Sur l'approximation rationnelle pour le semi-groupe de transport

Texte intégral

(1)THESE pour l'obtention du Grade de. DOCTEUR DE L'UNIVERSITE DE POITIERS (Faculté des Sciences Fondamentales et Appliquées). Diplôme National - Arrêté du. 7. aout. 2006. Ecole Doctorale : Sciences et Ingénierie pour l'Information. Secteur de Recherche : Mathématiques et leurs Interactions. Présentée par :. Mohamed Amine CHERIF. Sur l'approximation rationnelle pour le semi-groupe de transport. Directeurs de thèse : Hassan EMAMIRAD et Maher MNIF. Soutenue le. 9. Juillet. 2010. devant la commission d'Examen. JURY. M. M-KHARROUBI. Professeur, Université de Besançon. Rapporteur. K. LATRACH. Professeur, Université de Clérmont-Ferrand 2. Rapporteur. H. BAKLOUTI. Maître de Conférences (HDR),. Examinateur. Université de Sfax. H. EMAMIRAD. Professeur, Université de Poitiers. Examinateur. M. MNIF. Professeur, Université de Sfax. Examinateur. A. ROUGIREL. Maître de Conférences (HDR),. Examinateur. Université de Poitiers.

(2) Table des matières Introduction 1. 2. 3. 4. 3. Introduction. 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6. Equation linéaire de transport dans L1 ( V ) . . . . . Approximation d'un semi-groupe . . . . . . . . . . . . Approximation dans le temps et dans l'espace . . . . . Méthodes numériques de diérent ordre de convergence Théorème de point xe . . . . . . . . . . . . . . . . . . Plan de travail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. 3. 3 7 7 9 13 15. Préliminaires. 19. Approximation au sens de Kato d'un problème de transport. 28. 2.1 2.2 2.3 3.1 3.2 3.3. Dénitions sur les semi-groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Généralité sur les espaces de Fréchet . . . . . . . . . . . . . . . . Compacité et compacité faible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Approximation des semi-groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Convergence au sens de Kato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Approximation d'une équation de transport . . . . . . . . . . . .. 19 22 24. 28 30 31. Approximation rationnelle des semi-groupes de transport au sens de Kato 41 4.1 4.2. Ordre de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Approximation de l'équation de transport sans collision. . . . . . 4.2.1 Les schémas d'Euler explicite et implicite pour l'équation de transport sans collision. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2 Le schéma de Crank-Nicolson pour l'équation de transport sans collision. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.3 Le schéma de Predictor-corrector pour l'équation de transport sans collision. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. 41 44. 46 46 47.

(3) 4.3. 4.4. 4.5. 4.6. 5. Equation de transport linéaire dans le cas d'une absorption pure . 4.3.1 Les schéma d'Euler explicite et implicite pour l'équation de transport dans le cas d'une absorption pure. . . . . . . 4.3.2 Le schéma de Crank-Nicolson pour l'équation de transport dans le cas d'une absorption pure. . . . . . . . . . . . . . . 4.3.3 Le schéma de Predictor-corrector pour l'équation de transport dans le cas d'une absorption pure. . . . . . . . . . . . Equation de transport linéaire avec production . . . . . . . . . . . 4.4.1 Schémas d'Euler explicite et implicite pour l'équation de transport linéaire avec production. . . . . . . . . . . . . . 4.4.2 Schéma de Crank-Nicolson pour l'équation de transport linéaire avec production. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.3 Schéma de Predictor-corrector pour l'équation de transport linéaire avec production. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Les résultats numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.1 Approche numérique dans le cas du transport libre. . . . . 4.5.2 Approche numérique dans le cas du transport avec pure absorption. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.3 Approche numérique dans le cas du transport avec production. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.4 Comparaison entre les schémas d'approximation. . . . . . Annexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Théorèmes de point xe sur un espace de Fréchet. 48 50 52 53 55 58 61 63 65 66 67 73 75 76. 80. 5.1. Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 80. 5.2. Théorèmes de point xe de type Schauder . . . . . . . . . . . . .. 80. 5.3. Théorèmes de point xe de type Krasnoselskii . . . . . . . . . . .. 85.

(4) Chapitre 1 Introduction 1.1 Equation linéaire de transport dans L1( V ) L'objet d'investigation dans la théorie du transport est la distribution des particules dans l'espace des phases. L'espace des phases est le produit direct de l'espace de conguration et l'espace des vitesses ; normalement, chacun est à trois dimensions, donc l'espace des phases est un espace à six dimensions. Une équation de transport est une équation de la mécanique statistique qui décrit l'équilibre pour le nombre de particules dans un élément innitésimal de volume de l'espace des phases. Soit (x; v ) les coordonnées d'un point dans l'espace. x est la coordonnée de la position dans l'espace de conguration. Rn et v est la coordonnée de la position dans l'espace des vitesses V (V Rn). L'élément u(x; v; t)dxdv désigne le nombre de particules dans un élément innitésimal de volume dxdv centré en (x; v ) à l'instant t. Ainsi, des phases, où. Z. V. u(x; v; t)dxdv. est le nombre total de particules dans l'enceinte Z V. u(x; v; t)dv. à l'instant t. De même,.

(5) est la densité de particules au point x, à l'instant. t (toutes vitesses confondues).. Il est naturel de prendre u(x; v; t) comme une fonction dans L1+ , le cône des fonctions positives sur. V.. u(:; :; :). Naturellement, l'équation qui régira. dépendra du type d'intéraction. physique avec le milieu ambiant, ainsi que les intéractions que peuvent avoir, éventuellement, les particules entre elles. Si, par exemple, les particules s'inuencent, l'équation sera non linéaire. Ceci est le cas de l'équation des gaz de Boltzmann. Ce pendant, lorsque les particules intéragissent essentiellement avec les composants d'un milieu connu sans en aecter les propriétés physiques, alors. u(x; v; t). sera. gouvernée par une équation linéaire. Ceci est le cas des équations modèlisant le comportement des neutrons dans un réacteur nucléaire. Dans ce cas une équation de transport est une équation pour la fonction. u de la forme. du = ux entrant - ux sortant, dt c'est-à-dire ddtu est la diérence de deux termes, un terme de "gain" qui tient compte des changements de vecteur vitesse vers l'intérieur de l'élément innitésimal de volume, et un terme de "perte" qui tient compte des changement de vecteur vitesse vers l'extérieur de l'élément innitésimal de volume. Les processus de diusion et de fussion contribuent aux ux entrant, et la diusion et l'absorption au ux sortant. Normalement, les deux termes peuvent être séparés, et ddtu qui représente les eets des collisions a la forme :. du = dt. Z. 0. V. 0. 0. k(x; v ; v)u(x; v ; t)d(v ) a (x; v)u. où a est la fréquence de collision et. k. est le noyau de diusion. D'autre part,. nous avons : 4.

(6) car dx dt ; (x = x0 + tv ) et. du @u @u dx @u dv = + : + : dt @t @x dt @v dt @u = + v:rx u; @t dv = 0 (absence de forces extérieurs). dt. u(x; v; t) est :. Alors, l'équation dynamique postulée pour. @u = v:rx u a (x; v)u + @t. Z. 0. V. 0. 0. k(x; v ; v)u(x; v ; t)d(v ). (1.1.1). qui est appelée l'équation linéaire de Boltzmann ou l'équation d'évolution du. u(x; v; t) représente la densité de neutrons au temps t dans la position x et avec le vecteur vitesse v et on note aussi que la condition à la frontière signie qu'aucune particule ne peut entrer de l'extérieur i.e. u(x; v; t) = 0 si x:n(x) < 0 où n(x) désigne le vecteur normal extérieur à au point x de la frontière @ .. transport linéaire. Ici. Le premier terme dans la partie droite de (1.1.1) illustre le mouvement classique libre d'un groupe de neutrons sans absorption ni production. Le deuxième terme représente la perte de neutrons à cause de la diusion ou l'absorption au point. (x; v). dans l'espace des phases. Enn, le dernier terme représente des. (x; v) dans l'espace des phases à cause de processus comme diusion et fussion. Dans ce cas, les particules à la position x et vecteur 0 vitesse v engendrent des particules à la position x avec une nouvelle vitesse v et 0 la transition est dirigée par k (x; v ; v ). Le taux total de production par un neutron ou dispersion d'un neutron en (x; v ) est donné par : neutrons produits au point. s (x; v) = 0 et nous désignons s par :. Z. 0. V. 0. k(x; v; v )d(v ). 5. (1.1.2).

(7) 0. s (x; v) =. Z. 0. V. 0. k(x; v ; v)d(v ):. (1.1.3). est une mesure positive sur Rn avec (f0g) = 0, et V est le support de ; ainsi l'espace de vitesse V est un sous-ensemble fermé de Rn . Nous supposons que. Par exemple, une boule, une couronne. V = fv 2 Rn : 0 vmin jvj vmax +1g;. ou l'espace. Rn. (1.1.4). tout entier. Il y a trois situations ayant des interprétations. physiques évidentes, la première est le cas où :. a (x; v) = s (x; v); (x; v) 2 V:. (1.1.5). Ici, le nombre de neutrons qui quittent un élément de volume en. (x; v),. est. précisément égal au nombre de neutrons qui y entrent. C'est le cas de diusion pure. De la même manière a (x; v ). s(x; v) s'appelle le cas de production, et. a (x; v) s (x; v) est le cas d'absorption.. Dans cette thèse nous allons considérer les méthodes numériques pour résoudre l'équation de transport de type (1.1.1), dans le cas où. V = [ 1; 1].. = [ a; a],. Nous eectuons les méthodes numériques qui seront discuter dans. la section 1.4, pour les problèmes suivants : 1)Equation de transport libre 8 @u > < @t. = v ru; x 2 [ a; a]; v 2 [ 1; 1] u(x; v; t) = 0 si x v < 0; pour tout x 2 f a; ag > : u(x; v; 0) = f (x; v) 2 L1 ( V ); 2)Equation de transport purement absorbante 8 @u > < @t. = v ru (x)u; x 2 [ a; a]; v 2 [ 1; 1] u(x; v; t) = 0 si x v < 0; pour tout x 2 f a; ag > : u(x; v; 0) = f (x; v) 2 L1 ( V ); 6.

