et dossier (cours, méthodes

Programme du devoir :

Niveau première : statistiques, dérivation et second degré (voir : résumé de cours, fiches méthodes et exercices corrigés de ce dossier, ainsi que la fiche de révision à préparer pour la rentrée et qui sera corrigée en cours).

Niveau terminale : probabilités (AP) et primitives/intégration (Horti).

Polynôme du second degré.

Un polynôme du second degré (ou trinôme) est une expression du type : c

bx ax²+ + où a, b et c sont les coefficients (nombres réels avec a non nul).

Sa représentation graphique est une parabole dont le sommet a pour abscisse

a b x 2 − =

Racines d’un trinôme et solution d’une équation.

Remarque : les solutions de l'équationax²+bx+c=0sont aussi appelées les racines du polynômeax²+bx+c.

Dossier de révisions : bac blanc janvier 2016

Signe d’un trinôme et représentation graphique.

Si ∆ > 0, ax²+bx+c est du signe de a, sauf entre les racines.

Si ∆ = 0, ax²+bx+c est du signe de a, sauf enx₀où il est nul.

Si ∆ < 0, ax²+bx+c est du signe de a.

BILAN.

Fiche méthode : Etudier un trinôme du second degré

Repérer les valeurs de a, b et c (a est le nombre devant x², b celui devant x et c celui sans x. Ce sont des nombres, les x ne doivent pas être pris en compte. Si aucun nombre n’est écrit devant x ou x² alors le coefficient est 1, si il n’y a pas de x ou de constante alors le coefficient est 0).

Calculer le discriminant∆=b²−4acen remplaçant chaque lettre par sa valeur numérique.

En fonction du signe de ∆ calculer la ou les éventuelle(s) racine(s).

Si besoin (dérivation, inéquation) déterminer le signe dans un tableau de signe: Le trinôme est du signe de a (coefficient de x²), sauf entre les racines si il y en a 2. Remarque : un trinôme ne change pas forcément de signe en 0.

Exemples : Exemple 1 : x²−3x+2. On identifie a, b et c :

a

=

1

;

b

=

−

3

;

c

=

2

On calcule

∆

:

( )

1 8 9 2 1 4 3 2 = − = × × − − = ∆

Comme

∆

>

0

, le trinôme a 2 racine(s). On calcule ces racines :

( )

2 2 1 3 1 2 1 3 2 1 1 1 1 = + = × + − − = ∆ + − = x x x a b x

( )

1 2 1 3 1 2 1 3 2 2 2 2 2 = − = × − − − = ∆ − − = x x x a b x

On peut en déduire que les solutions dex²−3x+2=0sont : 2 et 1. Tableau de signes : Exemple 2 :−x²+x−1. On identifie a, b et c :

a

=

−

1

;

b

=

1

;

c

=

−

1

On calcule

∆

: 3 4 1 ) 1 ( ) 1 ( 4 ² 1 − = ∆ − = ∆ − × − × − = ∆

Comme

∆

<

0

, le trinôme a 0 racine(s).

On peut en déduire que l’équationx²+x+1=0 n’a pas de solution. Tableau de signes :

Exemple 3 : 0.5x²−2x+2. On identifie a, b et c :

a

=

0

,

5

;

b

=

−

2

;

c

=

2

On calcule

∆

:

( )

0 4 4 2 5 , 0 4 2 2 = ∆ − = ∆ × × − − = ∆

Comme

∆

=

0

, le trinôme a 1 racine(s). On calcule cette racine :

( )

2 1 2 5 , 0 2 2 2 0 0 0 0 = = × − − = − = x x x a b x

On peut en déduire que l’équation0.5x²−2x+2=0a pour solution : 2. Tableau de signes :

Exercices corrigés – Révisions – Thème : Second degré

Exercice 1 :

D(x) = -3

1_{x² - 4 x - 12}

1. Calculez le discriminant de D(x)

2. Déterminez les racines éventuelles de D(x).

3. Donnez le tableau de signes de D puis l’ensemble S des solutions de D(x) ≥ 0 .

Exercice 2 :

Déterminer les solutions réelles des équations suivantes :

1) -x² + 6x -10 = 0 2) x² + 4x - 21 = 0

3) 3x² = 2x + 1 4) 5x² + 5x = -2

a =

b = c =

Exercice 3 :

