Les parties puissante et libre de carrés d'un entier

UNIVERSITÉ

1

LAVAL

LES PARTIES PUISSANTE ET LIBRE DE

CARRÉS D'UN ENTIER

Mémoire

Maurice-Etienne Cloutier

Maîtrise en mathématiques

Maître es sciences (M.Sc.)

Québec, Canada

© Maurice-Etienne Cloutier, 2013

Résumé

Tout entier positif peut être représenté comme le produit de sa partie puissante et de sa partie libre de carrés. Comme nous le verrons dans ce mémoire, pour la plupart des entiers n, c'est leur partie libre de carrés sq(n), et non leur partie puissante pow(n), qui est la plus « dominante ». C'est ainsi que Yln<x S(l(n) es* de l'ordre de x2 tout comme

l'est 2^1n<xn-> alors °.ue Y2n<xPow(n) es^ DeaucouP plus petite, soit de l'ordre de x3/2.

Notre objectif dans ce mémoire est, dans un premier temps, d'établir le comportement asymptotique de diverses sommations J2n<x pow(7î)asq(n)b, où a et b sont des entiers

donnés. Dans un deuxième temps, nous remarquerons qu'en ajoutant la restriction « n est y-friable » aux sommations 2~2n<x sl (n) e^ 2~2n<xPow(n)- al °r s c'est l'ordre de

grandeur de y (par rapport à x) qui déterminera laquelle des deux sommes est la plus dominante.

Table des matières

Résumé iii Table des matières v

Introduction 1 1 Notions préliminaires 3

1.1 Notations et définitions 3 1.2 Théorème fondamental de l'arithmétique 5

1.3 Fonctions arithmétiques 6 1.4 Formules d'Abel et d'Euler-MacLaurin 8

1.5 Intégrales de Stieltjes 10 1.6 Théorème des nombres premiers 11

1.7 Formule de Stirling 12 1.8 Autres résultats importants 12

2 Sommes faisant intervenir les fonctions pow{n) et sq(n) 15

2.1 Résultats préliminaires 15 2.2 Sommes faisant intervenir une seule des deux fonctions 22

2.3 Sommes où pow(n) et sq(n) sont présentes 28

2.4 Récapitulatif 32

3 Entiers sans grand facteur premier 33

3.1 La méthode de Rankin 35 3.2 Comportement asymptotique 36 3.3 Sommes parcourant les entiers y-friables 41

4 Les fonctions sq(n) et pow(n) pour des nombres y-friables 43

4.1 Lorsque y est petit comparativement à z 43 4.2 Pour y supérieur à une puissance de a; 46

Conclusion 51 Bibliographie 53

Introduction

Les deux fonctions arithmétiques pow(n) et sq(n) associent respectivement à un nombre n sa partie puissante et sa partie libre de carrés. Par exemple, le nombre 18 = 2 x 32

présente 32 comme partie puissante et 2 comme partie libre de carrés. Dans ce mémoire,

nous obtenons, dans un premier temps, le comportement asymptotique des sommes de la forme 2~2n<x sqa(n)powb(7i) pour différents entiers a et b. Dans un deuxième temps,

nous établissons que, lorsque l'on somme sur les entiers n'ayant pas de facteur premier supérieur à y (« entiers y-friables »), l'ordre de grandeur de y influence grandement le comportement des sommes en question.

Nous comparons les comportements asymptotiques obtenus pour découvrir notamment que la partie libre de carrés d'un nombre domine, dans la plupart des cas, sa partie puissante. Nous établissons ensuite que ce n'est plus nécessairement le cas lorsque l'on considère les nombres y-friables. Pour des petites valeurs de y, la fonction pow(n) est généralement, supérieure à sq(n). Nous analysons comment ces fonctions se comportent pour certaines valeurs de y et cernons une région où l'une des deux fonctions est domi-nante sur l'autre.

Chapitre 1

Notions préliminaires

Avant de pouvoir s'attaquer à l'enjeu principal visé par ce mémoire, il faut connaître et bien maîtriser certains résultats généraux de la théorie des nombres dont nous aurons besoin pour la suite. C'est pour cette raison et dans le but d'alléger ce document que ce premier chapitre sera entièrement consacré à présenter une synthèse des définitions et théorèmes qui seront utilisés dans les chapitres à venir. C'est ainsi que nous énoncerons plusieurs résultats dont le théorème fondamental de l'arithmétique, la formule d'Euler-MacLaurin, la formule d'Abel et le théorème des nombres premiers.

1.1 Notations et définitions

Les nombres naturels, entiers, rationnels, réels et complexes seront respectivement notés N, Z, Q, E, C. De plus, nous considérerons que 0 ne fait pas partie de N.

Définition 1.1 Un nombre entier, supérieur ou égal à deux, est dit premier s'il est divisible par exactement deux nombres : 1 et lui-même. Un nombre qui n'est pas premier est dit composé.

Tout au long de ce mémoire, les lettres a, b, c, d représenteront des nombres entiers et les lettres n et m seront utilisées pour des nombres naturels. Les lettres p et q, quant à elles, désigneront toujours des nombres premiers.

Comme nous travaillerons principalement avec des nombres entiers, une notion impor-tante à définir qui sera récurrente tout au long du mémoire est celle de la divisibilité. La connaissance des diviseurs d'un nombre entier, et plus particulièrement de ses divi-seurs premiers, est essentielle pour caractériser plusieurs concepts clés de ce mémoire, incluant les deux fonctions que nous voulons étudier. Nous écrirons d\a (« d divise a »)

pour indiquer qu'il existe un entier k tel que a = kd. Dans le cas contraire, nous utili-serons d \ a (« d ne divise pas a »). Nous dirons aussi qu'un nombre d est un diviseur commun de a et b si d\a et d\b. Il est possible de préciser cette notion de divisibilité en comptant le nombre de fois que d divise a. Ainsi, pour r £ N, d!'\\a (« d? divise exactement a») sera utilisé si <f|a et dT+l \ a.

Définition 1.2 Le plus grand commun diviseur de deux entiers a et b (noté (a, b)) correspond au nombre entier d satisfaisant les trois propriétés suivantes :

i) d > 0,

h) d\a et d\b,

iii) Si e\a et e\b, alors e\d.

R e m a r q u e 1.3 On dit que a et 6 sont, eopremiers lorsque (a, 6) = 1.

Le lecteur voulant s'assurer l'existence et l'unicité du plus grand commun diviseur de deux entiers est invité à consulter le livre de T.M. Apostol [1] ou celui de J.M. De Koninck et A. Mercier [12].

Voici déjà quelques définitions qui utilisent la divisibilité.

Définition 1.4 Un nombre n est dit libre de carrés si pour chaque premier p divisant n, p divise exactement n.

Définition 1.5 Un nombre n est dit, pvissant si pour chaque premier p divisant n, p2 divise n. Dans le même ordre d'idée, nous dirons que n est k-puissant lorsque p\n

implique que pk \n.

Nous allons maintenant introduire les notations 0(-) et o(-) ainsi que < et > qui sont respectivement dues à Landau et Vinogradov. Celles-ci permettent de comparer le comportement asymptotique de deux fonctions. Soient f(x) et g(x) deux fonctions de M —» R, nous écrirons f(x) = 0(g(x)) (« / est dominée par g») s'il existe une constante C > 0 et un rang x0 tel que \f(x)\ < C|y(.r)| pour tout x > x0. Nous utiliserons aussi

indépendamment les notations /(x) -C g(x) et g(x) » f(x) pour signifier la même chose. Dans certain cas, nous ajouterons une variable en indice pour indiquer que la constante dépend de ce paramètre. Notons que si nous écrivons /(.x) = 0(g(x)) pour x > X\, cela voudra dire que nous pouvons prendre le rang XQ = X\.

La notation f(x) x g(x) (« f est de l'ordre de g ») sera utilisée lorsque nous avons

La notation /(x) = o(g(x)) (« / est négligeable par rapport, à g ») voudra dire que pour tout e > 0, il existe un rang x0 tel que |/(x)| < e|p(x)| pour tout x > x0.

f(

x

)

Nous écrirons /(x) ~ g(x) (« / est asymptotique à g ») lorsque lim —r— = 1.

*-Kx> y ( x )

R e m a r q u e 1.6 II est aussi possible de caractériser les concepts de O(-) et o(-) en

h

x

)

fonction du quotient de /(x) et #(x). Ainsi, on se rend compte que lim —)—.- — 0 si et x-»oo g(x)

f(

x

)

seulement si f(x) = o(g(x)) et que . est borné si et seulement si f(x) = 0(y(x)). Exemples 1.7 Nous avons les relations suivantes :

sin(x) = 0(1), x = o(x2), x2 + x ~ x2, (5 + sinx)x x x.

La notation |_xj (resp. [x] ) sera utilisée pour désigner le plus grand entier inférieur (resp. plus petit entier supérieur) ou égal à x. Nous représenterons la partie fractionnaire de x par {x}.

Finalement, nous utiliserons logx pour désigner le logarithme naturel de x.