(8) 3)Equation de transport avec le terme de production 8 @u > < @t. R. = v ru (x)u + V p(x; v0 ; v)u(x; v0 ; t)dv0 ; x 2 [ a; a]; v 2 [ 1; 1] u(x; v; t) = 0 si x v < 0; pour tout x 2 f a; ag > : u(x; v; 0) = f (x; v) 2 L1 ( V );. 1.2 Approximation d'un semi-groupe L'outil de base de la théorie de l'approximation d'un semi-groupe est le théorème de Trotter qui donne une approximation d'un semi-groupe à contraction par une famille d'opérateurs linéaires à contractions. En eet, même pour les. 6= et(A+B). Par contre, le théorème de Trotter, montre que si etA et etB sont deux semi-groupes à contractions, alors on a pour tout x 2 X , matrices, etA etB. lim (e n A e n B )n x = etC x; n!1 t. t. où C est la fermeture de A + B , lorsque ce dernier engendre aussi un semi-groupe à contraction. Une généralisation de ce théorème a été donnée par P. Cherno en 1968 qui sera cité dans le Théorème 3.1.1 .. 1.3 Approximation dans le temps et dans l'espace Soit A un opérateur non borné générateur d'un semi-groupe fortement continu. etA . Par une approximation rationnelle, on peut prouver l'existence d'une fonction rationnelle R(z ); z 2 C telle que [R( nt A)]n converge dans un certain sense vers etA . Donc il est clair que toutes les fonctions rationnelles n'admettent pas les mêmes propriétés, pour cela et en générale la dénition suivante qui arme :. R est dite acceptable, si elle vérie pour tout Re(z ) 0, jR(z )j 1 ; pour tout x 2 R R(ix) 6= 0 et qu'il existe une constante réelle p 1 telle que R(z ) = ez + O(jz jp+1 ) lorsque jz j ! 0," est très utile pour "une fonction rationnelle complexe. savoir l'ordre de convergence pour une telle approximation. 7.

(9) La dernière condition dans la dénition précédente implique que. R(0) =. R0 (0) = 1 et on dit que p est l'ordre de convergence pour cette approximation.. Concernant l'approximation dans le temps (approximation semi-discrète), la litérature est très riche dans le domaine de la convergence et la stabilité des approximations rationnelles d'un problème de Cauchy abstrait(voir [Bak, B-T1, B-T2, CLPT, H-K, LeR, Pal1, Pal2, Sai, Yan]). En 1979, Hersh et Kato [H-K] ont prouvé que si. R est p-acceptable, alors pour tout f t n lim k R ( A) f n!1 n. et. 2 D(Ap+2); on a. etA f k = 0. (1.3.1). O(( n1 )p ) est l'ordre de convergence. Dans [B-T1] l'assertion (1.3.1) a été améliorée par P. Brenner et V. Thomée. de la manière suivante : "Si pour tout. f. 2 D(Ap+1); on a. R. est une fonction rationnelle p-acceptable, alors. kR( nt A)nf etAf k = O(( n1 )p+1): Autrement dit,. (1.3.2). p est l'ordre de convergence.. Aussi, dans le cas d'un générateur d'un semi-groupe analytique, une grande amélioration a été donnée dans [CLPT] et [Pal1] en montrant que l'assertion (1.3.1) reste toujours vraie pour toute. f. 2 X . Dans [Pal2] et pas plus tard dans. [Sai] et [Yan] même problème a été étudié lorsque A est un générateur d'un semi-. groupe analytique et l'intervalle du temps n'est pas uniforme. Ce problème a été généralisé dans [E-R] dans lequel on a prouvé, dans le cas où l'intervalle du. A est un générateur d'un C0 -semi-groupe, que pour tout > 1=2 et pour tout s 2 (0; 1=2) , il existe une certaine constante C qui dépend de et s telle que dans le cas où la partition du temps est uniforme. temps est non uniforme et. on a 8.

(10) où.

(11) =. ps p+s+1 .. jj(R( nt A)n etA)(1 A) jj C(t + 1) 23 ( nt )

(12) ;. Concernant l'approximation dans l'espace où. A. (1.3.3). est un générateur d'un. C0 -. semi-group, on a utilisé dans cette thèse la convergence au sens de Kato (voir [Kat]) qui est dénie par : "On dit qu'une suite d'espaces de Banach f(Xn ; k:kn ). :. n = 1; 2; g converge vers un espace de Banach (X; k:k) au sens de Kato, et on K note Xn ! X , si pour tout n il existe un opérateur linéaire Pn 2 L(X; Xn ) (dit opérateur d'approximation ) qui vérie les deux conditions suivantes :. (K1) limn!1 kPn f kn = kf k. pour tout. 2 Xn;. il existe f (n). (K2). pour tout. fn. kf (n)k C kfnkn (C est indépendant de n).. f. 2X;. 2X. telle que fn. = Pn f (n). avec. ! X; Bn 2 L(Xn) et B 2 L(X ). On K dit que Bn converge vers B au sens de Kato et on note Bn ! B si Autrement dit, si on suppose que. Xn. lim kBn Pn f. pour tout. f. 2 X.. K. Pn Bf kn = 0. n!1. (1.3.4). Cette notion a été étudiée par T. Ushijima dans [Ush] et il a donné le théorème d'équivalence de Lax dans ce contexte. Une autre étude dans cette direction qui a été accomplie dans [CE] en construisant une famille d'approximation des semi-groupes de transport qui converge au sens de Kato vers un semi-groupe de transport.. 1.4 Méthodes numériques de diérent ordre de convergence Pour résoudre un problème de Cauchy abstrait : 9.

(13) (. (CP). du dt. = Au u(0) = f. 2X. pour t > 0;. dans un espace de Banach X , lorsque A engendre un semi-groupe borné fortement continu etA dans. X , il existe une grande variété des méthodes d'approximation. semi-discrète en temps, dont les plus connues sont :. (a) Schémas d'Euler implicite et explicite : xn+1 xn = Axn+1 . et. xn+1 xn = Axn ; . et. xn+1 = (I + A)xn :. ou bien d'une manière équivalente. xn+1 = (I. A) 1 xn. A par z , la fonction d'approximation rationnelle du schéma d'Euler implicite devient R(z ) = (1 z ) 1 et pour le schéma d'Euler explicite sera R(z ) = 1 + z .. Si on remplace. (b) Schéma de Crank-Nicolson : Le schéma de Crank-Nicolson s'obtient en mélangeant les schémas d'Euler explicite et implicite de la façon suivante : Prenant xn+1=2 la valeur de. u au. point tn+1=2 au milieu de [tn ; tn+1 ] tel que. xn+1 ce qui donne. xn+1=2 = Axn+1=2 =2. et. xn+1=2 xn = Axn+1=2 ; =2. ( )A) 1 xn : 2 Ainsi la fonction d'approximation rationnelle sera R(z ) = (2 + z )(2 z ) xn+1 = (I + ( )A)(I 2. (c) Schéma de Predictor-Corrector : 10. 1..

(14) Ce schéma s'obtient en additionnant. . xn+1 xn x +x = A n+1 n 2. . avec l'équation de prédiction. xn+1 xn = A(xn+1=2 ); où la valeur prédite de xn+1=2 peut etre corrigé par l'équation. xn+1. xn+1=2 = A(xn+1 ): =2. Cette manipulation entraine h xn+1 = xn + Axn + A 2xn+1 3. i Ax 2 n+1. et en séparant xn+1 à xn nous trouvons. xn+1 = (I + A)(I 3. 2 2 A + A2 ) 1 xn : 3 6. 2 La fonction rationnelle correspondante sera alors R(z ) = (1+ z3 )(1 23z + z6 ) 1 .. Nous vérions dans la suite que les schémas précédents sont tous acceptables mais avec des ordres de convergence diérents et tout ceci à partir de la représentation de la fonction d'approximation rationnelle de chaque schéma. Pour le schéma d'Euler implicite on a. R(z ) = (1 z ) 1 = 1 + z + O(z 2 ): Puisque. (1.4.1). jR(z)j2 = 1=[(1 Re(z))2 + Im(z)2] et Re(z) 0, on vérie alors la prez = ix; R(z ) = Finalement ez =. mière hypothèse de la dénition d'une fonction acceptable. Pour. 1=(1. ix) = 6 0. alors la deuxième hypothèse est aussi vériée.. P k k0 z =k ! et (1.4.1) implique que. R(z ) ez = O(jz j2 ); 11. (1.4.2).

(15) on a aussi la même estimation pour le schéma d'Euler explicite et par conséquence on vérie la dernière hypothèse de la dénition , et on montre que l'ordre de convergence pour les deux schémas d'Euler implicite et explicite est égale. p = 1. Pour le schéma de Crank-Nicolson. R(z ) = (2 + z )(2 z ) 1 = 1 + z +. z2 + O(z 2 ): 2. (1.4.3). p. p. a 0, on a (2 a)2 + b2 (2 + a)2 + b2 , on vérie alors que jR(z)j 1 pour z = a + ib (Re(z) 0). Pour z = ix; jR(z)j = j(2+ix)=(2 ix)j = P 1 6= 0 on obtient aussi la deuxième hypothèse. Finalement, ez = k0 z k =k! et Comme pour. (1.4.3) implique que. R(z ) ez = O(jz j3 );. (1.4.4). et par conséquence on montre que l'ordre de convergence pour ce schéma est égale. p = 2. Pour le schéma de predictor-corrector. 1 + z3 z2 z3 R(z ) = + + O(jz j4 ): 2 =1+z+ 2 z z 2 6 1 3 + 6 2. 2. (1.4.5) 4. = ix; 0 6= jR(z )j 1, car 1 + x9 1 + x9 + x36 . Par ailleur z 1) la fonction de transformation z 7! 2i( jz 1j2 + i, dénie du plan [Rez 0] dans le disque unité D(0; 1), principe du maximum pour les fonctions conformes implique que jR(z )j 1 pour tout Re(z ) 0 et parsuite les deux premières hypothèses on remarque que pour z. de la dénition d'une fonction acceptable sont bien vériées. Finalement, (1.4.5) implique que. R(z ) ez = O(jz j4 ); et par suite on vérie que l'ordre de convergence de ce schéma est égale 12. (1.4.6). p = 3..