Résoudre l’inéquation ci-dessous algébriquement. Puis vérifier graphiquement à l’aide de votre calculatrice graphique. 9 7 ² 3 7 2 ²− x+ ≥ x − x+ x

Exercice 4 : Etudier le signe du trinômex²−6x+5sur IR. Exercice 5 : Etudier le signe du polynôme −2x²+3x−1. Exercice 6 :Résoudre l’équation−3x²+5x+2=0

Exercice 7 : Étude du signe du polynômeP(x)=x²−6x+5

CORRECTION Exercice 1 : 1. 4 12 3 1 − = − = − = b c a ( 12) 16 16 0 3 1 4 )² 4 ( × − = − =     − × − − = ∆

2. ∆=0donc le trinôme a une racine : 6 3 1 2 ) 4 ( 0 =−      − × − − = x 3. Tableau de signes : x −∞ -6 +∞ D(x) 0 3 1_< − = a - 0 - Exercice 2 :

1) a=−1 b=6 c=−10 ∆=6²−4×(−1)×(−10)=36−40=−4 ∆<0donc il n’y a pas de solution.

2)a=1 b=4 c=−21 ∆=4²−4×1×(−21)=16+84=100 ∆>0donc il y a deux solutions :

3 2 6 2 10 4 1 2 100 4 7 2 14 2 10 4 1 2 100 4 2 1 = = + − = × + − = − = − = − − = × − − = x x 3) 3x² = 2x + 1 3x² - 2x – 1 = 0

1 2

3 =− =−

= b c

a ∆=(−2)²−4×3×(−1)=4+12=16 ∆>0donc il y a deux solutions :

1 6 6 6 4 2 3 2 16 ) 2 ( 3 1 6 2 6 4 2 3 2 16 ) 2 ( 2 1 = = + = × + − − = − = − = − = × − − − = x x 4) 5x² + 5x = -2 5x² + 5x +2=0 a=5 b=5 c=2 ∆=5²−4×5×2=25−40=−15 0 <

∆ donc il n’y a pas de solution. Exercice 3 : 9 7 ² 3 7 2 ²− x+ ≥ x − x+ x x²−2x+7−3x²+7x−9≥0 −2x²+5x−2≥0 9 16 25 ) 2 ( ) 2 ( 4 ² 5 2 5 2 = − = − × − × − = ∆ − = = − = b c a

∆>0donc il y a deux solutions :

2 1 4 2 4 3 5 ) 2 ( 2 9 5 2 4 8 4 3 5 ) 2 ( 2 9 5 ₂ 1 = − − = − + − = − × + − = = − − = − − − = − × − − = x x x −∞ 0.5 2 +∞ Signe de 2 5 ² 2 + − − x x 0 2< − = a - 0 + 0 - Exercice 4 : 16 20 36 5 1 4 )² 6 (− − × × = − = =

∆ ∆>0donc il y a deux racines :

5 2 4 6 1 2 6 1 ) 6 ( 1 = + = × + − − = x et 1 2 4 6 1 2 6 1 ) 6 ( 2 = − = × − − − = x

x −∞ 1 5 +∞ 5 6 ²− x+ x 0 1> = a + 0 - 0 + Exercice 5 : 1 8 9 ) 1 ( ) 2 ( 4 )² 3 ( − × − × − = − = =

∆ ∆>0donc il y a deux racines :

2 1 4 1 3 ) 2 ( 2 1 3 1 = − + − = − × + − = x et 1 4 1 3 ) 2 ( 2 1 3 2 = − − − = − × − − = x

On en déduit le tableau de signes :

x −∞ 2 1 1 +∞ 1 3 ² 2 + − − x x 0 2< − = a - 0 + 0 - Exercice 6 : 49 24 25 2 ) 3 ( 4 )² 5 ( − × − × = + = =

∆ ∆>0donc il y a deux racines :

3 1 6 7 5 ) 3 ( 2 49 5 1 =− − + − = − × + − = x et 2 6 7 5 ) 3 ( 2 49 5 2 = − − − = − × − − = x       − = ;2 3 1 S Exercice 7 : 16 20 36 5 1 4 )² 6 (− − × × = − = =

∆ ∆>0donc il y a deux racines :

5 2 4 6 1 2 16 ) 6 ( 1 = + = × + − − = x et 1 2 4 6 1 2 16 ) 6 ( 2 = − = × − − − = x

On en déduit le tableau de signes :

x −∞ 1 5 +∞ P(x) 0 1> = a + 0 - 0 +

Soit f une fonction définie sur un intervalle

[ ]

a;b , et C sa courbe représentative. Nombre dérivé.

