Contrôle optimal pour l’équation de diffusion à l’aide de la PGD

HAL Id: hal-01254369

https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01254369

Submitted on 12 Jan 2016

HAL is a multi-disciplinary open access

archive for the deposit and dissemination of sci-entific research documents, whether they are pub-lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.

Distributed under a Creative Commons Attribution - NonCommercial - NoDerivatives| 4.0 International License

Contrôle optimal pour l’équation de diffusion à l’aide de la PGD

Pierre Joyot, Nicolas Bur, Pierre Villon, Francisco Chinesta, Joseph Canou

To cite this version:

Pierre Joyot, Nicolas Bur, Pierre Villon, Francisco Chinesta, Joseph Canou. Contrôle optimal pour l’équation de diffusion à l’aide de la PGD. 12e colloque national en calcul des structures, May 2015, Giens, France. �hal-01254369�

Giens 2015

Contrôle optimal pour l’équation de diffusion

à l’aide de la PGD

P. Joyot

, N. Bur

, P. Villon

, F. Chinesta

, J. Canou

(a) _{ESTIA-Recherche, Technopôle Izarbel, 64210 Bidart, France}

(b) _{UTC, Département GSM, Centre de Recherches de Royallieu, CS 60319, 60203 Compiègne cedex, France}

(c) _{GeM Institute, École Centrale de Nantes, 1 rue de la Noë, 44321 Nantes cedex 3, France} (?)_{p.joyot@estia.fr}

Problématique

Nous considérons le problème de contrôle op-timal gouverné par une équation de diffusion sur le domaine Ω : min u J (u (x, z)) = 1 2 Z Ω (y (x, z) − y_d (x, z))2 dx + α 2 Z Ω u (x, z)2 dx contraint par ( −∆y (x, z) = u (x, z) + f (x, z) dans Ω y = 0 sur Γ

où y est la variable d’état, yd la consigne, u la

commande et α > 0. Conditions d’optimalités −∆y (x, z) − 1 α p (x, z) = f (x, z) −∆p (x, z) + y (x, z) = y_d (x, z) p (x, z) = αu (x, z) avec y = 0 et p = 0 sur Γ

Forme faible des conditions d’optimalités Z Ω ∇p? · ∇p dx + Z Ω p?y dx = Z Ω p?y_d dx ∀p? Z Ω ∇y? · ∇y dx − 1 α Z Ω y?p dx = Z Ω y?f dx ∀y?

Formulation PGD

L’espace peut se séparer suivant les

coordon-nées x, z, i.e. Ω = Ωx × Ωz. Le vecteur inconnu

Ψ qui regroupe à la fois les valeurs nodales de

p et de y, prend la forme Ψ =  Y P  = ∞ X α  Y_xα ⊗ Y_zα P_xα ⊗ P_zα 

Ainsi la formulation PGD du système est don-née par la définition suivante de A et B :

A = 6 X j=1 Aj_x ⊗ Aj_z A1_x =  0 0 0 K_xp  A2_x =  0 0 0 M_xp  A1_z =  0 0 0 M_zp  A2_z =  0 0 0 K_zp  A3_x =  0 −_α1 M_xyp 0 0  A4_x =  K_xy 0 0 0  A3_z =  0 M_zyp 0 0  A4_z =  M_zy 0 0 0  A5_x =  M_xy 0 0 0  A6_x =  0 0 M_xpy 0  A5_z =  K_zy 0 0 0  A6_z =  0 0 M_zpy 0  B = 2 X j=1 B_xj ⊗ B_zj B_x1 =  M_xyF 0  B_x2 =  0 M_xpY_d  B_z1 =  M_zyF 0  B_z2 =  0 M_zpY_d 

Formulation PGD paramérique

Nous considérons maintenant que la consigne s’écrit βyd ou β est un paramètre. Nous allons

construire la solution du problème pour une plage de valeurs de β définie par le domaine Ωβ.

Le vecteur solution s’écrit maintenant : Ψ = M X α  Y_xα ⊗ Y_zα ⊗ Y_βα P_xα ⊗ P_zα ⊗ P_βα  +  Y_x ⊗ Y_z ⊗ Y_β P_x ⊗ P_z ⊗ P_β 

A et B sont maintenant définis par

A = 6 X j=1 Aj_x ⊗ Aj_z ⊗ Aj_β avec A 1 β =  0 0 0 M_βp  A2_β =  0 0 0 M_βp  A3_β =  0 M_βpy 0 0  A4_β =  M_βy 0 0 0  A5_β =  M_βy 0 0 0  A6_β =  0 0 M_βpy 0  et B = 2 X j=1 B_xj ⊗ B_zj ⊗ B_βj avec B_β1 =  M_βyF 0  B_β2 =  0 Mp_βY_β  où M y_β = Z Ω_β x_βN_βyN_βyT dx_β

Résultats numériques

Nous validons notre démarche sur l’exemple suivant :

f (x, z) = − 1

α 16x(1 − x)z(1 − z) + 32x (1 − x) + 32z (1 − z)

y_d (x, z) = 16x (1 − x) z (1 − z) + 32x (1 − x) + 32z (1 − z)

dans ces conditions la solution de notre problème est y (x, z) = p (x, z) = 16x (1 − x) z (1 − z). Le résultat est indépendant de α.

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Y 0.00 0.15 0.30 0.45 0.60 0.75 0.90 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 P 0.00 0.15 0.30 0.45 0.60 0.75 0.90 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 X 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 X 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Z 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Z

Dans le cas paramétrique, nous prenons

y_d (x, z) = β (16x (1 − x) z (1 − z) + 32x (1 − x) + 32z (1 − z)) avec α = 0.05 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Y 0 8 16 24 32 40 48 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 P 0 8 16 24 32 40 48 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0 2 4 6 8 10 X 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0 2 4 6 8 10 X 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0 2 4 6 8 10 Z 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0 2 4 6 8 10 Z 0 20 40 60 80 100 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 β 0 20 40 60 80 100 0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 β

Dans tous les cas la solution exacte est obtenue par le calcul d’un seul couple.