(16) 1.5 Théorème de point xe Soit. X. un espace métrique. Un point xe d'une fonction. 2X. !X. est. F (x) = x. Un théorème de point xe est un résultat qui arme qu'une fonction F possède au moins un point xe, moyennant quelques conditions sur F . Les théorèmes de point xe nous donnent les condi-. un élément. x. F :X. qui vérie. tions favorables pour que des diérentes applications admettent des solutions et ces théorèmes constituent un beau mélange d'analyse, de géométrie et de topologie. Les résultats de ce type sont parmis les plus utiles en mathématiques. Prenons un ensemble X . Donc, il est possible de proposer la question suivante : "Quel type de fonctions sur xe pour une application. F. X. qui admet un point xe ?". L'existence de point. nécéssite des conditions avec lesquelles les résultats. soient satisfaits. Et ces conditions ou ces hypothèses peuvent être modiés d'un cas à un autre suivant les propriétés de l'ensemble. X.. Dans les dernières 50 années, les théorèmes de point xe ont été bien convoités et ils ont été des très puissants et importants outils dans l'étude des phénomènes non-linéaires. En particulier, les techniques de point xe ont été plus appliquables dans les diérents champs de recherche de biologie, chimie, économie, théories des jeux et physique. Les théorèmes de point xe sont des techniques plus puissants dans les espaces vectoriels de dimension nies, pourtant, si on peut obtenir des théorèmes pour des espaces vectoriels de dimension innies on gagnera plus de puissance et on peut modeler une équation intégrale diérentielle de telle manière de trouver un point xe d'une application continue ou séquentiellement continue sur un espace fonctionnel et ceci est équivalent à résoudre cette équation qui est, en général, assez dicile de prouver l'existence des solutions en utilisant les arguments classiques.. 13.

(17) Le théorème de point xe le plus connu et simple est le théorème de Banach qui est appelé aussi théorème de contraction : "Toute contraction d'un espace métrique complet vers lui même admet un unique point xe." Ce théorème nous fournit un critère garantissant, s'il est satisfait, la procédure d'itération d'une fonction qui amène à un point xe. En 1912, Brouwer a trouvé un résultat non constructif : il arme qu'une fonction continue de la boule unité fermée dans un espace euclidien de dimension. n. vers elle même doit avoir un point xe, mais. ne décrit pas comment trouver ce point xe. Ce théorème est une généralisation du théorème de Banach et ce résultat a été aussi généralisé par plusieurs mathématiciens. La plus importante généralisation est obtenue par le mathématicien polonais Juliusz Schauder en 1930 : "Tout application continue et compact d'un sous-ensemble fermé, borné et convexe d'un espace de Banach vers lui même admet un point xe." Ce puissant théorème de point xe intervient surtout dans la démonstration de l'existence de solutions d'une équation diérentielle. Plusieurs problèmes issus dans la majorité des diverses domaines de la science naturelle, nécéssitent l'étude des solutions des équations non-linéaires de la forme. Au + Bu = u; où. M. u2M. est un sous-ensemble fermé et convexe d'un espace de Banach. X. (voir. [Bur, Bu-K, Dha]). Pour avoir le résultat, Krasnoselskii [Kras] a prouvé qu'il suft de considérer la somme de deux opérateurs où l'un est contractif et l'autre est compact. Lorsqu'on a un manque de compacité, les théorèmes de Brouwer et de Schauder ne s'appliquent pas. Une généralisation de ces théorèmes fait appel à la notion de la mesure de non-compacité. En 1955 Dardo a prouvé que : "Toute application. -Darbo-contractive d'un ensemble borné et convexe d'un espace de Banach vers lui même, où est une mesure quelconque de non-compacité, admet un point xe." La généralisation de ce théorème est obtenue par Sadovskii : il arme que 14.

(18) toute application condense d'une partie non vide, fermé, borné et convexe d'un espace de Banach vers elle-même, où. . est une mesure de non-compacité régu-. lière, admet un point xe." Parmis les généralisations du théorème de point xe de Schauder, on cite aussi, le résultat de Schauder-Tychono concernant les espaces localement convexe qui a prouvé que : Toute application continue d'un ensemble convexe et compact d'un espace localement convexe possède un point xe." Aussi, parmis les généralisations du théorème de point xe de type Schauder et de type Krasnoselskii, on cite les résultats de A. Ben Amar, A. Jeribi et M. Mnif [BJM] et celles de K. Latrach, M. Aziz Taoudi et A. Zeghal (voir [Latr, Latr1]) avec lesquels ils ont prouvé l'existence de solutions pour l'équation de transport non linéaire suivante :. @ (x; )+ (x; ; (x; ))+ (x; ) = @x. Z 1 1. 0. 0. 0. k(x; ; )f (x; ; (x; ))d. 0. (1.5.1). et aussi pour l'équation de Hammerstein qui est représentée par. (t) = g(t; (t)) + . Z. (t; s)f (s; (s))ds:. (1.5.2). 1.6 Plan de travail Cette thèse est organisée en cinq chapitres. Dans le chapitre 2, on s'intérésse à la présentation des propriétés et des notions topologiques qui vont être utilisées dans les diérentes preuves des théorèmes d'approximation des semi-groupes et des théorèmes de point xe. Dans le troisième chapitre, on présente, en utilisant le théorème de Cherno, un nouveau résultat d'approximation des semigroupes, ensuite on dénit la convergence au sens de Kato.Enn, dans ce chapitre, on construit des espaces 15.

(19) d'approximation qui convergent au sens de Kato et on prouve que la famille des opérateurs d'approximation. V (t). construite dans notre problème de transport. converge au sens de Kato vers la solution de ce problème. Le quatrième chapitre est réservé à l'étude de l'équation de transport linéaire de Boltzmaa ~n. Tout d'abord, on dénit les espaces d'approximation dans le temps et dans l'espace, ensuite on donne quelques diérentes expressions d'une approximation d'une fonction rationnelle et on dénit les algorithmes les plus connus qui sont les méthodes d'Euler explicite et implicite, de Crank-Nicolson et de predictor corrector avec leur correspondant ordre de convergence dans le temps qui se déduit du théorème de P. Brenner et V. Thomée, puis on s'intéresse à l'étude des diérents cas de notre équation de transport. Le cas le plus simple est lorsque le taux d'absorption duction. p. du notre problème de transport. (TP). . et le taux de pro-. sont simultanément nuls. On. montre dans cette partie la convergence du problème d'approximation au sens de Kato et on prouve aussi en choisissant l'expression discrète de l'opérateur d'approximation d'une manière adéquate pour tous les shémas d'approximations (Euler explicite et Euler implicite, Crank-Nicolson et Predictor-Corrector) qu'on retrouve un unique algorithme qui est l'expression discrète de la solution exacte de ce problème de transport. Dans le deuxième cas, on prend. 6= 0 et p 0, ce. problème correspond à une équation dite tomography ou équation de transport. avec absorption. Dans cette partie, puisqu'on ne peut pas retrouver la solution exacte de ce problème de transport, on montre que l'ordre de convergence pour les schémas d'Euler explicite et implicite, Crank-Nicolson et Predictor-Corrector est respectivement 1,2 and 3. Dans le cas général de notre équation de transport et et à l'aide des nouveaux résultats du chapitre précédent, on prouve la convergence de la solution appro16.

(20) chée de ce problème dans le sens de Kato. Finalement, dans ce chapitre, on donne des illustrations et des résultats numériques qui justient nos résultats. Dans le dernier chapitre, on donne quelques nouvelles généralisations des théorèmes de point xe de type Schauder et de type Krasnoselskii qui se basent sur la notion de compacité faible sur des espaces Fréchet ayant la propriété de DunfordPettis et sur la notion de la U -equicontraction.. 17.

(21) 18.

(22) Chapitre 2 Préliminaires L'étude de la théorie des semi-groupes de transport et les théorèmes de point xe nécéssite plusieurs propriétés et notions topologiques. Pour cela, dans ce chapitre, on s'intéresse surtout à la présentation des connaissances de base concernant ces deux théories et spécialement les propriétés et les notions des semi-groupes et leurs générateurs innitésimaux dans les espaces de Banach, compacité, compacité faible, espace localement convexe, espace de Fréchet et enveloppe convexe.. 2.1 Dénitions sur les semi-groupes Les semi-groupes d'opérateurs linéaires tiennent un rôle essentiel dans les problèmes d'évolution. Nous donnons dans ce paragraphe les résultats fondamentaux se rattachant à cette notion [Dav, Paz].. Dénition 2.1.1. Une famille fG(t)gt0 d'opérateurs linéaires continus sur un espace de Banach X est un semi-groupe si (a) G(0) = I (b) G(t + s) = G(t)G(s); 8s; t 0 Un semi-groupe est fortement continu, ou est un C0 -semi-groupe, ou un semigroupe de classe C0 , s'il vérie en outre.

(23) (c). limt!0+ G(t)x = x; 8x 2 X; c'est à dire lim jjG(t)x xjj = 0;. t!0+. 8x 2 X. Un semi-groupe est uniformément continu si 0 (c ) limt!0+ jjG(t) I jj = 0:. Remarque 2.1.2. Ces notions se prolongent à la notion de groupe d'opérateurs si la famille fG(t)g est dénie sur R: Dénition 2.1.3. On appelle générateur innitésimal d'un semi-groupe fG(t)gt0 l'opérateur linéaire A; de domaine D(A) = fx 2 X ;. G(t)x x existeg t!0 t lim+. tel que. G(t)x x t!0 t. Ax = lim+. 8x 2 D(A):. Théorème 2.1.4. Soit A un opérateur engendrant un semi-groupe fG(t)gt0 : Ce semi-groupe est uniformément continu si et seulement si A est borné. Dénition 2.1.5. Soit A un opérateur linéaire sur X: On dit que A est fermé si son graphe & (A) = f(x; Ax); x 2 D(A)g est fermé dans X X: Remarque 2.1.6. Pour montrer que A est fermé, il sut de démontrer que pour toute suite ffn gn0 d'éléments de D(A), telle que limn!1 fn = f et limn!1 Afn = g, on a f 2 D(A) et Af = g: 20.