1.2 Théorème fondamental de l'arithmétique

Le théorème fondamental de l'arithmétique s'énonce comme suit :

Théorème 1.8 Soit n > 2 un naturel, alors n peut s'écrire de manière unique comme un produit de nombres premiers.

R e m a r q u e 1.9 Le produit, en question peut être constitué d'un seul nombre premier. De plus, l'unicité ne tient pas compte de l'ordre des facteurs.

R e m a r q u e 1.10 Dans l'écriture de n comme produit de nombres premiers, nous pou-vons regrouper les termes identiques, renuméroter les indices et ainsi réécrire le nombre

it

sous la forme plus appropriée n =

TTp^-i = TTp^-i

Le théorème fondamental de l'arithmétique est un résultat crucial en théorie des nombres et il nous sera essentiel pour évaluer certaines sommes. Le lecteur intéressé pourra voir la démonstration dans le livre de T.M. Apostol [1] ou celui de J.M. De Koninck et A. Mercier [12].

1.3 Fonctions arithmétiques

Nous allons maintenant introduire les notions de fonctions arithmétiques et de fonctions arithmétiques multiplicatives, suivies de quelques exemples et résultats importants liés à ce type de fonction.

Définition 1.11 Une fonction arithmétique est une fonction allant de N dans C. Voici des exemples de fonctions arithmétiques qui sont utilisées fréquemment en théorie des nombres et qui seront employées dans les chapitres à venir.

• La fonction unité l(n) qui vaut 1 pour chaque n.

• La fonction uj(n) qui compte le nombre de premiers distincts qui divisent n. • La fonction £l(n) qui compte le nombre total de facteurs premiers qui divisent n.

{

1 si n = 1,

(_l)w(n) s- n ^ ijkre ^ carrés,

0 sinon. • La fonction r(n) qui compte le nombre de diviseurs de n.

• La fonction (p(n) qui compte le nombre d'entiers plus petit ou égal à n et copremiers à n.

Définition 1.12 Une fonction arithmétique / est dite multiplicative si / ( l ) ^ 0 et, f(mn) = f{rn)f(n) pour tous les nombres m,n E N copremiers.

Parmi les fonctions arithmétiques introduites ci-dessus, seules les fonctions u(n) et Q(n) ne sont pas multiplicatives. Notons que pour une fonction arithmétique multiplicative

k

f(n), le théorème 1.8 nous permet de constater que, pour n — J Tpf\ nous avons

i=l

/ k \ k

f(n) — / j T P ? | = jT/CPi**)- Cette propriété des fonctions multiplicatives joue un

,,=i / i=\

rôle important lorsque vient le temps d'évaluer la série V J f(n) et le théorème suivant,

n = l

nous sera extrêmement utile pour obtenir nos résultats.

T h é o r è m e 1.13 Soit / une fonction multiplicative. Si / y f ( n ) converge absolument,

n=\

alors J [ I 2_]f(Pk) ) converge et est égal à / J / ( w ) .

P r e u v e La meilleure façon de prouver ce résultat est de montrer que = 0 lim X—K5C p < x fc=0 n = l

Un élément important à souligner : lorsque \_] f(pk) converge absolument et que l'on

k=0

effectue le produit sur les premiers inférieurs ou égaux à x, on peut réorganiser les tenues

(

oo \ oc

\J/(p

fc

) J = 2~2 /(")•

fc=0 / Donc, n = i p\n=t-p<x lim x—ïoc

E/<»)-II £/<**> =

_{n = l} p<x k=0 — lim x—>oo n = l oo

- E

n = l p|n=^p<o-oo = lim x->oc _{n = l} 3p>x tel que p[n < lim X-+OC _{n > x} = 0.

n

Nous allons maintenant introduire la notion de série de Dirichlet.

Définition 1.14 Soit / une fonction arithmétique. On appelle série de Dirichlet asso-ciée à / la série Y^ où s est une variable complexe.

*—' n"

n=l

Dans ce document, nous allons cependant nous restreindre au cas où s est réel. Chaque série de Dirichlet possède une abscisse de convergence 6/ et une abscisse de convergence absolue a j en supposant qu'elles peuvent prendre comme valeur —oo et oc. Ainsi, la série converge pour s > j3f et diverge pour s < 8f et le même résultat est valide pour la convergence absolue avec Q/.

Lorsque f(n) est la fonction l(n), la série de Dirichlet correspond à la fonction zêta de Riemann notée Ç(s) et son abscisse de convergence est p\ — \.

Nous pouvons appliquer le théorème 1.13 à la fonction Ç(s) pour s > 1, et obtenir

<«=ê^=n(Ei)=n('-^f - M

n=l p \Jfc=0 F / p V K '

Une propriété importante des séries de Dirichlet, énoncée dans le théorème suivant, est celle de l'unicité de la représentation. Ce résultat permet de montrer que deux fonctions arithmétiques sont égales si leur série de Dirichlet, sont égales.

T h é o r è m e 1.15 Soient F(s) = J T ^ - et G(s) = ^ " ^ d e u x s é r i o s d e Dirichlet

n=l n=\

avec abscisse de convergence absolue Q/ et ag respectivement. Si pour s > max{o/, ag}

on a F(s) — G(s), alors f(n) = g(n) pour chaque n.

R e m a r q u e 1.16 En fait, avoir F(si) = G(Si) pour une suite s{ tendant vers l'infini

est suffisant pour obtenir le résultat.

Encore une fois, nous référons aux livres de T.M. Apostol [1] et de J.M. De Koninck et A. Mercier [12] pour une démonstration.

1.4 Formules d'Abel et d'Euler-MacLaurin

Il peut souvent s'avérer pratique de calculer une intégrale au lieu d'une somme. C'est pour cette raison que nous allons énoncer deux résultats qui permettent cela.

Lemme 1.17 ( A B E L ) Soit an une suite de nombres et / ( x ) une fonction derivable.

Posons A(x) = 2~2an- Alors,

n<x

J2*nf(n)=A(x)f(x) - f A(t)f(t)dt.

n<x Jl

Preuve En évaluant le membre de gauche, nous obtenons £ an/ ( r c ) = £ ( 4 ( n ) - , 4 ( n - l ) ) / ( n ) Ti<x n<x

= £A(n)/(n)- E A(n)f{n + l)

n<x n<x—1

= YI A(n)(f(n)-f(n + l))-rA([x\)f([x\)

n < x - l y

rn+l

- £ A(n) f'(t)dt + A(x)f([x\)

n<x-l Jn

rn+l

"E / A(t)f(t)dt + A(x)(f([x\)-f(x)) + A(x)f(x)

- / A(t)f'(t)dt - [ A(t)f(t)dt + A{x)f(x)

JI J[x\

A(x)f(x)-J

X

A(t)f'(t)dt.

D

R e m a r q u e 1.18 II est facile de déduire de ce résultat que

J2 ««/(n) = A(x)f(x) - A(y)f(y) - f A(t)f'(t)dt.

. -_ Jv

y<n<x

T h é o r è m e 1.19 ( E U L E R - M A C L A U R I N ) Soit x , y € R et / : [x,y] ->• K une fonction

derivable. Alors

E / W * /"/(*)* + [

X

(t-lt\)f(t)dt + (lx\-x)f(x) + (y-ly\)f(y).

P r e u v e Un élément important à souligner est que

rx f r[y\+l r\x\ rx\

/ {t-\t\)f(t)dt=[ + +/ \(t-[t\)f'(t)dt = h + h + I

3

,

Jy \Jy J[y$+l J[X\J

disons. Nous allons calculer chacune de ces intégrales indépendamment. •Lî/J + l rLvJ + l r[y\+l

riy}+1 rivi+i

ru/i+t-Il = / (t-[tj)f'(t)dt= tf'(t)dt- [t\f'(t)dt

Jy Jy Jy

= tf(t)\y

1+1

- / f(t)dt-[y\ / f(t)dt

Jy Jy

/•LvJ+1

= (Lî/J + i)/(L»J +1) - vf(y) - / /(*)* - LyJ(/(LwJ +1) - f(v))

Jy /•LyJ+i

= /(LvJ + i) + (LyJ-y)/(»)- / /(<)<&•

Jy

h = r (t-it\)f(t)dt=r tf(t)dt- f' [t\f(t)dt

J\v\+l J\ii\+l J\v\+l •bJ rM rM

(t-[t\)f'(t)dt= / tf(t)dt- \

'L*J+i J[y}+i Jlvl+i

■Lxj M­i rn+i

W )

/ f(t)dt­ V n / /'(*)<&

•^ 1*1+1 . « T L . , J » _{l * ^ n=Lî/J+l}

= W/(W)­(LyJ + D/(LyJ + i ) ­ /

W

/(*)«+ E «(/(»)­/(» + !))

^ 1*1+1 n=L*J+l

= w / ( w ) ­ / /(*)<* + E /(») ­ (w ­ !)/(w)

•'1*1+1 n=[yJ+2

rM w

= ­ / /(*>&+ ]T /(n).