On appelle nombre dérivé de f enx le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de ₀ f en son point d’abscissex . On note ce nombre0 f'(x0).

Les fonctions dérivées.

On appelle fonction dérivée de f, et on note f’, la fonction qui à toutx de ₀

[ ]

a;b associe le nombre f'(x₀) Dérivées des fonctions usuelles :

Fonction f(x) Dérivée f’(x)

k (constante réelle)

Nombre seul : sans x 0

x ₁ x² _2x 3 x _3x² n x n−1 nx , n∈IN x 1 , x non nul ² 1 x − Règles de dérivation:

Soient u et v deux fonctions définies sur

[ ]

a;b .k∈IR

Opération Dérivée

Somme : u + v

u' + v' Produit par un réel : k u

k u'

Quotient : v u

(v ne s'annulant pas sur

[ ]

a;b )

² ' ' v uv v u −

Signe de la dérivée f’

Comportement

de la fonction f Tableaux conjoints Allure de Cf

0 ) ( ' x > f f est croissante 0 ) ( ' x < f f est décroissante

Fiche méthode : Etude du sens de variations d’une fonction.

Méthode :

Déterminer la dérivée f’ (voir tableau des dérivées).

Etudier le signe de f’ (bien respecter l’intervalle donné dans l’énoncé pour les valeurs de x dans le tableau).

Si f’ est une constante alors son signe est évident (soit elle est positive, soit négative). Si f’ est une fonction affine (ax+b) :

Deux méthodes possibles :

o Résoudre ax+b=0. Placer cette valeur dans le tableau. f’ est du signe de a après cette valeur (si vous ne vous souvenez pas de cette règle, calculer avec des valeurs simples et regardez le signe du résultat, le signe restant constant dans chaque case, un calcul par intervalle suffit).

o Ou Résoudre ax+b≥0. Placer cette valeur dans le tableau. f’ est positive quand x répond au critère.

Si f’ est du second degré : voir méthode d’étude du signe d’un trinôme.

Si f’ est un quotient (en bac pro les intervalles sont donnés pour que le quotient ne pose pas de problème de définition) :

o Le dénominateur est un carré donc il sera toujours positif.

o Il faut étudier le signe du numérateur, c’est lui qui donnera le signe au quotient. Se ramener aux études de signes vues au-dessus en fonction du type de numérateur.

En déduire les variations de f : quand f’ est positive f est croissante, quand f’ est négative f est

décroissante. Ne pas oublier de remplir les valeurs (toute sauf celles en ±∞) à l’aide du mode table de la calculatrice graphique.

Exemple (dérivée de type affine) :

Soit f la fonction définie sur

[ ]

−1;3 par f(x)=−2x²+5x. Donner le tableau de variations de f. => f'(x)=−4x+5 −4x+5≥0(de signe +) −4x≥−5 4 5 4 5 = − − ≤

x (x plus petit que 4 5 ) La fonction f' s'annule en 4 5

. Elle est positive « avant » 4 5 . x -1 4 5 3 f'(x) + 0 - f(x) 3,125 -7 -3

Exemple (dérivée de type quotient avec numérateur de type constante) :

Soit f la fonction étudiée sur

[ ]

2;9 par

1 2 ) ( − = x x

f . Donner le tableau de variations de f.

1 2 − = = x v u 1 ' 0 ' = = v u

(

)

)² 1 ( 2 )² 1 ( 1 2 1 0 ) ( ' − − = − × − − × = x x x x f en utilisant la règle : ² ' ' 2 v uv v u v u ₌ −      

(

)

2 1 −

x est positif car c’est un carré, donc le quotient est du signe du numérateur : -2, qui est négatif. Donc on obtient le tableau suivant :

f '(x) - d f(x) 2 0,25 Car 2 1 2 1 2 2 ) 2 ( = = − = f et 0.25 4 1 8 2 1 9 2 ) 9 ( = = = − =

f (peuvent aussi être obtenues à l’aide du mode table de la calculatrice graphique).

Fiche méthode : Déterminer l’équation d’une tangente.