(24) Théorème 2.1.7. [Paz] Soit A un opérateur innitésimal d'un C0 -semi-groupe fG(t)gt0: Alors D(A) est dense dans X et A est fermé. Proposition 2.1.8. [Paz] Soit fG(t)gt0 un C0 -semi-groupe sur X de générateur innitésimal A; de domaine D(A); alors on a : (a) L'application t 7! jjG(t)jj est borné sur tout compact de R+; (b) Pour tout x 2 X; la fonction t 7! G(t)x est continue et Z. 1 h lim G(s)xds = x; h!0 h 0 (c) Pour tout x 2 D(A); G(t)x 2 D(A) et. dG(t)x = AG(t)x = G(t)Ax; dt (d) Pour tout x 2 X; Z t 0. G(s)xds 2 D(A) et A. Z t 0. G(s)xds = G(t)x x:. Théorème 2.1.9. [D-L8] Soit fG(t)gt0 un C0 -semi-groupe. Il existe deux constantes w 0 et M 1 telles que :. jjG(t)jj Mewt 8t 2 [0; +1[: Dans le cas où. M = 1 et w = 0 on dit que C0 -semi-groupe est à contraction.. Dénition 2.1.10.. On appelle type d'un semi-groupe. fG(t)gt0 :. w = inf f ; 9M ; jjG(t)jj M e t g: On note alors pour signier que A engendre un. A 2 #(M; w) C0 -semi-groupe vériant jjG(t)jj Mewt ; t 0: 21.

(25) A : X ! X un opérateur linéaire, non borné. On appelle ensemble résolvent de A l'ensemble. Dénition 2.1.11.. Soit. (A) = f 2 C; (I A) : D(A) ! X est une bijection et (I A) L'opérateur. 1. 2 L1(X )g. A) 1 ; pour 2 (A); est la résolvante de A.. (I. Dénition 2.1.12. L'espace L1 (X; A; ) est déni comme l'espace vectoriel des fonctions -essentiellement bornées ( c'est à dire les fonctions bornées presque partout). L'espace L1 (X; A; ) est l'espace vectoriel quotient de L1 (X; A; ) pour la relation d'équivalence f g si et seulement si sont égales presque partout. Théorème 2.1.13. ( Hille-Yosida ) Soit A un opérateur linéaire fermé, à domaine dense dans un espace de Banach X: Pour que A engendre un C0 -semi-groupe fG(t)gt0 , il faut et il sut que (I A) 1 existe pour Re() w > 0; et qu'il vérie. jj (I A) k jj (Re(M) w)k Dans ce cas :. 8k 2 N:. jjG(t)jj Mewt:. 2.2 Généralité sur les espaces de Fréchet Dénition 2.2.1.. E est dit localement convexe s'il est muni d'une famille de semi-normes P sur E telle que : [Re-S] Un espace vectoriel. \p2Pfx 2 E : p(x) = 0g = f0g: 22.

(26) Dénition 2.2.2.. Un espace vectoriel topologique. E est dit espace de Fréchet s'il. vérie les propriétés suivantes : 1) Il est complet. 2) Il est localement convexe. 3) Il est métrisable et sa métrique est invariante par translation, i.e. une telle métrique. d : x y ! R telle que. d(x; y) = d(x + a; y + a). pour tous. a; x; y dans E:. Proposition 2.2.3. Tout espace vectoriel topogique localement convexe complet et métrisable E est un espace de Fréchet. T : X ! X une application donnée. On appelle point xe de T tout x 2 X vériant T x = x.. Dénition 2.2.4.. Soient X un espace de Fréchet et. Dénition 2.2.5.. Soient. X un espace Fréchet et A une partie de X . 1) On appelle enveloppe convexe de A, et on le note co(A), l'intersection de tous les convexes de X contenant A . P P co(A) = fx = ni=1 i xi avec n 2 N ; xi 2 A; 8i 2 f1; 2; :::; ng i 2 [0; 1] et ni=1 i = 1g l'ensemble de toutes les combinaisons convexes des éléments de A. 2) On appelle enveloppe convexe fermé de A, et on le note co(A), l'intersection de tous les convexes fermés de. X contenant A.. Dénition 2.2.6. Soit E un espace vectoriel topologique localement convexe.Un ensemble U de E est dit ouvert si pour tout n 2 N et x0 2 U ; 9 > 0 et p1 ; p2 ; :::; pn 2 P tels que :. fx 2 E ; maxj=1;2;:::;npj (x x0) < g U: 23.

(27) Proposition 2.2.7.. E un espace vectoriel localement convexe. Alors la famille des ensembles ouverts de E dans le sens de la dénition précédente est une Soit. topologie c'est à dire : a). ? et E sont ouverts.. (Un )n est une famille quelconque d'ouverts alors [n Un est un ouvert. c) Si U1 ; U2 ; :::; Un sont des ouverts alors U1 \ U2 ::: \ Un est aussi un ouvert. b) Si. 2.3 Compacité et compacité faible Dénition 2.3.1. Soient X et Y deux espaces de Fréchet et U X: On dit que f : U ! Y est une application compacte si f est continue et l'image d'un borné de U est un pré-compact de Y , c'est à dire f (A) est compact pour tout borné A U. Dénition 2.3.2.. Un opérateur linéaire. A:E. !F. d'un espace de Fréchet. E. F est dit faiblement compact s'il envoie des ensembles bornés de E dans des parties relativement faiblement compactes de F . Autrement dit, un opérateur linéaire de E dans F est faiblement compact si et seulement si pour tout suite ('n )n bornée de E , la suite (A'n )n admet une sous suite faiblement convergente dans F . dans un espace de Fréchet. Théorème 2.3.3. (Krein-Smulian) Soient E un espace localement convexe complet et métrisable et M E . Si M est faiblement compact dans E alors l'enveloppe convexe fermé de M est aussi faiblement compact dans E .. Lemme 2.3.4. [Dun] Soient X un espace de Banach et A; B X: Alors : 1) co(A) = co(A): 2) Si A B alors co(A) co(B ): 3) Si A est compact alors co(A) est aussi compact. 24.

(28) Dénition 2.3.5. 1) Soient X un espace de Banach et (xn )n X: 0 On dit que (xn )n converge faiblement vers un élément x 2 X si pour tout l 2 X (dual de X ) on a l(xn ) !n!+1 l(x): 2) Soient X un espace de Banach et A un endomorphisme de X . On dit que A est faiblement compact sur X si l'image par A de tout borné de X est relativement faiblement compact dans X . Autrement dit, si pour toute suite bornée (xn )n X on a (f (xn ))n admet une sous suite faiblement convergente dans X: Dénition 2.3.6. Un espace vectoriel topologique E est dit séquentiellement complet si toute suite de Cauchy de E est convergente. Théorème 2.3.7.. (Eberlein-Smulian, voir [Edw](8.12.4)) Soit. E un espace lo-. calement convexe métrisable.. (xn )n est une suite relativement faiblement compacte de E alors (xn )n admet une sous suite faiblement convergente dans E .. Si. Dénition 2.3.8. Soient E un espace vectoriel et C pour tout x 2 C on a x 2 C si jj 1:. E . C est dit équilibré si. Dénition 2.3.9. ([Edw, J-Y]) Soit E un espace localement convexe. On dit que E satisfait la propriété de Dunford-Pettis (DP), si pour tout espace localement convexe complet F , l'image de tout sous-ensemble faiblement compact et équilibré de E par un opérateur faiblement compact est un compact de F: Remarque 2.3.10.. E est complet, alors on peut remplacer dans la dénition précédente "tout faiblement compact et équilibré de E " par seulement "tout faiblement compact de E ". ([Edw]) Si. 25.

(29) Dénition 2.3.11. Soient E un espace localement convexe et A un ensemble de E: A est dit précompact si A est un ensemble relativement compact dont la fermeture est compact.. Théorème 2.3.12. ([Ch-A]) Soient E un espace localement convexe dans E . On a alors l'équivalence suivante : M est fermé. Théorème 2.3.13.. M un. , M est faiblement fermé.. (Schauder-Tychono [Tych]) :Soient. d'un espace localement convexe. convexe et. E et A : M. A(M ) est relativement compact. Alors A admet un point xe dans M .. que. 26. !M. M un fermé convexe. une application continue telle.

(30) 27.

(31) Chapitre 3 Approximation au sens de Kato d'un problème de transport Dans ce chapitre, on va construire des espaces d'approximation qui convergent au sens de Kato et on va prouver, en utilisant le théorème de Cherno, que la. famille des opérateurs d'approximation fS (t) : t 0g donnée par (3.3.5) converge au sens de Kato vers un semi-groupe de transport.. 3.1 Approximation des semi-groupes Tout d'abord, on fait le rappel du théorème de Cherno qui est cité dans [Che].. Théorème 3.1.1. Soient X un espace de Banach et fV (t)gt0 une famille d'opérateurs linéaires à contractions sur X avec V (0) = I . Supposons que sa dérivée V 0 (0)f existe pour tout f dans un ensemble D et la fermeture de V 0 (0) jD engendre un C0 -semi-groupe S (t) à contraction. Alors, pour tout f 2 X , t (3.1.1) lim kV ( )n f S (t)f k = 0; n!1 n uniformément pour tout t dans un compact de R+ ..

(32) Ensuite, on va utiliser ce dernier théorème pour démontrer le résultat suivant :. Théorème 3.1.2. Soient A le générateur d'un C0 -semi-groupe S0 (t) tel que kS0(t)k e !t (! 0), et B (t) une famille d'opérateurs bornés tels que kB (t)k < ! pour tout t 0. Supposons de plus que A + B (0) est déni dans D(A) et engendre un C0 -semigroupe S (t) à contractions. Alors, la conclusion du théorème Rt de Cherno est valable pour V (t) := S0 (t) + 0 S0 (t s)B (s)ds. Preuve : Remarquons que. V (0) = I , V 0 (0)f = (A + B (0))f. pour tout. f. 2 D(A) et que. b !. 1;. V (t) est à contraction. En eet. kV (t)k kS0(t)k + k e. !t + b. Z t 0. Z t 0. e. S0 (t s)B (s)dsk. !(t s) ds. . = 1. . b e !. !t +. où b = supt0 kB (t)k. Puisque toute les hypothèses du théorème de Cherno sont. . satisfaites, on a la conclusion.. Corollaire 3.1.3. Soient A le générateur d'un C0 -semigroupe S0 (t) tel que kS0 (t)k e !t (! 0), et B un opérateur borné tel que kB k < !. Supposons de plus que A + B est déni dans D(A) et engendre un C0 -semigroupe S (t) à contractions. Alors, la conclusion du théorème de Cherno est valable pour V (t) := R S0 (t) + 0t S0 (s)Bds. En eet, comme. V (t) :=. B. est indépendant de t,. R S0 (t) + 0t S0 (t. V (t) donné dans le Théorème 3.1.2. s)Bds et on obtient la conclusion du Corolaire 3.1.3 suite au changement de variable = t s.. est. 29.