^ L v J + l n=LvJ+2

*» = r (* - w) mât = r tf\t)dt - r mrm

J[xj J[x] J[x\

= f m if

#J

­ r nt)dt ­ Lxj r /*(«)««

= x/(x) ­ bj/(W) ­ r / w * ­ [x\ (Hx) ­ /(Lxj))

JLXJ

= (x-bJ)/(x)- f /(*)*■

On obtient donc que

t*x r x L*J

/ (* - W) f(t)dt = / /(t)* + JT /(n) + (LyJ - »)/(») + (x - [x\)f(x).

J y J y n=L*J+l

En réorganisant les termes de cette égalité, on obtient la formule voulue.

D

1.5 Intégrales de Stieltjes

Soient f et g deux fonctions. L'intégrale de Stieltjes sur l'intervalle [a, b] de / par rapport à g notée J f dg correspond à ce qui suit. Subdivisons l'intervalle [a,b] en

sous-intervalles [xj_i, Xj] où a, = x0 < xx < x2 < • • • < xra_! < xn = b. Alors / 6 " / d p = hm E ^ ) ^ * ) - ^ » - ! ) ) o ù ^ € [xi_i,Xi]. max(x,—Xj_i)—H) * — ' » = 1

Voici un exemple qui démontre l'utilité d'une telle intégrale.

Soit A un sous-ensemble de N et supposons que l'on veuille transformer la somme \ J /(a) en une intégrale.

a<x aÇA

Posons A(t) — 2_, 1- Alors, / f(t)dA(i) = E - ^ (a) PuisQtue Pe u importe la

subdivi-a<t "'1~ a<x

aeA a£A

1 s'il existe a € .A tel que a € [xi_i,Xj], sion de [1, xj que 1 on fait, A(xi)—A(xi_i) = <

I 0 sinon

et donc & devient le a en question à mesure que la longueur des intervalles diminue. Un point important à soulever : si y(x) est derivable, alors l'intégrale f f(x)dg(x) de-vient f f(x)g'(x)dx. De plus, on remarque que le lemme d'Abel (lemme 1.17) correspond en fait à une intégration par partie d'une intégrale de Stieltjes.

1.6 Théorème des nombres premiers

Soient TT(X) la fonction qui compte le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux

r dt

à x et Li(x) = / . En 1792, à l'âge de 15 ans, Gauss à émis l'hypothèse que x

7r(x) ~ , hypothèse équivalente à TT(X) ~ Li(x). En 1896, soit un peu plus de cent ans plus tard, Hadamard et de la Vallée Poussin réussirent à prouver indépendemment que 7r(x) est effectivement asymptotique à Li(x). Ce résultat est appelé « théorème des nombres premiers » et le meilleur terme d'erreur trouvé jusqu'à aujourd'hui apparaît dans le résultat suivant :

T h é o r è m e 1.20 II existe une constante positive A telle que

/ >l(logx)3/5 \

7r(x) = Li(x) + O xe ô ^ * )1 7 5 J .

X / X i X / X \

R e m a r q u e 1.21 Comme Li(x) = \-0 \ — Ô- j - on a itix) = ; VO ( —^— ).

logx \log x ) logx \ l o gJx y

Le terme d'erreur du théorème précédent découle de la région sans zéro de la fonction £(s) obtenue par H.E. Richert et A. Walfisz. Si l'hypothèse de Riemann s'avère vraie, c'est-à-dire qu'à l'exception des zéros triviaux aux points s = —2k avec fc e N, la fonction Ç(s) ne s'annule que lorsque la partie réelle de s est 1/2, alors nous obtiendrions le meilleur terme d'erreur TT(X) = Li(x) + O (x1'2 logx).

1.7 Formule de Stirling

Soit n G N, alors nous écrirons n! (« n factoriel ») pour désigner l'expression J T i. Un premier résultat pour n\ est l'inégalité suivante :

Lemme 1.22 Pour chaque n G N, on a n! > ( — J .

P r e u v e Puisque log i > / log t dt pour chaque entier i > 2, nous avons

Ji-i

n n ri rn

log n! = 2_] l°g?' ^ /_. i l°g t dt = I log t dt = n log n — n + 1 > n log n — n

t=2 »=2 ^-! -*1

En prenant l'exponentielle de chaque côté, nous obtenons n! > (f )n.

D

Un autre résultat plus précis concernant n! est donné par la formule suivante. T h é o r è m e 1.23 (FORMULE DE STIRLING) Lorsque n -¥ oc, nous avons

n! ~ V2irn f —J .

Une démonstration de ce résultat est disponible dans le livre de G.Tenenbaum [14].

1.8 Autres résultats importants

Pour terminer le chapitre, voici certaines formules et résulats bien connus qui s'avéreront utiles par la suite. Tous sont démontrés dans le livre de J.M. De Koninck et F. Luca [10].

L e m m e 1.24 II existe une constante 7 telle que 2_] ~ = l°g x + 7 + O ( — j .

n<x U \XS

R e m a r q u e 1.25 7 est la constante d"Euler donnée par lim j 7 ^ log^V ].

.V-+00 \ t-^1 n I

\n<N J

Lemme 1.26 II existe une constante 8 telle que V^ - = log log x + 3 + O [ ).

^P VogxJ

R e m a r q u e 1.27 La constante 0 correspond à 7 + \~] ( log f 1 ) H— ) •

Lemme 1.28 Soit x > 2, alors Y^ - ^ = logx + O(l).

*—' p

p<x r

Lemme 1.29 Soit n € N, alors

EX*)-!

1

*!""

1,

*rr_{d\n \} é 0 sinon.

f(

x

)

Lemme 1.30 Soit, /(x) une fonction continue sur [2,oc[ et telle que ; décroît vers

' w l ' l logx

0. Alors,

è J

2 log

<

Nous avons élaboré la notation nécessaire et présenté les principales notions de bases que nous pourrons maintenant, mettre à notre disposition pour entamer nos travaux.

Chapitre 2

Sommes faisant intervenir les fonctions

pow(n) et sq(n)

Commençons par introduire les deux fonctions arithmétiques qui vont nous intéresser plus particulièrement tout au long de ce mémoire. Ces fonctions sont sq(n) et pow(n) qui sont appelées respectivement partie libre de carrés de n et partie puissante de n et étant définies par sq(n) := ] [ p et pow(n) := J F pa. On remarque immédiatement que pour

p\\n pa\\n

a>2

chaque nombre n, on a n = sq(ri)pow(n). Cela nous sera particulièrement utile pour analyser le comportement asymptotique des différentes sommes ^2n < x sqa(n)powb(n)

pour des valeurs entières de a et b, ce qui correspond à un des objectifs de ce mémoire. D'ailleurs, il y a un cas que nous pouvons traiter immédiatement, soit a — b = 0 qui donne trivialement V j 1 = |_xj — x + 0 ( l ) . Cependant, avant de passer aux autres cas,

n<x

nous avons besoin de certaines informations concernant les nombres libres de carrés et puissants.

Prenez note qu'à la fin du chapitre, il y aura un récapitulatif des résultats obtenus.

2.1 Résultats préliminaires

Nous allons maintenant énoncer et démontrer des résultats liés à la répartition des nombres libres de carrés, puissants et même fc-puissants, notions introduites dans le premier chapitre. Un autre aspect, sur lequel nous nous attarderons est celui d'ajouter la restriction d'être copremier à un autre nombre.

Commençons par calculer la quantité d'entiers qui sont copremiers à un certain nombre.

L e m m e 2.1 Uniformément pour x > 1 et pour chaque entier r > 1, on a

Ei-^

+

ofc^|.

n<x \ d\r

( n , r ) = l X

P r e u v e En utilisant le lemme 1.29, nous constatons que

£ i EE"W = E"WE

1

n<x d](n,r) d\r n<x d\n

E^HE^-E^f}

m.

_d d\r d\r d\r

= 4iH)-E^e

p\r x<p(r) P, p\r d\r S(r,x), i

disons. Il est alors facile de constater que \S(r, x)| < V^^2(r) pour n'importe quelles

d\r

valeurs de r et de x.

D

R e m a r q u e 2.2 D. Suryanarayana [13] a obtenu un meilleur terme d'erreur pour l'ex-pression précédente, soit O j y ^ p2(d) + T | ( 1 ) — T | { T —— — ) f

Nous allons maintenant nous intéresser aux nombres libres de carrés. Puisque la fonction p?(n) vaut, 1 lorsque n est libre de carrés et 0 sinon, le théorème suivant nous donne la quantité de nombres libres de carrés jusqu'à x.

