , 1 par = − a) Montrer que ∀ ∈ 0 , 1 on a : 0 < < 1
b) Montrer que l’équation = 0 admet dans 0 , 1 une unique solution & c) En déduire le signe de sur 0 , 1 .
4) Soit la suite réelle QR définie par : zQ = %&
∀T ∈ ℕ ; QR = QR
H
a) Montrer que ∀T ∈ ℕ on a : 0 ≤ QR ≤ & b) Montrer que la suite QR est croissante.
c) En déduire que la suite QR est convergente et déterminer sa limite.