(33) 3.2 Convergence au sens de Kato On commence par donner une procédure d'approximation pour les équations de transport non seulement dans le temps, mais aussi dans l'espace. Pour l'approximation dans l'espace, on va rappeler la convergence au sens de Kato (voir [Kat]). On dit qu'une suite des espaces de Banach. (X; k:k) au sens de Kato. converge vers un espace de Banach. Xn si pour tout. f(Xn; k:kn). : n = 1 ; 2; g. et on note. !X. K. n il existe un opérateur linéaire Pn 2 L(X; Xn ) (dit opérateur d'ap-. proximation ) qui vérie les deux conditions suivantes :. (K1) limn!1 kPn f kn = kf k pour tout f (K2). pour tout. 2 Xn;. fn. 2X;. il existe f (n). kf (n)k C kfnkn (C est indépendant de n).. 2X. telle que fn. = Pn f (n). avec. ! X; Bn 2 L(Xn) et B 2 L(X ). On dit que Bn converge K vers B au sens de Kato et on note Bn ! B si Supposons que Xn. K. lim kBn Pn f. Pn Bf kn = 0. n!1. (3.2.1). f 2 X. Soient An et A deux générateurs des C0 semi-groupes fTn (t)gt0 L(Xn ) et fT (t)gt0 L(X ) respectivement. Considérons les trois conditions suivantes : pour tout. (A)(Consistance).. Il existe un nombre complexe. T sembles résolvants n2N (An ) et. ! ( A) 1:. 1 K. (B)(Stabilité). Il existe une constante positive M. kTn(t)k Me!t;. contenu dans les en-. (A), tel que. ( An ) que. . pour tout. t0. 30. et. et un nombre réel. pour tout. n 2 N:. !. tels.

(34) (C)(Convergence). Pour tout T > 0, on a Tn (t) uniformément sur. [0; T ], i.e.. lim sup kTn (t)Pn f. n!1 t2[0;T ]. ! T (t). K. Pn T (t)f kn = 0. pour tout. f. 2 X:. (3.2.2). Dans [Ush], on peut retrouver la version standard du théorème d'équivalence de Lax qui arme que les conditions. (A) et (B) sont vériées si et seulement si. (C) est vériée.. 3.3 Approximation d'une équation de transport Nous considérons dans cette partie une matière constituée de petites particules (neutrons, electrons, ions et photons). Chaque particule se déplace sur une ligne droite à vitesse constante jusqu'elle heurte une autre particule du même milieu et cette collision entraine soit une absorption soit une multiplication. Ce phénomène est décrit par l'équation suivante dite équation de transport 8 @u > < @t. R. = v ru (x; v)u + V p(x; v0 ; v)u(x; v0 ; t)dv0 (TP) u(x; v; t) = 0 si x v < 0; pour tout x 2 @. > : u(x; v; 0) = f (x; v) 2 X;. dans. V;. dans laquelle l'inconnue du problème est la densité des particules u(x; v; t). C'est. 2 V R2n à un instant t 0, R qui appartient à l'espace naturel X = L1 ( V ). En fait, V u(x; v; t) dx dv désigne le nombre total des particules dans l'espace entier V à l'instant t. une fonction dans l'espace des phases (x; v). 31.

(35) Cette équation est connue par l'équation linéaire de Boltzmann. Le premier terme dans cette équation. v ru(x; v; t) représente le mouvement des particules. en absence des intéractions d'absorption et de production. Le deuxième terme représente la perte des particules à cause de la diusion ou de l'absorption au point (x; v) dans l'espace de phase. Enn, le dernier terme donné par l'intégrale représente la production des particules au point (x; v) dans l'espace de phase. Le noyau. p(x; v0 ; v). de cette intégrale produit la transition des particules d'un. état à un autre d'une position x ayant la vitesse v0 vers les particules du même. position ayant la vitesse v. L'espace de vitesse V est en général un couronne dans. Rn, c'est à dire. V = fv 2 Rn : 0 vmin jvj vmax +1g: Dans la suite, on va étudier un cas particulier de cette équation de transport. a; a) et on prend V := [ 1; 1]. Dans cette thèse nous avons inclus exprès la vitesse v = 0 dans l'intervalle pour bien démontrer son eet dans les traitement numérique et montrer le bien fondé de prendre V comme un anneau sphérique. On suppose que est une fonction continue strictement dans laquelle on remplace par (. positive avec. 0 < sm (x) sM. pour presque tout. x 2 ( a; a):. (3.3.1). p(x; v; v0 ) par 12 p(x) qui désigne une fonction continue, positive et indépendante de (v; v 0 ), telle que. De plus on remplace le terme. 0 < sup p(x) = kM : x2[ a;a]. En tenant compte de ces considérations, le problème de transport s'écrit :. 8 @u > < @t. R. (3.3.2). (TP). 1 1 = v @u @x (x)u + 2 1 p(x)u(x; v; t)dv dans ( a; a) [ 1; 1]; (TP1) u( a; v 0; t) = 0 et u(a; v 0; t) = 0 pour tout t > 0; > : u(x; v; 0) = f (x; v) 2 L1 (( a; a) [ 1; 1]):. 32.

(36) Remarque 3.3.1. p(x)P f , avec. Le terme de production noté par. 1 Pf = 2. Z 1. Af =. 1 R 1 p(x)f (x; v )dv 2 1. f (x; v)dv;. =. (3.3.3). 1 représente une classe de projection sur L1 ((. a; a) [ 1; 1]). Cet espace peut être produit en prenant kP k = 1 et kAk = kM . On a kAk kM et si de plus p(x) = kM est une fonction constante alors on montre facilement l'égalité.. Théorème 3.3.2. Dans l'espace de Banach X = L1 (( a; a) [ 1; 1]), on dénit les opérateurs T0 f := v@f=@x, T1 f := T0 f (x)f , Tef := T0 f + Af et T f := T1 f + Af (A est déni dans la Remarque 3.3.1). Alors, chacun de ces opérateurs est déni sur D(T0 ) := ff 2 X : v@f=@x 2 X; f ( a; v 0) = 0 et f (a; v 0) = 0g et engendre un C0 -semi-groupe donné, respectivement, par : (0) U0 (t) qui est de contraction ; (1). U1 (t) avec kU1 (t)k e. (2). V (t) avec kV (t)k ekM t ;. (3). U (t) avec kU (t)k e(kM. sm t ;. sm )t .. Preuve : (0) Pour t > 0 tel que jx tvj < a, le semi-groupe U0 (t)f (x; v) = f (x tv; v) vérie que kU0 (t)f k = kf k et si on a x tv < a ou x tv > a, alors U0 (t)f (x; v ) = 0. (1) Le C0 -semi-groupe engendré par T1 est [U1 (t)f ](x; v) := e et. Z aZ 1 a. 1. Rt. 0 (x sv)ds f (x. j[U1(t)f ](x; v)jdxdv e 33. tsm. Z aZ 1 a. 1. tv; v). jf (x tv; v)jdxdv:. (3.3.4).

(37) (2) Pour V (t) on va utiliser la formule de Dyson-Phillips : V0 (t) = U0 (t); où. Vn+1 (t) = On suppose de plus que. V (t) :=. Z t 0. 1 X n=0. Vn (t);. V0 (t s)AVn (s)ds:. kVn(s)k (kM s)n=n!. Alors, une simple récurrence uti-. lisant la Remarque 3.3.1, conduit à. kVn+1(t)f k . Z t 0. Z t 0. kV0(t s)AVn(s)f kds kAVn(s)f kds . (k s)n+1 = M kf k: (n + 1)! Par conséquent,. kV (t)k (3). 1 X n=0. kVn(t)k . U (t) := kUn+1(t)k e tsm (kM t)n=n!, que. kU (t)k . 1 X n=1. 0. kM. (kM s)n kf kds n!. 1 X (kM t)n. n!. n=0. Par le même raisonnement utilisé dans. de Dyson-Phillips par. Z t. (2). = ekM t :. mais en remplaçant la formule. P1 n=1 Un (t) et on déduit par récurrence pour. kUn(t)k . 1 X n=1. e. n 1 tsm (kM t). (n 1)!. = e(kM. Maintenant, nous allons dénir un espace d'approximation. s m )t :. Xn. dans un cas. ( a; a) [ 1; 1] en un nombre ni de cellules, où l'intervalle ( a; a) est divisé en 2mn parties égales et l'intervalle [ 1; 1] est divisé en 2n parties égales ; hn et kn sont les longueurs de ces parties,. particulier. Nous divisons l'espace de phase. telles que,. hn =. 1 a ; kn = : mn n 34.