L e m m e 2.3 Pour x > 1, on a

r<x

P r e u v e Par le théorème 1.13 et la formule (1.1), nous avons

f i ® TT (,_!_} J - A

2 ^ <p 1 1 ^

p

2 J

"

C ( 2

)

" T T2'

d=l

Ainsi,

E"

2

w = EE^)=E"M[|J

r<x r<x dP\r d<y/x~ d<y/x

- -E#-*E#+o|E>

d2 ^ d2 6x

7T-où nous avons utilisé le fait que

+ 0(\/*"),

E

PJd)

d2 d>y/ï

'SX

\&<<Jx dt 1 < 2

n

En ajoutant la condition d'être copremier à un nombre m , voici ce que l'on obtient. L e m m e 2.4 Uniformément pour x > 1 et pour chaque entier m > 1, on a

r < x

( r , m ) = l p|m p| m

P r e u v e Soit P m l'ensemble des nombres qui sont tels que tous leurs facteurs premiers

divisent rn. Alors, pour s > 1, nous avons

f- f(r) _ TTA , i \ _ n,(i+£)

_nfi+=

r = l ( r , m ) = l pfm

^ r u (i + ?)

f

;

£w

II

f

1

_i

+

.>

n = l na p|ro p8 p2^ ^ M2( n ) ( _1 ) n W n = l oc vev„

= E S E M ° " V ( » ) .

_Ar fc=l nv=k

Ainsi, par l'unicité de la représentation des séries de Dirichlet (lemme 1.15), nous avons

E ^w = E (-i)

n(

VN = E c-

1

)

1

*

0

E

^(»)-n < x / i ; ( r , m ) = l veVm ntKx v€T>m v<x

Cette dernière somme pouvant être évaluée par le lemme 2.3, nous obtenons

E«

2

« = E(-i)

!iW

fe+o(\/!

r<x v<x * (r,m)=l v£Dm v<x \ v<x vevm \ vev„ 6x ^ (-!)"<»> Tj-2 2-, v vevm

-%n(i+D~

l

+oUz±

p\rn ' \ veVm / p|m \ p|m v D

Nous pouvons maintenant étudier les nombres puissants. L'intérêt pour les nombres puissants s'est développé en 1934 lorsque P. Erdôs et G. Szekeres [4] ont obtenu une expression pour le nombre d'entiers fc-puissants jusqu'à x. Par la suite, d'autres mathé-maticiens ont amélioré le résultat et ainsi réduit le terme d'erreur. C'est notamment le cas de P.T. Bateman et E. Grosswald |2] en 1958 et A. Ivic et P. Shiu [7] en 1982. Nous énoncerons un peu plus loin certains des résultats qu'ils ont obtenus. Pour l'ins-tant, nous allons nous attarder au cas des nombres qui sont tout simplement puissants

(k = 2).

Une propriété importante d'un nombre puissant est qu'il peut s'écrire de manière unique sous la forme a2b3 avec b libre de carrés. Une façon de se convaincre de ce résultat est

de constater qu'un nombre v plus grand ou égal à 2 s'écrit de manière unique comme 2a + Sb avec a > 0 entier et 6 e {0,1}. Ainsi, pour un nombre puissant n, nous avons

2 / m \ 3

-=n^=n^

+36,

= EL> n ^ =^

p - j = a C

3

i = l i = l \i=l / \i=l avec b libre de carrés.

Cette caractérisation est particulièrement utile pour calculer la distribution des nombres puissants comme vous pourrez le constater.

L e m m e 2.5 Pour x > 1, on a

C(3)

n < x ^V '

n puissant

P r e u v e Par le théorème 1.13 et l'équation (1.1), nous avons

?£& „ji(

1+

JL).ri (Izà.).®®.

L a v * \.L{

1 +

p>n) l l L ï ­ j f e J C(3) •

En utilisant ce résultat, nous obtenons

E » - E"

2

w = E"

2

w E '

n<x aïtë-Çx b3<x a2<x/b3 n puissant

E"

2

w 71 =v^E^+o(x'/3)

63< oo 2 b3 <x

= ^ E ^ ­ ^ E ^ + ° ( *

, / 3

>

6 = 1 f » *1/3

= ^^+o(

X

y%

, , , . v ^ p?{b) f00 dt 2 ^ 3 où nous avons aussi utilisé le fait que > ,„._ < / -rrr = ■;—, ., ,, ,_ <

—ri?-^ b3'2 Jlxi/SI t3'2 [x!'3Ji'2 x1/»

Le résultat peut être amélioré. En effet, P.T. Bateman et E. Grosswald [2] ont montré qu'il existe des constantes 70 et 71 telles que

J 2 l=7oX

1/2

+

7 l

x

1 / 3

+ A

2

(x)

n < x n puissant

C(3/2) où A2(x) <g[ x1/6. Remarquons que le lemme 2.5 permet d'obtenir 70 = . .

C(3)

A. Ivic et P. Shiu [7] ont obtenu le résultat suivant pour les nombres Avpuissants. L e m m e 2.6 Pour chaque entier fixe k > 2, il existe des constantes 7o,k, 71,*­, ­ ­ •, 7fr­iJt telles que

E l = E7^/(^)+A

f e

(x),

n < x t = 0

n fc­puissant

où Afc(x) « x1/!2*-!).

P r e u v e Voir A. Ivic et P. Shiu [7]. D A. Ivic et P. Shiu, dans cet article, obtiennent également un meilleur terme d'er­

reur pour 3 < k, < 7. Nous pourrions être tentés de croire que Afc(x) <C xxl2k pour

toutes les valeurs de k, mais cette affirmation n'est qu'une conjecture à l'heure ac­ tuelle. Un autre point à souligner est que la constante 7o.fc du terme principal vaut,

(

2k-l

i + £ r»

m=k+l

Maintenant, considérons la distribution des nombres fc-puissants lorsque nous ajoutons la restriction d'être copremiers à un certain nombre r.

L e m m e 2.7 Soit k > 2 un entier, alors

E i=7<u.*

i/fc

^ n f

1

+ E p~

m/k

) + ° i

xi/ik+i)

E p

2

^

n<x p\r \ rn=k+l / \ d\r

n fc­puissant (n,r)=l

P r e u v e Nous avions obtenu qu'un nombre puissant, s'écrit d'une unique façon sous la forme a2b3 avec b libre de carrés. Nous avons une représentation semblable dans le cas

des nombres /e­puissants. Celle­ci correspond à a\ak + 1 ■ • ■ a2.*­1 où a^a^ ■■•dk est libre

de carrés. Cela découle du fait qu'un nombre v > k ne peut s'écrire que d'une seule façon sous la forme kb\ + (k + 1)62 H h (2k — 1)6*; où 61 est un entier plus grand ou égal à zéro, 62, 63, . . . , 6fc € {0,1} et b2 + h H H bk G {0,1}.

En faisant appel au lemme 2.1, on trouve

E 1 = E P2(a2---ak) , n<x 44+1-a2k k-l<x nk­pmssant ( ^ ■ (n,r)=l

E /A«

2

•••«*) E

l

a*+X-ak-%<x a^x/a^-a2"-1 (<ii,r)=l (ai,r)=l 'k ^ ( ai tr ) = l x

ilk<£ir±

Si

(

x) + 0

| J2p

2

(d)S

2

(x) j , (2.1)

d\r 20

où. disons.

p2(a2 ■ ■ ■ ak)

S i ( x ) = E (nk+i 2 n2k­u1 / k e t ^ ( s ) = E M2(«2­­­afc).

(oi.r)=l Il est facile de voir que

(«i,r)=l (ai,r)=l

5

2

(x) < J 2 1 < ^

1/(fc+1)

, (2.2)

n<x n (A: + l)­puissant

(n,r)=l où nous avons utilisé le lemme 2.6.

Pour ce qui est de <Si(x), on remarque que

p2(a2 ■ • • ak ) ^ p?(a2 ■ ■ ■ ak)

q ( „ \ S T P iu2 - - - U k ) v - ^

° nX) Z ^ ,„*+!.. .„2fc­l u/fc Z ^ ^ (nk+l ■ ■ ■ n2k~lWk *-* (nk+1 ■ ■ ■ n2k-1)1/k

k+i „2fc-i_. \a2 ak ) ' k+i „2k-:u \a2 ak ) ' °2 '"ak 1 a2 ""afe ■>X

{ ai tr ) = l (oi,r)=l

= 53 + 54(x), (2.3)

disons. Nous constatons sans trop de difficultés que

s

3=n(

i+

^iÂ+^Â+-+^)=^n(

i

+

E'I»"

-

"

i *i/(*+i)

n>x n (fc + l)­puissant

pfr p|r \ m=k+l

Dans le cas de S4(x), nous obtenons en utilisant le lemme d'Abel et le lemme 2.6 que

xi / ( * + i ) nl/fc ­ f l / * ^ " 3.1/* •

En réintroduisant les expressions trouvées pour S3 et S^x) dans (2.3), nous obtenons

/ 2fc­l N "1 , i/(fc+l)x

aw­iwll

1+

E f"

+ 0

( W )•

p|r \ m=k+l / V '

Finalement, en utilisant cette dernière expression avec (2.2) dans (2.1), nous trouvons

E i=To,**

1

^ n f

1

+ E p-

m/k

) + o (JI™ Y: ^w> ] ■

n<x p\r \ m=fc+l / \ d\r f

n fc­puissant (n,r)=l

D

Nous avons maintenant tous les outils nécessaires pour mener à bien notre objectif de calculer les sommes de la forme 2^n<x59a(n)PO Î / ; 6(n)­

2.2 Sommes faisant intervenir une seule des deux

fonctions

2.2.1 Lorsque sq(n) ou pow(n) est au dénominateur

Dans cette sous-section, nous allons nous intéresser aux sommes de la forme V^

r-r—-z—' poitr{n)

et, V ^ —— pour a et 6 des entiers positifs. Bien qu'il puisse être surprenant que l'on

*—' sqa(n)

n<x H v '

commence par ces sommes, nous verrons que celles-ci interviennent, pour le calcul de plusieurs des autres sommes.