GRAPHIQUEMENT :

La tangente à C au point d’abscissex a une équation de la forme ₀ y=ax+b.

a est le coefficient directeur (c’est le nombre dérivé de f enx : 0 f'(x0)) ou pente de la droite. b est l’ordonnée à l’origine.

Exemple :

La droite D représentée ci-dessous est la tangente à Cf au point d’abscisse 0.

On obtient l’équation de la tangente D au point d’abscisse 0 : y =6x+2

La tangente à C au point d’abscissex a pour équation réduite :0 y= f'(x0)×

(

x−x0

)

+ f(x0) On remplace x par la valeur donnée dans l’exercice. 0

On calcule la dérivée de f : f’. Calculer l’image de x par f’. ₀ Calculer l’image de x par f. 0

Remplacer f'(x₀) et f(x₀)par les valeurs trouvées. Exemple :

Soit f(x)=4x²−5x+1définie sur IR et C sa courbe représentative. Déterminer l’équation réduite de la tangente à C, au point de la courbe d’abscisse x =-1.

• Cette tangente a pour équationy = f'(−1)×

(

x−(−1)

)

+ f(−1) y= f'(−1)×

(

x+1

)

+ f(−1)

• On calcule f'(x)=4×2x−5×1+0=8x−5

On en déduit f'(−1)=8×

( )

−1 +5=−8−5=−13

• On calcule f(−1)=4×

( )

−12 −5×

( )

−1 +1=4×1+5+1=4+6=10

Exercices corrigés – Révisions – Thème : Dérivation Exercice 1 :

Déterminer la fonction dérivée de chacune des fonctions suivantes définies sur IR : 7 3 ² 4 5 ) (x =− x3+ x − x+ f g(x)=8 h(x)=2x²−4x+1 Exercice 2 :

Déterminer la fonction dérivée de chacune des fonctions suivantes définies sur

[

−2;0

]

: 5 2 1 4 ) ( + − = x x x f x x x g 3 2 6 ) ( − − = Exercice 3 :

On considère la fonction f définie sur

[

−5;5

]

par :

7 4 ² 3 ) (x =− x + x− f a) Déterminer f' x( ).

b) Etudier le signe de f' x( )sur l'intervalle

[

−5;5

]

et en déduire le tableau de variations de f. Utilisez votre calculatrice pour calculer les valeurs de f qui doivent apparaître dans ce tableau.

Exercice 4 : Déterminer les fonctions dérivées des fonctions suivantes définies sur l'intervalleI =

[

−20;20

]

. 2 ² 4 3 1 ) ( 3 1 x =− x + x − f f₂(x)=3x²−12x+18 5 3 1 ) ( 3 = ₋ x x f x x x f − − = 1 2 ) ( 4 Exercice 5 : Soit f x x x² 2x 2 3 3 1 )

( = 3 − + une fonction définie et dérivable sur

[

−10;10

]

. 1. Déterminer f' x( ).

3. En déduire le tableau de variations de la fonction f. Exercice 6 :

Soit la fonction f définie sur l’intervalle [-6 ; 6] par : 20 ²

)

(x =−x +x+ f

1. Compléter le tableau de valeurs ci-dessous :

x -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

f(x) -22 0 8 18 18 8

2. Déterminer la fonction dérivée de la fonction f.

3. Déterminer la ou les valeurs de x pour lesquelles f’(x) = 0

4. Donner le tableau de signes de f ' et le tableau de variations de f sur l’intervalle [-6 ; 6]. 5. Tracer la courbe représentative Cf de la fonction f dans un repère orthogonal

(

O i j

)

r r

; ; :

Prendre : 1 cm comme unité graphique pour l’axe des abscisses et 0,5 cm comme unité graphique pour l’axe des ordonnées.