(38) Ainsi, chaque cellule peut être indiquée par une paire. (i; j ) 2 N , où. N := f(i; j ) : i = mn; : : : ; 1; 0; 1; : : : ; mn: j = n; : : : ; 1; 0; 1; : : : ; ng: Le nombre des particules dans la cellule (i; j ) = [ihn ; (i + 1)hn ] [jkn ; (j + 1)kn ] sera noté par i;j . De plus, on dénit l'ensemble des vecteurs i;j comme espace matritielle d'un espace de Banach. 2 Xn ;. Xn avec la norme. k kn =. X i;j. ji;j j:. Ainsi, on va prouver la convergence au sens de Kato de cet espace d'approximation. Xn vers X .. Lemme 3.3.3.. Pour. f. 2 X , on pose Pnf = fi;j. i;j =. Z (i+1)hn Z (j +1)kn ihn. jkn. : (i; j ) 2 Ng où. f (x; v)dxdv;. on vérie que (i). kPnf kn = kf k pour tout 0 f 2 X ;. (ii) (iii). kPnkL(X;X ) = 1 ; n. limn!1 kPn f kn = kf k. pour tout. f. 2 X.. Preuve : (i) Pour tout f (x; v) 0, on a. kPnf kn =. X Z (i+1)hn Z (j +1)kn i;j. ihn. jkn. f (x; v)dxdv = kf k:. (ii) Comme kPn f kn kf k, alors d'après (i) on vérie facilement (ii). (iii) Soit f 2 C ( V ) l'espace des fonctions continues sur V . Soit N >> 1 tel que pour tout n N , et pour tout > 0, il existe une collection 35.

(39) de petites cellules. (i; j ) telle que sur chaque (i; j ) 2. , la fonction. signe constant et.

(40)

(41) Z

(42)

(43)

(44)

(45) ( a;a)[ 1;1]. X Z. jf (x; v)jdxdv. Si on utilise de plus la densité de. (i;j )2. (i;j ). jf (x; v)j.

(46)

(47)

(48) dxdv

(49)

(50)

(51). f. admet un. < :. C ( V ) dans X = L1 ( ; V ) le résultat (iii). . est vériée pour ces fonctions continues.. (K1) s'obtient à partir du Lemme 3.3.3 (iii). Pour la condition (K2), on note par i;j la fonction caractéristique de la cellule (i; j ). Si pour tout fi;j g 2 Xn, on dénit f (n) 2 X par f (n)(x) = Pi;j hni;jkn i;j , on aura alors La condition. Z. ( a;a)[ 1;1]. R. . car (i;j ) hni;j kn dxdv. j. f (n) (x). jdxdv . XZ i;j.

(52)

(53)

(54)

(55) i;j

(56) dxdv

(57) i;j

(58)

(59) h k n n (i;j ). X i;j. ji;j j;. = 1:. Dans cette partie, on considère le système marque 3.3.1,. =. Af = 12 pP f , où P. (TP1) avec la notation de la Re-. est la projection qui est dénie dans (3.3.3).. Dans ce cas, on ne peut pas avoir une expression explicite d'un semi-groupe comme U0 (t)f (x; v ) = f (x. Rt. 0 (x sv)ds f (x. tv; v) ou U1 (t)f (x; v) = e. tv; v). Par. ailleur, on peut introduire l'opérateur suivant. [V (t)f ](x; v) := e. Rt. 0 (x sv)ds f (x tv; v ) Z 1 t R0s (x rv)dr e p(x +. 2. 0. = U1 (t)f +. L'opérateur. V (t). Z t 0. sv). Z 1 1. f (x sv; v0 )dv0 ds. U1 (s)pP fds = U1 (t)f +. Z t. n'est pas un semi-groupe comme. 0. U1 (s)Afds:. U0 (t). ou. U1 (t),. (3.3.5) (3.3.6). mais on. peut prouver que cet opérateur vérie les hypothèses du théorème de Cherno (Théorème 3.1.1). 36.

(60) On approche cet opérateur par. Un (kn ) := U1;n (t)(I + n An )k ;. (3.3.7). n 1 kn pi X [An ]i;j := ; 2 l= n i;l. (3.3.8). où. pour tout. j;. n 6 j 6 n. Maintenant, soit. U (t). 1, avec pi = p(i ); i 2 [ihn ; (i + 1)hn ).. le semi-groupe de transport déni dans le Théorème. 3.3.2.. Théorème 3.3.4. Sous l'hypothèse de Kato de Un (t) vers U (t).. de. 2kM < sm , on a la convergence au sens. Preuve : On va prouver que. lorsque. kUn(t)Pnf PnU (t)f kn ! 0;. (3.3.9). n ! 1.. On commence par prouver que. Un (kn )Pn f = Pn V (n )k f:. (3.3.10). En eet, h. R n. Pn V (n )f = Pn e 0 (x sv)ds f (x n v; v) Z Z 1 i 1 n R0s (x rv)dr + e p(x sv) f (x sv; v0 )dv0 ds 2 0 1 X n 1 kn n n i j = exp( n i j )i j;j + p e i j;l 2 i j l= n = [U1;n (n )(I + n An ) ]i;j. = U1;n (n )(I + n An )Pn f = Un (n )Pn f: 37.

(61) Ainsi, en prenant. g = V (n )f , on obtient. Pn V (n )2 f = Pn V (n )g = Un (n )Pn g = Un (n )2 Pn f: Alors par une simple récurrence, on trouve (3.3.10). Une fois (3.3.10) est vériée,. Un (t)Pn f par Pn V (n )n f dans (3.3.9) et isométrique de Pn (voir Lemme 3.3.3), on montre que on remplace. en utilisant le caractère. kUn(t)Pnf PnU (t)f kn = kV (t=n)nf U (t)f k: kM . Comme on a kU (t)k e !t (d'après Théorème 3.3.2 (3)) et on a aussi 2kM < sm , alors kM < ! . Ensuite, en remplaçant dans le Corollaire 3.1.3, S0 (t) par U1 (t) et B par l'opérateur de production A et à l'aide de la formule (3.3.6) on trouve (3.3.9). Maintenant, on prend. ! = sm. Remarque 3.3.5. (a) On peut approcher l'intégrale où. (i;jl). := n. Dans ce cas, l'approximation de. U1;n (t) = exp où i kj. l X k=1. (ihn. sjkn )ds par (i;jn) ,. jkn kn ):. U1 donnée par. . Rt 0 (ihn. (3.3.11). (3.3.4) sera. . (n) i;j f (ihn njn kn ; jkn );. = (hn (i kj )). En remplaçant f (ihn. jnn kn ; jkn ) par i. nj;j , on ob-. tient. [U1;n (t) ]i;j = exp. . . (n) i;j i. nj;j :. Ainsi. [U1;n (n ) ]i;j = e 38. n i. j. i. j;j :. (3.3.12).

(62) (b) Si on prend. k = n, l'opérateur Un (t) donné dans. sous la forme. Un (t) = U1;n (t). n X k=0. (3.3.7), peut être écrit. !. Cnk (n An )k :. D'où. [Un (t) ]i;j = [U1;n (t) ]i;j + U1;n (t). 39. n X k=1. !. Cnk (n pi )k. n 1 kn X : 2 l= n i;l.

(63) 40.

(64) Chapitre 4 Approximation rationnelle des semi-groupes de transport au sens de Kato Les résultats du chapitre précédent nous donne une autre vision sur les procédures d'approximation des problèmes de transport données par J. Hejtmanek dans [Hej]. En eet, Hejtmanek a utilisé ces procédures seulement pour les approximations d'Euler. On va démontrer dans ce chapitre que ces dernières procédures restent aussi valables pour les schémas d'Euler mais aussi pour les schémas de Crank-Nicolson et Predictor-Corrector en prouvant que l'ordre de convergence au sens de Kato pour ces schémas est respectivement 1, 2 et 3. A la n de ce chapitre, on va donner des résultats numériques qui illustrent nos résultats.. 4.1 Ordre de convergence On commence par faire un rappel sur la notion de p-acceptable : Soit opérateur linéaire fermé à domaine dense dans un espace de Banach. X. A. un. qui en-. gendre un semi-groupe fortement continu etA . Par une approximation rationnelle, on entend l'existence d'une fonction rationnelle converge vers etA .. R(z ); z. 2 C telle que [R( nt A)]n. Par conséquent, puisque les fonctions rationnelles n'admettent pas nécéssairement.

(65) une telle propriété, on donne la dénition suivante :. Dénition 4.1.1.. Une fonction rationnelle complexe. R est dite. acceptable,. si. elle vérie les conditions suivantes : (i). jR(z)j 1;. (ii). R(ix) 6= 0 pour tout x 2 R.. pour tout. Re(z ) 0.. (iii) Il existe une constante réelle p 1 telle que R(z ) = ez + O(jz jp+1 ) lorsque. jzj ! 0.. La condition (iii) dans cette dénition implique que dit que. R(0) = R0 (0) = 1 et on. p est l'ordre de convergence pour cette approximation.. Concernant l'approximation dans le temps (approximation semi-discrète), Hersh et Kato ont prouvé, dans [H-K], que si. f. 2 D(Ap+2); on a. de plus. R. t n lim k R ( A) f n!1 n. est. p-acceptable,. alors pour tout. etA f k = 0;. (4.1.1). O(( nt )p ) est l'ordre de convergence.. Dans [B-T1] l'assertion (4.1.1) a été amiliorée par P. Brenner et V. Thomée de la manière suivante :. Théorème 4.1.2. Supposons que R alors pour tout f 2 D(Ap+1 ); on a. est une fonction rationnelle p-acceptable,. kR( nt A)nf etAf k = O(( nt )p+1):. (4.1.2). Autrement dit, l'ordre de convergence est p. En ce qui concerne l'approximation dans l'espace lorsque nérateur d'un. C0 -. A. désigne un gé-. semi-groupe, on denit la convergence au sens de Kato (voir. chapitre précédent). 42.

(66) Dans [CE], on a construit une famille d'approximation de semi-groupes de transport qui converge au sens de Kato vers un semi-groupe de transport. La convergence au sens de Kato est dénie par :. Dénition 4.1.3.. Soit. R une fonction rationnelle p-admissible, avec P (z ) R(z ) := = Q(z ). Pk j j =0 j z P` j j =0

(67) j z. (4.1.3). R, est p-acceptable au sens de Kato, si pour tout n 2 N il existe (j ) une suite nie d'opérateurs An ; j = 1; 2; ; m = (k (k + 1)`(` + 1))=2, telle que chacun parmi eux est une approximation aux diérences nies du générateur A du C0 -semigroup U (t) et on a On dit que. kUn(t)Pnf PnU (t)f kn = O(( n1 )p+1); où. P. (4.1.4). Q. 0 I + kj=1 j jp=1 A(np) : Un (t) = Q P

(68) 0 I + `j=1

(69) j jp=1 A(np+k). (4.1.5). Il est dicile de prouver l'existence d'une telle suite. A(nj ) ; j = 1; 2; ; m. d'une manière systématique, mais on peut résoudre ce problème si on construit cette suite cas par cas. Maintenant, nous allons appliquer cette théorie à l'équation de transport neutronique (voir chapitre 3) : 8 @u > < @t. R. = v ru (x; v) + V p(x; v0 ; v)u(x; v0 ; t)dv0 (TP) u(x; v; t) = 0 si x v < 0; pour tout x 2 @. > : u(x; v; 0) = f (x; v) 2 X;. dans. V;. Concernant les espaces d'approximation dans le temps et dans l'espace, on va garder les dénitions données dans le chapitre 3. 43.