Commençons par définir certaines expressions qui apparaîtront souvent. Ainsi, pour e > 1, nous définissons

« = n('-^V'P'-i))'

(2

-

4)

D

> = I l (

l

+ ^ 5

+

p è m -

^ 5 7 Î )

• <

2

-

5

)

Ces expressions sont bien définies dans le cas où e > 1 et nous pouvons même voir que que le produit (2.4) converge pour les valeurs réelles e > 0, tandis que le produit (2.5) converge pour e > 1/2.

L e m m e 2.8 Pour tout entier b > 1. on a

E ÏTT =

ChX +

°(Vx).

*—* vow (n) powb(n)

R e m a r q u e 2.9 Nous pouvons élargir le résultat à 6 > 0 réel.

P r e u v e Comme nous l'avons mentionné au début du chapitre, nous avons l'équation n = sq(n)pow(n). Par conséquent, au lieu de prendre la somme sur les nombres n < x, nous considérons les nombres sq(n)pow(n) < x, ce qui revient à effectuer la somme sur les nombres r , m où r m < x, r est libre de carrés, m est puissant et (r.m) = 1. Nous obtenons ainsi, en utilisant le lemme 2.4, que

2-^ pawb(n) 2-" mb ' ^ m.b £*f n<x mr<x m<x r<x/m m puissant m puissant trm\=i r libre de carrés (m,r)=l 22

y

-m < x m puissant 1 / 6

m

^n(-r^n(^r;

_ Ǥ V L

7

—

7

+ o V £,

T

1

S » « ru. (i+î) l fs «HVI n

P|m

i - ^

m puissant x ' \m puissant v ' .

= ^|51(x) + 0(x1/252(x)), (2.6)

disons. Pour la première somme, nous avons

OO -, oc

Si(x) = E

w = \ ■m puissant m=i m6 + 1 1 °° 1

M

i +

0~

m

£,

m t + ,

M

1 +

0

n(

i +

ï^(^^H)

+ 0

(i;

dt J_

m>x 'W ï ^

- n ( ' v ^ - l i ) ( i

+

i ) )

+ 0

( g ) -

(27)

où nous avons utilisé le fait que >^ ——— <C / Pour S2(x), voici ce que l'on obtient :

S2(x) < Y ^ H Ï T ï l l ( 1 _7 ^ J = 11 l X + p6+l/2(p6+l/2 _ u n _ i )

m puissant p|m v V*'/ p|m \ f Vf 7V Jy)

- n ^ +

P

6

+

x / 2

( p 6 +

i

/ 2

_

1 ) ( 1

_ ^

)

j «

1

-En utilsant le fait que 52(x) est borné et en réintroduisant (2.7) dans l'équation (2.6),

nous obtenons

§^w

=

^n^

i +

^i

( p

w_

1 ) (

i

+

i

)

j

+

°(^)-La dernière étape consiste à remarquer que — peut s'écrire sous la forme T F f 1 ^ J

et que le produit — T f f 1 + .

IW

.,, rr I correspond alors à C

b

.

W2 L I y pb+i^pb+i _ ! ) ( ! + ! ) ]

D

Prenons note qu'en posant 6 = 1 dans le lemme précédent, on obtient

xp0w(n) p \ V2 ^ ( p + l ) ,

Pour la somme faisant, intervenir sq(n), nous avons le résultat suivant. Lemme 2.10 Pour a > 1 entier, nous avons

E ^ = ^

1/2+

°(*

1/3

)-^—' S0a(7?)

n<x v '

R e m a r q u e 2.11 Le résultat reste valide pour tout nombre réel a > 1/2. P r e u v e Par le lemme 2.7, avec k = 2, nous avons

m puissant (m,r)=l

où Er — T f ( 1 + —=-fi ] . Ainsi, nous constatons que

p\r

sp

1 =

V" P

2

(r) _ y^ p

2

(r) y^

l ' 4 S Qa( n ) "* r ° ^ ^ r " * n<x ror<x r<x m<x/r m puissant m puissant (ro,r)=l (m,r)=l

= E^(i?^-((rE^

= « E ^

+

4

, / 3

^ * >

2 W

sv ' r<x V r<x d\r = C-^^-S1(x)-rO(x^S2(x)), (2.9)

disons. Pour S\(x), on obtient

ra+3/2 l l l X + p3/2l zL/ ra+3/2 l l y1 _ hp 3 / 2

«.w = E^i^n(i^)

E ^ I K *

-r = l p|-r -r>x p|-r

n(

1+

^fe))

+

°fe^)

H V1 + p°(p3/2 + 1) ) + ° \xa-V2

De plus, en notant que = 1 f ( 1 + -^—r 1, nous obtenons que le premier terme C(3) x j A \ F /

de (2.9) vaut

n ( 1 + ^ + ^ ) ^ + 0 ^ ) . (2.10)

D'autre part, nous avons -S2(x) < 1 [ I 1 H — j ^ 1 <§C

1-p

En utilisant cette dernière information dans (2.9) et en utilisant (2.10), nous sommes en mesure de conclure que

Y ^

T

^ = D

a

Vx- + 0{x

1

'

3

).

*-" sqa(n) v ;

n<x x '

n

Dans le cas où a = 1, on obtient

n < x

Si nous comparons les sommes V^ —- et 7 ^ 7-—- pour n'importe quelles valeurs

nt*

Sq0

(

n)

nT*

POW(

-

n)

de a et 6, nous obtenons grâce aux lemmes 2.8 et 2.10 que la première somme, étant de l'ordre de 1/x, est considérablement plus petite que la seconde somme, qui, elle, est de l'ordre de x.

À partir de ces résultats, nous pouvons montrer que la partie libre de carrés d'un nombre est souvent plus grande que sa partie puissante. Le corollaire qui suit fournit un résultat plus précis à cet effet.

Corollaire 2.12 Pour tout e > 0, nous avons que la quantité de nombres ne dépassant pas x et satisfaisant pow(n) > sq(n) est O (x3/4 + e).

P r e u v e Soit e > 0 et posons a = e -f-1/4. Nous obtenons

y- Y^ (pow(n)\° _ y> f n y

V - ^ \ s q { n ) J ^ \ s q2( n ) J '

n<x n<x x i\ / / n<x \ 1 \ //

pow(n)>sq(n)

Nous savons par la remarque 2.11 que V^ —. . . ~ D2ax1^2.

J—^ s a * " l n I Nous obtenons donc

sq2a(n) n<x H v ' xa

y -h^ < y -ï-7-? « *

i/2+a

=x

3

"

x * «2' (n) fe S^ ( « )

n

Par le corollaire précédent, nous pouvons voir que la densité des nombres satisfaisant pow(n) > sq(n). donnée par lim — V^ 1, est égale à 0.

rr—von T r J

x—>oo x

n<x paw(n)> sq{n)

2.2.2 Lorsque sq(n) ou pow(n) est au numérateur

Pour cette partie, nous allons pouvoir nous servir des résultats trouvés à la section précédente. Débutons avec la fonction pow(n).

L e m m e 2.13 Pour tout entier 6 > 1, nous avons

Yp^(n) = 2T

L

ï

xb+1/2 +

°

{xb)

n<x

P r e u v e En utilisant le lemme 1.17 (formule d'Abel), nous avons

y

P

ow

b

(n) = y^r-^^y^—.-bry^-t^dt

=

xb

E -rr-s ~

h

f '' E -4r-,

tb

~

ldt

-

b

f E -èrs

tb

-

ldt

$£ sqb(n) J, ^ sq*(n) Jxm f£ sqb(n)

= xbS1( x ) ­ b I1( x ) ­ M2( x ) , (2.12)

disons. Nous pouvons utiliser le lemme 2.10 directement pour obtenir que la somme 5i(x) est égale à Dbx1 / 2 + O (x1 / 3).

/ ■ l V 2

De plus, il est clair que h(x) < j tbdt «C x(6+1)/2.