6. Déterminer l’équation réduite de la tangente à la courbe Cf au point d’abscisse –4.

Exercice 7 :

Déterminer les fonctions dérivées des fonctions suivantes définies sur l'intervalleI =

[

−20;20

]

. 5 3 1 ) ( 4 = ₋ x x f x x x f − − = 1 2 ) ( 5 CORRECTION Exercice 1 : 3 8 ² 15 0 1 3 2 4 3 5 ) ( ' x =− × x2 + × x− × + =− x + x− f 0 ) ( ' x = g h'(x)=2×2x−4×1+0=4x−4 Exercice 2 : Rappel : ² ' ' ' v uv v u v u − =       5 2 1 4 ) ( + − = x x x f 5 2 1 4 + = − = x v x u 2 0 1 2 ' 4 0 1 4 ' = + × = = − × = v u

(

)

(

)

(

)

(

)

(

2 5

)

² 22 ² 5 2 2 8 20 8 ² 5 2 1 4 2 5 2 4 ) ( ' + = + + − + = + − × − + × = x x x x x x x x f

x x x g 3 2 6 ) ( − − = x v x u 3 2 6 − = − = 3 1 3 0 ' 1 0 1 ' − = × − = = − = v u

(

) ( ) (

)

(

)

(

)

(

2 5

)

² 16 ² 5 2 18 3 3 2 ² 3 2 6 3 3 2 1 ) ( ' + − = + − + − = − − × − − − × = x x x x x x x x g Exercice 3 : 1. On trouve : f('x)=−6x+4

2. Etude du signe de f' sur IR : f' s'annule en

3 2 6 4 = =

x . D'après le cours sur les fonctions affines, on a :

x -5 3 2 5 f'(x) + 0 - f(x) Exercice 4 : x x x f'₁( )=− ²+8 f'₂(x)=6x−12

(

)

(

)

(

3 5

)

² 3 ² 5 3 3 1 5 3 0 ) ( ' 3 ₋ − = − × − − × = x x x x f

(

) (

) ( )

(

)

(

)

(

1

)

² 2 ² 1 2 2 2 ² 1 1 2 1 ) 2 ( ) ( ' 4 x x x x x x x x f − − = − − + − = − − × − − − × − = Exercice 5 : 1. f'(x)=x²−3x+2 2. Signe du trinôme :x²−3x+2.      = − = = 2 3 1 c b a 1 8 9 2 1 4 )² 3 (− − × × = − = = ∆ -5,7 -102 -62

Le trinôme a deux racines : 1 1 2 1 ) 3 ( 2 1 2 1 ) 3 ( 2 1 = × − − − = = × + − − = x x

Tableau de signes du trinôme :

x -10 1 2 10 Signe du trinôme : 2 3 ²− x+ x Signe de a : + 0 Signe de -a : - 0 Signe de a : + 3. x -10 1 2 10 Signe de f’ + 0 - 0 + Variations de f Exercice 6 : 1. Tableau de valeurs : x -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 f(x) -22 -10 0 8 14 18 20 20 18 14 8 0 -10

2. La fonction dérivée de la fonction f est la fonction f ' définie sur [-6 ; 6] par : 1 2 ) ( ' x =− x+ f 3. f’(x) = 0 −2x+1=0 2x=1 2 1 = x

La fonction f s'annule pour 2 1 = x . 4. x -6 2 1 6 2 0,8 1,7 2

f'(x) + 0 -

f(x)

20,25

-22 -10 5.

6. La tangente à Cf au point d'abscisse -4 a pour coefficient directeur f '(-4) :

9 1 ) 4 ( 2 ) 4 ( ' − =− × − + = f . 0 ) 4 (− = f Donc y= f'(−4)(x+4)+ f(−4) y=9(x+4)+0 y=9x+36 Exercice 7 :

(

)

(

)

(

3 5

)

² 3 ² 5 3 3 1 5 3 0 ) ( ' 4 ₋ − = − × − − × = x x x x f

(

) (

) ( )

(

)

(

)

(

1 ²

)

² 2 ² ² 1 2 2 2 ² 1 1 2 1 2 ) ( ' 5 x x x x x x x x f − − = − − + − = − − × − − − × − =

Fiche de cours : Statistiques

Tableau de contingence.

Un tableau de contingence (ou tableau de tri croisé) est un tableau qui représente une série statistiques à deux variables.

A l'intersection de la ligne i et de la colonne j, on reporte le nombre d'individus possédant simultanément la modalité i du premier caractère et la modalité j du second caractère.

Série statistiques à une variable qualitative.

Population : ensemble des individus (objets ou personnes) sur lesquels porte l'étude statistique.

Caractère : Propriété étudiée.

Caractère qualitatif s'il n'est pas mesurable.