(70) 4.2 Approximation de l'équation de transport sans collision. Le cas le plus trivial est lorsque les taux d'absorption et de production sont simultanément nuls. Ce cas ressemble physiquement au milieu d'un gaz raréé où les particules se déplacent sans collision. Dans ce cas, si à un instant. t = 0 et à. f (x; v) particules qui se déplacent avec une vitesse v, alors à l'instant t, ces particules se retrouvent au point x tv. Ainsi, la solution un point donné x, il existe. de ce problème de transport sans collision. (CFTP). 8 @u > < @t. = T0 u := v @u @x dans ( a; a) [ 1; 1]; u( a; v 0; t) = 0 et u(a; v 0; t) = 0 pour tout t > 0; > : u(x; v; 0) = f (x; v) 2 L1 (( a; a) [ 1; 1]);. est donnée par la famille des opérateurs. fU0(t)gt2R dénie par. u(x; v; t) = [U0 (t)f ](x; v) := f (x tv; v);. (4.2.1). qui désigne le semi-groupe de transport sans collision. Avec ces considérations, la version discrète du semi-groupe sans collision déni dans (4.2.1) sera donnée par. [U0;n (kn ) ]i;j = i. kj;j. si (i; j ) 2 N et k. = 1; ; n:. (4.2.2). En eet, si pour t; n et n donnés, on prend n de telle sorte que n kn =hn. hn (i. = 1,. on. = t=n et mn = [na(2n +1) t]=(2t) obtient alors (4.2.2) car ihn n kjkn =. n kn kj ); d'où on obtient (4.2.2). hn. Remarque 4.2.1. On adopte la convention qui arme que i;j = 0, lorsque i < (mn + 1) or i > mn . Ici la condition à la frontière signie qu'aucune particule ne peut entrer dans par @ . Théorème 4.2.2.. Pour. U0 (t)f (x; v) = f (x tv; v), on a 44.

(71) (a) U0;n (t)Pn f = Pn U0 (t)f:. (4.2.3). (b) kPn U0 (t)f k1 = supfji nj;j j : sur tous les partitions Ng constante M est indépendante de n.. M,. où la. A l'aide de (4.2.3) on prouve la convergence dans le sens de Kato, avec zéro comme terme à droit dans (4.1.4).. Preuve : L'assertion. (a) résulte de U0;n (t)Pn f = U0;n (t)fi;j g = fi Z. =. Z. =. (i nj;j ) (i;j ). nj;j. g. f (x; v)dxdv. f (x tv; v)dxdv. . = Pn U0 (t)f: et l'assertion. (b) est une conséquence de. ji. nj;j. j=. ZZ (i nj;j ). f (x; v)dxdv kf k:. Dans la suite On va démontrer que l'équation de transport sans collision est l'une des rares équations aux dérivées partielles où les solutions approchées données par ces méthodes d'approximation coincident avec la solution exacte de ce problème de transport. Il reste à signaler que ceci résulte du bon choix de la discrétisation des opérateurs.. (CFTP), correspond aux deux imp 2 L(Xn) ou bien par combi-. L'opérateur fermé T0 déni dans le problème (1)Euler exp. opérateurs matriciels T0;n naison de (4.2.4) et (4.2.6).. (1)Euler. et T0;n. 45.

(72) 4.2.1. Les schémas d'Euler explicite et implicite pour l'équation de transport sans collision.. Pour le schéma d'Euler explicite, on dénit l'opérateur suivant Euler T0(1) ;n. si. exp. := [T0(1) ;n ]i;j = jkn n. i;j. i jhn. j;j. = n. kn ( hn i. j;j. i;j ). (4.2.4). (i; j ) 2 N . Le semi-groupe approché U0;n (n ) sera []i;j = [U0;n (n ) ]i;j = [ + T0(1) ;n ](i;j ) k = i;j + n n (i j;j i;j ) = i hn. (4.2.5). j;j. de telle sorte que n hknn = 1 pour tout n, on peut trouver un lien entre l'intervalle du temps discrèt n et les largeurs des cellules En choisissant. mn. et. n. hn et kn , ce qui permet à [U0;n (n ) ]i;j. d'avoir l'expression de (4.2.2) pour. k = 1.. On passe maintenant à l'étude du schéma d'Euler implicite. Pour cela, on dénit l'opérateur suivant Euler T0(1) ;n. imp. := [T0(1) ;n ]i;j = jkn n. (i; j ) 2 N .i Le semi-groupe 1 (I T0(1) ;n ) . Ainsi,. si. h. i+j;j i;j = (i;j jhn. approché. U0;n (n ). sera. i+j;j ). (4.2.6). [U0;n (n ) ]i;j = i;j :=. i;j. i;j = [(I = i;j D'où on obtient i;j 4.2.2. = i. T0(1) ;n ) ]i;j k n n (i;j hn. i+j;j ) = i+j;j :. j;j .. Le schéma de Crank-Nicolson pour l'équation de transport sans collision.. Pour ce schéma on dénit les deux opérateurs suivants : 46.

(73) Cr Ni T0(1) ;n. :=. T0(1) ;n u. :=. T0(2) ;n u. . et Cr Ni T0(2) ;n. . u (ihn ; jkn ) u i 2j hn ; jkn = jkn n jhn =2 j = 2 u (i )h ; jk u(ihn ; jkn ) : 2 n n . . u i + 2j hn ; jkn u (ihn ; jkn ) = jkn n jhn =2 j = 2 u (ihn ; jkn ) u (i + )hn ; jkn : 2. Une version abrégée sera donnée par :. [T0(1) ;n ]i;j = 2(i. i;j ). 2 ;j j. et. [T0(2) ;n ]i;j = 2(i;j. i+ 2j ;j ). (4.2.7). de telle sorte que le schéma de Crank-Nicolson s'écrit. 1 1 (2) 1 [U0;n (n ) ]i;j = [(I + T0(1) )(I T ) ]i;j ;n 2 2 0;n 1 = (I + Tn(1) )i 2j ;j = i j;j : 2 Ainsi, on a pour ce schéma 4.2.3. U0;n (n )Pn f = Pn U0 (n )f:. Le schéma de Predictor-corrector pour l'équation de transport sans collision.. Ici, on dénit les trois opérateurs suivants : h. Euler = 3 T0(1) ;n. i. h. cor. pre T0(2) ;n. := [T0(1) ;n ]i;j = i 2j;j 3i 32j ;j + 2i j;j + 3i i 1 h (1)Cr Ni (2)Cr Ni cor pre cor = T0(3) := T + T ;n 0;n 2i 0;n i;j h = i 2j ;j i+ 2j ;j. exp. h. . i;j. Euler + T0(1) ;n. i. pre T0(1) ;n. 47. exp. . i j;j. h. Euler 3 T0(1) ;n. i. 2 ;j j. exp. 3i;j ;. . i i 2j ;j.

(74) et pre T0(4) ;n. cor. Cr := T0(1) ;n. Ni. :. Pour le schéma de predictor-corrector, on dénit. 1 [Un (n ) ]i;j = [(I + T0(1) )(I 3 ;n. [Un (n ) ]i;j. par. 2 (2) 1 (3) (4) 1 T + T T ) ]i;j : 3 0;n 6 0;n 0;n. On remarque que . (I. 2 (2) 1 (3) (4) T + T T ) 3 0;n 6 0;n 0;n. i;j. = i;j. 2 ( 3 i. i+ 2j ;j ). 2 ;j j. 1 ( j + T0(3) ) 3 ;n i 2 ;j i;j 2 1 = i;j + i j;j + i+ 2j ;j i 3 3. 2 ;j j. et . 1 ) (I + T0(1) 3 ;n. i;j. = i;j + 2 = i 3 = (I. 1h 3(i;j 3. i. + 3(i. ;j. j;j ). 2 ;j j. (i. i. i. j;j. 2j;j ). i. 3j ;j ) 2. 1 + i 2j;j + i 2j ;j i 32j ;j 3 2 (2) 1 (3) (4) T + T T ) : 3 0;n 6 0;n 0;n i j;j. Ceci nous permet d'obtenir. [Un (n ) ]i;j = i. j;j :. 4.3 Equation de transport linéaire dans le cas d'une absorption pure Dans cette section, on travaille sur le même espace d'approximation Xn choisi. dans la section 3 et avec la même condition n hknn 48. = 1.. La solution exacte du.

(75) problème de transport avec une absorption pure 8 @u > < @t. = v @u @x (x)u dans ( a; a) [ 1; 1]; u( a; v 0; t) = 0 et u(a; v 0; t) = 0 pour tout t > 0; > : u(x; v; 0) = f (x; v) 2 L1 (( a; a) [ 1; 1]):. (PATP). est donnée par Rt. 0 (x sv)ds f (x. u(x; v; t) = [U1 (t)f ](x; v) := e où. tv; v);. (4.3.1). U1 (t) est un C0 -semi-groupe sur X . L'approximation de cette solution sera alors. u(ihn ; jkn ; t) = exp. . Z t 0. Rt. En remplaçant l'intégralle 0. . (ihn. jnn kn ; jkn ):. (n) sjkn )ds par i;j , avec. (ihn. (i;jl) := n. sjkn )ds f (ihn. l X k=1. (ihn. jkn kn ). (4.3.2). on trouve,. U1;n (t) = u(ihn ; jkn ; t) = exp où. i. kj. = (hn (i. kj )).. . . (i;jn) f (ihn njn kn ; jkn );. Ee remplaçant. obtient. [U1;n (nn ) ]i;j = exp. f (ihn. . (i;jn). jnn kn ; jkn ) . i. nj;j :. par i nj;j , on (4.3.3). Théorème 4.3.1. Supposons que est une fonction continue strictement positive vériant (3.3.1) et soit U1 (t) l'opérateur déni dans (4.3.1). Alors U1;n (t) converge au sens de Kato vers U1 (t). Preuve : Il est clair que si. sn () = n. n X k=1. mk ();. et 49. Sn () = n. n X k=1. Mk ();.