Pour ce qui est de 72(x), nous obtenons en utilisant le lemme 2.10 que

h(x) = f (D^ + Oit^t'-Ht

JxV*

= D

b

r t

b

~

i

>

2

dt+o( r t

b

-

2

/

3

dt)

Jx1/2 xJx1/2 J

D

h tb+l/2

6+l/2j

x l / 2

+ 0

fb+l/Z 6 + 1 / 3 " ) Dh -x6+1/2 + 0 ( xb + 1 / 3) 6 + 1/2

En réunissant chacun des termes calculés dans F équation (2.12), nous obtenons

n<x

D

Si on regarde ce que l'on obtient pour 6 = 1, nous trouvons .3/2

5>Mn) = Ç n f

1 +

* * )+o(*W). (2.13)

n < x p * ' Lemme 2.14 Pour a > 1, on a C,

£

sg

«(

n

) = J^_x«*+i + 0(x

o+1

/

2

).

n < x

La démonstration est identique à celle du lemme 2.13 où les rôles de sq(n) et pow(n) ont été inversé. Nous ne répéterons donc pas la démonstration. Notons que dans le cas où a = 1, nous obtenons

rc<x p N v ' '

En comparant (2.13) et (2.14), nous remarquons que c'est la somme faisant intervenir la partie libre de carrés qui est dominante. Cela vient confirmer le résultat obtenu à la section précédente à l'effet que la partie libre de carrés d'un nombre est généralement supérieure à sa partie puissante. Soulignons aussi que \ J n est de l'ordre de x2 tout

n<x

comme l'est la somme des parties libres de carrés. Cela laisse sous-entendre que sq(n) est souvent proche de n et cela est effectivement vrai puisque dans le cas des nombres libres de carrés, nous avons sq(n) = n et ceux-ci ont une densité de 6/7T2 par le lemme

2.3.

2.3 Sommes où pow(n) et sq(n) sont présentes

2.3.1 Lorsque les deux fonctions sont au dénominateur

Nous allons traiter ici des sommes de la forme \ ^ ;­— 7—­ avec a et 6 des entiers

n<x powb(n)sqa(n)

positifs. Il y a différents cas à traiter selon les valeurs de a et 6.

Tout d'abord, remarquons que pour a > 2 et 6 > 1, la somme converge. En effet, nous avons

y . 1 " 1 ~ 1 = / l_ 1 \ < Q o

4rf sqa(n)powb(n) ~ ^ f sq2(n)pmv(n) _,n,sq(n) *■*■ \ p2 p(p — 1) J

Nous verrons que ce n'est pas le cas lorsque a = 1 et 6 > 1. L e m m e 2.15 Pour a , b > 2, nous avons

^ sqa(n)powb(n) xl \ p° p6(p6 - 1)7 \x) '

P r e u v e La démonstration est directe, il suffit de remarquer que

sqtl(n)poiab(n) ^ sqa(n)powb(n) ^—' sqa(ri)powb(n)

W _^ iC 77>— 1 Ti- y X

= n(

i

+£+£+£+-)+°(E;?)

E

l Z"00 r/* 1 —2 ^ / „ n ix t2 x' n>x D

L e m m e 2.16 Pour a. > 2 et 6 = 1, nous obtenons

£­~* s nsqa_al r ) ) n n 7 i t t n \ i­A. \ rfi ri n — 1 1 / \ . / (n)pow(n) ■*■-*■ \ p° p(p — 1) J \\/xJ

P r e u v e Nous pouvons écrire

v — = y y

-^ sqa(n)pow(n) ^f s<7°(n)pow.'(n) -<—-* sqa(n)pow(n)

TL ^*» Ji- t A — J. Ti y JC

= TT ( 1 + — + ;

1

rr) - Si(x),

i i V P° P ( P - I ) /

ù 5i(x) = O I —p J comme nous le verrons grâce aux étapes qui suivent. Nous avons

WxJ

S

/

x

\

=

y-

1 =

y P

2

^) < y - /-*

2

(

r

)

^ sqa(n)pow(n) ^ t^m ~ *-* r^m n>x mr>i mr>x m puissant m puissant (m,r)=l <

E ^ E k-t^rM E *)

r = l r m>x/r ™ r = l r «'*/*• ' l n<t / m puissant V» puissant / m puissant V» puissant

^ r

2

v^

r = oc (lemme 2.6) x / r 1 ^ 1 1 v/x ^-f r3/2 v/x Y r = l

n

Il reste donc à considérer le cas a = 1 et 6 > 1. Lemme 2.17 Pour a — 1 et 6 > 1, nous avons

S(7a(n)pau'6(n) P r e u v e Nous avons

y ! = y- l

*-^ sqa(n)powb(n) *-^ n powb~1(n) = ~ y r T T - , + f X \ y ÂZÏ7-T<ft (lemme 1.17) x^xpowb-l(n) J] t2 *-£ pawb-1(n) = l5'1(x) + /1(x), (2.15) x

disons. Le premier terme est facile à calculer puisque le lemme 2.8 nous donne instan-tanément Si(x) = C6_ix + + 0 (x1 / 2).

Pour l'autre terme, nous allons séparer l'intégrale en deux parties.

> —rTr^

dt

+

/•logx i j r x i i

/•logx ■£

disons. D'une part, il est facile de voir que I2(x) < / ­ d t < log logx.

J\ t

D'autre part, pour ^ ( x ) , nous avons

h(x) = / ~y rrr^

dt

V ;

J^xJ

n<t 2

t^

t

v^

b

-

l

{n)

rx

= r ucb-it

+

o(t^))dt

./logx L

= C6_ a log x + O (log log x ) .

En rassemblant les termes que nous avons calculés dans l'équation (2.15), nous obtenons

E ~^T~\ bT\

= Cl

>'

1 lo

S

x

+ ° (

Io

s i°&

x

) ■

^ sqa(n)powb(n)

D

2.3.2 Lorsque les deux fonctions sont au numérateur

Le comportement de la somme ^2n<x sqa(n)powb(n) dépend de la plus grande valeur

entre a et 6. Commençons par le cas où a > b.

L e m m e 2.18 Pour a et 6 des entiers positifs satisfaisant a > b, nous avons

y sqa(n)powb(n) = -^±x a+1 + O (xa+l^2) .

*—? a +1 v '

n<x

P r e u v e Nous pouvons ramener la somme sous une forme pour laquelle nous avons déjà effectué les calculs. Nous utilisons le fait que \ _ \ sqa(n)powb(n) = Y ^ a_ . , ..

n<x n<x P * '

et nous savons par le lemme 2.8 que V ^ 7—— = C0_{,x + 0(x1^2). Par conséquent. *-** powa~b{n)

n < x v '

il résulte du lemme 1.17 que

Y « f (n)powb(n) = x" (Ca_bx + O (x1/2) ) ­ a f «­' £ — 1 _

n<x Jî n<t V V )

= Ca_fcxa+1 + O (xa+1/2) - ah(x),

disons. Pour calculer /i(x), nous séparons l'intégrale en deux.

h(x) = f e­

1

y — ^

n i

d t + f c

a

­

b

t

a

+o (t*­

1

'

2

) dt = ^ ­ c

a

_

f e

+ o (x

a+1

/

2

)

J l f­fpOU'°­_n<t 6(7?) Jx i / 2 ' 0 + 1

Ainsi, on trouve Y sqa(n)powb(n) = ­ — Ca­b + O (xa + 1'2) *—' a + 1 xa+l n<x

a

Dans le cas restant, c'est­à­dire lorsque 6 > a, la démonstration suit, exactement le même procédé et nous la laisserons de côté.

L e m m e 2.19 Pour a et 6 des entiers positifs satisfaisant 6 > a, nous avons

+

E sq«(n)powb(n) = ^ x ^ 2 + O ( x ^3)

n<x

2.3.3 Lorsqu'une des fonctions est au numérateur et l'autre au

dénominateur

_ . . . v—» sqa(n) x~^ powb(n)

Dans cette section, les sommes qui vont nous intéresser sont > r­r­r et > T—­

*—é pow°(n) *r* sqOyn)

t\ "^» X 71 ^ X

où a et 6 sont des entiers positifs.

L e m m e 2.20 Soient a et 6 des entiers positifs, alors sqa(n) _ Cg+b _a+1

n<x

E

S <f \ n ) _ Cg+b xa + l + Q txa+l/2\

powb(n) a + 1 v '

P r e u v e Nous passerons vite sur la preuve puisque nous nous servons de techniques semblables à ce qui à été fait précédemment. Nous utilisons les lemmes 1.17 et 2.8 pour obtenir

Y^ sqa(n) Y^ n<1

£-? powb(n) ^ powb+a(n)

n < x n<x = xa (Ca+bx + 0(x1/2)) - a [X f'1 (Ca+bt + 0(t1/2)) dt JxU2 .

+ 0[ t

a

dt

Q + tx a + 1+ 0 ( xa + l/2) . a + 1

□

Pour l'autre somme, encore une fois, nous omettrons la démonstration puisqu'elle est essentiellement identique à la preuve précédente.