Effectif : L'effectif est le nombre d'individus vérifiant la condition donnée, notén . i

Effectif total : somme de tous les effectifs.

total effectif

effectif

Fréquence= . Elle peut être exprimée en %. La somme des fréquences vaut 1 ou 100%.

Diagramme circulaire : Chaque valeur du caractère est représentée par un angle dont la mesure est proportionnelle à l'effectif (ou à la fréquence).

Série statistiques à une variable quantitative. Caractère quantitatif s'il est mesurable :

- discret s'il prend des valeurs isolées (en général entières). - continu s'il peut prendre toutes les valeurs dans un intervalle.

Dans le cas de caractère quantitatif continu, les valeurs sont regroupées en classes ou intervalles. Amplitude = valeur max – valeur min de l’intervalle

amplitude effectif Densité=

Le centre de classe est le « milieu » de l’intervalle, moyenne entre la plus grande et la plus petite valeur de l’intervalle.

Diagramme à bâtons : Chaque valeur du caractère est représentée par un segment dont la longueur est proportionnelle à l'effectif (ou la fréquence). Particulièrement adapté aux séries statistiques à caractère quantitatif discret.

Histogramme : Chaque valeur du caractère est représentée par un rectangle dont l'aire est proportionnelle aux effectifs. L’histogramme est particulièrement adapté aux séries statistiques à caractère quantitatif continu.

Paramètres de position

Mode et classe modale : valeur du caractère ayant le plus grand effectif (caractère quantitatif discret) ou intervalle ayant la plus grande densité (caractère quantitatif continu).

Moyenne : A la calculatrice graphique - Sur Casio : Menu - Stats – Entrer dans L1 les valeurs ou les centres de classes et dans L2 les effectifs. Puis : calc (F2) – 1Var (F1).

Remarque : dans le cas d'une répartition en classes, on prend pour valeur le centre des classes. Médiane : valeur du caractère qui partage l'effectif en deux parties de même effectif.

Paramètres de dispersion

Etendue : valeur maximale - valeur minimale de la série.

Ecart type : écart moyen par rapport à la moyenne. Il permet de mesurer la régularité. S’obtient à la calculatrice avec la moyenne.

On appelle premier et troisième quartiles, notés , la première valeur pour laquelle on atteint ou dépasse 25 % et 75 % de l’effectif total. S’obtiennent à la calculatrice avec la moyenne. On appelle écart interquartile le nombreQ₃ −Q₁. Interprétation :

Exercices corrigés – Révisions – Thème : Tableaux de contingence. Exercice 1 :

400 clients d’un supermarché ont accepté de donner leur âge et de dire s’ils avaient ou non acheté un produit présenté en tête de gondole. Les âges sont regroupés en trois catégories : jeunes, adultes et anciens. On donne une partie du tableau de tri croisé.

Jeunes Adultes Anciens Total

A acheté 99

N’ a pas acheté 24 84

Total 220 120

1°) Complétez le tableau

2°) Quel est le pourcentage de jeunes dans cet échantillon ? 3°) Quel est le pourcentage d’acheteurs parmi les adultes ? 4°) Quel est le pourcentage d’adultes parmi les acheteurs ? Exercice 2 :

Dans une entreprise de 125 personnes : 25 sont dans des bureaux, 58 sont à l’atelier, les autres ailleurs. On interroge ces personnes sur leurs conditions de travail : ils ont le choix entre trois réponses : satisfait, mécontent, indifférent.

Dans l’entreprise 92 sont satisfaits. Dans les bureaux 20 sont satisfaits et 1 indifférents. Dans l’atelier 10 sont mécontents. A l’atelier il y a 3 fois moins de mécontents que de satisfaits.

1°) Complétez le tableau :

Bureaux Atelier Autre Total

Satisfait Mecontent Indifférent

Total

2°) Donner le pourcentage de mécontents dans l’entreprise.

CORRECTION Exercice 1 :

1°) Jeunes Adultes Anciens Total

A acheté 36 99 36 171

N’ a pas acheté 24 121 84 229

Total 60 220 120 400

2°) Le pourcentage de jeunes dans cet échantillon est 100 15% 400

60

= ×

3°) Le pourcentage d’acheteurs parmi les adultes est 100 45% 220

99

= ×

4°) Le pourcentage d’adultes parmi les acheteurs 100 57.9% 171 99 = × Exercice 2 : 1°) Complétez le tableau :

Bureaux Atelier Autre Total

Satisfait 20 30 42 92

Mecontent 4 10 0 14

Indifférent 1 18 0 19

Total 25 58 42 125

2°) Le pourcentage de mécontents dans l’entreprise est 100 11.2% 125

14

= ×

3°) Le pourcentage de mécontents parmi les personnes de l’atelier est 100 17.24% 58

Exercices corrigés – Révisions – Thème : Statistiques Exercice 1 :

Voici un tableau donnant la répartition par classes de la taille des arbres dans une forêt.