(76) où. mk () =. inf. s2[(k 1)n ;kn ]. (x sv). et. Mk () =. sup. s2[(k 1)n ;kn ]. (x sv); [0; t] 3 s 7! plus, sn ( ) et. sont les sommes de Darboux inférieure et supérieure de la fonction. (x sv) 2 C ([ a; a] [ 1; 1]), alors sn () Sn(). De Rt Sn () convergent vers 0 (x sv)ds dans C ([ a; a] [ 1; 1]). Ainsi. (i;jn). (n). k exp où. . (n) 2 Xn avec (n). i;j. . Pn e. Rt. 0 (x sv)ds. . kn ! 0;. (n) = i;j : Par conséquent, on a. . kU1;n(t)Pnf PnU1(t)f kn kU1;n(t)Pnf exp (n) PnU0(t)f kn +k exp (n) Pn U0 (t)f Pn U1 (t)f kn | {z } kPnU0(t)f k1kPn. . e. Rt. 0 (x sv)ds. . =0. exp. n (n). . kn ;. n ! 1. En eet, d'après le Théorème 4.2.2 (b), le terme kPn U0 (t)f k1 peut être majoré indépendament de n. qui tend vers zéro lorsque. Maintenant, on s'intéresse à la discrétisation des diérents schémas pour le problème de transport 4.3.1. (PATP).. Les schéma d'Euler explicite et implicite pour l'équation de transport dans le cas d'une absorption pure.. Pour le schéma d'Euler explicite, on dénit l'opérateur d'approximation suivant Euler T1(1) ;n. exp. := [T1(1) ;n ]i;j = (i. j;j. Alors,le semi-groupe d'approximation. i;j ) n i j i. j;j. si (i; j ) 2 N :. U1;n (n ) sera. []i;j = [ + T1(1) ;n ]i;j = i;j + ((i 50. j;j. i;j ) n i j i. j;j ) :. (4.3.4).

(77) Par suite,. []i;j = (1 n i j )i. j;j :. Une comparaison entre ce résultat et la version discrète de la solution exacte de notre problème de transport (4.3.3) nous donne l'estimation suivante :. j[ U1;n(n) ]i;j j = j1 ni. j. exp ( n i j ) jji. ce qui implique l'existence d'une constante que. C. j;j. j = O(n2)ji j;j j;. qui dépend seulement du , telle. k(I + T1(1);n U1;n(n)) kn Cn2k kn:. Ceci nous donne l'estimation (1.4.2). Par conséquent l'ordre de convergence pour ce schéma est. p = 1.. Pour le schéma d'Euler implicite, l'opérateur d'approximation est déni par. Euler T1(1) ;n. imp. := [T1(1) ;n ]i;j == (i;j. i+j;j ) n i i+j;j ;. et par suite le semi-groupe d'approximation . (4.3.5). U1;n (n ) sera. T1(1) ;n. []i;j = [ I. si (i; j ) 2 N. 1. ]i;j :. Or. i;j = [. T1(1) ;n ]i;j. = i;j. ((i;j. i+j;j ) n i i+j;j ). = i+j;j + n i i+j;j ; ce qui nous donne,. []i;j = (1 + n i j ) 1 i En conséquence . j I. T1(1) ;n. 1. . U1;n (n ). i;j. j = j(1 + ni 51. j;j :. j). 1. exp ( n i j ) jji. j;j. j.

(78) ce qui implique aussi que . k I T1(1);n. 1. . U1;n (n )) kn Cn2 k kn :. D'où, l'ordre de convergence pour ce schéma est égal à 4.3.2. p = 1.. Le schéma de Crank-Nicolson pour l'équation de transport dans le cas d'une absorption pure.. (1)Cr Ni. Pour ce schéma d'approximation, on dénit les deux opérateurs T1;n (2)Cr Ni T1;n 2 L(Xn) par :. et. Cr T1(1) ;n. Ni. := [T1(1) ;n ]i;j = 2(i. Cr T1(2) ;n. Ni. := [T1(2) ;n ]i;j = 2(i;j. i;j ) n i 2j i. 2 ;j j. et. 2 ;j j. i+ 2j ;j ) n i+ 2j i+ 2j ;j :. On dénit aussi l'opérateur :. [M ]i;j = R( n i )i;j. où. R(z ) = (2 + z )(2 z ) 1 ;. et on remarque que. 1 ) ] = i;j + (i 2j ;j [(1 + T1(1) 2 ;n i;j = (1. i;j ). n j j 2 i 2 i 2 ;j. n j ) j 2 i 2 i 2 ;j. et. [(1. 1 (2) T )M ]i 2 1;n. . j;j. = [M ]i j;j [M ]i = (1 + n i 2j )[M ]i 2 1 = [(1 + T1(1) ) ] : 2 ;n i;j. j;j. 2 ;j j. [M ]i = (1. . n j [M ]i 2 i 2 i 2j )i 2j ;j. 2 ;j n j. 2. +. Tout ceci prouve que. 1 1 (2) 1 []i;j = [(1 + T1(1) )(1 T ) ]i;j ;n 2 2 1;n = [M ]i j;j = (2 n i j )(2 + n i j ) 1 i 52. j;j :. 2 ;j j.

(79) Une comparaison avec le semi-groupe d'approximation dans le cas d'une absorp-. U1;n (t) nous donne l'estimation suivante :. tion pure. j[ U1;n(n) ]i;j j = j(2 ni. j )(2 + n i j ). 1. exp( n i j )jji. j;j. j. ce qui implique. k(1 + 21 T1(1);n )(1. 1 (2) 1 T ) 2 1;n. U1;n (n ) kn Cn3 jj jjn ;. où C est une constante qui dépend seulement de et qui est indépendante de n . On peut alors, retrouver l'estimation (1.4.4) qui vérie que l'ordre de ce schéma est égal à. p = 2:. 4.3.3. Le schéma de Predictor-corrector pour l'équation de transport dans le cas d'une absorption pure.. On dénit pour ce schéma quatre opérateurs diérents :. 2 1 n i i+ 2j ;j n i j i 3 3. pre T1(3) ;n. cor. := [T1(3) ;n ]i;j = (i. pre T1(2) ;n. cor. := [T1(2) ;n ]i;j = (i. pre T1(1) ;n. cor. (1)Euler exp Euler exp Euler exp := [T1(1) ]i;j + [T0(1) ]i j;j 3[T0(1) ]i 2j ;j ;n ]i;j = 3[T0;n ;n ;n 2 1 n i j i j;j j j + 3 3 3 n i 2j i 2j;j n i 2 i 2 ;j n i 2 j i. pre T1(4) ;n. 2 ;j j. i+ 2j ;j ). 2 ;j j. n i+ 2j i+j;j +n i 2j i;j. 1 3 3 1 i+ 2j ;j ) + n i+ 2j i+j;j n i j i j;j n ( i + i 2j )i;j 2 4 4 2 3 3 1 1 j ) j + n ( i ( + j ) j 3 2 i+ 2 i+ 2 ;j n 6 i j 2 i 2 i 2 ;j. cor. 2 ;j j. (1)Cr := [T1(4) ;n ]i;j = [T1;n. Ni. ]i;j. et on dénit aussi l'opérateur suivant :. [M1 ]i;j = R1 ( n i )i;j. où. z R1 (z ) = (1 + )(1 3 53. 2 z2 z + ) 1: 3 6. 3 j;j 2.

(80) Par un simple calcul, on obtient. 1 2 [(1 + T1(1) ) ]i;j = i ;n 3 3. 1 2 + i 2j;j + i 2j ;j i 23 j;j 3 9 n i j i j;j n i 2j i 2j;j n i 2j i 2j ;j + n i 23 j i 32 j;j 9 3 3 2 n 1 n = (1 ) + (1 ) 3 3 i j i j;j 3 3 i 2j i 2j;j + (1 n i 2j )i 2j ;j (1 n i 32 j )i 32 j;j 3 3. et. [(1. j;j. 2 (2) 1 (3) (4) T + T T )M ] 3 1;n 6 1;n 1;n 1 i. j;j. 1 = Ai;j + Bi;j 6. où. 2 Ai;j = [M1 ]i j;j ([M1 ]i 32 j;j [M1 ]i 2j ;j ) n i 2j [M1 ]i;j 3 3 n n n + i 2j [M1 ]i 2j;j + i j [M1 ]i j;j + i 23 j [M1 ]i j;j 2 2 3 2 n i j [M1 ]i 2j ;j + n i 2j [M1 ]i 2j ;j n i 2j [M1 ]i 32 j;j 9 9 n i 32 j [M1 ]i 23 j;j et 2 (4) 3 j [T (4) M ] j Bi;j = [T1(4) M ] [ T M ] ;n 1 i 2 j;j 1;n 1 i 2 ;j 3 n i j 1;n 1 i 2 ;j 1 (4) (4) n i 2j [T1(4) ;n M1 ]i 23 j;j n i 2j [T1;n M1 ]i;j + n i 23 j [T1;n M1 ]i j;j 3 n = 2 [M1 ]i 2j;j [M1 ]i 23 j;j [M1 ]i j;j + [M1 ]i 2j ;j o 2 n n i 2j [M1 ]i 2j;j + n i j [M1 ]i j;j 2 [M1 ]i j;j 3 nn i j o 1 [M1 ]i 2j ;j n i j [M1 ]i j;j n i 2j 2 [M1 ]i 2j;j [M1 ]i 32 j;j o n 3 o n i 2j [M1 ]i 2j;j n i 2j 2 [M1 ]i 2j ;j [M1 ]i;j n i 2j [M1 ]i 2j ;j. + n i. 3j 2. n . 2 [M1 ]i. 3 2 j;j. [M1 ]i 54. . j;j. n i. 3 j [M1 ]i 3 j;j 2 2. o. :.