Lemme 2.21 Soient a et 6 des entiers positifs, alors

y^poy^

=

D^

M

, 2

+ 0(xM/3)

^ " ait M 2 6 + 1 v '

n<x v '

2.4 Récapitulatif

Voici un théorème pour regrouper les valeurs trouvées pour > sqa(n)powb(n) en

fonc-n<x

tion des différentes valeurs de a et, 6. Rappelons que Ce = T F ( 1 r + 2,———-r )

et que D

e

= J] f 1 + - L +

p3/2 pe+1/2 „e+3/2

T h é o r è m e 2.22 Soit a et 6 des entiers. Alors ^ ^ sqa(n)powb(n) vaut

n < x x + 0 ( l ) a = 6 = 0 (2.16) Ca ^ ± i xo + 1+ 0 ( xa +î ) a > 6 > 0 (2.17) ^±.xfr+i/2 + o ^ s ) 6 > a > 0 (2.18)

+

D, xa + 1 + O ( xa +* \ a > 0, 6 < 0 (2.19) >—a T 26 26 a + 1" D^-a_xb+i/2 + 0 f^b+l^ a < 0, 6 > 0 (2.20) l oS * U ( 1 - p \ + p i - 4 - 61, ! ) ) + O (loglogx) a = - 1 , 6 < 0 (2.21)

Tout au long du chapitre, nous avons observé de quelle manière les différentes valeurs de a et 6 influencent le comportement asymptotique de la somme Y^n<x sqa(n)powb(n).

Soulignons que les résultats obtenus permettent entre autres d'établir que la fonction sq(n) est généralement plus grande que pow(n), comme en témoignent les équations (2.17) et (2.18). Nous allons être intéressés à continuer cette comparaison lorsque nous considérons les nombres sans grand facteur premier, notion introduite dans le prochain chapitre.

Chapitre 3

Entiers sans grand facteur premier

Jusqu'à maintenant, nous avons étudié et analysé le comportement asymptotique de différentes sommes parcourant tous les nombres naturels. Le présent chapitre servira d'introduction à un ensemble bien précis de nombres, les entiers sans grand facteur premier, aussi appelés y-friables.

D'abord, considérons la fonction arithmétique P(n) qui correspond au plus grand di-viseur premier de n avec, par convention, P ( l ) = 1. Ainsi, nous pouvons étudier les entiers qui satisfont la condition P(n) < y, nombres que nous appelerons y-friables. Un aspect intéressant des nombres y-friables concerne leur distribution.

Posons S(x, y) — {n €E N : n < x, P(n) < y} l'ensemble des nombres ne dépassant pas x qui sont, y-friables et laissons la fonction ^(x, y) correspondre au nombre d'éléments de S(x,y). Autrement dit, $(x,y) := > J 1 = E

1-nES(x,y) n<x P(n)<y

Nous pouvons commencer par étudier la fonction ^ ( x , y) en soulignant certaines égalités qu'elle respecte.

Lemme 3.1 La fonction \P(x,y) satisfait l'équation fonctionnelle

#(x,y) = l + ]T>(x/p,p).

p<>/

P r e u v e Nous pouvons établir assez facilement la validité de cette équation. En effet, compter la cardinalité de S(x, y) revient à additionner, pour chaque premier p inférieur où égal à y, le nombre d'entiers n ne dépassant pas x et satisfaisant P(n) = p, et à

ajouter 1 pour le cas n — 1. Ainsi,

* ( « , y ) - i + E E 1 = 1 + E E i-i+E*(*/^)

P<ÎI »<* p<y m<x/p p<y

P(n)=p P(m)<p

a

À partir du résultat précédent, nous pouvons sans difficulté obtenir le corollaire suivant. Corollaire 3.2 (IDENTITÉ DE BUCHSTAB) Pour y < z, on a

9(x,y) = *(*,«) - Y ^(;r

/P'P)-y < p < z

Un autre résultat intéressant à souligner est le suivant.

Lemme 3.3 Pour toutes les valeurs de x et de y, la fonction ^(x, y) satisfait l'équation fonctionnelle

V(x,y)logx = j ^j^-dt+y^(^,yj\ogp

pk<x

p<y

Preuve II suffit d'évaluer la somme y ] log n de deux manières différentes.

n<x P(n)<y

D'une part, en utilisant la formule de sommation d'Abel (lemme 1.17), il est facile de voir que

Y i°s n = *(s» y) log x - /

n<x Jl l

P(n)<y

D'autre part, en écrivant logn = ^Jlogp, nous obtenons

-dt.

£-1

pK\n

y \ogn= y ^iogp=^iogp y I ^ E M ^ ) 1 ^ n<x n<x pk\n pk<x m<x/ph pk<x

P(n)<y P(n)<y p<y P{m)<y P<y

Le résultat suit en égalant les deux expressions.

D

i i , . logx

Comme vous pourrez le constater, 1 expression revient souvent dans les résultats log y

loK X concernant la fonction \?(x. y). Il est par conséquent commode de poser u := ; et

log y d'écrire u à chaque fois que ce ternie apparaît.

3.1 La méthode de Rankin

En 1938, Rankin a utilisé une idée astucieuse pour obtenir une borne supérieure de ^(x,y). Son idée consiste à remarquer que pour o > 0, on a \ J 1 < \~] f —j et

n<x n>l P(n)<y P(n)<y

ensuite majorer cette nouvelle sommation pour une valeur de a bien choisie. Voici un exemple de comment cette méthode peut être appliquée.

Lemme 3.4 Uniformément pour x > y > 2, on a ^(x, y) «C x e-" log y,

logx

où u = . log y

P r e u v e Nous commençons par remarquer que pour a > 0, nous avons

*<*,*)< E ©

w

n(i+£+£+••Hn(i-£)~

1

(3i)

n > l p<y \ P P / p<y V ^ /

P ( n ) < j ,

En choisissant a = 1 — y^-, nous obtenons d'une part que

x"7 = xe_ u. (3.2) D'autre part,

n(>-£) j=-E^0-^)=E^ow

p<!/ x y ' J P<y v y ' P<y F P<y ^ P<Î/ ' = 51(y) + 52(y) + 0 ( l ) , (3.3)

disons. Le premier terme nous donne Si (y) = log log y + 0(1) par le lemme 1.26. Pour ^ ( y ) , nous obtenons

c / N V ^ f ? ° *p / i o*v- 1 1 v - l o g p ,

52(x) = > < - > - 2 £ < l ,

^ P log y 4 ^ P où nous avons utilisé le lemme 1.28.

Par conséquent, en prenant l'exponentielle de chaque côté de l'égalité (3.3) nous obte-nons

J | ( l - - ) =e

loglo

^

+

°(

1)

«Clogy. (3.4)

P<y ^ ^ '

Finalement, le résultat suit en utilisant (3.4) et (3.2) dans (3.1).

D

Toujours en utilisant la méthode de Rankin, il est possible d'améliorer ce résultat et d'obtenir ^(x, y) <S xe~u^2. La démonstration est disponible dans le livre de G.

Tenenbaum [14] et dans le livre de J.M. De Koninck et F. Luca [10].

3.2 Comportement asymptotique

Nous allons introduire la fonction de Dickman p(v) qui, comme vous pourrez le consta-ter, apparaît, naturellement lors de l'étude de la fonction ^(x, y). Cette dernière cor-respond à l'unique fonction continue sur v > 0 qui a comme valeur initiale p(v) — 1 pour 0 < v < 1 et qui satisfait l'équation différentielle vp'(v) = —p(v — 1) pour v > 1. Nous pouvons calculer ce que p(v) vaut, pour 1 < v < 2. Forcément, p(v — 1) = 1 et par conséquent p(v) = — J ^dv = — logv + C pour une certaine constante C. Mais comme p(l) = 1 et p(v) est continue, la constante doit, être égale à 1. Nous avons donc obtenu p(v) = 1 — log v pour 1 < v < 2. Nous pourrions continuer ainsi, mais la tâche devient

7T2 r lo<rt

vite fastidieuse. Par exemple, p(v) = 1 + — — (1 — log(t> — 1)) log v + j - dt pour

12 J i 1 — t

2 < v < 3.

La fonction p(v) porte le nom de Dickman, le premier à l'avoir utilisée et à avoir prouvé le théorème 3.5 qui suit dans le cas où u est constant. Le théorème en ques-tion, soulignons-le, fait bien évidemment intervenir cette fonction et est valide pour les grandes valeurs de y. T h é o r è m e 3.5 Pour e > 0 et y > x£, on a ^(x, y) ~ xp(u) (x -+ oo), logx ou u — . log y

P r e u v e Dans le cas où y > x, le résultat est facilement vérifié puisque ^(x,y) = [xj et p(u) = 1.

Pour x1/2 < y < x, on a 1 < u < 2. Par conséquent, en utilisant l'identité de Buchstab

(corollaire 3.2), nous obtenons

#(x,y) = V ( x , x ) - y V(x/p,p) = [xj - E L^/PJ

y<p<x y<p<x

= *-* E j + o f E

1

)

y<p<xF \y<p<x /

= x ( 1 - log logx + loglogy + O l J J + O (TT(X))

= x(l-logu)+0( -?—

\ l o g x

~ xp(u),

où nous avons utilisé le lemme 1.26 et le théorème 1.20.

