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pen
A
rchive
T
OULOUSE
A
rchive
O
uverte (
OATAO
)
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This is an author-deposited version published in :
http://oatao.univ-toulouse.fr/
Eprints ID : 15568
To cite this version :
Marquet, Alexandre and Siclet, Cyrille and Roque, Damien
Détermination de filtres d'émission/réception minimisant l’interférence auto-induite
par les communications multiporteuses FTN. (2015) . (Unpublished)
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D´
etermination de filtres d’´
emission/r´
eception
minimisant l’interf´
erence auto-induite par les
communications multiporteuses FTN
Alexandre Marquet, Cyrille Siclet et Damien Roque
alexandre.marquet@gipsa-lab.grenoble-inp.fr
1. Probl`
eme
La plupart des syst`emes classiques permettent la reconstruction parfaite des symboles en l’absence de canal. Cela n´ecessite de respecter le crit`ere de Nyquist.
1/B
T0
t
Monoporteuse : crit`ere de Nyquist v´erifi´e ( 1 BT0≤1). t f T0 F0
Multiporteuses : crit`ere de Nyquist v´erifi´e (ρ = 1
F0T0 ≤1).
A contrario, les syst`emes travaillant au del`a de la cadence de Nyquist (ou FTN pour faster-than-Nyquist) visent l’augmentation de l’efficacit´e spectraleen relˆachant cette contrainte, induisant ainsi de l’interf´erence entre impulsions de mise en forme.
1/B
T0
t
Monoporteuse : crit`ere de Nyquist non-v´erifi´e ( 1 BT0 >1). t f T0 F0
Multiporteuses : crit`ere de Nyquist non-v´erifi´e (ρ = 1
F0T0>1).
2. Contribution
D´etermination de filtres prototypes maximisant le rapport signal sur interf´erence plus bruit(RSIB) d’un syst`eme de communication multiporteuses FTNsur canal `a bruit additif blanc gaussien (BABG).
3. Relation d’entr´
ee/sortie
L’´equivalent complexe en bande de base du signal transmis s’exprime sous la forme
s(t) = X (m,n)∈Z2
cm,ngm,n(t), t ∈ R (1) o`u cm,n est la s´equence de symboles i.i.d ´emis de variance σc2, et g = {gm,n}(m,n)∈Z2 est une famille de gabor de param`etres F0, T0 (donc de
densit´e ρ = 1
F0T0) et de prototype g(t) :
gm,n(t) = g(t − nT0)ej2πmF0t. (2) Le signal re¸cu r(t) est entach´e d’un bruit gaussien complexe circulaire b(t) de densit´e spectrale bilat´erale 2N0:
r(t) = s(t) + b(t). (3) Dans le cas d’un r´ecepteur lin´eaireutilisant une famille de filtres de r´eception ˇg= {ˇgm,n}(m,n)∈Z2, les symboles estim´es s’expriment par
ˆ cp,q= hˇgp,q, ri , ∀(p, q) ∈ Z2 = cp,qhˇgp,q, gp,qi | {z } ˜ cp,q:signal utile + X (m,n)∈Z2\{(p,q)} cm,nhˇgp,q, gm,ni | {z } ip,q:interf´erence + hˇgp,q, bi | {z } bp,q:bruit . (4)
4. Expression du RSIB
D’apr`es (4), on peut exprimer le RSIB par RSIB = σ 2 ˜ cp,q σ2 ip,q+ σ 2 bp,q = σ2 1 ip,q σ2 ˜ cp,q + σ2 bp,q σ2 ˜ cp,q (5) avec σ2 ˜ cp,q = | hˇgp,q, gp,qi | 2σ2 c, σi2p,q = P (m,n)6=(p,q)| hˇgp,q, gm,ni |2σc2 et σ2 bp,q= 2 kˇgp,qk 2 N0.
5. Maximisation du RSIB
5.1. Maximisation du RSI =
σ
2 ˜ cp,q/σ
2 ip,qD’apr`es [1], | hˇgp,q, gp,qi |2 est minimis´e si g et ˇgsont des frames duales canoniques. ˇgest donc une frame de Gabor. On peut alors ´ecrire
σ2 ip,q σ2 ˜ cp,q = X (m,n)∈Z2 | hˇg, gm−p,n−qi |2 | hˇg, gi |2 − 1. (6) De plus, en utilisant la d´efinition d’une frame g de bornes Ag et Bg on obtient l’in´egalit´e suivante :
Agkˇgk2 | hˇg, gi |2− 1 ≤ σ2 ip,q σ2 ˜ cp,q ≤ Bgkˇgk 2 | hˇg, gi |2− 1 (7) laquelle devient une ´egalit´e si g forme une frame ´etroite. Dans ce cas, d’apr`es [2], on a Ag= Bg = ρ kgk2 et, en utilisant l’in´egalit´e de Cauchy-Schwartz coupl´e `a la relation ˇg(t) = g(t)/Ag, on a :
σ2 ip,q σ2 ˜ cp,q = ρ − 1. (8)
5.2. Maximisation du RSB =
σ
2 ˜ cp,q/σ
2 bp,qEn utilisant la relation de Cauchy-Schwartz, on montre que le fait d’avoir get ˇgduales canoniques ´etroites suffit `a maximiser le RSI :
σ2 bp,q σ2 ˜ cp,q = kˇgk 2 | hˇg, gi |2 2N0 σ2 c = 1 kgk2 2N0 σ2 c . (9)
5.3. Expression du RSIB maximis´
e
En notant Es=12σc2kgk2l’´energie symbole, on obtient RSIB = 1
ρ − 1 +N0 Es
. (10)
6. Performances
On remarque une d´egradation des performances si les frames sont duales canoniques mais non-´etroites, d´egradation plus importante encore si elles ne sont ni ´etroites, ni duales canoniques.
Param`etres : — K = 5000 symboles envoy´es ; — M = 128 sous-porteuses ; — constellation QPSK. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ρ g = ˇg g = ˇg g = ˇg α = ρ − 1 g = ˇg T0 g = ˇg ρT0 g ρT0ˇg T0 Param`etres : — K = 5000 symboles envoy´es ; — M = 128 sous-porteuses ; — constellation QPSK ; — densit´e ρ = 16/15. 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Es/N0 g = ˇg g = ˇg g = ˇg α = ρ − 1 g = ˇg T0 g = ˇg ρT0 g ρT0ˇg T0
7. Conclusion et perspectives
Dans un syst`eme multiporteuses FTN, l’utilisation de frames ´etroites duales canoniques en ´emission et en r´eception permet la maximisation du RSIB sur canal BABG.
Travaux en cours: turbo´egalisation de l’interf´erence r´esiduelle.
8. R´
ef´
erences
[1] O. Christensen. Frames and bases: An introductory course. Birkhauser, 2008. [2] I. Daubechies. The wavelet transform, time-frequency localization and signal