Taille en cm Centre de classe Effectifs Fréquences en % Fréquences cumulées croissantes (FCC) Amplitude Densité [170 ;180[ 20 [180 ;190[ 50 [190 ;200[ 40 [200 ;220[ 65 [220 ;250[ 15

1°)Précisez la population, le caractère et sa nature. 2°)Compléter le tableau.

3°)Calculer la taille moyenne des arbres de cette forêt. Calculer l’écart type.

4°)Représenter le polygone des fréquences cumulées croissantes de cette série sur papier millimétré. Echelle : Abs : 1cm/10

Ord : 1cm/5

5°)En déduire la médiane et les quartiles de cette série par lecture graphique. Construire la boite de cette série. Echelle : 1 cm pour 10 cm.

Exercice 2 :

Dans un champ de haricots on prélève 144 gousses et on compte le nombre de grains de gousse. Ce nombre varie de 1 à 10.

Nombre de grains Effectif

1 3 2 7 3 9 4 19 5 32 6 38 7 21 8 8 9 5 10 2

1°)Précisez la population, le caractère et sa nature.

2°)Quel est le mode de cette série ? Justifier votre réponse.

3°)Calculer le nombre de grains moyen et l’étendue. Arrondir les résultats à10−1. Calculer l’écart type. 4°)Déterminer la médiane.

CORRECTION

Exercice 1 :

1°) La population est « les arbres de la forêt », le caractère est « la taille » et il est quantitatif continu. 2°) Taille en cm Centre de classe Effectifs Fréquences en % Fréquences cumulées croissantes (FCC) Amplitude Densité [170 ;180[ 175 20 10.53 10.53 10 2 [180 ;190[ 185 50 26.32 36.85 10 5 [190 ;200[ 195 40 21.05 57.9 10 4 [200 ;220[ 210 65 34.21 92.11 20 3.25 [220 ;250[ 235 15 7.89 100 30 0.5 Total / 190 100 / / / 3°) Par le calcul : Taille moyenne : x 198.55cm 190 15 * 235 65 * 210 40 * 195 50 * 185 20 * 175 ≅ + + + + =

A la calculatrice graphique Casio : Menu « Stat ».

Entrer dans la liste 1 les centres de classe, et dans la liste 2 les effectifs (utiliser DelA pour effacer les listes si besoin : accessible avec situé à droite de F4).

Appuyer sur Calc (touche F2), puis 1Var (touche F1). On obtient le résultat :

6 . 198 =≅ x

σ

=16.1 4°) Polygone des FCC :

5°) On lit les abscisses des points d’ordonnées respectives 25, 50 et 75 % : Q1 = 186 ; Me = 197 ; Q3 = 211 Boite de la série :

6°) Histogramme (attention il faut raisonner en terme d’aire proportionnelle à l’effectif, car les classes n’ont pas la même amplitude, donc en ordonnées on ne met pas les effectifs mais la densité).

Exercice 2 :

1°) La population est « les 144 gousses du champ », le caractère est « le nombre de grains par gousse » et sa nature est quantitative discrète.

2°) Le mode de cette série est 6 car c’est la valeur ayant le plus grand effectif. 3°)

Par le calcul : Nombre de grains moyen : 5.4 144 10 2 ... 2 7 3 ≅ × + + × + = x

A la calculatrice graphique Casio : Menu « Stat ».

Entrer dans la liste 1 les nombres de grains, et dans la liste 2 les effectifs (utiliser DelA pour effacer les listes si besoin : accessible avec situé à droite de F4). Appuyer sur Calc (touche F2), puis 1Var (touche F1). On obtient le résultat : x =≅5.44

σ

=1.79

Etendue (différence entre la plus grande et la plus petite valeur) : 9. 4°) La médiane est la moyenne entre la 72ème et la 73ème valeur, soit 6.