Ensuite, nous procédons par induction sur \u\. Supposons que le résultat est mon-tré pour u G (0, N] et montrons-le pour u G (Àr, N + 1]. Par l'identité de Buchstab

(corollaire 3.2),

$(x,y) = W(x,x1/") = ^(x,x1/jV)- y *(x/p,p).

x1/"<p<x1/J V

1OE(X/3D) lo£X

Or. nous avons — = 1 < u — 1 < N pour les premiers sur lesquels nous logp^ logp

effectuons la somme. Nous pouvons donc appliquer l'hypothèse d'induction et obtenir

X l / U< p<xl / - V F \ & P /

~ xp(N)-x

P

l*' Ut

Jxl/u tiOgt

H ~ [

où nous avons utilisé le lemme 1.30.

Pour terminer la preuve, nous pouvons facilement nous convaincre que cette dernière expression est effectivement égale à xp(u) puisque = —p'(v)

U

Maintenant que nous connaissons le comportement de ^(x, y) pour de grandes valeurs de y, intéressons-nous à ce qui se passe lorsqu'au contraire y est petit. Le résultat nous donnant cette information est attribuable à Ennola et il suit comme corollaire du théorème suivant.

T h é o r è m e 3.6 Soient {ai}iSi une suite infini de nombres positifs, k > 1 et z > 0,

k

alors la fonction Nk(z) := #{(vi,v2,... ,vk) 6 Zk : Ui > 0,...,vk > Q , y ViOi < z}

satisfait les inégalités

i = l

»=i * i=i *

Avant de démontrer ce résultat, nous allons voir de quelle manière nous pouvons l'ap-pliquer pour obtenir de l'information sur \&(x, y).

Corollaire 3.7 (ENNOLA) Pour 2 < y < ï/logx, Qn a

r

vlogx log y,

R e m a r q u e 3.8 Notons que le résulat d'Ennola implique que pour y constant, ^(x, y) est de l'ordre de (logx)*"^.

P r e u v e du corollaire Dans le théorème précédent, on prend k — n(y), z — logx et ai = logpj où Pi est le ie nombre premier. On voit alors que Nk(z) = ^(x, y) et que

1 T-rlogX _, , ^ (logX + E p i l o g P Y ^ J - T 1

71 ^ ! P<» l0g P *(yy P<ybgP

Le corollaire suit en remarquant que

logx + J ^ l o g p j = (logs)*10 ( l + O ( y ^ ) ) = (logxf(tf) ( l + O

2

ylogxlogy/ D

P r e u v e d u t h é o r è m e 3.6 On procède par induction sur k. Pour k = 1, nous devons

2! Z 2

vérifier que — < 1 + — < 1 H , ce qui est effectivement le cas. ai [_ai J ai

Maintenant, supposons que les deux inégalités soient respectées pour k — 1 et pour tous les z et montrons-le pour k. On remarque que

Nk(z) = #{{vl,...,vk)eZk:vl>Q,...,vk>0,yviai<z}

i=l

J f c - 1

= #{(«!,..., v

k

) G Z

k

:

Vl

> 0,..., v

k

> 0, y ViOi <z- v

k

a

k

}

i = l fc-1

= E

#

^

t!

i' • • • '

r

*-i)

6 z

*

_1 : vi

^ °' - • • '

Vk

- °' E ^ -

2 _ va

*}

0<t-<2/ajt *=1

E

A

*-I(

:

-

M

*)'

0<r<z/af c

Par l'hypothèse d'induction, nous trouvons

ÂfZîïïSï E (*-*)" < *M < (fc+iiîïî^ E (« - w + & "

V »=1 0<v<z/o* *=1 % 0<v<z/ak \ i=l i Nous allons utiliser la formule d'Euler-MacLaurin (lemme 1.19) pour borner les deux sommes. Pour la première, nous avons

y {z-va

k

)

k

~

l

= z

k

~

1

+ y (z-va,?-

1 0<v<z/ak 0<v<z/ak fzlak

= 2*"

1

+ / {z - ta

k

f-

l

dt

Jo

0

+ / (t-[t\)(k-l)(-a

k

)(z-ta

k

)

k

-'

Jo

dt

z

k-i _ l(z - ta

k

)

k

\t

k

_

ak(k

_

1}

r

hk{z

_

tak)k

-2

dt

Jo

ka

k 7k k-l , i_\t~ *~ \k-l-\z ak z + h [{z - tak) 0

ka

k

z

k kak

Pour l'autre somme, c'est semblable. Nous obtenons

/

fe

-! \"~* /

fc

-i \

K_i

r*/** (

k

~

i

y~

i

y [z - va

k

+ y a

{

] = z + y a* + / \z-ta

k

+ yai\ dt

/ / k—1 \ ^— 2

-a

k

{k-l) f \t-[t\) Iz-tak + y*] dt

0<v<z/ak /ca* 39

< (j + E-

=1 a

* + a*)*

Ainsi,

T = l 1 = 1

D

Nous allons maintenant énoncer le résultat général concernant la fonction \l/(x, y) qui est valide pour toutes les valeurs de y.

T h é o r è m e 3.9 (HILDEBRAND-TENENBAUM) Uniformément pour 2 < y < x, nous

avons

* x,y = . s v ' / " { 1 + O - + - ^ S ,

ou

/ 1 \ _ 1 dk

C(*

;

y) = n (

1 _

~ ) ' ^ y ) =

l

°ëC{s,y), 0

fc

(s,y) = ^r;^(*,y)(A;>i),

P<!/

et a = Q(X, y) est l'unique solution positive de l'équation

E

logp , = log X. PQ - 1 fo v<yl

La démonstration de ce résultat est disponible dans l'article de A. Hildebrand et, G. Tenenbaum [5]. Il y a certaines remarques concernant ce résultat que nous pouvons faire. Tout d'abord, notons que le théorème 3.9 donne une formule asymptotique lorsque u et y tendent vers l'infini. D'autre part, il est possible d'obtenir une formulation plus pratique pour certains des termes. Ainsi, nous pouvons trouver

log 1 + y logx

Q(X, y) =

-log y

HO

2

^)}'

- ^ } logxlogyil + of,__,_*, - +

y J \ \iog(u + i) log y))

De plus, rappelons que la méthode de Rankin consistait à majorer ^(x, y) par x"Ç(a, y) avec o > 0. Le paramètre o(x, y) correspond au meilleur choix possible pour o et, ainsi, le théorème 3.9 permet de comparer l'approximation obtenue en appliquant la méthode de Rankin avec l'ordre de grandeur de \P(x, y).

Cela complétera notre étude de la distribution des nombres y-friables. Nous allons maintenant nous intéresser aux sommes qui parcourent ces nombres.

3.3 Sommes parcourant les entiers y-friables

Nous pouvons essayer de généraliser l'étude que nous venons de faire aux fonctions ^/(x, y) = y . f (n) pour différentes fonction f(n). C'est un problème

particulière-n<x P(n)<y

ment difficile, mais des résultats généraux ont été obtenus lorsque f(n) satisfait certaines conditions. C'est notamment le cas dans les articles de N.G. de Bruijn and J.H. Van Lint [3] en 1964, A. h i c et G. Tenenbaum [8] en 1986 et G. Tenenbaum et J. Wu [15] en 2003. G. Tenenbaum et J. Wu ont subséquemment écrit d'autres articles à ce sujet (l'un d'entrés eux ayant aussi G. Hanrot comme auteur), mais ceux-ci dépassent le cadre de ce mémoire.

L'article de A. Ivic et G. Tenenbaum [8] suppose que la fonction satisfait f(n) = f(pow(n)) pour chaque n. Une fonction que l'on connaît bien qui satisfait cette propriété est la fonction p2(n). Pour cette fonction, ils obtiennent des résultats qui couvrent

toutes les valeurs de x et de y, mais nous noterons plus particulièrement le résultat

P 1

V^ u2(n) ~ —^(x, y), qui est valide uniquement lorsque -— tend vers l'infini.

*-^ n log logx

P(n)<y

Ce résultat est intéressant à souligner puisqu'il est analogue au résultat déjà obtenu au

sr„2

6

lemme 2.3 disant que > p (n) -x. Une autre manière de voir ce résultat est que la

n<x

densité des nombres libres de carrés dans les nombres naturels est 6/TT2 et cette densité

est la même dans les nombres y-friables (à condition que (log y)/ log logx —» oo). Le résultat qui va particulièrement nous intéresser ici est celui de G. Tenenbaum et J. Wu [15]. Nous allons cependant énoncer une version affaiblie de leur résultat pour ne pas entrer dans des détails dont nous n'aurons pas besoin. Au préalable, nous devons introduire des notations pour mieux pouvoir énoncer le résultat.

Définition 3.10 Soit f(n) une fonction arithmétique. Nous dirons que / G M si les deux conditions suivantes sont respectées.

• Il existe k > 0 tel que pour tout z > 1 on a

yf(p)logp-kz

p<z

< ^ - - (3-5)

log 2 Il existe r\ e]0, l/2[ et une constante A tel que

V- T- HP')

p v>2 y